Geometrie in Punkträumen

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1 IV Geometie in Puntäumen De ffine Puntum P zum Vetoum V ffin lt. vewndt in de Geometie im Sinne gleichleiende Aildungen - Ausgngspunt: Geometische Vetoum V mit Aiomen - Ein estimmte Punt (Uspung) wid ls Bezugspunt festgelegt - In weden lle Vetoen ngesetzt: Jede Veto OA escheit dnn (duch seine Spitze) eindeutig einen Punt A; Umgeeht legt jede Punt A des Rums einen Veto OA fest. Definition: De so entstndene Puntum ohne weitee spezielle Eigenschften heißt ffine Puntum P. Beispiel: Anschuungseene V -> Anschuungspuntum P Q A q OA C c p P B V -> X P: OX Otsveto des Puntes X Gundlegende Eigenschften: (A) Zu B P und V eistiet eindeutig C P mit: (A) Fü A B C us P gilt: AB BC AC BC Folgeungen und Bemeungen: () Aus (A) folgt mit B C: AB BB AB lso: BB () Dmit folgt weite: BC CB > BC CB () Festlegung eines Belieigen Vetos duch Otsvetoen: A B AB > AB A AB B () In de Mittelstufe geht mn den umgeehten Weg: Vetodefinition duch Puntpe.

2 Puntoodinten Gegeen: - Vetoum V mit Bsis B { e e... e n } - Punt O und dmit Puntum P Dnn gilt:. Duch die einzelnen Vetoen de Bsis mit Bezugspunt O weden umeh eindeutig Punte E E... En eschieen.. Ds Tupel de Punte (O E...En) nennt mn ffines Koodintensystem von P.. Jede Punt X des Puntumes lässt sich ezüglich des Koodintensystems duch seine Koodinten ( ) eindeutig dstellen. Insesondee E (... ) E (... ) Einheitspunte. Beispiel: Betchtung desselen Puntes X in unteschiedlichen Koodintensystemen (mit gleichem Uspung) uch noch mit Bechte: - Jede Bsis des Vetoums ezeugt ein estimmtes Koodintensystem im Puntum. - Die Puntoodinten X (... n) hängen vom KoSy. - Die nonische Bsis ezeugt ds sog. tesische KoSy. Aufge: Auf de Zhlengeden g wid duch O und die geichtete Einheitsstece ein Koodintensystem ezeugt. Welche neuen Koodinten ehlten O und A() B () C (-7) D ( ) wenn E (-) Uspung und AB Bsisveto ist? A () B (); C () D (/ / ) HA: S79/ Beispiel. nschuen und uf S. 8 nwenden

3 Teilung eine Stece O Teilung im Vehältnis : ; Mittelpunt p m P q M Q Geschlossene Vetoetten: POM: PM m p MOQ: MQ q m Fü den Mittelpunt de Stece gilt: PM MQ und mn df gleichsetzen: m p q m > m (p q) Ds llgemeine Teilvehältnis O p P t q T Q Bezeichnung: TV (PQT) τ Anfngspunt P Endpunt Q Teilpunt T Teilvehältnis flls T zwischen P und Q: PT τ TQ Allgemein: PT τtq t p τ(q t) > ( τ)t p τq > t (p τq); τ ( τ) Beispiele:. P ( ); Q ( ). Beechne die Koodinten von T mit τ ½. Egenis: T ( ). A ( ) ; B ( -) C ( ) TV (A B C): τ τ Aus den eiden Koodinten egeen sich zwei Gleichungen die sept zu lösen sind: τ τ > τ τ τ Ds identische Egenis us eiden Gleichungen edeutet dss C uf de Geden g (AB) liegt. De negtive Wet fü τ edeutet dss C ußehl von [AB] liegt. Bechte:. Flls ennt ist dss de Teilpunt uf de Geden liegt genügt zu Beechnung von τ eine de Koodintengleichungen.. Positives Teilvehältnis edeutet innee Teilung negtives Teilvehältnis äußee Teilung.

4 c Anlytische Betchtung des Teilvehältnisses Systemtisieung: - A liege im Uspung B uf de positiven -Achse - Teilpunt X ( ) wndet uf de -Achse - Teilvehältnis τ () τ τ > > τ τ > τ τ τ () Eigenschften:. Nullstelle ei. Polstelle. Odnung ei. Wgechte Asymptote ei y - (l Hospitl) Gph fü y TV (Agelesen m Gphen) -/ -/ -/ ± Egenis: Fü < τ < liegt de Teilpunt ußehl de Stece [AB] uf de Seite des Anfngspuntes fü τ < - ußehl uf de Seite des Endpuntes. 7

5 Gede und Eene im ffinen Puntum. Pmetische Dstellungsfomen fü Geden Üeschift est weglssen. Dnn Otsveto ; ; usw. Auf welchem Geilde liegen lle Punte die mn in oige Weise dstellen nn? g X g (el. Punt AX u de Gede) u OX A OA Punt- Richtungsfom de Geden (Pmetefom): g: u IR : Otsveto des Aufpuntes : Pmete u : Richtungsveto de Geden Punt-Punt-Fom de Geden Eine Gede lässt sich uch duch zwei veschiedene Punte A und B festlegen. Als Richtungsveto dient dnn de Veindungsveto AB. Aus de esten Fom egit sich g: ( ) IR g AB A OA Ws edeutet? K duchläuft lle Zhlen lso ehlten wi lle Punte uf de Geden. Beispiele. Gede h duch die Punte A(/) und B(7/): h: ( ) h: Andee Möglicheit: - ls Richtungsveto Lgepüfung fü P ( ) ( h) Q (7 9) ( h). Dzu pllele Gede duch den Punt C(/): Unteschiedliche Aufpunt gleiche Richtungsveto B OB. Gleichung de Koodintenchsen: z.b. Achse: λ λ (Wo hätte mn noch einen Aufpunt wählen düfen fü die Gleichung de -Achse? Altentiven fü Richtungsveto?) 8

6 . Pmetische Dstellungsfomen fü Eenen Festlegung eine Eene duch Punt und zwei Richtungsvetoen A µ v λ u X Ein elieige Punt X E egit sich mit dem Aufpunt A und den Richtungsvetoen u und v duch die Puntichtungsfom λu µ v λµ IR Pmete O Festlegung eine Eene duch dei Punte A c C B Liegen dei Punte nicht uf eine Geden dnn sind z.b. die Vetoen AC und AB line unhängig und somit ls Richtungsvetoen vewend. Deipuntefom: λ( ) µ (c ) λµ IR Pmete Bemeung:. Pmetefomen von Geden- und Eenengleichungen sind nicht eindeutig.. Die Vetoen eine Gede und eine Eene im IR³ efüllen die Vetoumiome und ilden so einen Untevetoum des IR³ mit Dimension zw.. Vetoielle Geometie siet wesentlich uf de Lösung linee Gleichungssysteme. 9

7 . Lgeeziehung Punt Gede zw. Punt - Eene Es gilt:. Ein Punt P (mit Otsveto p ) liegt uf eine Geden g: λu flls p die Gedengleichung efüllt d.h. p λu ist lös.. Entspechendes gilt fü die Lgeeziehung Punt Eene. Beispiele:. Liegt P in E (A B C)? A ( ); B ( ) C ( ); P ( - ) E: λ µ > LGS duch Einsetzen von p (I) λ µ (II) µ (III) λ µ Aus Gleichung (II) und (I) folgt µ - λ mit diesen Weten ist uch Gleichung (III) efüllt. > P E (A B C). Liegt P uf g (A B)? A ( ) B( ) P ( 9 ) g: λ > LGS duch Einsetzen von p (I) λ (II)9 λ (III) λ Dieses Gleichungssystem ist offen nicht eindeutig lös. > P g (A B)

8 . Lgeeziehungen von Geden Mn untescheidet vie Fälle im IR³: () identisch zusmmen: pllel () echt pllel () sie schneiden sich () windschief Identische und echt pllele Geden Geg: g: λu h: λw Es gilt: g h { u w } sind line hängig (Im IR²: det( u w ) ) Weitee Untescheidung - g und h sind echt pllel g h und g nicht identisch h zeige: { u w } sind line hängig und h (ode g) ode zeige: { u w } sind line hängig { u } line unhängig - g und h sind identisch zeige: { u w } sind line hängig und h (ode g) ode zeige: { u w } sind line hängig und { u } line hängig u A - g h B w Sich schneidende ode windschiefe Geden Geg: g: λu h: λw Es gilt: g und h sind windschief ode schneiden sich { u w } sind line unhängig Weitee Untescheidung - Die Geden schneiden sich: g h {S} zeige: { u w } sind line unhängig und { u w } line hängig (d.h. det( u w )) - Die Geden sind windschief { u w } line unhängig (d.h. det( u w ) ) g A u A B v S h

9 Beispiele:. g: λ λ u h: µ λ w { w u } sind offensichtlich line unhängig. Anstz zu Üepüfung uf Schnittpunt: g h µ λ > LGS µ λ > λ µ λ µ (III) (II) (I) (I) D die ditte Gleichung mit den Weten us (I) und (II) efüllt ist eistiet ein Schnittpunt. Die Koodinten des Schnittpunts ehält mn duch einsetzen de Wete von λ in g ode von µ in h.. g: λ λ u h: µ λ w Egenis: S (-; -). g: λ λ 7 u h: µ λ 8 w Gleichungssystem ht eine Lösung > windschief. Schnelle (nu eim Nchweis de Windschiefheit): det ( w u ) Im Beispiel ht die Deteminnte den Wet -8

10 . Pmetefeie Dstellung fü Gede und Eene Gede im IR² In de Gedengleichung mit (in diesem Fll wid uch eine Gede eschieen!) gelingt es den Pmete zu eliminieen: Sei ohne Einschänung. > ( ) /. Eingesetzt in die zweite Gleichung: ( ) / Dies entspicht nch leine Umfomung de ennten Fom: y m t zw. m t - - Pmetefeie Dstellungsfom (Koodintenfom) eine Geden im IR² Bemeung: Die Gleichung ist is uf Multiplition mit eine Zhl eindeutig. Im IR eistiet eine is uf Multiplition eindeutige pmetefeie Dstellung eine Geden. Beispiel zu Bemeung : g : Mn ehält pmetefeie Dstellungen us z. B. (I) (II) (III): - (*) (I) (II) (III): (**) Wüden diese pmetefeien Dstellungen die Gede eindeutig escheien so wüde nch (*) z. B. ( ) uf de Geden liegen. Dies ist e nicht vetäglich mit (**) (einsetzen!) und de Pmetefom de Gede!

11 Eene im IR³ Wie ei de Gede im IR² lssen sich us de Pmetefom im IR³ die Pmete eliminieen und mn gewinnt eine is uf Reihenfolge und einen Fto eindeutige Dstellungsfom. Beispiel: l E : Duch Addition de esten Gleichung zu zweiten und ditten wid de Pmete eliminiet. Aus den entstehenden Gleichungen entfent mn l und ehält E : Koodintenfom de Eene im IR³: Wichtige Fgestellungen die sich esondes leicht mit de Koodintenfom entwoten lssen:. Liegt P in de Eene? Einsetzen de Koodinten des Puntes in die Gleichung. Im oigen Beispiel: ( ) E d. Schnittpunte mit den Achsen? Fü den Schnittpunt mit de Achse müssen und den Wet nnehmen. > -/ u.s.w. Besondes einfch wid es wenn den Wet - nnimmt. Dnn egeen sich ls Schnittpunte die Kehwete de Voftoen. (Achsenschnittsfom) > Schnittpunt mit Achse: ; mit Achse: ½ ; mit -Achse: -. Pmetefom us de Koodintenfom? Aus de Koodintenfom eechnen sich leicht dei Punte die in de Eene liegen. Mit Hilfe de Deipuntfom egit sich eine Koodintenfom. Im Beispiel: ( -) ( ) und ( ) liegen in de Eene. > E: l Noch einfche: Wähle l > l > E: l

12 . Schnitt von Gede und Eene im IR³ Sei E: v u µ λ (zw. E: ) g: w κ Mn untescheidet nschulich dei Fälle: g und E schneiden sich g und E sind echt pllel g liegt in E Kiteium : (Pmetefom) Die Richtungsvetoen sind l.u. w l.. von } v {u E w l.. von } v {u E Kiteium : (Pmetefom) w l.. von } v {u } v {u l.u. w l.. von } v {u } v {u l.. Kiteium : (Koodintenfom) Die Zeilen von g eingesetzt in E egeen eine eindeutig löse Gleichung Die Zeilen von g eingesetzt in E egeen eine unlöse Gleichung Die Zeilen von g eingesetzt in E egeen eine llgemein gültige Gleichung Beispiele zu den möglichen Fällen mit Pmetefom. Bestimme den Schnittpunt de Geden : g mit de Eene E: n m Gleichsetzen füht uf ds folgende Gleichungssystem <> n m n m ~ ~ (I) (III) (I) (II) Mit m und n ¼ ehält mn duch einsetzen in E den Schnittpunt P ( ¼; ½; ¾ ). Untesuche uf die Eistenz von gemeinsmen Punten: : g und E: n m 7 Püfe zunächst die linee Ahängigeit de Richtungsvetoen: ) ( 8 Entw.nch.Zeile > E und g pllel ode g in E Püfe deshl (siehe Telle) o } v {u l.u.

13 8 ) ( 7 ) ( > g und E sind echt pllel. Untesuche uf die Eistenz von gemeinsmen Punten: : g und E: n m 7 Die Richtungsvetoen sind wie in Aufge die Untesuchung o } v {u l.u. füht zum Egenis dss g in E liegt. Beispiele zu den möglichen Fällen mit Eenen in Koodintenfom. Bestimme die Schnittmenge de Geden : g mit de Eene E: - Einsetzen de Zeilen von g in E: (-) ( ) (- ) <> ¾ Eingesetzt in g egit den Schnittpunt P ( ¼; ½; ¾ ) (Vegleiche mit Aufge ). Untesuche uf die Eistenz von gemeinsmen Punten: : g und E: -7 Einsetzen de Zeilen von g in E: (- ) nicht lös > eine gemeinsmen Punte! (Vegleiche mit Aufge ). Untesuche uf die Eistenz von gemeinsmen Punten: : g und E: -7 Einsetzen de Zeilen von g in E: (- ) ( ) Diese Gleichung ist efüllt fü lle. Die Gede liegt gnz in E. Aufgen: S.

14 .7 Räumliche Dstellung von Geden und Eenen Aitu 98/VII In einem tesischen Koodintensystem sind die Punte C ( ) und M ( ) gegeen fene de Veto u ) Die Vetoen CM und u sind line unhängig. Stellen Sie die Gleichung de Eene E duch M uf welche CM und u ls Richtungsvetoen ht ( BE) ) De Schnittpunt von E mit de -Achse sei A de mit de -Achse sei B. De Mittelpunt de Stece [AC] sei N. Bestimmen Sie die Koodinten von A B und N und Beechnen Sie die Seitenlängen im Deiec ABC. ( BE) c) Fetigen Sie eine Sizze n us de die Lge de voommenden Punte im äumlichen Koodintensystem esichtlich ist. ( BE) Lösung zu ) A( ); B ( ) n ( c) N( ) Sizze Bemeungen zum äumlichen Zeichnen. Die Achse nn (muss e nicht) veüzt dgestellt weden.. Emittle zum Zeichnen von Eenen deen Spugeden ( Schnittgeden mit Koodinteneenen) zum Zeichnen von Geden Spupunte. Bedingung fü Gundissspu:... Aufissspu:... Seitenissspu: Weitee Beispiele: Buch S - inses. Bsp.. Aufgen S. / 7

15 .8 Lgeeziehungen von Eenen Zwei Eenen im R³ önnen sich schneiden (Schnittmenge: Gede)... echt pllel sein (Schnittmenge: lee)... identisch sein (Schnittmenge: Eene). Beide Eenen in Koodintenfom E: E : Vefhen: Ds linee Gleichungssystem ist üeestimmt. Wähle z.b.. Emittle und in Ahängigeit von. Stelle dnn die Gleichung de Gede uf. Egit sich im Veluf eine llgemein gültige ode eine unlöse Gleichung so edeutet dies Identität zw. Pllelität de Eenen. Beispiel: Schnittgede von E: - und E: - ~ ~ g:. Nu eine Eene in Koodintenfom λu µ E : E : v Vefhen: Setze die Zeilen von E in E ein und ehlte eine Gleichung fü λ in Ahängigeit von µ. Setze dieses λ wiedeum in E ein und ehlte die Schnittgede. Ist die Gleichung unlös so sind die Eenen echt pllel. Ist sie llgemeingültig so fllen die Eenen zusmmen. Beispiel: Schnittgede von E: m n und E: Lösungsgede siehe Bsp. us. c. Beide Eenen sind in Pmetefom gegeen E : λ u µ v E : λ u µ v E und E schneiden sich mindestens ein Richtungsveto (RV) von E ist l. u. von den RV von E. E und E echt pllel eide RV von E sind l.. von den RV von E; zugleich ist die Diffeenz de Otsvetoen de Antgspunte l. u. von den RV von den Richtungsvetoen eine (egl welche) Eene. E und E identisch eide RV von E sind l.. von den RV von E; zugleich ist die Diffeenz de Otsvetoen de Antgspunte l.. von den RV von den Richtungsvetoen eine (egl welche) Eene. 8

16 9 Emittlung de Schnittgede: Gleichsetzen und Eliminieen von zwei Pmeten eine Eene z.b. λ µ. Die entstndene Gleichung löst mn z.b. nch λ uf und setzt dies in E ein; dei entsteht eine Gedengleichung. Beispiele. Lgeeziehung von E : µ λ und E : µ λ 7 Es gilt: det 7 ; det ; det 7 - lso sind die Eenen echt pllel.. Schnittgede von E : n m und E : s > 7 ~ 8 7 ~ s n m (III) (I) (III): (II) (I) Die Lösung egit sich nun z.b. indem mn m -7 und n in die Gleichung von E einsetzt. Einfche: s (nu zufällig ist hie heusgefllen sonst muss mn hlt sotieen!) in die Gleichung von E. g: