Lösungsblatt 04 Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt) (WS2007/08)

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1 Löungblatt 4 Mechanik Phyik, Wirtchaftphyik, Phyik Lehramt WS27/8 Wolfgang v. Soden wolfgang.oden@uni-ulm.de Abchlag vom Tor 2P Der Urprung de Kordinatenytem wird in den Torwart gelegt, der Stürmer bendet ich auf der x-ache und die y-ache it die vertikale Richtung. Al einzige äuÿere Kraft tritt die Erdanziehung in Ercheinung. Die Bewegunggleichungen lauten alo: ẍ = und ÿ = g 15.1 Die führt durch Integration zu den zeitabhängigen Orten de Balle, wobei der Anfangort im Urprung liegt und die Anfanggechwindigkeiten al Parameter auftreten: x = v x t 15.2 y = v y t 1 2 g t Hierbei mu noch gelten, da zum Zeitpunkt t x, zu dem y wieder Null wird, der Ball ich beim Ort x = x bendet: die führt zu 2 v x v y = g x 15.4 Die Zeit au 15.2 in 15.3 eingeetzt ergibt die Ortkurve de Balle: alo die Wurfparabel. Der Wurfwinkel φ ergibt ich au Die Anfanggechwindigkeit de Balle it v = v x 2 + v y 2 = y = g 2v 2 xx x 15.5 x tanφ = v y v x 15.6 v 2 x + gx 2v 2 = v 2 y + gx x 2v y Die Gechwindigkeit wird minimal bei v x = v y = gx 2 Diee Ergebni zeigt, da der optimale Wurf unter dem Winkel von π/4 erfolgt. Al Zahlenwert ergibt ich v x = v y = 2,66m/. Löungblatt vom c Univerity of Ulm, W. v. Soden

2 Löungblatt 4 Mechanik WS Bechleunigte Kurvenfahrt 2P Die gröÿte Radialbechleunigung bei einer Kreibahn it dort, wo die gröÿte Tangentialgechwindigkeit it, alo hier am Augang der Kurve. Die Radialbechleunigung it bei einer Kreibahn Damit it die Endgechwindigkeit fetgelegt zu a r = r ω 2 = v2 r 16.1 v end = a r,max r 16.2 Die Arbeit infolge der Tangentialbechleunigung it gleich dem Energieunterchied zwichen End- und Anfangzutand, alo W = 1 2 mv end 2 v anfang 2 = 1 2 ma r,max r v anfang Andrereit it die geleitete Arbeit über da Wegintegral der Kraft berechenbar: Die Kraft it hier kontant wegen der kontanten Tangentialbechleunigung und der Weg it ein Viertelkrei mit Radiu r, alo W = 2πr 4 ma bahn 16.4 Au 16.3 und 16.4 ergibt ich die Tangentialbechleunigung zu und die Maximalbechleunigung zu a bahn = 1 πr a r,max r v a max = a 2 bahn + a2 r,max 16.6 Mit den Zahlenwerten v = 3 km/h, r = 5 m und a r,max = 7,56m/ 2 ergibt ich v end = 7 km/h, a bahn = 1,96m/ 2, a max = 7,81m/ 2, der Winkel der maximalen Bechleunigung gegen die Fahrtrichtung it 75,5. Da Auto gerät nicht in Rutchen 17 Zentrifuge 2P Die gepeicherte Energie it ganz einfach die Leitung mit der Leitungdauer multipliziert, alo W = P t 17.1 Au Umdrehungfrequenz u und dem Umfang 2πr der Kreibahn ergibt ich die Tangentialgechwindigkeit zu v = u 2πr 17.2 Da die gepeicherte Energie nur Bewegungenergie it, gilt: W = 1 2 mv2 bzw. mit 17.1 und 17.2 und umgordnet m = 2P t u 2πr Die mittlere Bahnbechleunigung mit der Bechleunigungzeit multipliziert ergibt die Endgechwindigkeit, alo a t = v und mit 17.2 a = u 2πr 17.4 t Löungblatt vom c Univerity of Ulm, W. v. Soden

3 Löungblatt 4 Mechanik WS Die Radialbechleunigung Zentripetalbechleunigung bei einer Kreibewegung it a r = v2 r = u 2π2 r 17.5 Die dazugehörige Kraft, die Zentripetalkraft, leitet al Zwangkraft keine Arbeit. Die Kraft it auch immer enkrecht auf den Teilwegen, o da hier da innere Produkt immer Null it. Die Zahlenwerte eingeetzt ergibt: v = 91m/, a = 7m/ 2, m = 22g, W = 91Nm, a r 1,3 1 5 m/ 2 1,3 1 4 g 18 1m Lauf 1P Hier ind viele einfache Zuammenhänge mit einander verknüpft: Zuammenhang Weg mit Bechleunigung und Bechleunigungdauer für den 1. Teil de Laufe: 1 = 1 2 at Zuammenhang Gechwindigkeit mit Bechleunigung und Bechleunigungdauer für den 1. Teil de Laufe: v = a t Zuammenhang Weg mit Gechwindigkeit und Laufzeit für den 2. Teil de Laufe: Geamtweg = Summe der Einzelwege: Geamtzeit = Summe der Einzelzeiten: Arbeit = Endenergie im 1. Abchnitt Leitung = Arbeit pro Zeit im 1. Abchnitt Arbeit = Kraft multipliziert mit dem Weg im 2. Abchnitt Leitung = Arbeit pro Zeit im 2. Abchnitt 2 = v t = t = t 1 + t W 1 = 1 2 mv P 1 = W 1 t W 2 = F 2 2 = βv 2 2 = βv 3 t P 2 = W 2 t 2 = βv Mit den Angaben in der Aufgabentellung: = 1 m, t 1 = 2, t = 11, m = 65 kg und β =,3 kg/m ergibt ich t 2 = 2, v = 1m/, a = 5m/ 2, P 1 = 1675W und P 2 = 3W Löungblatt vom c Univerity of Ulm, W. v. Soden

4 Löungblatt 4 Mechanik WS Schlittenfahrt 1P Der Abhang de Berge hat eine Grundlinie l von l = /2 m = 216,5m und die Höhe h h = 125m. Damit it die Länge de Abhang 1 = Die Normalkraft der Mae m inarctan h l auf dieen Abhang it mg coarctan h l. Wegen de Energieatze it die Potentielle Energie am Anfang gleich der durch Reibung Gleitreibungkoezient µ, Wegtrecken 1 am Abhang, 2 in der Ebene verlorene, alo mgh = mgµcoarctan h coarctan h l l 1 + mgµ 2 = mgµ inarctan h l h h = mgµ tanarctan h l + 2 = mgµl Darau folgt ofort µ = h l Die gröÿte Gechwindigkeit herrcht am Fuÿ de Berge, alo zu dem Zeitpunkt, bei dem die Retenergie mgµ 2 noch nicht verbraucht it. Hier gilt 1 2 mv2 = mgµ 2 oder v = 2gµ Die Zahlenwerte eingeetzt ergibt µ =,1 und v 45 m/ = 162 km/h. Die Mae de Schlitten und einer Beladung pielt keine Rolle. Ebenfall geht nicht ein, wie teil der Berg it, der zum Schwungholen benutzt wird: e kommt nur auf die Höhe an, die betimmt, wie groÿ der horizontale Weg de Schlitten it. 2 Bremen oder Lenken? 2P Beim Bremen und auch beim Lenken kommt e darauf an, da die Haftreibung nicht überchritten wird. Dehalb gilt für da optimale Bremen mit Brembechleunigung a b m a b = m µ g 2.1 wobei µ der Haftreibungkoezient it und g = 9,81m/ 2 die Erdbechleunigung. Die führt mithilfe der Beziehungen v = at und = 1 2 at2 auf einen optimalen Bremweg von opt = v2 2µg 2.2 Wenn der Spalt in einem gröÿeren Abtand al opt ich bendet, it da Bremen der richtige Weg zur Vermeidung eine Unfall, in anderem Fall it da Umfahren de Spalte zu prüfen. Für da optimale Lenken mit a r al Zentripetalbechleunigung immer enkrecht zur Bewegungrichtung, die die Fahrtrichtung ändert, gilt m a r = m µ g 2.3 Die führt zu einer Kreibahn mit minimalen Krümmungradiu. Der optimale Krümmungradiu r hängt von der Tangentialgechwindigkeit v und der Zentripetalbechleunigung a r ab gemäÿ: r opt = v2 a r = v2 µg 2.4 Löungblatt vom c Univerity of Ulm, W. v. Soden

5 Löungblatt 4 Mechanik WS Damit it alle fetgelegt, der Ret der Rechnung it Geometrie. Wenn der Eckpunkt de Spalte auÿerhalb de kreiförmigen Wege liegt, hilft Umfahren de Hindernie. Vom Krümmungkreimittelpunkt au geehen bendet ich dieer Eckpunkt in der einen Richtung d weit weg und in der dazu enkrechten r opt w. E mu alo gelten zur Vermeidung eine Unfall: Die umgechrieben mu erfüllt ein: w < r opt r opt 2 d 2 = v2 µg d 2 + r opt w 2 > r opt v 2 µg 2 d 2 = v2 µg µgd Im angegebenen Beipiel ergibt ich: Bremen reicht nicht au, aber da Umfahren de Spalte it gerade möglich. Die Zuatzfrage, ob durch eine Brem-Lenk-Kombination ein Unfall zu vermeiden wäre, den weder optimale Bremen noch optimale Lenken verhindern können, mu geprüft werden. Wenn z.b. vom optimalen Grenz-Fahrkrei au begonnen wird, bi zum Stilltand optimal zu bremen, landet man unweigerlich im Abgrund, ofern man an dieem noch nicht vorbei it. Wenn man andrereit zuert bremt und dann optimal lenkt, gilt für jeden Abtand zum Spalt 2.6. w wird maximal, wenn der rechte Audruck unter der Wurzel µgd groÿ wird. Der gröÿte v 2 innvolle Wert dafür it 1 2, denn wenn dieer gröÿer wäre, würde reine Bremen aureichen. Dann egibt ich der Vorfaktor vor der Klammer in 2.6 zu dem doppelten kritiche aktuellem Abtand zum Spalt. Die kritiche Spaltweite it nun propotional zum Abtand vom Spalt, nimmt alo ab, wenn man ich dem Spalt nähert. Darau folgt, zuert Bremen und dann lenken hilft nicht, den Unfall zu vermeiden. Fazit: Entweder it der Abtand groÿ genug zum Bremen, dann breme. Oder veruche auf einer Seite ohne zu bremen vorbeizukommen. Letztere it natürlich mit dem Riiko verbunden, da e nicht reicht und die Unfallfolgen wegen der groÿen Gechwindigkeit auch groÿ ein können. v 2 21 Abchlag vom Tor mit Luftreibung 3P Fetlegung de Koordinatenytem: Der Torhüter bendet ich im Koordinatenurprung, die x-ache zeigt zum Stürmer, die y-ache in die Höhe. Ohne Seitenwind befände ich der Ball immer in der xy-ebene. Al äuÿere Kräfte auf den Ball wirken ein: Die Gravitation mit F g = m g und der Luftwidertand mit F L = ζv u de Balle mit der Gechwindigkeit v in Luft mit der u x Windgechwindigkeit u =. Die Bewegunggleichung de Balle lautet alo u z ma = F L + F g 21.1 Die in Komponentenchreibweie dargetellt ẍ ẋ u x m ÿ + ζ z ẏ ż u z + mg = 21.2 Löungblatt vom c Univerity of Ulm, W. v. Soden

6 Löungblatt 4 Mechanik WS oder etwa umgeordnet gechrieben: ẍ m ÿ + ζ z ẋ ẏ ż + ζu x mg ζu z = 21.3 Zuert wird unterucht, ob da Problem prinzipiell löbar it und dabei auch die Vorgehenweie dargetellt. Die DGl. ind linear und inhomogen. Zum Löen wird der übliche Anatz für olche homogene DGl. gemacht, für jede Koordinate ein eigener hier für die x-koordinate: x = x 1 expk x t + x 21.4 Dieer Anatz enthält jeweil 3 unbekannte Parameter für den homogenen Fall. Der partikuläre Anatz hier nur für y-koordinate y = y 2 t 21.5 zum Löen der inhomogenen DGL. benötigt weiter drei, je eine für jede Koordinate, alo ingeamt 12 Unbekannte. Hinzu kommen al Unbekannte die drei Komponenten der Anfanggechwindigkeit de Balle und die Flugzeit de Balle, alo ingeamt 16 zu betimmende Gröÿen. E tehen zur Verfügung die drei Dierentialgleichungen für die drei Koordinatenrichtungen und die zuätzlich nochmal für den partikulären Anatz, alo 6 Gleichungen. Die Anfangbedingungen für Ort und Gechwindigkeit und die Endbedingung für den Zielort liefern weitere 9 Gleichungen, je drei für die 3 Koordinaten. Die noch fehlende letzte Gleichung liefert die Forderung für minimalen Energieaufwand beim Ballabchlag, gleichbedeutend mit minimaler Abchlaggechwindigkeit. Da Problem it alo prinzipiell löbar. Der zu verwendende Anatz it die Summe au allgemeinen Anatz und partikulärer Löung. Durch Einetzen diee Anatze in die DGl. und mit den Anfangbedingungen ẋt = = v x und xt = = bzw. ẏt = = v y und yt = = owie żt = = v z und zt = = ergeben ich die Parameter zu k x = k y = k z = ζ m x 1 = u x v x m ζ = x mg m y 1 = v y ζ ζ = y z 1 = u z v z m ζ = z 21.6 Die in den Anatz eingeetzt ergibt die Zeitabhängigkeit der Koordinaten de Ball: x = m ζ v x u x 1 exp ζm t + u x t y = m v y + mg 1 exp ζm ζ ζ t mg ζ t z = m ζ v z u z 1 exp ζm t + u z t 21.7 Löungblatt vom c Univerity of Ulm, W. v. Soden

7 Löungblatt 4 Mechanik WS Zum Zeitpunkt t oll ich der Ball beim Stürmer benden, alo xt =, yt =, zt = ein. Die in 21.7 eingeetzt und nach den Anfanggechwindigkeiten umgetellt ergibt v x = u x + ζ u x t m 1 exp ζ m t = + u x 1 t v y = mg ζ + gt 1 exp ζ m t = g 1 t v z = u z ζ u z t m 1 exp ζ m t = u z 1 t 21.8 mit den Abkürzungen = m ζ und = [1 exp ζ m t ]. Die letzte Forderung lautet, da die Arbeit beim Abchlag minimal ein oll, d. h. da die Anfanggechwindigkeit de Balle minimal ein oll. Diee berechnet ich mit den Gechwindigkeiten au 21.8 zu v 2 t = = v 2 x + v 2 2 y + v z 21.9 Minimal heiÿt, da die Ableitung, hier nach der Trezeit t, der einzigen Variablen, Null ein mu. Somit ergibt ich = 2 [ u x + u ] [ xt u x + u ] xt 1 tc + 2 g 2 t 2 2 c + u z 1 t [ 1 + t ] 1 tc 21.1 Die gibt eine implizite Gleichung für t, die wahrcheinlich nur numerich gelöt werden kann. Auch im einfacheren Fall ohne Wind ergibt ich folgende implizite Gleichung für t da = t, die am einfachten numerich gelöt wird. = tc + 2 g2 2 1 t [ 1 + t ] 1 tc Für die geforderten Werte = 87m, m = 43g laut Regeln, ζ =,3kg/ ergibt ich bei Windtille t = 3,823, v x = 65,23m/ und v y = 26,24m/ Bei Gegenwind von u x = 2m/ und Seitenwind von u z = 15m/ ergäbe ich t = 2,337, v x = 96m/, v y = 14,5m/ und v z = 15,4m/ für einen optimalen Schu. Nun noch die Koordinaten de Balle und deen Gechwindigkeiten in der Parameterdartellung in Abhängigkeit der Zeit mit = m ζ : x = u x t 1 exp t 1 exp t + u xt y = g t 1 exp t 1 exp t gt z = u z t 1 exp t 1 exp t + u zt v x = u xt exp t 1 exp t + u x v y = gt exp t 1 exp t g v z = u zt exp t 1 exp t + u z Löungblatt vom c Univerity of Ulm, W. v. Soden