Brückenkurs Mathematik Seite: 1

Transkript

1 Bückenkus Mathematik Seite: Einfühung: Sollten Sie Pobleme beim Lösen de Übungsaufgaben haben, so wid de Besuch des Bückenkuses seh empfohlen, da mangelndes mathematisches Gundwissen zu enomen Schwieigkeiten bei de Lösung physikalische, physikochemische und mathematische Pobleme, wie sie im Gundstudium bei ca. 8% de Studieenden aufteten, füht. Folgende Zeichen sollen Ihnen bei de Lösung jede einzelnen Übungsaufgabe helfen: Wenn Sie dieses Zeichen sehen, dann scheint die Lösung leicht, ist abe schwieig. Dieses Zeichen symbolisiet eine Hilfestellung duch die Autoen. Dieses Zeichen, soll Sie auf den höchsten Schwieigkeitsgad aufmeksam machen. Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

2 Bückenkus Mathematik Seite: Übungsaufgabe : Bitte echnen Sie die angegebenen Wete um: gegeben gesucht 5 µmol mol mmol km m mm Mt t kg km/h m/s 5 kg/dm mg/mm Übungsaufgabe : Bitte eduzieen Sie den angegeben Ausduck: Polynomdivision! 5 4 =? Übungsaufgabe : Bitte faktoisieen Sie folgenden Ausduck: [( 8) ] t 4 =? Übungsaufgabe 4: Bitte veeinfachen Sie folgenden Ausduck: bc cd + 5bc 5d 6bc cd bc + d =? Übungsaufgabe 5: Lösen Sie bitte die Klamme auf, und fassen Sie zusammen: a b =? 5 Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

3 Bückenkus Mathematik Seite: Übungsaufgabe 6: Bitte lösen Sie die gegebene Gleichung nach p auf: T p = T p p κ κ =? Übungsaufgabe 7: Bitte lösen Sie die Gleichung nach L G auf: = + L + L L L L G G =? Übungsaufgabe 8: Bitte lösen Sie die Gleichung jeweils nach U und R auf: I = U R U * R U R + R R* R R + R =? =? Übungsaufgabe 9: Bitte lösen Sie folgende Gleichung jeweils nach b und a auf: I = * ( a * b + a * b )*( a + a ) ( a * b + a * b ) a + a Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

4 Bückenkus Mathematik Seite: 4 Übungsaufgabe : h = Zeigen Sie, daß die folgende Gleichung duch einsetzen von n* R = c c cv * * * + * n* R cv * ( ) n R V * p * p ( p V p V ) p ( V V ) p v zu Fom: V V h = κ * p p eduziet weden kann. Es gilt: κ = c p cv Übungsaufgabe : Fassen Sie bitte zusammen: =? Übungsaufgabe : Fassen Sie bitte zusammen: Polynomdivision! 4s 6cs 4bs 4b bc 6s 8b 4c =? Sollten Sie noch einen andeen Weg zu Lösung de Aufgabe sehen, so zeigen Sie diesen. Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

5 Bückenkus Mathematik Seite: 5 Übungsaufgabe : Anwendung des Pascal schen Deieckes! Fassen Sie bitte zusammen: a b = ( w z) 5 5 Übungsaufgabe 4: Bestimmen Sie die folgenden Deteminanten: Jetzt wid s mal kuzzeitig einfache! a c a 5 Übungsaufgabe 5: Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme mit Hilfe von Deteminanten! * ( ) 5y = y+ 4* ( ) = 6 y = + y = s+ t = 9 s t = 4 9 = 5y 4= 7y 4y+ z= 5 + y + z= + 6y z= 6 Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

6 Bückenkus Mathematik Seite: s+ t = u+ v w+ = + 4s t = 7 u+ v+ w = 7 s+ 6t = 8 u v+ 4w+ 8 = u v+ w 9 = 9 Bitte lösen Sie das Gleichungssystem 5.7. auch nach dem Gauß schen Eliminationsvefahen! Übungsaufgabe 6: Lösen Sie die Gleichung nach [L] auf: C L [ L] [ ] K* = [ L] + + K* L * C M Übungsaufgabe 7: Die Fläche eines Rechtecks betägt m. Die Diagonale ist 5 m lang. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? Eine Skizze veanschaulicht die Poblemstellung! Übungsaufgabe 8: Löse folgendes Gleichungssystem: 5 + y 4 = y + = Übungsaufgabe 9: Zelegen Sie in Lineafaktoen: 9.. t t L + sl + t ωl + L + Q 9.4. s + ts + Qs Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

7 9.5. t t + t Bückenkus Mathematik Seite: 7 Übungsaufgabe :.. Beechnen Sie a: + lg( a) *lg( a) = lg( a) + lg( a) a =?.. Beechnen Sie : lg( ) + * lg( ) lg( ) = lg( * ) =?.. Lösen Sie die Wuzel auf: lg C 5 m * a ( a) * ( nz) 4 7 =?.4. Welche Hydoidionenkonzentation hat eine Lösung vom ph-wet,6? a a.5. * 4 * * + 8 = a =? Übungsaufgabe : Zeichnen Sie die folgenden Funktionen: y = y = y = log y = log y = ep( ) y = log y = y = ln( ) e y = y = y = lg( ) y = bep[ ( a) ] a > Diskutiee den Einfluß von a und b. Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

8 Bückenkus Mathematik Seite: 8 Übungsaufgabe : Zeichnen Sie folgende Funktion schematisch: b d y = ae + ce a>, b> und c>, d> a>, b< und c>, d> a>, b> und c<, d> a<, b< und c>, d>? Übungsaufgabe : Ein Kapital vezinst sich mit 5% po Jah. Wie lange dauet es, bis sich das Kapital vedoppelt? Übungsaufgabe 4: Stellen Sie die angegebenen Funktionen bitte nach de gesuchten Vaiablen um. ep( ) + ep( ( )) y = p = p * e =? h =? γ * g* h p w = ln * z z =? Übungsaufgabe 5: Winkelfunktionen sind schwieig, abe zwingend notwendig! Beechne: sin( α + β) cos( α + β) tan( α + β) cot( α + β) sin( * α) Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

9 Bückenkus Mathematik Seite: 9 Übungsaufgabe 6: Zeichnen Sie die Funktionen und deen Umkehfunktionen: y = *sin( ) y = cos( * ) y = tan( * ) π y = *cos * Übungsaufgabe 7: In einem echtwinkligen Deieck ist a= 7 cm und α= 4. Beechnen Sie alle übigen Seiten und Winkel. Übungsaufgabe 8: Jemand eblickt die Spitze eines Schonsteins aus 5 m Entfenung unte einem Winkel α= 4. Wie hoch ist de Schonstein, wenn die Augenhöhe,4 m betägt. Können Sie die Edkümmung venachlässigen? - Begünden Sie Ihe Aussage. Übungsaufgabe 9: Stellen Sie folgende Gleichungen um: t = e 4 z =? cos ( z ) a+ b y = *sin[( + )] =? Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

10 t = 4 *actan u u =? Bückenkus Mathematik Seite: * t + w y = *acsin 6 =? ( ) Übungsaufgabe : Atome haben in einem Koodinatensystem folgende Koodinaten: A (-;), B (;-), C (,5;) Wie lauten die Geadengleichungen a, b, c duch diese Punkte? Wie goß sind die Winkel? Übungsaufgabe : Bestimmen Sie die Patialbuchzelegung von: + 5( + ) ( ) ( ) + * * ( + ) 4 Übungsaufgabe : Bestimmen Sie die Nullstellen, Polstellen und das Vehalten von f(t) in de Umgebung de Polstellen, sowie das asymptotische Vehalten von: f ()= t t 5 f ()= t t ( t + ) f t t ( ) ( ) ( ) = t 4 * t + Übungsaufgabe : [ ] Beechnen die Gleichung de Tangente in f( ).. f ( ) = =.. f ( ) = + = f ( ) = + =.. ( ) Übungsaufgabe 4:, : Beechnen Sie die Ableitungen de angegebenen Funktionen: Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

11 Bückenkus Mathematik Seite: FUNKTION ABL. FUNKTION ABL. 4.. ki i () = * i + i f ( ) = sin ( ). 4.. t t f ( ) = ( + ). pt ()= t κ 4.. p T dp = κ p * e f () = 4. =? T dt 4.4. g ( ) = U ( )* V ( ).;.;. 4.. e *sin ( + cos). f () = sin f ( ) =. f ()= f ()= f ()= Übungsaufgabe 5: Integieen Sie: + d d + e d ( e + ) d ( + ) d ( sin + cos ) d Übungsaufgabe 6: Integieen Sie: ( a + b) d d ( a+ ) n e d cos( ) d d sin( ) d a + b ( ) d d + a d a + bd c ( a ) d ( ) a h h d ( ) d ( ) T T T T dt Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

12 Bückenkus Mathematik Seite: Übungsaufgabe 7: Integieen Sie: *sin( ) d ln( ) d *ln( ) d cos ( d ) sin ( d ) + d π sin ( d ) Übungsaufgabe 8: ( ) Beechnen Sie das Volumen eine Kugel. { y f } + = = Integationsgenzen von bis. ; ( ) in den Übungsaufgabe 9: Beechne die Bogenlänge eines Keises: = + y in den Integationsgenzen von bis. Übungsaufgabe 4: Beechne die Obefläche eine Kugel in den Integationsgenzen von - bis. Sie haben es nahezu geschafft, sich duch das Labyinth zu kämpfen. Übungsaufgabe 4: Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

13 Bückenkus Mathematik Seite: Ein offenes Ausgleichsgefäß wid mit V & = L min gefüllt. Wenn das halbe Kesselvolumen von 5 L eeicht ist, schließt das Zulaufventil automatisch und übe ein Ablaufventil läuft die Flüssigkeit mit V & = L min in einen Mischbehälte ab. Duch einen technischen Defekt, bei einem Füllstand von 4 dm, wid das Ablaufventil ausseplanmäßig geöffnet, gleichzeitig vesagt die NOT-AUS -Schaltung des Zulaufventiles, so daß beide Ventile gleichzeitig geöffnet sind. Beechnen Sie die Zeit, die den Techniken vebleibt das Zulaufventil zu epaieen, ohne daß das Ausgleichgefäß übeläuft. Das Symbol V & bezeichnet man in de Technik als Volumenstom. Es stellt die veküzte Scheibweise des Diffeentialquotienten dv dt da. Das wa s! - Abe bitte den Rechne nicht deleten, Sie bauchen ihn noch!! Folgende Büche sollte jede Studieende in de Chemie zu Aufabeitung de Volesung in de Mathematik, Physik und Datenveabeitung besitzen ode in de Bibliothek (begenzte Anzahl) echtzeitig ausleihen. Oft können diese Standadweke auch bei ebay günstig esteiget weden.. Batsch, Taschenbuch Mathematische Fomeln, Velag Hai Deutsch, Fomelsammlung. Bonstein u.a.:, Taschenbuch de Mathematik, Velag Hai Deutsch, Fomelsammlung. Zachmann, Mathematik fü Chemike, Velag Chemie 4. Papula, Mathematik fü Ingenieue Bd. -, Velag Vieweg 5. Lotha Kusch, Mathematik alle 4 Bände 6. Walthe Biestefeld, Mathematik fü die Fachhochschuleife Pof. D. Enst Cleve, HN, FB

14 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: I Übungsaufgabe : Umechnung von Maßeinheiten: gegeben 5 µmol 5* -6 mol 5* - mmol km m 6 mm Mt * 6 t * 9 kg km/h m = 7, 8, 6s m s 5 kg/dm 6 5* mg 6 mm 5 mg/mm Übungsaufgabe : + + Übungsaufgabe : ( t 4 8) = ( t + 9) *( t + ) *( t ) Übungsaufgabe 4: bc cd + 5bc 5d = + * 6bc cd bc + d c Übungsaufgabe 5: a b = a a b + a b a b + ab b Übungsaufgabe 6: p = T p * T Übungsaufgabe 7: ( ) LG = L * L * L * L * L + L * L + L * L Übungsaufgabe 8:

15 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: II U U R = I * R R * R *( U U ) R + R R = IR + U Übungsaufgabe 9: a = I * a ( ) a * b b I a b = b I * a + a * a Übungsaufgabe : Lösung siehe Aufgabenblatt!! Übungsaufgabe : + + Übungsaufgabe : 4s + b Übungsaufgabe : Lösung siehe Übungsaufgabe 5!! Übungsaufgabe 4: a ac 5 * a Übungsaufgabe 5: = = = =- u= = ; s = ; t = y= - y= y= -5 y= 4 4 Übungsaufgabe 6: =5 y= z=8 v= w= =- L / ( ) ( ) C C * K C C * K 4 * K * C = * K M L M L L Übungsaufgabe 7:

16 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: III a b / / 4 = 4 = Übungsaufgabe 8: y / / = = Übungsaufgabe 9: ( t )( t ) s s L / = / L L Q = = / = / 4 ( L L )( L L )( L L )( L L ) 4 ( L L )( L L ) t t s / = ( )( ) S S S S S t Q 9.5. ( t + )( t ) Übungsaufgabe :.... =5 a = a = ( ) 7( ) C lg m lg 5 lg a lg lg n lg z c.5. a = a = OH =, 8 * mol L

17 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: IV Übungsaufgabe : y=^ y=e^ y=^ y=,5^ y=ep(-) y=^(-) y=(log())/(log()) y=ln() y=log() y=(log())/(log(.)) y=(log())/(log(.5))

18 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: V,,,8,6 Funktion mit a= und b= Funktion mit a= und b= Funktion mit a= und b= Funktion mit a= und b=,4,,,8,6,4,, -, - Fü b< wid die Funktion an de Abszisse gespiegelt. Übungsaufgabe : Übungsaufgabe : t= 4, Jahe Übungsaufgabe 4: ( ) = ln y y z ( e w ) = 4 + h = p p * g * ln p

19 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: VI Übungsaufgabe 5: ( ) sin + = sin * cos + cos * sin ( ) cos + = cos * sin sin * cos tan + tan tan( + ) = tan * tan sin( a ) = sin * cos cot( + ) = cot *cot cot + cot Übungsaufgabe 6: y=*sin()

20 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: VII Spiegelfunktion: y=asin(/) - - y=cos(*)

21 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: VIII Spiegelfunktion: y=.5*acos() - y=tan(*) 5-5 -

22 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: IX Spiegelfunktion: y=.5*atan() y=*cos(*(-pi/6))

23 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: X Spiegelfunktion:,6,4 y=(pi/6)+(/)*acos(/),,,8,6,4 - Übungsaufgabe 7: = 4 = 5 = 9 a = 7cm b = 8, 4cm c =, 89cm Übungsaufgabe 8: h=57,9 m Übungsaufgabe 9: z = + accos ln 4t u = cot t 4 = c * y acsin a + b y = 6 sin * t + w Übungsaufgabe : a = b = c = = 45 = 756, = 6, 4

24 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: XI Übungsaufgabe : + 5 ( + ) ( ) 5( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4( + ) ( + ) Übungsaufgabe..: Nullstelle t=5/ Polstelle t= Asymptote: f ( t ) = - 4

25 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: XII Übungsaufgabe..: Nullstellen: keine Polstelle t= - Asymptote: ( ) f t =,4,,,8,6,4,, -4-4 Übungsaufgabe..: hebbae Lücke: t= Polstelle: t=- und t=- Asymptote: f ( t ) = Nullstellen: keine 5-5 -

26 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: XIII Übungsaufgabe : y = y = + + y = + 4 Übungsaufgabe 4: dk di dp dt dp dt = i i + * + i + i * i i + i t = t t t t t t t * * T T = p p p * * T g' = u * v' + u' v g'' = uv'' + u' v' + vu'' g''' = uv''' + u' v'' + v' u'' + u''' v f '( ) = ode f '( ) = df ( ) d f '( ) = df ( ) d ( + 7 5) ( + 7 5) = 4 sin( ) cos( ) ( + ) e ( ) = 4e * e * ln 4 * + ( ) ( ) * e * cos( ) sin( ) * e * sin( ) + cos( ) f '( ) = sin( ) sin( ) y' = * cos( ) ln( ) + df ( ) d + = + ln y' = * Übungsaufgabe 5: + * * ln ( + ) + + c * 5 5 6* + c e + ln + c ( ) e e+ + + c c cos( ) + sin( ) + c

27 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: XIV Übungsaufgabe 6: 4 ( ) 4a a + b + c a + + c sin( ) + sin ( ) + c n e a n + c * ln ( a + b) + c acsin + c actan( + ) ( c a c a ) c actan c a + a ( a + b) + c a h h ln T T T T + ( ) Übungsaufgabe 7: ( ) n+ *sin( ) + cos( ) + c * ln( ) + c n + n + 4 * ln( ) + c ( ) sin( ) + c ( ) 4 + c + c + sin( ) ( ) Übungsaufgabe 8: V = * Übungsaufgabe 9: s = * Übungsaufgabe 4: O = 4 * *

28 Lösungen zum Mathematikbückenkus Seite: XV Übungsaufgabe 4: t= 75 Minuten Die Autoen möchten an diese Stelle fü konstuktive Kitik, Hinweise und Vebesseungsvoschläge aus dem Lesekeis besondes danken. Wi weden uns bemühen, diese, wo imme möglich, zu beücksichtigen. He D. E. Cleve Tel.: 8/89958