8.2. Der harmonische Oszillator, quantenmechanisch

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1 8.. Der harmonische Oszillator, quantenmechanisch Quantenmechanische Behandlung Klassisch: Rückstellkraft für ein Teilchen der Masse m sei zur Auslenkung : D m Bewegungsgleichung: m D F -D Potentielle Energie: ( D ~ ) d ~ D V( D/* Kinetische Energie: 0 m p m V( 0.0 Lösungsansatz: (t) 0 cos(ωt) harmonicpotential.opj -m ω 0 cos(ωt) -D 0 cos(ωt) Dies ist die klassische Schwingungs-Kreisfrequenz. Potentielle Energie am Punkt ± 0 : V ± ) ( D 0 0 ω D m 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator

2 Kinetische Energie: v( t) ( t) ω 0 sin( ωt) Die höchste kinetische Energie ist bei 0, v ma 0 ma m ω 0 Ekin ω Nun ist ω ma D/m E kin D0 V ( ± 0) Gesamtenergie: E m ω 0 sin ( ωt) + D m D 0 sin ( ωt) + D0 cos ( ωt) m D (sin ( ωt) + cos ( ωt)) D0 Die Gesamtenergie E mω ist also eine Konstante der Bewegung! 0 Jede Gesamtenergie E, d.h. jeder Wert von 0 ist erlaubt! 0 Quantenmechanisch: Schrödinger-Gleichung: + V ( ( E ψ( d d m ψ 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator

3 d d m ψ( V ( D [ E V ( ] ψ( d d ψ( Versuch einer numerischen Lösung auf dem Computer: m D E ψ( ) V( Gesamtenergie E D E ψ d d ψ ( m ( ψ ) D dψ( d E ψ( ψ( + d ψ ( + d ψ( + ψ ( d ψ ( + ψ ( d harmonicpot0.opj V( ψ( +d ψ ( ψ ( m D E ψ( harmonicpot03.opj 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 3

4 Rechenvorschrift: i) Man hat ψ( und ψ ( an der Stelle ii) Man berechnet : ( ) m ψ D E ψ( iii) Man berechnet: iv) Man berechnet: ψ ( + ψ ( + ψ ( ψ ( + ψ( + ψ ( Jetzt hat man die Werte ψ(+ und ψ (+ und wiederholt die Vorschrift. Ausgehend von ψ(0), ψ (0) kann man also in diskreten Schritten die gesamte Wellenfunktion berechnen. Es gibt zwei Arten von Lösungen unterschiedlicher Symmetrie: ) Symmetrische Lösungen: ψ g (- ψ g ( ) Antisymmetrische Lösungen: ψ u (- -ψ u ( Für die Ableitungen gilt: ) ψ g (- -ψ g ( ψ g (0) 0 ) ψ u (- ψ u ( ψ u (0) 0 ψ u (0) 0 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 4

5 Man startet also mit z.b.: ) ψ g (0), ψ g (0) 0 und errechnet die Wellenfunktion für alle 0 für beliebige Energie E ) ψ u (0) 0, ψ u (0) / Für beliebig gewählte Werte von E steigt ψ( für ± eponentiell an! Diese Lösungen sind nicht normierbar! Und damit für gebundene Teilchen nicht akzeptabel! Nur für bestimmte Werte von E gehen die Lösungen ψ( 0 für ±. Diese speziellen Lösungen lassen sich normieren, ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist endlich. Nur diese Lösungen sind akzeptable Lösungen für das quantenmechanische Problem. Im Hinblick auf die Anwendungen in der Atomphysik interessieren uns hier vor allem die Lösungen für E < 0, also für gebundene Teilchen. 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 5

6 ω e.337 ev n E ω ( n+ ) n 0,,,3,..., Grundzustand n 0 E ev 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 6

7 ω e.337 ev n E ω ( n+ ) n 0,,,3,..., Anregungszustand n 0/07/004 3:3 E ev Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 7

8 ω e.337 ev n E ω ( n+ ) n 0,,,3,..., Anregungszustand n 0/07/004 3:3 E ev Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 8

9 ω e.337 ev n E ω ( n+ ) n 0,,,3,..., Anregungszustand n 3 0/07/004 3:3 E ev Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 9

10 E ω e.337 ev n 7 n 6 n 5 n 4 n 3 n n n 0 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 0

11 Eperimentell ( Computational Physics ) D wurden folgende Eigenwerte bestimmt: D 3. J/m Es gilt: /s Erwartet : ( n + / ) ω E n Gerade Ungerade Theorie ω e ω m.337 ev Man hat eine ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen den numerisch bestimmten Werten und den Werten aus der analytischen Lösung. In den meisten interessanten Fällen ist die Schrödinger-Gleichung nur numerisch lösbar. Die Vergleiche mit den analytischen Lösungen (sofern diese bekannt sind) dienen also dazu, die Genauigkeit der numerischen Lösungen abzuschätzen. Berechnet mit dem Applet harmony.java 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator

12 Lösung der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung C-Programm Segment: #define NPUNKTE 000 #define NINT 00 int i,j; double,delt,anf,end,psi,dpsi;... PSI.0; DPSI 0.0; /* für gerade Lösungen */ delt (end-anf)/(double)(npunkte-)/(double)(nint-); 0.0; for(i0;i<npunkte;i++) { for(j0;j<nint;j++) { DPSI DPSI + *m/(hbar*hbar)*(v(-e)*psi*delt; /* Neue Ableitung */ PSI PSI + DPSI*delt; /* Neue Wellenfunktion */ +delt; } psiwert[i] PSI; /* Wert an der Stelle i */ } 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator

13 8.3 Der Potentialtopf (Quantum well) 8.3. Der Quantentopf mit unendlich hohen Wänden -L/ +L/ d ( ) ( ( )) Ψ E V m d Ψ( 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 3

14 Gerade Lösungen Ungerade Lösungen ψ E n g n g ( n n n u n n π kn (n + ) Enu kn π (n) m A cos( k m L ψ ( m B sin( k m L Die Energieeigenwerte steigen quadratisch mit einer ganzen Zahl n 0,,,3,... an. Im quantumwell mit unendlich hohen Wänden gibt es abzählbar unendlich viele Energieeigenzustände. Die Wellenfunktionen ψ ng ( und ψ nu ( sind reell. Es sind stehende Wellen. Der Impuls dieser Eigenzustände ist Null, d.h. das eingesperrte Teilchen bewegt sich mit keiner Vorzugsrichtung. Es ist stationär. Dynamische Zustände (mit Bewegung) ergeben sich durch die kohärente Überlagerung mehrerer dieser Energieeigenzustände (kommt später). 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 4

15 Quantumwell mit endlich hohen Wänden, numerische Lösung Quantumwell 0 ev tief nm breit ev ev Energie (ev) ev.8635 ev.6590 ev ev Abstand (nm) quantumwellneu.opj 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 5

16 Dreieckpotential mit endlich hohen Wänden, numerische Lösung Trianglewell 0 ev tief nm breit 0 Energie (ev) ev ev.5585 ev Abstand (nm) trianglewell.opj 0/07/004 3:3 Teilchen & Wellen SS 004 Denninger Harmonischer Oszillator 6