Allgemeine Relativitätstheorie

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1 Allgemeine Relativitätstheoie Skipt zu Volesung von Apl. Pof. Jög Main Bebeitung von Sebastian Boblest Voläufige Vesion SS Institut fü Theoetische Physik Univesität Stuttgat Pfaffenwalding Stuttgat Koektuen und Vebesseungsvoschläge bitte an:

2 Inhaltsvezeichnis Inhaltsvezeichnis 1 Bewegung im Gavitationsfeld: Die Geodätengleichung de ART 1 2 Riemannsche Geometie Tensoalgeba Kontavaiante Tensoen Kovaiante Tensoen Tensoen höhee Stufe De metische Tenso g µν Heunteziehen von Indizes Zweidimensionale Ebene Deidimensionale Ebene Obefläche de Einheitskugel Das Volumenelement Lineafomen ) De Dualaum ) Multilineafomen Metische Räume Diffeenziebae Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Räume Diffeenziebae Mannigfaltigkeiten Riemannsche Räume Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten Tangentialaum Kotangentialaum Koodinatentansfomationen Tensoanalysis Paallelveschiebung und affine Zusammenhänge ) Paallelveschiebung im zweidimensionalen Euklidischen Raum Veschiebung entlang Veschiebung entlang ϕ Schlussfolgeung ) Veallgemeineung Beechnung de Übegangskoeffizienten Tansfomationsvehalten de Chistoffelsymbole 1.At Die kovaiante Ableitung Ko- und kontavaiantes Diffeential Divegenz Rotation eines kovaianten Tensofeldes i

3 Inhaltsvezeichnis Geodätische Linien Die Kümmung des Raumes Kümmung bekannte Flächen Ebenen, bzw. allgemein flache Räume Zylindeobefläche Kugelobefläche De Kümmungstenso Heleitung übe Paallelveschiebung Fomale Definition des Kümmungstensos Kovaiante Kümmungstenso Symmetien des Kümmungstensos Ricci-Tenso und Kümmungsskala Bianchi-Identität Tägheitssatz von Sylveste Physikalische Gundlagen de ART - Das Äquivalenzpinzip Äquivalenz von täge und schwee Masse Täge Masse Schwee Masse Fahstuhlexpeimente ) Weight-Watches-Expeiment ) Fei-Fall-Expeiment ) Lichtablenkung im Schweefeld Mathematische Bedeutung des Äquivalenzpinzips Die Einsteinschen Feldgleichungen Die Bewegungsgleichungen de ART und ihe nicht-elativistische Näheung Kugelsymmetische Massenveteilung Kümmung de Metik fü schwache Felde Fomulieung de Feldgleichungen De Enegie-Impuls-Tenso ) Eigenschaften des Enegie-Impuls-Tensos ) Ansatz fü den Enegie-Impuls-Tenso de Mateie Aufstellung de Feldgleichungen ) Fodeungen an die linke Seite de Feldgleichungen Bestimmung de Konstante a Bestimmung von b und κ De Einstein-Tenso Anwendungen de ART Die Schwazschild-Metik ii

4 Inhaltsvezeichnis Aufstellung de Feldgleichungen Allgemeine Ansatz fü eine sphäisch-symmetische Metik ) Koodinatentansfomation ) Beechnung de Chistoffelsymbole ) Komponenten des Ricci-Tensos ) Lösung de Feldgleichungen ) Bestimmung von A und C Bestimmung von C Bestimmung von A Folgeungen aus de Schwazschild-Metik ) Messung de Radialkoodinate ) Abstand von Punkten mit unteschiedliche Radialkoodinate ) Bedeutung de Koodinatenzeit Gavitationsotveschiebung Peiheldehung ) Aufstellen de Bewegungsgleichungen ) Lösung de Bewegungsgleichungen Fomulieung in altenative Fom Behandlung mit klassische Stöungstheoie Lichtablenkung im Gavitationsfeld Untesuchung analog zu Peiheldehung Die isotope Schwazschild-Metik Lichtablenkung außehalb des Sonnensystems Visualisieung von Einstein-Ringen Laufzeitvezögeung Global Positioning System Gavitationskollaps und schwaze Löche Feie Fall auf ein Schwazes Loch ) Betachtung fü mitfallenden Beobachte ) Betachtung fü einen weit entfenten Beobachte ) Konsequenzen ) Visualisieung des Falls auf ein Schwazes Loch Eweiteung de Schwazschildmetik ) Eddington-Finkelstein-Koodinaten ) Kuskal-Szekees-Koodinaten Liteatuvezeichnis 75 iii

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6 1 Bewegung im Gavitationsfeld: Die Geodätengleichung de ART Wi wollen nun die Bewegungsgleichung de allgemeinen Relativitätstheoie (Diffeentialgleichung de Geodäten) betachten. Wi haben beeits gesehen, dass ds = g µν dx µ dx ν (1.1) gilt. Wie in de SRT soll ein Teilchen auf solch eine Bahn laufen, dass die Vaiation ˆ δ ds = 0 (1.2) veschwindet. Wi können nun fü ds Gleichung (1.1) einsetzen und noch mit ds eweiten. Fü das Integal folgt dann: ˆ ˆ gµνdx ds = µ dx ν ds (1.3) ds Zieht man jetzt das ds im Nenne des Buches unte die Wuzel, so kann man dem Ausduck unte dem Integal ein Funktional de Fom L(x α, dxα ) zuodnen. Man ehält ds nämlich ˆ ˆ ˆ gµν dx δ ds = δ dx µ dx ν = δ g µ dx ν ˆ ) µν ds ds ds = δ L (x α, dxα ds. (1.4) ds ) Dabei ist die Funktion L (x α, dxα gleich 1 entlang des Weges. Aus de Eule-Lagange-Gleichung zu Vaiation ds ˆ ) ( ) δ L (x α, dxα d L ds = 0, d.h. ds ds ( ) L dx α x = 0 (1.5) α ds folgt mit und die Gleichung L ( dx α ds ) = 1 dx (g ν αν 2L ds + g µα [ d 1 ds L g αν L x = 1 g µν dx µ dx ν α 2L x α ds ds ] dx ν 1 g µν dx µ dx ν ds 2L x α ds ds ) dx µ g αµ g µα 1 = ds L g dx ν αν ds (1.6) (1.7) = 0. (1.8) 1

7 1 Bewegung im Gavitationsfeld: Die Geodätengleichung de ART Unte Ausnutzung von egibt sich d ds g αν = g αν dx µ x µ ds (1.9) 1 g αν dx µ dx ν L x µ ds ds + 1 L g d 2 x ν αν ds 2 1 L L 2 s g dx ν αν ds 1 g µν dx µ dx ν 2L x α ds ds = 0. (1.10) Da L = 1 entlang des Weges ist, folgt L/ds = 0, d.h. de entspechende Tem veschwindet. Die übigbleibende Gleichung wid mit L duchmultipliziet um auf g αν dx µ dx ν x µ ds ds + g d 2 x ν αν ds 1 g µν dx µ dx ν 2 2 x α ds ds = 0 (1.11) zu kommen. Im folgenden Schitt nutzen wi aus, dass aufgund de Symmetie von g µν, d.h. g µν = g νµ, auch g αν x = 1 g αν µ 2 x + 1 g να (1.12) µ 2 x µ geschieben weden kann. Da übe µ und ν summiet wid, können wi diese Indizes im zweiten Tem auch vetauschen und kommen auf g αν d 2 x ν ds ( gαν x + g µα µ x g µν ν x α ) dx µ ds dx ν ds = 0. (1.13) Dabei heißt de Fakto ( 1 gαν 2 x + g µα µ x g ) µν Def = Γ ν x α αµν (1.14) Chistoffelsymbol 1. At. Duchmultiplizieen mit g σα unte Beücksichtigung von g σα g αν = δ σ ν egibt schließlich d 2 x σ ds + dx µ dx ν 2 gσα Γ αµν ds ds Füht man noch die Chistoffelsymbole 2. At ein, so folgt die Γ σ µν = g σα Γ αµν = 1 ( gαν 2 gσα x + g µα µ x g µν ν x α = 0. (1.15) ) (1.16) 2

8 Geodätengleichung d 2 x σ ds + dx µ dx ν 2 Γσ µν ds ds = 0. (1.17) In de Geodätengleichung steckt die Gavitation also übe den metischen Tenso in den Chistoffel-Symbolen. Es sei angemekt, dass das Chistoffelsymbol 2.At kein Tenso ist, wie wi späte zeigen weden! 3

9 2 Riemannsche Geometie 2 Riemannsche Geometie 2.1 Tensoalgeba Sei x µ Vekto in eine beliebig gewählten n-dimensionalen Basis. Gesucht wid das Tansfomationsvehalten veschiedene Gößen bei eine Koodinatentansfomation, d.h. einem Wechsel de Basis x µ x ν = x ν (x µ ). (2.1) Die Betachtung in diesem Kapitel ist eine Veallgemeineung de Egebnisse de SRT Kontavaiante Tensoen Die Diffeentiale dx µ tansfomieen sich übe d x ν = xν x µ dxµ. (2.2) Jede n-komponentige Göße A µ, die sich wie die Diffeentiale tansfomiet, also nach de Voschift Ā ν = xν x µ Aµ (2.3) heißt kontavaiante Tenso 1.Stufe Kovaiante Tensoen Um das Tansfomationsvehalten de Ableitungen / x µ zu bestimmen, betachten wi eine Funktion f( x ν ). Fü diese gilt x ν f( xν ) = xµ x ν x µ f(xµ ( x ν )). (2.4) Jede n-komponentige Göße B ν, die sich wie die Koodinatenableitungen (n-dim. Gadient) tansfomiet, also nach de Voschift heißt kovaiante Tenso 1.Stufe. B ν = xµ x ν B µ (2.5) 4

10 2.1 Tensoalgeba Tensoen höhee Stufe Das Tansfomationsvehalten von Tensoen höhee Stufe egibt sich wie gehabt. Sei z.b. C µ ν einfach konta- und einfach kovaiante Tenso. Dann ist C µ ν = xµ x α x β x ν Cα β. (2.6) Das Tensopodukt und die Tensovejüngung (Ausspuen) sind ebenfalls analog zu SRT definiet, z.b. D µν = A µ B ν, (2.7) bzw. das Skalapodukt In diesem Fall ist C Tenso 0.Stufe bzw. ein Skala. C = A µ B µ. (2.8) De metische Tenso g µν Das infinitesimale Wegelement besitzt die Fom ds 2 = g µν dx µ dx ν. (2.9) In n-dimensionalen minkowskischen Koodinaten gilt g µν = η νν und damit ds 2 = η µν dx µ dx ν. (2.10) Wi betachten eine Koodinatentansfomation x µ = x µ ( x α ), dx µ = xµ x α d xα. Dann ist das Linienelement gegeben übe mit Allgemein gilt ds 2 = η µν x µ x α x ν x β d xα d x β = ḡ αβ d x α d x β, (2.11) ḡ αβ = xµ x α x ν x β η µν. (2.12) ḡ αβ = xµ x ν x α x g µν. (2.13) β Das heißt g µν ist ein symmetische kovaiante Tenso 2. Stufe! Heunteziehen von Indizes Das heauf und heunteziehen von Indizes geschieht wie in de SRT mit Hilfe de Metik. So ist etwa A µ = g µν A ν kovaiante Tenso 1. Stufe. Fü Tensoen höhee Stufe gilt 5

11 2 Riemannsche Geometie analog A µν... = g µα g νβ...a αβ.... (2.14) Um Indizes heaufzuziehen benötigen wi g µν. Um die Fom dieses Tensos zu bekommen, benutzen wi, dass g µν A ν = g µν g µα A α = A µ (2.15) gelten muss, d.h. es ist Damit ist g µν das Invese von g µν. g µν g να = δ µ α. (2.16) Beispiele Zweidimensionale Ebene In katesischen Koodinaten ist d.h. wi haben x 1 = x, x 2 = y, ds 2 = dx 2 + dy 2, (2.17) g µν = ( ). (2.18) Wi gehen übe zu Polakoodinaten mit x = cos ϕ, y = sin ϕ, d.h. x 1 =, x 2 = ϕ. De metische Tenso in Polakoodinaten egibt sich übe Es folgt also fü die einzelnen Komponenten: ḡ αβ = xµ x α x ν x β g µν. (2.19) ḡ 11 = x x + y y = 1, ḡ 22 = x x ϕ ϕ + y y ϕ ϕ = ( sin ϕ)2 + ( cos ϕ) 2 = 2, ḡ 12 = ḡ 21 = x x ϕ + y y = cos ϕ( sin ϕ) + sin ϕ cos ϕ = 0, ϕ (2.20) Fü das Linienelement folgt also: mit dem metischen Tenso ds 2 = ḡ µν d x µ d x ν = d dϕ 2 = (d x 1 ) 2 + ( x 1 ) 2 (d x 2 ) 2, (2.21) ḡ µν = ( ) = ( ( x 1 ) 2 ). (2.22) Die Koodinaten x 1 und x 2 sind nicht katesisch, abe de Raum ist flach! 6

12 2.1 Tensoalgeba Deidimensionale Ebene In katesischen Koodinaten ist hie und x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z, ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (2.23) Wi gehen übe zu Kugelkoodinaten also Daaus folgt fü das Linienelement g µν = (2.24) x = sin ϑ cos ϕ, y = sin ϑ sin ϕ, z = cos ϑ, (2.25) x 1 =, x 2 = ϑ, x 3 = ϕ. (2.26) ds 2 = d dϑ sin 2 ϑdϕ 2 = (d x 1 ) 2 + ( x 1 ) 2 (d x 2 ) 2 + ( x 1 ) 2 sin 2 ( x 2 )(d x 3 ) 2, (2.27) mit dem metischen Tenso g µν = ( x 1 ) ( x 1 ) 2 sin 2 ( x 2 ) (2.28) Die Koodinaten x 1, x 2 und x 3 sind wiede nicht katesisch, abe de Raum ist flach! Obefläche de Einheitskugel Die Obefläche de Einheitskugel ist ein zweidimensionale gekümmte Raum. Die Bescheibung de Kugelobefläche ohne Einbettung in den deidimensionalen Raum efolgt duch Koodinaten x 1 = ϑ, x 2 = ϕ mit metischem Tenso ( ) ( ) g µν = 0 sin 2 = ϑ 0 sin 2 (x 1. (2.29) ) Das Linienelement ist also ds 2 = (dx 1 ) 2 + sin 2 (x 1 )(dx 2 ) 2 = (dθ) 2 + sin 2 (θ)(dϕ) 2. (2.30) Hinweis: Die Metik g µν ist fü x 1 = 0 ode x 1 = π nicht invetieba! Es existieen also Koodinatensingulaitäten. Die Chistoffelsymbole 1.At Γ αµν = 1 ( gαν 2 x + g µα µ x g ) µν ν x α egeben sich mit g 22 x = 2 sin ϑ cos ϑ, g ij = 0 sonst (2.31) 1 xk 7

13 2 Riemannsche Geometie zu Γ 111 = Γ 112 = Γ 121 = Γ 222 = Γ 211 = 0, Γ 122 = sin θ cos θ, Γ 212 = Γ 221 = sin θ cos θ. Aus de Geodätengleichung (2.32) folgt fü α = 1 und fü α = 2 d 2 x α ds + dx µ dx ν 2 Γα µν ds ds = 0 (2.33) d 2 ( ) 2 ϑ dϕ sin ϑ cos ϑ = 0 (2.34) ds2 ds sin 2 ϑ d2 ϕ + 2 sin ϑ cos ϑ ds2 ( dϑ ds ) ( ) dϕ = 0. (2.35) ds Diese Gleichungen sind äquivalent zu den Lagange schen Gleichungen fü L = 1 ( ) ϑ2 + sin 2 ϑ ϕ 2 = g µνẋ µ ẋ ν. (2.36) Das Volumenelement In katesischen Koodinaten gilt dv = n dx i. (2.37) i=1 Bei Tansfomation de Koodinaten duch x µ = x µ ( x α ) und dx µ = xµ x α d xα egibt sich fü das Volumenelement n ( ) x dv = dx i i n = det d x k = d x V, (2.38) j mit de Jacobi-Matix i=1 ( x i J = x j k=1 ). (2.39) In katesischen Koodinaten gilt g µν = δ µν und damit ḡ αβ = xµ x α x ν x β δ µν. Mit g = det(g µν ) (2.40) 8

14 2.1 Tensoalgeba folgt ( ) x µ x ν ḡ = det(ḡ αβ ) = det x α x η β µν ( ) ( ) x µ x ν = det det det(δ x α x β µν ) = [ det Dabei wude ausgenutzt, dass die Deteminante sepaieba ist ( )] x µ 2 (2.41) x α det(a B) = det A det B (2.42) und dass det(δ µν ) = 1 in katesischen Koodinaten ist. Damit folgt d V = n ḡ d x i. (2.43) Allgemein gilt fü kummlinige Koodinaten i=1 d V = g µ d x µ, (2.44) mit g = det(g µν ) Lineafomen Sei V ein Vektoaum mit Basis e 1,...,e n. Eine Abbildung f R (2.45) heißt linea, wenn gilt: f(ax + by) = af(x) + bf(y) fü alle a,b R und x,y V. (2.46) Man sagt f ist Lineafom übe V. 1) De Dualaum Die Gesamtheit de lineaen Abbildungen V R heißt Dualaum V Wenn (e 1,...e n ) eine Basis in V ist, so existiet eine eindeutig bestimmte Basis (ē 1,...,ē n ) in V mit ē i (e j ) = δ i j. (2.47) 9

15 2 Riemannsche Geometie 2) Multilineafomen Ein Tenso de Stufe (p,q) (p-fach konta-, q-fach kovaiant) ist eine in allen Agumenten lineae Abbildung (V1,...,Vp,V p+1,...,v p+q ) R. (2.48) Mit de Basis egeben sich die Komponenten des Tenso zu Metische Räume (e j 1...j q i 1...i p ) = (e j1... e ip ē j 1... ē jq ) (2.49) T i 1...i p j 1...j q = T (e j 1...j q i 1...i p ). (2.50) Definition: Eine Metik ist ein symmetische Tenso vom Typ (0,2): g(u,v) = g µν u µ u ν Umkehung: g ist Tenso de Stufe (2,0) und es gilt: g µν = g(e µ,e ν ) = g νµ (2.51) g (ū, v) = g µν g µν = g (ē µ,ē ν ) = g νµ (2.52) g (ē µ,ē α )g(e α,e ν ) = g µα g αν = δ µ ν Das Skalapodukt zwischen x µ und x ν ist definiet als g µν x µ x ν. (2.53) 2.2 Diffeenziebae Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Räume Diffeenziebae Mannigfaltigkeiten Eine n-dim. Mannigfaltigkeit M n ist ein topologische Raum mit folgenden Eigenschaften: 1. Jede Punkt besitzt eine Umgebung: U R n, σ(p ) = ( x 1 (P ),...,x n (P ) ). (2.54) 2. De ganze Raum ist duch endlich viele (abzählba viele) Umgebungen übedeckba. 10

16 2.2 Diffeenziebae Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Räume 3. Zu je zwei Punkten existieen disjunkte Umgebungen (Hausdoffsche Raum). 4. M n ist zusammenhängend. M n heißt diffeenziebae Mannigfaltigkeit, wenn zwei sich übelappende Koodinatensysteme (x i und x i duch eine (-fach) stetig diffeenziebae Koodinatentansfomation x i = x i (x 1,...,x n ), i = 1,...,n (2.55) mit nicht singuläe Funktionaldeteminante veknüpft sind Riemannsche Räume Eine n-dimensionale diffeenziebae Mannigfaltigkeit M n mit einem fest vogegebenen und nicht singuläen, positiv definiten symmetischen kovaianten Tensofeld 2.Stufe (Metik) heißt n-dimensionale Riemannsche Raum Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten Ist die Metik des betachteten Raumes nicht positiv definit, wie in de ART, so spicht man von eine pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit Tangentialaum Sei f = f(x i ) koodinatenmäßige Dastellung eine skalaen Funktion auf M n. In jedem Punkt P sind n Tangentialvektoen i, i = 1,...,n gegeben: i P (f) f x i f,i P. (2.56) Dabei bezeichnet T P den Tangentialaum im Punkt P Kotangentialaum Zu Definition des Kotangentialaums betachten wi df längs eine Kuve x i = x i (s): df = f x i dxi, (2.57) mit f x i = f,i T P und dx i T P, mit dem Kotangentialaum T P. 11

17 2 Riemannsche Geometie Koodinatentansfomationen Fü Koodinatentansfomationen x ν = x ν (x µ ) gilt d x ν = xν x µ dxµ = α ν µ dx µ (2.58) und ν = x = xµ ν x ν x = µ αµ ν (2.59) x µ mit den zueinande invesen Tansfomationen αµ ν und α µ ν. Mit den neu eingefühten Gößen α lässt sich auch die Tansfomation des metischen Tensos scheiben: ḡ µ ν = αϱ µ α σ ν g ϱσ. (2.60) 2.3 Tensoanalysis Paallelveschiebung und affine Zusammenhänge 1) Paallelveschiebung im zweidimensionalen Euklidischen Raum Wi betachten den zweidimensionalen Euklidischen Raum. Gegeben sei ein Vektofeld F µ (x ν ). F bezeichne den paallel veschobenen Vekto. In katesischen Koodinaten (x,y) mit Linienelement ds 2 = dx 2 + dy 2 gilt einfach F µ = F µ. Wi möchten nun abe in Polakoodinaten (,ϕ) echnen. Fü das Linienelement egibt sich dann und fü die Komponenten des Vektos ds 2 = d dϕ 2, (2.61) F = F cos ϑ, F ϕ = F sin ϑ. (2.62) Dabei ist F = g µν F µ F ν. Die Komponenten egeben sich leicht aus de Invaianz von F, siehe Abbildung 2.1. Veschiebung entlang Bei Veschiebung entlang egibt sich nun F = F, F ϕ = + F ϕ F ϕ F ϕ. (2.63) 12

18 2.3 Tensoanalysis y y F F F F ϑ (, ϕ + ϕ) ϑ ϑ (, ϕ) ( +, ϕ) (, ϕ) x x Abbildung 2.1: Paalleltanspot eines Vektos im Euklidischen Raum entlang de und ϕ-koodinate. Veschiebung entlang ϕ Bei Veschiebung entlang ϕ ehalten wi F = F cos(ϑ ϕ) F cos ϑ + F sin ϑ ϕ = F + F ϕ ϕ, F ϕ = F sin(ϑ ϕ) F sin ϑ F cos ϑ = F ϕ F ϕ. (2.64) Schlussfolgeung Die Egebnisse de letzten beiden Abschnitte lassen sich kompakt dastellen in de Fom F µ (x + x) = F µ (x) F λ Γ µ νλ (x) xν, (2.65) mit Γ = 0, Γ ϕ = 0, Γ ϕ = 0, Γ ϕ ϕ = 1, Γ ϕ = 0, Γ ϕϕ =, (2.66) Γ ϕ ϕ = 1, Γϕ ϕϕ = 0. 2) Veallgemeineung Wi betachten die Paallelveschiebung eines Vekto A µ vom Punkt P 1 zum Punkt P 2. Wi legen in P 1 eine lokal Euklidische Basis zugunde und veschieben A µ (P 1 ) in diese Basis paallel. De paallel veschobene Vekto hat dann in P 2 die Komponenten A µ (P 2) = A µ (P 1 ) + δa µ (A α, dx β ). (2.67) 13

19 2 Riemannsche Geometie Beachte: A µ bleibt als geometisches Objekt unveändet, es ändet sich nu die Pojektion auf die mitgefühte Basis. δa µ wid veusacht duch Ändeung de Richtung de Koodinatenlinien. Fü kleine Abstände zwischen P 1 bei x β und P 2 bei x β + dx β hängt δa µ (A α, dx β ) linea von A α und dx β ab, d.h. es gilt δa µ = Γ µ αβ Aα dx β. (2.68) Die Γ µ αβ heißen in diesem Zusammenhang Übegangskoeffizienten, bzw. Koeffizienten des affinen Zusammenhangs. Γ µ αβ ist die µ-te Komponente de Ändeung des Basisvektos e α bei Paallelveschiebung längs eines Basisvektos e β. Beechnung de Übegangskoeffizienten Zu Beechnung de Übegangskoeffizienten betachten wi den Skala g µν A µ A ν, de sich bei Paallelveschiebung nicht ändet. Es gilt also 0 = δ (g µν A µ A ν ) = g µν,β A µ A ν dx β + g µν (δa µ )A ν + g µν A µ δa ν = g µν,β A µ A ν dx β g µν Γ µ αβ Aα A ν dx β g µν A µ Γ µ αβ Aα dx β = ( g µν,β A µ A ν g αν Γ α µν g µα Γ α νβ) A µ A ν dx β. (2.69) Da A µ und dx β beliebig gewählt weden können, egibt sich zu Bestimmung de Γ das lineae Gleichungssystem Es egibt sich als eine Lösung g µν,β A µ A ν g αν Γ α µν g µα Γ α νβ = 0. (2.70) Γ α µβ = 1 2 gασ (g σβ,µ + g µσ,β g µβ,σ ). (2.71) D.h. die Übegangskoeffizienten entspechen den Chistoffelsymbolen. 1 Um dies zu ekennen, setzen wi diese Lösung in (2.70) ein. Unte Beücksichtigung von g αν g ασ = δ σ ν 1 Steng genommen sind die Chistoffelsymbole und die Übegangskoeffizienten nicht } allgemein dasselbe. In de mathematischen Liteatu weden Chistoffelsymbole in de Fom geschieben. Die Übegangskoeffizienten egeben sich dann übe { } κ Γ κ µν = + 1 ( T κ ν µ + Tµ κ ν + T κ ) µν. µν 2 Dabei bezeichnet T κ µν den Tosionstenso. In allen hie betachteten Raumzeiten veschwindet de Tosionstenso alledings, deshalb gehen wi auf diese Untescheidung nicht ein. Details zu diesem Thema finden sich im Buch von Nakahaa.[1] { κ µν 14

20 2.3 Tensoanalysis füht dies auf g µν,β 1 2 (g νβ,µ + g µν,β g µβ,ν ) 1 2 (g µβ,ν + g νµ,β g νβ,µ ) = 0. (2.72) Wobei g νµ,β = g µν,β benutzt wude. Die Lösung ist alledings nicht eindeutig, Gleichung (2.70) liefet wegen de Symmetie von g µν nu n 2 (n + 1)/2 unabhängige Gleichungen fü n 3 unbekannte Γ α µβ. Im Allgemeinen gilt Γ α µν Γ α νµ. In de Riemannschen Geometie bezeichnet T α µν = Γ α µν Γ α νµ (2.73) den Tosionstenso. In de ART weden symmetische Übegangskoeffizienten gewählt: Γ α µν = Γ α νµ. (2.74) D.h. de Tosionstenso veschwindet Tansfomationsvehalten de Chistoffelsymbole 1.At Wi scheiben die Chistoffel-Symbole 1.At mit de neuen Scheibweise aus: die Chistoffel-Symbole 2.At waen übe definiet und tansfomieen sich nach de Gleichung Γ µνλ = 1 2 (g µν,λ + g µλ,ν g νλ,µ ) (2.75) Γ µ νλ = gµϱ Γ ϱνλ (2.76) Γ µ ν λ = α ϱ ν α σ λ α τ µ Γ τ ϱσ + 2 x ϱ x µ (2.77) x ν x λ x ϱ das heißt die Chistoffel-Symbole 2.At sind keine Tensoen wie beeits ewähnt wude Die kovaiante Ableitung Sei A ν ein kontavaiante Vekto, dann ist Ā ν = α ν µ A µ. (2.78) 15

21 2 Riemannsche Geometie Die Ableitungen eines kontavaianten Vektos sind gegeben übe A µ,ν = Aµ x ν. (2.79) Wi untesuchen nun das Tansfomationsvehalten fü A µ,ν. Es egibt sich Ā µ,ν = x ν Ā µ = α ϱ ν [ x ϱ ] α µ λ Aλ = α ϱ ν α µ λ A λ x ϱ + α ϱ ν A λ x α µ ϱ λ. (2.80) }{{} Q Wi untesuchen den mit Q bezeichneten Tem nähe. Falls α koodinatenabhängig ist, was wi in de ART ja explizit zulassen wollen, wid diese nicht veschwinden. Unte Vewendung eine zu Gleichung (2.77) analogen Beziehung egibt sich x ϱ α µ λ = 2 x µ x ϱ x λ = α µ σ Γ σ ϱλ α ν ϱ α σ λ Γ µ ν σ. (2.81) Damit tansfomiet sich A µ,ν nicht wie ein Tenso! Wi setzen den fü Q gewonnenen Ausduck wiede in (2.80) ein, wobei wi den Summationsindex σ in λ umbenennen um geschickt veeinfachen zu können und kommen auf ( ) A Ā µ,ν = α ϱ λ ν α µ λ x + ϱ Γλ ϱσa σ αλ σ Γ µ ν σ A λ. (2.82) }{{ } R Den mit R bezeichneten Tem fomen wi um zu α σ λ Γ µ ν σ A λ = Γ µ ν σ Āσ. (2.83) Wi setzen wiede in Gleichung (2.82) ein und sehen dann dass ( Ā µ,ν + Γ µ ν σ = α ϱ Āσ ν α µ λ A λ,ϱ + Γ λ ϱσa σ) (2.84) gilt. Dain ekennen wi wiede ein Tensotansfomationsvehalten. Wi definieen dahe die kovaiante Ableitung übe ν A µ A µ ;ν = A µ,ν + Γ µ νσa σ. (2.85) A µ ;ν ist Tenso de Stufe (1,1). Entspechend egibt sich die kovaiante Ableitung eine kovaianten Vektos A µ zu ν A µ A µ;ν = A µ,ν Γ σ µνa σ (2.86) 16

22 2.3 Tensoanalysis und die kovaiante Ableitung von Tensoen höhee Stufe zu γ T α... β... = x γ T α... Γ λ γβtλ... α... }{{} β... + Γ α γλtβ... λ... }{{} alle konta- alle kovaianten vaianten Indizes Indizes. (2.87) Mehfache kovaiante Ableitung Ein Tenso kann natülich auch mehfach kovaiant abgeleitet weden. Sei A µ kontavaiante Tenso 1. Stufe, dann ist A µ ;β Tenso de Stufe (1,1) und ( ) A µ ;β = ;γ Aµ ;βγ (2.88) Tenso de Stufe (1,2). Außedem gilt A µ,βγ = Aµ,γβ abe im Allgemeinen A µ ;βγ Aµ ;γβ (2.89) Ko- und kontavaiantes Diffeential Sei A µ (x β ) ein kontavaiantes Vektofeld, dann ist DA µ da µ δa µ = A µ,β dxβ + Γ µ αβ Aα dx β = A µ ;β dxβ (2.90) ebenfalls ein kontavaiantes Vektofeld. Sei weite B µ (b β ) kovaiantes Vektofeld, dann ist auch DB µ db µ δb µ = B µ,β dx β Γ α µβb α dx β = B µ;β dx β (2.91) ein kovaiantes Vektofeld. De Ausduck fü δb µ lässt sich einfach aus de Paallelveschiebung eines Skalapoduktes bestimmen. Aus δ (A µ B µ ) = 0 folgt 0 = δ (A µ B µ ) = (δa µ )B µ + A µ δb µ = Γ µ αβ Aα dx β B µ + A µ δb µ = A α ( δb α Γ µ αβ B µdx β). (2.92) Da A α beliebig ist folgt daaus δb α = Γ µ αβ B µdx β (2.93) 17

23 2 Riemannsche Geometie Divegenz Wi definieen die Divegenz eines Vektofeldes A µ als Mit wobei die Scheibweise vewendet wid, egibt sich A µ ;µ = A µ,µ + Γ µ αµa α. (2.94) Γ µ αµ = 1 2 gµσ (g σµ,α + g ασ,µ g αµ,σ ) = 1 g g x α, (2.95) det(g µν ) = g (2.96) A µ ;µ = A µ,µ + 1 g g x α Aα = 1 g x µ (Aµ g). (2.97) Rotation eines kovaianten Tensofeldes Wi definieen die Rotation eines kovaianten Tensofeldes übe ϕ µν = B ν;µ B µ;ν. (2.98) Sie ist damit ein antisymmetische kovaiante Tenso 2. Stufe. Bei veschwindende Toison gilt weite B ν;µ B µ;ν = B ν,µ Γ σ νµb σ B µ,ν + Γ σ µνb σ = B ν,µ B µ,ν. (2.99) Geodätische Linien Mit de kovaianten Ableitung lassen sich Geodäten einfach definieen. Sei die Vieegeschwindigkeit u µ = dx µ /ds übe die Ableitung nach de Bogenlänge gegeben. Eine Geodäte ist dann in Analogie zu klassischen Mechanik (Geschwindigkeit bleibt konstant) übe das Veschwinden de kovaianten Ableitung de Geschwindigkeit definiet: Du σ ds = duσ ds + Γσ µνu µ dxν ds = d2 x σ ds + dx µ dx ν 2 Γσ µν ds ds Die kompakte Dastellung de Geodätengleichung ist also = 0. (2.100) Du σ ds = 0. (2.101) 18

24 3 Die Kümmung des Raumes In diesem Kapitel wollen wi untesuchen, wie wi qualitativ und quantitiv feststellen können, ob ein Raum gekümmt ist. Diese Aussage wid sich diekt nicht an Hand des metischen Tensos g µν ode de affinen Zusammenhänge Γ α µν teffen lassen. Zwa steckt die Infomation übe die Kümmung natülich in de Metik, sie kann an diese abe nicht einfach abgelesen weden. Dies ist leicht einzusehen, denn auch bei Euklidischen, also flachen Räumen mit kummlinigen Koodinaten, etwa Polakoodinaten sind die Metik und die affinen Zusammenhänge nicht tivial. 3.1 Kümmung bekannte Flächen In diesem Abschnitt betachten wi einige bekannte Flächen hinsichtlich ihe Kümmung um ein Gefühl fü diesen Begiff zu bekommen. Ob eine Fläche gekümmt ist ode nicht, wollen wi dabei übe die Auswikung eine Paallelveschiebung eines Vektos auf veschiedenen Wegen in de jeweiligen Fläche chaakteisieen Ebenen, bzw. allgemein flache Räume Sei F µ ein Vekto. Wid F µ entlang eines geschlossenen Weges paallelveschoben, so stimmen de uspüngliche und de paallelveschobene Vekto übeein, d.h. es ist δf µ = 0, siehe Abbildung Zylindeobefläche Auch beim Zylinde ist die Richtung des Vektos wegunabhängig, d.h. es gilt imme δf µ = Kugelobefläche Gegeben sei nun ein Vekto F µ auf de Obefläche eine Kugel (Abb. 3.2). Die natüliche Definition des Paalleltanspotes entlang eines Goßkeises in diesem Fall ist so, dass de Winkel zwischen dem Vekto und dem Goßkeis fest bleibt. Wid F entlang C und C von p nach q paalleltanspotiet, so zeigen die esultieenden Vektoen in entgegengesetzte Richtungen. Die Richtung des Vektos F µ (q) hängt also vom genommenen Weg ab. 3.2 De Kümmungstenso In den voangegangenen Beispielen haben wi gesehen, dass die Weganhängigkeit de Ändeung δf µ eines Vektos bei Paallelveschiebung fü veschiedene Räume unte- 19

25 3 Die Kümmung des Raumes F µ Abbildung 3.1: Beim Paalleltanspot eines Vektos in de Ebene stimmen de uspüngliche und de paallelveschobene Vekto nach einem geschlossenen Weg übeein. C q p F C Abbildung 3.2: Paalleltanspot eines Vektos auf eine Kugelobefläche entlang de Goßkeise. Die Richtung, in die F µ zeigt, ist wegabhängig. 20

26 3.2 De Kümmungstenso F C F C F C s x µ + δ µ x µ + ε µ + δ µ C F C F C p x µ q x µ + ε µ Abbildung 3.3: Paalleltanspot eines Vektos F von p nach. schiedlich ist. Es liegt nahe, dass übe diese Eigenschaft die Kümmung des Raumes chaakteisiet weden kann Heleitung übe Paallelveschiebung Fü eine stenge Behandlung betachten wi ein infinitesimales Paallelogamm pqs mit Koodinaten x µ, x µ + ε µ, x µ + ε µ + δ µ und x µ + δ µ (Abb. 3.3). Bei Paalleltanspot von F µ entlang C = pq ehalten wi den Vekto F µ C (). Bei q egibt sich Dann folgt F µ C () = F µ C (q) F κ C(q)Γ µ νκ(q)δ ν F µ C (q) = F µ F κ Γ µ νκε ν. (3.1) = F µ 0 F0 κ Γ µ νκε ν ( F0 κ F ρ 0 Γ κ ξρ(p)ε ξ) ( Γ µ νκ(p) + Γ µ νκ,λ (p)ελ) δ ν ( F µ 0 F0 κ Γ µ νκ(p)ε ν F0 κ Γ µ νκ(p)δ ν F0 κ Γ µ νκ,λ (p) Γρ λκ (p)γµ νρ(p) ) ε λ δ ν (3.2) bei Beücksichtigung von Temen bis zweite Odnung in δ und ε. Analog egibt sich F µ C () F µ 0 F κ 0 Γ µ νκ(p)δ ν F κ 0 Γ µ νκ(p)ε ν F κ 0 ( Γ µ λκ,ν (p) Γρ νκ(p)γ µ λρ (p)) ε λ δ ν. (3.3) 21

27 3 Die Kümmung des Raumes Fü die Diffeenz de beiden Vektoen egibt sich dann schließlich ( F C () F C () F0 κ Γ µ νκ,λ (p) Γµ λκ,ν (p) Γρ λκ (p)γµ νρ(p) + Γ ρ νκ(p)γ µ λρ (p)) ε λ δ ν = F0 κ R µ κλν ελ δ ν. (3.4) Dabei bezeichnet R µ κλν = Γµ νκ,λ Γµ λκ,ν Γρ λκ Γµ νρ + Γ ρ νκγ µ λρ (3.5) den Kümmungstenso ode Riemann-Tenso mit Stufe (1,3) Fomale Definition des Kümmungstensos Wi hatten beeits gesehen, dass kovaiante Ableitungen im Allgemeinen nicht vetauschen, siehe Gleichung (2.89). Fomal lässt sich de Kümmungstenso übe die Diffeenz von zweifachen kovaianten Ableitungen definieen. Sei A µ ein kontavaiante Tenso 1. Stufe, dann ist ( γ β β γ ) A µ = A µ ;βγ Aµ ;γβ = Rµ αβγ Aα. (3.6) Um dies zu sehen, echnen wi explizit: A µ ;βγ = ( ) A µ β +,γ Γµ γλ Aλ ;β Γ λ γβa µ λ = ( A µ,β + Γµ βλ Aλ),γ + Γµ γλ ( A λ,β + Γ λ βσa σ) Γ λ γβ ( A µ,λ + Γµ λσ Aσ). (3.7) und analog A µ ;γβ. Unte Beachtung de Vetauschbakeit de Ableitungen Aµ,αβ = Aµ,βα und de Symmetie de Chistoffelsymbole egibt sich dann A µ ;βγ Aµ ;γβ = ( Γ µ αβ,γ Γµ αγ,β + Γµ λβ Γσ αγ Γ µ σγγ σ αβ) A α = R µ αβγ Aα. (3.8) Kovaiante Kümmungstenso Mit Hilfe de Metik ehält man wie üblich den viefach kovaianten Kümmungstenso[2] R αβγδ = g ασ R σ βγδ = Γ αβδ,γ Γ αβγ,δ + Γ µ βγ Γ µαδ Γ µ βδ Γ µαγ = 1 2 (g αδ,βγ + g βγ,αδ g αγ,βδ g βδ,αγ ) + Γ µ βγ Γ µαδ Γ µ βδ Γ µαγ. (3.9) 22

28 3.2 De Kümmungstenso Symmetien des Kümmungstensos Nicht alle Komponenten des Kümmungstensos sind unabhängig. Aus de Definition (3.9) ekennt man leicht die folgenden Relationen R µαβγ = R µαγβ, R µαβγ = R αµβγ, R µαβγ = R βγµα, (3.10a) (3.10b) (3.10c) sowie R µαβγ + R µβγα + R µγαβ = 0. (3.11) Aus diesen Relationen folgt, dass de Kümmungstenso in 4 Dimensionen nu 20 unabhängige Komponenten besitzt Ricci-Tenso und Kümmungsskala Duch Vejüngung des Kümmungstensos ehält man den Ricci-Tenso: R µν = R λ µλν = Γ α µα,ν Γ α µν,α Γ α σαγ σ µν + Γ α σνγ σ µα. (3.12) De Ricci-Tenso ist ein symmetische Tenso 2. Stufe, d.h. es gilt R αβ = R βα. (3.13) Um dies zu zeigen, benutzt man den Zusammenhang Γ µ αµ = 1/ g g/ x α aus Gleichung (2.95). Dann ehält man Γ µ αµ,β = ( 1 ) g g = 1 g g x β x α g x β x g α g x α x = β Γµ βµ,α. (3.14) Eine weitee Vejüngung des Ricci-Tensos füht auf den Kümmungsskala R = R µ µ = g µν R µν. (3.15) Bianchi-Identität Es gilt R µ ναβ;γ + Rµ νγα;β + Rµ νβγ;α = 0. (3.16) Um dies zu zeigen benutzen wi folgende Übelegung: Wi betachten diese Gleichung an einem bestimmten Punkt P 0 de Mannigfaltigkeit. Duch Wahl geeignete Koodinaten können wi eeichen, dass Γ µ αβ (P 0) = 0 (3.17) 23

29 3 Die Kümmung des Raumes gilt. Dann gilt am Punkt P 0 weite und damit R µ ναβ = Γµ νβ,α Γµ να,β (3.18) R µ ναβ;γ = Rµ ναβ,γ = Γµ νβ,αγ Γµ να,βγ. (3.19) Die andeen Gößen egeben sich entspechend. Bei zyklische Vetauschung de letzten dei Indizes heben sich diese Teme auf. Wegen de Tensoeigenschaft gilt die Bianchi- Identität dann allgemein Tägheitssatz von Sylveste Fü die mathematische Fomulieung de ART ist de Tägheitssatz von J. J. Sylveste 1 zental: Die Metik g µν lässt sich in eine Othonomalbasis als Diagonalmatix mit Eintägen ±1 dastellen. Hat die Matix Eintäge +1 und s Eintäge 1, so spicht man von eine Metik mit Tägheit, bzw. Signatu (,s). Beispielsweise hat die Minkowski-Metik die Signatu (,s) = (1,3). Fü die ART hat diese Satz wichtige Konsequenzen: Die Gavitation lässt sich lokal wegtansfomieen, d.h. in eine genügend kleinen Umgebung eines Punktes existieen Koodinaten, so dass sich käftefeie Teilchen auf Geaden bewegen. Dies ist anschaulich kla, denn die obige Aussage heißt nichts andees, als dass die Metik g µν lokal in geeigneten Koodinaten auf die Fom η µν gebacht weden kann, also in die Fom de Minkowski-Metik des flachen Raumes. Damit dies möglich ist, müssen zwei Eigenschaften de Natu postuliet weden: 1. Die Welt ist eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit de Dimension 4 und de Tägheit (,s) = (1,3). 2. Die Weltlinien von Massepunkten, die nu gavitativen Käften unteliegen, sind zeitatige metische Geodäten. Wi weden noch sehen, dass diese Aussagen eng mit dem Äquivalenzpinzip zusammenhängen, das am Anfang de Entwicklung de ART stand. 1 J. J. Sylveste, , englische Mathematike 24

30 4 Physikalische Gundlagen de ART - Das Äquivalenzpinzip Gundlage fü die Entwicklung de ART waen einfache Gundübelegungen Einsteins, die zum Äquivalenzpinzip fühten, welches in diesem Abschnitt diskutiet wid. Den Ken bilden Einsteins beühmte Fahstuhlgedankenexpeimente. Die Aussage dieses Pinzips ist die postuliete Äquivalenz von täge und schwee Masse, die es dann elaubt, Rückschlüsse auf die Eigenschaften de Gavitation zu ziehen. 4.1 Äquivalenz von täge und schwee Masse Um eine Aussage übe schwee und täge Masse machen zu können, müssen wi zunächst diese Begiffe genaue chaakteisieen Täge Masse Wike eine Kaft auf einen Massenpunkt. Duch diese Kafteinwikung wid de Massepunkt seinen Bewegungszustand änden. Alledings vesucht die Masse sich gegen diese äußee Kafteinwikung zu wehen und in ihem Bewegungszustand zu vehaen. Die Masse hemmt also gewissemaßen die Kafteinwikung. Aus diesem Gund nennt man diese Masse, die das Tägheitspinzip efüllt, die täge Masse. Wi halten also fest: Die täge Masse ist die Masse die eine Kaft einen Widestand entgegen setzt. Je göße diese täge Masse ist, desto meh Kaft muss aufgewendet weden, um den Bewegungszustand zu änden. Betachten wi als Beispiel die zwei Massen m t1 und m t2 in Abbildung 4.1. Wi bingen beide Massen an gleiche Feden an und dehnen die Feden um eine Stecke x aus de Ruhelage. Wenn wi nun loslassen, so wikt auf beide Massen die gleiche Kaft. Fü die jeweiligen Beschleunigungen gilt also F = m t1 1 = m t2 2, d.h. 2 = m t 1 m t2 1. (4.1) Schwee Masse Die schwee Masse ist die Eigenschaft eines Köpes im Gavitationsfeld eine andeen Masse eine Kaft zu efahen. Wi bezeichnen diese Masse dahe in Anlehnung an die 25

31 4 Physikalische Gundlagen de ART - Das Äquivalenzpinzip 1 m t1 2 m t2 Abbildung 4.1: Zwei gleiche Feden weden um die gleiche Stecke aus ihe Ruhelage ausgelenkt. An den beiden Feden hängen die Massen m t1 und m t2. Lässt man nun die Feden los, so weden beide Massen beschleunigt. Das Vehältnis de Beschleunigungen ist dabei 2 = (m t1 /m t2 ) 1. Elektodynamik als Gavitationsladung q im Gavitationsfeld de Gavitationsladung Q: F gav = qq 2 α e. Die Massen m t1 und m t2 efahen im Feld von Q eine Kaft. Sie haben also auch eine schwee Masse q 1, q 2. Duch Fallexpeimente kommt man zu folgendem expeimentellem Befund: Die beiden Massen fallen gleich schnell, unabhängig von ihe tägen Masse. Genaue: Es ist imme 1 = 2, unabhängig von de Göße ihe (tägen) Massen m t1 und m t2. Dies kann man folgendemaßen fomulieen: m t1 1 = F Qq1 m t2 1 = F Qq2. (4.2) Damit ehält man m t1 m t2 = F Qq 1 F Qq2 = q 1 q 2 bzw. m t1 q 1 = m t 2 q 2. (4.3) Dieses Vehältnis von täge zu schwee Masse ist fü jedes Objekt dasselbe. Wenn wi die Einheit de schween Masse geeignet wählen, können wi eeichen, dass das Vehältnis 1 ist. Wi halten als fundamentale Aussage fest: 26

32 4.2 Fahstuhlexpeimente g g g g g g g g g g g g g Waage: 80 kp Waage: 80 kp (a) (b) Abbildung 4.2: In Abbildung a) uht de Fahstuhl im homogenen Schweefeld g. In Abbildung b) befindet sich de Fahstuhl im schweelosen Raum und wid konstant mit Beschleunigung = g nach oben beschleunigt. Objekte mit unteschiedliche täge Masse efahen im Schweefeld bei gleichen Anfangsbedingungen dieselbe Beschleunigung. Das Vehältnis von schwee und täge Masse m t /m s ist also fü alle Köpe gleich und bei geeignete Wahl de Einheiten gilt m t /m s = Fahstuhlexpeimente Die folgenden Gedankenexpeimente gehen diekt auf Einstein zuück, de diese Übelegungen selbst als glücklichsten Einfall seines Lebens bezeichnete. Wi betachten einen Expeimentato (Hans) in einem geschlossenen Fahstuhl, de sich in einem homogenen Schweefeld befinde (Einstein-Labo). 1) Weight-Watches-Expeiment Im esten Fall steht (uht) de Fahstuhl im Schweefeld. Eine Waage zeigt fü Hans eine Kaft G von 80 kp 1 an. G beechnet sich zu G = m s g. (4.4) Im zweiten Fall wid de Fahstuhl im leeen Raum konstant mit g beschleunigt. Auch hie zeigt die Waage fü Hans eine Kaft von 80 kp an. 1 Das Kilopond ist eine vealtete Einheit de Kaft. Es ist 1 kp = 9,81 N, d.h. die Gewichtskaft eine Masse von einem Kilogamm im Schweefeld de Ede. 27

33 4 Physikalische Gundlagen de ART - Das Äquivalenzpinzip Fü G gilt diesmal G = m t g. (4.5) Fage: Kann Hans duch igendein mechanisches, elektodynamisches ode sonstiges Expeiment feststellen, ob e im Schweefeld uht ode mit g im schweelosen Raum beschleunigt wid? Die Antwot lautet NEIN! Damit ehalten wi folgende Aussage: Die Vostellung eines uhenden Koodinatensystems, in dem ein Schweefeld hescht, ist äquivalent mit de Vostellung eines entspechend beschleunigten Koodinatensystems ohne Schweefeld. 2) Fei-Fall-Expeiment Im esten Fall uhe de Fahstuhl im schweelosen Raum (Abb. 4.3(a)). Die Waage zeigt fü Hans eine Kaft von 0 kp an. Im zweiten Fall falle de Fahstuhl fei im konstanten Schweefeld (Abb. 4.3(b)). Alles im Fahstuhl fällt mit de gleichen Geschwindigkeit, es gibt keine Relativbewegung. Im Fahstuhlsystem gilt Wegen m t = m s und ẍ 0 = g folgt x(t) = x 0 (t) + x und m t ẍ = m t (ẍ 0 + ẍ ) = m s g. (4.6) ẍ = 0. (4.7) Die Waage zeigt also auch hie 0 kp an. Fage: Gibt es ein Expeiment, dass die beiden Situationen untescheidba macht? Die Antwot lautet wiede NEIN! Diese Egebnisse können wi im schwachen Äquivalenzpinzip zusammenfassen: In einem kleinen Labo, das in einem Schweefeld fällt, sind die mechanischen Phänomene dieselben wie jene, die in Abwesenheit eines Schweefeldes in einem Newtonschen Inetialsystem beobachtet weden. Einstein ging 1907 noch weite, indem e den Ausduck mechanische Phänomene auf Gesetze de Physik eweitete. Damit egibt sich das stake Äquivalenzpinzip: In einem kleinen Labo, das in einem Schweefeld fällt, sind die Gesetze de Physik dieselben wie jene, die in Abwesenheit eines Schweefeldes in einem Newtonschen Inetialsystem beobachtet weden. 28

34 4.2 Fahstuhlexpeimente g g g g g g g g g x (t) g g g Waage: 0 kp Waage: 0 kp g x(t) x 0 (t) (a) (b) Abbildung 4.3: In Abbildung a) uht de Fahstuhl im schweelosen Raum, in Abbildung b) fällt de Fahstuhl fei im homogenen Schweefeld g. 29

35 4 Physikalische Gundlagen de ART - Das Äquivalenzpinzip t 0 t 1 M Abbildung 4.4: Aufgund de Inhomogenität von Gaviationsfelden muss das betachtete Labo so klein sein, dass die Inhomogenität venachlässigba ist. Das schwaze Labo ist zu goß, die schwazen Kugeln nähen sich einande. Das güne Labo ist klein genug, dass die Inhomogenität venachlässigba wid. Wäe das andes, also das Äquivalenzpinzip veletzt, so wüde die Idee, die Gavitation in eine (fü alle Köpe gleiche) gekümmte Raum-Zeit zu packen, nicht funktionieen. Deshalb ist ein analoges Vogehen bei de Elektodynamik nicht möglich, da dot die Ladung und die täge Masse eines Teilchens unabhängig voneinande sind. Da Gavitationsfelde inhomogen sind, muss daauf geachtet weden, dass ein de Gavitation ausgesetztes Labo elativ klein ist, so dass die Abweichung von de Homogenität keine Rolle spielt (Abb. 4.4). Steng genommen ist nu fü jeden Punkt ein infinitesimal kleines fei fallendes System definiet (lokales Inetialsystem, feifallendes Bezugssystem). 30

36 4.3 Mathematische Bedeutung des Äquivalenzpinzips Insofen stellen diese Übelegungen eine Einschänkung gegenübe de SRT da, bei de das Inetialsystem beliebig goß sein kann. Andeeseits ist dieses Pinzip abe viel allgemeine, weil nun auch beschleunigte Systeme behandelt weden können. 3) Lichtablenkung im Schweefeld Das Äquivalenzpinzip füht beeits diekt auf die Lichtablenkung im Schweefeld. Betachten wi in Abb. 4.5(a) ein fei fallendes Labo. Wid in diesem Labo auf eine Seite zum Zeitpunkt t 0 ein Lasestahl ausgesendet, so kommt e auf de andeen Seite auf dem Detekto zu Zeit t 1 auf gleiche Höhe an, da dieses Labo äquivalent zu einem uhenden Labo im schweelosen Raum ist. Von außen gesehen hat sich das Labo abe in de Zeit t 1 t 0 nach unten bewegt. De Lasestahl escheint also gekümmt. Andeeseits können wi auch ein konstant beschleunigtes Labo betachten (Abb. 4.5(b)). Wid hie ein Lasestahl losgeschickt, so bleibt e hinte dem Labo zuück, e kommt auf de andeen Seite etwas tiefe an. Dies ist leicht einzusehen, wenn man bedenkt, dass diese Lasestahl von außen betachtet geadlinig velaufen muss. Dieses beschleunigte Labo ist äquivalent zu einem im Schweefeld uhenden Labo. Dahe muss auch dot de Lichtstahl gekümmt velaufen. 4.3 Mathematische Bedeutung des Äquivalenzpinzips Mathematisch bedeutet das Äquivalenzpinzips, dass die Raum-Zeit mit Gavitation lokal minkowskisch ist. Wid die Raum-Zeit duch die Koodinaten x α beschieben, so existiet fü jeden Punkt P de Raum-Zeit eine Koodinatentansfomation x α ξ α (4.8) die von x µ abhängt, so dass sich die Metik mittansfomiet übe mit g µν (x α ) g µν (ξ α ) (4.9) g µν (ξ α P ) = η µν (4.10) in eine Umgebung des Punktes P = ξp α, d.h. g µν (ξ α ) = 0. (4.11) ξ β ξ α P 31

37 4 Physikalische Gundlagen de ART - Das Äquivalenzpinzip t 0 t 1 Lase Lase g Detekto Detekto (a) In einem fei fallenden Labo wid ein Lasestahl zum Zeitpunkt t 0 von eine Seite zu andeen geschickt (ot). Da das fei fallende Labo einem Labo im schweelosen Raum entspicht, kommt de Lasestahl auf de anden Seite zum Zeitpunkt t 1 auf gleiche Höhe am Detekto an. Von außen gesehen wid e also abgelenkt (gün). g Lase Detekto Lase Detekto g (b) Links: In einem konstant beschleunigten Labo wid ein Lasestahl ausgesendet. Da e von außen gesehen eine geadlinige Bewegung ausfüht und sich das Labo wähenddessen nach oben bewegt, kommt e auf de andeen Seite etwas weite unten an. Rechts: Dem konstant beschleunigten Labo entspicht ein im homogenen Schweefeld uhendes Labo. Aufgund des Äquivalenzpinzips muss de Lasestahl auch dot abgelenkt weden. Abbildung 4.5: Aus dem Äquivalenzpinzip folgt beeits die Lichtablenkung im Schweefeld. Um dies einzusehen vegleicht man eineseits ein fei fallendes Labo mit einem im schweelosen Raum und andeeseits ein im Schweefeld uhendes Labo mit einem konstant beschleunigten Labo. 32

38 4.3 Mathematische Bedeutung des Äquivalenzpinzips Höhe Ableitungen veschwinden abe im Allgemeinen nicht, d.h. die Metik hat die Fom g µν (ξp α ) = η µν + 1 ( 2 ) g µν 2 ξ α ξ β ξα ξ β. (4.12) Man kann hie leicht sehen, dass die Aussage des Satzes von Sylveste zusammen mit dem Postulat, dass die Natu eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ist, paktisch die gleiche Aussage wie das Äquivalenzpinzip beinhaltet. 33

39 5 Die Einsteinschen Feldgleichungen 5 Die Einsteinschen Feldgleichungen Die Hauptaufgabe de Allgemeinen Relativitätstheoie ist es, aus eine vohandenen Massen- und Enegieveteilung die entspechende Metik de Raumzeit beechnen zu können und umgekeht. Eine beühmte Zusammenfassung diese Zusammenhänge stammt von J. A. Wheele 1 Matte tells space how to cuve and spacetime tells matte how to move! Dazu ist eine Gleichung nötig, die die entspechenden Gößen miteinande veknüpft. Bevo wi zu Fomulieung diese Gleichung kommen, untesuchen wi die nichtelativistische Näheung de Bewegungsgleichungen de ART. Die Egebnisse weden uns späte dann behilflich sein. 5.1 Die Bewegungsgleichungen de ART und ihe nicht-elativistische Näheung Eine Anfodeung an die ART ist, dass sich die Newtonschen Bewegungsgleichungen als Genzfall fü schwache Felde aus den Geodätengleichungen ehalten lassen. Dies escheint aufgund de ganz unteschiedlichen Fom de Gleichungen zunächst seh schwieig. In de Fomulieung de ART steckt die Gavitation in de Metik g µν. Die Bewegungsgleichungen fü Punktteilchen im Schweefeld sind die Geodätengleichungen d 2 x µ ds 2 + dx α dx β Γµ αβ ds ds = 0. (5.1) In de Newtonschen Theoie bewegt sich das Teilchen in einem Gavitationspotential und die Bewegungsgleichung hat die Fom mẍ = V. (5.2) Die Newtonschen Bewegungsgleichungen folgen aus einem Vaiationspinzip, dem Hamiltonschen Pinzip. Sei L = T V mc 2 die Lagangefunktion des betachteten Systems, wobei wi hie zu kinetischen Enegie auch die Ruheenegie mc 2 hinzuzählen, so gilt fü 1 John Achibald Wheele, , Ameikanische theoetische Physike 34

40 5.1 Die Bewegungsgleichungen de ART und ihe nicht-elativistische Näheung die Bahn des Teilchens vom Punkt P 1 zum Punkt P 2 ˆP 2 δ P 1 Ldt = 0. (5.3) Fü die Lagangefunktion finden wi die explizite Fom ( L = mc ẋ2 2c 1 ) 2 c φ = mc (1 2 ẋ2 2 c + 2φ ), (5.4) 2 c 2 mit dem Gavitationspotential φ = V/m und dem Zusammenhang 1 + x/2 1 + x. Einsetzen in das Vaiationspinzip liefet ˆP 2 δ Ldt = mc δ ˆP 2 (cdt) 2 ẋ 2 dt 2 + 2φdt 2 P 1 = mc δ P 1 ˆP 2 P 1 ( (cdt) φ ) dx c 2 dy 2 dz 2 = 0. 2 (5.5) In de ART gilt auch ein Vaiationspinzip: ˆP 2 δ ds = δ ˆP 2 gµν dx µ dx ν = 0. (5.6) P 1 P 1 Duch Vegleich de beiden Fomeln egibt sich fü 2φ/c 2 1 ( ds 2 = c 2 dt φ ) dx 2 dy 2 dz 2 = 0, (5.7) c 2 bzw. g µν = 1 + 2φ/c = η µν + h µν. (5.8) D.h. die Gavitation steckt in de kleinen Stöung 2φ/c h µν = (5.9)

41 5 Die Einsteinschen Feldgleichungen Kugelsymmetische Massenveteilung Fü eine kugelsymmetische Massenveteilung mit Gesamtmasse M egibt sich φ() = GM/ und dahe g 00 = 1 2 GM c 2 = 1 S, (5.10) mit dem Schwazschild-Radius S = 2GM/c 2. Diese betägt fü die Sonne etwa S = 3 km und fü die Ede S = 9 mm. Im Vegleich zu den wiklichen Radien diese Köpe ist de Schwazschild-Radius also seh klein. Damit ist auch die gavitative Wikung de Sonne und de Ede klein Kümmung de Metik fü schwache Felde Fü die oben beechnete Metik egeben sich die folgenden Chistoffelsymbole und Komponenten des Kümmungstensos und Ricci-Tensos: Γ i 00 = 1 φ, fü i {1,2,3}, (5.11a) c 2 xi R i 0j0 = 1 2 φ fü i,j {1,2,3}, (5.11b) c 2 x i x j R 00 = 1 c 2 φ, (5.11c) mit ˆ φ = G ϱ(x ) x x d3 x. (5.12) 5.2 Fomulieung de Feldgleichungen In diesem Abschnitt weden wi die Feldgleichungen nun heleiten. Da diese die Metik mit de Mateie- und Enegieveteilung veknüpfen sollen, benötigen wi zunächst eine Göße, die diese bescheibt. Dies füht auf den Enegie-Impuls-Tenso, den wi beeits in de SRT kennengelent haben De Enegie-Impuls-Tenso Fü das Gavitationspotential gilt die Poisson-Gleichung φ = 4πGρ(x). (5.13) Daaus folgt also R 00 = 4πG ϱ. (5.14) c2 36

42 5.2 Fomulieung de Feldgleichungen Das Poblem diese Gleichung ist, dass R 00 nu Komponente eines Tensos ist und die Gleichung dahe nicht die ichtigen Tansfomationseigenschaften besitzt. Gesucht wid eine Gleichung de Fom R µν = T µν mit einem Tenso T µν, de von de Masseveteilung, abe auch de Impulsdichte abhängt. Diese Tenso heißt dann Enegie-Impuls-Tenso. In de SRT hatten wi einen Ausduck fü den Enegie-Impuls-Tenso de elektomagnetischen Felde im Minkowskiaum gefunden. E hat die Fom mit dem Feldstäketenso F µν. T ν µ = 1 µ 0 ( F µα F αν δν µf αβ F αβ ) = ( ω 1 c ST 1S c G j i ), (5.15) 1) Eigenschaften des Enegie-Impuls-Tensos Fü den Enegie-Impuls-Tenso de elektomagnetischen Felde gelten im Vakuum die vie Kontinuitätsgleichungen ω/ t S = 0 und S i / t/c 2 + T i = 0. Diese Gleichungen entspechen de Fodeung de Divegenzfeiheit von T µν : T µν,ν = 0. (5.16) Dies soll auch fü den Enegie-Impuls-Tenso de Mateie gelten. 2) Ansatz fü den Enegie-Impuls-Tenso de Mateie Allgemein macht man fü eine beliebige Massenveteilung fü den Enegie-Impuls-Tenso den Ansatz ( ) c T µν = ϱ 0 u µ u ν = ϱ 0 γ 2 2 cv cv v i v j. (5.17) Fü den Spezialfall uhende Mateie egibt dies einfach ϱ 0 c T µν = , (5.18) mit de Ruheenegiedichte ϱ 0 c 2 de Mateie. Mit diesem Ansatz ist die Divegenzfeiheit des Enegie-Impuls-Tensos gewähleistet. Fü gekümmte Räume muss statt de nomalen Ableitung in Gleichung (5.16) die kovaiante Ableitung vewendet weden: ν T µν = T µν ;ν = 0. (5.19) 37

43 5 Die Einsteinschen Feldgleichungen Aufstellung de Feldgleichungen Fü die echte Seite de Feldgleichungen haben wi mit dem Enegie-Impuls-Tenso eine geeignete Göße gefunden. Fü die linke Seite kann abe nicht R µν diekt vewendet weden, denn im Allgemeinen ist R µν ;ν 0. 1) Fodeungen an die linke Seite de Feldgleichungen Wi postulieen folgende Anfodeungen an die linke Seite de Feldgleichungen 1. Die linke Seite ist symmetische Tenso 2. Stufe wie T µν 2. Auf de linken Seite sollen keine höheen als zweite Ableitungen von g µν stehen. 3. Die zweiten Ableitungen sollen nu linea aufteten. 4. Die linke Seite soll wie T µν divegenzfei sein. 5. In de minkowskischen Raum-Zeit soll die linke Seite identisch veschwinden. Aus den Bedingungen 1-3 folgt fü die Feldgleichungen (Beweis duch Hemann Weyl 2 ) R µν + a g µν R + b g µν = κ T µν, (5.20) wobei a, b und κ feie Paamete sind. Die Bedingung 4 liefet R µν ;ν + a (g µν R) ;ν + b g µν ;ν! = 0. (5.21) Da die Metik divegenzfei ist, d.h. g µν ;ν = 0, lässt sich b nicht aus diese Bedingung bestimmen. Im Folgenden zeigen wi, dass sich a = 1/2 egibt. Bestimmung de Konstante a Aus de Bianchi-Identität in Gleichung (3.16) folgt bei Vejüngung unte Vewendung de Symmetieeigenschaften des Riemann-Tensos R µ αµβ;γ + Rµ αγµ;β + Rµ αβγ;µ = R αβ;γ R αγ;β + R µ αβγ;µ = 0. (5.22) Wi multiplizieen diese Gleichung mit g αβ und ehalten R ;γ R β γ;β + gαβ g µλ g λν R ν αβγ;µ = 0. (5.23) Dabei haben wi im ditten Tem den Fakto g µλ g λν = δ µ ν eingeschoben. Damit lässt sich de ditte Tem weite umfomen übe g αβ g µλ g λν R ν αβγ;µ = g µλ g λν R ν γ;µ = g µλ R λγ;µ = R µ γ;µ. (5.24) 2 Weyl, Hemann Klaus Hugo, , Deutsche Mathematike und Physike 38

44 5.2 Fomulieung de Feldgleichungen Wi nennen in diesem Ausduck µ in β um und setzen ihn in Gleichung (5.23) ein. Dann haben wi R ;γ 2 R β γ;β = 0, (5.25) bzw. multipliziet mit 1/2 und mit δγ β eingeschoben: R β γ;β 1 2 ( δ β γ R ) ;β = 0. (5.26) Abschließend ziehen wi γ hoch und kommen auf R βγ ;β 1 2 ( g βγ R ) ;β = 0. (5.27) Damit haben wi einen divegenzfeien Ausduck de Fom de linken Seite de Feldgleichungen (5.20) gefunden, denn es gilt (R µν 12 ) R gµν = 0. (5.28) Damit haben wi gezeigt, dass fü a = 1/2 die linke Seite de Feldgleichungen divegenzfei ist. ;ν Bestimmung von b und κ jetzt Multiplikation mit g µν füht wegen auf Einsetzen in (5.29) füht auf mit Mit den Egebnissen des letzten Abschnittes haben wi R µν 1 2 g µνr + b g µν = κ T µν. (5.29) g µν g µν = 4 (5.30) R + 4b = κt, bzw. R = 4b κt. (5.31) R µν bg µν = κt µν, (5.32) T µν = T µν 1 2 T g µν. (5.33) Um nun b und κ zu bestimmen benutzen wi die Egebnisse fü g 00 und R 00 im nichtelativistischen Genzfall und fü T µν fü uhende Mateie in den Gleichungen (5.8), (5.14) und (5.18). Es egibt sich dann T = ϱc 2 und T 00 = 1 2 ϱc2. (5.34) 39

45 5 Die Einsteinschen Feldgleichungen In diesem Fall eduzieen sich die Feldgleichungen auf R 00 bg 00 = κt 00. (5.35) Einsetzen egibt 4πG c ϱ bg 2 00 = 1 2 κϱc2. (5.36) Um die 5. Bedingung zu efüllen muss b = 0 gelten 3, denn im minkowskischen Genzfall gilt ϱ 0. Damit egibt sich schließlich κ zu κ = 8πG c 4. (5.37) De Einstein-Tenso Man definiet den Einstein-Tenso als G µν = R µν 1 2 R g µν. (5.38) Dann lauten die Feldgleichungen ohne kosmologische Konstante G µν = 8πG c 4 T µν ode R µν = 8πG c 4 T µν. (5.39) Bemekungen De Wet von κ ist seh klein, es egibt sich c 2 κ = 8πG c 2 = 1, m kg. (5.40) Da R µν und R bzw. G µν 2. Ableitungen und Quadate de 1. Ableitungen des metischen Tensos enthalten, sind die Feldgleichungen nichtlineae Diffeentialgleichungen 2. Odnung. Das Supepositionspinzip gilt dahe nicht. 3 Genaue muss b seh klein sein, so dass die Abweichung nu auf kosmologischen Skalen wichtig wid. Man spicht bei b de kosmologischen Konstante und vewendet gewöhnlich das Symbol Λ. 40

46 6 Anwendungen de ART 6.1 Die Schwazschild-Metik Wi betachten die exakte Lösung de Einsteinschen Feldgleichungen zuest nu fü den statischen kugelsymmetischen Fall, da sich hie seh einfache Folgeungen egeben. Das Gavitationsfeld im Außenaum eine sphäisch-symmetischen Massenveteilung mit de Gesamtmasse M ist gegeben duch φ() = G M. (6.1) Aufstellung de Feldgleichungen Wi suchen die zugehöige Metik de ART. Gesucht weden also die sphäisch symmetischen Lösungen de Einsteinschen Feldgleichungen (5.39). Im Vakuum gilt T µν = 0. Damit egibt sich die zu lösende Gleichung R µν 1 2 Rg µν = 0. (6.2) Wegen T µν = 0 ist auch T = 0 und mit R = κt aus Gleichung (5.31) fü b = 0 auch R = 0. Damit egibt sich schließlich in diesem Fall. R µν = 0 (6.3) Allgemeine Ansatz fü eine sphäisch-symmetische Metik Die Metik des flachen Euklidischen Raumes R 3 lautet dx 2 = d dω 2, (6.4) mit dω 2 = dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2. Fü die allgemeine sphäisch-symmetische Metik in de ART machen wi dann den Ansatz ds 2 = a(,t)dt 2 b(,t)d 2 c(,t)ddt d(,t)dω 2. (6.5) Wi wollen eine statische Metik annehmen, dann muss c(,t) = 0 sein um Zeitumkehinvaianz zu gewähleisten und die andeen Funktionen sind zeitunabhängig. 41

47 6 Anwendungen de ART 1) Koodinatentansfomation Wi tansfomieen auf geeignete Koodinaten, so dass d(,t) = 2, wie bei gewöhnlichen Kugelkoodinaten. Wi bezeichnen diekt wiede als, dann haben wi ds 2 = f()c 2 dt 2 q()d 2 2 dω 2, (6.6) wobei f() und q() dimensionslos sind. De metische Tenso ist dann also g µν = f() q() sin 2 ϑ bzw. gµν = f() q() sin 2 ϑ (6.7) 2) Beechnung de Chistoffelsymbole Fü die so bestimmte Metik egeben sich die folgenden nichtveschwindenden Chistoffelsymbole Γ 0 01 = Γ 0 10 = 1 2 g00 (g 01,0 + g 00,1 g 01,0 ) = 1 2f Γ 1 00 = 1 2 g11 (g 10,0 + g 01,0 g 00,1 ) = 1 2q Γ 1 11 = 1 2 g11 (g 11,1 + g 11,1 g 11,1 ) = q 2q, Γ 1 22 = 1 2 g11 ( g 22,1 ) = 1 2q ( 2) = q, f = f 2q, f = f 2f, (6.8a) (6.8b) (6.8c) (6.8d) Γ 1 33 = 1 2 g11 ( g 33,1 ) = 1 2q ( 2 sin2 ϑ) = sin2 ϑ, (6.8e) q Γ 2 21 = Γ 2 12 = 1 2 g22 (g 22,1 ) = (2) = 1, Γ 3 31 = Γ 3 13 = 1 2 g33 (g 33,1 ) = Γ 3 32 = Γ 3 23 = cot ϑ, sin 2 ϑ (2 sin2 ϑ) = 1, (6.8f) (6.8g) (6.8h) 3) Komponenten des Ricci-Tensos Mit den Chistoffelsymbolen lassen sich de Kümmungstenso und de Ricci-Tenso bestimmen. Da fü die Feldgleichungen nu de Ricci-Tenso wichtig ist, geben wi nu 42

48 6.1 Die Schwazschild-Metik seine nichtveschwindenden Komponenten an: R 00 = 1 f 2 q 1 ( ) f f 4 q f + q + 1 f q q, (6.9a) R 11 = 1 f 2 f + 1 ( ) f f 4 f f + q + 1 q q q, (6.9b) R 22 = ( ) f 2q f q + 1 1, (6.9c) q q R 33 = sin 2 ϑ R 22. (6.9d) 4) Lösung de Feldgleichungen Setzt man die Egebnisse fü den Ricci-Tenso in die Gleichung R µν = 0 ein, so ehält man ein Diffeentialgleichungssystem: f 1 ( ) f 2 f f + q + 2 q f = 0, (6.10a) f 1 ( ) f 2 f f + q 2 q f q q = 0, (6.10b) ( ) f 2q f q = 0. (6.10c) q q Wi bilden die Diffeenz de Gleichungen (6.10a) und (6.10b) und ehalten Dieses Egebnis setzen wi in (6.10c) ein und ehalten f f = q q. (6.11) q q + q 2 = 0, bzw. q = q q 2. (6.12) Wi fomen nochmals um und ehalten 1/ = q /(q q 2 ). Wi benutzen die Identität q = dq/d, multiplizieen mit d duch und integieen: ˆ ˆ d = dq q(q 1). (6.13) Nach Ausfühung de Integation haben wi dann ln() = ln Aq q 1. (6.14) 43

49 6 Anwendungen de ART mit de Integationskonstante A. Exponentieen auf beiden Seiten und Auflösen nach q füht uns auf q() = 1. (6.15) 1 A Aus df/f = dq/q aus Gleichung (6.11) folgt weite ln(f) = ln(q)+const = ln(1/q)+ const und dahe f() = C ( q() = C 1 A ). (6.16) 5) Bestimmung von A und C Die Bestimmung de Konstanten A und C efolgt übe die Betachtung des nichtelativistischen Genzfalls und des Genzfalls. Bestimmung von C aus dem Übegang zu Minkowski-Raumzeit Fü soll g µν in den Minkowski-Raum übegehen, da im Unendlichen die Massenveteilung keinen Einfluss meh auf die Metik haben sollte. Es folgt dann die Bedingung Dann ist also f() = 1 A/. lim f() =! 1 und damit C = 1. (6.17) Bestimmung von A aus dem Newtonschen Genzfall Im Newtonschen Genzfall gilt g 00 = 1 + 2φ/c 2 mit φ = GM/. Dies füht auf die Bedingung f() = 1 A! = 1 2G M c 2 und damit A = 2G M c 2 = S. (6.18) Dabei bezeichnet S den Schwazschild-Radius. Damit egibt sich schließlich die Schwazschild-Metik: ( ds 2 = 1 S mit dω 2 = dϑ 2 + sin 2 (ϑ)dϕ 2. ) c 2 dt 2 d2 1 S 2 dω 2, (6.19) Folgeungen aus de Schwazschild-Metik Aus de Schwazschild-Metik lassen sich wichtige physikalische Konsequenzen ableiten die sich in de Nähe eine sphäisch symmetischen Massenveteilung egeben. 44

50 6.1 Die Schwazschild-Metik 1) Messung de Radialkoodinate Zu Messung de Radialkoodinate zu einem bestimmten Zeitpunkt t wollen wi annehmen, dass gilt d = 0, dt = 0, dϑ 0, dϕ 0. (6.20) D.h. wi betachten alle Punkte mit eine festen Radialkoodinate, deen Wet wi alledings nicht kennen. Übe die Kaft, die die Massenveteilung ausübt, können wi abe eeichen, dass alle betachteten Punkte die gleiche Radialkoodinate haben. Wi scheiben dann ds ϕ = sin ϑdϕ, ds ϑ = dϑ. (6.21) Fü ein Flächenelement gilt wie in gewöhnlichen Kugelkoodinaten df = ds ϕ ds ϑ = 2 sin ϑdϑdϕ. (6.22) Integation liefet df = ds ϕ ds ϑ = 4π 2. (6.23) Altenativ können wi auch eine Umfangsmessung duchfühen, indem wi uns auf Punkte mit ϑ = π beschänken: 2 ds ϕ = dϕ ds ϕ = 2π. (6.24) Übe die Messung de Fläche ode des Umfanges kann man also die Radialkoodinate bestimmen. 2) Abstand von Punkten mit unteschiedliche Radialkoodinate Nun wollen wi den Abstand von Punkten mit unteschiedliche Radialkoodinate betachten, d.h. es soll gelten d 0, dt = 0, dϑ = 0, dϕ = 0. (6.25) Es folgt dann ds = 1 1 S d d. (6.26) De Abstand solche Punkte ist entspechend gegeben übe ˆ 2 s = ds > 2 1 (6.27) 1 45

51 6 Anwendungen de ART s Hoizont Photonenobit S / Abbildung 6.1: Eigenadiallänge ds zum Eeignishoizont eines Schwazen Loches in Abhängigkeit von de Radialkoodinate, nomiet bezüglich des Schwazschildadiuses S. Zu Oientieung ist de Photonenobit = 1,5 S eingezeichnet. Dot wid Licht beeits so stak abgelenkt, dass es auf eine Keisbahn um das Schwaze Loch läuft. und nicht übe die Diffeenz de Radialkoodinaten. Wi weden im Folgenden Kapitel Schwaze Löche behandeln, d.h. Massenansammlungen mit eine Ausdehung kleine als de Schwazschildadius und dann sehen, dass sich bei = S ein Eeignishoizont befindet. Fü den Abstand zum Eeignishoizont egibt sich [ s = S + S S 2 ln S Damit ehalten wi die wichtige Aussage S ( ) ] 1. (6.28) S Die Radialkoodinate ist nicht de Abstand vom Zentum de kugelsymmetischen Massenveteilung. Abbildung 6.1 zeigt die Eigenadiallänge s zum Eeignishoizont in Abhängigkeit von de Radialkoodinate entspechend Gleichung (6.28), nomiet bezüglich des Schwazschildadiuses S. 3) Bedeutung de Koodinatenzeit t Man kann noch eine weitee Folgeung aus de Schwazschild-Lösung ziehen. Wi wollen uns dazu mit de Bedeutung von t befassen. Es ist kla, dass dies die Labozeit im Unendlichen sein muss, da dot die Schwazschild-Metik in die Minkowski-Metik übegeht. Wi betachten einen an einem festen Koodinatenpunkt uhenden Beobachte, d.h. mit d = dω = 0. (6.29) 46

52 6.1 Die Schwazschild-Metik Fü ihn folgt: ( ds 2 = c 2 1 ) S dt 2 =: c 2 dτ 2 (6.30) mit de Zeit τ im Ruhesystem des Expeimentatos. Man sieht diekt, dass gilt dτ = 1 S dt < dt. (6.31) Diese Beziehung läßt einen evolutionäen Schluss zu: Eine uhende Uh in einem Schweefeld geht langsame als eine uhende Uh ohne Anwesenheit eines Schweefeldes Gavitationsotveschiebung Zu Zeitmessung benötigt man einen peiodischen Vogang. Ein solche Vogang ist beispielsweise ein atomae Übegang zwischen zwei Niveaus mit hν 0 = h/t 0, mit de Peiodendaue T 0. Bei einem solchen Übegang wid vom Atom Licht emittiet, welches im Schweefeld duch die Zeitdehnung entspechend Gleichung (6.31) otveschoben weden sollte. Wi betachten ein Atom in Ruhe bei de Radialkoodinate. Setzen wi nun fü das Eigenzeitintevall die Peiode T 0 eines solchen Übegangs in Gleichung (6.31) ein, so ehält man: T 0 t = 1 S = T () > T 0. (6.32) Dann folgt fü die Fequenz des empfangen Lichtes: ν() = 1 T () = 1 S 1 = 1 S T 0 ν 0 < ν 0. (6.33) Setzt man nun noch fü die Wellenlänge des emittieten Lichtes λ = c/ν ein, so egibt sich 1 λ() = 1 S λ 0 > λ 0. (6.34) Diese Ungleichung dückt die Gavitationsotveschiebung aus. Zu Messung de Gavitationsotveschiebung benötigt man zwei unteschiedliche Höhen, bei denen die Fequenz eines Lichtsignals gemessen wid. Wi definieen 2 := 1 + h. Wählen wi nun h klein gegen 1, so können wi ohne goßen Fehle eine Taylo- Entwicklung um 1 vonehmen, die wi nach dem in h lineaen Tem abbechen: ν( 2 ) = ν( 1 + h) = ν( 1 ) + dν d ( 1) h + O(h 2 ) = 1 S ν 0 1 ν 0 S h S 1 (6.35) 47

53 6 Anwendungen de ART Dann egibt sich fü die Fequenzveschiebung: ν = 1 2 ν 0 S h. (6.36) S 1 Nimmt man fü 1 den Edadius an, so kann man den Tem 1 S 1 fü den Schwazschildadius S gegenübe 1 im Wuzelausduck venachlässigen. Es egibt sich dann die Abschätzung: ν 1 ν 0 S h. (6.37) Fü die Ede gilt: S = 9 mm, 1 = R = 6350 km, 2 = R + h, h = 30 m, womit wi die Abschätzung ν = S 2 1 h 1 = (6.38) bekommen. Die Fequenzveschiebung wude mit Hilfe de Mößbaue 1 -Spektoskopie an 57 Fe nachgewiesen. De Mößbaue-Effekt elaubt Messungen an Kenübegängen mit eine Genauigkeit im Beeich de natülichen Linienbeite des Übegangs in de Gößenodnung von z Dabei ist die Rotveschiebung z definiet übe z = λ λ. (6.39) Abbildung 6.2 zeigt skizzenhaft den Aufbau eines Expeimentes zu Messung de Gavitationsotveschiebung. Eine angeegte Pobe 57 Fe emittiet γ-stahlung mit E = 14,4 kev. Eine um die Stecke h höhe gelegene Pobe 57 Fe kann die γ-stahlung aufgund de Rotveschiebung nicht esonant absobieen. Duch Bewegen de Pobe und den daduch auftetenden Doppleeffekt kann die Rotveschiebung kompensiet und übe die nötige Geschwindigkeit v R bestimmt weden. Pound und Rebka[3] ehielten 1960 mit h = 22.6 m in ihen Messungen einen Wet von z = (2,57 ± 0,26) 10 15, bzw. ein Vehältnis ν exp ν theo = 1,05 ± 0,10. (6.40) De Wet liegt also duchaus innehalb de Fehlegenzen. Eine genauee Messung von Pond und Snide 1965[4] liefete soga ν exp ν theo = 0,9990 ± 0,0076. (6.41) 1 Mößbaue, Rudolf, Deutsche Physike. Nobelpeis 1961 fü den nach ihm benannten Effekt. 48

54 6.1 Die Schwazschild-Metik Counts Detekto 57 Fe v v R v h γ 57 Fe Abbildung 6.2: Nachweis de gavitativen Rotveschiebung: Eine angeegte Pobe 57 Fe emittiet γ-stahlung mit E = 14,4 kev. Eine um die Stecke h höhe gelegene Pobe 57 Fe kann die γ-stahlung zuest nu schlecht aufgund de Rotveschiebung zuest kaum absobieen. Duch Bewegen de Pobe und den daduch auftetenden Doppleeffekt kann die Rotveschiebung bei eine bestimmten Geschwindigkeit v R kompensiet und übe den Wet von v R bestimmt weden. 49

55 6 Anwendungen de ART Peiheldehung In de Newtonschen Mechanik sind die Bahnen von Teilchen im Zentalgavitationspotential φ() = GM/ Kegelschnitte, also z.b. Kepleellipsen. In diesem Abschnitt untesuchen wi, wie sich de Bahnvelauf in de ART ändet. 1) Aufstellen de Bewegungsgleichungen Eine Möglichkeit fü diese Untesuchung wäe die Lösung de Geodätengleichungen fü die Schwazschild-Metik. Wi untesuchen hie stattdessen die Bewegungsgleichungen mit Hilfe de Lagangefunktion L = gµν dx µ dx ν. 2 dτ dτ Fü eine Bewegung in de Äquatoebene bei θ = π/2 mit dϑ = 0 ehalten wi L = 1 2 [ ( 1 ) ( ) 2 S dt c 2 1 dτ 1 S ( d dτ ) 2 ( ) ] 2 dϕ 2 = L(,ṫ,ṙ, ϕ), (6.42) dτ wobei wi im zweiten Schitt nach τ abgeleitete Gößen mit einem Punkt kennzeichnen: q = dq/dτ. Wi sehen, dass die Lagangefunktion nicht von den Koodinaten t und ϕ abhängt 2 und diese also zyklisch sind. Entspechend muss es zwei Ehaltungssätze geben. Zum einen de Enegiesatz 1 L ( c ṫ = zum andeen de Dehimpulssatz 1 S ) c dt dτ = A = const, (6.43) L ϕ = 2 dϕ dτ = B = const. (6.44) Als ditte Gleichung egibt sich ( ) 2 ds ( = 1 S dτ ) 2 c 2 ( ) 2 dt 1 dτ 1 S ( d dτ ) 2 ( ) 2 dϕ 2 = c 2, (6.45) dτ wobei das letzte Gleichheitszeichen wegen ds = cdτ fü Masseteilchen gilt. 2 Da wi ϑ = const gewählt haben, hängt L davon natülich in jedem Fall nicht ab. 50

56 6.1 Die Schwazschild-Metik 2) Lösung de Bewegungsgleichungen Fomulieung in altenative Fom Wi suchen die Bahnkuve (ϕ). Dazu fühen wi in einem esten Schitt die Substitutionen = 1 u, dϕ dτ = Bu2, duch. De Ausduck fü d/dτ egibt sich aus c dt dτ = A 1 S u und d dτ d dτ = d 1 dτ u = 1 du u 2 dτ = B du dϕ dτ dτ = B du dϕ (6.46) = B du dϕ. (6.47) Einsetzen de Gleichungen (6.43), (6.44) und (6.47) in (6.45) füht mit de Notation q = dq/dϕ auf A 2 B 2 u 2 B 2 u 2 (1 S u) = c 2 (1 S u). (6.48) Eine weitee Ableitung nach ϕ egibt 2B 2 u u 2B 2 uu + 3B 2 S u 2 u = c 2 S u. (6.49) Schließlich multiplizieen wi mit ( 2B 2 u ) 1 und ehalten u + u = c2 S 2B Su 2 = G M }{{} B GM c 2 u2. (6.50) K De mit K bezeichnete Tem ist dabei eine Eweiteung im Vegleich zu Newtonschen Mechanik. Behandlung mit klassische Stöungstheoie Fü Planetenbewegungen gilt S u = S 1, (6.51) de Tem 3 2 Su 2 kann dahe als kleine Stöung behandelt weden um dann eine Lösung mit Hilfe de klassischen Stöungstheoie zu beechnen. Dazu betachten wi zuest die Lösung u 0 (ϕ) de Gleichung u 0 + u 0 = c2 S 2B 2 (6.52) de Newtonschen Mechanik ohne den Zusatztem de ART. Die Lösung egibt sich zu u 0 (ϕ) = c2 S (1 + ε cos ϕ) (6.53) 2B2 51

57 6 Anwendungen de ART b f 2 c a f 1 Abbildung 6.3: Kenngößen eine Ellipse: Goße und kleine Halbachse a und b, sowie de Abstand c de Bennpunkte vom Mittelpunkt. und bescheibt wie beeits ewähnt Kegelschnitte. De Vofakto lässt sich auch ausdücken übe c 2 S 2B = 1 2 a (1 ε 2 ). (6.54) mit de goßen Halbachse a und de Exzentizität ε. Fü Ellipsen gilt 0 ε < 1, siehe (Abb. 6.3). Eine bessee Lösung u 1 (ϕ) ehalten wi dann duch Einsetzen von u 0 in den Stötem und Lösen de esultieenden Gleichung. Diese lautet u 1 + u 1 c2 S 2B Su 2 0 c2 S 2B 2 + 3c4 3 S 8B 4 ( 1 + 2ε cos ϕ + ε 2 cos 2 ϕ ). (6.55) Die Lösung diese Gleichung ist u 1 (ϕ) = u 0 (ϕ) + 3c4 3 S 8B εϕ sin ϕ }{{} A + ε2 2 [1 13 ] cos(2ϕ). (6.56) De mit A bezeichnete Tem ist popotional zu ϕ und wächst dahe bei vielen Umdehungen an. Die andeen Zusatzteme sind dagegen venachlässigba. Wi setzen den Ausduck fü u 0 (ϕ) ein und ehalten dann u 1 (ϕ) c2 S 2B 2 c2 S 2B 2 [ 1 + ε cos ϕ + ε 3c2 S { 1 + ε cos ] 4B2 ϕ sin ϕ +... ]} [( 1 3c2 S 4B 2 ) ϕ, (6.57) 52

58 6.1 Die Schwazschild-Metik wobei tigonometische Additionstheoeme vewendet wuden. Wi betachten das Agument des Cosinus. Dieses wid gleich 2π, fü ( ) ϕ = 2π 1 + 3c2 S 3. (6.58) 4B 2 Daaus egibt sich de Winkel de Peiheldehung fü nichtelativistische Geschwindigkeiten zu S ϕ = 3π c2 S 2 2B = 3π 2 a(1 ε 2 ). (6.59) Nu das eine Coulomb-Potential 1/ füht also nichtelativistisch auf geschlossene, peiodische Bahnen; jede Stöung füht zu eine Päzession de Ellipse und zu Rosettenbahnen. Die Stöung duch die Wechselwikung mit den andeen Planeten wa im 19. Jahhundet beeits quantitativ bekannt. Fü Meku betägt sie 531,5 ± 0.3 po Jahhundet. Langjähige Beobachtungen liefeten abe ± 0.4. Die Diffeenz von 42.7 ± 0.5 wa totz veschiedene Ekläungsvesuche nicht befiedigend zu ekläen. 3 Es gilt also ϕ Schwazschild-Radius. (6.60) Bahn-Radius In Abb. 6.4 ist de Effekt de Peiheldehung skizziet. P i bezeichnen die sonnennächsten (Peihel) und A i die sonnenfensten (Aphel) Punkte de Bahn. Wegen de ezipoken Abhängigkeit vom Bahnadius kann bei Meku die stäkste Peiheldehung ewatet weden. Fü ihn gilt a Meku = 57, km = 0,387 AE und a Meku = 0,206, (6.61) zum Vegleich lauten die Wete fü die Ede a Ede = 149, km und ε Ede = 0,0167. Die allgemein-elativistische Peihelbewegung des Meku po Jahhundet betägt ϕ Meku 100 Jahe = 43.03, (6.62) fü Venus dagegen 8.6 und fü die Ede nu 3.8. Die Ekläung de Diffeenz von beobachtete und mit de Newtonschen Theoie vohegesagten Peiheldehung duch Einstein wa de este goße Tiumph de Allgemeinen Relativitätstheoie. 4 Einstein schieb in einem Bief an Paul Ehenfest 5 : 3 Z.B. postuliete de Astonom Ubain Le Veie 1859 den Planeten Vulkan innehalb de Meku- Bahn, de fü die Abweichung veantwotlich sein sollte. 4 Als Einstein seine Beechnungen duchfühte, wa die Schwazschild-Metik noch nicht gefunden. Einstein vewendete dahe auch fü die Metik eine Näheung fü schwache Felde. 5 Paul Ehenfest, Östeeichische Physike, vo allem bekannt duch das Ehenfest-Theoem. 53

59 6 Anwendungen de ART Abbildung 6.4: Effekt de Peiheldehung: Duch die Abweichung vom 1/-Potential ist die Bahnkuve des Planeten nicht geschlossen. Die Punkte P i sind die aufeinandefolgenden sonnennächsten Punkte (Peihel), die Punkte A i die sonnenfensten (Aphel). Ich wa einige Tage fassungslos vo feudige Eegung Lichtablenkung im Gavitationsfeld In diesem Abschnitt diskutieen wi die Lichtablenkung im Gavitationsfeld. Dazu gehen wi zuest analog zu Peiheldehung vo und dann mit Hilfe eine andeen Fom de Schwazschild-Metik. Untesuchung analog zu Peiheldehung Zu Untesuchung de Lichtablenkung im Gavitationsfeld benutzen wi den zu Gleichung (6.45) äquivalenten Zusammenhang 6 ( ds 2 = 1 S ) 2 c 2 dt 2 d2 1 S 2 dϕ 2 = 0, (6.63) wegen de Bedingung ds 2 = 0 fü Photonen. Die weitee Behandlung ist analog zu Betachtung de Peiheldehung und füht auf die Diffeentialgleichung A 2 B 2 u 2 B 2 u 2 (1 S u) = 0. (6.64) 6 Fü Licht kann keine Eigenzeit definiet weden, dahe vewendet man i.a. den affinen Paamete λ. Wi haben dieses Notationspoblem duch Multiplikation mit dτ umgangen. 54

60 6.1 Die Schwazschild-Metik R ϕ R = sin ϕ Abbildung 6.5: Zu Lichtablenkung im Schweefeld: Eine in de θ = π/2-ebene laufende Geade wid in sphäischen Polakoodinaten duch die Gleichung (ϕ) = R/ sin(ϕ) beschieben. und u + u = 3 2 Su 2, (6.65) mit de kleinen Stöung 3 2 Su 2. Wiede benutzen wi die klassische Stöungstheoie und lösen zuest die Gleichung u 0 + u 0 = 0 (6.66) ohne Stöungstem. Dies füht auf u 0 (ϕ) = 1 R sin ϕ, bzw. (ϕ) = R sin ϕ, (6.67) also eine Geade, wobei R den minimalen Abstand zum Zentum bedeutet, siehe Abbildung 6.5 Einsetzen von u 0 in den Stöungstem füht auf die Gleichung mit de Lösung u 1 + u 1 = 3 S 2R 2 sin2 ϕ (6.68) u 1 (ϕ) = 1 R sin ϕ + 3 S [ ] 4R cos(2ϕ). (6.69) 2 Asymptotisch gilt u = 0 fü, d.h. fü einen aus dem Unendlichen kommenden Lichtstahl gilt 1 R sin ϕ + 3 S [ ] 4R cos(2ϕ) = 0. (6.70) 2 Fü ϕ 0 gilt dann ϕ R + 3 ( S ) = 0, (6.71) 4R

61 6 Anwendungen de ART d.h. Die Gesamtablenkung ist dann ϕ S R. (6.72) α = 2ϕ = 2 S R = 4G M c 2 R. (6.73) Resultat in Newtonsche Theoie Man kann fü die Lichtablenkung auch in Newtonsche Theoie einen Wet beechnen, wenn man Licht als impulsbehaftetes Teilchen betachtet, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Analog zu(6.53) haben wi dann 1 (ϕ) = u(ϕ) = c2 S (1 + ε sin ϕ). (6.74) 2B2 wegen dϕ/dt = c fü Photonen bei ϑ = π/2 gilt B = 2 dϕ ( ) Rdϕ dt = R = Rc. (6.75) dt Einsetzen in (6.74) liefet R 1 = S /(2R 2 ) (1 + ε) bei ϕ = π/2. Aufgelöst nach ε ehält man wegen R S. Fü in (6.74) egibt sich ε = 2 R S 1 2 R S, (6.76) 0 = S 2R 2 (1 + ε sin ϕ ) (6.77) und damit fü ε 1, was aus (6.76) esichtlich ist, schließlich Die Gesamtablenkung nach diese Rechnung ist also ϕ = 1 ε = S 2R. (6.78) α Newton = 2 ϕ = S R, (6.79) d.h. de halbe Wet de allgemein-elativistischen Rechnung. Die isotope Schwazschild-Metik Ein altenative Weg fü die quantitative Untesuchung de Lichtablenkung im Gaviationsfeld füht übe die isotope Schwaz- 56

62 6.1 Die Schwazschild-Metik schild-metik. Um diese einzufühen definieen wi die neue Radialkoodinate übe ( = 1 + ) 2 S. (6.80) 4 Dann folgt fü das Quadat des infinitesimalen Raum-Zeit-Elementes: ( 1 S ) 2 ( (ds) 2 = (d(ct)) ) 4 sin ϑ cos ϕ S S dx 2 mit x = sin ϑ sin ϕ 4 4 cos ϑ. (6.81) In de SRT ist die Lichtausbeitung chaakteisiet duch (ds) 2 = 0. Dies ist die Gleichung de Nullgeodäten. Wegen des Äuivalenzpinzips gilt dies dann auch in de ART mit de jeweils zuteffenden Metik. Es folgt dann Weite egibt sich dx dt = ( 1 S ) 2 ( c 2 (dt) 2 = 1 + ) 4 S S (dx) 2. (6.82) S ( 1 + c S 1 S ) c = v Licht < c. (6.83) Das Licht in de Schwazschild-Metik hat also eine geingee Geschwindigkeit, als die Lichtgeschwindigkeit in de Minkowski-Metik 7. Fomal können wi diesem Sachvehalt duch die Einfühung eines otsabhängigen Bechungsindex Rechnung tagen: c v Licht = n 1 + S. (6.84) Licht wid im Gavitationsfeld also gebeugt. Aus de geometischen Optik ist uns die Eikonal-Gleichung bekannt: d ds 0 (ns 0 ) = n. (6.85) Wobei s 0 de Tangentialvekto an die Bahnkuve des Lichtes ist (Abb. 6.6). Bezeichnet man α als den Kümmungswinkel und R als den Stoßpaamete des Lichtes elativ zu einem Steue (eben ein Gavitationsfeld), so folgt nach kuze Rechnung wiedeum α = 2 S R. (6.86) 7 Bei diese Aussage bezieht man sich auf eine globale Eigenschaft, etwa die Messung de Laufzeit des Lichts bis zu einem andeen Planeten. Es ist wichtig, dass jede Beobachte stets lokal die Lichtgeschwindigkeit c misst! 57

63 6 Anwendungen de ART α s 0 s 0 Abbildung 6.6: Die Wikung von Massen kann beschieben weden als scheinbae otsabhängige Bechungsindex de Raumzeit. Die Ändeung des Tangentialvektos s 0 ist duch die Eikonal-Gleichung gegeben. Fü die Sonne ist R = R = km, S = 3 km und dahe α (6.87) Stene, die am Himmel de Sonne seh nahe stehen, escheinen aufgund de Lichtablenkung etwas weite von de Sonne entfent, als ihe tatsächliche Position (Abb. 6.7). Da diese Stene abe nomaleweise von de Sonne übestahlt weden, ist diese Effekt nicht sichtba. Wid wähend eine Sonnenfinstenis die Sonne vedeckt, so kann die scheinbae Positionsveändeung diese Stene bestimmt weden. Duch Messungen wähend de Sonnenfinstenis am 29 Mai 1919 konnte von A. Eddington die Lichtablenkung estmals nachgewiesen weden und die Newtonsche Vohesage ausgeschlossen weden[5]. 8 Die Bekanntgabe diese Resultate efolgte am in eine eigens dafü einbeufenen Sitzung de Royal Astonomical Society in London und machte Einstein auch außehalb de Physik weltbeühmt. So schieb etwa die New Yok Times am : Lights all askew in the Heavens - Men of science moe o less agog ove esults of eclipse obsevations - Einstein Theoy tiumphs. 8 Heutzutage gibt es Zweifel daan, ob mit Eddington s Vesuchsanodnung diese Nachweis übehaupt möglich wa und e nicht bei ihm auftetende systematische Fehle weit unteschätzte. 58

64 6.1 Die Schwazschild-Metik Abbildung 6.7: Wähend eine Sonnenfinstenis escheinen Stene, die am Himmel de Sonne nah sind, aufgund de Lichtablenkung scheinba weite entfent von de Sonne (ot) als ihe tatsächliche Position ist (oange). De Effekt de Lichtablenkung wid auch als Gavitationslinseneffekt bezeichnet, da das massive Objekt, in diesem Fall die Sonne ähnlich wie eine Linse wikt. Es besteht alledings ein wichtige Unteschied: Bei eine Linse wid das Licht umso stäke abgelenkt, je weite es vom Mittelpunkt de Linse entfent auf sie auftifft. Die Lichtablenkung im Gavitationsfeld dagegegen wid dann imme kleine. Eine Gavitationslinse hat dahe keinen Bennpunkt. Eine seh gute und leicht veständliche Abhandlung übe die Lichtablenkung im Schweefeld auch unte einem geschichtlichen Aspekt findet sich in [6]. Lichtablenkung außehalb des Sonnensystems Mit den leistungsfähigsten Teleskopen ist es heutzutage möglich, diesen Effekt auch außehalb des Sonnensystems zu beobachten. Läuft etwa Licht eine weit entfenten Galaxie an einem seh massiven Objekt, etwa einem Galaxiehaufen vobei, bevo es die Ede eeicht, so titt hie wiedeum eine Lichtablenkung auf. Duch die viel gößeen Massen kann die Lichtablenkung hie noch deutlich göße sein. Licht, das vom selben Gebiet de beobachteten Galaxie in veschiedene Richtungen ausgesandt wude, kann so abgelenkt weden, dass es bei uns aus veschiedenen Richtungen ankommt. Das betachtete Objekt escheint uns dann ingfömig vezet. Man spicht dann von einem Einstein-Ring. Duch quantitative Messungen dieses Effektes kann dann wiedeum Rückschluss auf die Masse des ablenkenden Objektes gezogen weden. Duch Vegleich mit Beechnungen anhand de sichtbaen Masse in diesem Objekt zeigt sich, dass viel meh Masse fü die beobachtete Lichtablenkung nötig ist, als sichtba ist. Dies ist eine de aktuellen Hinweise auf Dunkle Mateie. Visualisieung von Einstein-Ringen Einstein-Ringe sind, wie viele andee Phänomene, die die ART voaussagt, nu schwe vostellba. Man kann sich anhand von Skizzen zwa einigemaßen klamachen, wie die Ringstuktuen zustande kommen (Abb. 6.8), 59

65 6 Anwendungen de ART Objekt Beobachte Schwazes Loch Einstein-Ring Lichtstahl Abbildung 6.8: Ein Schwazes Loch, bzw. ein andees seh massives Objekt, lenkt Lichtstahlen von dahinte befindlichen Objekten extem ab. Aus Symmetiegünden escheint das Objekt dem Beobachte als Ring um das Schwaze Loch.[7] abe eine Vostellung vom exakten Aussehen dieses Effektes kann daduch nicht geliefet weden. Mit Hilfe modene Compute ist es möglich, Einstein-Ringe physikalisch koekt zu simulieen. Am stäksten ausgepägt ist diese Effekt natülich in de Nähe von Schwazen Löchen, denn dot sind elativistische Effekte am stäksten. Duch die hohe Symmetie de Schwazschild-Metik escheint dot de Ring pefekt keisfömig. Abbildung 6.9 zeigt ein Bild de Milchstasse im flachen Raum im Vegleich mit de selben Situation, wenn sich ein Schwazes Loch zwischen de Milchstasse und dem Beobachte befindet.[8] Laufzeitvezögeung Aus de Kümmung de Bahn des Lichtes folgt, dass eine Zeitvezögeung fü von den Planeten Meku und Venus eflektiete Radiowellen bei Konjunktion von Ede, Sonne und jeweiligem Planet voliegen muss, denn wegen des Gavitationseffektes läuft das Signal nicht auf diektem Wege hin und he, sonden auf eine gekümmten Bahn (Abb. 6.10). Wiedeum kann auch im Rahmen de Newtonschen Theoie fü ein sich mit Lichgeschwindigkeit bewegendes, impulsbehaftetes Teilchen eine Laufzeitvezögeung beechnet weden. Die Egebnisse de Rechnungen lassen sich zusammenfassen zu t = (1 + γ) S c ln ( 41 2 b 2 ), (6.88) 60

66 6.1 Die Schwazschild-Metik (a) (b) Abbildung 6.9: Visualisieung von Einstein-Ringen. Abbildung a): Bild de Milchstasse im flachen Raum. Abbildung b): Bild de Milchstasse mit Schwazem Loch im Vodegund. Duch die stake Lichtablenkung escheinen Teile de Milchstasse als Einstein-Ring um den dunklen Beeich, aus dem kein Licht den Beobachte eeicht.[7] mit den Distanzen 1 und 2 von Ede und jeweiligem Objekt und dem Stoßpaamete b. Die allgemein-elativistische Rechnung füht auf γ = 1, die Newtonsche auf γ = 0, also wiede de halbe Effekt wie bei de Lichtablenkung. Zusätzlich zu Laufzeitvezögeung titt auch noch eine Doppleveschiebung des Signals auf: d t S 1 db ν = = 2(1 + γ). (6.89) yg = ν dt c b dt Im Fall in Abbildung 6.10 ist die Laufzeit des Radasignals wegen des Bechungsindexeffektes göße als nach de Newtonschen Theoie fü die Venus. Es egibt sich Abbildung 6.10: Laufzeitvezögeung des Lichts: Duch die Lichtablenkung duch die Sonne ist in Konstellation die Lichtlaufzeit göße als duch die Newtonsche Theoie vohegesagt. In Konstellation ist die Abweichung de Lichtlaufzeit geing. 61

67 6 Anwendungen de ART etwa t = 240µs bzw. t c = 36 km. (6.90) In einem Expeiment 1968 konnte I.I. Shapio[9] diese Laufzeitvezögeung bis auf 3% bestätigen (d.h. Bestimmung des Abstandes Ede-Venus auf 1 km). Neue Messung mit Hilfe de Cassini-Raumsonde Mit Hilfe de Cassini-Raumsonde konnte 2002, als sich die Sonde in Sonnenkonjunktion befand eine deutlich genauee Messung vogenommen weden[10]. Die Messungen fühten auf γ = 1 + (2,1 ± 2,3) (6.91) Auf ihem Weg zum Satun befand sich die Sonde um den 6. und 7. Juli 2002 heum in Konjunktion zu Sonne, d.h. in maximale Entfenung zu Ede hinte de Sonne, alledings nicht exakt in de Edebene, sodass sie nicht von de Sonne vedeckt wa. Da im Gegensatz zu Messung mit Hilfe de Venus in diesem Fall das Signal nicht einfach eflektiet, sonden von de Sonde empfangen und analysiet und aktiv ein Signal zuückgeschickt weden konnte, wa es möglich in diesem Fall die Göße y g seh genau zu messen und eine viel höhee Päzision zu eeichen Global Positioning System Fü den Betieb von GPS sind sowohl speziell- als allgemeinelativistische Effekte seh wichtig weshalb wi hie kuz daauf eingehen wollen. GPS besteht aus 24 Satelliten, die auf 6 Bahnen mit jeweils 4 Satelliten keisen 9 (Abb. 6.11). Die Satelliten befinden sich in eine Höhe von etwa km übe de Edobefläche und umkeisen die Ede zweimal po Tag. Aufgund de wegen de goßen Entfenung zu Ede schwächeen Gavitation gehen die Uhen de Satelliten po Tag etwa um 45 µs vo. Wegen de Bahngeschwindigkeit von etwa 3 4 km/s alledings gehen sie um etwa 7 µs nach. In de Summe egibt sich eine Zeitdiffeenz von 38 µs. Da GPS die Positionen des Nutzes übe Lichtsignale bestimmt, wüde dies auf einen Fehle von etwa 38 µs m/s = 11,4 km (6.92) po Tag fühen! Dahe ist es notwendig, dass bei GPS elativistische Effekte mitbeücksichtigt weden. 6.2 Gavitationskollaps und schwaze Löche In diesem Abschnitt befassen wi uns nochmals nähe mit de Schwazschild-Metik in Gleichung (6.19). Die Stelle = S ist poblematisch, denn dot gilt, wie man sofot sieht 9 Im ealen Betieb sind es u.a. aus Resevegünden etwas meh Satelliten. 62

68 6.2 Gavitationskollaps und schwaze Löche ϕ ϑ Abbildung 6.11: Global Positioning System: Auf 6 Bahnen laufen jeweils 4 Satelliten, insgesamt also 24 Stück. Alle Bahnen sind um ϑ = 55 gegen den Äquato gekippt und gegeneinande um ϕ = 60 vedeht. Im Bild sind wegen Positionsübeschneidungen nu 18 Satelliten gezeigt. g 00 = 0 und g 11. Wi betachten im Folgenden eine zeitatige, adiale Geodäte de Schwazschild-Metik, d.h. entspechend Gleichung (6.45), jedoch mit dω = 0. Dann gilt wegen ds 2 = c 2 dτ 2 L ( t, ṫ,, ṙ ) ( = 1 S ) ( ) 2 dt c 2 1 dτ 1 S ( ) 2 d = c 2. (6.93) dτ Dabei bezeichnet ein Punkt die Ableitung bezüglich τ. Die Koodinatenzeit t titt in diesem Ausduck nicht auf, ist also eine zyklische Koodinate und 1 L ( t, ṫ,, ṙ ) 2c ṫ ( = 1 S ) c dt dτ = C = const. (6.94) Die Konstante 1/(2c) haben wi dabei so gewählt, dass wi diesen Ausduck gleich geschickt vewenden können. Eine kleine Umfomung von Gleichung (6.93) füht dann nämlich auf C 2 (d/dτ) 2 = c 2 (1 S /), bzw. d ( C dτ = ± 2 c 2 1 ) S (6.95a) 63

69 6 Anwendungen de ART und dt dτ = C ( 1 ) 1 S. (6.95b) c Wi nehmen nun an, die Ausdehnung de Masse M, welche die Schwazschild-Metik ezeugt, sei kleine als de Schwazschild-Radius, d.h. es soll sich um ein Schwazes Loch handeln Feie Fall auf ein Schwazes Loch In diesem Abschnitt wollen wi den feien Fall eines Teilchens in ein Schwazes Loch untesuchen. Dabei inteessieen uns besondes die unteschiedlichen Beobachtungen, eines mit dem Teilchen mitfallenden und eins weit entfenten Beobachtes. In beiden Fällen soll das Teilchen bei = R > S staten. 1) Betachtung fü mitfallenden Beobachte Fü die Eigenzeit eines mitbewegten Beobachtes folgt mit Gleichung (6.95a) τ() = ˆ R d C 2 c ( ). (6.96) 2 1 S Einsetzen de Anfangsbedingung = R und (d/dτ) =R = 0 in Gleichung (6.93) füht auf ( 1 ) ( ) 2 S dt c 2 = c 2 dt bzw. R dτ dτ = 1 1 SR. (6.97) Zusammen mit Gleichung (6.94) kann damit die Konstante C bestimmt weden zu C = c 1 S R. (6.98) Einsetzen dieses Wetes in Gleichung (6.96) füht uns auf den Ausduck τ() = 1 c ˆ R d (1 S ) ( R 1 S ) = 1 c ˆ R d S S R (6.99) 64

70 6.2 Gavitationskollaps und schwaze Löche fü die vegangene Eigenzeit beim Fall bis zu Radialkoodinate. Wi vewenden zu Lösung die Substitution = R sin 2 x, d = 2R sin x cos x dx und ehalten τ() = 2 R ˆ π R 2 sin 2 c x dx S acsin R = R [ R ( 2 2c R 2 R + accos 2 ) ] 2 R 1. S (6.100) Bei = R gilt τ(r) = 0. Wi setzen nun = S in (6.100) und ehalten als Fallzeit bis zum Eeignishoizont τ( S ) = R [ ] R S ( 2 2c R 2 S R + accos 2 ) S 2 R 1. (6.101) S Das Teilchen eeicht also nach endliche Eigenzeit den Schwazschild-Radius. Weite gilt fü = 0 wegen accos( 1) = π: τ(0) = π R R. (6.102) 2 c S Das Teilchen eeicht also auch nach endliche Eigenzeit das Zentum des Schwazen Loches. Wi fühen an diese Stelle die Zykloidenkoodinate η übe = R (1 + cos η) (6.103) 2 ein. Dann gilt (η = 0) = R und (η = π) = 0 und wi ehalten den einfachen Ausduck τ(η) = R R (η + sin η). (6.104) 2c S Diese Funktion ist fü η [0,π] stetig. Das Teilchen passiet in seinem Ruhesystem demnach den Schwazschild-Radius ohne auf eine Singulaität zu stoßen. 2) Betachtung fü einen weit entfenten Beobachte Um auszuweten, was ein weit entfente Beobachte sieht, betachten wi den Ausduck t() = 1 ˆ S 1 R ( 1 ) 1 S d R c S (6.105) S R fü die vegangene Koodinatenzeit beim Fall bis zu Radialkoodinate. Dabei haben wi den Zusammenhang zwischen dt und dτ in (6.95b) zusammen mit dem Ausduck 65

71 6 Anwendungen de ART fü C aus Gleichung (6.98) benutzt um von τ() auf t() zu kommen. Wi sehen sofot, dass de Fakto (1 S / ) 1 bei = S singulä wid. Zu genauen Auswetung des Integals vewenden wi wiede die Zykloidenkoodinate und ehalten nach Integation t(η) = S c ln R S 1 + tan η 2 + R S 1 tan η 2 [ R 1 η + R ] (η + sin η) S 2 S. (6.106) Diese Ausduck divegiet, wenn das Agument des Logaithmus divegiet, also wenn R 1 = tan η (6.107) S 2 ist. Diese Bedingung kann umgeschieben weden zu (R/ S 1) = (1 cos η)/(1+cos η), bzw. cos η = 2 S 1. (6.108) R Wenn wi diesen Ausduck jetzt wiede in (6.103) einsetzen, so egibt sich D.h. fü S gilt t. = R 2 (1 + cos η) = S. (6.109) 3) Konsequenzen Fü den Beobachte eeicht das Teilchen also niemals den Schwazschild-Radius S. D.h. bei S ist ein Eeignishoizont, Infomationen übe Eeignisse bei < S können den äußeen Beobachte nicht eeichen. Dies gilt auch fü Photonen, aus dem Beeich < S entweicht also kein Licht, deshalb spicht man von einem Schwazen Loch. Die Beobachtung, bzw. de Nachweis Schwaze Löche ist dahe nu indiekt möglich. Fü die Schwazschild-Metik egeben sich auch mathematische Konsequenzen. Bei Annäheung an den Schwazschild-Radius titt eine Singulaität in ds 2 auf, de Beeich S ist in den Koodinaten (t,) nicht zugänglich. Im Eigensystem eines adial fallenden Beobachtes titt keine Singulaität bei = S auf, die Singulaität ist also koodinatenabhängig. Um dies zu vedeutlichen betachten wi einen adialen Lichtkegel mit d.h. ( ds 2 = 1 S ) ( c 2 dt 2 d ( dt = ±c 1 S 1 S ) 1 d 2 = 0, (6.110) ). (6.111) 66

72 6.2 Gavitationskollaps und schwaze Löche 0 0,2 0,6 0,8 1,2 1,5 2 Abbildung 6.12: Bei Annäheung an den Schwazschildadius veengen sich die Lichtkegel imme weite. Am Schwazschildadius sind sie dann zu eine Linie entatet und öffnen sich innehalb des Schwazschildadius entlang de Raumachse. Die Zeitkoodinate wid hie also und t ist aumatige Koodinate. 1 Die Lichtkegel veengen sich bei Annäheung an den Schwazschild-Radius. Fü > S sind sie entlang de Zeitachse geöffnet, fü < S öffnen sich die Lichtkegel entlang de Raumachse, d.h. wid eine zeitatige und t eine aumatige Koodinate. Wi weden im übenächsten Abschnitt geeignetee Koodinaten zu Bescheibung geodätische Linien einfühen. 4) Visualisieung des Falls auf ein Schwazes Loch T. Mülle[11] hat in seine Doktoabeit visualisiet, was ein in ein Schwazes Loch stüzende Beobachte sehen wüde. Bei diesem Stuz übelagen sich zwei Effekte, zum einen die Lichtablenkung aufgund de Gavitation und zum andeen die Abeation aufgund de hohen Geschwindigkeit wähend des Stuzes. Betachtet man zuest einen statischen Beobachte, de sich einem Schwazen Loch zwa nähet, abe, etwa duch den Antieb seines Raumschiffes, seine Geschwindigkeit seh klein hält, so egeben sich die Bilde in Abbildung Gezeigt ist jeweils eine Panoamadastellung des gesamten Gesichtsfelds. De Beobachte blickt diekt in das Schwaze Loch hinein. Je nähe am Eeignishoizont sich de Beobachte befindet, desto meh escheint das gesamte Univesum auf einen kleinen Ausschnitt des gesamten Blickfeldes gegenübe dem Schwazen Loch zusammengedückt. Dagegen wid diese Effekt im feien Fall wiede gößtenteils duch die Abeation aufgehoben, siehe Abbildung In diesen Bilden sind Rot- und Blauveschiebungseffekte, sowie eine sich ändende Intensitätsveteilung nicht beücksichtigt. Eine umfassendee Behandlung dieses Themas mit weiteen Bilden findet sich in [12]. 67

73 6 Anwendungen de ART Abbildung 6.13: Statische Annäheung an ein Schwazes Loch. Im Hintegund das Milchstassenpanoama; Abstand (von oben nach unten): i / S = 4,0, 3,0, 2,0, 1,5, 1,3, 1,2 und 1,1. Dastellung mit Panoamakamea mit Sichtfeld Visualisieung von T. Mülle[11]. 68

74 6.2 Gavitationskollaps und schwaze Löche Abbildung 6.14: Annäheung an ein Schwazes Loch im Feien Fall. Im Hintegund das Milchstassenpanoama; Abstand (von oben nach unten): i /S = 4,0, 3,0, 2,0, 1,5, 1,3, 1,2 und 1,1. Dastellung mit Panoamakamea mit Sichtfeld Visualisieung von T. Mülle[11]. 69