Zur Propädeutikvorlesung Teil 1 für Studierende der Medizin, Zahnmedizin und Biochemie/Molekularbiologie. Dr. H. Salehi. Universität Hamburg

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1 Zur Propädeutikvorlesung Teil für Studierende der Medizin, Zhnmedizin und Biochemie/Molekulrbiologie Dr. H. Slehi Universität Hmburg Fchbereich Phsik WS 004/005

2 Inhlt Mthemtische Funktionen 3. Zusmmenhng zwischen zwei Messgrößen 3. Mthemtischer Funktionsbegriff 3 Linere Funktionen, Proportionlität 5. Bestimmung der Steigung 5.. Bestimmung der Steigung mit Hilfe der Koordinten 5.. Bestimmung der Steigung us dem Grphen 6. Bestimmung der Funktionsgleichung einer Gerden us ihrem Grphen 7.3 Anwendungsbeispiele 8.3. Gerdlinig gleichförmige Bewegung 8.3. Gleichförmig beschleunigte Bewegung Gleichförmig verzögerte Bewegung Ohmsche Leiter 0.4 Messwerte und ihre grphische Drstellung 0 3 Potenzfunktionen, Prbel, Hperbel 3. Prbel 3. Allgemeine Form einer qudrtischen Funktion (Prbel) Anwendungsbeispiel Potenzfunktion mit einem negtiven Eponenten Anwendungsbeispiel 7 4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen 8 4. Messung von Winkeln 8 4. Sinusfunktion, Kosinusfunktion Grphische Drstellung der Sinusfunktion sinϕ 4.3 Verllgemeinerung der Sinusfunktion 4.4 Anwendungsbeispiele 4 5 Potenzen, Eponentilfunktion 8 5. Potenzen 8 5. Eponentilfunktionen Anwendungsbeispiele Die Sättigungsfunktion 35 6 Logrithmus Logrithmus zur Bsis Allgemeine Definition des Logrithmus Rechenregeln für den Logrithmus Logrithmusfunktion Anwendungsbeispiel Drstellung von Funktionen in Digrmmen mit logrithmisch geteilten Achsen Einfch-logrithmisches Ppier Anwendungsbeispiel Drstellung der Potenzfunktionen uf doppelt-logrithmischem Ppier Anwendungsbeispiel 45 Aufgben zu Abschnitt und 46 Aufgben zu Abschnitt 3 48 Aufgben zu Abschnitt 4 49 Aufgben zu Abschnitt 5 und 6 5

3 Mthemtische Funktionen. Zusmmenhng zwischen zwei Messgrößen In der Nturwissenschft werden meistens die Zusmmenhänge zwischen zwei Messgrößen untersucht. Zum Beispiel wird bei einem Freien Fll die Fllgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gemessen. Bei einer gleichförmig gerdlinigen Bewegung wird die zurückgelegte Wegstrecke ebenflls in Abhängigkeit von der Zeit gemessen. Als Ergebnis der Messung ht mn eine Messreihe, die us Wertepren besteht und sich zu einer Wertetbelle zusmmenstellen lässt. Mn knn die beiden Messgrößen llgemein mit und bezeichnen. Mthemtisch forml schreibt mn: f () ist eine Funktion von. Beim Freien Fll wird z.b. Zeit (t) und Fllgeschwindigkeit (v) gesetzt. Bei einer gleichförmig gerdlinigen Bewegung wird ebenflls Zeit (t) gesetzt, knn in diesem Fll die zurückgelegte Wegstrecke s sein.. Mthemtischer Funktionsbegriff Im folgenden wird durch ein Beispiel die mthemtische Beschreibung der Abhängigkeit zweier Größen voneinnder genuer untersucht. Bewegt sich ein Körper so, dss er uf gerdliniger Bhn in gleichen Zeitbständen gleich lnge Strecken zurücklegt, bezeichnet mn seine Bewegung ls gleichförmig gerdlinig. Bei einer Messung wird der Bewegungsbluf quntittiv untersucht. Mn misst zwei Messgrößen:. Zeit in s (Sekunde). Wegstrecke in m (Meter) Die Messung wird für verschiedene Zeitpunkte durchgeführt. Dbei erhlten wir eine Messreihe, die us Wertepren, besteht und eindeutige Zuordnung zueinnder hben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diesen Zusmmenhng drzustellen. ) Aufstellung einer Wertetbelle: Zeit Sekunde Weg Meter 0 0,0 0,6, 3,8 4,4 5 3,0 6 3,6 3

4 Eine solche Tbelle nennt mn Wertetbelle. Die -Werte (in diesem Fll die Zeitwerte) werden Definitionsbereich und die entsprechenden -Werte (in diesem Fll die Werte der Wegstrecke) werden Wertebereich gennnt. b) Grphische Drstellung oder Digrmme Mn knn die Wertetbelle uch grphisch drstellen, indem mn die Wertepre ls -- Punkte in einem krtesischen Koordintensstem drstellt. Weg m Wir können durch eine gezeichnete Kurve eine Zuordnung für die Zwischenwerte herstellen. Im einfchsten Fll wird ngenommen, dss die Verbindung zwischen zwei Punkten eine Gerde ist. c) Mthemtische Formel Der Zusmmenhng zwischen und (Zeit und Wegstrecke) lässt sich ber uch mthemtisch ekt durch eine Formel drstellen: m mit 0, 6 s Bei llen 3 Drstellungen ist festzustellen, dss eine eindeutige Zuordnung von -Werten zu -Werten besteht. Definition: Eine Funktion ist eine Reltion zwischen zwei Mengen D und W, in der jedem Element us D ein bestimmtes Element us W zugeordnet ist. Allgemein wird smbolisch eine Funktion so drgestellt: Wir lesen : heißt bhängige Vrible, f () gleich f von oder gleich eine Funktion von heißt unbhängige Vrible. Die Menge D enthält -Werte und heißt Definitionsbereich. Die Menge W enthält -Werte und heißt Wertebereich. Bemerkung: Im Beispiel der Bewegung ist: s Zeit f ( ) bzw. In der Phsik ist es üblich, für einige Größen bestimmte Buchstben zu benutzen. Bei einer gleichförmig gerdlinigen Bewegung wird für die Zeit t und für die Wegstrecke s verwendet. Die Konstnte ist hier gleich der Geschwindigkeit des Körpers und wird mit v bezeichnet, so dss s v t 4

5 Linere Funktionen, Proportionlität Bis jetzt hben wir die Funktionsgleichung kennen gelernt. Der Grph der Funktion ist eine Gerde, die durch den Nullpunkt geht (siehe Abb. Im Abschnitt ). Die llgemeine Gleichung der Gerden lutet: + b Diese Funktion wird uch eine linere Funktion gennnt. Setzt mn b0, dnn hben wir. In diesem Fll besteht zwischen und ein bestimmter Zusmmenhng, den mn Proportionlität nennt. Mn schreibt Mn liest: ist proportionl zu. Bei der Funktionsgleichung heißt Proportionlitätskonstnte. Die Konstnte ht eine geometrische Bedeutung, ist die Steigung der Gerden. Ds gilt uch für den llgemeinen Fll. In der llgemeinen Gleichung + b ist b der Schnittpunkt der Gerden mit der -Achse n der Stelle 0.. Bestimmung der Steigung.. Bestimmung der Steigung mit Hilfe der Koordinten Allgemein wird die Steigung einer Gerden + b definiert ls P P ϕ (, ) und (, ) sind zwei beliebige Punkte uf der Gerden. 5

6 Für und gilt + b und entsprechend + b Setzt mn die Definitionsgleichung für die Steigung ein, so erhält mn ( + b) ( + b) ( ) Sind lso zwei Punkte der Gerden beknnt, so lässt sich berechnen gemäß.. Bestimmung der Steigung us dem Grphen Einer gezeichneten Gerden lässt sich die Steigung leicht entnehmen, nämlich mit Hilfe des sog. Steigungsdreiecks, siehe Abb Die Steigung der Gerden bestimmt mn ls Quotient der beiden Ktheten und des Steigungsdreiecks. Ds Zeichen ist der griechische Buchstbe Delt und soll hier die Differenz der beiden -Werte ( ) bzw. der -Werte ( ) drstellen: 4,,5,68 Dbei muss mn sorgfältig uf die Mßstäbe der beiden Achsen chten und die Einheiten der phsiklischen Größen mit einbeziehen. Zum Beispiel in der Funktion s v t (s Wegstrecke in Metern (m), t Zeit in Sekunden (s) stellt Geschwindigkeit die Steigung der Gerden im sog. Weg-Zeit-Digrmm dr. v ht ber die Einheit Meter/Sekunde m/s, siehe Abbildung. 6

7 Weg s/m s v t s v t s t Zeit t/s Läuft eine Gerde von unten links nch oben rechts, so ht sie eine positive Steigung mit > 0; umgekehrt ist die Steigung negtiv < 0, wenn die Gerde nch unten rechts hin bfällt Bestimmung der Funktionsgleichung einer Gerden us ihrem Grphen Die llgemeine Gleichung lutet + b und b sind zu bestimmen, ist die Steigung der Gerden b ist der Schnittpunkt der Gerden mit der -Achse: Für 0 wird nämlich b. Unbhängig von der Steigung gilt: Sind von der Gerden zwei Punkte beknnt, so lässt sich die Funktionsgleichung immer ngeben. 7

8 .3 Anwendungsbeispiele.3. Gerdlinig gleichförmige Bewegung Bei gerdlinig gleichmäßiger Bewegung legt der Körper die gleiche Wegstrecke s seiner Bhn in gleichen Zeiten t zurück. Es gilt s ~ t. Die Proportionlitätskonstnte ist die Geschwindigkeit v. Es gilt: s v t s v t mn schreibt uch Die Funktion s(t) v t stellt im sog. Weg-Zeit-Digrmm (Weg s gegen Zeit t ufgetrgen) eine Gerde mit der Steigung v dr, die durch den Nullpunkt geht. Allgemein: Wenn sich der Körper zur Zeit t 0 m Ort s0 befindet, gilt folgende llgemeine Form: s s 0 + v t Der Grph dieser Funktion ist ebenflls eine Gerde mit der Steigung v. Die Gerde schneidet ber die -Achse (hier s-achse) im Punkt s0, siehe Abbildung. s /m t s t /s s m v und s t 3 s 0 m.3. Gleichförmig beschleunigte Bewegung Wir betrchten die Bewegung eines Zuges, der gleichförmig beschleunigt wird. Bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung nimmt die Geschwindigkeit v in gleichen Zeiten um gleiche Beträge zu, d.h. die Geschwindigkeit steigt liner mit der Zeit t n und es gilt: v t Die Proportionlitätskonstnte ist gleich der konstnten Geschwindigkeitsänderung und wird Beschleunigung gennnt. v t 8

9 Der Grph der Funktion v(t) t heißt Geschwindigkeits-Zeit-Digrmm und ist eine Gerde mit der Steigung, siehe Abbildung. v v t t.3.3 Gleichförmig verzögerte Bewegung Eine Abbremsung eines bewegten Körpers ist uch eine beschleunigte Bewegung, wobei die Beschleunigung der Geschwindigkeit entgegengerichtet ist. Betrchten wir einen Zug, der sich zur Zeit t 0 mit der Geschwindigkeit v 0 bewege und b hier gleichförmig bgebremst werde. Die Bewegungsgleichung lutet v v 0 t Der Grph der Funktion ist eine fllende Gerde mit einer negtiven Steigung. In diesem Fll ist die Beschleunigung negtiv, siehe Abbildung. Die Anfngsgeschwindigkeit v 0 ist in diesem Beispiel 40 m/s 40 Geschwindigkeit v /m s vv 0 t Zeit t /s Bemerkung: In den hier ufgeführten Beispielen sind s, v und vektorielle Größen. Wir betrchten ber hier nur die Beträge der Vektoren. 9

10 .3.4 Ohmsche Leiter Leiter, bei denen ds Verhältnis Spnnung U Stromstärke I konstnt ist, nennt mn Ohmsche Leiter, für sie gilt ds Ohmsche Gesetz. Es besgt, dss die Spnnung proportionl zur Stromstärke ist: U I Die Proportionlitätskonstnte nennt mn Widerstnd R U R I Der Grph ist eine Gerde, die durch den Nullpunkt geht und die Steigung R ht..4 Messwerte und ihre grphische Drstellung Die Beziehung zwischen zwei phsiklischen Größen lssen sich nhnd des Grphen der zugehörigen Funktion oder der Messwerte leicht drstellen und ihre chrkteristischen Eigenschften mit einem Blick visuell erkennen (z.b. Proportionlität usw.). Die Abbildung zeigt die Wertetbelle für die Messung der Spnnung und der Stromstärke n einer Glühlmpe. Spnnung (U/V) Strom (I/A) 0,8 0 3,0 30 3,6 40 4, 50 4,5 60 4,7 70 5,0 Es ist schwierig, us der Tbelle zu erkennen, welche Beziehung zwischen Spnnung und Stromstärke besteht. In einer grphischen Drstellung trgen wir die Messwerte in ein Koordintensstem ein, siehe Abbildung. I /A U / V 0

11 Die Aufgbe besteht drin, von den Messpunkten zu einer Messkurve überzugehen. Die Werte zwischen den Messpunkten sind ber unbeknnt. Wir können ber eine Kurve durch die Messpunkte hindurchziehen. Mit diesem Schritt mchen wir eine Vorussge über die Zwischenwerte, ds nennt mn eine Interpoltion. Aus der Kurve entnimmt mn, dss in diesem speziellen Fll Glühlmpe der Grph keine Gerde ist und die Beziehung zwischen Spnnung U und Strom I keine Proportionlität drstellt. (Ds Ohmsche Gesetz U R I gilt lso hier nicht, weil R nicht konstnt ist). Wenn mn Hinweise uf die Streuung des Messwertes ht, drf mn die benchbrten Punkte nicht einfch miteinnder verbinden, sondern sollte versuchen, durch die Messpunkte eine sog. Ausgleichkurve zu zeichnen. Bei der folgenden Abbildung ) werden benchbrte Messpunkte durch Gerden verbunden. Diese Zeichnung setzt vorus, dss die Beziehung zwischen den beiden Messgrößen die gezeigte Zckenform besitzt, ws sehr unwhrscheinlich ist. Nch den Messwerten erwrten wir, dss die Beziehung etw wie die Ausgleichkurve der Abbildung b) verläuft. () (b) Mn knn lso hier sgen: Zeichnung ist flsch! Bemerkung: Phsiklische Größen sind messbre Größen. Jeder Messwert besteht us einer Zhl und einer Einheit: Zum Beispiel: Abkürzung: Phsiklische Größe Zhl Einheit Länge 0 Meter " 0 m Interntionl wird empfohlen, die längs der Koordintenchse ufgetrgenen Größen durch die benutzten Einheiten zu dividieren. Dmit werden die Achsen zu dimensionslosen Zhlengerden. Beispiel: Für die Länge: " /m Für die Zeit: t /s

12 3 Potenzfunktionen, Prbel, Hperbel 3. Prbel Eine Funktion der Form n heißt Potenzfunktion. Ist n, dnn ht mn eine qudrtische Funktion ². Der Grph der qudrtischen Funktion wird Prbel gennnt. Es werden im folgenden einige Sonderfälle behndelt. ) Für gilt: Der Grph der Funktion heißt Normlprbel, die durch den Nullpunkt geht und n der Stelle ihr Minimum ht, siehe Abbildung. Die Normlprbel besitzt zwei Äste, einen rechts der -Achse ( > 0) und einen links dvon ( < 0). ) > gibt eine schmlere, < eine breitgedrückte Prbel, siehe Abbildung. 0,5

13 3) Für negtives gibt es eine n der -Achse gespiegelte Prbel, für - gilt -², siehe Abbildung. 4) In der Funktion ² + c ist die Normlprbel in -Richtung um den Betrg c verschoben, siehe Abbildung. c +c c0,5 5) Bei der Funktion (+d)² wird die Normlprbel um den Betrg d nch links verschoben (wenn d negtiv ist, erfolgt die Verschiebung nch rechts): d (+d) d0,5 3

14 3. Allgemeine Form einer qudrtischen Funktion (Prbel) Sie lutet: + b + c Die chrkteristischen Punkte einer Prbel sind ) Schnittpunkte des Grphen mit der -Achse n der Stelle, wo 0 ist. Diese Punkte nennt mn uch Nullstellen: Beispiel: 0 + b + c Es folgt: Lösung dieser qudrtischen Gleichung führt zu und, lso zu zwei Schnittpunkten mit der -Achse: P,0 und P,0 ( ) ( ) b) Schnittpunkte des Grphen mit der -Achse n der Stelle, wo 0 ist: f P 0, ( ) ( ) 0 3 c) Scheitelpunkt der Prbel oder ihr Etremwert (Mimum oder Minimum): Führt mn uf der rechten Seite der Gleichung + b + c eine qudrtische Ergänzung durch, so erhält mn die Scheitelgleichung der Prbel, us der sich die Koordinten des Scheitels s und s unmittelbr blesen lssen: s ( ) b s + und s mit s b c 4 Die Konstnte gibt Aufschluss über die Form der Prbel und ihre Öffnung. Ds Vorzeichen von gibt n, ob die Prbel nch oben oder nch unten geöffnet ist. Der Betrg von gibt n, ob es sich um eine gestreckte, gestuchte oder nicht verformte Prbel hndelt. Beispiel: Qudrtische Ergänzung : ( ) Scheitelpunkt : S (, ) 4

15 Der Scheitelpunkt ist in diesem Fll ein Minimum. D ist, hndelt es sich um eine nch oben geöffnete Normlprbel, deren Scheitel uf den Punkt S(,-) verschoben wurde. 3.3 Anwendungsbeispiel Gerdlinig gleichförmig beschleunigte Bewegung us der Ruhelge: Zur Untersuchung des Zusmmenhngs zwischen dem zurückgelegten Weg s und der Zeit t muss mn sich einen Körper vorstellen, der reibungsfrei längs einer Strecke mit gleichbleibender Krft beschleunigt wird. Die Beschleunigung v, die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit, ist konstnt. t Wenn mn die Strecke s gegen die Zeit t ufträgt, erhält mn ein sog. Weg-Zeit-Digrmm. Der Grph stellt eine Normlprbel dr. Die folgende Tbelle zeigt die Messwerte einer Messung. In der Abbildung ist die zugehörige Prbel drgestellt. Zeit Weg t/s s/m 0 0 0,5 3 4, ,5 s /m t /s Die Funktionsgleichung dieser Prbel lutet: s 0,5 t llgemein gilt s t dnn folgt für ds Beispiel 0,5 m/s² stellt die konstnte Beschleunigung dr. Ds s-t-digrmm zeigt, dss sich bei der Verdoppelung der Zeit t die Wegstrecke s vervierfcht. Außerdem ist zur Zeit t 0 der Körper in Ruhe s 0. Die Prbel geht lso durch den Koordintenursprung. Bemerkung: Ds Geschwindigkeits-Zeit-Digrmm einer gerdlinig gleichförmig beschleunigten Bewegung (v-t-digrmm) stellt eine Gerde dr und ist im vorherigen Abschnitt behndelt worden. 5

16 3.4 Potenzfunktion mit einem negtiven Eponenten Potenzen mit negtivem Eponenten entsprechen Kehrwerten. Als einfchstes Beispiel wird die Funktion f ( ) betrchtet. Gesucht ist der Grph der Funktion. Wir stellen eine Wertetbelle uf: Y -4-0,5-3 -0, , ,5 3 0,33 4 0,5 Wir übertrgen die Werte in ds Koordintensstem: Beim Zeichnen der Kurve ergibt sich eine Schwierigkeit: Nähert sich dem Wert 0, dnn wächst über lle Grenzen. In diesem Fll ist es wichtig, chrkteristische Punkte der Kurve zu finden: Pole sind solche Stellen, in deren Umgebung die -Werte über lle Grenzen wchsen. In unserem Beispiel ht die Kurve einen Pol bei p 0. Denn für 0 ht der Nenner den Wert Null und wächst gegen Unendlich. Die Kurve nähert sich für große -Werte der -Achse beliebig nhe, ohne sie jemls zu erreichen. 6

17 Derrtige Näherungsgerden heißen Asmptoten. In unserem Beispiel hben wir zwei Asmptoten: in Polstelle der Kurve bei 0. -Achse - Achse Der Grph der Funktion ist schemtisch in der folgenden Abbildung drgestellt. Den Grphen einer solchen Funktion mit negtivem Eponenten nennt mn Hperbel. Hperbeln hben zwei getrennte Äste, hier je einen für positive und einen für negtive Werte von und. 3.5 Anwendungsbeispiel Gesetz von Bole-Mriotte: Es besgt, dss bei einer bgeschlossenen Gsmenge von konstnter Tempertur der Druck P umgekehrt proportionl zum Volumen V ist: P oder P V c ist eine Konstnte. Sieht mn V ls unbhängige und P ls bhängige Vrible n, so ist dies eine Potenzfunktion mit einem negtiven Eponenten: P f c V ( V ) Der Grph ist ein Ast einer Hperbel und heißt in der Phsik Isotherme Zustndsänderung, weil die Tempertur konstnt gehlten wird. c V c V P V 7

18 4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen 4. Messung von Winkeln Ein Kreis mit dem Rdius von einer Längeneinheit (z.b. m, dm, cm) heißt Einheitskreis. Zum Beispiel bezeichnet mn in einem rechtwinkligen Koordintensstem den Kreis um den Nullpunkt mit dem Rdius ls Einheitskreis (s. Abb.). In der Geometrie werden Winkel im Grdmß gemessen. Im Grdmß ht ein rechter Winkel 90. Ds Grdmß eines vollen Winkels ist 360. In der Phsik werden Winkel oft im Bogenmß gemessen. Zusmmenhng zwischen Bogenmß und Grdmß Der Winkel ϕ schließt in der Abbildung einen bestimmten Kreisbschnitt AB des Einheitskreises ein. Um einen Winkel zu kennzeichnen, knn mn die Länge dieses Kreisbogens ls Mß für den Winkel ngeben. Ein voller Winkel von 360 entspricht im Einheitskreis dem Umfng des Einheitskreises, nämlich π (πr ist der Umfng eines beliebigen Kreises mit dem Rdius r). Die Einheit des Winkels im Bogenmß heißt Rdint, Abkürzung: rd. Dem Winkel rd im Bogenmß entspricht etw 57. Die Umrechnung von Grdmß in Bogenmß: 360 π rd; 80 π rd, lso π 0.07 rd 80 B ϕ A 8

19 Allgemein: Es gilt: Es folgt: Im Einheitskreis entspricht α Winkel im Grdmß ϕ Winkel im Bogenmß α 360 ϕ π 360 α ϕ [ ] π π ϕ α [ rd] π 6.83 rd 80 π 3.4 rd π 90,570 rd Bemerkung: Die Einheit rd wird in der Mthemtik häufig weggelssen. Mn schreibt lso z.b. π 90 entspricht,57 80 entspricht π Sinusfunktion, Kosinusfunktion Einfche periodische Vorgänge, z.b. Schwingungen, lssen sich durch Winkelfunktionen, speziell Sinusfunktionen, mthemtisch beschreiben. Winkelfunktionen werden uch trigonometrische Funktionen gennnt. In einem rechtwinkligen Dreieck (s. Abb.) B O ϕ H wird sinϕ definiert ls sin ϕ BH Gegenkthete OB Hpotenuse 9

20 Wenn wir ds rechtwinklige Dreieck OHB im Einheitskreis betrchten, B ϕ H A dnn ist die -Koordinte von B gleich dem Sinus des Winkels ϕ (denn der Rdius des Einheitskreises OB ist gleich ) BH sin ϕ OB BH Ds gilt für lle Punkte des Einheitskreises und dmit für lle Winkel zwischen 0 und π. Entsprechend wird die -Koordinte von B, d.h. OH ls cosϕ definiert: cos ϕ OH Ankthete OH OB Hpotenuse Wir werden später sehen, dss sich die periodischen Vorgänge uch mit Kosinusfunktionen drstellen lssen. Folgendes knn mn leicht feststellen: Wenn der Winkel ϕ immer kleiner wird, entrtet ds Dreieck zum horizontlen Strich; die Gegenkthete (-Koordinte) geht uf Null zu und die Ankthete (-Koordinte) gleicht sich der Hpotenuse n. Die Folgen sind: sin0 0 cos0 Ähnliches geschieht, wenn mn ϕ gegen 90 (oder π/) lufen lässt, dnn gilt sin90 cos90 0 Wenn mn zu einem Winkel ϕ die Zhl sinϕ usrechnet, dnn knn mn uch umgekehrt zu der Zhl den Winkel ϕ usrechnen. Die sog. Umkehrfunktion der Winkelfunktionen nennt mn den Arcus. Mn schreibt: sin90 ϕ rcsin, z.b. 90 rcsin 0

21 4.. Grphische Drstellung der Sinusfunktion sinϕ Wenn wir die -Koordinte ls Winkel ϕ und den Wert von sinϕ ls -Koordinte bezeichnen, gewinnen wir den Grphen der Funktion. Wir betrchten die Bewegung des Punktes B uf dem Einheitskreis. Bei einem Umluf des Punktes B wächst ϕ von 0 bis π (s. Abb.). Die Wertetbelle der Funktion lutet: ϕ sinϕ 0 0 π/ π 0 3π/ - π 0 ϕ π π 3π ϕ B B knn den Einheitskreis mehrfch umlufen. Dnn wächst ϕ über den Wert π hinus. Die Werte für sinϕ wiederholen sich ber periodisch (im Einheitskreis ist sinϕ ). Die Sinusfunktion ht lso die Periode π. Deshlb knn mn die periodischen Vorgänge, z.b. die Schwingung eines Pendels, mthemtisch mit der Sinusfunktion beschreiben. 4.3 Verllgemeinerung der Sinusfunktion Die Merkmle einer llgemeinen Sinusfunktion sind: - Amplitude - Periode - Phse Die einfche Sinusfunktion sinϕ ht den Mimlwert und den Minimlwert. Multipliziert mn die Sinusfunktion mit einem konstnten Fktor A, so erhält mn Funktionen, die periodisch sind, deren Mimum und Minimum größere Werte oder kleinere Werte nnehmen.

22 Amplitude ist der Fktor A in der Funktion A sinϕ Die Abbildung zeigt die Sinusfunktion mit den unterschiedlichen Amplituden : sinϕ sinϕ sinϕ π ϕ Periode Betrchten wir wieder den Einheitskreis. Punkt B knn den Einheitskreis mehrfch umlufen. Dnn wächst ϕ über den Wert π hinus. Mit jedem Umluf wiederholen sich ber die Werte für sinϕ periodisch. Mn sgt, die Sinusfunktion sinϕ ht die Periode π. Multipliziert mn ds Argument der Sinusfunktion mit einem konstnten Fktor, so wird die Periode verändert: Die Periode der Funktion sinϕ ist π. Die Periode der Funktion sinϕ ist π. Dvon knn mn sich mit der Aufstellung einer Wertetbelle überzeugen. Die Abbildung unten zeigt: Die Funktion sinϕ wiederholt sich zweiml häufiger ls die Funktion sinϕ. sinϕ π π ϕ

23 sin ϕ π π ϕ Allgemein gilt: Gegeben sei die Funktion Die Periode der Funktion lutet : sin c ϕ π P c Beispiel: Die Periode der Sinusfunktion lutet: sin ϕ π P 4π / Die Abbildung zeigt eine Sinuskurve für einen großen und einen kleinen Wert der Periode P. π ϕ π ϕ P groß P klein Phse Addiert mn ds Argument sinϕ mit einer Konstnten ϕ 0, wird die Sinusfunktion um den Wert ϕ 0 nch links verschoben: sinϕ sin ( ϕ + ϕ ) ϕ 0, heißt Phse der Funktion. Die Phse ht keinen Einfluss uf den Abluf der Funktion. Nur die Sitution m Nullpunkt wird beeinflusst. 0 3

24 π Beispiel: Es sei ϕ 0. Die Abb. zeigt die beiden Funktionen sinϕ sin ϕ + π π π 3π π ϕ Phse) nch links verschoben ist. ( ) π Der Grph zeigt, dss die Sinuskurve um den Wert ϕ 0 (Phsenwinkel oder π sin ϕ + nennt mn uch Kosinusfunktion π sin ϕ + cosϕ Kosinuskurve und Sinuskurve hben den gleichen Verluf, sie sind nur um die Phse π gegeneinnder verschoben. Zum Beispiel ht die Sinusfunktion m Nullpunkt den Wert 0 (sin0 0), während die Kosinusfunktion den Wert ht (cos0 ). Ob mn einen periodischen phsiklischen Vorgng mit dem Sinus oder dem Kosinus beschreibt, ist eine Frge der Zweckmäßigkeit. 4.4 Anwendungsbeispiele Anwendungsbeispiel : Schwingungen sind periodische Vorgänge. Einfche Schwingungen (hrmonische Schwingungen) lssen sich unmittelbr mit der Sinusfunktion mthemtisch beschreiben. Komplizierte Schwingungen knn mn ls Überlgerung von mehreren Schwingungen drstellen. In der Phsik kommt oft die Zeit t ls unbhängige Veränderliche vor. Die llgemeine Form der Sinusfunktion lutet: ( ϕ + ) A sin c ϕ 0 (*) A Amplitude c Konstnte, die von der Periode bhängt ϕ 0 Phse, die den Nullpunkt bestimmt 4

25 Bei einer Pendeluhr schwingt ds Pendel smmetrisch um seine Ruhelge. Seine mimle Auslenkung nennt mn die Amplitude A. Die Schwingung wiederholt sich periodisch mit der Schwingungsduer T, deren Kehrwert wird Frequenz f gennnt mit f. T f ist die Anzhl der Schwingungen pro Sekunde. Eine Sinusfunktion wiederholt sich periodisch in π, eine Schwingung in der Schwingungsduer T. Wenn mn die -Achse ls Zeitchse betrchtet, knn mn die Auslenkung der Pendeluhr in Abhängigkeit der Zeit t ls eine Sinusfunktion drstellen, s. Abbildung. A T t T Die Gleichung (*) geht über in die Gleichung ( ω + ) A sin t ϕ 0 π ω π f T wird Kreisfrequenz gennnt. Anwendungsbeispiel : Wenn mn mit einem einfchen Fieberthermometer die Tempertur des menschlichen Körpers genu misst und gegen die Zeit (Tgesbluf) ufträgt, bekommt mn etw eine Sinuskurve: ϑ / C Zeit / h Zwr ist die Tempertur des Menschen im Mittel eine Konstnte, eine genue Messung zeigt jedoch, dss sie Tgesschwnkungen unterliegt. In diesem Beispiel ist die Amplitude t 0.5 bis 0.7 C, die Schwingungsduer ist T 4 h. 5

26 Anwendungsbeispiel 3: Überlgerung von hrmonischen Schwingungen Die hrmonische Schwingung ist ein einfcher periodischer Vorgng, der mthemtisch durch eine Sinusschwingung drgestellt werden knn. In der Wirklichkeit kommen ber oft komplizierte periodische Vorgänge vor, die durch Überlgerung von mehreren Sinusschwingungen drstellbr sind. Dzu zeichnet mn die zu überlgernden Sinusschwingungen uf und zählt zu jedem Zeitpunkt t (-Achse ist Zeitchse) die Amplituden zusmmen. Wie die resultierende Schwingung ussieht, hängt von den Amplituden, Schwingungsduern und Phsen der Einzelschwingungen b. Die folgende Abbildung ist ein Beispiel der Überlgerung von 4 hrmonischen Schwingungen (Sinusschwingungen) mit unterschiedlichen Amplituden, Schwingungsduern und Phsen. Die resultierende Schwingung ist eine periodische, ber keine hrmonische Schwingung. t t t t t Ein medizinisches Beispiel für einen periodischen Vorgng, der sich ls Überlgerung von hrmonischen Schwingungen drstellen lässt, ist die Herztätigkeit. Ds Herz rbeitet periodisch mit etw 7 Schlägen pro Minute (Frequenz f,/s). Dbei werden elektrische Spnnungen erzeugt, die in einem sog. Elektrokrdiogrmm (EKG) registriert werden. 6

27 Die folgende Abbildung zeigt ds EKG eines gesunden Menschen. Spnnung Zeit 7

28 5 Potenzen, Eponentilfunktion 5. Potenzen Die Potenzschreibweise ist eine einfche Multipliktion einer Zhl mit sich selbst. Beispiel: n ml Definition: Die Potenz n ist ds Produkt us n gleichen Fktoren. 3 n ist die Bsis n ist Eponent oder Hochzhl Definitionen: n 0 für 0 Bei gleicher Bsis gelten folgende Regeln: Produkt: Beweis: n m n+ m n+ m (... ) (... ) n ml m ml Quotient: n m n m Potenz: n m n m ( ) Wurzel: m m Potenzen mit gebrochenen Eponenten werden hier nur für eine positive Bsis definiert. 8

29 Allgemein gilt: n n m m m n * Zwei Werte werden häufig ls Bsis für Potenzen verwendet: Bsis 0: Die Potenzen zur Bsis 0, die Zehnerpotenzen, hben im Dezimlsstem eine besondere Bedeutung; sie liefern die Stellenwerte einer Dezimlzhl: Außerdem kommen in der Ntur etrem kleine Werte (Beispiel: Atome und Moleküle) und etrem große Werte (Astronomie) vor. Ihre Werte werden mit Hilfe von Potenzen zur Bsis 0 übersichtlich in der gleichen Mßeinheit ngegeben. Beispiel: Entfernung Erde Sonne:,5 0 0 m Größe des Menschen: Rdius des Protons:,8 0 0 m, 0 - m Bsis e : e heißt die Eulersche Zhl, ihr Zhlenwert ist e, Sie ist die in phsiklischen Formeln m meisten benutzte Bsis. Insbesondere gilt: 0 für e e e 0 0 n n n * ( b) b n n n ( : b) : b 9

30 30 Weitere Beispiele: ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0,000 0 b b e e e e b b Eponentilfunktionen Nch den Potenzfunktionen und Winkelfunktionen treten in der Algebr oft die Eponentilfunktionen uf. In der Eponentilfunktion steht die unbhängige Vrible im Eponenten. Die wichtigsten Eponentilfunktionen sind: e 0 In der Nturwissenschft und der Medizin ht die Eponentilfunktion mit der Bsis e eine besondere Bedeutung und wird uch e-funktion gennnt. Beispiel: Für diese Eponentilfunktion lässt sich die Wertetbelle leicht ngeben.

31 Aufgrund der Tbelle knn ein Grph gezeichnet werden. Y -3 0,5-0,5-0, In der Abbildung sind die Grphen der drei wichtigsten Eponentilfunktionen, e, 0 gezeichnet. Die Eponentilfunktion wächst um so steiler, je größer die Bsis ist. 0 e e 3 4 Alle Eponentilfunktionen mit > hben einiges gemeinsm: - Die -Achse ist ihre gemeinsme Asmptote. - Die -Achse wird uf jeden Fll bei geschnitten, denn es gilt 0, welchen Wert uch nnimmt. - Mn brucht nur eine einzige Eponentilfunktion (z.b. e-funktion) zu einer einzigen Bsis uszurechnen; den Funktionswert zu llen nderen Bsen findet mn dnn mit einem geeigneten Fktor im Eponenten. - Die Eponentilfunktion zur Bsis e wird uch e-funktion gennnt; für diese Funktion wird uch eine ndere Schreibweise verwendet: e ep(). 3

32 5.3 Anwendungsbeispiele. Steigende Eponentilfunktion Zellvermehrung: In einer Kultur vermehren sich die Bkterien in einem Zeitrum von 0 Stunden uf ds Doppelte. Zu Beginn des Versuchs seien B Bkterien vorhnden. Die Wertetbelle gibt ds Wchstum der Bkterien n. Bkterien Stunden Zeit (Stunden) Menge der Bkterien 0 B 0 B 0 4 B 30 8 B 40 6 B 50 3 B Der mthemtische Zusmmenhng lässt sich durch eine steigende Eponentilfunktion beschreiben: B Der Koeffizient 0, ergibt sich us der Feststellung, dss nch genu 0 Zeiteinheiten hier rechnen wir in Stunden eine Verdoppelung eintreten soll. Allgemein ergibt sich dieser Koeffizient ls Kehrwert der Verdoppelungszeit T, d.h. 0,. Es ist möglich, den gleichen Zusmmenhng durch eine Eponentilfunktion zur Bsis e uszudrücken. Dzu können wir ersetzen durch e ln e (siehe nächstes Kpitel), dnn hben wir die e-funktion B e 0, t 0,693 0, t. Fllende Eponentilfunktion, Umkehrung der Zellvermehrung: Kühlt mn die Kultur, so dss die Vermehrung unterbrochen wird und ußerdem in einem Zeitrum von 0 Stunden die Hälfte der Bkterien eingehen, so nimmt ihre Zhl eponentiell mit der Zeit b. Dieser Schverhlt knn durch eine fllende Eponentilfunktion mit einem negtiven Eponenten beschrieben werden. Die Wertetbelle: T 0 Bkterien Stunden Zeit (Stunden) Menge der Bkterien 0 3 B 0 6 B 0 8 B 30 4 B 40 B 50 B 3

33 B t 0, B Anzhl der Bkterien vor der Vermehrung, 3B Vorhndene Bkterien zur Zeit t0, bei Unterbrechung der Vermehrung. Die Zeit, in der die Hälfte der Bkterien eingegngen sind, nennt mn die Hlbwertszeit t h. In diesem Fll gilt: t h 0 h. Dnn knn mn ds Eponentilgesetz uch in folgender Form schreiben: B t t h 3. Fllende Eponentilfunktion, Gesetz des rdioktiven Zerflls: Jod-3 ist ein instbiles Atom, ds unter Aussendung von Strhlung zerfällt. Die Anzhl der Atomkerne nimmt hier eponentiell mit der Zeit b. Dieser Zusmmenhng wird durch eine fllende Eponentilfunktion mit einem negtiven Eponenten beschrieben: N N 0 e λ t N Anzhl der zur Zeit t noch nicht zerfllenen Atomkerne N 0 Anzhl der zur Zeit t0 vorhndenen Atomkerne λ Zerfllskonstnte Die Zeit, in der die Hälfte der Jod-Atomkerne zerfllen ist, wird Hlbwertszeit t h gennnt. t h beträgt bei J-3 ungefähr 3 Stunden. Zwischen der Hlbwertszeit t h und der Zerfllskonstnte λ besteht folgende Beziehung: t h ln λ λ t h knn uch zeichnerisch us dem Grphen der Eponentilfunktion ermittelt werden. N N 0 Zhl der Jod-Atome N 0 t h 3h Zeit in Stunden Die Abbildung zeigt die fllende Eponentilkurve für den Zerfll des Jod-3. 33

34 Jod-3 wird für medizinische Untersuchungen verwendet. Die reltiv kurze Hlbwertszeit bewirkt, dss die Strhlenbelstung der Ptienten gering bleibt. 4. Fllende Eponentilfunktion, Absorption und Schwächung der Röntgenstrhlen: Beim Durchgng der Röntgenstrhlung (uch γ Strhlung) durch Mterie wird ein Teil der Strhlung bsorbiert. Die Absorption hängt eponentiell von der Dicke des Absorbers b. I 0 I d Ist I 0 die Intensität der uf die Mterie der Dicke d einfllenden, I die der durchgelssenen Intensität der Strhlung, so gilt: I I 0 e µ d µ ist der Schwächungskoeffizient. Die Dicke der Schicht, uf welcher die Intensität der Strhlung uf die Hälfte bgenommen ht, heißt die Hlbwertsdicke d ½. I I 0 e ln µ µ d d Die Abbildung zeigt die fllende Eponentilfunktion für die Abnhme der Intensität in Abhängigkeit des Absorbers. I Intensität I 0 I 0 d / d Dicke 34

35 5.4 Die Sättigungsfunktion Die Eponentilfunktion mit negtiven Eponenten knn uch einen begrenzten Wchstumsvorgng beschreiben, eine Aufbufunktion, die einen Sättigungswert Y s nsteuert. Diese Funktion muss ber folgende Form hben: ( ) S e s 0 4 Anwendungsbeispiel: Aufldung eines Kondenstors Die folgende Abbildung zeigt eine elektrische Schltung, mit der ein Kondenstor uf eine bestimmte Spnnung U (von der Spnnungsquelle) ufgelden werden knn. S + U R C S + U C R Wird der Schlter geschlossen, strömt Ldung uf die Kondenstorpltten. Der Kondenstor wird ufgelden uf einen bestimmten Mimlwert Q. Der Ldung Q entspricht eine bestimmte Spnnung, die durch den Wert der Spnnungsquelle begrenzt ist. Der Aufldevorgng erfolgt nch der Sättigungsfunktion wie folgt: 35

36 Q Q s t t Q Q e τ S Q s Ldung m Ende des Ldevorgngs τ nch dieser Zeit ht die Ldung 63% ihres Endwertes erreicht. Bemerkung: In diesem Fll ist ds unbhängige Veränderliche die Zeit t, und der Eponent zur e-funktion ist τ t, eine reine Zhl ohne Dimension. 36

37 6 Logrithmus 6. Logrithmus zur Bsis 0 Bis jetzt hben wir Aufgben des folgenden Tps gelöst: wr zu berechnen. Oder llgemein: oder wr vorgegeben, wr zu berechnen. Jetzt stellen wir die Frge Umgekehrt: Gegeben sei die Gleichung: Es ist zu berechnen. In diesem Fll ist die Lösung einfch nzugeben: 4. Mn knn schreiben: Aus dem Vergleich der Eponenten folgt 4. Gesucht ist lso der Eponent zur Bsis 0, der die Zhl ergibt. Dieser Eponent ht einen Nmen, er heißt Logrithmus. Mn sgt: ist ein Logrithmus der Zhl zur Bsis 0. Für diese Aussge wird eine neue Schreibweise definiert: log Die Gleichung knn uch geschrieben werden: log Dmit die Bsis eindeutig ist, muss diese eplizit ls Inde ngegeben werden: 0 log Allgemeine Definition des Logrithmus Definition: Gegeben sei die Gleichung: b mit > 0 Wir bezeichnen jenes, für ds b gilt, d.h. die Lösung dieser Gleichung, ls den Logrithmus von b zur Bsis. Aus b folgt logb Sttt log b wird mnchml uch die Schreibweise verwendet. logb oder log b 37

38 Viele Gleichungen mit im Eponenten nehmen eine einfche Gestlt n, wenn mn sie logrithmiert. Logrithmieren ist eine Umformung und sie ist die Umkehrung des Potenzierens. Beispiel: b. Wir logrithmieren: Beide Seiten der Gleichung werden ls Potenz zur gleichen Bsis geschrieben: logb log b Es folgt : Logrithmen zu folgenden Bsen werden oft verwendet: Bsis 0: Der Logrithmus zur Bsis 0 heißt dekdischer Logrithmus. Abkürzung: 0 log lg Bsis e: Der Logrithmus zur Bsis e (Eulersche Zhl) heißt ntürlicher Logrithmus. Abkürzung: e log ln Bsis : Der Logrithmus zur Bsis wird in der Informtionstheorie und der Dtenverrbeitung verwendet. Abkürzung: log ld 6.3 Rechenregeln für den Logrithmus Die Rechenregeln werden m Beispiel des Logrithmus zur Bsis 0 erläutert. Wir setzen: 0 n B oder B 0 lg B oder lg B n 0 m C oder C 0 lgc oder lgc m Multipliktion: Beweis: Für Potenzen gilt: Außerdem gilt: Also folgt: B C 0 ( B C) lgb lgc lg + n 0 m 0 n+ m lg 0 lg A B lg0 lg A B lg A + lgb 0 lg A+ lg B lgb+ lgc 38

39 d. h. in Worten: Der Logrithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logrithmen der einzelnen Fktoren. Mit einer ähnlichen Beweisführung knn mn die llgemeinen Rechenregeln des Logrithmus us der Potenzrechnung herleiten. Es folgt: Multipliktion : Division : Potenz : Wurzel : Bemerkung : log BC log B C log B log m m m m B m log B B B log B + ( log B) ( log B) m logc logc () () (3) (4) Wie mn sieht, reduziert ds Rechnen mit Logrithmen den Rng der Rechenopertion um eine Stufe (z.b. Multipliktion uf die Addition, usw.) Beispiel : B 00 C 000 lg(00 000) lg00 + lg Beispiel : Vereinfchen Sie den Term log(0) log(40) : log log log ( 0) log 40 ( Anwendung von ) ( 0/40) log log( ) ( Anwendung von ) 4 + log( ) ( Anwendung von 3) log Bemerkung : Dekdische Logrithmen lssen sich leicht hinschreiben: lg0 000 lg0 lg000 lg0 lg00 lg0 lg0 lg0 lg lg0 lg 0, lg0 lg 0, 0 lg0 lg 0, 00 lg0 lg 0, 000 lg

40 Wie mn sieht, ist der Logrithmus für 0 und für negtive Zhlen gr nicht definiert. Außerdem sind Logrithmen der Zhlen, die kleiner ls sind, negtiv. Bemerkung : Umrechnung von Logrithmen uf eine beliebige Bsis. Beispiel: Umrechnung dekdischer Logrithmen uf ntürliche Logrithmen: Gegeben: A 0 lga lga ist beknnt Gesucht: A e lna lna wird gesucht lg A ln A e 0,434 ( lg 0,434) 6.4 Logrithmusfunktion log ( ) heißt Logrithmusfunktion. Die Gleichung ist gleichbedeutend mit ( > 0) ( ) In der Abbildung sind die Logrithmusfunktionen für die 3 wichtigen Bsen 0, e und drgestellt. ld 3 e 0 ln lg Der Grph der Logrithmusfunktion zu einer gegebenen Bsis knn us der entsprechenden Eponentilfunktion gewonnen werden, siehe die Gleichungen () und (). (Spiegelung n der ersten Medine, siehe Abb. Am Beispiel ). Mn sgt uch, die Logrithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Eponentilfunktion. 40

41 f f * 0 Alle Logrithmusfunktionen steigen monoton und lngsm; sie hben ein Unendlichkeitsstelle für 0 und eine Nullstelle für. Denn es gilt: e log 0 ln 0 lg 0 ld Anwendungsbeispiel Nervensignle sind mit elektrischen Spnnungen verbunden. Eine Nervenfser wird von einer Membrn umhüllt, die ionensensitiv ist. Sie lässt die eine Ionensorte hindurch und die mit dem nderen Vorzeichen nicht. Durch dieses Konzentrtionsgefälle entsteht die sog. Membrnspnnung Um. Der Zusmmenhng zwischen dem Konzentrtionsunterschied uf beiden Seiten der Membrn c, c und der Membrnspnnung U m knn durch eine logrithmische Funktion beschrieben werden: U m c log c Ds ist eine llgemeine Form der Nernstschen Formel; ist dbei eine Konstnte. Zum Beispiel gewinnt mn bei einer Messung folgende Wertetbelle: c / c U m / mv 0, -37 0,3-7 0,54-4 0,88-3,55 + 3,

42 Der Grph dieser Logrithmusfunktion ist in einem Spezilfll U m 58 mv lg(c /c ) in der folgenden Abbildung drgestellt. U mv Spnnung

43 6.6 Drstellung von Funktionen in Digrmmen mit logrithmisch geteilten Achsen 6.6. Einfch-logrithmisches Ppier Ppiere mit logrithmisch geteilter -Achse, ber liner geteilter -Achse, nennt mn Einfch-logrithmische Ppiere. Messreihen, denen logrithmische oder eponentielle Zusmmenhänge zugrunde liegen, ergeben in einfch-logrithmischer Drstellung Gerden. Ddurch lssen sie sich leicht erkennen und quntittiv erfssen. Gegeben sei die Eponentilfunktion: e c (c sei eine Konstnte). Wir logrithmieren beide Seiten der Gleichung: ln c Teilt mn die -Achse im logrithmischen Mßstb, während die -Achse liner geteilt bleibt, so erhält mn ls Grphen der Funktion eine Gerde mit der Steigung c. P (0;) 0 P (,5 ; 0 3 ) Aus der Abbildung folgt für den Koeffizienten (Steigung der Gerden): c ln ln 0 0, ln 0,5 4,6 43

44 6.6. Anwendungsbeispiel Gesetz des rdioktiven Zerflls. Der Zerfll des rdioktiven Atomkerns (z.b. Jod-3) erfolgt nch dem Eponentilgesetz: N N 0 e λ t λ Zerfllskonstnte N 0 Anzhl der Atomkerne zur Zeit t 0 N Anzhl der noch nicht zerfllenen Kerne zur Zeit t Die folgende Abbildung zeigt den Grphen der Funktion mit liner geteilten und mit einfch-logrithmisch geteilten Achse. N N logrithmische Skl N 0 N 0 linere Skl N 0 N 0 t h t t h t Aus der Steigung der Gerden knn mn die Zerfllskonstnte λ und die Hlbwertszeit t h T ln λ 0,693 λ bestimmen. Die Hlbwertszeit lässt sich uch direkt zeichnerisch ermitteln Drstellung der Potenzfunktionen uf doppelt-logrithmischem Ppier Auf doppelt-logrithmischem Ppier stellen sich die Potenzfunktionen n ls Gerden dr; die Steigung entspricht dem Eponenten n. Doppelt-logrithmisches Ppier wird verwendet, wenn die - und -Werte mehrere Größenordnungen überstreichen. Gegeben sei die Potenzfunktion: Wir logrithmieren: n log log + n log log ist eine Konstnte. Es besteht lso zwischen log und log ein linerer Zusmmenhng (vergleiche mit der Gleichung einer Gerden + b). Der Grph der Funktion wird in einem Koordintensstem mit logrithmisch geteilten - und -Achsen eine Gerde sein. 44

45 P 0 P Als Beispiel knn mn die Steigung der Gerden us der Abbildung bestimmen. Ds entspricht dem Eponenten n der Potenzfunktion 5 lg 0 lg 0 5 n 4 lg 0 lg 0 Bei unserem Beispiel hndelt es sich lso um die Potenzfunktion Anwendungsbeispiel 0 Die von einem Körper usgehende sog. Temperturstrhlung besitzt eine Strhlungsleistung P. Die Leistung P wächst mit der vierten Potenz der Tempertur 4 P T Der Grph der Funktion wird in einem doppelt-logrithmischen Ppier (Leistung P ls - Achse, Tempertur T ls -Achse) eine Gerde sein. Die Steigung der Gerden entspricht dem Eponenten der Potenzfunktion und ist gleich n 4. Bemerkung: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein und dieselbe logrithmische Skl zu beschriften: p p p p p kp kp P P P Druck p ,5

46 Aufgben zu Abschnitt und. Durch die Gleichung werde eine Funktion definiert. Wie heißt:,, Definitionsbereich und Wertebereich der Funktion?. Funktionen ordnen einem -Wert einen und nur einen -Wert zu. Welche der folgenden Gleichungen stellen eine Funktion dr? ) 5 b) + 3 c) d) ± 3. Bestimmen Sie die Gerdengleichung Zeichnen Sie den Grphen der lineren Funktionen ) 0, + 3 b) 3 3 c) Bestimmen Sie die Steigung und den Schnittpunkt mit der -Achse Es sind Punkte P (,) und P (4,6) einer Gerden beknnt. Bestimmen Sie die Steigung und den Schnittpunkt mit der -Achse und der -Achse. Zeichnen Sie den Grphen der lineren Funktion. 6. Eine gerdlinig gleichmäßige Bewegung verläuft nch der Funktion s + 0.5t. Zeichnen Sie den Grphen der Funktion und bestimmen Sie die Geschwindigkeit. 7. Ein Körper bewege sich gemäß untenstehendem Weg-Zeit-Digrmm (Weg s, Zeit t). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit. s/m t /s 46

47 8. Ds Digrmm zeigt die elektrische Stromstärke I durch einen Drht in Abhängigkeit von der Spnnung U zwischen den Drhtenden. Wir groß ist der Widerstnd des Drhtes? I/mA U / V 9. Zeichnen Sie ein Koordintensstem. Wählen Sie die Koordinteneinteilung so, dss der Grph für die Funktion 0. im Definitionsbereich 0 5 gut drgestellt werden knn. 0. Eine Feder wird n einer Hlterung eingespnnt und us ihrer Ruhelge usgelenkt. Die Gerde zeigt den Zusmmenhng zwischen der Auslenkung und die dbei uftretende rücktreibende Krft. Ruhelge 0 F Bestimmen Sie die mthemtische Gleichung des Zusmmenhngs und die Steigung der Gerden (die Steigung nennt mn uch Federkonstnte). F/N , 0,4 0,6 /cm 47

48 . Zwei phsiklische Größen sind in einer Versuchsreihe gemessen worden. Gezeichnet sind hier die Messpunkte und drei Ausgleichskurven. Welches stellt die bessere Ausgleichskurve dr? t Fllzeit t Fllzeit t Fllzeit Fllhöhe A h Fllhöhe B h Fllhöhe C h. Ds Geschwindigkeits-Zeit-Digrmm einer gleichförmig beschleunigten Bewegung ist in der Abbildung gezeichnet. Bestimmen Sie die Beschleunigung. v m s t/s 3. Eine S-Bhn wird durch eine Notbremsung von der Geschwindigkeit v 50 km/h innerhlb von 40 s zum Stehen gebrcht. Der Bremsvorgng wird ls gleichförmig beschleunigte Bewegung (in diesem Fll gleichförmig verzögerte Bewegung) mit negtiver Beschleunigung betrchtet. Zeichnen Sie ds Geschwindigkeits-Zeit-Digrmm und bestimmen Sie die konstnte Beschleunigung (v ist in m/s umzurechnen). Aufgben zu Abschnitt 3 4. Die qudrtische Funktion heißt Normlprbel. ) Stellen Sie die Gleichung einer um nch rechts verschobenen Normlprbel uf und bestimmen Sie die Koordinten des Scheitelpunktes. b) Stellen Sie die Gleichung einer um nch oben verschobenen Normlprbel uf und bestimmen Sie die Koordinten des Scheitelpunktes. 5. Gegeben ist die Funktion ) Bringen Sie die Funktion uf Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt n (mn knn uch schreiben: -( -)+6). b) Bestimmen Sie die Nullstellen, den Schnittpunkt mit der -Achse und zeichnen Sie den Grphen. 6. Ein Auto fährt us dem Stnd mit gleichförmig beschleunigter Bewegung ( konstnt, zur Zeit t 0 ist v 0). Die Beschleunigung beträgt m/s. 48

49 ) Stellen Sie die Funktionsgleichung und eine Wertetbelle uf. Zeichnen Sie ds Weg- Zeit-Digrmm. b) Wie groß ist die Geschwindigkeit nch 30 Sekunden? 7. Gegeben sei die Funktionsgleichung + Bestimmen Sie die Nullstellen, Pole und Asmptoten der Funktion. Stellen Sie eine Wertetbelle uf und zeichnen Sie den Grphen der Funktion. Aufgben zu Abschnitt 4 8. Geben Sie im Bogenmß n: ), b) 0, c) 45, d) 4 9. Geben Sie im Grdmß n: ) 0.0, b).79, c) 0., d).7, e) Zeichnen Sie die Funktionen: sin π sin 3. Welche Periode und Funktionsgleichung hben die gezeichneten Funktionen und b? ),5 π π π 3π 4π 5π,5 b) Bestimmen Sie die Periode der folgenden Funktionen: ) sinπ b) sin 3 c) sin ( 4π ) 3. Wie lutet die Gleichung der Sinuskurve mit der Amplitude und der Periode π? 4. Zeichnen Sie die Sinusfunktionen 0,5sin sin in einem Digrmm. 49

50 5. Ein Oszilloskop zeigt ds in der Figur drgestellte Oszillogrmm einer sinusförmigen Wechselspnnung. Die -Achse ist die Zeitchse und ist für eine Zeitblenkung von 5 ms/cm eingestellt, die -Achse ist die Spnnungsempfindlichkeit und entspricht V/cm. Welche Frequenz und Amplitude ht die Wechselspnnung? U0V cm cm 6. Auf dem Bildschirm eines Oszilloskops erscheint ds folgende Bild zweier Schwingungen I und II. Gemeinsme Zeitchse. Sklenteil 0 ms Gemeinsme Spnnungsempfindlichkeit: Sklenteil V ) Wie groß ist die Amplitude beider Schwingungen? b) Wie groß ist die Frequenz beider Schwingungen? c) Wie groß ist die zeitliche Verschiebung der beiden Schwingungen? d) Wie groß ist die Phsenverschiebung zwischen beiden Schwingungen? I I I 7. Auf dem Bildschirm eines Oszilloskops sei ds bgebildete EKG zu sehen (Zeitchse 00 ms/cm), Empfindlichkeit mv/cm, Nulllinie bei Mrke 0V). Wie groß ist die Herzfrequenz? U0V cm cm 50

51 Aufgben zu Abschnitt 5 und 6 8. Berechnen Sie folgende Aufgben oder geben Sie eine Umformung n. ) ) 7 /3 b) /n c) n d) (0.0) 0 e) 5/ f) g) 5 5 h) ) ) ( ) b) ( ) c) 0 /0 d) e /0 e) (lg 0) 0 f) 3 7 g) 6 4 h) (0.5) (0.5) 4 (0.5) 0 3) ) lg 000 b) f) (lg00) 00 lg c) 00 lg 00 d) 0 lg0 e) lg 0 4) ) e lne b) e ln57 c) (ln e) e 4 d) (e ln ) 0 e) (ln e) e 3 f) ln(e e 3 ) 5) ) ln(e 3 e ) b) lg0 c) 6) ) lg ( b) b) ln ( b) c) lg 5 d) 9. Logrithmieren Sie folgende Gleichungen: ) 0 + b) e 4 c) Zeichnen Sie den Grphen der Eponentilfunktionen und 00 lg d) lg0 lg0 e) 0 n lg 0 lg 0 durch Aufstellen einer Wertetbelle in einem Koordintensstem. 3. Gegeben sei die fllende Eponentilfunktion t A t h Der drgestellte Grph zeigt die Funktion, die Achsen sind liner geteilt. 0 5 Bestimmen Sie A und t h (t h Hlbwertszeit) t/s 5

52 3. Welche der folgenden Kurven sind Prbel, Hperbel oder Eponentilfunktion? Im folgenden Digrmm ist die Anzhl N der noch nicht zerfllenen Atomkerne eines rdioktiven Präprtes gegen die Zeit t ufgetrgen. Die Achse ist logrithmisch geteilt. Bestimmen Sie die Hlbwertszeit. 00 Ν t /min 34. Beim Durchgng der Röntgenstrhlung durch Blei (Pb) wird ein Teil der Strhlung bsorbiert. Die folgende Abbildung zeigt die reltive Intensitätsschwäche I I 0 (I Intensität mit Blei, I 0 Anfngsintensität ohne Blei (Pb)) in Abhängigkeit von der Pb-Dicke. Die -Achse ist logrithmisch geteilt. Bestimmen Sie grphisch die Hlbwertsdicke d ½. I,0 I 0 0,5 0, 0, d/cm Ausdruck vom Freitg,. Juni 006 5

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