Theoretische Mechanik

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1 Theoetische Mechanik Amand Faessle Institut fü Theoetische Physik Ebehad Kals-Univesität Tübingen Auf de Mogenstelle Tübingen Deutschland 3. Mäz 006

2 INHALT Newton sche Mechanik. Newton sche Gesetze Zentales Kaftfeld n wechselwikende Teilchen Lagange sche Bewegungsgleichungen 5. Zwangsbedingungen: Das D Alembetsche Pinzip Lagange Gleichung (. At) Zyklische Koodinaten Ehaltungssätze Kleine Schwingungen Theoie de kleinen Schwingungen Das Doppelpendel De lineae Schwinge Modell des Festköpes: Die lineae Kette Lineae Kette mit veschiedenen Massen Stae Köpe Tanslation und Rotation des staen Köpes - die Eule-Winkel Die Eule schen Gleichungen De Schwee symmetische Keisel Rotieendes Koodinatensystem Gavitationstheoie Gavitationskaft - Gavitationsfeld Gavitationspotential Feldgleichungen Beispiele Die kanonischen Bewegungsgleichungen Die Hamilton schen Bewegungsgleichungen Kanonische Tansfomationen Veschiedene Vaiationspinzipien Die Hamilton-Jacobi-Theoie 7 7. Einleitung Die Hamilton-Jacobi-Theoie fü nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion Die Hamilton-Jacobi-Theoie fü explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion Die Hamilton-Jacobi-Gleichung als Genzfall de Schödingegleichung in de Quantenmechanik Beispiele zu Hamilton-Jacobi-Theoie (zeitunabhängig) Spezielle Relativitätstheoie 8 8. Konstanz de Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Lichtkegel und Eigenzeit Die Loentz-Tansfomation Vieevektoen Die Vieegeschwindigkeit De 4-dimensionale Gadient Relativistische Newton sche Bewegungsgleichung Lagange- und Hamilton-Funktion in de elativistischen Mechanik

3 Kapitel Newton sche Mechanik Ausgeabeitet von B. Hügle und J. Spilgies. Newton sche Gesetze Die klassische Mechanik wude begündet mit den Newton schen Gesetzen = 687. Lex pima: Ein Teilchen bewegt sich ohne äußee Kaft mit konstante Geschwindigkeit entlang eine geaden Linie F = 0 v = const Lex secunda: Die Impulsändeung ist gleich de Kaft, die auf das Teilchen wikt. d dt (m v) = F De Impuls p = m v ist das Podukt aus Masse und Geschwindigkeit, wobei täge Masse = schwee Masse. Lex tetia: Actio est Reactio F = F ( F = Kaft, die auf Teilchen wikt aufgund de Wechselwikung mit Teilchen.) Diese Gesetze sind nicht in allen Systemen efüllt (z.b. nicht auf de Ede). Die Systeme, in denen sie efüllt sind, nennt man Inetialsysteme. Wi weden voest nu solche behandeln. Wi wollen nun ein Teilchen definieen: Ein Teilchen ist definiet als Punktteilchen, das duch. die Masse m. den Ot 3. die Geschwindigkeit d dt = v festgelegt ist. Oft ist die Masse konstant, dann kann man die Lex secunda scheiben: d d (m v) = m dt dt v = m a = F Dies ist nicht de Fall bei eine Rakete ode bei elativistische Betachtung von Teilchen mit seh goßen Geschwindigkeiten. Dann gilt fü m:

4 m = m 0 v c Die Lex pima ist ein Spezialfall de Lex secunda: mit c = [cm/sec]. Fü v c m a = F m = 0 Impulsehaltung: aus d dt (m v) = F, F = 0, m = const v = const W. W. Abb..: p + p = W.W. = p + p Aussehalb des WW-Gebietes wiken keine Käfte. Innehalb des WW-Gebietes wiken die Teilchen aufeinande. nach Lex tetia gilt: nach Lex secunda gilt: F + F = 0 t t ( F + F )dt = 0 (.) einsetzen in (.) egibt: d dt p = F ; d dt p = F (.) t mit Woten: Gesamtimpuls ist stets unveändet. t d dt ( p + p )dt = 0 [ p + p ] t t = 0 (.3) p + p = p + p Enegieehaltung: Wi betachten ein Teilchen in einem äußeen Kaftfeld F( ): Abeit ist die Enegie, die auf ein Teilchen übetagen wid: A = E (def) = (t ) (t ) F( )d Lex sec (t ) (t ) m d (dt) (dt) 3

5 Die kinetische Enegie ist definiet: [ ] t t = m dt = t m m = (def) = T( ) T( ) (.4) t Wi wollen beweisen: T = mṙ = m (.5) Daaus folgt: F( ) = Aus () E = A = U( ) Enegieehaltung (t ) d F( ) = (t ) (t ) (t ) U( ) U( ) = T( ) T( ) (nach Gl. (.4)) U( )d = T( ) + U( ) = T( ) + U( ) (.6) in Woten: unte Voaussetzung, dass sich F( ) scheiben lässt als U( ), gilt: Die Summe aus kinetische und potentielle Enegie ist stets unveändet. (.) E = const F( ) = U( ) Es ist zu zeigen, dass U( ) eine eindeutig bestimmte Funktion ist. Zwischen den Zeiten t und t efäht das Teilchen eine Enegieändeung E = A = (t ) (t ) F( )d = T( ) T( ) = U( ) U( ) Als nächstes wid gezeigt, dass die geleistete Abeit vom Weg unabhängig ist. (t ) (t ) Abb..: (t ) = (t ) (t ) = (t ) F( )d = 0 Kaftfeld ist wibelfei, keine geschlossenen Feldlinien (Enegieehaltung). Wi wählen U() = 0 C + C = 0 C... = C 0 = C... C 4

6 C C Abb..3: Benutzen wi als Refeenzpunkt, so folgt daaus, dass das Integal F( )d eine eindeutige Funktion des Otes ist. F( )d = U( ) F( ) = U( ) (.7) Fü gewöhnlich nimmt man als Refeenzpunkt, dann ist U( ) = 0, ode man wählt den Nullpunkt, dann ist U(0) = 0. U( ) ist das Potential des Kaftfeldes F( ). Existiet ein Potential, so nennt man das Kaftfeld konsevativ F( ) = U( ) F() ist konsevativ Eindimensionales konsevatives System: Aus dem Enegiehaltungssatz folgt Auflösen nach ẋ egibt: E = const = mẋ + U(x) Integation egibt: dx [ ] / dt = ẋ = m (E U(x)) dx dt = [ ] / m (E U(x)) t t 0 = x x 0 [ m (E U(x)) ] / dx (.8) Aus t = f(x) folgt x = f (t), die gesuchte Bahngleichung des Teilchens im Kaftfeld mit dem Potential U(x). Beispiel: Hamonische Oszillato U(x) = ax F = ax F = x U(x) U(x) = ax F(x) = a x Hooke sches Gesetz 5

7 K,U m x Abb..4: t t 0 = x x 0 dx m (E ax ) (.9) Da m (E ax ) > 0 sein muss E/a < x < E/a. Dies nennt man die klassischen Umkehpunkte. In diesen Umkehpunkten ist die Gesamtenegie potentiell U(+ E/a) = (/)a( E/a) = E. Sei zuzeit t = t 0, x = 0, so egibt sich fü (.9): t t 0 = ax m/ ac sin (/)a /ae Keisfequenz ω (def) = a/m = πν Übe die Bewegungsgleichung ehält man dasselbe Egebnis: x = E/a sin a/m(t t 0 ) (.0) Dies ist eine Diffgleichung. Odnung. Ansatz: x = A cos(ωt) + B sin(ωt) d dt mẋ = ẍ + a m x = 0 Mit den Anfangsbedingungen t = t 0 x 0 = 0 egibt sich ax (Lex secunda) x = 0 = A cos(ωt) B sin(ωt) = C( sin ωt 0 cosωt cosωt 0 sin ωt) = C sin(ω(t t 0 )) 6

8 Damit egibt sich fü die Diffgleichung: Wi ehalten damit: ω C sin ω(t t 0 ) + a m C sin ω(t t 0) = 0 C lässt sich duch Angabe de Enegie beechnen: ω + a m = 0 ω = a/m [ ] x = C sin a/m(t t0 ) E = mẋ + ax [ = C m a/m ] cos ω(t t 0 ) + a sin ω(t t 0 ) = a C C = E/a Die Enegie ist popotional zum Quadat de Amplitude C.. Zentales Kaftfeld Abb..5: Definition de zentalen Wechselwikung F = f(, )( ) F = f( )( ) Die Zentalkaft ist die Kaft, die stets in Richtung de Vebindung zweie wechselwikende Teilchen wikt. In einem zentalen Kaftfeld ist die auf ein Teilchen wikende Kaft imme auf den gleichen Punkt geichtet. Theoem: Ein zentales, konsevatives Kaftfeld hängt in folgende Weise vom Abstand zum Uspung ab. Beweis: Nach Voaussetzung gilt: F( ) = f( ) (.) F() = U( ) }{{} konsevativ 7 = f( ) }{{} zental

9 0 Abb..6: F( ) = f( ) Definition de Zentalkaft Zelegung de Kaft und Umechnung in Polakoodinaten egibt: F x ( ) = F y ( ) = F z ( ) = Zu zeigen ist U( ) = U( ), das heißt: U( ) x U( ) y U( ) z = f( )x = f( ) sin θ cosφ = f( )y = f( ) sin θ cosφ = f( )z = f( ) cosθ U() 0; U() θ = 0; U() φ = 0 U( ) () U( ) U( ) = U( ) x x + U( ) y y + U( ) z z = U( ) sinθ cosφ + U( ) sinθ sin φ + U( ) x y z = f( ) [ sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ ] = f( ) cosθ U( ) () θ U( ) θ = U( ) x x θ + U( ) y y θ + U( ) z z θ = ( )f( ) [ cosθ cos φ sin θ + sin θ cosθ sin φ sinθ cosθ ] = ( )f( ) [ cosθ sin θ(cos φ + sin φ) cosθ sin θ ] = 0 U( ) (3) φ U( ) φ = U( ) x x φ + U( ) y y φ + U( ) z z φ = ( )f( ) [ sin θ cosφ sinφ + sin θ cosφ sinφ ] = 0 U( ) hängt also nu von ab, das heißt U( ) U(). Wählen wi den Refeenzpunkt im Unendlichen, das heißt U( ) = 0, so egibt sich: U() = Beispiel: De hamonische isotope Oszillato Poton-Elekton-Wechselwikung: f()d q.e.d. (.) 8

10 U Abb..7: U() = /a U() Coulomb = e Neuton-Neuton-Wechselwikung (Yukawa Potential): Gavitationspotential: U() n,n = V e /µ /µ mit µ = =, 4fm m π c U() Sonne Ede = G m E m s s Theoem: Die Bewegung eines Teilchens im zentalen Kaftfeld ist eben. Beweis: qualitativ v Abb..8: F, da F( ) = f( ) da m a = F( ) = f( ), existiet keine senkechte Beschleunigung zu Ebene (, v). Beweis: exakt J( ) def p = (yp z zp y, zp y xp z, xp y yp x ) J( ) = } {{ m } + } {{ m } = De Dehimpuls ist eine Ehaltungsgöße. Da J zu und J = const, ist stets in de gleichen Ebene. Teilchen in einem deidimensionalen, konsevativen und zentalen Kaftfeld: Nach de Lex secunda existieen dei Diffeentialgleichungen zweite Odnung. Die Lösung hat demnach sechs Integationskonstanten, d.h.: folgende sechs Funktionen sind zu bestimmen: 9

11 j (t ) y (t) (t ) x Abb..9: Ebene Bewegung Da das Kaftfeld konsevativ und zental ist, gilt x (t), y (t), z (t), v x (t), v y (t), v z (t) a) Dehimpulsehaltung (zentales Feld, dei Ehaltungsgößen), d.h., die Bewegung ist eben. Daduch eduzieen sich die unbekannten Funktionen auf 3. b) Enegieehaltung (konsevatives Feld), daduch eduziet sich das Poblem auf die Lösung von zwei Diffeentialgleichungen, die aus den Bewegungsgleichungen gefunden weden müssen. Da die Bewegung eben ist, kann man die x,y-ebene in die Bewegungsebene legen m = U() mẍ = U() x mÿ = U() y Damit egibt sich fü die beiden obigen Diffeentialgleichungen: mẍ = U() cosφ; mÿ = U() Wi wollen jedoch nicht die Bewegungsgleichungen, sonden die Ehaltungssätze benutzen: Da die Bewegungsebene (x,y-ebene) duch und p aufgespannt wid, hat J nu eine z-komponente ( J = p). Wi können aufgund de Ehaltungssätze scheiben: a) b) J = J z = xmẏ ymẋ E = m(ẋ + ẏ ) + U() sinφ 0

12 y φ x Abb..0: = x + y ; x = x = cosφ; y = x = sin φ Z > J Y p X Abb..: Umechnung in Polakoodinaten x = cosφ y = sin φ ẋ = ṙ cosφ φ sin φ ẏ = ṙ sinφ + φ cosφ egibt: a) J z = m(ṙ cosφ sin φ + φ cos φ ṙ cosφ sin φ + φ sin φ) J z = m φ (.3)

13 b) E = m(ṙ cos φ ṙ φ cosφ sin φ + φ sin φ + (.4) + ṙ sin φ + ṙ φ cosφ sinφ + φ cos φ) + U() E = m(ṙ + φ ) + U() Die Dehimpulsehaltung wid auch als Flächensatz bezeichnet. (t+dt) dφ o dφ Abb..: df = dφ; df dt = F = φ (t) F = φ wid als Flächengeschwindigkeit definiet. Damit kann man Gl. (.3) scheiben als J = J z = m F. Aus de Dehimpulsehaltung folgt damit, dass die Flächengeschwindigkeit const. ist. Aus Gl. (.3) und (.4) eliminieen wi jetzt φ: E = mṙ + m ϕ + U() = mṙ + J + U() = m ( ) (.5) T ad + T ot + Pot. Enegie Ueff =U()+T ot Abb..3: T ot wid oft als zentifugales Potential bezeichnet und de potentiellen Enegie zugeschlagen. U eff = U() + T ot wid als effektives Potential bezeichnet. Das Minimum von U eff füht zu stabilen Bahnen. Die Zentifugalkaft beechnet sich als

14 F Zen = J m = J (m φ) = m3 m 3 y v v Abb..4: Mit V = φ egibt sich: F Zen = mv = m φ = mω (.6) Fomal ist (.5) ein eindimensionales Poblem, das sich wie die Gleichung (.8) lösen lässt: t t 0 = 0 [ m( E J m U())] / d = G()d (.7) 0 Übe den Dehimpulssatz wid t eliminiet: J = m φ = m dφ dt dφ = J m dt Wi setzen Gleichung (.7) in de Diffeentialfom in Gleichung (.8) ein und ehalten φ(). (.8) Anwendung auf das Zweiköpepoblem: Gl. (.7) dt = G()d J dφ = m G()d J [ φ φ 0 = 0 m ( E J m U())] / d. Sonne - Ede U() = G mems = γ (G = dyn cm g ). Elekton (Positon)-Poton (Coulomb Pot. im H-Atom) U() = (±) e 3

15 3. Neuton-Neuton (Yukawa-Potential) U() = c e /ν /ν (Austausch von π-mesonen) µ = m =, 4fm =, πc 40 3 cm Bis jetzt können wi nu Einköpepobleme lösen: E s s E Abb..5: m s s = F SE ; m E E = F ES Zu Lösung von Zweiköpepoblemen fühen wi die Schwepunkt- und Relativkoodinaten, sowie die eduziete Masse ein: 0 m E E + m s s R = def. (.9) m E + m s (Schwepunktkoodinate) = def. E s (.0) (Relativkoodinate) F ES eechnet sich dann aus:: µ = m E m s m E + m s m E (.) (eduziete Masse) = E S = FES FSE = ( + ) FES m E m S m E m S m E + m S m E m F ES = µ = F ES S Mit m E + m S = M ehält man die Beschleunigung des Schwepunktes: M R = M m E E + m S S m E + m S = F ES + F SE = 0 Das bedeutet: De Schwepunkt bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit entlang eine geaden Linie. Damit haben wi das Zweiköpepoblem auf ein Einköpepoblem zuückgefüht. µ = F( ) (.) 4

16 Dies wenden wi nun auf das Keple Poblem an: Das Potential zwischen Ede und Sonne betägt: U() = γ mit γ = Gm E m S und = E S Fü die Kaft F() gilt: x = F() = + γ = hiebei ist = x + y + z x x + y + z = x ; y = y ; γ ( x, y, ) z und damit z = z Damit egibt sich fü F() = γ ( x ; y ; z Setzen wi nun U() = γ/ in die Gleichung ein: φ φ 0 = Substituieen wi z = dz = d so folgt: ) = γ J [ 0 µ ( E J µ + γ ) ] / d φ φ 0 φ φ 0 = J = / [µ ( E J µ z + γ z )] / dz / 0 / dz / µe 0 J + µγ J z z Es gilt: dx C + bx + ax = a ac sin ax + b b ac + c fü a < 0 Daaus ehält man: C = µe J ; b = µγ J ; a = φ φ 0 = ac sin z + µγ J µ γ J + µe 4 J + C C ziehen wi mit in die Anfangsbedingung hinein und ehalten Damit ehalten wi fü z(φ): φ φ 0 = ac sin µγ J z µ γ J + µe 4 J z(φ) = µ γ J 4 + µe J sin(φ φ 0 ) + µγ J 5

17 Fü φ 0 scheiben wi: φ 0 + π Hiemit ehalten wi späte fü den Kegelschnitt die Nomalfom. sin(φ φ 0 ) = sin ( φ φ 0 π ) = cos(φ φ0 ) Weitehin machen wi die Substitution z = ückgängig und ehalten: (φ) = (φ) = µ γ J + µe 4 J cos(φ φ 0 ) + µγ J J µγ α cos(φ φ 0 ) + mit α = def + EJ µγ (.3) Dies ist die Gleichung eines Kegelschnittes Diskussion des Resultates: y ε. a φ F b a F x Abb..6: Ellipse + = a = a Nach dem cos-satz gilt 4a 4a + = + (εa) εa cos(π φ) = + 4ε a + 4εa cosφ a( ε ) = ( ε cosφ); = a( ε ) + ε cosφ a = b + ε a b = a ε 6

18 y F ε.a b φ F εạa x Abb..7: Hypebel = a (echte Zweig) = a (linke Zweig) = + (ε a) εa cos(π φ) 4a ± 4a + = + 4ε a + 4εa cosφ a( ε ) = ( + ε cosφ) = Diskussion des Ede-Sonne-Poblems: a( ε ) + ε cosφ ε a = a + b b = a ε echte Zweig (-); linke Zweig (+) (.4) µ = m E m S m E + m S = m E γ = Gm E m S Wegen m S >> m E liegt de Schwepunkt des Systems beinahe im Sonnenmittelpunkt. = E S bescheibt die Bahn de Ede um die Sonne. Wi hatten die Edbahn beechnet zu: (φ) = J µγ + α cosφ mit α = + EJ µγ Vegleich mit a( ε ) = ± + ε cosφ mit + ; ε < Ellipse mit ± ; ε > Hypebel Man ekennt sofot α ε Aus diese Gleichung lassen sich Rückschlüsse auf die Enegie ziehen. 7

19 Ellipse: Hypebel: () Ellipse ε <, E < 0: Beechnung de beiden Halbachsen: ( ε ) = ( + EJ µγ ) = EJ µγ > 0 E < 0 ( ε ) = ( + EJ µγ ) = EJ µγ < 0 E > 0 Beechnung de Umlaufszeit τ a( ε ) = J µγ a = J ( ε )µγ J a = µγ(ej /µγ = γ E = Gm Em S E b = a ε = a EJ µγ = a E γ J µγ = a J µγa τ = F F = πab J/( µ) mit F = Flächengeschwindigkeit (.5) τ = ν J πa a J µγa }{{} b τ = 4µ J π a 4 J µγa τ = 4µπ γ a3 3. Keple sches Gesetz (.6) Keple sche Gesetze Die Masse fällt im ditten Keple schen GEsetz aus, da µ m E.. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit de Sonne im Bennpunkt (609). De Leitstahl übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Dehimpulsehaltung) (609) 3. Die Quadate de Umlaufszeiten vehalten sich wie die Kuben de goßen Halbachsen (68) () Hypebel: ε > ; E > 0 Beispiele: Komet von außehalb des Sonnensystems (echte Zweig) Steuung von positiv geladenen Teilchen an Atomkenen (linke Zweig) Den zweiten Fall wollen wi nähe untesuchen. Expeiment von Geige und Masden: Geige und Masden schossen α-teilchen ( 4 He Kene) auf eine so dünne Goldfolie, dass die Teilchen im Allgemeinen mit nu einem Goldatom wechselwiken konnten. Wi ehalten das Potential zwischen α-teilchen und Au-Atom e 79e U() = α Au = Z Z e γ = Z Z e E > 0 Bahnkuve ist Hypebel 8

20 α Päpaat Goldfolie Abb..8: α 4 He Gold Au 8 Photoplatte ode Zinksulfidschim Da die Kaft abstoßend ist, müssen wi den linken Zweig (+) benutzen: = a( ε ) + ε cosφ y F Φ ρ a s Z F x ε.a Z Abb..9: 9

21 Die Enegie beechnet sich zu: π θ = β θ = π β tg θ ( π ) ( = tg β = tg β π ) = ctgβ = a b tg θ a = a ε = ( ε ) ( / EJ ) / = µγ tg θ ( mα γ ) / m α m Au = µ = EJ m α + m Au wegen m α << m Au gilt: µ m α De Dehimpuls beechnet sich zu: E = m αv 0 V 0 = Geschwindigkeit vo dem Stoß Duch Einsetzen ehalten wi: ( θ tg = f(s) = ) J = p = p sinα = p s s = Stoßpaamete m α γ m α v 0 p s = γ γ (m αv0 4 = s ) / m α v0 s (.7) Kleine Steuwinkel Goße Steuwinkel goße Stoßpaamete s kleine Stoßpaamete s dθ x s Au Θ ds Abb..0: Die Wahscheinlichkeit, den Ring zwischen s und s + ds und damit Winkel zwischen θ und θ +dθ zu teffen, ist popotional zu Fläche dσ = πsds. Aus Gleichung (.7) folgt γ ds cos dθ = θ/ mv0 s (.8) Einsetzen von ds in die Flächengleichung egibt ( - Zeichen entfällt, da Fläche positiv) 0

22 Beechnung von s aus Gleichung (.7) und einsetzen egibt: dσ = π γ γ 3 (mv 0 ) dσ = πsds = πs3 mv0 γ cos dθ (.9) θ/ cos 3 θ/ ( sin 3 θ/ cos θ/ dθ = π Z Z e ) cosθ/ (mv0 ) sin 3 θ/ dθ = π ( Z Z e ) sin θ sin 4 dθ (.30) θ/ mv 0 In Wiklichkeit hat man einen Stom von Teilchen j = Teilchen/(sec cm ) N(θ) = Teilchen/sec gesteut in < θ Damit ehält man den Wikungsqueschnitt d0 N(θ + dθ) Nθ = [cm ] dθ j n n = Anzahl de Tagetteilchen Diese Ruthefod-Fomel bescheibt das Expeiment von Geige und Masden bis zu einem Stoßpaamete von 0 cm. Daunte taten im Expeiment Abweichungen auf. Daaus schloss Ruthefod, dass die Masse des Atoms in einem positiven Ken von 0 cm konzentiet ist. do dθ π π Θ Abb..: De Ruthefod sche Wikungsqueschnitt ist in de Quantenmechanik unveändet..3 n wechselwikende Teilchen Wi nehmen an, es wike zwischen allen Teilchen eine zentale konsevative Kaft. Zental: Fij ( i, j ) = f( i, j )( i j ) Konsevativ: F ij ( ij ) = i U ij ( i ; j ) beides: Fij ( ij ) = f( ij )( i j ) = i U ij ( ij )

23 3 3 4 Abb..: mit: [ x i ij = (x i x j ) x + (y i y j ) + (z i z j ) = x i x ] j i ij = ij U ij ( ij ) ij ij Die Kaft, die total auf ein Teilchen i wikt, beechnet sich als die Summe alle Einzelwechselwikungen. Die Bewegungsgleichung heißt dann: F i = k( =i) F ik = i U ik ( ik ) k( =i) m i i = F i (... u ) i n Enegiesatz: E = T + U = n n m j j + U jk ( jk ) j= j < k damit die potentielle Enegie zwischen j-tem und k-tem Teilchen nicht doppelt gezählt wid. De Ansatz fü die potentielle Enegie ist duch die Kaft geechtfetigt, wie jetzt gezeigt wid: F i = j<k U jk ( jk ) = j<k i U ik ( ik ) i U ji ( ji ) (i<)k = i U ik ( ik ) k( =i) Die zeitliche Ändeung de Enegie = 0 Enegieehaltung j(<i) q.e.d. de dt = Ė = j m j j j + j k j U jk ( jk ) j = j m j j j + j F j j = j (m j j F j ) j = 0 da m j j = F j q.e.d.

24 Impulsehaltung: p = p = Dehimpulsehaltung: n m i i i= n m i i = i= = da p = i j= U ij ij i j n F i = i= n i j= U ij ij i j ij = ( ij symmetisch ist i U ij ( ij ) i j U ( ij i j + j ) i = 0 q.e.d. ij ij ij U ij i j + U ij j ) i ; ij ij ij ij j i J = i i x p i = i m i i x i d J dt = i m i i x i da i x i = 0 = i j i x i U ij ( ij ) U ij ij ( ix j) ij = i x U ij ij ij ij i j dj dt = i x U ( ij i ) j ij ij i j = U ij ( i j ) = 0 ij ij i j da sich die in eine n n Matix dastellen lassen, die wegen de Antisymmetie des Vektopoduktes, anti-symmetisch ist, und damit beim Aussummieen übe alle Gliede (i j) veschwindet. Viialsatz (bedeutsam fü die Mechanik und Quantenmechanik): Definition des Viials: V (def) = i F i i ; [V ] = [Abeit] = [Enegie] V = i m i i i = d dt ( i V = d dt ( ) m i i i i m i i ) m ii T Wi bilden die zeitliche Mitteilung: V = lim t t t+ t t t+ t V dt = lim t t t = lim t t[ d dt d dt i m i i i m ii dt T ] t+ t t T 3

25 Wenn wi annehmen, dass und endlich bleiben, so geht de este Tem wegen t gegen 0. Somit egibt sich de Viialsatz: T V = 0 (.3) Wi nehmen an, U() ist eine homogene Funktion des Gades g im konsevativen Feld U(,... n ) = Daaus folgt n c i g i i= g = ( g) = gg Das Viial ist dann V = i F i (,... i,... n ) i = i i i U(,... i,... n ) = gu(,... n ) Aus dem Veialsatz folgt dahe T gū = 0; E = T + Ū E (g + )Ū = 0 ( + g)ū = E, (g + ) T = ge Anwendungen: Hamonische Oszillato U = a g V = F V = a = U Nach Viialsatz folgt: T = Ū; E = Ū = T Coulombfeld, Gavitationsfeld U = γ ; g V = γ Nach Viialsatz folgt: E = T; T = Ū; E = Ū 4