Formelsammlung. Berufsmaturitätsschule. Luzern. MT Formelsammlung Seite 2 1. Inhaltsverzeichnis. MT Formelsammlung Seite 1
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- Ernst Baumhauer
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1 MT Fomelsmmlug Seite Rie Meie Käseei 688 Schogu MT Fomelsmmlug Beufsmtuitätsschule Lue Klsse BML4A Rie Meie -5-6 MT Fomelsmmlug Seite. Ihltsveeichis. Ihltsveeichis.... Ugleichuge Gd: Uekte efiitioseeich s Ivesiosgeset...5. otee Eifühug Meke Rechegesete Additio, Sutktio Meke Multipliktio vo otee ivisio vo otee Meke oteiee vo otee Allgemei oteiee vo Summe ode iffeee Zelege vo Summe ode iffeete i Fktoe Wuelechug, Rdiiee Aufu efiitio Additio, Sutktio Multipliktio s Logithmiee Allgemeies Meke efiitio ie Logithmesäte ie odukteegel Beweis ie uotieteegel ie oteegel Beweis ie Wuelegel ie Summe- ud iffeeegel udtische Gleichuge Allgemeie Lösugsfomel fü qud. Gleichuge udtisch Egäug Lösugsfomel ud Löskeit e St vo Viet Additio de Lösuge Multipliktio de Lösuge St de Fktoeelegug Fuktioe Liee Fuktioe
2 MT Fomelsmmlug Seite 7.. otefuktio Ghlige, positive Epoete Ghlige, egtive Epoete Geochee Epoete, Wuelfuktio Umkehuktio udtische Fuktioe Gfische stellug Estellug de Scheitelfom Nullstelle de qudtische Fuktio Liee Gleichugsssteme Allgemei efiitio Eisetugsmethode/ Sustitutiosmethode Additiosmethode / Elimitiosmethode Guss-Algoithmus Vektogeometie ud Alge efiitio Otsvekto Betg eies Vektos Feie Vekto Nullvekto Eees Kooditesstem Summe (gfisch) iffee Vielfches Vekto us Afgs- ud Edpukt Beechug des Astdes wische wei ukte Vektoe im Rum Beechug de Betäge Summe iffee Vielfches Vekto us Afgs- ud Edpukt Astdsfomel Zelegug vo Vektoe Kolliee ud komple Vektoe Kolliee Vektoe: Komple Vektoe: Mittelpukt eie Stecke Schwepukt eies eiecks Nomlvekto i de Gudeee Gleichug de Gede ie metegleichug de Gede ie Vektogleichug de Gede ie Kompoetegleichug de Gede Bestimme de Spupukte eie Gede MT Fomelsmmlug Seite Gegeseitige Lge vo Gede im Rum Gleichug de Eee ie metegleichug de Eee Beechug de Achseschitte ie Kooditegleichug de Eee Speielle Lge vo Eee Ws edeutet Ws edeutet C Ws edeutet A Ws edeutet B ie Hupteee ie este Hupteee ie weite Hupteee ie ditte Hupteee Schitt vo Gede ud Eee Schittgede weie Eee s Sklpodukt Beechug des Wikels Wikel wische Vekto ud Kooditechse Nomlvekto uf Gede ud Eee Nomlvekto uf eie Gede Nomlvekto uf eie Eee ojektio eies Vektos uf eie Gede
3 MT Fomelsmmlug Seite 5. Ugleichuge G Gudmege R Mege de eelle Zhle ( ; π ) Mege de tiole Zhle (/;. ) Z Mege ge Zhle (-; -5; -; ; 5 ) N Mege tüliche Zhle ([]; ; ; ). Wede Teme duch die Zeiche < ; > ; ; ; miteide veude so spicht m vo Ugleichuge.... Gd: Uekte < 5 - < L {,,...,}.. efiitioseeich 5 < G 5 \{5}; \{-} \ ohe, d de. Buch mit 5 eie ivisio duch egee wüde (de. Buch ei -). G\{-, 5}.. s Ivesiosgeset. Lösug. Lösug 5 < 5 < 5 < 5 < < 5 < 7 5 ( ) 7 < < 7 Es etsteht ei Widespuch < 7 ( ) > 7 Multipliktio/ivisio duch egtive Zhl Ugleichheitseiche dehe!. otee.. Eifühug Bsis Epoet, Hochhl otewet Voussetug: N Bsis N Ntüliche Zhle... Meke e Epoet eie ote git, wie viel ml die Bsis mit sich sele multipliiet wede muss. e Epoet eieht sich u uf die umittel utestehede Bsis:.. Rechegesete... Additio, Sutktio 5... Meke Gleiche otee wede ddiet ode suthiet, idem die Koeffiiete usmmegefsst wede. Ute Whug de Voeiche.... Multipliktio vo otee Gleiche Bsis elieige Epoete: m m Ugleiche Bsis gleiche Epoete: ( )... ivisio vo otee Gleiche Bsis, elieige Epoete: m m MT Fomelsmmlug Seite 6 m > 4. Wuelechug, Rdiiee ( m) m 4.. Aufu > Wuelepoet Ugleiche Bsis, gleiche Epoete: Wuelwet Opetioseiche 4.. efiitio..4. Meke Ute vestehe wi die icht egtive Zhl, dee udt egit. > NICHT EFINIERT.. oteiee vo otee... Allgemei m m m ( ) ( ) ie Epoete düfe vetuscht wede. Gilt e u, we eie positive, eelle Zhl ist..4. oteiee vo Summe ode iffeee ( ± ) ± ( ± ) ± scl sches eieck: //( ± )( ± ) () () () () () Zelege vo Summe ode iffeete i Fktoe ± ( ± ) m ( ) m 4.. Additio, Sutktio Vom oteiee he wisse wi: ± icht veeifch Fü die Wuelechug gilt: ± ± 5 [ ± 5] Meke: Nu Wuel mit gleiche Epoete ud gleiche Rdikte lsse sich duch Additio ode Sutktio de Koeffiiete usmmefsse. ± 4.4. Multipliktio mit gleiche Wuel-Epoete o- teiee: ( ) Wuel-Rechug: Meke: Wuel mit gleiche Epoete wede multipliiet idem die Wu
4 MT Fomelsmmlug Seite 7 el us dem odukt de Rdikte geoge wid 5. s Logithmiee Gleichug: wid duch poteiee estimmt Gleichug: wid duch Rdiiee estimmt Gleichug: wid duch Logithmiee estimmt 5.. Allgemeies 5... Meke s Logithmiee ist die weite Umkehopetio des oteiees > log 5... efiitio e Logithmus eeche heisst: de Epoete eie ote estimme. log log >elieige Bsis lglog > Bsis (Biggsche log. 6) llog e > tüliche log. Llog > iäe log. lg log lg Log l l Opetioseiche Bsis Numeus Epoet MT Fomelsmmlug Seite ie Logithmesäte ie Summe- ud iffeeegel 5... ie odukteegel lg( 7) lg u v > log ( u v) log u log v w. log( ) log log 5... Beweis lg u ud log v u ud v u v log ( u v) 5... ie uotieteegel u log u log v v w. log log log 5... ie oteegel u log u w. log( ) m m log 5... Beweis Log u u u ( ) log u log u log u ie Wuelegel m u > log u m m log Eie Wuel k ls Buchpote geschiee wede, es gilt die oteegel. u
5 MT Fomelsmmlug Seite 9 6. udtische Gleichuge 6.4. e St vo Viet 5 Uekte im udt! c p q Nomlfom c c Gudfom Additio de Lösuge 6.. Allgemeie Lösugsfomel fü qud. Gleichuge Gudfom c Multipliktio de Lösuge ± 4c, c Gudfom (Aus de Gudfom) 6.. udtisch Egäug St de Fktoeelegug u ( ) u u ( ) ( ) u u ( )( ) ± & sid eifch estimm, u ± u 6.. Lösugsfomel ud Löskeit p q p q p p 4 q p p ± q 4 < Keie Lösug (Wuel us <) p Lösug p p > Lösuge ± q MT Fomelsmmlug Seite 7. Fuktioe W Gph f( ) f() 7.. Liee Fuktioe B A A A 7.. otefuktio B B 7... Ghlige, positive Epoete : gede (,4,6...) 4 : ugede (,5...) 7... Ghlige, egtive Epoete - : gede (,4,6...) 4 : ugede (,5...) Uhägige Vile -Wet: Agumet Ahägige Vile -Wet: Fuktioswet efiitioseeich W Weteeeich (vom kleiste is um gösste Wet) -Achse: Asisse -Achse: Odite. udt: /. udt: -/. udt: -/- 4. udt: /- Steigug -Achseschitt,4,6,8...,5,7,9...,4,6,8...,5,7,
6 MT Fomelsmmlug Seite 7.. Geochee Epoete, Wuelfuktio m 7.4. Umkehuktio Stmmfuktio: Umkehfuktio: 7.5. udtische Fuktioe Gfische stellug Nomlpel Steckug Veschieug i -Richtug - Veschieug i -Richtug (-) (4) m m et m Nomlpel m m>: Steckug de Nomlpel i -Richtug <m<: Stuchug de Nomlpel i -Richtug m<: ie el ist ch ute geöffet ( de -Achse gespiegelt) Veschieug i -Richtug >: Veschieug ch oe <: Veschieug ch ute : Keie Veschieug ( ) >: Veschieug ch liks <: Veschieug ch echts MT Fomelsmmlug Seite Veschieug i - ud -Richtug Eie Nomlpel mit dem Scheitelpukt S(-/) ht die Fuktiosgleichug ( ) S Steckug i -Richtug () m() Estellug de Scheitelfom c qud. Egäe c Nullstelle de qudtische Fuktio efiitio: c c ies ist eie udtische Gleichug: ± 4c, N ( / ) N / ( ) M eeichet die Fuktio m( ) ls Scheitelfom de el. Scheitelpukt: S(-/) S / c 4 Zu Löskeit ud de Lösugsmege siehe 6. udtische Gleichuge N Nullstelle (sofe vohde) N Nullstelle (sofe vohde)
7 MT Fomelsmmlug Seite 8. Liee Gleichugsssteme 8.. Allgemei c Zu Lösug eötigt m midestes so viele uhägige Gleichuge, wie Uekte vohde sid..5 7.B. 8.. efiitio We m fü eie Ahl Uekte eie gewisse Ahl Gleichuge ht spicht m vo eiem Gleichugssstem. Gudmege Reelle Zhle Alle Zhlepe, Zhletipel usw. us G welche die Ausggsgleichug des Sstems i whe Aussge üefühe ilde die Lösugsmege L. Ei Gleichugssstem ist icht lie, we die Uekte mit sich selst multipliiet wede. 8.. Eisetugsmethode/ Sustitutiosmethode () Geg. () 4 () ch uflöse 4 () () i () eisete (4) (4) i () ode i () eisete (4) i () eigesett 6 6 Lösug L / {( )} (5) MT Fomelsmmlug Seite Additiosmethode / Elimitiosmethode () 4 44 () 7 7 () mit ud () mit 4 eweite ud die Gleichuge ddiee elimiiee. 9 () (4) (5) (5) i () ode () eisete (5) i () Lösug L 8 / 5 {( )} 5 (6) 8.5. Guss-Algoithmus c u () c v () c w () () ud () ddiee ud elimiiee c u () c v () d e w (4) () ud () ddiee ud eeflls elimiiee c u () c w () f g h (5) (4) ud (5) ddiee ud elimiiee d e w (4) f g h (5) i j (6) Aus (6) k estimmt wede Rückwäts uflöse: - i (5) ode (4) eisete - estimme - ud i (), () ode () eisete - estimme
8 MT Fomelsmmlug Seite Vektogeometie ud Alge 9.. efiitio Vekto: geichtete Gösse Skl: Msshl ud Msseiheit 9.. Otsvekto 9... Betg eies Vektos e Betg ist die Läge des Vektos Betg: v 9.. Feie Vekto 9.4. Nullvekto Ei Vekto mit dem Betg ( v ). e keie Läge ht ist e ei ukt im Rum. Ei feie Nullvekto k lso jede ukt des Rumes sei. e Otsvekto ht eie festgelegte Afgspukt, Betg ud eie Richtug. Ei feie Vekto ht eie Betg ud eie Richtug. e Afgspukt k fei gewählt wede MT Fomelsmmlug Seite Eees Kooditesstem Summe (gfisch) iffee Vielfches.5 (Additio des egtive Vektos)
9 MT Fomelsmmlug Seite Vekto us Afgs- ud Edpukt Beechug des Astdes wische wei ukte 9.6. Vektoe im Rum Beechug de Betäge Summe p ) / ( ) / ( ( ) ( ) e Vekto ht de Betg (äumliche thgos) MT Fomelsmmlug Seite iffee Vielfches Vekto us Afgs- ud Edpukt Astdsfomel ( ) ( ) ( ) k k k k k
10 MT Fomelsmmlug Seite Zelegug vo Vektoe c ie Kompoetegleichug ist ei liees Gleichugssstem m ud köe eechet wede Kolliee ud komple Vektoe Kolliee Vektoe: Vektoe, die pllel u desele Gede sid Komple Vektoe: Vektoe, die pllel u desele Eee sid Mittelpukt eie Stecke M M c Vektogleichug c m c Kompoetegleichug c m m M M M M c > M M ( ) ( ) MT Fomelsmmlug Seite 9.. Schwepukt eies eiecks M S S 9.. Nomlvekto i de Gudeee - S S S ( ) ( ) ( ) de Gud- Fü jede Vekto eee gilt
11 MT Fomelsmmlug Seite 9.. Gleichug de Gede 9... ie metegleichug de Gede 9... ie Vektogleichug de Gede t 9... ie Kompoetegleichug de Gede t t t Bestimme de Spupukte eie Gede -Eee -Eee -Eee metegleichug de Gede t Spupukte sid jee ute, ei dee die Gede die Kooditeeee duchdige..h. Schittpukte de Gede mit de -, -, ud/ode mit de -Eee. Eie Kompoete diese ukte ist imme! MT Fomelsmmlug Seite ie Gede sid idetisch Gegeseitige Lge vo Gede im -Eee Rum Nei Sid die ichtugsvektoe kollie? J He die Gede uedlich viele Schittpukte? J ie Gede Nei sid idetisch Nei ie Gede sid pllel He die Gede eie gemeisme Schittpukt? J ie Gede scheide sich ie Gede sid widschief 9.. Gleichug de Eee 9... ie metegleichug de Eee -Eee -Eee -Eee -Eee gg -Eee ie Gede sid pllel. -Eee g g -Eee -Eee ie Gede scheide sich. -Eee g g S -Eee -Eee ie Gede sid widschief. -Eee g -Eee g -Eee Ei ukt ud Richtugsvektoe estimme eie Eee. metegleichug: u v Vektogleichug u v Kompoetegleichug u v u u v v
12 MT Fomelsmmlug Seite 9... Beechug de Achseschitte -Eee -Eee -Eee 9... ie Kooditegleichug de Eee uch Elimitio vo u ud v us de Kompoetegleichug ehält m eie Gleichug i de Fom: A B C ies ist die Kooditegleichug de Eee. ie Eee ist die Mege de ukte des Rumes, dee Koodite diese Gleichug efülle Speielle Lge vo Eee Eeegleichug: A B C Ws edeutet Fü de -Achseschitt k fü ud eigesett wede: u v Fü de -Achseschitt k fü ud eigesett wede: u v Fü de -Achseschitt k fü ud eigesett wede: u v Bei geht die Eee duch de Uspug!! (//) MT Fomelsmmlug Seite Ws edeutet C Ws edeutet A Ws edeutet B Fü de Achseschitt gilt ; ode ulös (flsche Aussge) Eee pllel u -Achse Eee geht duch -Achse ie Eee steht oml uf de - Eee ud heisst deshl estpojiieede Eee. Fü de Achseschitt gilt ; ode ulös (flsche Aussge) Eee pllel u -Achse Eee geht duch -Achse ie Eee steht oml uf de - Eee ud heisst deshl weitpojiieede Eee. Fü de Achseschitt gilt ; ode ulös (flsche Aussge Eee pllel u -Achse Eee geht duch -Achse ie Eee steht oml uf de - Eee ud heisst deshl dittpojiieede Eee
13 MT Fomelsmmlug Seite ie Hupteee ie este Hupteee - C ie weite Hupteee - A ie ditte Hupteee - B Es fehle die Gliede A ud B de Eeegleichug: C ode C ie Eee liegt pllel u -Eee! Es fehle die Gliede B ud C de Eeegleichug: A ode A ie Eee liegt pllel u -Eee! Es fehle die Gliede A ud C de Eeegleichug: B ode B ie Eee liegt pllel u -Eee MT Fomelsmmlug Seite Schitt vo Gede ud Eee -Eee -Eee -Eee uchstosspukt 9.7. Schittgede weie Eee -Eee Schittgede -Eee -Eee Eee u v Gede tc G. Gleichuge gleichsete. Auflöse ch u, v ud t. u, v ode t i die Uspugsgleichug eisete Geg: Kooditegleichuge Ges: Schittgede M ucht midestes ukte uf de Schittgede.. Eisete igedeie Zhl fü eie Koodite. s etstehede Gleichugssstem k ufgelöst wede. oedu fü eie weite ukt widehole 4. metegleichug de Gede eeche
14 MT Fomelsmmlug Seite s Sklpodukt efiitio ϕ Beechug des Wikels > ϕ ϕ Wikel wische Vekto ud Kooditechse α β γ α, β ud γ heisse Richtugskosius vo ; sie sid voeide hägig: γ β α γ β α ϕ Recheegel: e e α e e β e e β MT Fomelsmmlug Seite Nomlvekto uf Gede ud Eee Nomlvekto uf eie Gede g (/) ( / ) Nomlvekto uf eie Eee -Eee -Eee -Eee ojektio eies Vektos uf eie Gede C A B ϕ AB AB Wie eeits ekt: Aus de Kooditegleichug köe die Kompoete eies Nomlevektos diekt heusgelese wede: B A C B A Nomlvekto: C B A C B A e Nomlvekto k lso us de Kooditegleichug estimmt wede. ϕ ϕ AB AB AB AB AB AB AB > Läge AB AB > Koodite
Vorkurs - WS 2016/17 Torsten Schreiber
Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 7 Wiedeholug Diese Fge sollte Sie ohe Skipt etwote köe: Ws vesteht m ute eiem liee Gleichugssstem? Wie fuktioiet ds Eisetzugsvefhe? Wouf ist eim Gleichsetzugsvefhe zu chte?
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Bee Fchhochschule Hochschule fü Techik ud Ifomtik Bugdof Mthemtik Geometie Auto: Niklus Bue Dtum: 7. Septeme 4 Ihlt. Mtize ud Detemite..... Defiitio..... Detemite..... Ivese eie Mti....4. Cmeegel... 4.5.
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uu uu uu uu uu uu uu uu 77 Astäde ud Wikel 77 Wikel Geade - Geade Schittwikel zweie Geade: Am Schittpukt zweie Geade g ud g lasse sich die eide Wikel (g, g ) ud (g, g ) messe Als Schittwikel ezeichet ma
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Mthemti fü Igeieue Numeische Itegtio ud Aweduge Mthemti THE SERVICES fü Igeieue PROVIDER Numeische DIE Itegtio PERSONALDIENSTLEISTER ud Aweduge Idee de umeische Itegtio Mthemti THE SERVICES fü Igeieue
Seminarstunden S-Std. (45 min) Nr. Modul Theorie Übungen. 14 Potenzieren und Radizieren 1 1
Mthemtik Grudlge Poteziere ud Rdiziere Mthemtik Grudlge für Idustriemeister Semirstude S-Std. (45 mi) Nr. Modul Theorie Üuge 4 Poteziere ud Rdiziere Ihlt 4 Poteziere ud Rdiziere... 4. Poteziere... 4..
Klasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren
Klsse 0 Grphe vo grtiole Fuktioe skiiere Nr.3-4.4.06 Ausggslge Vorwisse Die SuS kee Grudfuktioe ud ihre Grphe: f() = ²; ³; ⁴ f() = ; f() = Die SuS kee bei Grudfuktioe folgede Veräderuge: g() = f() Der
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
Abgabe: (vor 12 Uhr)
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehstuhl fü Spche ud Bescheibugsstuktue SS 20 Eifühug i die Ifomtik I Übugsbltt 2 Pof. D. Helmut Seidl, A. Lehm, A. Hez, D. M. Pette 2.05. Abgbe:
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
Die g-adische Bruchdarstellung. 1 Die g-adische Bruchdarstellung
Die g-adische Buchdastellug Votag im Rahme des Posemias zu Aalysis, 24.03.2006 Michael Heste Ziel dieses Votags ist eie kokete Dastellug de elle Zahle, wie etwa die allgemei bekate ud gebäuchliche Dezimaldastellug
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
3. Lineare autonome Systeme
3. Liee uoome yseme Liee uoome yseme öe ewede duh yseme o Diffeeilgleihuge. Odug ode duh eie Diffeeilgleihug -e Odug de A eshiee wede. Beide Besheiugsweise sid eide äquile, d.h. sie lsse sih ieide üefühe.
ASW Lösungen zu Übung 6, MB,
ASW Lösue u Übu MB Mthemtik I Geometrie vo Gerde ud bee rof DrBGrbowski Zu Aufbe Geebe sei eie Gerde im R : { } R Gebe Sie die Gerde i Normlform b R! b Gebe Sie die Gerde - R i ukt-richtusform! cliet der
Glossar zum Brückenkurs "Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" 1
Glossr zum Brückekurs "Mthemtik für Wirtschftswisseschftler" GLOSSAR Abbildug Eie eideutige Zuordug f zwische zwei Mege X ud Y heißt Abbildug oder Fuktio us X i Y. M schreibt: f: X Y. f heißt Abbildug
Lineare Algebra 2. A m. A 3 XI n3
Techische Uivesität Dotmud Sommesemeste 27 Fakultät fü Mathematik Übugsblatt 6 Pof D Detlev Hoffma 6 Jui 27 Maco Sobiech/ Nico Loez Lieae Algeba 2 Lösug zu Aufgabe 6: Voaussetzuge: Sei K ei Köpe ud sei
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG
Lösuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG Blok. Beekuge: Kle vo ie h usse uflöse; Pukt vo Stih 0. / /. π lr lr Q lr d 00 ln Beekug zu d Geht uh ohe TR! Küze Nee: ud Zähle:
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
Uiversität Regesburg Nturwisseschftliche Fkultät I Didktik der Mthetik Dr. Güter Rotheier WS 008/09 Privte Vorlesugsufzeichuge Kei Aspruch uf Vollstädigkeit 5 7 Eleetrthetik (LH) ud Fehlerfreiheit. Zhlebereiche.5.
mathphys-online WURZELFUNKTIONEN Graphen der n-ten Wurzelfunktion y-achse
mthphys-olie WURZELFUNKTIONEN Grphe der -te Wurzelfuktio.5.5.5 0.5 0 0.5.5.5.5.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 = = = mthphys-olie Wurzelfuktioe Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Die Wurzel ud Wurzelgesetze Die eifche
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
π ist Grundwissen 10. Jahrgangsstufe Mathematik 1. Kreiszahl π, Bogenmaß, Kreisteile, Kugel Die ersten 30 Dezimalen von π :
Gudwisse 0. Jhggsstufe Mthemtik Wisse / Köe Beispiele. Keiszhl, Bogemß, Keisteile, Kugel Die Zhl ist ls itiole Zhl icht ls Buch dstellb. Näheugswete fü köe z.b. Aäheuge de Umfg U ode de Flächeihlt A eies
1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung
Grudwie Mthemtik 9.Kle Gymium SOB.Weiteretwicklug der Zhlvortellug Defiitio der Qudrtwurzel: Für 0 it diejeige icht egtive Zhl dere Qudrt ergibt. heißt Qudrtwurzel, heißt Rdikd. Beipiele: 0,5 0,5 64 8
1 a+ 5 a b + 5a b 5ab(a+ = 10 a + 10a b 10a (a+ 2 3a. b a ab a. a a ab+ ab b b
8. Jahrgagsstufe (G8) Zahle Bruchterme sid um Beispiel: + a b,, a c+ d.. Erweiter ud Küre Ei Bruchterm wird erweitert (gekürt), idem ma Zähler ud Neer mit dem selbe Term multipliiert (durch de selbe Term
Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest
Studiekolleg ei de Uiversitäte des Freisttes Byer Üugsufge zur Vorereitug uf de Mthemtiktest . Polyomdivisio:. Dividiere Sie! ) ( 6 8 ):( ) Lös.: ) ( 9 7 0 8 9):(6 ) Lös.: 7 9 c) ( - ):() Lös.: d) (8 9
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Elementare Algebra. (Arithmetik, Schulmathematik) Seite
Ausgbe 2007-09 Eleetre Algebr (Arithetik, Schulthetik) Seite Betrg reeller Zhle 10 Bioe Itervlle 10 Liere Fuktioe 8 Liere Gleichuge 8 Mittelwerte Potezgesetze 6 Qudrtische Fuktioe 9 Qudrtische Gleichuge
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK. Grundlagen für Ökonomen
D. Jüge Sege MTHEMTIK Gudlage fü Ökooe ÜBUNG 8.. - LÖSUNGEN. Gegee ist das lieae Gleichugssyste: 7 a. Es hadelt sich u ei ihoogees lieaes Gleichugssyste it Gleichuge ud Vaiale.. Ei lieaes Gleichugssyste
(5) Quaternionen. Vorlesung Animation und Simulation S. Müller U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ LANDAU
(5) Quateioe Volesug Aimatio ud Simulatio S. Mülle KOBLENZ LANDAU Fage: De ekostuiete Wikel ist ische ud 8, as ist mit gößee Wikel? Atot: die ekostuiete Nomale eigt i die adee Richtug. also kei Poblem.
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 2
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Alysis II FS 28 Prof. Mfred Eisiedler Lösug 2 Hiweise. Gehe Sie log zum Kochrezept zur Treug der Vrible i liere Differetilgleichuge vor (siehe Abschitt 7.5.3 im Skript). 2. Bemerke
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
Lösen einer Gleichung 3. Grades
Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt
DOWNLOAD. Potenzgesetze für rationale Exponenten. Michael Körner. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Grundwissen Wurzeln und Potenzen
DOWNLOAD Michel Körer Potezgesetze für rtiole Expoete Michel Körer Grudwisse Wurzel ud Poteze. 0. Klsse Bergedorfer Kopiervorlge Dowloduszug us dem Origiltitel: Kubikwurzel bzw.. Wurzel Aufgbe Wie groß
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Hinweise zu den Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen
Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: 978---79-9 Hiweise zu de Aeguge zum Nchdeke ud fü eigee Utesuchuge Kp. zu A.: : D eie Pimzhl ist, lsse sich lle Stefigue {/k} mit k,,,, ls duchgehede
Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden
Mathematik I für Naturwisseschafte Dr. Christie Zehrt 7.09.18 Übug (für Pharma/Geo/Bio) Ui Basel Besprechug der Lösuge: 1. Oktober 018 i de Übugsstude Aufgabe 1 Sid die folgede Abbilduge f : X Y umkehrbar?
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term
Cristian Rosca & Timm Kruse: Ungleichungen II (Proseminar Mathematisches Problemlösen SS 2006: Dozent - Natalia Grinberg) UNGLEICHUNGEN II
Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Posemi Mthemtishes Polemlöse Uivesität Klsuhe SS 006 UGLEICHUGE II Youg-Ugleihug... Hölde-Ugleihug...6 Miowsi-Ugleihug...0
Flächenberechnung. Flächenberechnung
Itegrlrechug Gegee sei eie Fuktio. 1 Itegrlrechug Gesucht ist die Fläche zwische der Kurve vo 0 is 1 ud der -Achse. 0 1 2 197 Wegeer Mth/5_Itegrl_k Mittwoch 04.04.2007 18:38:48 Itegrlrechug Wir eee 1 um
Potenzen und Wurzeln
Poteze ud Wurzel.) Poteze mit türliche ud gze Epoete: Epoet Potez: Bsis Ei Produkt us gleiche Fktore lässt sich ls Potez schreie er: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 (
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
Wiederholung Analysis. Stetige Zufallsgrößen. Verteilungsfunktion. Intervallwahrscheinlichkeiten. ( ) da lim F( x) = 0. ist monoton wachsend
Wiederholug Alysis Stetige Zufllsgröße F sei Stmmfuktio zu f f d= F F = f Bestimmtes Itegrl f ( d ) = F F Ueigetliche Itegrle f () tdt= F lim F f() t F = f() t dt ist mooto wchsed f () tdt= lim F F A=F()-F()
Übersicht Integralrechnung
Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Terme. Kapitel 2. Terme. Wertebereich. Summensymbol. Summensymbol Rechnen. Summensymbol. Aufgabe 2.1. Summensymbol Rechnen.
Terme Kpitel Terme Ei mthemtischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke uf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethlte Zhle, Kostte (ds sid Symbole, die eie
Definition einer Gruppe
Defiitio eier Gruppe Uter eier Gruppe versteht i der Mthetik eie Ahl vo Eleete, die durch Regel i Beiehug stehe. Bediguge für eie thetische Gruppe: I. Verküpfug weier beliebiger Eleete (ud dit uch ds Qudrt
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
x = a + b α + β. b) Wir erweitern den Bruch geeignet (Standardtrick: z z ist reell, daher ergibt 1/z = 1/z z/ z = z/(z z) einen reellen Nenner):
Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) Istitut für Aalysis Priv-Doz Dr P C Kustma Dr D Frey WS 0/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 3 Übugsblatt Aufgabe Zuächst zum Supremum:
Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen
Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge Algeische Gudlge Bimische Fmel Aslutetg (+ ) + + (- ) - + (+ ) (- ) - Ï fü Ì Ó fü < (+ ) + + + (- ) + - ( ) ( + + ) Wuzel ud Pteze... - Fkte (
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
Grundwissen Mathematik Klasse 9
Grudwisse Mthetik Klsse Reelle Zhle: Qudrtwurzel: ist die icht-egtive Lösug der Gleichug:. Merke: heißt Rdikd ud drf icht egtiv sei! Bsp.: 7 6, 7 7 Irrtiole Zhle: Jede Zhl, die sich icht ls Bruch drstelle
11 Euklidische und unitäre Vektorräume
Euklidische ud uitäe Vektoäume. Nom ud Sklpodukt Fü de R lässt sich die Läge eies Vektos x duch die Nom kxk messe ud duch hx,yi Sklpodukte sog de Wikel cos ](x, y) kxk kyk zwische zwei Vektoe x, y emittel.
heißt kommutativ (oder auch abelsch), falls für die Verknüpfung das Kommutativgesetz gilt: (G 5) Für alle ab, Ggilt a b
r M J auer Algebraische trukture 7 Kapitel : Gruppe Gruppe: efiitio, Beispiele efiitio (Gruppe) Eie Mege G (G ) zusamme mit eier Verküpfug heißt eie Gruppe, we folgede Eigeschafte erfüllt sid: (G ) G ist
Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig. Def. 6.1 Eine (reelle) Zahlenfolge ist eine unendliche Menge von (reellen) Zahlen a1, a2,, a n
Mthemti für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig 6. Zhlefolge ud Reihe 6. Zhlefolge 6.. Grudbegriffe Def. 6. Eie (reelle Zhlefolge ist eie uedliche Mege vo (reelle Zhle,,,, i eier bestimmte Reihefolge geordet sid.
Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann
Michel Buhlmnn Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen Linee Gleichungssysteme > Teil I: Theoie Linee Gleichungen und linee Gleichungssysteme duchziehen den Mthemtikunteicht in llen Schulfomen
Mathematikaufgabe 79
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