2 Trigonometrie. 2.1 Ziele. 2.2 Warum braucht man Trigonometrie?

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1 Mthemtik I / Trionometrie Trionometrie. Ziele m Ende dieses Kpitels kennen Sie die wihtien eriffe der Trionometrie und können diese siher in Prolemen nwenden. Im rehtwinklien Dreiek knn us vershiedenen eeenen Grössen die fehlenden Seitenlänen und Winkel erehnet werden. Winkel können vom Grdmss in ds oenmss und umekehrt umewndelt werden. erehnunen im llemeinen Dreiek können durheführt werden.. Wrum ruht mn Trionometrie? Trionometrishe usdrüke (Stihworte: Sinus, ous, Tnens) kommen in der Elektrotehnik, in vielen Geieten der Physik, in der Vermessunstehnik, er uh in der reinen Mthemtik sehr häufi vor. Doh ws edeuten diese usdrüke, wie interpretiert mn sie mthemtish? Trionometrishe Minimlkenntnisse, wie sie in den Zielen estekt d, d unerlässlih für den weiteren Stoff. 7

2 Mthemtik I / Trionometrie.3 Ds rehtwinklie Dreiek Stz von Pythors für Winkelfunktionen: ( j) ( j) p + os = Zusmmenhn der Winkelfunktionen: tn h q = os os tn os tn Geenkthete von ʈ = = = rá Hypotenuse Ë nkthete von ʈ = = = rosá Hypotenuse Ë Geenkthete von ʈ = = = rtná nkthete von Ë Geenkthete von Ê ˆ = = = rá Hypotenuse Ë nkthete von ʈ = = = rosá Hypotenuse Ë Geenkthete von ʈ = = = rtná nkthete von Ë Höhenstz: h = p q pq,...hypotenusenshnitte, p+ q = Mustereispiele. Von einem 65 m entfernten Turm wird mit einem Theodoliten der Höhenwinkel = 35 emessen. ) Wie weit ist die Turmspitze vom Theodoliten entfernt? s s 65m os = x 79.35m x fi = os = os 35 = ) Wie hoh ist der Turm? h' tn = fi h' = s tn = 65m tn( 35 ) = 45.5m s fi h= h + t = 46.5 m t = m x s = 65 m h h. n eine senkreht stehende Wnd soll eine 6 m lne Leiter estellt werden, dmit mn einen 5.5 m hohen Punkt üer dem oden erreihen knn. ) Welhen stnd muss ds untere Leiterende von der Wnd hen? ) Wie ross ist der Winkel? x + h = L fi x= L - h = 6m m =.40 m h Ê hˆ Ê5.5mˆ = fi = rá = rá = L ËL Ë 6 m ) Welhen stnd d ht die Leiter vom Fusspunkt der Wnd? d = fi d = x =.40 m ( ) =.0 m x 8 L = 6m d x h = 5.5m

3 Mthemtik I / Trionometrie ufen. Ge: = 40, = 3 Ges:,,, h, p, q Ls: p h q. In einem rehtwinklien Dreiek ist ds Verhältnis der Ktheten eeen : = 3 :. Ges: =?, =? Ls: 3. Eine Strsse weist eine Steiun von % uf. ) Ws edeutet diese ne? ) Welhen Steiunswinkel (= Winkel zur Horizontlen) ht die Strsse? 9

4 Mthemtik I / Trionometrie.4 Die Winkelfunktionen im Einheitskreis Sold Sinus- oder ous-werte von Winkeln rösser ls 90 drestellt werden sollen, knn mn diese niht mehr im rehtwinklien Dreiek einzeihnen. Mn eht üer zur Drstellun im Einheitskreis. Der Einheitskreis ht einen definierten Rdius der Läne. Die Winkel werden jeweils von der x-hse us emessen. Den Winkeln it mn zusätzlih uh noh einen Umlufn: ein positiver Winkel wird im Geenuhrzeiern (= mthemtish positiver Umlufn) etren, ein netiver Winkel entsprehend im Uhrzeiern. Den Sinus-Wert knn mn nun in senkrehter Rihtun (y-wert) lesen, den ous-wert liest mn in horizontler Rihtun (x-wert). + y-hse. Qudrnt. Qudrnt ( 0.8. ) + P P( ) ( 50 ) = ( 30 ) = 0.5 os( 50 ) ª-0.87 j 30 os( 30 ) ª 0.87 x-hse 3. Qudrnt 4. Qudrnt os = y -Koordinte vom Punkt = x -Koordinte vom Punkt Zusmmenhn der Winkelfunktionen: tn = os ( j) = ( 80 -j) ( j) = ( -j) os os 360 0

5 Mthemtik I / Trionometrie Der Tnenswert eines Winkels knn eenflls m Einheitskreis drestellt werden. (siehe Skizze). eim estimmen des Vorzeihens ist jedoh Vorsiht eoten: ufrund der erehnun des Tnens ls Quotient von Sinus durh ous erit sih, dss die Tnenswerte für Winkel des. und 3. Qudrnten positiv und für Winkel des. und 4. Qudrnten netiv d.. Qudrnt Tnens netiv Ê ˆ Á < 0 Ëos y-hse Qudrnt Tnens positiv Ê ˆ Á > 0 Ëos 0.36 tn( 40 ) ª 0.84 tn( 60 ) ª-0.36 tn( 0 ) ª x-hse tn( 340 ) ª Qudrnt Tnens positiv Qudrnt Tnens netiv Ê ˆ Á > 0 Ëos Ê ˆ Á < 0 Ëos ( j) = ( + j) tn tn 80 Die usführunen uf dieser und der vorherehenden Seite illustrieren, dss in der Reel zwei vershiedene Winkel existieren, welhe mit der leihen Winkelfunktion (Sinus, ous, Tnens) uf ds leihe Erenis führen. Diesem Umstnd muss mn ei der Rükwärtsrehnun (Umkehrun) Rehnun tren. Die folenden Formeln eshreien diesen Vorn. ( j) = fi j = r j = 80 -j ( j) j sp.: = 0.75 fi = r 0.75 = 48.6 j = = 3.4 os tn ( j) = fi j = ros j = 360 -j ( j) = fi j = rtn j = j + 80 ( j) j sp.: os = 0.35 fi = ros 0.35 = 69.5 j = = 90.5 ( j) j sp.: tn = 0.5 fi = rtn 0.5 = 4.0 j = = 94.0 Flls ein Winkel netiv sein sollte, so ddiert mn (m Shluss, nhdem j ere hnet wurde!) 360. Dmit liet der Winkel immer im ereih 0 j < 360.

6 Mthemtik I / Trionometrie.5 Die Winkelfunktionen im llemeinen Dreiek.5. Sinusstz Ein spitzwinklies Dreiek wird in zwei rehtwinklie Dreieke zerlet. Die Sinuswerte der eiden siswinkel und drükt mn durh die Höhe h und durh die Seiten und us. Durh Komintion der eiden Gleihunen findet mn einen llemeinen Zusmmenhn zwishen den Sinuswerten der Winkel und und den eenüerlieen Seiten und. r M h h h = fi h = = fi h = fi = fi = Für ds stumpfwinklie Dreiek elten nloe Üerleunen: h h Def. 80 h = fi h = ( ) = fi h = ( ) = ( - ) = Führt mn die oien Üerleunen für jede Seite-/Winkelkomintion durh, so folt der Sinusstz: = = = fi = fi = Drus lässt sih leiten: = = ( ) Die letzte Formulierun edeutet uh: Dem rössten Winkel liet die rösste Seite eenüer, dem mittleren Winkel liet die mittlere Seite eenüer und dem kleinsten Winkel liet die kürzeste Seite eenüer! Hinweis für spätere erehnunen: Für die nwendun des Sinusstzes müssen Seiten und eenüerlieender Winkel oder Winkel und eenüerlieende Seite eeen sein.

7 Mthemtik I / Trionometrie.5. ousstz Wenn in einem Dreiek zwei Seiten und der eineshlossene Winkel eeen d, knn die dritte Seite mit Hilfe des ousstzes erehnet werden. Herleitun für ds spitzwinklie Dreiek: os = fi = os = - + = h h h = - os + - = + - os Für ds stumpfwinklie Dreiek elten nloe Üerleunen: h Def. os os os 80 os ( ) = fi = ( ) = ( - ) =- = + + = h h ( ) = - os + = + - os ( ) Führt mn die oien Üerleunen für jede Seite-/Winkelkomintion durh, so folt der ousstz: = + - os = + - os = + - os ( ) ( ) ( ) Der ousstz ist eine Verllemeinerun des Stzes von Pythors. 3

8 Mthemtik I / Trionometrie Musterufen. 3 Seiten eeen (SSS) ousstz Ge.: = 4.8 m, = 7. m, = 4 m + - os = = fi = ros( 0.764) = os = =-0.96 fi = ros( ) = 07. oder (heikel, ween Doppeldeutikeit der Sinusumkehrun zwishen 0 und 80! - nur mit Skizze!) = = 5 fi = r( 0.995) = 7.8 ( flsher Winkel! ) 0.95 fi = 80 - = 07. = = 3.6. Seiten und eineshlossener Winkel eeen (SWS) ousstz Ge.: = 3. m, = 4.0 m, = 04 ( ) = + - os = 5.7m + - os = = fi = ros( 0.838) = 33.0 = = Seite und Winkel (SWW, WSW) Sinusstz Ge.: = 38, = 75, = 7.0 m = = 67 ( ) = = 4.7 m ( ) = = 7.3 m 4

9 Mthemtik I / Trionometrie 4. Seiten und niht-eineshlossener Winkel eeen (SSW ) Sinus- oder ousstz (SSW edeutet: Der eeene Winkel liet der rösseren Seite eenüer) = 6 m, = 5 m, = 40 mit dem Sinusstz: ( ) ( ) = = = r = 3.4 = 47.6 ( ) = = 07.6 ( ) = = 8.9 m mit dem ousstz: ( ) - os + - = 0 = 8.90m =-.4 m + - os = = = ros( ) = 3.4 = = 07.6 Zum jetzien Zeitpunkt knn diese Qudrtishe Gleihun noh niht elöst werden! 5. Seiten und niht-eineshlossener Winkel eeen (SSW k ) Sinus- oder ousstz (SSW k edeutet: Der eeene Winkel liet der kleineren Seite eenüer) = 6 m, = 5 m, = 40 mit dem Sinusstz: = = = r = 50.5 = 80 - = 9.5 = = 89.5 = = 0.5 ( ) ( ) = = 7.8 m = =.4 m mit dem ousstz: ( ) - os + - = 0 = 7. 8m ( ) ( ) =.4 m os = = os = = = ros = 50.5 = ros = 9.5 = = 89.5 = = 0.5 Zum jetzien Zeitpunkt knn diese Qudrtishe Gleihun noh niht elöst werden! 5

10 Mthemtik I / Trionometrie.6 Ds oenmss Einen Winkel j knn mn uh durh die Läne des oens uf dem zuehörien Kreis mit dem Rdius r eshreien. Für eine volle Umdrehun von 360 wissen wir, dss der Umfn des entsprehenden Kreises u= p r ist. Ds Verhältnis von oenläne zum Umfn u ist dei leih wie ds Verhältnis des zuehörien Sektorwinkels j (emessen in Grd) zum Vollkreis 360 : jgrd jgrd jgrd = fi = u = p r u ei eeenem Winkel j ist jedoh die oenläne häni von der Läne des Rdius r. Setzt mn jedoh die oenläne ins Verhältnis zum Rdius, so vershwindet diese hänikeit. Ddurh können wir ein neues Winkelmss (oenmss) definieren: u r j r ) oenläne j = jrd = = Rdius r Wählt mn ls Kreis einen Einheitskreis mit dem Rdius =, so definiert mn ds oenmss wörtlih: Ds oenmss eines Winkels ist die Läne des zuehörien oens uf dem Einheitskreis. Ds oenmss esitzt keine Einheit, d es ds Verhältnis zweier Länen ist. und n findet mn jedoh trotzdem die Pseudoeinheit Rdint. u jgrd p r jgrd jgrd jgrd Zusmmenhn Grdmss und oenmss: joenmss = = = = p =p r r r Somit erit sih folende Telle: Grdmss = oenmss 360 = p 80 = p 90 = p/ 60 = p/3 45 = p/4 30 = p/6 = = pª 0.07 rd 360 rd = 360 ª 57.3 p j rd = jgrd π 360 jrd jgrd = 360 π ufen. Gi den Winkel im oenmss ls Vielfhes von p n und ls Dezimlzhl mit zwei Dezimlen: p ) 0 = ª ) 3 = ) 0 = d) 70 = e) 8 = f) 540 =. Gi den Winkel im Grdmss uf 0. enu n: ) = ) + = ) p = 6