Funktionen beschreiben mathematisch den Zusammenhang zwischen 2 Größen bzw. Mengen.

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1 I. Funktionen Funktionen beschreiben mthemtisch den Zusmmenhng zwischen Größen bzw. Mengen. Allgemein: f() bhängige Vrible unbhängige Vrible Funktion: Gegeben seien die Mengen A und B. Ist jedem Element A eindeutig ein Element B zugeordnet, so nennt mn die Menge {(;) A ist ein B eindeutig zugordnet} A B eine Funktion von A in B. Definitions- (D) und Wertebereich (W): Ist f eine Funktion von der Menge A in die Menge B, so nennt mn D den Definitionsbereich von f, die Elemente von D heißen Argumente. Die Menge B heißt Zielmenge. Ist (;) f, so heißt der dem Argument eindeutig zugeordnete zweite Wert Funktionswert von. Mn schreibt f() (gelesen: gleich f von ). Die Menge ller Funktionswerte heißt Wertebereich W der Funktion. Es ist W {f() D}. Im folgendem werden nur die häufigsten in den Nturwissenschften vorkommenden Funktionen besprochen:.) Linere Funktionen:. linerer Zusmmenhng zwischen und Konstnte, gibt Steilheit der Gerden n Bsp: m V.ρ m f(v) Mthemtische Übungen Kp. /9 Hofmnn / Lettner

2 diese Funktion geht durch den Nullpunkt Allgemeiner Fll: Gerde geht nicht durch den Nullpunkt. + b,b...konstnte; Steigung, b Abschnitt uf der - Achse für (, ) (/b) - (, ) Δ - Anstieg b (-b/,) b gibt die Lge uf der -Achse reltiv zum Nullpunkt n b b Bsp : V(T) V + T Steigung durch Winkel usdrücken: α. tn(α ) tn α gibt die Steigung n Sonderfälle: () - + b ; negtive Steigung Mthemtische Übungen Kp. /9 Hofmnn / Lettner

3 (b) ; α 45 ; tn α (c) b. Potenzfunktionen: n Grd der Funktion Allgemein: n ;,n Konstnte z.b. n qudrtisch n 3 kubisch linere Funktionen sind ein Sonderfll der Potenzfunktion : Qudrtische Funktion: Potenzfunktion. Grdes Bsp: > Prbel, ( o) z.b. Würfel: Fläche 6 g Wurfprbel (freier Fll) : s t f( ) Nullpunkt b b 3 f( ). f( ). f( ) f( ) b b b Mthemtische Übungen Kp. 3/9 Hofmnn / Lettner

4 b verschiebt die Prbel uf der -Achse b -b +b b b umdrehen der Prbel : Multipliktion mit (siehe Vektor) Beispiel: Wurfprbel - +b b 3 f( ). b f( ) 3, f( ). 5 Frge: oder p. ; (p ) 5 5 f( ) Mthemtische Übungen Kp. 4/9 Hofmnn / Lettner

5 Inverse Potenzfunktion ) +b - +b o Hperbel f3( ). b (Ungenuigkeit der Drstellung in der Umgebung von ) f3( ) 5 5 b) inverse qudrtische Funktion: kommt in den Nturwissenschften sehr häufig vor. o Beispiel: Grvittionsgesetz, Coulombgesetz QQ F(r) 4πε r f4( ) b. f4( ) 5 5 Krft zwischen zwei Körpern nimmt mit Abstndsqudrt b 3.) Polnome n llg. n + n n.+ o n. Grd, höchste Potenz z.b. Polnom ten Grdes + b. + c Bsp. Mit: b 3 c 5 f( ). b. c Mthemtische Übungen Kp. 5/9 Hofmnn / Lettner f( ) b.- Term verändert die Prbel insgesmt und verschiebt die Kurve entlng der - Achse

6 Einfche Verschiebung entlng der -Achse um den Wert nch rechts: f5( ) ( ) f( ). 8. f( ). 4. f3( ). f5( ) 5 f( ) f( ) f3( ) ) Qudrtische Gleichungen: Normlform: +b+c b + p + q ; p, q c, b ± b 4c p p, + q Frge: Für welche Werte von gilt? + b + c oder: Wo schneidet die Prbel die -Achse Diskriminnte D b 4c D < keine reelle Lösung, komplee Lösungen D > reelle Lösungen D reelle Lösung Mthemtische Übungen Kp. 6/9 Hofmnn / Lettner

7 z.b Lösung durch Ergänzen uf vollständiges Qudrt: ( ) , ± ) Periodische Funktionen: (Trigonometische Funktionen) z.b. sin α, cosα Einheitskreis (Rdius mit der Länge, Rottionsrichtung linksdrehend). II I α sin α III IV cos α Vorzeichen: I II III IV sin(α) cosin(α) Mthemtische Übungen Kp. 7/9 Hofmnn / Lettner

8 Sin und Cos-Funktion f( α ) sin( α ) g( α ) cos ( α ).5 Bsp.: Hrmonische Schwingung Amplitude: I 3 I( ) I. sin( ) 6 f( α ) g( α ) α I( ) Rechtwinkeliges Dreieck: c sin α [-, ] c b cos α [-, ] c α b. tn α b sinα cos α R b cot α.. cos α sin α R tn α im Englischen oft verwendet: sec α cosα cosecα sinα Winkelfunktion und Umkehrfunktion: Arcus-Funktion z.b. sin rcsin Mthemtische Übungen Kp. 8/9 Hofmnn / Lettner

9 Trigonometische Formeln: cos α + sin α cos α cos α sin sin α sin cosα α Trigonometrische Polnome: Allg.: + cos(ωt) + cos(ωt) n cos(nωt) + b sin(ωt) + b sin(ωt) +.+ b n sin(nωt) ω πf, ω Kreisfrequenz, f Umdrehungen/t ω.t [t - ].[t] dimensionslos Anpssung periodischer Dten durch ein trigonometrisches Polnom : Hrmonische Anlse oder Fourier- Anlse (später: Fourier Reihe) + ( n cos n + bn sin n) n 6.) Eponentilfunktion: Steigende e-funktion Fllende e-funktion F() oder f() e ln() f( ) e f( ) f( ) >o, b Vrible in Eponenten (Nmen!) (Potenzfunktion: Vrible in Bsis) Mthemtische Übungen Kp. 9/9 Hofmnn / Lettner

10 z.b. f( ) 4 f( ) 5 5 Sonderfll : Bsis e noch wichtiger:.e b.e b Zunhme Abnhme g( ) e g( ) e g3( ) e. g( ) g( ) g3( ) 5 Diese Funktion ht in den Nturwissenschften eine etreme Bedeutung, sie ist vielleicht die wichtigste Funktion überhupt Die Eponentilfunktion (e ± ) tritt stets dnn uf, wenn die Zu- oder Abnhme einer Größe dem jeweiligen Wert dieser Größe proportionl ist. d (später: Differentilgl: k) d Beispiel: Rdioktiver Zerfll N (t) N (o) e -λ λ Zerfllskonstnte Der Eponent muss dimensionslos sein, dher ist die Einheit von λ [t - ] Mthemtische Übungen Kp. /9 Hofmnn / Lettner

11 Beispiel: dn dt λ N Zeitpunkt t: λt Zerfll der Ausgngssubstnz: N ( t ) N () e λt Anwchsen des Zerfllsproduktes: N N ( e ) ( t) () verschiedene Hlbwertszeiten: t t 5 Anfngsktivität: N N( t ) N. λ t. e N( t ) N. λ t. e 3 Zerfllskonstnten: λ ln( ) t λ ln( ) t N( t) N( t) t Hlbwertszeit HWZ: Nch der HWZ (oder t / )ist nur mehr die Hälfte der Ausgngsktivität vorhnden. λ ln()/hwz Der rdioktive Zerfll des zerfllenden Elementes führt zum Anwchsen des Zerfllsproduktes: N3( t ) N. λ t. e N4( t ) N. e. λ t 3 N3( t) N4( t) t Mthemtische Übungen Kp. /9 Hofmnn / Lettner

12 Rechenregeln:... n,,... () (b) n n n. b (. b) (gleicher Eponent) (c) (d) n n n : b b n m n+ m. (gleiche Bsis) n n m n m : m m n ( ) n. m 7) Logrithmus - Funktionen: Def: Ist die Umkehrfunktion der Eponentilfunktion Bemerkung: Andere Umkehrfunktionen sind leicht berechenbr oder eigene Funktionen z.b.. ± eigene Funktion log ; > o, sprich: ist der Logrithmus von zur Bsis Sonderfälle : Bsis e : e log ln e ACHTUNG: ln log im Englischen Beispiele: Bsis : log () wird Log, log, log 3 3 log und ln. ln e, ln e, ln e 3 3 (Jede Zhl hoch ist eins) Mthemtische Übungen Kp. /9 Hofmnn / Lettner

13 Rechenregeln: log + log log log log log log log log log n n Logrithmieren: Rechenopertionen werden um eine Hierrchie niedriger, bzw. beim Entlogrithmieren umgekehrt um eine Hierrchie höher. z.b. Add. Multip. Hlblogrithmische Drstellung verschiedene Hlbwertszeiten: t t 5 Anfngsktivität: N N( t) N( t) Zerfllskonstnten: λ ln( ) t λ ln( ) t N( t ) N. λ t. e N( t ) N. λ t. e. t Aus der Steigung der Gerden knn der Eponent bestimmt werden, in diesem Fll -λ und -λ. : Beispiele: (Rechenregeln) () Zurückführen uf einfche Ausdrücke log 3 + b 3 b c ( + c) log + log( + b) + 3log +log b - log c log (+c) 3 Mthemtische Übungen Kp. 3/9 Hofmnn / Lettner

14 () Zusmmenfssen von Logrithmen: log (+b) + log (-b) - log( b ) log ( + b)( b) b (3) Hlbwertszeit t / t t / : N (t) N (o) e -λt Für t t N () λ / gilt : N(). e. t/. t/ e λ (Umkehrfunktion: Logrithmieren ) ln λ. t/ ln ln +λ. t { / o +ln +λt / t / ln λ Umrechnen log ln log e ln e ln.log dher : ln ln.log Mthemtische Übungen Kp. 4/9 Hofmnn / Lettner

15 II. Differentilrechnung α Δ Bedeutung der Differentition: Wie schnell (oder wie strk) ändert sich eine Funktion n einer bestimmten Stelle? () (b) bruchen mindestens Punkte, um eine Steigung (Differenz) bilden zu können möchte hier Steigung in einem Punkt Differentition Differenzenquotient: Δ ( ) tn α Δ Je kleiner Δ wird, umso genuer psst sich Seknte der ttsächlichen Kurve n: Im Grenzfll für Δ wird die Seknte zur Tngente (wenn die Funktion f() schon eine Gerde ist, dnn ist die Seknte immer schon eine Tngente. Der Differentilquotient ist dnn konstnt. Ist die Funktion keine Gerde, dnn ist der Differentilquotient keine Konstnte). Sprechweise: Δ geht gegen Null: Δ d, d Aus dem Differenzenquotient wird der Differentilquotient Differentilquotient: lim Δ Δ rithm. Def d d tnα geometr. d stellt die Steigung der Funktion f() in Punkt dr. d Mthemtische Übungen Kp. 5/9 Hofmnn / Lettner

16 Schreibweisen: d, d f (), (sprich: f-strich von, -Strich) Beispiel: Betrchte die Funktion ²; Diese Funktion ht n jedem Punkt eine ndere Steigung. Mithilfe der Differentilrechnung knn nun eine Funktion für die Steigung n jedem beliebigen Punkt gefunden werden: ( Δ ( Δ Δ Δ Δ f ( ) + Δ) + Δ) + Δ + Δ Δ Δ + Δ Δ + Δ f( ) f( ) f( ) : f( ) : Grenzübergng : d d lim lim Δ Δ Δ + Δ Prbel f() ² und Ableitung f () Spezielle Abkürzung, wenn f(t) (Zeitfunktion) d & dt Rechenregeln: k k k n n n. ln log ln. ln e e (ln e) sinα cosα Mthemtische Übungen Kp. 6/9 Hofmnn / Lettner

17 cosα tnα cotα sinα cos α sin α Summenregel: Produktregel : Quotientenregel : u() + v() u () + v () u () v () ` u () v() + u() v () u( ) v( ) u ( ) v( ) v ( ) u( ) v( ) Kettenregel : f(u()) oder f(u) und u u () f (u()). u () df d df du du { d df/du ist die äußere, du/d ist die innere Ableitung Ableitung höherer Ordnung : n ( n) d Allgemein: n d Beispiele: f () 4 I 4 3 II III 4 IV (4) ( ) 4 V Bsp : wird bei Kurvendiskussionen gebrucht Beispiel us der Phsik : Geschwindigkeit: ds v (. Ableitung des Weges nch der Zeit) dt dv d s Beschleunigung: (. Ableitung des Weges nch der Zeit) dt dt Mthemtische Übungen Kp. 7/9 Hofmnn / Lettner

18 Prtielle Differentile: Ws pssiert bei einer Funktion von zwei oder mehreren Vriblen, z.b. f(,)? z f (,) z Mit der Schreibweise... wird usgedrückt, dß es sich um ein prtielles Differentil hndelt. z... z... seprte Ableitung der Funktion z von seprte Ableitung der Funktion z von jetzt gleichzeitige Abhängigkeit: totles Differentil dz z z d + d Beispiel: z f (,) z z ; dz (3 + 4) d + (7 3 ) d Kurvendiskussion Tngenten. Ableitung: Die Steigung der Tngente bei (loklen) Etremwerten, ds sind Minim und Mim, wird. (d.h. Steigung ). Ableitung: * An Wendepunkten ist die. Ableitung! * Aus der. Ableitung läßt sich feststellen, ob es sich bei dem Etremwert um eine Mimum oder ein Minimum hndelt. Mimum: < Minimum: > Mthemtische Übungen Kp. 8/9 Hofmnn / Lettner

19 Beispiele: ) ` 6 (43 ) u u v v u (Anwendung der Quotientenregel: ) v v 6(4 ) 3 (4 ) (4 ) (4 ) ( ) ) 3 ( 5) 3( 5) { 6( 5) innereableitung 3) sin (ωt + ß) ω.cos(ωt + ß) ; (ω ist die innere Ableitung) 4) tn sin cos cos cos sin ( sin ) (cos ) cos + sin cos cos Mthemtische Übungen Kp. 9/9 Hofmnn / Lettner