Quantenmechanik eines Teilchens in drei Dimensionen

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1 Kapitel 5 Quantenmechanik eines Teilchens in dei Dimensionen 5.1 Schödinge Gleichung im Zentalpotential Ausgangspunkt ist die stationäe Schödinge Gleichung in dei Dimensionen, H ψ() = 2 2m 2 + V () ψ() = E ψ(). Wi sind an kugelsymmetischen Poblemen inteessiet, d.h. V () = V () (5.1) mit =. Um de Symmetie geecht u weden, bescheiben wi das Poblem in Kugelkoodinaten (, ϑ, ϕ) (Abbildung 5.1(a)), also ψ() = ψ(, ϑ, ϕ). (5.2) Die Umechnung wischen katesischen und Kugelkoodinaten ist x = sin ϑ cos ϕ, y = sin ϑ sin ϕ, = cos ϑ. De Laplace-Opeato in Kugelkoodinaten ist Δ = 2 = 2 x y (5.4) = sin ϑ sin ϑ ϑ ϑ 2 sin 2 ϑ ϕ

2 5.2. DREHIMPULS ϑ ϕ dϕ dϑ dϑ (a) Kugelkoodinaten. (b) Flächenelement 2 dω. dϕ Abbildung 5.1: Kugelkoodinaten. 5.2 Dehimpuls Definition De Dehimpuls Opeato ist in Otsdastellung gegeben duch L = p = i (5.5) und hat im katesischen Koodinatensystem die Komponenten L x = i y, (5.6a) y L y = i x x, (5.6b) L = i x y y. (5.6c) x Opeato Relationen Das Betagsquadat des Dehimpulsopeatos ist L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2. (5.7) 103

3 5.2. DREHIMPULS Fü die Kommutatoen findet man (vgl. Übung) [L i, L j ] = i ε ijk L k, (5.8a) L 2, L i = 0. (5.8b) In Analogie u Diskussion beim hamonischen Osillato fühen wi Auf- und Absteige Opeatoen ein, L + := L x + i L y, (5.9a) L := L x i L y. (5.9b) Diese efüllen die Relationen [L +, L ] = 2 L, (5.10a) [L, L ± ] = ± L ±, (5.10b) L 2, L ± = 0. (5.10c) Dabei ist u beachten, dass L x, L y und L hemitesch sind, L ± hingegen nicht. Daübe hinaus kann man L 2 duch L ± und L ausdücken, L 2 = L + L L + L 2. (5.11) Die Relationen (5.10) und (5.11) bestätigt man duch Nachechnen Dehimpuls in Polakoodinaten Wi wollen nun den Dehimpuls Opeato (in Otsdastellung) duch Polakoodinaten ausdücken. Dau vewenden wi die Kettenegel, L = i x y y x ϑ ϕ = i sin ϑ cos ϕ y + y ϑ + y ϕ ϑ ϕ sin ϑ sin ϕ x + x ϑ +. x ϕ Da = x 2 + y ist, gilt sowie x = x, y = y und = cos ϑ = und tan ϕ = y x. Fü die Komponenten des Dehimpulses in Polakoodinaten findet man nach Rechnung, dass L = i ϕ, 104 (5.12a)

4 5.2. DREHIMPULS und L y = i cos ϕ cot ϑ sin ϕ ϑ ϕ L x = i sin ϕ cot ϑ cos ϕ ϑ ϕ L 2 = 2 1 sin ϑ ϑ sin ϑ + 1 ϑ sin 2 ϑ, (5.12b). (5.12c) 2 ϕ 2. (5.13) De Opeato de kinetischen Enegie ist nun 1 T = 2 2m 2 = 2 2m 2 H() = 2 2m L2 2m 2. Fü ein Zentalpotential ist de Hamilton Opeato invaiant unte Rotationen im 0 3, d.h. nicht von den Winkeln ϕ und ϑ abhängig, 2 + L2 + V (). (5.14) 2m 2 Es gibt wei Opeatoen, nämlich L 2 und L, die sowohl mit H als auch unteeinande kommutieen, 0 = H, L 2 = [H, L ]. (5.15) Wi hätten anstatt L ebensogut L x ode L y nehmen können, abe nicht beispielsweise L und L x gleicheitig, da L nicht mit L x kommutiet. M.a.W. können wi nu eine Komponente des Dehimpulses in de Quantenmechanik gleicheitig messen. Es ist eine weitvebeitete Konvention, das Koodinatensystem so anulegen, dass das die Komponente ist. Insbesondee haben wi wei Opeatoen identifiiet, die Ehaltungsgößen entspechen (vgl. die Diskussion de Ehaltungsgößen auf Seite 86), {L 2, L } Ehaltungsgößen. (5.16) Daübe hinaus bilden die Enegie, das Betagsquadat und die Komponente einen Sat gute Quantenahlen, Eigenwete von {H, L 2, L } gute Quantenahlen. (5.17) Eigenfunktionen des Dehimpulses (Kugelflächenfunktionen Y m ) Betachte die kommutieenden Opeatoen L 2 und L, L 2, L = 0. 1 Zu Einneung: In de klassische Mechanik ist T = p2 2m + L 2 2m

5 5.2. DREHIMPULS Nach dem Theoem auf Seite 82 gibt es also einen gemeinsamen Sat von Eigenuständen, m, wobei sich bw. m auf die Eigenwete bgl. L 2 bw. L beiehen. Die ugehöigen Eigenfunktionen in Otsdastellung weden Y m (ϑ, ϕ) beeichnet, Y m (ϑ, ϕ) = ϑ, ϕ, m. Diese sog. Kugelflächenfunktionen Y m sind damit ebenfalls chaakteisiet duch die Quantenahlen und m, d.h. L 2 Y m (ϑ, ϕ) = a Y m (ϑ, ϕ), L Y m (ϑ, ϕ) = b m Y m (ϑ, ϕ). Gemäß de Diskussion in Abschnitt 4.8 beeichen a und b m gute Quantenahlen. Nun sollen Y m, a und b m bestimmt weden. Dau machen wi den Ansat Y m (ϑ, ϕ) = Θ(ϑ) Φ(ϕ). (5.18) Einseten in die Eigenwetgleichung fü den L Opeato liefet i dφ dϕ (ϕ) = b m Φ(ϕ) Φ(ϕ) = e i bm ϕ/ =: e i m ϕ mit b m = m. 2 Somit ist L Y m (ϑ, ϕ) = m Y m (ϑ, ϕ) (5.19a) bw. Wegen L, m = m, m. (5.19b) Y m (ϑ, ϕ + 2π) = Y m (ϑ, ϕ) muss m ganahlig sein. Bemekung: Die Wellenfunktion ψ (bw. die Eigenfunktion des Dehimpulses) ist nicht beobachtba, sonden nu ψ ψ. Somit gilt das Agument steng genommen nicht. Späte weden wi Objekte mit halbahligem m kennenlenen, die bei eine Rotation um 2π in Minus sich selbst übegehen. 2 Achtung: Dieses m beeichnet nicht die Masse! (Wi folgen de Standad Notation, die an diese Stelle etwas unglücklich ist.) 106

6 5.2. DREHIMPULS Wie wikt L ± auf, m bw. Y m? Aus L 2, L ± = 0 und [L, L ± ] = ± L ± folgt L (L ±, m) = L ± L, m ± L ±, m und entspechend = (m ± 1) (L ±, m) (5.20a) L (L ± Y m ) = (m ± 1) (L ± Y m ). (5.20b) Also ist L ±, m wiede Eigenustand bw. L ± Y m wiede Eigenfunktion u L mit Eigenwet (m ± 1), d.h. L + bw. L ehöht bw. vemindet die Quantenahl m um 1. Wie wikt L 2 auf L ±, m bw. L ± Y m? Aus L 2 (L ± Y m ) = L ± L 2 Y m = a (L ± Y m ) folgt, dass L ±, m auch Eigenustand bw. L ± Y m auch Eigenfunktion von L 2 ist. Insbesondee ändet L ± den Eigenwet von L 2 (Gesamtdehimpuls) nicht. Wi beeichnen aus Günden die etwas späte kla weden a := 2 ( + 1). Wesentliche Eigenschaften de Zahlen und m eschliessen sich aus de Nomieung, (L ± Y m, L ± Y m ) = (Y m, L L ± Y m ) = Y m, L 2 L 2 L Ym Da die Nom (5.21) positiv ist, haben wi = 2 ( + 1) m 2 2 m 2 (Y m, Y m ) = 2 ( ( + 1) m (m ± 1)). (5.21) ( + 1) m (m + 1) fü m > 0, ( + 1) m (m 1) fü m < 0. Das impliiet ( + 1) m ( m + 1) m. Fene impliiet (5.21) L ± Y m = ( + 1) m (m ± 1) Y,m±1 (5.22a) 107

7 5.2. DREHIMPULS bw. L ±, m = ( + 1) m (m ± 1), m ± 1. (5.22b) Beeichne mit m max das gößtmögliche m, d.h. L +, m max = 0 bw. L + Y mmax = 0. Also muss die Wuel in (5.22b) veschwinden, ( + 1) = m max (m max + 1) (5.23) und damit ist ganahlig. Analog finden wi m min =. Fait. Die Y m sind Eigenfunktionen u L 2 und L, L 2 Y m (ϑ, ϕ) = 2 ( + 1) Y m (ϑ, ϕ), (5.24a) L Y m (ϑ, ϕ) = m Y m (ϑ, ϕ), (5.24b) wobei = 0, 1, 2,... und m +. In de Diac Notation bedeutet das, dass wi Eigenustände, m u L 2 und L gefunden haben mit L 2, m = 2 ( + 1), m, (5.25a) L, m = m, m. (5.25b) Die Y m (ϑ, ϕ) egeben sich duch Pojektion, Y m (ϑ, ϕ) = ϑ, ϕ, m. Beispiel ( = 1). Wi haben L = ( + 1) = 2 und m = 0, 1, 1. Also gilt fü den Ewatungswet m von L = 1, m L = 1, m {0, +, }. 108

8 5.2. DREHIMPULS. Wi e- Kugelfunktionen Θ m und ugeodnete Legende Polynome P m innen uns an unseen uspünglichen Ansat (5.18), de mit Φ = e i m ϕ Y m (ϑ, ϕ) = Θ m (ϑ) e i m ϕ (5.26) liefet. Aus de Eigenschaft (5.24), L 2 Y m (ϑ, ϕ) = 2 ( + 1) Y m (ϑ, ϕ), folgt die Legendesche Diffeentialgleichung 1 sin ϑ m2 sin ϑ ϑ ϑ sin 2 + ( + 1) Θ m (ϑ) = 0. (5.27) ϑ Fü die Lösung diese Diffeentialgleichung sett man nun fü Θ m Polynome in cos ϑ an, Θ m (ϑ) P m (cos ϑ). (5.28) Dain beeichnen die P m die sog. ugeodneten Legende Polynome P m (ξ) = ( 1)m 1 ξ 2m /2 d m mit ξ := cos ϑ, m 0 und den Legende Polynomen P (ξ) = 1 2! dξ m P (ξ) (5.29) d dξ ξ 2 1. (5.30) Duch Einseten veifiiet man, dass die P m (cos ϑ) die Legendesche Diffeentialgleichung (5.27) lösen. Aus (5.30) ist esichtlich, dass P m ( ξ) = ( 1)+m P m (ξ). (5.31) Die P m efüllen die Othogonalitäts Relationen +1 1 dξ P m m (ξ) P (ξ) = 2 ( + m)! ( m)! δ δ mm (5.32) fü m > 0 und m > 0. Um u eeichen, dass die Kugelflächenfunktionen Y m ichtig nomiet sind, foden wi fü m 0 den Zusammenhang ( m)! Y m (ϑ, ϕ) = ( + m)! 4π P m (cos ϑ) ei m ϕ. (5.33) 109

9 5.2. DREHIMPULS Eigenschaften de Kugelflächenfunktionen Y m. (1) Die Y m sind Eigenfunktionen de Dehimpuls Opeatoen L 2 und L. Wi können scheiben Y m (ϑ, ϕ) = ϑ, ϕ, m. (5.34) (2) Gleichung (5.33) liefet eine expliite Dastellung duch die ugeodneten Legende Polynome. (3) Es gibt eine Relation wischen Y m und Y m, Y m (ϑ, ϕ) = ( 1) m Ym (ϑ, ϕ). (5.35) Die komplexe Konjugation kommt aus dem Fakto e i m ϕ, das von den P m. (4) Kugelflächenfunktionen u veschiedenen und/ode m sind othogonal, dω Y m (ϑ, ϕ) Y m(ϑ, ϕ) =, m, m = δ δ m m. (5.36) Dabei beeichnet dω das infinitesimale Obeflächenelement (Abbildung 5.1(b)), dω := π 2π dϑ sin ϑ dϕ = 1 2π d(cos ϑ) dϕ In Diac Notation bedeutet das, dass, m, m = δ δ m m. (5) Die Y m sind vollständig, =0 m= Y m (ϑ, ϕ) Y m(ϑ, ϕ ) = 1 sin ϑ δ(ϑ ϑ ) δ(ϕ ϕ ) = δ(cos ϑ cos ϑ ) δ(ϕ ϕ ). (5.37) (6) Paität (P beeichnet hie den Paitätsopeato) P Y m (ϑ, ϕ) = Y m (π ϑ, ϕ + π). (5.38) Wie aus Abbildung 5.2 esichtlich ist, gilt, dass 110

10 DREHIMPULS ϑ ϕ y x Abbildung 5.2: Raumspiegelung in Kugelkoodinaten. äquivalent ist u de Tansfomation de Kugelkoodinaten, ϑ π ϑ, ϕ ϕ + π. Die Kugelflächenfunktionen Y m eben von den Legende Polynomen die Eigenschaft (5.31) P Y m (ϑ, ϕ) = ( 1) Y m (ϑ, ϕ). (5.39) Wi finden also, dass Y m geade ungeade ist falls geade ungeade ist. (7) Die expliite Fom einige Kugelflächenfunktionen ist Y 00 (ϑ, ϕ) = Y 10 (ϑ, ϕ) = 1, 4π 3 4π cos ϑ, 111 (5.40a) (5.40b)

11 5.3. ZENTRALPOTENTIAL 3 Y 1,±1 (ϑ, ϕ) = 8π sin ϑ e±i ϕ, 5 Y 20 (ϑ, ϕ) = 16π (3 cos2 ϑ 1), 15 Y 2,±1 (ϑ, ϕ) = 8π sin ϑ cos ϑ e±i ϕ, 15 Y 2,±2 (ϑ, ϕ) = 32π sin2 ϑ e ±2i ϕ. (5.40c) (5.40d) (5.40e) (5.40f) Die ϑ Abhängigkeit de Kugelflächenfunktionen kann duch die Poladiagamm Dastellung (Abbildung 5.3) vedeutlicht weden. In Abbildung 5.4 wid die ϑ Y m 2 (ϑ) y x Abbildung 5.3: Poladiagamm Dastellung. ϑ Abhängigkeit von einigen Y m geeigt. 5.3 Zentalpotential Fagestellung. Es geht daum, die Eigenfunktionen des Hamilton Opeatos fü ein Zentalpotential, d.h. fü V () = V ( ) = V () u bestimmen. Ausgangspunkt ist die eitunabhängige Schödinge Gleichung H ψ() = 2 2m L2 2m 2 + V () ψ() = E ψ(). Es gibt dei veschwindende Kommutatoen, H, L 2 = 0 = [H, L ] = L, L 2. (5.41) Daaus folgt, dass es ein gemeinsames System von Eigenfunktionen u H, L 2 und L gibt. Wi suchen also nach Zuständen E,, m, die duch die Quantenahlen E, 112

12 5.3. ZENTRALPOTENTIAL (a) Y (b) 3 Y (c) 5 Y 1±1 2. (d) 5 Y 2±1 2. Abbildung 5.4: Poladastellung einige Kugelflächenfunktionen. Einige Y m wuden eskaliet (siehe Unteschift). und m chaakteisiet sind. Um diese Zustände bw. Eigenfunktionen u bestimmen, machen wi einen Sepaationsansat, ψ() = R() Y m (ϑ, ϕ). (5.42) Damit liefet die Schödinge Gleichung 0 = 2 2m L2 2m 2 + V () E R() Y m (ϑ, ϕ) = 2 2m ( + 1) 2m 2 + V () E R() Y m (ϑ, ϕ). 113

13 5.4. EXKURS: ZWEI KÖRPER PROBLEM MIT WECHSELWIRKUNG Daaus kann man die adiale Schödinge Gleichung fü R() ablesen, 2 d 2m 2 2 d + 2 ( + 1) d d 2m 2 + V () E R() = 0. (5.43) Nun substituiet man in de Gleichung (5.43) R() = U(). Wi vewenden, dass fü beliebige Funktionen u und v u = u v u v v v 2 gilt. Damit ehalten wi 2 d du() U() = 2 d U() d 2 = du() U(). d Fü die Ableitung dieses Ausducks nach egibt sich d 2 d U() = d du() U() d d d d = d2 U() d 2 + du() d 1 du() d = d2 U() d 2. Insgesamt egibt haben wi also 2 d 2 2m d ( + 1) 2m 2 + V () =:Veff U() = E U(), (5.44) wobei V eff ein sog. effektives Potential beeichnet. Beispiel: Sei V () = const, und > 0. De qualitative Velauf des effektiven Potentials ist in Abbildung 5.5 dagestellt. 5.4 Exkus: Zwei Köpe Poblem mit Wechselwikung Vielteilchensysteme. Bishe haben wi imme ein Teilchen betachtet, das ein Potential sieht (welches selbstveständlich von andeen Teilchen veusacht wid). Wie bescheibt man quantenmechanische Systeme mehee Teilchen? Man muss die Wellenfunktion an die Situation anpassen, ψ() Ψ( 1, 2,... ), wobei i die Koodinate des i ten Teilchens beeichnet. Entspechend ist Ψ( 1, 2,... ) die Wahscheinlichkeitsamplitude dafü, das este Teilchen bei 1, das weite Teilchen bei 2 usw. u messen. 114

14 5.4. EXKURS: ZWEI KÖRPER PROBLEM MIT WECHSELWIRKUNG V =0 eff V Abbildung 5.5: Effektives Potential. Zwei Köpepoblem mit Wechselwikung. duch den Hamilton Opeato Wi betachten ein System, das H = 2 2m m V ( 1 2 ) (5.45) beschieben wid (siehe Übungsblatt 10). V beeichnet dain ein Potential, das lediglich vom Abstand de Teilchen abhängt, m i sind die Massen de Teilchen und i die Gadienten bgl. de i. Wie in de klassischen Mechanik definiet man Relativ- und Schwepunktskoodinaten, := 1 2 und R := m m 2 2 m 1 + m 2, sowie die eduiete Masse m := m 1 m 2 m 1 + m 2 und die Gesamtmasse M := m 1 + m 2. Um die Schödinge Gleichung u lösen, macht man den Sepaationsansat Ψ( R, ) = Φ( R) ψ(). Damit efällt die Schödinge Gleichung mit Hamilton Opeato (5.45) in wei Gleichungen, eine fü Φ, 2 2M 2 R Φ( R) = E R Φ( R). 115

15 5.5. WASSERSTOFFATOM Dafü ist die Lösung bekannt, Φ( R) i exp P R, wobei E R = P 2 2M mit dem Gesamtimpuls P. Die Gleichung fü ψ lautet 2 2m 2 ψ() + V ( ) ψ() = E ψ(). Insbesondee haben wi das Zwei Teilchen Poblem effektiv auf wei Ein Teilchen Pobleme uückgefüht. Wesentlich ist, dass die Gleichung fü Φ nicht von V abhängt; somit eduiet sich das Poblem lettlich auf ein effektives Ein Teilchen Poblem mit Relativkoodinate und eduiete Masse m. 5.5 Wassestoffatom Zielsetung. Es soll eine este Vesion de quantenmechanischen Bescheibung von Atomen eabeitet wid. Konket geht es daum, ein Elekton u bescheiben, das duch elektomagnetische Wechselwikung an einen Atomken gebunden ist. Coulomb Potential in de Quantenmechanik. Ein Elekton im Feld eines punktfömigen Atomkens mit Ladung Z e sieht ein Potential V () = Z e2. Eigentlich ist das ein Zwei Köpe Poblem, abe wie in Abschnitt 5.4 diskutiet lässt es sich auf ein Ein Köpe Poblem uückfühen; dabei seten wi uns in das Schwepunktsystem mit R = 0. Die eduiete Masse betägt dabei m e m = m 1 + me e, M K wo M K die Masse des Atomkens beeichnet. Die eitunabhängige Schödinge Gleichung H ψ() = E ψ() scheibt sich in Kugelkoodinaten als 2 2m L2 2m 2 Z e2 E Nun machen wi wiede den Sepaationsansat (5.42) ψ() = R() Y m (ϑ, ϕ) und vewenden die Substitution R() = U(). 116 ψ() = 0. (5.46)

16 5.5. WASSERSTOFFATOM Duch Wiedeholung de Schitte, die auf Gleichung (5.44) gefüht haben, liefet dies die allgemeine eitunabhängige adiale Schödinge Gleichung U() 2m ( + 1) U() 2m 2 + V () E U() = 0. Diese Gleichung veeinfacht sich u 2 d 2 2m d ( + 1) 2m 2 + V () E =: Veff U() = 0. (5.47) Fü den speiellen Fall des Coulomb Potentials ehält man 2 d 2 2m d ( + 1) 2m 2 Z e2 U() = E U(). Diskussion de Diffeentialgleichung. Die Lösung kann weitenteils duch eine Analyse des asymptotischen Vehaltens bestimmt weden. Vehalten fü 0. De 1/ 2 Tem dominiet. Aus 2 2m d 2 d 2 U() + 2 ( + 1) 2m 2 U() = 0 ehalten wi die Lösung U() = A +1 + B. Nun daf R() fü 0 nicht singulä weden, also folgt, dass B = 0 sein muss. Somit finden wi R() = U() A fü 0. Vehalten fü. De abhängige sowie de 1/ Tem veschwinden in diesem Limes, wi betachten also 2 2m d 2 d 2 E U() = 0. Wi sind an den gebundenen Zustände (E < 0) inteessiet. Wie bei de Diskussion de gebundenen Zustände im Potentialtopf (vgl. Abschnitt 3.3) fühen wi die Gösse κ ein, κ := 2m E

17 5.5. WASSERSTOFFATOM Die asymptotische Lösung ist damit U() = C e κ + D e κ. Aus de Bedingung de Nomiebakeit folgt C = 0, also gilt fü U() D e κ. Bevo wi dieses asymptotische Vehalten vewenden, bescheiben wi die Lösung duch die dimensionslose Vaiablen ρ := κ = ρ 0 := Z e2 κ E 2m E 2, = Z e2 c κ c E =: Z α 2m c 2 E, wobei α = e2 c d 2 d2 = κ2 d2 dρ 2 die Feinstuktukonstante beeichnet. Aus dρ = κ d folgt, dass gilt. Duch Einseten in die adiale Diffeentialgleichung egibt sich 2 d 2 2m κ2 dρ ( + 1) 2m 2 Z e2 E U(ρ) = 0. E Division duch E liefet d 2 dρ 2 ( + 1) 1 ρ 2 + Z e2 E + E U(ρ) = 0. E Mit Z e2 E = ρ 0 ρ d 2 und E E = 1 fü E < 0 folgt die Diffeentialgleichung dρ 2 ( + 1) 1 ρ 2 + ρ 0 ρ 1 U(ρ) = 0. (5.48) Nun machen wi einen Lösungsansat, de das bekannte asymptotische Vehalten enthält, U(ρ) = ρ +1 e ρ w(ρ). Im Folgenden geht es daum, die Funktion w(ρ) u bestimmen. Hieu seten wi den Ansat in die Diffeentialgleichung ein, ρ d2 w(ρ) dρ ( + 1 ρ) dw(ρ) dρ + (ρ 0 2 2) w(ρ) = 0. (5.49) 118

18 5.5. WASSERSTOFFATOM Um diese Gleichung u lösen, machen wi den Poteneihenansat w(ρ) = a k ρ k. (5.50) k=0 Das liefet a k k (k 1)ρ k 1 + 2( + 1) k ρ k 1 a k + a k (ρ k) ρ k = 0. k=0 Duch Koeffiientenvegleich finden wi a k+1 [(k + 1) k + 2( + 1) (k + 1)] + a k (ρ k) ρ k = 0. Da die ρ k linea unabhängig sind, folgt die Rekusionsfomel a k+1 a k = 2(k + + 1) ρ 0 (k ) (k + 1). (5.51) Es gilt jedoch fü goße k, dass a k+1 a k 2 k. Dies ist nichts andees als die Relation wischen den Taylo Koeffiienten de Exponentialfunktion e 2ρ, e 2ρ (2ρ) k =, k! k=0 bei de fü aufeinandefolgende Koeffiienten gilt 2 k+1 (k + 1)! 2 k k! = 2 k k fü k. Somit hätten wi w(ρ) e 2ρ und entspechend fü die Funktion U(ρ) (vgl. unsee Diskussion des eindimensionalen hamonischen Osillatos auf Seite 59) U(ρ) ρ +1 e ρ. Diese Funktion ist jedoch nicht nomieba! Hauptquantenahl n. Diese Folgeung kann umgangen weden, wenn die Poteneihe (5.50) bei endlichen k abbicht. Um das u eeichen, muss die echte Seite in (5.51) veschwinden, d.h. es muss eine natüliche Zahl N geben, so dass 2(N + + 1) = ρ 0 gilt. Dies füht auf die sog. Hauptquantenahl n := N Insbesondee ist n + 1 bw. n

19 5.5. WASSERSTOFFATOM Diskete Enegie Eigenwete E n. Aus dem Zusammenhang wischen ρ 0 und n, 2m c ρ 0 = 2n = 2 Z α, E folgt fü den Betag de Enegie E = m c2 Z α 2. 2 n Da E < 0 ist, gilt E n = m c2 2 Z α 2 = m Z2 e 4 n 2 2 n 2. (5.52) Diese Ausduck enthält den Boh schen Radius 3 a 0 = 2 m e e 2 = m = Å sowie die Compton Wellenlänge des Elektons λ e = m e c = 2 e 2 m e e 2 c = α a 0. Diese beeichnen typische Längenskalen in de Atomphysik. Insbesondee kann man mit de (histoischen) Einheit Rydbeg, 1 Ry = e2 2a 0 = 13.6 ev, die Enegie Eigenwete scheiben als E n = 1 Z e 2 = Ry Z2 2a 0 n n 2. 3 Wi ignoieen hie die Tatsache, dass die eduiete Masse m sich etwas von m e untescheidet. 120

20 5.5. WASSERSTOFFATOM Beispiel (Enegiespektum des Wassestoffatoms). Fü Z = 1 hat man E n = Ry n 2. Wi sehen, dass die Enegie Eigenwete fü n > 1 n fach entatet sind, d.h. kann die Wete 0, 1... n 1 annehmen. Späte weden wi sehen, dass es unächst weitee Entatung duch den Spin des Elektons gibt, und dass die Entatung duch Effekte aufgehoben wid, die wi hie noch nicht mit einbeiehen. E E 3, n = 3, = 0, 1, 2 E 2, n = 2, = 0, 1 E 1, n = 1, = 0 Entatungsgad. Wie bespochen, sind die Enegie Eigenustände im Coulomb Potential entatet, denn E n = 1 Ze 2 2a 0 n hängt nu von n ab, u jedem n gibt es eine Bahndehimpulsentatung = 0, 1,..., n 1 und u jedem gibt es Wete fü m. Also finden wi fü den Entatungsgad n 1 (2 + 1) = n (n 1) + n = n 2. =0 Notation. Es hat sich (histoisch) folgende Notation eingebüget: Obitale s p d... Spektum in Übegängen wischen den Enegie Niveaus. Gebundene Elektonen können duch Absoption eines Photons in ein höhees Enegie Niveau angehoben weden bw. duch Abstahlung in ein tiefees Enegie Niveau absinken. ω E n E n Die Enegie des Photons fü solche Poesse ist duch die Balme Fomel ΔE nn = E n E n = Z2 e 2 1 2a 0 n 2 1 n 2. (5.53) gegeben. Histoisch spielte diese eine wichtige Rolle in de Entwicklung de Quantenmechanik. 121

21 5.5. WASSERSTOFFATOM Enegie Eigenfunktionen. Nachdem wi die adiale Schödinge Gleichung gelöst haben, können wi nun die Enegie Eigenfunktionen angeben, ψ nm () = nm = R n () Y m (ϑ, ϕ). (5.54) Im Folgenden weden einige Eigenschaften diese Funktionen diskutiet. Othogonalität. Die Eigenfunktionen sind othogonal, d 3 ψnm () ψ n m () = d 2 R n () R n () 0 = δ nn δ δ mm. dω Ym (ϑ, ϕ) Y m(ϑ, ϕ) Diese Eigenschaft scheibt sich in de Diac Scheibweise als nm n m = δ nn δ δ mm. (5.55) Laguee Polynome. sind Die Wellenfunktionen de veschiedenen Enegie Eigenustände ψ nm = R n () Y m (ϑ, ϕ) mit n + 1, = 0, 1, 2,... und m +. Die adiale Abhängigkeit de Wellenfunktion ist (n 1)! (2κ) R n () = e κ (2κ ) 3 1/2 2n ((n + )!) 3 L 2+1 n+ (2κ ), (5.56) wobei κ = 2m E 2 Eine mögliche Definition de L n ist L n(x) = d ex dn dx ist, und L n die sog. ugeodneten Laguee Polynome beeichnet. Man kann sie als Poteneihe dastellen, L n(x) = dx n e x x n. (5.57) n ( 1) k+ (n!) 2 k! (k + )! (n k )! xk. (5.58) k=0 Diese entspechen bis auf Nomieung den möglichen Poteneihen fü w (siehe Gleichung (5.50)). 122

22 5.5. WASSERSTOFFATOM Expliite Beispiele fü adiale Wellenfunktionen. a := a 0 Z = 2 Z m e e 2 Mit de Beeichnung können wi die adiale Abhängigkeit de Wellenfunktion fü einige Enegie Niveaus expliit angeben, n = 1 = 0 : R 10 () = 2 a 3/2 e a, n = 2 = 0 : R 20 () = 2 (2a) 3/2 1 e 2a, 2a = 1 : R 21 () = 1 (2a) 3/2 e 2a, 3 a n = 3 = 0 : R 30 () = 2 (3a) 3/ a a 2 = 1 : R 31 () = (3a) 3/2 1 a 6a = 2 : R 32 () = (3a) 3/2 a 2 e 3a. e 3a, e 3a, Die Aufenthaltswahscheinlichkeit ist dann popotional u 2 R n 2, wo de Fakto 2 vom Integalmaß in Kugelkoodinaten kommt und insbesondee unabhängig von m. Beispiele sind in Abbildung 5.6 dagestellt. Ewatungswet von. n = 0 De Ewatungswet des Radius beechnet sich übe d 2 Rn 2 (), (5.59) wobei ein Fakto 2 vom Volumen Element in Kugelkoodinaten kommt. Wi ehalten fü n = 1 und = 0 10 = 3 a 0 2 Z, fü = n 1 egibt sich a0 n,n 1 = Z n n Mittlee quadatische Radius. 2, 2 n = 0. Analog bestimmt man den Ewatungswet von d 2 2 Rn 2 (). (5.60) 123

23 5.5. WASSERSTOFFATOM 2 R 10 2 (a) n = 1. 2 R R R 30 2 (b) n = 2, = 0. 2 R 31 2 (c) n = 2, = 1. 2 R 32 2 (d) n = 3, = 0. (e) n = 3, = 1. (f) n = 3, = 2. Abbildung 5.6: Radiale Abhängigkeit de Wahscheinlichkeit fü die Enegie-Eigenustände im Wassestoff-Atom mit n 3. Fü = n 1 egibt sich 2 n,n 1 = a0 2 n 2 Z n + 1 (n + 1). 2 Damit kann man das Abstandsentum bestimmen, Δ := 2 n,n 1 2 n,n 1 = a 0 Z n 1 n

24 5.6. FREIE BEWEGUNG IN DREIDIMENSIONALEN KUGELKOORDINATEN Es gilt offenba, dass Δ n,n 1 = 1 2n ψ() 2 Das bedeutet, dass die Zustände mit = n 1 fü gosse n gut lokalisiet sind. V () 5.6 Feie Bewegung in deidimensionalen Kugelkoodinaten Die stationäe Schödinge Gleichung fü ein feies Teilchen in dei Dimensionen ist 2 2m 2 E ψ() = 0. In katesischen Koodinaten sind die Lösungen ebene Wellen, ψ k () = C e i k mit Wellenvekto bw. Impuls k = (kx, k y, k ) bw. p = k und Enegie E = p2 2m. Die ebenen Wellen sind Eigenfunktionen um Impulsopeato p = i. In Polakoodinaten lautet die Schödinge Gleichung 2 1 2m L2 2m 2 ψ(, ϑ, ϕ) = 2 k 2 ψ(, ϑ, ϕ). 2m Mit dem Sepaationsansat (5.42), ψ k,,m () = R (k, ) Y m (ϑ, ϕ), ehält man eine Diffeentialgleichung fü R (k, ) fü eine feste, vogegebene Dehimpuls Quantenahl, 1 d d ( + 1) 2 d 2 d 2 + k 2 R (k, ) = 0. (5.61) Mit de Nebenechnung 1 2 d d 2 R = 1 d 2 2 R d 125

25 5.6. FREIE BEWEGUNG IN DREIDIMENSIONALEN KUGELKOORDINATEN = 1 2 (2 R + 2 R ) = 2 R + R ehält man die Besselsche Diffeentialgleichung d 2 R d dr d + k 2 ( + 1) 2 R = 0. (5.62) Wi hatten beeits bei de Diskussion des Wassestoff Atoms gesehen, dass die Funktion U() = R() eine Diffeentialgleichung efüllt, die keine lineae Ableitung enthält. Damit schliesst man auf die Identität 1 2 d d d 2 d R = 2 R + R = 1 d 2 d 2 ( R ). (5.63) Scheibt man die Gleichung (5.61) nun mit Hilfe diese Relation um, so entsteht nach Multiplikation mit d 2 d 2 ( R ) + k 2 ( + 1) 2 ( R ) = 0. (5.64) Lösung fü = 0. d 2 d 2 ( R 0) + k 2 ( R 0 ) = 0. Das impliiet offenba, dass ( R 0 ) e i k mit k = k bw. R 0 () = C ei k Aus de Diffeentialgleichung (5.64) folgt fü = 0, dass e i k + C mit den Konstanten C und C. Zelegung in Real- und Imaginäteil liefet wobei sin(k ) cos(k ) R 0 () = A + B = A k j 0 (k ) B k n 0 (k ), j 0 (k ) = sin(k ), k (5.65a) n 0 (k ) = cos(k ). k (5.65b) j bw. n steht fü die sphäische Besselfunktionen bw. fü die sphäische Neumannfunktionen. Wi sind hie nu Lösungen inteessiet, die fü 0 egulä sind. Somit ist die Lösung j 0 (k ) (Abbildung 5.7). 126

26 5.6. FREIE BEWEGUNG IN DREIDIMENSIONALEN KUGELKOORDINATEN Abbildung 5.7: Kugelwelle. Regula e Lo sungen fu > 0. stimmt weden. Wi seten an Die Lo sungen u ho heem ko nnen ekusiv be- R () = χ () mit = k. Gleichung (5.62) wid dann u χ () + 2( + 1) χ () + χ () = 0. Nun nehmen wi an, χ u kennen, und seten χ() := χ () in (5.66) ein. Duch Diffeentiation von (5.66) ehalten wi 2( + 1) 2( + 1) ( χ) + ( χ) + 1 χ = 0 2 bw. χ + 2( + 2) χ +χ = 0. D.h. χ lo st die Gleichung (5.66) fu + 1. Also ist χ+1 () = 1 d χ (). d Somit sind die Lo sungen fu = 0 gegeben duch R (k, ) = A k j (k ) 127 (5.66)

27 5.6. FREIE BEWEGUNG IN DREIDIMENSIONALEN KUGELKOORDINATEN mit Koeffiienten A sind und den sphäischen Bessel Funktionen j () := 1 d j 0 (). d Das Zeichen ist eine Konvention. Ausgehend von j 0 () = sin() beispielsweise j 1, j 1 () = 1 d sin() = sin() d 2 cos(). Alle j () sind egulä. Zum Beispiel hat man fü = 1 sin() lim j 1() = lim cos() 3 = lim 3! ! = lim 0 3! ! +... = 0. konstuieen wi Nomieung und Othogonalität. 0 d 2 j (k ) j (k ) = Es gilt π 2k 2 δ(k k ). Fü festes ehalten wi die Nomieung von R aus d 3 x ψ(x) 2 = 1. Weitehin ist und 0 d 2 R (k, ) R (k, ) = δ(k k ) A 2 k2 0 d 2 j (k ) j (k ) = A2 k2 π 2k 2 δ(k k ). Aus diesen Gleichungen folgt, dass A = 2 π. 128

28 5.6. FREIE BEWEGUNG IN DREIDIMENSIONALEN KUGELKOORDINATEN Damit können wi die R (k, ) expliit angeben, 2 R (k, ) = π k j (k ). (5.67) Somit sind die kompletten Wellenfunktionen gegeben duch ψ m (, ϑ, ϕ; k) = 2k 2π j (k ) Y m (ϑ, ϕ). (5.68) Diese Kugelwellen sind Lösungen, die beüglich des Uspungs einen definieten Dehimpuls haben. Man kann sich auch übelegen, dass man ebene Wellen in de Basis de Kugelwellen entwickeln lassen. Es gilt e i k = e i k cos ϑ = (i) (2 + 1) j (k ) P (cos ϑ). =0 Bemekung: Auslaufende und einlaufende Kugelwellen egeben sich als Lösung kugelsymmetische Pobleme im potentialfeien Beeich. In den Übungen (Aufgabe 30 auf Blatt 12) wid de deidimensionale Potentialtopf diskutiet, in dem V () = 0 fü > a. Dot sind die Lösungen Kugelwellen. Kugelwellen spielen auch bei de Steutheoie eine goße Rolle, die in QM 2 behandelt wid. 129