( n k ) Binomialkoeffizent, n über k

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1 Mtemtisce eicen und kürzunen N Q Mene der ntürlicen len Mene der nzen len Mene der rtionlen len R Mene der reellen len + Mene der positiven reellen len R 0 einscließlic 0 efinitionsereic W Werteereic L Lösunsmene Teilmene { } Leere Mene {; ; c} Mene mit den Elementen, und c R \ {; } Mene R one die Elemente und R [; ] ]; [ ]; ] zw. [; [ ist Element von R esclossenes Intervll offenes Intervll loffene Intervlle unendlic >; rößer ls; rößer oder leic <; kleiner ls; kleiner oder leic unefär leic entsprict n Potenz: oc n (Qudrt-)Wurzel us n ; Kuikwurzel us ; n-te Wurzel us iskriminnte % Prozent Ω Erenismene E; _ E Ereinis E; Geenereinis zu E E nzl lle Erenisse, die E entält H (E) () P (E) P () solute Häufikeit für E reltive Häufikeit für E Wrsceinlickeit für E edinte Wrsceinlickeit für unter der edinun n! n Fkultät ( n k ) inomilkoeffizent, n üer k _ x ritmetisces Mittel, f (x) Funktionsterm f (x) leitunsfunktion zu f (x) x 0 Nullstelle einer Funktion sin x Sinusfunktion cos x Kosinusfunktion tn x Tnensfunktion x Exponentilfunktion mit Wcstumsfktor lo Loritmus zur sis l x; ld x Loritmus zur sis 0; zur sis lo x Loritmusfunktion P (x ) Punkt P mit den Koordinten x und S Sceitelpunkt einer Prel,,, Gerden, Hlerden (Strlen) PQ Strecke mit den Endpunkten P und Q, uc Läne der Strecke LE Kreisoen von Punkt zu Punkt Läneneineit ; escnitten mit; vereinit mit Winkel mit Sceitel,. Scenkel und. Scenkel α, β, γ, Winkelezeicnunen Grd, Mßeineit für Winkel (z.. 0 ) rd O V oenläne m Eineitskreis oenmß, Mßeineit für Winkel Fläceninlt Oerfläceninlt Volumen, Ruminlt π Kreiszl, π, ; senkrect uf; prllel zu ; ist zueordnet; drus folt 6

2 F Fit für Klsse 0 ie Lösunen zu den ufen findest du unter (Eine im Sucfeld: 60-0). Recnen mit reellen len ie Menen der rtionlen und irrtionlen len ilden zusmmen die Mene der reellen len R. π R 5 Q 8 N Q R ie eknnten Recenesetze elten uc in R (für lle,, c R). Kommuttivesetz + = + = ssozitivesetz + ( + c) = ( + ) + c ( c) = ( ) c istriutivesetz ( + c) = + c ( c) = c 5 N 5 Für ds Recnen mit Wurzeln ilt: Multipliktion _ und ivision zweier Qudrtwurzeln = für, 0 = für 0, > 0 ei der ddition und Sutrktion lssen sic zwei Qudrtwurzeln im llemeinen nict zu einer Qudrtwurzel zusmmenfssen. 5 estimme die Lösunsmene in = R. ) x 9 = 0 ) x =,5 c) x = 0 d) x = 8 e) x + = 0 f) 9x = 9 ) 9x = 0 ) + 6x = 0 i) 5 + x = 0 Nenne eine mölice Gleicun, welce die neeene Lösunsmene esitzt. ) L = { ; } ) L = { ; } c) L = { ; } d) L = {,5;,5} e) L = { } f) L = { ; } Recne im Kopf. _ ) 5 9 ) 96 6 c) 6 9 d) 6 e) 8 9 f) Vereinfce so weit wie mölic mit, R +. _ ) 8 ) _ c) _ 8 _ 9 d) e) 0, f) 0,65 5 ) _ ) 5 _ 5 5 estimme die Lösunsmene in = R. ) x + 5 = 8 ) ( 5 5 ) + 5 x = (0 5 ) Potenzesetze = für lle R 0 = für lle R \ {0} Werden Potenzen mit leicer sis multipliziert (dividiert), leit die sis erlten. er Exponent ist die Summe (ifferenz) der Exponenten. ( ) 5 ( ) = ( ) 5 + = ( ) 8 ( ) 5 : ( ) = ( ) 5 = ( ) Werden Potenzen mit demselen Exponenten multipliziert (dividiert), dnn leit der emeinsme Exponent erlten. ie sis ist dei ds Produkt (der Quotient) der einzelnen sen. ( 8) 5 5 = ( 8 ) 5 = ( 6) 5 ( 8) 5 : 5 = ( 8 : ) 5 = ( ) 5 Wird eine Potenz potenziert, werden die Exponenten multipliziert. ie sis leit erlten. (7 ) 5 = 7 5 = Vereinfce den Term und erecne seinen Wert. ) 0 5 ) ( ) : c) ( + ) d), (,, ) e) ( ) 8 ( ) ( ) f) ( 7 ) : ( 0 ) Vereinfce so weit wie mölic. ) _ 0 5 ( ) 5 ) _ ( 6) 5 6 ( 6) x c) 5 x x x d) ( x x ) (5x e) ) ( ) x 6 (x ) (x ) f) 5x 5 x + _ 0x 6x 5 ) (x x + x ) x ) _ x + _ x x 7

3 Fit für Klsse 0 Qudrtisce Funktionen ie llemeine Form einer qudrtiscen Funktion t die Gleicun f (x) = x + x + c. > : estreckte Prel < : estucte Prel n der Sceitelpunktform einer qudrtiscen Funktion f mit der Gleicun f (x) = (x x S ) + S knn der Sceitelpunkt S (x S S ) der zueörien Prel elesen werden. f (x) = (x x S ) + S usqudrieren f (x) = x + x + c Sceitelpunktform llemeine Form qudrtisc eränzen R \ {0} und x S, S R,, c R und = R Für > 0 t die qudrtisce Funktion ein Minimum, die Prel ist nc oen eöffnet. Für < 0 ein Mximum, die Prel ist nc unten eöffnet. ie Umkerun der Funktion f (x) = x + mit f = R 0 + (W f = R 0 ) lutet f + (x) = x mit f = W f = R 0. Sie stellt eine Wurzelfunktion dr estimme die Koordinten des Sceitelpunktes S. ) f (x) = 0,5 (x + ) + ) f (x) = (x,) c) f (x) = x 5,6 estimme die Koordinten des Sceitelpunktes S. Gi n, o die Prel estuct/estreckt ist. ) f (x) = x + x + ) f (x) = 0,5x + 8x + c) f (x) = x + 6x 6 escreie den Verluf der Prel p, üerprüfe, o der Punkt p ist, und i die Sceitelpunktkoordinten n. ) p: f (x) = x + x ; ( 5) ) p: f (x) = 0,5x x + ; ( ) c) p: f (x) = (x + ) (x ) + ; (0 8) Gi die Umkerfunktion f von f n. estimme den efinitions- und Werteereic von f. ) f (x) = (x + ) ) f (x) = ( + x) = {x x } = {x x } Qudrtisce Gleicunen und Unleicunen Qudrtisce Gleicunen in der Normlform x + px + q = 0 lssen sic mit der Lösunsformel lösen: x / = p ± ( p ) q. ei qudrtiscen Gleicunen knn mn die nzl der Lösunen n der iskriminnte us der Lösunsformel lesen mit = ( p ) q. > 0: Es it zwei Lösunen. = 0: Es it eine Lösun. < 0: Es it keine Lösun. ei der Lösun qudrtiscer Unleicunen der Form f (x) = x + x + c 0 zw. f (x) = x + x + c 0 knn mn zunäcst nnd der Nullstellen der zueörien Funktion den qudrtiscen Term in seine Linerfktoren zerleen. Mit der nscließenden Flluntersceidun estimmt mn die Lösunsmene. estimme die Lösunsmene uf R. ) x 7x + = 0 ) x 8 = c) x 0,5x 0,5 = 0 d) x + x + = 0 e) x x + 5 = (x ) (x + ) f) (x + ) = x 7 ) er rüne ereic stellt die Lösunsmene einer Unleicun dr. escreie den ereic und i eine pssende Unleicun n. 5 6 x ) estimme die Lösunsmene üer R. x 9 > 0 x (7 x) > 0 x 8x 0 (x + 8x + ) < 6 8

4 Linere Gleicunsssteme Sollen lenpre (x ) zwei linere Gleicunen leiczeiti erfüllen, so sprict mn von einem lineren Gleicunssstem. Es it drei Fälle: enu keine unendlic viele eine Lösun Lösun Lösunen x x x Einsetzunsverfren Löst mn eine der Gleicunen nc einer Vrilen (z.. ) uf, dnn knn mn diesen Term in die n dere Gleicun einsetzen. eispiel I x = II = x einsetzen II in I x (x) = Gleicsetzunsverfren Löst mn eide Gleicunen nc einer Vrilen (z.. ) uf, dnn knn mn die Terme leicsetzen. eispiel I = x leicsetzen II = x + 5 I = II x = x + 5 dditionsverfren Mn ddiert eide Gleicunen, wenn vor einer Vrilen etrsleice Koeffizienten steen, die ein untersciedlices Vorzeicen en. eispiel I x = 5 II x + = 7 I + II 6x = Ermittle rfisc die Lösunsmene. ) I x = ) I x = II x + = II x + = 6 c) I x + = 5 d) I 6 x = + II = x II x = e) I 0,5x =,5 f) I x = 0 II x = II x = 0,5+,5 estimme die Lösunsmene recnerisc mit einem Verfren deiner Wl. ) I x = + 5 ) I x 5 = II x + = 9 II x = 6 0 c) I 5 + = x d) I x + = 0 II x 6 = II 0,5x = 8 e) I x = 6 f) I 6x + 5 = 0 II + = 0,5x II x = + 7 ie Ncmittsvorstellun eines Wnderzirkus (00 Plätze) wr zur Hälfte usverkuft. Finde mitilfe des eildeten Preisscilds erus, wie viele Erwcsene und wie viele Kinder die Vorstellun esuct en, wenn die Einnmen für diese Vor stellun 5 etruen. Wie ätten sic die Ein nmen n diesem Ncmitt eändert, wenn nstelle jedes erwcsenen esucers ein Kind und nstelle jedes Kinds ein Erwcsener ekommen wäre? In einem rectwinklien reieck steen die Länen der Kteten im Verältnis :. Verlänert mn eide Kteten um jeweils cm, dnn nimmt der Fläceninlt um 0 cm zu. Wie ln sind die Kteten? Qudrtisce Gleicunsssteme ie Lösunsmene eines qudrtiscen Gleicunssstems knn mn durc ds Gleicsetzunsverfren und mitilfe der Lösunsformel estimmen. Geometrisc entsprict ds Voreen der estimmun der Scnittpunkte zweier Funktionsrpen. 8 9 estimme die Scnittpunktskoordinten uf R. ) f (x) = x + 5 ) f (x) = x + x + f (x) = x x + f (x) = x + 5x +,5 estimme die Lösunsmene. ) I = 0,5x + 5 ) I = x + II = x x + II = x + x 9

5 Fit für Klsse 0 usmmenäne im reieck In jedem reieck eträt die Summe der Innenwinkel stets 80 (Innenwinkelsumme). Konruenzsätze für reiecke: reiecke sind enu dnn konruent, wenn sie in der Läne ller Seiten üereinstimmen (sss). in der Läne zweier Seiten und dem Mß des einesclossenen Winkels üereinstimmen (sws). in der Läne einer Seite und dem Mß eider n - lieenden Winkel üereinstimmen (wsw). in der Läne zweier Seiten und dem Mß des der läneren Seite eenüerlieenden Winkels üereinstimmen (SsW). 0 Ermittle die Größen ller Innenwinkel eines reiecks. eründe deine erecnunen. ) α = β = γ ) γ = 5 α; β = α Konstruiere, wenn mölic, ds reieck (Plnfiur, eicnun, escreiun). Nenne den verwendeten Konruenzstz. ) = 5, cm; c =,8 cm; β = 70 ) =,8 cm; = 6,0 cm; c = 7,0 cm c) =, cm; α = 57 ; γ = 80 d) = 5, cm; γ = α; α = β Strlensätze. Strlenstz Werden zwei sic in scneidende Gerden von zwei Prllelen, die nict durc een, escnitten, dnn steen einnder entsprecende Streckenscnitte uf den Gerden durc im leicen Verältnis. Mölickeiten: = ; = estimme die Läne der rot mrkierten Strecken ( ). ) ) cm 5 cm 7 cm 5 cm cm cm c) d), dm 0 mm. Strlenstz Werden zwei sic in scneidende Gerden von zwei Prllelen, die nict durc een, escnitten, dnn ist ds Verältnis der Streckenscnitte uf den Prllelen leic dem Verältnis der Streckenscnitte uf den Gerden durc. 8 cm cm 0 mm Eränze im Heft die Verältnisleicunen ( ). 8 mm ' ' ' ' Mölickeiten: ' = ' ; ' = ' ) d) S S = S S LN = NK OK ) e) L S S = LK NK = KM c) f) N O K M = S OK = NL 0

6 Stz des Tles Liet der Punkt eines reiecks uf einem Hlkreis ( Tleskreis ) üer der Strecke ( ), dnn t ds reieck ei einen recten Winkel. M 5 eicne fünf versciedene rectwinklie reiecke,,... und 5 mit emeinsmer Hpotenuse der Läne 8,5 cm. Konstruiere jeweils ein rectwinklies reieck us den eeenen estimmunsstücken. ) = 5 cm = ; γ = 90 ) = 5 cm; c = 7 cm; γ = 90 Stz des Ptors er Stz des Ptors in der Eene In einem rectwinklien reieck t ds Qudrt üer der Hpotenuse den leicen Fläceninlt wie die Qudrte üer den Kteten zusmmen. llemein ilt: Ktetenläne + Ktetenläne = Hpotenusenläne 6 erecne die Länen der elen Strecken. ) ) cm cm 6 cm c) d) cm Mit den ezeicnunen in der ildun ilt kurz: + = c 7 cm 6,7 cm c c er Stz des Ptors in Körpern ie Hpotenuse liet dem recten Winkel eenüer. Ktete Hpotenuse Ktete 7 5 cm cm Üertre die Telle in dein Heft und erecne die felenden Werte. Läne von... ) ) c) d) Ktete cm 7 cm 8 dm Ktete 9 cm cm 0 dm Hpotenuse 7 dm 6 m d c d 8 estimme recnerisc die reite des Sees n der n eeenen Stelle. e e m In Qudern: Fläcendionle Rumdionle e = + d = e + c e = + d = + + c d = + + c ei Würfeln ilt speziell: e = d = 9 6 m Wie ln ist die Rumdionle eines Würfels mit der Kntenläne = 5 cm? eicne zunäcst ein Scräild dieses Körpers.

7 Fit für Klsse 0 Sttistisce Kennwerte: Le- und Streumße ritmetisces Mittel _ x : _ Summe ller Einzelwerte x = nzl der Einzelwerte Medin (entrlwert): mittlerer Wert in einer der Größe nc eordneten Liste von ten Modlwert: Wert mit der rößten soluten Häufikeit ie Spnnweite errecnet sic ls ifferenz zwiscen dem rößten Wert einer tenmene (Mximum) und dem kleinsten Wert (Minimum). 0 Geeen ist die Mene M = {; ;...; 7; 8}. ) Wäle fünf len us M so us, dss ir ritmetisces Mittel und ir Medin ist. ) Erkläre, wie roß ds ritmetisce Mittel von fünf len us M öcstens sein knn, wenn der Medin ist. ei einem Wettewer en sieen von ct Teilnemern 50, 8, 56, 8, 9, 5 und 5 Punkte erreict. Gi n, wie viele Punkte der cte Teilnemer t, wenn sic ls urcscnittswert 9 Punkte ereen. Lplce-Wrsceinlickeit ei einem ufllsexperiment knn jedem Ereinis eine Wrsceinlickeit zueordnet werden. Mn screit: P (E) Wrsceinlickeit des Ereinisses E Liet ein Lplce-Experiment vor, dnn ilt: nzl der für E ünstien Erenisse P (E) = nzl ller mölicen Erenisse Im Geenereinis _ E sind lle Erenisse entlten, die nict zu E eören. ie Wrsceinlickeit von _ E lässt sic der wie folt ermitteln: P ( _ E ) = P (E) ie Telle zeit ds lter der Scülerinnen und Scüler in der 0. lter Mädcen 6 June Unter llen Scülerinnen und Scülern wird eine Kinokrte verlost. Mit welcer Wrsceinlickeit ewinnt sie ) ein 5-järier June? ) eine Scülerin, die älter ls 5 Jre ist? Merstufie ufllsexperimente ufllsexperimente, die us mereren Teilexperimenten esteen, werden ls zusmmenesetzte ufllsexperimente ezeicnet. eispiel: -mlier Münzwurf W W W P (WW) = = Jeder Pfd entsprict einem Erenis. ei umdirmmen erält mn die Wrsceinlickeit für ein Erenis durc Multipliktion der Wrsceinlickeiten entln des zueörien Pfdes. (. Pfdreel) ie Wrsceinlickeit für ein Ereinis erit sic us der Summe der Wrsceinlickeiten ller Pfde, die zu diesem Ereinis eören. (. Pfdreel) us der eildeten Urne wird dreiml one urückleen je eine Kuel ezoen. ) eicne ein umdirmm. ) Üerlee dir selst mölice ufenstellunen, zu deren Lösun die nwendun der. Pfdreel und der. Pfdreel nöti ist. us den verdeckt lieenden lenkrten werden zwei zufälli usewält und die eiden druf steenden len ddiert.,5 Wie roß ist die Wrsceinlickeit, dss der Summenwert positiv (netiv, null) ist?