2 Trigonometrie. 2.1 Ziele. 2.2 Warum braucht man Trigonometrie?

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1 Trionometrie. Ziele m Ende dieses Kpitels kennen Sie die witien eriffe der Trionometrie und können diese sier in Prolemen nwenden. Im retwinklien Dreiek knn us versiedenen eeenen Grössen die felenden Seitenlänen und Winkel erenet werden. Winkel können vom Grdmss in ds oenmss und umekert umewndelt werden. erenunen im llemeinen Dreiek können durefürt werden.. Wrum rut mn Trionometrie? Trionometrise usdrüke (Stiworte: Sinus, ous, Tnens) kommen in der Elektrotenik, in vielen Geieten der Pysik, in der Vermessunstenik, er u in der reinen Mtemtik ser äufi vor. Do ws edeuten diese usdrüke, wie interpretiert mn sie mtemtis? Trionometrise Minimlkenntnisse, wie sie in den Zielen estekt d, d unerlässli für den weiteren Stoff. 7

2 .3 Ds retwinklie Dreiek Stz von Pytors für Winkelfunktionen: ( j) ( j) p + os Zusmmenn der Winkelfunktionen: tn q os os tn os tn Geenktete von ʈ rá Hypotenuse Ë nktete von ʈ rosá Hypotenuse Ë Geenktete von ʈ rtná nktete von Ë Geenktete von Ê ˆ rá Hypotenuse Ë nktete von ʈ rosá Hypotenuse Ë Geenktete von ʈ rtná nktete von Ë Höenstz: p q pq,...hypotenusensnitte, p+ q Mustereispiele. Von einem 65 m entfernten Turm wird mit einem Teodoliten der Höenwinkel 35 emessen. ) Wie weit ist die Turmspitze vom Teodoliten entfernt? s s 65m os x 79.35m x fi os os 35 ) Wie o ist der Turm? ' tn fi ' s tn 65m tn( 35 ) 45.5m s fi + t 46.5 m t m x s 65 m. n eine senkret steende Wnd soll eine 6 m lne Leiter estellt werden, dmit mn einen 5.5 m oen Punkt üer dem oden erreien knn. ) Welen stnd muss ds untere Leiterende von der Wnd en? ) Wie ross ist der Winkel? x + L fi x L - 6m m.40 m Ê ˆ Ê5.5mˆ fi rá rá L ËL Ë 6 m ) Welen stnd d t die Leiter vom Fusspunkt der Wnd? d fi d x.40 m ( ).0 m x 8 L 6m d x 5.5m

3 ufen. Ge: 40, 3 Ges:,,,, p, q Ls: p q. In einem retwinklien Dreiek ist ds Verältnis der Kteten eeen : 3 :. Ges:?,? Ls: 3. Eine Strsse weist eine Steiun von % uf. ) Ws edeutet diese ne? ) Welen Steiunswinkel ( Winkel zur Horizontlen) t die Strsse? 9

4 Lösunen. Ge: 40, 3 Ges:,,,, p, q Ls: p q os fi os 3os ( 40 ) oder: fi.30 ( 40 ).48 p os fi p os.30 os( 40 ).76 oder: p -.76 tn fi - - q fi q.48.4 oder: q.4 tn tn 50 p. In einem retwinklien Dreiek ist ds Verältnis der Kteten eeen : 3 :. Ges:?,? Ls: Ê ˆ ʈ rtná rtná 33.7 Ë Ë3 Ê ˆ Ê3 ˆ rtná rtná 56.3 Ë Ë 3. Eine Strsse weist eine Steiun von % uf. ) Ws edeutet diese ne? ) Welen Steiunswinkel ( Winkel zur Horizontlen) t die Strsse? ) Pro00m orizontle Streke eröt si die Strsse um m ) tn 0. fi rtn( 0.)

5 .4 Die Winkelfunktionen im Eineitskreis Sold Sinus- oder ous-werte von Winkeln rösser ls 90 drestellt werden sollen, knn mn diese nit mer im retwinklien Dreiek einzeinen. Mn et üer zur Drstellun im Eineitskreis. Der Eineitskreis t einen definierten Rdius der Läne. Die Winkel werden jeweils von der x-se us emessen. Den Winkeln it mn zusätzli u no einen Umlufn: ein positiver Winkel wird im Geenurzeiern ( mtemtis positiver Umlufn) etren, ein netiver Winkel entspreend im Urzeiern. Den Sinus-Wert knn mn nun in senkreter Ritun (y-wert) lesen, den ous-wert liest mn in orizontler Ritun (x-wert). + y-se. Qudrnt. Qudrnt ( 0.8. ) + P P( ) ( 50 ) ( 30 ) 0.5 os( 50 ) ª-0.87 j 30 os( 30 ) ª 0.87 x-se 3. Qudrnt 4. Qudrnt os y -Koordinte vom Punkt x -Koordinte vom Punkt Zusmmenn der Winkelfunktionen: tn os ( j) ( 80 -j) ( j) ( -j) os os 360

6 Der Tnenswert eines Winkels knn eenflls m Eineitskreis drestellt werden. (siee Skizze). eim estimmen des Vorzeiens ist jedo Vorsit eoten: ufrund der erenun des Tnens ls Quotient von Sinus dur ous erit si, dss die Tnenswerte für Winkel des. und 3. Qudrnten positiv und für Winkel des. und 4. Qudrnten netiv d.. Qudrnt Tnens netiv Ê ˆ Á < 0 Ëos y-se Qudrnt Tnens positiv Ê ˆ Á > 0 Ëos 0.36 tn( 40 ) ª 0.84 tn( 60 ) ª-0.36 tn( 0 ) ª x-se tn( 340 ) ª Qudrnt Tnens positiv Qudrnt Tnens netiv Ê ˆ Á > 0 Ëos Ê ˆ Á < 0 Ëos ( j) ( + j) tn tn 80 Die usfürunen uf dieser und der vorereenden Seite illustrieren, dss in der Reel zwei versiedene Winkel existieren, wele mit der leien Winkelfunktion (Sinus, ous, Tnens) uf ds leie Erenis füren. Diesem Umstnd muss mn ei der Rükwärtsrenun (Umkerun) Renun tren. Die folenden Formeln esreien diesen Vorn. ( j) fi j r j 80 -j ( j) j sp.: 0.75 fi r j os tn ( j) fi j ros j 360 -j ( j) fi j rtn j j + 80 ( j) j sp.: os 0.35 fi ros j ( j) j sp.: tn 0.5 fi rtn j Flls ein Winkel netiv sein sollte, so ddiert mn (m Sluss, ndem j ere net wurde!) 360. Dmit liet der Winkel immer im erei 0 j < 360.

7 .5 Die Winkelfunktionen im llemeinen Dreiek.5. Sinusstz Ein spitzwinklies Dreiek wird in zwei retwinklie Dreieke zerlet. Die Sinuswerte der eiden siswinkel und drükt mn dur die Höe und dur die Seiten und us. Dur Komintion der eiden Gleiunen findet mn einen llemeinen Zusmmenn zwisen den Sinuswerten der Winkel und und den eenüerlieen Seiten und. r M fi fi fi fi Für ds stumpfwinklie Dreiek elten nloe Üerleunen: Def. 80 fi ( ) fi ( ) ( - ) Fürt mn die oien Üerleunen für jede Seite-/Winkelkomintion dur, so folt der Sinusstz: fi fi Drus lässt si leiten: ( ) Die letzte Formulierun edeutet u: Dem rössten Winkel liet die rösste Seite eenüer, dem mittleren Winkel liet die mittlere Seite eenüer und dem kleinsten Winkel liet die kürzeste Seite eenüer! Hinweis für spätere erenunen: Für die nwendun des Sinusstzes müssen Seiten und eenüerlieender Winkel oder Winkel und eenüerlieende Seite eeen sein. 3

8 .5. ousstz Wenn in einem Dreiek zwei Seiten und der eineslossene Winkel eeen d, knn die dritte Seite mit Hilfe des ousstzes erenet werden. Herleitun für ds spitzwinklie Dreiek: os fi os os os Für ds stumpfwinklie Dreiek elten nloe Üerleunen: Def. os os os 80 os ( ) fi ( ) ( - ) ( ) - os os ( ) Fürt mn die oien Üerleunen für jede Seite-/Winkelkomintion dur, so folt der ousstz: + - os + - os + - os ( ) ( ) ( ) Der ousstz ist eine Verllemeinerun des Stzes von Pytors. 4

9 Musterufen. 3 Seiten eeen (SSS) ousstz Ge.: 4.8 m, 7. m, 4 m + - os fi ros( 0.764) os fi ros( ) 07. oder (eikel, ween Doppeldeutikeit der Sinusumkerun zwisen 0 und 80! - nur mit Skizze!) 5 fi r( 0.995) 7.8 ( flser Winkel! ) 0.95 fi Seiten und eineslossener Winkel eeen (SWS) ousstz Ge.: 3. m, 4.0 m, 04 ( ) + - os 5.7m + - os fi ros( 0.838) Seite und Winkel (SWW, WSW) Sinusstz Ge.: 38, 75, 7.0 m ( ) 4.7 m ( ) 7.3 m 5

10 4. Seiten und nit-eineslossener Winkel eeen (SSW ) Sinus- oder ousstz (SSW edeutet: Der eeene Winkel liet der rösseren Seite eenüer) 6 m, 5 m, 40 mit dem Sinusstz: ( ) ( ) r ( ) ( ) 8.9 m mit dem ousstz: ( ) - os m -.4 m + - os ros( ) Zum jetzien Zeitpunkt knn diese Qudrtise Gleiun no nit elöst werden! 5. Seiten und nit-eineslossener Winkel eeen (SSW k ) Sinus- oder ousstz (SSW k edeutet: Der eeene Winkel liet der kleineren Seite eenüer) 6 m, 5 m, 40 mit dem Sinusstz: r ( ) ( ) 7.8 m.4 m mit dem ousstz: ( ) - os m ( ) ( ).4 m os os ros ros Zum jetzien Zeitpunkt knn diese Qudrtise Gleiun no nit elöst werden! 6

11 .6 Ds oenmss Einen Winkel j knn mn u dur die Läne des oens uf dem zueörien Kreis mit dem Rdius r esreien. Für eine volle Umdreun von 360 wissen wir, dss der Umfn des entspreenden Kreises u p r ist. Ds Verältnis von oenläne zum Umfn u ist dei lei wie ds Verältnis des zueörien Sektorwinkels j (emessen in Grd) zum Vollkreis 360 : jgrd jgrd jgrd fi u p r u ei eeenem Winkel j ist jedo die oenläne äni von der Läne des Rdius r. Setzt mn jedo die oenläne ins Verältnis zum Rdius, so verswindet diese änikeit. Ddur können wir ein neues Winkelmss (oenmss) definieren: u r j r ) oenläne j jrd Rdius r Wält mn ls Kreis einen Eineitskreis mit dem Rdius, so definiert mn ds oenmss wörtli: Ds oenmss eines Winkels ist die Läne des zueörien oens uf dem Eineitskreis. Ds oenmss esitzt keine Eineit, d es ds Verältnis zweier Länen ist. und n findet mn jedo trotzdem die Pseudoeineit Rdint. u jgrd p r jgrd jgrd jgrd Zusmmenn Grdmss und oenmss: joenmss p p r r r Somit erit si folende Telle: Grdmss oenmss 360 p 80 p 90 p/ 60 p/3 45 p/4 30 p/6 pª 0.07 rd 360 rd 360 ª 57.3 p j rd jgrd π 360 jrd jgrd 360 π ufen. Gi den Winkel im oenmss ls Vielfes von p n und ls Dezimlzl mit zwei Dezimlen: p ) 0 ª ) 3 ) 0 d) 70 e) 8 f) 540. Gi den Winkel im Grdmss uf 0. enu n: ) ) + ) p 7