4.8. Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen
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- Gisela Glöckner
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1 4.8. Aufen zu trionometrien Funktionen Aufe : Dreiekerenun Berene die felenden Größen im retwinklien Dreiek. Alle Länen eien in m neeen. Teil ) ) ) d) e) f) ) ) i) j) k) l) 4 6 4,5,5 8, , 7,, 7, 8,6 7,6, 4.6 5, α β Aufe : Länenerenunen ) Wie o it ein Kirturm, deen Spitze für einen Beoter mit Auenöe,5 m u einer Entfernun von 5 m unter einem Winkel von 4 ereint? ) Eine 7,5 m oe Leiter lent in 6,6 m Höe n der Wnd. Wie roß it der 4 Antellwinkel und wie weit tet ie von der Wnd entfernt? 5 m ) Ein Mt oll mit m lnen Seilen eiert werden. In weler Höe müen ie m Mt nert werden, wenn ir Neiunwinkel 65 ein oll? In weler Entfernun zum Mt müen ie m Boden efetit werden? d) Wie o it eine Tnne, wenn ir Stten 7,5 m ln it und die Sonnentrlen unter dem Winkel 8,5 einfllen? e) Wie weit fliet ein Drenflieer, der in 5 m Höe unter einem Gleitwinkel von 8 trtet? f) Von der Spitze eine 8,6 m oen Turme ereint die Breite de 6 m entfernten Flue unter einem Sewinkel von 7. Wie reit it der Flu? ) Für einen m entfernten Beoter mit der Auenöe,6 m ereint der Fnenmt uf der Spitze eine 5 m oen Turme unter dem Sewinkel von 6,5. Wie ln it der Fnenmt? Aufe : Prmiden Berene die felenden Größen. Alle Länen ind in m neeen. Teil ) ) ) d) e) f) ) ) i) α α Aufe 4: Kräftezerleun n der iefen Eene Ein June der Me m = k itzt uf einer Rute mit dem Neiunwinkel α =. Senkret n unten wirkt uf in die Gewitkrft F = m mit der Swereeleuniun = 9,8 m/. Berene die Hntriekrft F, die in in Rutritun eleunit. F α α Aufe 5: Snittwinkel von Gerden Berene die Snittwinkel der folenden Gerden ) () = und () = + α α ) () = und () = F F n ) () = + und () = + 4 d) () = + 5 und () =
2 Aufe 6: Boenmß Eränze die folende Telle: Grd ,9 7 5 Boenmß Aufe 7: Strekun und Verieun der trionometrien Funktionen Betimme die Winkelewindikeit ω, die Periode T, die Pe t und die Ruele der folenden Funktionen Skizziere jeweil die Suilder von f - f in ein emeinme Koordintentem mit 4 t 4 ) f (t) = in[πt] ) f (t) = in[πt] ) f (t) = in[π(t )] + d) f (t) = in[ (t )] + f (t) = in [πt] f (t) = in [ t] f (t) = in[π(t )] f (t) = in[ (t )] f (t) = in[ t] f (t) = in[ t] f (t) = in[ (t + )] f (t) = in[π (t + )] Aufe 8: Strekun und Verieun der trionometrien Funktionen Betimme die Gleiunen der Funktionen f - f 5 : ) ) f f f f f f f 4 f f 5 - f 5 - Aufe 9: Sinutz Betimme die retlien Größen eine Dreiek, wenn die folenden Größen eknnt ind: ) = 4, m; = 7,9 m und γ = 8, ) = m; = 7 m und α = 7 - Aufe : Sinutz Zeie, d die Winkellierende in einem Dreiek tet die eenüerlieende Seite im Verältni der nlieenden Seiten teilt. Aufe : Sinutz und Koinutz Betimme jeweil die felenden Größen im Dreiek ABC: ) α =,β = 6, = m ) = 6 m, = 4 m, γ = 4 ) = m; = 4 m; = 5 m Aufe : Koinutz Um einem Felen uzuweien, et ein Vermeuntrupp von einem Punkt A zunät 85 m enu n Norden i B und von ier u m in Ritun Nord 5, Ot i C. Wie weit ind A und C voneinnder entfernt?
3 Aufe : Dreiekerenun 4.8. Löunen zu den Aufen zu trionometrien Funktionen Teil ) ) ) d) e) f) ) ) i) j) k) l) 4,77 6 4,5 9,9,5 8,6 5,9 7, 7,,8,6 7,74, 6, 7,,7,,44 9,76 4,75 8, 5,8 8,6 8,4 7,6,5 4,47, 5,8 4,6,6 44,8 5, α ,86 6, ,66 68, 57, β 4 64, 5, ,4,8, Beipielrenun zu ): β = 9 48 = 4 = in( ) = 4m 5,8 m, 74 = o(β) = 5,8 m,67,6 m Aufe : Länenerenun ) Höe =,5 m + 5 m tn(4 ) = 6,5 m. ) Antellwinkel α = in ( 6,6 7,5 ) 6,64 und Entfernun d 7,5 6,6,56 m ) Höe = m in(65 ) 8, m und Entfernun d = m o(65 ) 8,45 m d) Höe = 7,5 m tn(8,5 ),87 m 5 m e) Fluweite = 777,88 m tn(8 ) 6 m f) D dieeitie Ufer ereint unter dem Winkel von α = tn ( 8,6 m ),84 und it d = 6 m entfernt. D jeneitie Ufer ereint dnn unter dem Winkel α = 7 +,84 = 8.84 und it d = 8,6 m tn(8,84 ) 5,75 m entfernt. Der Flu it lo d d = 9,75 m reit. ) D untere Ende der Fnetne ereint unter dem Winkel von α = tn (,4 m m ) 48,5 und it =,4 m üer der Auenöe de Beoter. D oere Ende ereint dnn unter dem Winkel α = 6,5 + 48,5 = 54,65 und it d = m tn(54,65 ) 6,9 m üer der Auenöe de Beoter. Die Fnentne it lo =,5 m o Aufe : Prmiden Teil ) ) ) d) e) f) ) ) i) 5 6, ,7 6, ,8 6,5 8,66 7,8 7,7 9,5 9, ,54 5 6,6 5 5,96 7,79, 5, 5 6,5 7,7 7 6, 7,78 8,4 α 7,87 4,8 4, 7 5,7 5,7 45 4, 6 α 6,8 5,66 5, 75, , ,7 Beipielrenun zu ) Grundfläendionle d = = = 4 5,65 m (Grundfläe) Höe = Seitenöe = d 5,65 4,87 5,87 m (elle Dreiek), m (dunkle Dreiek) Ekwinkel α = in,87 m in 7,87 (elle Dreiek) 4 m,87 m Fläenwinkel α = in in 6,8 (dunkle Dreiek, m α α
4 Aufe 4: Kräftezerleun n der iefen Eene F = F in(α) = m in(α) = 98, N (entprit der Gewitkrft von. k) Aufe 5: Snittwinkel von Gerden ) α = 45 6,5 = 8,5 ) α =,69 ( 6,4 ) = 9,74 ) α = 6,4 45 = 8,4 d) α = 7,57 ( 45 ) = 6,57 zw 6,4 Aufe 6: Boenmß Grd ,9 7 4, Boenmß π π Aufe 7: Strekun und Verieun der trionometrien Funktionen Teil ) Teil ) Teil ) Teil d) Aufe 8: Strekun und Verieun der trionometrien Funktionen ) f (t) = in[πt] + ) f (t) = in[π] + - f (t) = in[π (t )] + f (t) = in[ π f (t) = in[ π (t + ] f (t) = in[ π (t + )] + (t + ] f 4 (t) = in[ π (t + )] f 4(t) = in[ π 5 (t + )] f 5 (t) = in[ π (t )] f 5(t) = in[πt] 4
5 Aufe 9: Sinutz ) in(α) = in(γ) =,5 α =,5 (Sinutz) β = 8 α γ = 67,9 = in(β) in(α) = 6, m ) in(β) = in(α) γ = 8 α β = 8,46 = in(γ) in(α) = 8,8 m (Winkelummentz) (Sinutz) =,94 β = 7,54 (Sinutz) (Winkelummentz) (Sinutz) Aufe : Sinutz in(δ ) Im unteren Dreiek ilt in(γ / ) in(δ ) Im oeren Dreiek ilt in(γ / ) Ween δ + δ = 8 ilt er in(δ ) = in(δ ) und dmit folt, qed. δ δ γ/ γ/ Aufe : Sinutz und Koinutz ) γ = 8 α β = 9 (Winkelummentz) = in(α) = 5, m in(β) (Sinutz) ) = = in(γ) in(α) = 6 m (Sinutz) o(γ) =,9 m (Koinutz) in(β) = in(γ) =,66 β = 4,4 (Sinutz) β = 8 β γ = 98,76 (Winkelummentz) Vorit ei dem tumpfen Winkel α: in(α) = in(γ) =,99 Der TR liefert zunät den pitzen Nrwinkel in (.99) = 8 α = 8,6! 4 ) o(α) = = α = 6,8 (Koinutz) 5 o(β) = γ = 8 α β = 9 Aufe : Koinutz β = 8-5, = 7,8 (Nrwinkel) = 5 β = 5, (Koinutz) (Winkelummentz) AC AB BC AB BC o(β) = 67,88 m. (Koinutz) 5
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