Potentialströmungen. ρ = konst., reibungsfrei, 2D. dω dt

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Otto Feld
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1 Potentialstömngen

2 Potentialstömngen ρ konst., eibngsfei, D dω dt idealisiete Stömng ν ealistische Stömng

3 Reibngseffekte n in dünnen Wandschichten inteessant. Afteilng : - Aßenbeeich Stömng wid eibngsfei nd dehngsfei angenommen. Analse mittels d. Th. dehngsf. Stömng - Innenbeeich Reibng füht. a. Diffsion de Wibelstäke Ablösng ω Ablösng ω

4 Potentialfnktion, Stomfnktion, Lalace Gleichng ω ot Lösng de Imlsgleichng Identität : ot gad f gad Φ ω ot gad Φ Bestgsglg. on Φ di di gad Φ Lalace Gleichng de Potentialfnktion da

5 Definition on : Kontinitätsgleichng efüllt Bestimmng on dch ω eben Lalace Gleichng de Stomfnktion Vegleich on nd : Cach- Riemann DGL

6 , konst. Potentiallinien, konst. Stomlinien d d d d d d d d d d 1 d d 1 d d d d 1 d d Cach-Riemann : Stomlinien können sich nicht schneiden keine Kom. nomal konst.

7 Somit gilt : n s konst. n t n s s n kinematische Randbedingng Flidelemente gleiten af de Kont Beechnng des Volmenstoms übe d dv& b dn t d dn tdn n d V& bd

8 Beechnng de Dcketeilng ode bekannt, Imlsehaltng fü eibngsfeie Stömngen Ele Gleichng t 1 b ρ Identität : nte Beücksichtigng de Dehngsfeiheit Potential : b g stationä : t einseten nd integieen : ρ ρg konst. Benolli

9 Gleichngen sind linea Seosition möglich,... n Elementastömngen mit 1 weden neen Stömngen sammengesett. n a i i 1 i,... 1, n ai bekannt, angeasst an Poblem Komlee Potentialfnktion k : Theoie de komleen Fnktionen wichtig fü die Analse de Lalaceschen Diffeentialgleichng

10 Definition : komlee Geschwindigkeit : konjg. komlee Geschwindigkeit : i w i w die Fnktion ist die komlee Potentialfnktion F efüllt die Lalace Gleichng d w F d d i d d wd F Lalace Gleichng :,, i d i d d d i d d,, i d F d F d df i d df F d F d F d df d df F

11 bw. F bescheibt Potentialstömng F : analtische Fnktion Singlaität : F F d F d d F d i d df F ode ode Cach-Riemann nicht efüllt konst. nd konst. nicht othogonal! Bs. : ln F F 1 analtisch aße in! analtisch aße in!

12 Seositionsini ach fü F : F bekannt w i df d Geschwindigkeitseteilng Dcketeilng Vogehensweise hie : Vogabe on F D, inkomessibel Beisiele fü die komlee Potentialfnktion Winkel- nd Eckenstömng : a F n a n n n a n i cos n i sin n n R, a a ± ia i n a n e i n

13 nächst : a R a n a n Stomlinien : konst. n n cos n sin n n sin n konst. sin n K : n K K,1,,... n K 1: > n n : > 1: < < 1 1 > n > : < < site Winkel konkae Ecke konee Ecke n n

14 k 1, n n konst. site Winkel : n k n, konst. Θ > konkae Ecke : > n > 1 konst. wobei Θ n 1 n Θ < konee Ecke : 1 > n > 1/

15 df n1 w a i ; mit d bw. n a 1 e i konkae Ecke n > 1 : sofen konee Ecke n < 1 : sofen Stomlinien anhand on d d tan n [ 1 ]

16 Paallelstömng 1 n i ia a a F i i ia a a w d df i a a a a a i i, a i > i a a > i a a

17 n a F i Ebene Stanktstömng a a konst. : a ist Element de eellen Zahlen 1 ~ gleichseitige Hebel w df d a a ia i a d a d

18 Isotachen : a Isobaen : ρ a

19 Qelle ode Senke E F a ln ln E ln E a E ln e i konst. : Keise m den Usng konst. : Stahlen dch den Usng w df d E i E E

20 geeignete in Polakoodinaten E > : Qellstömng E < : Senkenstömng E 1 E / a b V E / & bw. : 1 ~ [ ] [ ] Eb ab a a b b V & Singla.

21 Potentialwibel Vetaschen on nd c c ln F i ic ln 1 1 c konst. c :? konst.

22 Γ d c R : Γ R c R Γ Γ F i ln,, Γ ln Wibelkomonente in Polakoodinaten 1 ω Γ, c konst. ω [ ] fü? ω, denn Γ bedingt Dehng Stokes bei eistiet eine Wibellinie ode Stabwibel Stömngsebene

23 Diolstömng h Qelle Senke EQelle ESenke E 1 Bedingng : E ~ bw. M Eh konst. fü h h Diolstömng mit Diolmoment M nd Diolachse.

24 d d 1 ln i i M M h h M F h ln ln lim M M - Gleichng liefet Stomlinien : Keis mit Zenten nd Radien siehe Skie 4, M 4 M / 4 4 M M

25 e i cos i sin i Mltilikation mit i Rotation m /. D. h. im statt M M bw. M 4 M 4 konst As M F folgt : w df d M i

26 M M M cos 4 M sin 4 ~ 1/ Singlaität bei Halbköe Paallelstömng Qellenstömng F E ln k E Kontstomlinie

27 bw. die Geschwindigkeitskomonenten : Koodinaten des Stankts ln 4 ln E E E E E Koodinaten des Stankts Wandstomlinie :? im Stankt on Wet s k E s s : :

28 E s s ma. Halb beite h bei : : h, sin E E k k sin E k k h E Dcketeilng :? E h k 1 c ρ ρ ρ

29 Dcketeilng af de Kont : cos sin cos E k k sin sin sin E k k 1 1 h h c sin sin cos 1 1 c k Additionstheoeme : sin sin sin cos sin Stankt : 1 c sin sin c k bw.

30 c 4 c fü bw. c 1 Kont des Halbköes Keislinde Paallelstömng Qellenstömng Senkenstömng EQ geschlossene Wandstomlinie Es

31 Abstand on Qelle Senke Diolstömng Paallelstömng Diolstömng sin cos M M M M M F bw. sin M w sin 1 cos M M

32 Stankte bei nd R M R M Wandstomlinie ; Geschwindigkeit af sin

33 : 3 ode Dcketeilng af Kont : k k ρ ρ ρ 4sin 1 1 c k k k Potentialtheoie Potentialtheoie smmetische -Veteilng keine esltieende Kaft d Alembetsches Paadoon

34 Addition eines Potentialwibels Seitenkaft R R i R F ln sin cos ln Γ Γ Γ R 1 cos R fü Stankte :? R Γ 4 sin R 1 sin 1 Γ R sin Γ

35 R R R Γ > Γ Γ < Stankte 1 Stankt keine Lösng af de Kont, jedoch ein feie Stankt 1,, Γ R R R Γ Γ ± R n > R beücksichtigen

36 R < Γ 4 R > Γ 4 R Γ 4 Potentialwibel ΓSeitenkaft Magns Effekt Dcketeilng af de Kont Γ sin R k ρ ρ ρ

37 bw. Kaft in - Richtng : sin 1 Γ R c k ρ R d L k sin L ~ Γ Γ Γ Γ L d d L ρ ρ ρ cos 1 sin Ktta, Zhkhoski

38 Aftiebssat on Ktta Zhkhoski Fü beliebige ebene Köe gilt : L ρ Γ eibngsfeie Stömng : dd d dl d

39 infinitesimale Kaft Gesamtkaft Dcketeilng id d d id id d idl dd C d i il D i i 1 ρ ρ ρ d C ρ d i i i il D i i ρ ρ ρ

40 d d e i i e i d i i d i d eell nd i d D il i ρ C i d i ρ C df d d I. Blasissche Fomel gültig fü ebene, stat., dehngsfeie Stömngen Fnktionentheoie : Integation af jede beliebigen Kont möglich, sofen keine Singlaitäten wischen Köe nd gewählte Kont.

41 hie : Stömng sett sich. a. as Sing. sammen, die sich jedoch innehalb des Köes befinden. Wahlkont weit entfent om Köe E iγ M F ln ln... i E Qi E si Köeobefläche ist geschlossen I. Blasissche Fomel : D il Residensat : iρ i M... Γ d c f d i Res[ f ]

42 Res [f]:? i i Γ Γ Γ 4 Γ Γ L D i i i il D ρ ρ Somit eschwindet die Widestandskaft nd die Seitenkaft ist ootional Somit eschwindet die Widestandskaft nd die Seitenkaft ist ootional Ziklation!

43 Entstehng de Ziklation n Köe mit schafen Hintekanten eegen Γ e. Egebnis

44 oangegangene Dastellng : dehngsfeie Stömng, Γ steigt an Γ Γ Γ Ktta Stankt B af de Obefläche A,B wanden af de Obefläche B af de Hintekante Hothese on Ktta : Stömng übe ebenen, schafkantigen Köe besitt gena die Ziklation Γ, so dass B af de Hintekante liegt. Ktta Bedingng

45 Wam genügt eine ealistische Stömng de Ktta Bedingng? afgeollte Scheschicht D Anfahwibel Γ A Γ C B

46 Sat on Thomson : Γ m jede geschlossene Ke ist konstant, wenn die Ke in eine eibngsfeien Stömng bleibt. Γ ABCD t > t, da ΓABCD t Γ ABD komensie t Γ BCD Γ Anfah Γ Ktta n bewikt keine Osillation des hinteen Stanktes D.h. Viskosität ft wa D heo, jedoch ebenfalls Γ nd somit L.

47 Schweewellen H : mittlee Tiefe a / λ << 1 nd a / H << 1 H << >> λ ηklein Reibng hat keinen Einflss af Wellenasbeitng Bewegng as de Rhe dehngsfeie Analse

48 ζ, t bescheibt die Osillationen, dehngsfeie Stömng Potential einfühen Randbedingngen : Annahme : a klein ζ : H : ζ klein in Kontinitätsgleichng : dζ dt ζ t ζ ζ ζ ζ

49 t << ζ ζ somit : Taloentwicklng dnamische Randbedingng bei ζ : ζ ζ ζ t... ζ ζ dnamische Randbedingng bei : mittels Benolli Gleichng : a ζ, ~ 1 g t F f t F g t ρ ρ

50 ζ : gζ t mit t ζ t ζ t... : t gζ Zsammenfassng des Poblems mit RB : Annahme : H : : ζ, t ζ, t a cos k ωt gζ t k λ : Wellenahl ω : Keisfeqen T bw. λ T, c ω kc c : Phasengeschwindigkeit

51 Bedenkt man die Bedingngen ζ t nd gζ t folgt als Ansat fü : f sin k ω t f, k bw. ω nbekannt Lalace egibt : d d f k f allgemeine Lösng : f Ae k k Be k k Ae Be sin k ωt A, B as Randbedingngen - H B kh kh Ake Bke sin k ωt Ae kh

52 : : t t ζ sin sin sin t k B A k t k Be Ae k t k a t k k ω ω ω ω ζ aω B A k 1 kh kh e a e k a A ω ω 1 kh kh e k e a B ω sin sinh sinh cos sinh cosh sin sinh cosh t k kh H k a t k kh H k a t k kh H k k a ω ω ω ω ω ω

53 Zsammenhang wischen c, ω, k übe die dnamische Bedingng ζ nd in gζ t aω cosh kh cos k ωt ga cos k ωt k sinh kh ζ ω gk tanh kh c ω k g k tanh kh gλ tanh H λ c f k k g c ω f k : disesie Wellen heißt Disesionsbeiehng Gleichng * fü : H / λ >> 1 nd H / λ << 1

54 H / λ >> 1 tanh 1 Näheng : tanh KH > 1.75 bw. H >.8λ gλ c g k 3 % gena Tiefwassewellen, sofen H >.8λ ; c f λ, c f H H / λ << 1 tanh H / λ << 1 tanh H H λ λ c gh Genaigkeit besse 3% fü H / λ <.7λ Flachwassewellen, sofen H <.7λ; c f λ, c f H

55 Bemekng Beechnng on Flachwassewellen Wellenbeg tief H konst. flach in Standnähe : c gh Dehng de Wellenbege aallel Küste in Richtng Stand Wellen imme aallel Küste; sie teffen senkecht af den Stand af

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