T = ( ) oder Druck ( )

Transkript

1 A Vektoanalsis efinieen bzw beehnen Sie folgende Gößen und ekläen Sie die Bedeutung: Skalafeld Funktionen on meheen Veändelihen im Raum f f (,,z), bei denen jedem Punkt ein Skala, also eine ungeihtete Göße zugeodnet wid, weden als Skalafelde bezeihnet, zb Temeatu T,,z,,z als Funktion des Otes T ( ) ode uk ( ) Vektofeld Wid jedem Punkt im Raum ein Vekto, also eine geihtete Göße zugeodnet, weden diese Felde als Vektofeld bezeihnet, zb Geshwindigkeitsfelde,,z X,,z,Y,,z,Z,,z ( ) ( ( ) ( ) ( )) 3 Gadient eines Skalafeldes f f (,,z) Bs: f f f gad f,, f 3 e gad f 3 igenshaften: e z z z z ( e e, e e, e ) ( 3,, ) ( 3 e, 3e 3, 3) ( e, 3 e 3, 3) gad f e Vekto ( ) f (,, ) z gad zeigt in Rihtung des stäksten Anstiegs des Feldes f an de Stelle, falls gad f ( ) iegenz eines Vektofeldes ( X (,,z),y (,,z),z(,,z),) X Y Z di Bs: (,, z) di ( os ) di,, ( ) ( ) igenshaften: Stellen mit di > weden als 'Quellen' bezeihnet, Stellen mit di < als 'Senken' iegenz Quelldihte bzw giebigkeit 5 Roto (ode Rotation) eines Vektofeldes ( X (,,z),y (,,z),z(,,z),) Bs: Z Y X ot, Z Y X, (,e z,z ) ot (, os,e ) (, os,e ) ot (, 8, ) (,, e 8 )

2 igenshaften: in Vektofeld mit ot heißt 'wibelfei in Vektofeld ist in G genau dann ein Potentialfeld, wenn es in G wibelfei ist, dh wenn gilt ot 6 Nabla-Oeato e Nabla-Oeato ist ein sog iffeential-oeato zu eeinfahten Sheibweise de Oeationen gad, di und ot Sind f f (,,z) ein Skalafeld und (,,z) ( X (,,z),y (,,z),z(,,z) ) ein Vektofeld, dann läßt sih eeinfaht sheiben f f f f gad f,, X Y Z di i ot X j Y k Z Z Y X, Z Y X, 7 Lalae Oeato e Lalae-Oeato Δ läßt sih aus dem Nabla-Oeato ableiten Fü ein Skalafeld f f,,z gilt ( ) f Δ f di gad f f f 8 Linienintegal Ist (,,z) ein Vektofeld und C : ( t ),a t b eine ue im efinitionsbeeih on, so esteht man unte dem Linienintegal on längs de ue C das bestimmte Integal b C d : ( () t ) & ( t)dt a Ist ( () t, () t, z() t ), so muß man im Vektofeld (,, z) ( X (,, z),y (,, z),z(,, z), ) setzen: () t, () t, z z() t und dann das innee Podukt aus und & on t a bis t b integieen Bs: (,, z) ( 3, z, z ) Im Vektofeld setzen: 5 ( () t ) t 3, t, t t 5 6 t & t 8t t t 3t 6t, C : ( t,t,t ), t 3 t, t, z t & t t,, 3t ( ) ( ()) ( ) b 5 6 d : ( () t ) & ( t) dt ( 8t t t 3t 6t ) dt C a

3 A bene albköe in öhenzug besitzt die Fom eines ebenen albköes und wid mit de Geshwindigkeit angestömt Bei / befindet sih eine Wettestation ie Stömung stelle sih als Potentialstömung ein 3 [m/s] 5 [m] 8 [hpa] ρ [kg/m³] a) Wie goß ist die imaginäe Quellstäke? b) In welhe öhe h muß sih ein Segelflugzeug übe de Wettestation aufhalten, damit es keine öhe eliet? as igenken des Flugzeugs betägt S 7 m/s ) Wie goß ist die ukabweihung und Δ/ in % und de ukbeiwet an de Wettestation? d) In welhe öhe muß das Flugzeug am Fuß des öhenzugs fliegen, damit es niht kt? Lsg a) Imaginäe Quellstäke s m b) Geshwindigkeit in -Rihtung s m S 7 Φ S Beehnung de -oodinate aus de Stomfunktion des ebenen albköes: Ψ Wettestation liegt bei / 9 eingesetzt in S S [ ] m Flughöhe h übe de Wettestation 5 68 h [ ] m h 657

4 ) ukbeiwet ( ) 6 ukabweihung und uk an de Wettestation [ ] Pa ρ ρ % Δ d) Flughöhe des Segelflugzeugs Am Fuß des öhenzugs gilt (siehe Teilaufgabe b): S Stkt beehnen: tan : Stkt Stkt eingesetzt S S, S ± [ ] 68 m,

5 A3 bene albköe In einem zweidimensionalen anal soll die Stömung in zwei gleih goße Teilstöme aufgeteilt weden azu befindet sih an de Stelle, an de sih de analqueshnitt eweitet, eine zweidimensionale Zunge ie analkontu ist so auszulegen, daß die Stömung als Übelageung eine ebenen Tanslationsstömung mit eine Quellstömung, definiet weden kann geg: B m 5 m/s ges: a) Quellstäke b) Potential- und Stomfunktion in Polakoodinaten ) ( ) d) Wie goß ist fü de Wet de Stomlinie de analwand? e) Gleihung de analkontu in de Fom f() f) Geshwindigkeitseteilung im Stömungsfeld w/ f(/, ) g) ukbeiwet auf de -Ahse bei / -6, -5, - Lsg a) Quellstäke m s b) Potential- und Stomfunktion in Polakoodinaten Potentialfunktion: Φ Φ Tans ΦQuelle Φ os ln Stomfunktion: Ψ Ψ Tans ΨQuelle Ψ ) ( ), dh fü, also weit stomaufwäts o de Lie, betägt de analduhmesse B m, also B ( ) m d) Wie goß ist fü de Wet de Stomlinie de analwand? Stomfunktion, allg (in Polakoodinaten): Ψ Stomfunktion, analwand (Tanslatoishe Teil in katesishen oodinaten):

6 Ψ mit ( ) m folgt s m Ψ e) Gleihung de analkontu in de Fom f() Aus de efinition de Stomfunktion egibt sih, daß im eibungsfeien Fall, jede beliebige Stomlinie auh als öekontu angenommen weden kann analkontugleihung, wid auh duh die Lösung aus d) efüllt: Ψ mit folgt [ ] / [m] f) Geshwindigkeitseteilung im Stömungsfeld w/ f(/, ), siehe 'ebene albköe' os w g) ukbeiwet auf de -Ahse bei / -6, -5, -, egibt sih aus Benoulli-Gleihung os w mit, os folgt /

7 A Rotationsssmmetishe albköe Vodeteil eines Flugzeugumfes (Radius R R 35 [m]) wid bis zum Übegangsbeeih duh einen otationssmmetishen albköe (Radius R [m]) angenähet ges: a) -ontu (Δ ) b) Bestimmung eine geeigneten Stelle zu Messung des statishen uks ) Wet und -Position on,min Lsg a) -ontu (Δ ) R Stauunkt o de Quelle R Stkt [ m]

8 b) Bestimmung eine geeigneten Stelle zu Messung des statishen uks (dh es soll de mgebungsduk gemessen weden, also ) ρ uketeilung an de Obeflähe eines albköes 3 Subsitution liefet ξ 6 ξ 3 ξ ξ ξ ξ, ± ξ, ξ a a ξ a ξ b ξ, ± b ξ 8, ξ Position auf de Obeflähe des Flugzeugumfes ( 35 6) R 7 53 ( ) 5 [ m] [ m] 5[ m] os( 7 53 ) [ m] Stkt os 83 ) Minimale ukbeiwet temwetbestimmung de uketeilung liefet d d 3, und < 33 d, min d ξ 3ξ 33 ξ ξ ξ ± ξ 3 6 6, ξ Position auf de Obeflähe des Flugzeugumfes ( ) ( 35 6) ( 9 7) ( min ) R 3 6 ( ) ( ) os [ m] 3 6 [ m] os( 9 7 ) 3 [ m] min Stkt min 55 [ m] 667

9 A5 Induziete Abwind (Biot-Saat) Bestimmen Sie den Abwind und den induzieten Abwindwinkel in de Mitte und am nde des öhenleitweks Gewiht: m g [ N ] 3 Luftdihte: ρ [ kg m ] Fluggeshwindigkeit: V [ m s] Flügelflähe: S 667 [ m ] Lsg m g Auftiebsbeiwet: C A ρ V S utta-joukowsk: A ρ b V ρ m g V S C m g ρ b V A [ m s] Mitte des öhenleitweks 5 3 w i,m w w I II smmetish w I, m ( os os ) b 88 s w II, m ( os ) b 3 7 s wi,m wi wii s w,m Δ α i i,m 57 3 V

10 Außenkante öhenleitwek b tan 63 35, os 7 b b tan 3 69, os , os3 5 3b , os 89 w I, a ( os os ) b 7 s w II, a ( os ) 36 3b 3 s w III, a ( os ) b 5 wi,a wi,a wii,a wiii, a 8 s s Δ α i,a w i, a V

11 A6 Beehnung de uketeilung an einen que angestömten Zlinde Beehnen Sie die uketeilung an de Obeflähe eines Zlindes mit dem Radius R [m], de sih in eine ebenen Tanslationsstömung mit u [m/s] befindet und dem eine Zikulation de Stäke -R u [m²/s] übelaget wude Lsg Stomlinienbild eines mit de Geshwindigkeit in -Rihtung que angestömten Zlindes in inkomessible Stömung egibt sih aus de Übelageung on zwei lementastömungen: Tanslationsstömung Potentialfunktion Φ, u os Stomfunktion Ψ, u ( ) ( ) Geshwindigkeiten Ψ, u ( ) os ψ (, ) u iol (iolahse -Ahse) Potentialfunktion M os Φ (, ) ( ) Geshwindigkeiten Ψ M os (, ) ψ M (, ) Stomfunktion M Ψ, Gesamtstömung Tanslationsstömung iol: Potentialfunktion M os Φ (, ) u os Stomfunktion M Ψ (, ) u Geshwindigkeiten Ψ, u M os M ( ) os ψ (, ) u Stomlinienbild bei Smmetishe mstömung ohne Zikulation mit smmetishen Stauunkten () und ()

12 Beehnung des iolmoments M ie Obeflähe des Zlindes wid beshieben duh eine keisfömige Stomlinie mit dem Radius R wobei die Stomfunktion den Wet Null annimmt, dh M Ψ ( R, ) u R R M u R R M u R Que angestömte Zlinde mit eine Zikulation ie mstömung eines otieenden Zlindes bzw eines Zlindes mit eine Zikulation egibt sih aus de mstömung des stehenden Zlindes duh inzufügen eines Potentialwibels mit de Zikulation (Ahtung: > wid definiet als ein gegen den hzeigen, also linksdehende Potentialwibel) Potentialwibel: Potentialfunktion Φ, Stomfunktion Ψ, ln ( ) ( ) Geshwindigkeiten Ψ, ( ) (, ) ψ Gesamtstömung Tanslationsstömung iol Potentialwibel Potentialfunktion M os Φ Stomfunktion M (, ) u os Ψ (, ) u ln Geshwindigkeiten Ψ, u ( ) os (, ) ψ u M os M Stomlinienbild bei smmetishe mstömung mit Zikulation mit asmmetishen Stauunkten () und ()

13 Beehnung de uketeilung an de Zlindeobeflähe fü -R u, R m und u m/s u R egibt sih fü die Geshwindigkeiten an de Zlindeobe- Mit dem iolmoment M flähe, dh R ( R, ) u os ( R ) u R os R u R, u u R R Benoulli Gleihung: ρ Stkt u ρ u u ρ u R u R u R u R mit -R u, R m und u m/s folgt ( ) [-] hi [deg]