Hinweise zu den Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen

Transkript

1 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Hiweise zu de Aeguge zum Nchdeke ud fü eigee Utesuchuge Kp. zu A.: : D eie Pimzhl ist, lsse sich lle Stefigue {/k} mit k,,,, ls duchgehede Steckezüge zeiche: {/} {/} {/} {/} {/} : D, lsse sich die Stefigue {/k} mit k,, 7 teilefemd ls duchgehede Steckezüge zeiche: {/} {/} {/7} Die Stefigu {/} esteht us egelmäßige -Ecke, d ei Teile vo ist, Stefigu {/} us egelmäßige -Ecke, d ei Teile vo ist, ud Stefigu {/} esteht wege ggt; us dei -zckige Stee vom Typ {/}: Lösuge gesmt Seite /

2 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: {/} 9, 7, 8 {/},, 7, 8, 9 {/} 9, 7, 8 8: D, lsse sich u die Stefigue {8/k} mit k, 7 teilefemd ls duchgehede Steckezüge zeiche. Stefigu {8/} esteht us egelmäßige 9-Ecke, d ei Teile vo 8 ist. Stefigu {8/} esteht us egelmäßige -Ecke, d ei Teile vo 8 ist. Stefigu {8/} esteht wege ggt8; us zwei 9-zckige Stee vom Typ {9/}. Stefigu {8/} esteht us egelmäßige -Ecke, d ei Teile vo 8 ist. Stefigu {8/8} esteht wege ggt8;8} us zwei 9- zckige Stee vom Typ {9/}. {8/} 8, {8/} 9, 7, 8 7 {8/} 8, {8/} {8/} 8, 7, 8, 9,, 7 {8/7} Lösuge gesmt Seite /

3 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: {8/8} 8, zu A.: Ste {/} k mit Fe gefät wede: Ie liegt ds egelmäßige -Eck Ste {/}, uße liege die gleichgoße Zcke. Ste {9/} k mit Fe gefät wede: Ie liegt ds egelmäßige 9-Eck Ste {9/}, uße liege die 9 gleichgoße Zcke. Ste {7/} k mit Fe gefät wede: Ie liegt ds egelmäßige 7-Eck Ste {7/}, uße liege die 7 gleichgoße Zcke. Ste {9/} k mit Fe gefät wede: Ie liegt de Ste {9/}, de mit zwei Fe gefät wede k; uße liege die 9 gleichgoße Zcke. Ste {7/} k mit Fe gefät wede: Ie liegt de Ste {7/}, de mit zwei Fe gefät wede k; uße liege die 7 gleichgoße Zcke. Ste {9/} k mit Fe gefät wede: Ie liegt de Ste {9/}, de mit dei Fe gefät wede k, uße liege die 9 gleichgoße Zcke. Fzit: D Ste {/k} us Ste {/k } ud Zcke uße esteht, k schittweise eschlosse wede, dss de Ste mit k Fe gefät wede k. zu A.: Ei egelmäßiges 9-Eck ht ½ 9 7 Digole, vo dee 9 Digole die dei gleichseitige Deiecke des Stes {9/} ilde ud jeweils 9 Digole zu de egelmäßige 9-zckige Stee {9/} ud {9/} gehöe. Ei egelmäßiges -Eck ht ½ 7 Digole, vo dee Digole jeweils u zwei gegeüeliegede Pukte veide, Digole ilde die eide egelmäßige -Ecke des Stes {/}, Digole ilde die eide -zckige Stee, us dee Ste {/} esteht ud Digole gehöe zum egelmäßige -zckige Ste {/}. Ei egelmäßiges -Eck ht ½ 8 Digole, vo dee jeweils Digole die egelmäßige Stee {/}, {/}, {/} ud {/} ilde. Ei egelmäßiges -Eck ht ½ 9 Digole, vo dee Digole jeweils u zwei gegeüeliegede Pukte veide, Digole ilde die eide egelmäßige -Ecke des Stes {/}, Digole ilde die dei Qudte des Stes {/}, Digole ilde die eide egelmäßige -Ecke, us dee Ste {/} esteht ud Digole gehöe zum egelmäßige - zckige Ste {/}. Vellgemeieug: Die Azhl de Digole i eiem egelmäßige -Eck etägt ½. Bei ugedem ist de Fkto eie gede Zhl ud lässt sich duch teile. ½ git lso, wie viele Stee geildet wede köe: Bei ist dies ½ Ste, ei 7 sid dies ½ Stee, ei ei 9 sid dies ½ Stee usw. Lösuge gesmt Seite /

4 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Bei gedem sid ½ Digole zum Zeiche vo Stee uuch, weil sie u jeweils zwei gegeüeliegede Pukte miteide veide. Üig leie ½ ½ ½ Digole. ½ git, wie viele Stee geildet wede köe: Bei ist dies ½ Ste, ei 8 sid dies ½ Stee, ei ei sid dies ½ Stee usw. Welche Ste-Type etstehe, hägt wie usgefüht vo k : ei Ste us k Vielecke mit /k Ecke ode ei Ste us g Stee mit /g Zcke ode ei Ste, de us eiem duchgehede Steckezug esteht. zu A.: Die Zcke liegt üe eie Digole des 8- Ecks, die eie Eckpukt mit dem üeächste Eckpukt veidet. Dhe ist de Zckewikel ε hl so goß wie de zugehöige Mittelpuktswikel, ämlich hl so goß wie /8, lso ε. Die Zcke liegt üe eie Seite des 9-Ecks. Dhe ist de Zckewikel ε hl so goß wie de zugehöige Mittelpuktswikel, ämlich hl so goß wie /9, lso ε. Die Zcke liegt üe eie Digole des - Ecks, die eie Eckpukt mit dem vietächste Eckpukt veidet. Dhe ist de Zckewikel ε hl so goß wie de zugehöige Mittelpuktswikel, ämlich hl so goß wie /, lso ε 7. Die Zcke liegt üe eie Digole des - Ecks, die eie Eckpukt mit dem füftächste Eckpukt veidet. Dhe ist de Zckewikel ε hl so goß wie de zugehöige Mittelpuktswikel, ämlich hl so goß wie /, lso ε 7. zu A.: Zu eie Sehe git es Umfgswikel oehl zw. utehl de Sehe. Diese egäze sich zu 8. De Mittelpuktswikel, de zu eiem Umfgswikel utehl de Sehe gehöt, ist de Egäzugswikel zu dem Mittelpuktswikel, de zu eiem Umfgswikel oehl de Sehe gehöt diese eide Mittelpuktswikel egäze sich lso zu. Dies egit sich us dem Keiswikelstz vgl. A. Mitte: Alle Umfgswikel üe eie Sehe sid gleich goß. De Mittelpuktswikel üe eie Sehe ist doppelt so goß wie die zugehöige Umfgswikel. Mit de i de Aildug echts stehede Bezeichuge egit sich: Folgede Umfgswikel sid gleich goß üe de Seite: AB: γ δ ; BC: δ α ; CD: α β ; DA: β γ. üe zw. ute de Digole: AC: δ 8 β ; BD: α 8 γ, lso: α γ 8 ud β δ 8. Die Zcke liegt üe de Digole des 9-Ecks, die eie Eckpukt mit dem füftächste Eckpukt veidet. Dhe ist de Zckewikel ε hl so goß wie de zugehöige Mittelpuktswikel, ämlich hl so goß wie /9, lso ε. zu A.: De Mittelpuktswikel ist jeweils göße ls 8. I de Aildug liks liegt die Zcke üe de Digole des -Ecks, die eie Eckpukt mit dem sietächste Eckpukt veidet. Dhe ist de Zckewikel ε hl so goß wie de zugehöige Mittelpuktswikel, ämlich hl so goß wie 7 /, lso ε,. Lösuge gesmt Seite /

5 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: I de Aildug echts liegt die Zcke üe de Digole des -Ecks, die eie Eckpukt mit dem chtächste Eckpukt veidet. Dhe ist de Zckewikel ε hl so goß wie de zugehöige Mittelpuktswikel, ämlich hl so goß wie 8 /, lso ε. zu A.7: D jede Ste vom Typ {/} im Ie ei egelmäßiges -Eck, lso eie Ste vom Typ {/} ethält, sid die uße liegede Zcke ufgesetzt. zu A.8: Die Zhle ud sid Lösuge de Gleichug. Dhe ist die Temdivisio : möglich ud m ehält ls egäzede Fkto. Duch Ausmultipliziee k m üepüfe, dss sich dstelle lässt ls Podukt. M k dei z. B. die. iomische Fomel wede: Die Lösuge de qudtische Gleichuge ud sid: i ; i ; i ; i Hieus egee sich die folgede Puktkoodite: ; - ; ; ; ; zu A.9: Die Zhle ud sid Lösuge de Gleichug 8. Dhe ist die Temdivisio 8 : möglich ud m ehält ls egäzede Fkto. Nchdem m festgestellt ht, dss i ud i eeflls Lösuge de Gleichug 8 sid, muss uch ch die Temdivisio duch möglich sei, lso 8 : 8 : Duch Ausmultipliziee üepüft m, dss dies egit. Die Lösuge de qudtische Gleichuge ud sid: i ; i ; i ; 7 i Hieus egee sich die 8 folgede Puktkoodite: ; - ; ; ; ; ; ; zu A.:. Rude: A E, D F, C G, B H. Rude: A F, E G, D H, B - C. Rude: A G, F H, B E, C D 7. Rude: A H, B G, C F, D E Lösuge gesmt Seite /

6 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.:. Wie eim Tuie mit 8 Mschfte zeichet m ei egelmäßiges 7-Eck. Die Spielpuge egee sich us de eizele Seite ud de dzu pllele Digole; de gegeüeliegede Pukt mkiet die spielfeie Mschft.. Rude: A B, C G, D F, E ist spielfei. Rude: B C, A D, E G, F ist spielfei. Rude: C D, B E, A F, G ist spielfei. Rude: D E, C F, B G, A ist spielfei. Rude: E F, D G, A C, B ist spielfei. Rude: F G, A E, B D, C ist spielfei 7. Rude: G A, B F, C E, D ist spielfei zu A.: Aus de folgede symmetische Telle k m lese, dss Spiele stttfide. I de Rdfelde stehe lle mögliche P-Komitioe i lphetische Reihefolge otiet. Im Ie de Telle steht ei X, we eie Spielpug icht möglich ist, d ei Spiele doppelt vokommt. Die Telle ist symmetisch, d mit jede Spielpug uch die umgekehte Aufzählug de Ptie möglich ist. AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE AB X X X X X X X AC X X X X X X X AD X X X X X X X AE X X X X X X X BC X X X X X X X BD X X X X X X X BE X X X X X X X CD X X X X X X X CE X X X X X X X DE X X X X X X X Dmit m eie schöe Spielpl ht, sollte m geometisch vogehe. M etchtet ei egelmäßiges Füfeck ud i diesem estimmte Seite zw. Digole,die de Pkomitioe etspeche. Legt m fest, welche Spiele spielfei ht, d k m die jeweils zusmme spielede Teilehme gemäß eiem geometische Muste festlege: Lösuge gesmt Seite /

7 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Dem Pukt spielfeie Teilehme gegeüe liegt ei Tpez, vo diesem wähle die eide pllele Seite: spielfei Mschft Mschft A CD BE B DE AC C AE BD D AB CE E BC AD Dem Pukt gegeüe liegt ei Tpez, vo diesem wähle die icht pllele Seite: spielfei Mschft Mschft A BC DE B CD AE C DE AB D AE BC E AB CD Dem Pukt gegeüe liegt ei Tpez, vo diesem wähle die Digole: spielfei Mschft Mschft A BD CE B CE AD C AD BE D BE AC E BD AC Lösuge gesmt Seite 7 /

8 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: zu A.: Um diese Geze zu estimme, muss eie qudtische U-Gleichug gelöst wede: ½ ½,, ½.. ½,, ½.... ½,,7 zu A.: Die geildete Qudte ethlte cht Deiecke, mit dee die Deieckszhle dgestellt wede; zusätzlich liegt i de Mitte ei Pukt. I de Ailduge sid lso die Beziehuge 8 7 ; 8 9 ; 8 dgestellt. Allgemei lutet die Beziehug: 8 De Nchweis de Beziehug k mithilfe vo ½ ½ ½ efolge: 8 Gfike fü ud : zu A.: I de Ailduge sid zu sehe: liks: ote, gele, oge fee Steie; Mitte: ote, 9 gele, oge fee Steie; Mitte: 9 ote, gele, oge fee Steie Allgemei: g g g g g g g g Sid g ud mit g > zwei ufeidefolgede Deieckszhle ud, d ist dee Diffeez gede gleich. Nch Fomel. gilt e gede:. Die Whscheilichkeit fü ds Eeigis Die eide gezogee Kugel he die gleiche Fe eechet sich wie folgt: P, g g g g g g g g g g Lösuge gesmt Seite 8 /

9 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Die Whscheilichkeit fü ds Eeigis Die eide gezogee Kugel he uteschiedliche Fe eechet sich wie folgt: P g, g g g g Eie fie Spielegel liegt vo, we eide Eeigisse die gleiche Whscheilichkeit he, lso we gilt: g g g g g g g g g g, d. h., we g g ode g g, d. h., we Hiweis: A de folgede Telle k gelese wede, mit welche Whscheilichkeit m gewit, we m uf ds Eeigis setzt. Dei wid deutlich, dss es chteilig wäe, uf ds Eeigis zu wette, we die Azhle vo ote ud gele Kugel sich u weig utescheide. Ds zweifche Ziehe eie Kugel us de Ue k mithilfe eie Komitiostelle veschulicht wede: D die gezogee Kugel icht zuückgelegt wid, k eie Kugel icht zweiml gezoge wede gue Felde. Die zum Eeigis gleiche Fe gehöede Komitioe sid duch die güe Felde vedeutlicht. Die Pfeilspitze zeige, dss diese Felde i die gele Felde veschoe wede köe. Die icht veschoee güe Felde psse offesichtlich i die och icht elegte Felde oe echts ud ute liks: Lösuge gesmt Seite 9 /

10 zu A.: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Dgestellt sid vie Deiecke mit Reihe, duch die jeweils die Summe dgestellt wid. Offesichtlich gilt: [ ] [ ], lso zu A.: Dgestellt sid zwei Summe vo ugede tüliche Zhle,, 7, 7 9 7, lso fü,,, die Summe [ ] [ ] gemäß Fomel. zu A.7: Ds Gesmt-Deieck us Zeile setzt sich jeweils us vie kleiee Deiecke zusmme: dei Deiecke mit Zeile ot, gü, lu ud ei Deieck mit Zeile gel. We dieses kleiee Deieck um eie Zeile mit Pukte egäzt wid, ehält m ei Deieck mit Zeile. zu A.8: Die Zhl 8 ht zwei ugede Teile: ud 9. Hieus egee sich die eide Summedstelluge: Die Zhl ht dei ugede Teile:,,. Hieus egee sich dei Summedstelluge,, 7 8 Lösuge gesmt Seite /

11 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Die Zhl ht ugede Teile:,, 9,,. Hieus egee sich die Summedstelluge ; ; ; ; Lösuge gesmt Seite /

12 A.9: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Üesicht üe die Azhl de ugede Teile fü,,, ugede Teile > Azhl ugede Teile > Azhl Lösuge gesmt Seite /

13 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: ht füf ugede Teile:, 7, 9,,. Hieus egee sich die füf Summedstelluge: ist eie Pimzhl, ht lso u Teile, 8 9 ht u eie ugede Teile 9 ist Pimzhl, 9 7 ht dei ugede Teile, ht dei ugede Teile, 7 ht dei ugede Teile, 7 ht dei ugede Teile, 7 7 ht füf ugede Teile, ³ ht dei ugede Teile. ht viezeh ugede Teile. zu A.: Die Rechteckfigu mit de Beite ud de Höhe setzt sich zusmme us de Qudte mit de Flächeihlte,,, ud sowie de Rechtecksteife de Höhe mit de Flächeihlte,,, ud. Es gilt lso: Esetzt m die uf de like Seite i Klmme stehede Summe vo tüliche Zhle jeweils duch de o.. Summetem, lso ½ ½ ; ½ ½ ; ½ ½ ; ½ ½ ; ½ ½, so egit sich: ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Nch Auflöse de Klmme ud Umode folgt hieus: ½ ½ Lösuge gesmt Seite /

14 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: ud weite / / Auflöse ch de Summe de Qudtzhle egit d / ud ch Esetze des Summetems fü die este tüliche Zhle / ½ zu A.: Fü die Summe de este Qudtzhle gilt:... Fü die Summe de este gede Qudtzhle folgt hieus: Dhe gilt fü die Summe de este ugede Qudtzhle:.. [.. ] [... ] [ ]. Hiweis: Wudee geometische Veschulichuge fidet m ute: zu A.: D die Summe vo zwei ufeidefolgede Qudtzhle eie ugede Zhl ist, lässt sie sich ch dem Stz vo Sylveste stets uch ls Summe ufeidefolgede tüliche Zhle dstelle. Beispiele fü Summe vo ufeidefolgede Qudtzhle: ; 7; 7; ; ; ; Bei eiige diese Beispiele git es offesichtlich mehee Möglichkeite de Dstellug. D e ute de Beispiele uch Pimzhle sid, die u eie ugede Teile esitze ämlich sich selst, fü es lso u eie Möglichkeit de Summedstellug git, leit fü lle Summe vo zwei ufeidefolgede Qudtzhle u eie gemeisme Möglichkeit de Dstellug, ämlich ls Summe vo zwei ufeidefolgede Zhle: [ ] [ ] zu A.: I jedem de Deiecke de like Seite ist -ml die ethlte, -ml die, -ml die, -ml die, -ml die, -ml die ud 7-ml die 7; die Summe lle Felde eies Deiecks egit lso 7. Lösuge gesmt Seite /

15 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Im Summedeieck echts steht i jedem Feld die Summe 7. Dhe folgt: 7 7 7, lso 7. Allgemei gilt: ud hieus folgt wege ½ die Behuptug. zu A.: Die ächste Gleichuge, fü welche die esodee Summedstellug gilt, lute: Die Summe de este ugede Kuikzhle ist die Summe vo elf ufeidefolgede Zweiepoteze egied mit dem Epoete : Die Summe de este ugede Kuikzhle ist die Summe vo ufeidefolgede Zweiepoteze egied mit dem Epoete : Eie Fomel zu Beechug de Summe de este ugede Kuikzhle egit sich us Fomel.: Dhe gilt fü die Summe de este ugede Kuikzhle:.. [.. ] [... ] lso:... Fü de Fll, dss es sich ei de ugede Zhl um de Vogäge eie Zweiepotez hdelt, lso um, 7, ³, usw., k m diese Beziehug uch wie folgt otiee k k k k k... Zweiepoteze he die esodee Eigeschft, dss sie jeweils um göße sid ls die Summe lle Zweiepoteze mit kleieem Epoete:.... Dhe k m k k otiee ls... ud k ls..., k, lso k k k k k k zu A.: Weitee Beispiele fü Summe vo ufeidefolgede Kuikzhle: ³ ³ 89 ³ Zelegug i,, 7, 9,, 7 ode Summde; ³ ³ Zelegug i, ode Summde; ³ 7³ 9 Zelegug i, ode Summde Aus de Beispiele egit sich die Vemutug, dss es zwei gemeisme Möglichkeite de Summedstellug git: Lösuge gesmt Seite /

16 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Dstellug ls Summe vo zwei ufeidefolgede tüliche Zhle: ³ ³ ³ ³ [ ³ ½ ] [ ³ ½ ] Hiweis: ist eie gede Zhl, dhe ist die Hälfte dvo gzzhlig. Dstellug ls Summe vo ufeidefolgede tüliche Zhle: Die Summe de Kuikzhle ³ ³ ist duch teil; de Quotiet ist, d. h., de mittlee de Summde ist, die Summe lutet demch:, lso ³ ³. ³ ³ ³ ³ ³ ³ Hiweis: Eie äumliche Veschulichug diese Zelegug fidet m i Roge B. Nelse: Poofs without Wods II, MAA,, S. 9. zu A.7: Fü dei echte Wikelhke gilt: Eie ugede Qudtzhl, die Summe vo dei echte ugede Zhle ist, muss duch teil sei d die este de dei Zhle um kleie ist ls die mittlee Zhl ud die ditte um göße. Dhe egit sich ls Gesmtzhl de lue Steie i de dei Wikelhke ud ls Azhl de ote Steie ud ls Gesmtzhl de ote ud lue Steie, vgl. Aildug i de Aufgestellug. Hie die este Zhletipel des Typs mit dei Wikelhke: 9 9 c Die zu de Figue mit dei Wikelhke gehöede Zhletipel ehält m duch Vedeifche de Zhletipel, die m us de Figue mit eiem Wikelhke ket: ; ; c Lösuge gesmt Seite /

17 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: Spiele gewit ch Spielegel, we die Azhl de Qudte, die eigezeichet wede köe, gede ist; e gewit ch Spielegel, we die Azhl de Qudttype lso de Qudte mit uteschiedliche Göße eie gede Zhl ist. Die folgede Telle ethält eie Üesicht die m etspeched fotsetze k, wie die - Rechtecke lso de Beite ud de Höhe i möglichst goße Qudte zelegt wede köe. De veschiedee utelegte Fe k m etehme, welche Spiele ds Spiel ch Spielegel ode gewit: Spiele gewit ch Spielegel ud ch Spielegel. Spiele gewit ch Spielegel ud veliet ch Spielegel. Spiele veliet ch Spielegel ud gewit ch Spielegel. Spiele veliet ch Spielegel ud ch Spielegel. zu A.: [ ; ] [ ; ] [ ; ] 7 [ ;, ] [ ;, ] [ ;,, ] zu A.: Lösuge gesmt Seite 7 /

18 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 8 / ],, ; [ zu A.: We eispielsweise im Ketteuch-Tem [ ;,, ] fü gilt:, d ist de letzte gemischte Buch im Ketteuch gleich, lso, d. h., de letzte gemischte Buch ethält g keie Buch, sode ist eie tüliche Zhl. Es gilt lso: [ ;,,, -, ] [ ;,,, - ] zu A.: zu A.: Zelegug eies -, eies - sowie eies -Rechtecks mit Vietelkeis-Spile zu A.7: Mithilfe vo. egit sich: ], ; [, ds Vehältis de Seiteläge des Rechtecks geht gege, die Seiteläge de Rechtecke ähe sich imme meh dem Vehältis :. Mithilfe vo. egit sich: ], ;, [

19 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.8: Quotiet de Seiteläge, 8,,,, Zelegug [ ; ] [ ;, ] [ ;,, ] [ ;,,, ] [ ;,,,, ] Diese Quotietefolge duchläuft die gleiche Wete wie die Quotietefolge vo ufeidefolgede Fiocci-Zhle, vemeht um, wie m llgemei wie folgt chweise k: f f f f f f f zu A.9: De este Quotiet escheit ei Rechteck mit de Seite ud ds Rechteck zum Ketteuch [; ] ist gü gefät. Dieses Rechteck wid eim Üegg zum Ketteuch [;, ] egäzt um ei Qudt mit Seiteläge ud um ei Qudt mit Seiteläge, sodss ei Rechteck mit de Seiteläge ud etsteht. Dies gilt uch fü die ächste Schitte, vgl. Aildug liks. zu A.: Quotiet de Seiteläge, 9 7, 7, 77 Zelegug [ ;, ] [ ;,,, ] [ ;,,,,, ] Ketteuch Bei diese Folge vo Quotiete wchse die Wete imme lgsme ud stee gege eie Gezwet: Setzt m fü de este Quotiete, d gilt fü de ächste Quotiete Fü de Gezwet gilt dhe:. Lösuge gesmt Seite 9 /

20 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: De Gezwet de Folge ist lso gleich [ ;, ]. Die Rechtecke diese Folge kovegiee gege ei Rechteck mit dem Seitevehältis :. zu A.: Quotiet de Seiteläge, ,,,7..., Aweichug vo,878 -,, -,,7 Quotiet de Seiteläge, , 7, 77,7..., Aweichug vo -,8 -,778 -, -, -, zu A.: [ ;, ] Lösuge gesmt Seite /

21 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite / ] ;,,, [ zu A.: Betchtet m eispielsweise de Ketteuch [; ], lso, d ist de Kehwet dvo gleich, lso [;, ]. Allgemei sid lso [;,,,, ] ud [ ;,,, ] Kehwete voeide. zu A.: Nch de Afgswete / [;] ud 9/ [; ] sowie /9 [;,, ] titt eie Regelmäßigkeit uf: / [;,,, ] / [;,,, ] 9/ [;,,, ] /9 [;,,, ] 8/ [;,,, ] /8 [;,,, ] / [;,,, ] / [;,,, ] 9/ [;,,, ] 9/9 [;,,, ] llgemei: / [;,,, ] / [;,,, ]

22 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: mögliche Komitioe uch fü de Flächeihlt π: π π π π π 9π π mögliche Komitioe fü de Flächeihlt π ud 8π: π π π π π π 7π 9π π π 7π π π π π 7π π 8π mögliche Komitioe fü de Flächeihlt π ud π: π 9π π 7π π π 7π π 9π π π π π π 9π π 7π 7π π 9π π π llgemei: mögliche Komitioe fü de Flächeihlt π ud π: π π, π π, π π,, π π π π, π π, π π,, π π zu A.: Die folgede Telle ethält lle mögliche Komitioe vo dei ugede Summde is zu mimle Summe 9: liks stehe die Summe us zwei Summde, oe die hizukommede ditte Summde. Demch git es Möglichkeit fü die Summe 9π us dei Keisige ämlich π π π, Möglichkeit fü die Summe π Möglichkeite fü die Summe π Möglichkeite fü die Summe π Möglichkeite fü die Summe 7π Möglichkeite fü die Summe 9π 7 Möglichkeite fü die Summe π 8 Möglichkeite fü die Summe π Möglichkeite fü die Summe π Möglichkeite fü die Summe 7π Möglichkeite fü die Summe 9π Möglichkeite fü die Summe π 9 Möglichkeite fü die Summe π Möglichkeite fü die Summe π Möglichkeite fü die Summe 7π 7 Möglichkeite fü die Summe 9π us dei ugede Summde. Die wesite k dei helfe, die ächste Gliede de Folge zu fide. Lösuge gesmt Seite /

23 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Eie dee Methode, die Azhl de Komitioe zu fide, köte mithilfe eie Telleklkultio wie folgt duchgefüht wede: Zuächst stellt m die Folge de tüliche Zhle ls Dulzhle d; vo diese iteessiee diejeige mit de Quesumme. M etchtet d lle Vektoe, desse Kompoete us Eise ud soste us Nulle estehe. D ildet m ds Sklpodukt mit dem Vekto,,, 7, 9,. Die Ziffe de Dulzhle otiet m i umgekehte Reihefolge. Auf diese Weise ehält m im Pizip lle Summe mit dei ugede Summde. Beispiele: 7 :,, *,, 9 :,,, *,,, 7 :,,, *,,, 7 :,,, *,,, 7 9 :,,,, *,,, 7, 9 :,,,, *,,, 7, 9 usw. Aschließed zählt m, wie oft uf diese Weise die Summe 9,,, zustdekomme. Ehelich schuliche ud eifche umzusetze ist lledigs die folgede gphische Methode: Lösuge gesmt Seite /

24 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Üestd echts: Steie 7 Üestd echts: Stei 9 Üestd echts: Steie 7 Üestd echts: Steie Üestd echts: Steie 9 Üestd echts: Steie 7 Üestd echts: Steie Lösuge gesmt Seite /

25 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Die ugede Azhl Steie wid icht symmetisch üeeide geodet wie liks dgestellt, sode ls Wikelhke, woei die Symmetiechse i de Digole des Qudts de Seiteläge liegt. Die Gesmtzhl de Steie k de echts üestehede Steie gelese wede: Gesmtzhl Steie im Qudt Üestd oe Üestd echts 9 Üestd echts We lso z. B. Steie echts üestehe, edeutet dies, dss die Summe 9 9 dgestellt ist. We m wisse will, uf wie viele Ate estimmte Summe zustde komme, muss m u üelege, uf wie viele Ate ei estimmte Üestd möglich ist. Die dei Summde sid de Göße ch ufsteiged geodet, egied ei : Summe Üestd Komitioe 9,,, 7,,, 9,,,, zu A.: Duch systemtisches Poiee fidet m: Möglichkeit fü die Summe π: π π π 7π Möglichkeit fü die Summe 8π: π π π 9π Möglichkeite fü die Summe π: π π π π, π π 7π 9π Möglichkeite fü die Summe π: π π π π, π π 7π π, π π 7π 9π Möglichkeite fü die Summe π: π π π π, π π 7π π, π π 9π π, π π 7π π, π π 7π 9π, Möglichkeite fü die Summe π: π π π 7π, π π 7π π, π π 9π π, π π 7π π, π π 9π π, π π 7π π 9 Möglichkeite fü die Summe 8π: π π π 9π, π π 7π 7π, π π 9π π, π π π π, π π 7π π, π π 9π π, π 7π 9π π, π π 7π π, π π 9π π Möglichkeite fü die Summe π: π π π π, π π 7π 9π, π π 9π 7π, π π π π, π π 7π 7π, π π 9π π, π π π π, π 7π 9π π, π π 7π π, π π 9π π, π 7π 9π π usw. M k uch so setze: Aus de Zhle π, π, π, 7π k m uf eie At eie Summe mit Summde ilde: π π π 7π π. Lösuge gesmt Seite /

26 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Aus de Zhle π, π, π, 7π, 9π k m uf Ate eie Summe mit Summde ilde, lso komme och weitee Möglichkeite im Vegleich zu oe hizu: π π π 9π 8π, π π 7π 9π π, π π 7π 9π π, π π 7π 9π π. Aus de Zhle π, π, π, 7π, 9π, π k m uf Ate eie Summe mit Summde ilde, lso komme och weitee Möglichkeite im Vegleich zu oe hizu ämlich lle Summe, i dee π ls Summd vokommt, ds sid lso lle Möglichkeite mit dei Summde, fü welche die Zhle π, π, π, 7π, 9π ifge komme, ds sid : π π π π π, π π 7π π π, π π 9π π π π 7π π π, π π 9π π π π 7π π π, π 7π 9π π π π 9π π 8π, π 7π 9π π π, π 7π 9π π π. 7 Aus de 7 Zhle π, π, π, 7π, 9π, π, π k m uf Ate eie Summe mit Summde ilde, lso komme och weitee Möglichkeite im Vegleich zu oe hizu ämlich lle Summe, i dee π ls Summd vokommt, ds sid lso lle Möglichkeite mit dei Summde, fü welche die Zhle π, π, π, 7π, 9π ifge komme, ds sid : π π π π π, π π 7π π π, π π 9π π π π 7π π π, π π 9π π π π 7π π π, π 7π 9π π π π 9π π 8π, π 7π 9π π π, π 7π 9π π π. usw. Eie dee Möglichkeit ist, die Azhl de Möglichkeite mithilfe vo Dulzhle mit Quesumme zu estimme vgl. A.. Ode m wählt die oe eschieee gphische Methode, ei de m de Üestd zu eiem Qudt mit Steie utesuche muss wie i de Aildug, dgestellt ist 7. zu A.: We eide Fläche gleich goß sid, d ist die ie liegede Keisfläche hl so goß wie die gesmte Keisfläche. Fü die Rdie de eide Keisliie gilt d, dss uße Lösuge gesmt Seite / ie, de fü die Fläche gilt: gü helllu π uße π ie helllu. D keie tiole Zhl ist, lso icht ls Buch zweie tüliche Zhle dgestellt wede k, git es keie geeigete Keisige mit de Beite LE. Etspechedes gilt fü die zweite Figu, ei de die Gleichug uße Außedem müsste gelte: Mitte ie ie efüllt sei müsste. Bei de ditte Figu gilt zw, dss de Rdius des äußee Keises doppelt so goß ist wie de des lu gefäte Keises ie die ot gefäte Keisfläche ist hl so goß wie die gesmte Keisfläche, e es müsste ußedem gelte: zweite Keis vo ie ie ud ußedem ditte Keis vo ie ie

27 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: I de geildete Figue sid die iee Keisige helllu gefät; sie he zusmme eie Flächeihlt vo FE. Isgesmt umfsst die Figu 7 Keisige mit dem Flächeihlt 7 9 FE, d. h., die güe Keisige he eie Flächeihlt vo 7 FE De Buch ist lso ei Näheugswet fü. Aus de Es gilt lso Ketteuchetwicklug vo vgl. Kp. egit sich, dss m us dem Buch jeweils essee Näheuge mithilfe vo 7 7 ehält, lso us etspeched ud weite. 9 zu A.: 9 7 Aus de Ketteuchetwicklug vo egee sich ls este Näheugsüche:,,, d. h., die Keisfläche stehe im Vehältis: π zu 9π, π zu π, π zu 8π. zu A.7: Dduch, dss de Mittelpukt de Keise jeweils veschoe ist, immt die Möglichkeit, die Rdie miteide zu vegleiche. zu A.8: Ageildet sid Keisige mit ud, lso A gel π ud A gü A helllu A lu π/ π Es köte uch sei, dss Vielfche de Rdie fü die Aildug vewedet wude, hie lso z. B. ud : A gel π π ud A gü A helllu A lu π 7π/ π/ π Etspechedes gilt uch fü die folgede Ailduge. A pik π; A luviolett π/ π A ot π; A os 7π/7 π A gel π π π; A helllu 7π 9π/ π A os π; A lu/gold π π/8 π A lu π π 8π; A lugu 7π 9π π π/ 8π 7 A oge π; A u 7π 9π π/9 π 8 A oliv π 7π π; A gü 9π π π π/ π zu A.9: Figu : Die gesmte Fläche vo 9π ist oge gefät. Figu : Die gü gefäte Fläche ud die helllu gefäte Fläche sid gleich goß: ½ π π π 7π 9π π π ½ 9π, π Figu : gü violett: ½ π π 7π π π ½ 7π 8, π lugü: π 9π π Figu : gel oge: ½ π 7π 9π ½ 7π 8, π ot os: ½ π π π π ½ π π Figu : ot oge: ½ π 9π π ½ π, π os gel: ½ π 7π π ½ π, π u: π Lösuge gesmt Seite 7 /

28 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Figu : gu luviolett: ½ π π π ½ π, π lu lil: ½ π 9π ½ π π helllu ot : ½ π 7π ½ π π Figu 7: helllu luviolett: ½ π π ½ π 7π gü lil: ½ π π ½ π 7π gel ot: ½ π 9π ½ π 7π oge: 7π Figu 8: u luviolett: ½ π, π os lugu: ½ π π ½ π 8π gel helllu: ½ π π ½ π 8π oge gü: ½ 7π 9π ½ π 8π Figu 9: lu u: ½ π, π luviolett oge: ½ π, π gu ot: ½ π π ½ 8π 9π gü lil: ½ 7π π ½ 8π 9π helllu: 9π zu A.: c Lösuge gesmt Seite 8 /

29 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: Ud welche Muste he Sie och etdeckt? zu A.: Mithilfe de Beziehug siα R /e k us de gegeee Göße, R ud e de Wikel α estimmt wede. Die Gesmtläge u de Bh egit sich us de Läge de Böge uf de eide Keise sowie de eide gede Stecke de Läge. Die Läge k mithilfe des Stzes vo Pythgos ode mithilfe des Kosius vo α eechet wede: cosα /e: u e cos R π 8 α π R 8 α e cos α α α 9 9 α π π R zu A.: De hle Schittwikel zwische de sich scheidede Tgete wede mit α ezeichet. Bei gegeee Rdie ud R sowie dem Astd e e e zwische de Mittelpukte egee sich folgede Beziehuge: R siα e ; hieus k α estimmt wede. Weite gilt: Lösuge gesmt Seite 9 / R tα.

30 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite / Hieus folgt: tα R, lso gilt fü die Läge u de Lufh 9 t 8 8 t α π α α π α π α R R R R u We die mittlee vo mehee Bhe duch die Rdie ud R sowie de Astd e festgelegt ist, d egit sich fü die Bh, die im liks geildete Teil ie liegt, ei Rdius vo d, echts dfü ei Rdius vo R d, woei d de Astd de Bh-Mittelliie ist. De Astd e de Mittelpukte de Keise sowie de Schittwikel α leie gleich. Dhe sid die eide Bhläge gleich. Etspechedes gilt fü die Außeh liks / Ieh echts. Esetzt m im Tem fü u die Summe R duch e siα, d egit sich: 9 si cos 9 si t si α α π α α α π α α e e e u We m eie solche Bh i eiem typische Leichtthletik-Stdio mit m-bh eiichte wüde R,8 cm, e 8, m, d wäe α,7 ud die Lufh hätte eie Läge vo c. 7 m.

31 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: Ds T-Elemet ht dei dukle Felde ud ei helles Feld ode umgekeht. Ds Rechteck ht ei eie Schchett-Fäug gleich viele helle wie dukle Felde. Egl, wie m die Felde de füf Tetomios fät: Elf Felde he die eie ud eu Felde die dee Fe ds psst icht zusmme. zu A.: Eie Pkettieug eies -Rechtecks ist icht möglich. zu A.: We ds T-Elemet vewedet wid, muss dies wege de Schchett-Fäug uch ei zweites Ml vokomme, ud we es icht eutzt wid, sieht m schell, dss die üige vie Elemete icht gleichzeitig i ds Qudt psse. zu A.: Eie Rechteckfläche mit Felde mit midestes eiem Elemet vo jede Sote uszulege, edeutet, dss m je ei Puzzlestück des Typs I, O, L zw. S eutzt ud zwei Eemple vom Typ T, die so liege müsse, dss ds eie dukle Felde ud helles Feld esetzt ud ds dee umgekeht.. zu A.: We m die Felde im Stile eies Schchetts fät, sid Felde i de eie ud i de dee Fe gefät. Dus egit sich, dss m fü die Auslegug mit Tetomios ds T-Elemet geu zweiml vewede muss. Lösuge gesmt Seite /

32 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: Felde: We m Puzzlestücke vom Typ T eim Auslege de geildete Deiecksfigu mit 7 Felde vewedet, d müsse ode Eemple dvo eutzt wede, de vo de Felde sid ei eie Schchett-Fäug i de eie ud die estliche i de dee Fe. Puzzlestücke vom Typ L ode vom Typ O köe eim Pkettiee eie solche Figu icht vewedet wede, d sie eizele Felde tee wüde, i die kei Tetomio meh psst. Felde: Bei eie Schchettfäug wüde vo de 7 9 Felde i de eie ud die estliche i de dee Fe gefät. Wege des Uteschieds sid ode ode 7 Puzzles vom Typ T otwedig. D die Figu goß geug ist, köe uch Puzzlestücke vom Typ L ode Typ O vewedet wede. zu A.7: Mit Aushme des Elemets T, ei dem Felde i de eie Fe ud Feld i de dee Fe gefät wede, ist ei lle dee ds Vehältis zu. Lösuge gesmt Seite /

33 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.8: Alle Möglichkeite fide Sie uf de im Litetuvezeichis gegeee Wesites. zu A.9: zu A.: Alle Möglichkeite fide Sie uf de im Litetuvezeichis gegeee Wesites. zu A.: Alle Möglichkeite fide Sie uf de im Litetuvezeichis gegeee Wesites. zu A.: Hie zwei je Beispiele fü de. eies Mots: zu A.: Alle Möglichkeite fide Sie uf de im Litetuvezeichis gegeee Wesites. zu A.: Bei de Deiecksfigu mit Felde sid i de eie Fe ud i de dee Fe, ei de Deiecksfigu mit Felde sid i de eie Fe ud 9 i de dee Fe, ei de Deiecksfigu mit Felde sid 8 i de eie Fe ud 7 9 i de dee Fe, ei de Deiecksfigu mit Felde sid 8 i de eie Fe ud 7 9 i de dee Fe. Lösuge gesmt Seite /

34 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: Es git Möglichkeite de Pkettieug de Deiecksfigu mit Felde mithilfe vo zwei Petomios. Es git 7 Möglichkeite de Pkettieug de Deiecksfigu mit Felde mithilfe vo dei Petomios. Bei de este vie Fälle wede die Pkettieuge de Deiecksfigue mit Felde duch ei Puzzlestück vom Typ I egäzt. Ei füfte Typ ist echts geildet. Die letzte eide Möglichkeite k m fide, we m echtet, dss es fü die weiß gelssee Teilfigu zwei Möglichkeite de Pkettieug git. zu A.: Hie je zwei Beispiele: Lösuge gesmt Seite /

35 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.7: Bei de ächste Ailduge wede die oe gefudee Möglichkeite zu Pkettieug vo Deiecke mit zw. Felde geutzt. I de ächste Ailduge wede Teilfläche uf uteschiedliche Weise pkettiet. Fü die Teilfläche liks git es vie veschiedee Möglichkeite, fü die Teilfläche echts dei Möglichkeite. Diese lsse sich e icht uhägig voeide komiiee. Lösuge gesmt Seite /

36 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Bei de folgede Lösuge lässt sich jeweils eie symmetische Teilfläche spiegel. zu A.8: He Sie och ei Beispiel gefude? zu A.9: Lösuge gesmt Seite /

37 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: N. Heomio etstde us Petomio Lösuge gesmt Seite 7 /

38 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 8 /

39 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 9 /

40 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: N. Petomio etstde us Tetomio Lösuge gesmt Seite /

41 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite /

42 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: Aus de dei Ailduge mit Gitteliie egee sich die gzzhlige Koodite de Schittpukte sowie die Flächeihlte: oge: FE, gel: jeweils 8 FE; hellgü: jeweils FE; lugü jeweils 9 FE; dukelgü: jeweils FE. I de Figu tete mehee veschiede goße echtwiklige Deiecke uf wege de Symmetie mehfch: gele Deiecke: Hypoteuse: LE, Kthete: LE ud LE ud zwei Deiecke, die hiezu ählich sid: duch die Pukte ;, ; ud 8;: Hypoteuse: LE, Kthete: LE ud LE sowie duch die Pukte ;, ; ud ;: Hypoteuse: LE, Kthete: LE ud LE Außedem ist ds Deieck mit de Eckpukte ;, ;8 ud ; echtwiklig: Hypoteuse: LE, Kthete: 8 LE ud LE lso mit dem Seitevehältis :: ud dzu ählich ist ds Deieck de Eckpukte ;, ; ud ; Hypoteuse: LE, Kthete: LE ud 8 LE ud uch die dukelgüe Deiecke mit Hypoteuse: LE, Kthete: LE ud LE ud die lugüe Vieeck ilde zusmme mit eiem dukelgüe Deieck ei hiezu ähliches echtwikliges Deieck mit Hypoteuse: LE, Kthete: LE ud 8 LE Lösuge gesmt Seite /

43 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: Die Gitteliie stelle eie Uteteilug de Gudseite des Qudts i zw. i gleich goße Aschitte d. Dhe ietet es sich, Qudtseite de Läge LE zu wähle. Alledigs sid d och icht lle Schittpukte gzzhlig. Beispielsweise fidet m weitee Schittpukte uf Gitteliie, we m die Qudtseite i gleich goße Aschitte uteteilt. De i de A. echts mkiete ote Schittpukt ht die Koodite 8/ ;, de gü mkiete Pukt die Koodite / ;. Lösuge gesmt Seite /

44 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. 7 zu A 7.: Kotolle de Edziffe: 8 ht die gleiche Edziffe wie 8. Methode schittweise Beechug Hilfsgöße: , 9 Hiweis:, ist de Mittelwet de sechs Summde. Hilfsgöße: Hiweis: 9 ist de Mittelwet de vie Summde. Methode Beechug mithilfe eie Zehezhl ud eies symmetisch liegede Ptes Methode Awede de. iomische Fomel ud Umlege Kotolle de Edziffe: 8 ht die gleiche Edziffe wie. Methode schittweise Beechug Hilfsgöße: , Hilfsgöße: Methode Beechug mithilfe eie Zehezhl ud eies symmetisch liegede Ptes Methode Awede de. iomische Fomel ud Umlege Kotolle de Edziffe: 7 ht die gleiche Edziffe wie 9. Methode schittweise Beechug Hilfsgöße: Hilfsgöße: , Methode Beechug mithilfe eie Zehezhl ud eies symmetisch liegede Ptes Lösuge gesmt Seite /

45 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Methode Awede de. iomische Fomel ud Umlege zu A 7.: mod 9 ußedem: mod ußedem: mod Lösuge gesmt Seite /

46 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: ußedem: mod 7 ußedem: Lösuge gesmt Seite /

47 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A 7.: Lösuge gesmt Seite 7 /

48 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A 7. Lösuge gesmt Seite 8 /

49 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 9 /

50 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite /

51 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite /

52 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite /

53 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite /

54 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. 8 zu A 8.: zu A 8.: We die Deiteilug des weiße Rechtecks duch vetikle Liie efolgt, wchse die ot ud lu gefäte Beeiche kotiuielich zusmme. zu A 8.: A. liks: Ds Ausggsqudt wude duch eie Digole hliet ud eie Häfte gü gefät, d ds icht gefäte gleichscheklig-echtwiklige Deieck duch die Symmetiechse ud eie Häfte gel gefät. I de folgede Schitte wude jeweils ds icht gefäte Deieck hliet ud jeweils eies de Deiecke wechseld gel ud gü gefät. Isgesmt ist d... 8 A gü ud Agel Agü Hieus folgt, dss zwei Dittel de Qudtfläche gü gefät ist, ei Dittel gel. A. Mitte: Im este Schitt wid ds Ausggsqudt duch die eide Digole i vie gleichschekligechtwiklige Deiecke uteteilt, vo dee zwei Deiecke gü gefät wede. Die eide dee Deiecke wede jeweils duch die Symmetiechse hliet, wovo eie Hälfte gel gefät wid. usw. Hieus folgt wie ei de. Aildug, dss zwei Dittel de Qudtfläche gü gefät ist, ei Dittel gel. A. echts: Wie ei de A. i de Mitte wid zuächst ds Ausggsqudt duch die eide Digole i vie gleichscheklig-echtwiklige Deiecke uteteilt. Die Fäug efolgt e i eide Hälfte jeweils etgegegesetzt. Dhe ist die Qudtfläche jeweils zu Hälfte gü zw. gel gefät. 8 zu A 8.: Wid die Seiteläge des Deiecks mit ezeichet, d gilt fü de Flächeihlt: A h. A edeutet dhe:, lso, zu A 8.: Lösuge gesmt Seite /

55 zu A 8.: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: D ds äußee Deieck -ml so goß sei soll wie ds iee Deieck, ist die Seiteläge des iee Deiecks -ml so goß, lso ½-ml so goß wie die des äußee Deiecks. M zeichet lso die dei äußee symmetische Tpeze mit de pllele Seite de Läge ud ½ ud eiem Bsiswikel vo. Die schäge Schekel de äußee Tpeze sid hl so lg wie de Astd eies Eckpukts vom Mittelpukt des Deiecks diese ist /-ml so lg wie die Höhe im gleichseitige Deieck, d. h. ei de äußee Tpeze ist dies jeweils hl so lg wie ei de ächst-äußee Tpeze., ei de ächste Tpeze etspeched zu A 8.7: Ei gleichseitiges Deieck wid so i vie gleich goße Teilfläche zelegt, dss uße dei koguete Tpeze etstehe ud ie wiede ei gleichseitiges Deieck. D ds äußee Deieck -ml so goß sei soll wie ds iee Deieck, ist die Seiteläge des iee Deiecks -ml so goß, lso ½-ml so goß wie die des äußee Deiecks. Ist die Seiteläge des Ausggsdeiecks, d he die Tpeze im este Schitt Gudseite mit de Läge s ute ud ½ s oe sowie zwei Schekel mit de Läge s. D die Schekel mit de utee Gudseite eie Wikel vo ilde, gilt: ½ s s, lso s,. Die utee Gudseite des Tpezes ht lso die Läge,8, die oee,7, die Schekel,. zu A 8.8: Im este Bild ist ei Qudt zu sehe, ds i füf gleich goße Fläche usgeteilt ist. We die Seiteläge des Qudts LE etägt, ist de Flächeihlt des Qudts FE. Ds i de Mitte de Figu liegede Qudt ht d eie Seiteläge vo, 7. Fü die vie Rechtecke mit de Seiteläge ud c gilt: c ud c /, lso ud dmit c c c c c c Dies füht uf die qudtische Gleichug: c c. Diese ht zwei positive Lösuge, ämlich c,7 zw. c,7. Wege c gilt d etspeched:,7 zw.,7 Fü die im Qudt mit de Seiteläge, 7 eigeschlossee vie Rechtecke ud ds Qudt i de Mitte gilt d: ud fü zw. c etspeched: c,7,7, ud,7,7, Die Seiteläge de ächste Figu egee sich d jeweils duch Multipliktio mit dem Fkto,7. usw. Lösuge gesmt Seite /

56 zu A 8.9: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Die utee Gudseite des Ausggsqudts wid im Vehältis : : uteteilt. Ds like ud ds echte Rechteck wede jeweils i de Mitte hliet ud die so etstdee vie gleichgoße Rechtecke i vie Fe gefät. Ds icht gefäte mittlee Rechteck wid i de Höhe im Vehältis : : uteteilt. Ds oee ud ds utee Rechteck wede jeweils i de Mitte lägs geteilt ud die so etstdee vie gleichgoße Rechtecke i vie Fe wie ihe Nchechtecke gefät. Die eide Schitte wede fü ds üig gelieee, icht gefäte Qudt i de Mitte wiedeholt. zu A 8.: D ds äußee Qudt -ml so goß sei soll wie ds iee Qudt, ist die Seiteläge des iee Qudts -ml so goß wie die des äußee Qudts. Die Tpeze he lso Gudseite de Läge ud c.,7. Die Höhe de Tpeze muss die Bedigug h,7 h efülle, lso h,7. Hieus folgt dss die Schekel, die mit de eide Gudseite eie Wikel vo zw. ilde, eie Läge vo s h,9 he. zu A 8.: D ds äußee Qudt mit Seiteläge -ml so goß sei soll wie ds iee Qudt, ist die Seiteläge des iee Qudts -ml so goß wie die des äußee Qudts, lso c.,7. Dieses ie liegede Qudt ht Digole, die he lso eie Läge vo c.,. -ml so goß sid wie die Seite dieses Qudts; sie Eie Uteteilug des Ausggsqudts k dhe wie folgt vogeomme wede: Ds Qudt wid zuächst duch die eide Mittelliie i vie gleich goße Qudte uteteilt. Vo de Mitte de Figu us tägt m uf de Mittelliie jeweils eie hle Digoleläge, lso eie Stecke vo,. Die i de Ecke des Ausggsqudts liegede vie Füfecke he lso zwei zueide sekecht stehede Seite de Läge,, zwei dzu sekecht stehede Seite de Läge,,,8 sowie die Gudseite des iee Qudts mit eie Läge vo,7. Zustz: Beechug de Seiteläge des egelmäßige Füfecks. Möglichkeit D ds äußee Qudt -ml so goß sei soll wie ds iee Qudt, ist die Seiteläge des iee Qudts -ml so goß wie die des äußee Qudts. De Flächeihlt eies eguläe -Ecks mit Seiteläge LE. eechet sich wie folgt: A h. Wege edeutet dies: A,7 FE. t t Ds ie liegede Füfeck ht d eie Flächeihlt vo A t Dies ist uch de Flächeihlt de füf symmetische Tpeze. Diese Tpeze estehe us eiem Rechteck mit de Seiteläge oee Seite des Tpezes ud y Höhe des Tpezes ud zwei echtwiklige Deiecke mit de Kthete y ud z; die Hypoteuse des echtwiklige Deiecks ildet zusmme mit de oee Tpezseite eie Gudseite des Ausggs-Füfecks. Lösuge gesmt Seite /

57 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: De Flächeihlt eies Tpezes egit sich dhe wie folgt: A y z y z y D y si7 ud z cos7 gilt weite: A [ cos7 ] si7 [ cos7 cos7 ] si7 Mit Rechehilfe muss d die Gleichug si7 t [ cos7 cos7 ] gelöst wede. Fü egit sich:,78 ud hieus y,7 ud z,. Die Seiteläge de ächste Figu egee sich d jeweils duch Multipliktio mit dem Fkto,8. zu A 8.: Oee Ailduge: D de Rdius hliet wid, immt die jeweils üig leiede gel gefäte Fläche ei Vietel de Gesmtfläche des Achtecks ei, d. h., fü die helllu gefäte Fläche des. Schitts gilt: A A Achteck ud etspeched weite fü ds gü gefäte Achteck, ds dei Vietel de gel gefäte Restfläche eiimmt: A A Achteck A Achteck. Vo dem. Schitt ist ei Vietel vo eiem Vietel de Achteckfläche och gel gefät. Im. Schitt wid d dei Vietel dvo dukelgü gefät: A A Achteck A Achteck Ncheide wid d......, lso ch uedlich viele Schitte die gesmte Fläche gefät. Utee Ailduge: D de Rdius gedittelt wid, immt die jeweils üig leiede gel gefäte Fläche ei Dittel de Gesmtfläche des Achtecks ei, d. h., fü die helllu gefäte Fläche des. Schitts gilt: A A Achteck ud etspeched weite fü ds violett gefäte Achteck, ds zwei Dittel de gel gefäte Restfläche eiimmt: A A Achteck A 9 Achteck. Vo dem. Schitt ist ei Dittel vo eiem Dittel de Achteckfläche och gel gefät. Im. Schitt wid d zwei Dittel dvo pik gefät: A A Achteck A Achteck Ncheide wid d......, lso ch uedlich viele Schitte die gesmte Fläche gefät. 9 Lösuge gesmt Seite 7 /

58 zu A 8.: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Deiteilug des Keises De Flächeihlt eies Keisschitts eechet sich us de Diffeez des Flächeihlts des Keissektos ud des ute de Sehe liegede gleichscheklige Deiecks. Wege siα s/ ud cosα h/ gilt: α AKeissch itt π s h 8 α α π si α cos α π si α cos α 8 8 D die dei gefäte Teile des Keises jeweils de Flächeihlt / π he, ist die Gleichug α π π si α cos α 8 zu löse. Diese Gleichug ht die Lösug α 7,. Hieus folgt: s,99 ud h,. Wege de Symmetie de Figu gelte diese Mße uch fü de utee Keisschitt. Die dei Schichte he dhe die Höhe,7 ud, ud,7. Kotollechug: Die Summe etägt. Vieteilug des Keises De Keis wid duch eie Duchmesse i zwei Häfte uteteilt. Hie muss log zu oe die Gleichug α π π si α cos α 8 gelöst wede. Hie egit sich α,7 ud hieus s,8 ud h,. Die vie Schichte he dhe die Höhe,9 ud, ud, ud,9. Füfteilug des Keises Alog zu oe sid die Gleichuge α π π si α cos α 8 zw. α π π si α cos α 8 zu löse, um die Mße de oeste Schicht sowie die de eide oee Schichte zusmme zu emittel: Aus α, folgt: s,7 ud h,9. Ud us α 8,9 folgt: s,97 ud h,8. Dhe he die füf Schichte des Keises die Höhe:,8,,,,,, ud,8. Uteteilug des egelmäßige Füfecks Ei egelmäßiges -Eck mit Seiteläge setzt sich us füf symmetische Deiecke zusmme, die de Mittelpukt des -Ecks gemeism he. Die Höhe H diese Deiecke eeche sich us t H, lso eechet sich de Flächeihlt H t des egelmäßige -Ecks wie folgt:,7 t t A Eck De utee Teil des -Ecks ist ei Tpez, ds geildet wid us dei Seite des -Ecks ud eie Digole d. Diese Digole d eechet sich us de folgede Figu: d si8 si8,8 Lösuge gesmt Seite 8 /

59 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: m köte sie uch mithilfe vo d si eeche. Die Höhe des Tpezes ist: h cos8,9; dhe eechet sich de Flächeihlt des Tpezes wie folgt: A Tpez d h si8 cos8 cos8 si8,9 Ds Tpez ht ugefäh 7, % de Gesmtfläche des egelmäßige -Ecks; dhe muss eispielsweise die Hlieugsliie des -Ecks utehl de Digole liege. Hlieug des Füfecks wid späte eötigt Zeichet m eie Pllele zu Digole, d etsteht ei Tpez, desse Flächeihlt sich wie folgt eechet: A Teil y y k cos8 k si8 cos8 cos8 k k si8 Dei eeche sich die uftetede Stecke gemäß Sthlestz wie folgt: k y : h : Gesucht ist d dejeige Wet vo k det, dss die folgede Gleichug efüllt ist: cos8 k k si8 t Mithilfe eispielsweise eies Reches fidet m die Lösug: k,77 ud hiemit die Höhe des eue Tpezes y k cos8,7 Deiteilug des Füfecks Um die utee Teilugsliie zu estimme, muss m etspeched die Gleichug cos8 k k si8 t löse; ls Lösug ehält m k, ud dmit y,9 Eeso liegt och die oee Teilugsliie utehl de Digole cos8 k k si8 t Als Lösug ehält m diesml k,9 ud dmit y,89 Vieteilug des Füfecks Um die utee Teilugsliie zu estimme, muss m etspeched die Gleichug cos8 k k si8 t löse; ls Lösug ehält m k, ud dmit y,8. Die zweite Teilugsliie vo ute wude ls Hlieugsliie eechet. Die oee Teilugsliie liegt oehl zu Gudseite pllel liegede Digole. Ds gleichscheklige Deieck ht d ls Gudseite ud Schekel de Seiteläge. De Flächeihlt des Deiecks egit sich us de oe eechete Flächeihlte: A Deieck A -Eck A Tpez,7,9,7 Lösuge gesmt Seite 9 /

60 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: D die Digole die Läge d,8 ht, egit sich us dem Flächeihlt eie Deieckshöhe vo,7/,8,88. D ds oee Vietel des Füfecks eie Flächeihlt vo,7 /, ht, ist lso ei Ateil vo,/,7,9 de oehl de Digole liegede Fläche gel gefät. D ds gel gefäte Deieck ählich ist zum Deieck oehl de Digole ehält m fü die Gudliie des gel gefäte Deiecks eie Läge vo,9,8, 9 ud fü die Höhe eie Läge,9,88, 9. Uteteilug des egelmäßige Sechsecks Ei egelmäßiges Sechseck mit Seiteläge s setzt sich us sechs gleichseitige Deiecke zusmme. Um ds -Eck i dei gleich goße Steife zu uteteile, muss ei Rechteck i de Mitte gezeichet wede, desse Beite gede zweiml die Höhe de Teildeiecke des -Ecks ud desse Flächeihlt A gleich eiem Dittel des Flächeihlts des egelmäßige -Ecks ist: s t ud A s t A. Die Höhe des mittlee Rechtecks ist dhe gleich A s t s t s Um ei egelmäßiges -Eck i vie gleich goße Steife zu uteteile, muss m ei Rechteck i de Mitte zeiche, desse Beite gede zweiml die Höhe de o.. Teildeiecke des -Ecks ud desse Flächeihlt A gleich eiem Vietel des Flächeihlts des egelmäßige -Ecks ist: s ud t A s 8 t A. Die Höhe des mittlee Rechtecks ist dhe gleich A s 8 t t s 8 s Etspeched vefäht m eie gößee Azhl vo Steife: Bei Steife egit sich log: A s t t s s i ds mittlee Feld psse lso dei Steife. Lösuge gesmt Seite /

61 Kp. 9 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Die folgede Telle ethält fü lle tüliche Zhle zwische ud die Dstellug im e-system ud im lziete e-system. Fü die i de Telle gü utelegte tüliche Zhle ist kei Ausgleich uf de dee Wgschle efodelich. Die Azhl de fü ds Auswiege eötigte Gewichtsstücke k m de Splte echts etehme. Bei de etchtete Köpe-Gewichte kommt m mit Gewichtsstück us, ei mit Gewichtsstücke, ei je mit zw. mit Gewichtsstücke ud ei Köpe-Gewichte eötigt m lle Gewichte. Zhl im e-system Zhl im e-system Zhl im lciete e-system Azhl de eötigte Gewichtsstücke Lösuge gesmt Seite /

62 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite /

63 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite /

64 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: Die Bescheiug k so efolge, wie i Aschitt. llgemei usgefüht. De Wikel α hägt dei vom jeweilige. zu A.: zu A.: M ehält die Ausleguge vo wiede Typ zw. Typ zw. Typ zw. Typ. zu A.: Fü die Auslegug des egelmäßige -Ecks wede dei Rute vom sele Typ vewedet; es git keie symmetische Teilfläche uße de Fläche selst, die gedeht wede köte. Zw ht ds egelmäßige 8-Eck symmetische Teilfläche, die gedeht wede köe, jedoch ist die ch de Dehug etstehede Figu idetisch mit de Ausggsfigu. zu A.: I de folgede Ailduge ist jeweils fig hevogehoe, welche Beeiche gedeht wede: vo de Auslegug i Bild zu Bild vo de Auslegug i Bild zu Bild Lösuge gesmt Seite /

65 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: vo de Auslegug i Bild zu Bild vo de Auslegug i Bild zu Bild vo de Auslegug i Bild zu Bild vo de Auslegug i Bild zu Bild 7 vo de Auslegug i Bild 7 zu Bild 8 zu A.: Legt m vo de Mitte us die Rute mit spitzem Wikel 8 /9 zw. 8 / 8, d geligt die zetlsymmetische Auslegug eie Figu: Im este Fll hdelt es sich um ei egelmäßihges 8-Eck, im zweite Fll lledigs um ei egelmäßiges -Eck. zu A.7: Die Auslegug egit jeweils mit Rute,, 7, 8 mit de spitze Wikel /. A diese Rute legt m d jeweils zwei Rute des gleiche Typs lso isgesmt Rute ud i die Lücke zwische zwei Rute psst d och eiml jeweils eie Rute des gleiche Typs. Isgesmt wede lso Rute mit spitzem Wikel / eötigt. Lösuge gesmt Seite /

66 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Hiweise zu de Aeguge zum Nchdeke ud fü eigee Utesuchuge zu A.: Duch ds Ahäge eies Qudts ehöht sich die Azhl de Rdpukte um ud es kommt kei iee Pukt hizu. D die Azhl de Rdpukte mit ½ multipliziet wid, stimmt die Beechug des Flächeihlts. zu A.: Wede eizele Qudte m Rd egäzt ode heusgeomme, d veädet sich die Azhl de Rdpukte jeweils um ; wege des Fktos ½ fü die Azhl de Rdpukte edeutet dies, dss die Fomel uveädet zutifft. Wede k eeeideliegede Qudte k m Rd egäzt ode heusgeomme, d veädet sich de Flächeihlt um k FE. Beim Heusehme immt die Azhl de iee Pukte um k, e die Azhl de Rdpukte immt um zu: A eu i k ½ i ½ k A lt k Beim Ahäge immt die Azhl de iee Pukte um k zu, ud die Azhl de Rdpukte immt um zu: A eu i k ½ i ½ k A lt k zu A.: Im este Beispiel kommt ei Rdpukt hizu, die Azhl de Rdpukte leit uveädet. De Flächeihlt immt um ½ FE zu. Im zweite Beispiel komme zwei Rdpukte hizu, die Azhl de Rdpukte leit uveädet. De Flächeihlt immt um FE zu. Im ditte Beispiel kommt oe kei Rdpukt hizu, e ei iee Pukt; etspeched immt uch de Flächeihlt gemäß Fomel um FE zu. Die Eweiteug de Figu echts etspicht dem zweite Beispiel. zu A.: Estes Beispiel: Oe echts wid eie Ecke geschitte Rdpukt. Rechts efolge zwei schäge Schitte, duch die ei iee Pukt zum Rdpukt wid ud zwei Rdpukte etflle. I de Bilz immt die Azhl de iee Pukte um ud die Azhl de Rdpukte um, d. h. gegeüe de Ausggsfigu mit A ½ 7 FE ht die veädete Figu eie Flächeihlt vo A ½ FE. Zweites Beispiel: Duch die schäge Schitte etflle oe liks zwei Rdpukte, echts oe dei Rdpukte; echts ute etfällt ei Rdpukt, e ei iee Pukt wid zum Rdpukt. Liks ute etfällt ei Rdpukt. Bilz: Rdpukte ud ei iee Pukt weige: Aus A ½ 8 FE wid dhe A ½ 9 FE. zu A.: Lösuge gesmt Seite /

67 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Rdpukt wid zum iee Pukt, Rdpukte komme hizu. A liks ½ 8 FE; A echts ½ FE Rdpukte wede zu iee Pukte, Rdpukte komme hizu. A liks ½ FE; A echts ½ 9 FE zu A.: Vedoppelt m ei echtwikliges Deieck zu eiem Rechteck, d vedoppelt sich die Azhl de iee Pukte icht u, sode es komme k Rdpukte hizu, die zwische de Eckpukte uf de Digole liege: i Rechteck i Deieck k Fü die Azhl de Rdpukte des Rechtecks gilt: Rechteck Deieck k Fü ei Rechteck wude die Richtigkeit de Fomel. chgewiese. Es gilt lso: A Rechteck i Rechteck ½ Rechteck Hieus folgt fü ds hl so goße echtwiklige Deieck A Deieck ½ A Rechteck ½ i Rechteck ¼ Rechteck ½ i Deieck ½ k ½ Deieck ½ ½ k ½ i Deieck ½ Deieck zu A.7: Figu : 8, i, A ½ 8 FE ud, i, A ½ FE Rdpukte flle zusmme, gemeisme Rdpukt wid zum iee Pukt. 8, i i i, A ½ 8 FE. Figu :, i, A ½ FE ud, i, A ½ FE Rdpukte flle zusmme, gemeisme Rdpukte wede iee Pukte., i i i 7, A 7 ½ FE. Lösuge gesmt Seite 7 /

68 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Figu :, i, A ½ FE ud 8, i, A ½ 8 FE Rdpukte flle zusmme, gemeisme Rdpukte wede iee Pukte. 8, i i i, A ½ 8 8 FE. zu A.8: Figu : De Flächeihlt de Figu ist, FE FE, FE. Dei k de Flächeihlt de Figu ie mithilfe des Stzes vo Pick eechet wede:, i, A ½ FE. Die Figu uße ht Rdpukte ud i iee Pukte, sodss ch dem Stz vo Pick gelte wüde: A ½, FE, lledigs sid dei die Rdpukte ud de eie iee Pukt de iee Figu icht echtet, die zgl. de äußee Figu lle iee Pukte wäe. M müsste sie lso ls iee Pukte zuächst miteücksichtige. D wäe de Stz vo Pick wed. Figu : Die Flächeihlte de eide Teilfigue köe mitilfe des Stzes vo Pick eechet wede: liks: A ½ FE, echts: A ½ FE. De Flächeihlt de gesmte Figu ist 9 FE. Dies egit sich u d mithilfe des Stzes vo Pick, we m de gemeisme Pukt de eide Teilfigue doppelt zählt. Figu : Die Figu ht eie Flächeihlt vo, FE,7 FE 9 FE. Zählt m die Rdpukte ud die iee Pukte, so wüde dies ch dem Stz vo Pick eie Flächeihlt vo A ½, FE egee. De Stz vo Pick ist lso icht wed. We de Schittpukt de Rdliie ei Gittepukt wäe, köte m sich wie i Figu ehlfe. zu A.9: M ucht u die ls Beispiele gegeee Fome zu viiee Lösuge gesmt Seite 8 /

69 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: Dss die eide Wüfel icht utescheid sid, ädet ichts de Ttsche, dss es sich um zwei veschiedee Wüfel hdelt, es dhe eie Uteschied mcht, o eispielsweise ds Egeis ode ds Egeis uftitt. zu A.: mögliche Komitioe git es fü Augesumme ud fü Augesumme ; mögliche Komitioe git es fü Augesumme ud fü Augesumme 9; mögliche Komitioe git es fü Augesumme ud fü Augesumme 8; mögliche Komitioe git es fü Augesumme 7.. fie Regel: M gewit, we Augesumme,, ode 7 fällt.. fie Regel: M gewit, we Augesumme,, 8 ode 7 fällt.. fie Regel: M gewit, we Augesumme, 9, ode 7 fällt.. fie Regel: M gewit, we Augesumme, 9, 8 ode 7 fällt.. fie Regel: M gewit, we Augesumme,, ode 7 fällt.. fie Regel: M gewit, we Augesumme,, 8 ode 7 fällt. 7. fie Regel: M gewit, we Augesumme, 9, ode 7 fällt. 8. fie Regel: M gewit, we Augesumme, 9, 8 ode 7 fällt. Isgesmt git es veschiedee fie Spielegel de m k die Summe 8 wie folgt us Summde ilde: 8 Spielegel ämlich: mögliche Komitio git es fü Augesumme ud fü Augesumme ; mögliche Komitioe git es fü Augesumme ud fü Augesumme 8; mögliche Komitioe git es fü Augesumme 7. Dhe lutet die fie Spielegel: M gewit, we Augesumme,,, 8 ode 7 fällt. 8 veschiedee Spielegel 8 8 veschiedee Spielegel 8 veschiedee Spielegel 8 8 veschiedee Spielegel 8 veschiedee Spielegel 8 Spielegel 8 veschiedee Spielegel ämlich: mögliche Komitioe git es fü Augesumme ud fü Augesumme ; mögliche Komitioe git es fü Augesumme ud fü Augesumme 9; mögliche Komitioe git es fü Augesumme ud fü Augesumme 8. Dhe lute die eide fie Spielegel: M gewit, we Augesumme,,, ode 8 fällt. zw. M gewit, we Augesumme,, 9, ode 8 fällt. zw. 8 veschiedee Spielegel 8 8 veschiedee Spielegel Lösuge gesmt Seite 9 /

70 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Um fie Spielegel fü dei ode vie Mitspiele zu estimme, muss m üelege uf welche Weise die Komitioszhle zw. 9 ehlte wede köe. Hie eiige Beispiele fü fie Spielegel fü dei Pesoe: A gewit mit de Augesumme, ode Komitioe,, ode 7 Komitioe,, ode 9 Komitioe B gewit mit de Augesumme 8, 9 ode Komitioe, ode Komitioe, ode 8 Komitioe C gewit mit de Augesumme,, 7, ode Komitioe 8, 9, ode Komitioe 7,, ode Komitioe fü fie Spielegel fü vie Pesoe: A gewit mit de Augesumme B gewit mit de Augesumme C gewit mit de Augesumme D gewit mit de Augesumme ode 7 9 Komitioe ode 9 Komitioe 8 ode 9 9 Komitioe,,, ode 9 Komitioe, ode 9 Komitioe 7, ode 9 Komitioe ode 9 9 Komitioe, 8 ode 9 Komitioe zu A.: Komitiostelle fü de -fche Tetedewuf Histogmm zu Whscheilichkeitsveteilug des -fche Tetedewufs weitee Möglichkeit: Lösuge gesmt Seite 7 /

71 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 7 / Ezeugede Fuktio fü de -fche Tetedewuf: f Zelegug des Polyoms i Fktoe: f ¼ Hieus egee sich zwei Möglichkeite, die Fktoe zu komiiee: f ½ ½ ud f ½ ½ ³ Hiezu gehöe e-glücksäde mit de Augezhle, ud, zw., ud,, wie m de folgede Komitiostelle etehme k: ezeugede Fuktio fü die Augesumme: [ ] [ ] 8 7 f ltetive Beschiftug fü zwei e-glücksäde,,, ud,,, Zelegug de ezeugede Fuktio: [ ] [ ] 8 7 f 8e-Glücksd mit e-glücksd mit Beschiftug,,,,,,, ud, Zelegug de ezeugede Fuktio: [ ] [ ] f 8e-Glücksd mit e-glücksd mit Beschiftug,,,,,,, ud, Zelegug de ezeugede Fuktio: [ ] [ ] f f ¼ ³; f ¼, lso f ¼, µ f ¼, lso σ,,, zu A.: Die ezeugede Fuktio de Augesumme ist gegee duch f

72 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 7 / Aus de veschiedee Zeleguge de ezeugede Fuktioe egee sich die ltetive Zufllsgeäte, woei ei e-glücksd duch eie Müze esetzt wede k, ei 8e-Glücksd duch ei egelmäßiges Oktede ud ei e-glücksd duch ei egelmäßiges Dodekede: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Zufllsgeät Beschiftug Zufllsgeät Beschiftug Müze, Dodekede,,,,,,,,,, 7, 8 Müze, Dodekede,,,,,,,,,,, 7 Müze, Dodekede,,,,,,,,,,, e-glücksd,, Oktede,,,,,,, 7 e-glücksd,, Oktede,,,,,,, Tetede,,, Heede,,,,, 7 Tetede,,, Heede,,,,, Tetede,,, Heede,,,,, zu A.: -fches Wüfel mit eiem egelmäßige Heede: µ, ; σ / 9,7; σ, i c. zwei Dittel de Fälle im Itevll zwische ud ekt: 9, %, mit eie Whscheilichkeit vo c. 9 % im Itevll zwische ud ekt: 9, %, mit eie Whscheilichkeit vo c. 9 % im Itevll zwische ud ekt: 9,8 % mit eie Whscheilichkeit vo c. 99 % im Itevll zwische ud 9 ekt: 99, %. -fches Wüfel mit eiem egelmäßige Oktede: µ, ; σ /,; σ 7, i c. zwei Dittel de Fälle im Itevll zwische 8 ud ekt:, %, mit eie Whscheilichkeit vo c. 9 % im Itevll zwische ud 7 ekt: 9, %, mit eie Whscheilichkeit vo c. 9 % im Itevll zwische ud 9 ekt: 9, %, mit eie Whscheilichkeit vo c. 99 % im Itevll zwische ud ekt: 99, %.

73 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: Flächeihlt de Teilfigue: Flächeihlt de Gesmtfigu: 8 ½ 8 ½ 8 7 FE 7 FE 8 ½ 8 ½ 7 FE 7 FE I eide Fälle ht de weiße Steife eie Flächeihlt vo FE. De Flächeteil etägt,7 % zw., % de Gesmtfigu. zu A.: Bei de zweite Figu htte ds güe Deieck eie Steigugswikel vo t - 8/,, ds helllue vo t - /8,. Auch diese Uteschied vo, ist kum zu ekee! M sieht die gesmte Figu ls Deieck, desse Steigugswikel sich us dem Seitevehältis : egit: t - /,7. Bei de ditte Figu htte ds güe Deieck eie Steigugswikel vo t - /8,, ds helllue vo t - /,9. Diese Uteschied vo, k m vielleicht ekee! M sieht die gesmte Figu ls Deieck, desse Steigugswikel sich us dem Seitevehältis 8: egit: t - 8/,. zu A.: zu A.: Bei Rätsel ht ds helllue Deieck Kthete mit de Läge LE ud LE; ei solches Deieck titt hie i de Figu icht uf hie ht eie Kthtete die Läge LE ud die Hypoteuse die Läge LE. Ds güe Deieck ht i Rätsel Kthete mit de Läge LE ud 8 LE; hie ht die Hypoteuse die Läge 8 LE ud eie Kthtete die Läge LE. Etspechedes gilt fü die Aildug us Rätsel. Bei de hie etchtete Figue tete fst-ähliche Deiecke uf, ei dee ds Vehältis de Läge eie Kthete zu Läge de Hypoteuse echte Fiocci-Zhle sid; die zugehöige Wikel köe mithilfe de Umkehfuktio des Sius eechet wede: si,87 ; si 8 8,8 ; si 7,98 ; si 8, 8 ; Lösuge gesmt Seite 7 /

74 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.: f f f f f f f f f f t,97...,8 ; zu A.: Die eide dukelgü gefäte Deiecke he jeweils eie Flächeihlt vo ½ 7, FE. Die eide violett gefäte Deiecke he jeweils eie Flächeihlt vo ½ FE. Die eide lugü gefäte Gomoe he jeweils eie Flächeihlt vo FE. Addiet m diese Flächeihlte, so kommt m isgesmt uf eie Flächeihlt vo, 9 FE. Bechtet m u die Beite de Gudseite ud die Höhe de eide Figue, d egit sich i eide Fälle ei Flächeihlt vo ½ FE. Die violett gefäte echtwiklige Deiecke he eie spitze Wikel vo t - /,8, die dukelgü gefäte vo t - /7,. Bei geuem Hisehe eket m, dss die Schekel des gleichscheklige Beihe-Deiecks i de. Figu ch ie ud ei de. Figu ch uße gekickt sid. Wüde m ei de. Figu die Eckpukte miteide veide, d wüde uf eide Seite ei seh schmle weiße Steife sicht wede; diese ht jeweils eie Flächeihlt vo ½ FE, wie sich us de Diffeez FE 9 FE egit. Auch ei de. Figu sid 9 FE gefät, ddiet m die Flächeihlte de eide weiß gelssee Qudte hizu, so egit sich hie eie Fläche vo FE. Gegeüe dem gleichscheklige Deieck mit Gudseite LE ud Höhe LE komme hie uf eide Schekel die ei de. Figu festgestellte Steife vo jeweils ½ FE hizu. zu A.7: I eide Figue wede folgede vie Puzzlestücke vewedet: Helllues echtwikliges Deieck mit de Kthete de Läge LE ud LE, lso eiem Flächeihlt vo ½, FE. De spitze Wikel ht eie Wikelgöße vo t - /,. Rotes echtwikliges Deieck mit de Kthete de Läge 8 LE ud LE, lso eiem Flächeihlt vo ½ 8 8 FE. De spitze Wikel ht eie Wikelgöße vo t - 8/,8. Geles echtwikliges Tpez mit de Gudseite LE ud LE ud de Höhe 8 LE, lso eiem Flächeihlt vo 8 ½ 8 88 FE. De spitze Wikel ht eie Wikelgöße vo t - 8/,8, d. h., ds ote Deieck ud ds gele Tpez egäze sich zu eiem Rechteck. Gües echtwikliges Tpez mit de Gudseite LE ud LE ud de Höhe 8 LE, lso eiem Flächeihlt vo 8 ½ 8 FE. De spitze Wikel des gegeüe eiem Rechteck fehlede echtwiklige Deiecks ht eie Wikelgöße vo t - /,, d. h., ds lue Deieck ud ds güe Tpez egäze sich zu eiem Rechteck. Die este Rechteckfigu ht eie Flächeihlt vo 7 FE, die zweite vo 7 FE. De Uteschied vo FE kommt duch die icht geu zueide pssede schäge Rdliie de eide Tpeze ud Deiecke zustde. Lösuge gesmt Seite 7 /

75 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: Mße 9 LE LE: Nch Age he die Qudte die Seiteläge,, 7, 9,,, 8,, LE. Die Seiteläge lsse sich d vo ie ch uße gehed idetifiziee. Beispiele fü hoizotle Schitte duch die Figu vo liks ch echts otiet: LE gel LE gü 9 LE; LE gü LE lu 8 LE ot 9 LE. Beispiele fü vetikle Schitte duch die Figu vo oe ch ute otiet: LE gel LE gü LE; LE gü 8 LE ot LE. Mße 7 LE LE Mße LE 7 LE zu A.: c d c e d c g e f e g 7 f g Beite oe: Beite ute: f e d Höhe liks: f 8 Höhe echts: c d ; ; c 8 ; d 9 ; e ; f ; g ; 7 Fomt: LE LE zu A.: -Rechtecks us A..: 8,7,8,,9 7-Rechtecks us A..:,7,,,87, 7-Rechtecks us A..:,7,,,,9 zu A.: Lösuge gesmt Seite 7 /

76 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: h c h d c c h e g f e g g f g g Aus g h egit sich: g g g. hoizotl liegede Qudte: g g ud f e d g g g vetikl liegede Qudte: f g g g ud c d 8 Aus g 8 egit sich: g 8. D g g 8 folgt: 7, lso /7 ud weite: g /7 8 8/7, d. h. g /7; h 9/7; c /7; d /7; /7; e ; f /7; /7. Wählt m fü ds kleiste weiße Qudt die Seiteläge 7 LE, so egee sich die Seiteläge: LE, LE, c LE, d LE, e 8 LE, f LE, g LE, h 9 LE ud LE, vgl. Gfik echts. Fomt: LE LE Bescheiug mithilfe de Bouwkmp-Nottio:,9,,,78 f h g f h g h e f h h h h d e h c d h c h vetikl liegede Qudte: g h h h ud e h h h sowie c d h h h Hieus k m die Bedigug h h h gewie. hoizotl liegede Qudte: c h h h h ud g f e d h h h h h Hieus folgt: h h h. Aus h egit sich:, lso /, ud weite:, /, c /, d 8/, e /, f /, g /. Wählt m fü ds kleiste weiße Qudt die Seiteläge LE, so egee sich die Seiteläge: LE, LE, c LE, d 8 LE, e LE, f LE, g LE, h LE ud LE, vgl. Gfik echts. Fomt: LE 79 LE Bescheiug mithilfe de Bouwkmp-Nottio:,,,8,, Lösuge gesmt Seite 7 /

77 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: h g h f g d f g e f d 8 c d g h 8 c h vetikl liegede Qutle: e ud c hoizotl liegede Qudte: ud e d c Hieus folgt: 8 9 / ud weite: h 7/, g /, f /, d /, e /, c /, /, 7/. Wählt m fü ds kleiste weiße Qudt die Seiteläge LE, so egee sich die Seiteläge: 7 LE, LE, c LE, d LE, e LE, f LE, g LE, h 7 LE ud LE, vgl. Gfik echts. Fomt: LE 98 LE Bescheiug mithilfe de Bouwkmp-Nottio: 7,,7,,, g e g f g e f g d f c h d h c h h h h h h, lso: h / / lso: c / / 7/ / ud / / / / vetikl liegede Qudte: f 7 ud c / / 7/ / 7 hoizotl liegede Qudte: / / / / ud f e d c 7/ / 9/ / Hieus folgt: / / 9/ / / / / ud weite: /, /, c 9/, d /, e 9/, f /, g /, h / Wählt m fü ds kleiste weiße Qudt die Seiteläge LE, so egee sich die Seiteläge: LE, LE, c 9 LE, d LE, e 9 LE, f LE, g LE, h LE ud LE, vgl. Gfik echts. Fomt: LE 9 LE Bescheiug mithilfe de Bouwkmp-Nottio:,,9,,,9 Lösuge gesmt Seite 77 /

78 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.:,7,,,,7,,78,9,,,7,87,9,,8,,9,9,9,8,. zu A.: Dem kleie ote Qudt im like utee Vietel de Figu wid die Seiteläge LE zugeodet. m l m k l p k p p o p q o p 8 m o I de echte utee Ecke de Figu egee sich folgede Zusmmehäge: e u f e u g f u c u e u h g v u v s h v u v t u v g v u t v s t v, lso u v v v, d. h. v u Lösuge gesmt Seite 78 /

79 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: d t v u v v u c d u v u u v Im Zusmmehg mit de zuest etchtete Qudte egit sich: h s q p k, lso u v u v 8 u v hoizotl liegede Qudte: u v m o d c v u u v u l k h g f u v u u u 8 v Hieus egit sich die Gleichug: v u u 8 v u v 8 vetikl liegede Qudte: m l d t g u v v u v u u 8 v c e f u v u u u u v Hieus egee sich zwei Gleichuge: u 8 v - u v 8 u 8 v u v -u v 8 Ds liee Gleichugssystem ht die Lösug, u, v ud,. Hieus folgt:,, c,, d,, e 7,, f 9, g,, h 8,, k, l, m, o 7, p, q,,, s,, t 8. Wählt m fü ds kleiee ote Qudt die Seiteläge LE, d egee sich folgede gzzhlige Seiteläge: LE, LE, c 7 LE, d LE, e LE, f 8 LE, g LE, h 7 LE, k 8 LE, l LE, m LE, LE, o LE, p 8 LE, q LE, 7 LE, s LE, t LE, u LE, v LE ud LE. zu A.7: Lösuge gesmt Seite 79 /

80 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: zu A.8: Gesmtläge: 8 LE Gesmtläge: LE Gesmtläge: 9 LE Gesmtläge: 9 LE Lösuge gesmt Seite 8 /

81 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 8 / Kp. zu A.:. Polem : / /9 /8 /7 / / / / / / / 9/9 8/7 7/7 / / / / /79 /7 /9 / Polem : / /9 /8 /7 / / / / /7 / / / / / 8/ 8/8 /8 /9 /9 / / / /9 /8 8/ /9 zu A.: M echte, dss i Fomel. die Vile fü die Kümmug des zu estimmede Keises vewedet wid, ei de Lösug de eide Poleme steht die Vile fü de Rdius des Keises. Dhe wid hie die Vile z fü die Kümmug des zu estimmede Keises vewedet. Polem Gegee ist ei Keis mit Rdius ud ei Keis mit Rdius sowie de äußee Keis mit Rdius. D gilt fü die eide zu egäzede Keise mit Kümmug z gemäß Fomel.: z Neeechug:, lso ³ ³ d. h. uf de echte Seite de qudtische Gleichug steht ull. Die qudtische Gleichug ht lso u die Lösug z. De Rdius de zu egäzede Keise ist d gleich dem Kehwet dieses Buchtems, vgl. Lösug vo Polem. Polem Gegee ist ei Keis mit Rdius ud zwei Keise mit Rdius. De äußee Keis wid zuächst icht echtet. D gilt fü die eide zu egäzede Keise mit Kümmug z gemäß Fomel.: z

82 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 8 / Neeechug: Die eide Lösuge de qudtische Gleichug sid z ud z, woei fü die egtive Lösug z gilt: z -, de de äußee Keis ht de Rdius. Es gilt lso, d. h.. Qudiee de eide Seite de Gleichug egit: 8, vgl. Lösug vo Polem. zu A.: Desctes-Tipel ; 8 ; 8 Wählt m / LE fü de äußee Rdius, d ist / 7 LE lu; /8 LE gü, gel, d ist / 8 LE ot. weitee Rdie: / /7 LE pik, 7 / LE helllu Desctes-Tipel ; ;, vgl. Aschitt.

83 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Wählt m / LE gü, / LE gel ud / LE lu, d ist / LE ot ud / uße. weitee Rdius hie icht eigezeichet: / LE eüht de gele zw. güe ud de lue Keis sowie die Gede Desctes-Tipel ; ; 9, vgl. Aschitt. Wählt m / LE gü, / LE gel ud /9 8 lu, d ist /8 9 ot ud / uße. weitee Rdius hie icht eigezeichet: / LE eüht de güe ud de lue Keis sowie die Gede Desctes-Tipel ; ; Wählt m 8/ 8 LE fü de äußee Rdius, d ist 8/ 9 LE gü; 8/ LE gel ud 8/ LE lu, d ist 8/ LE ot. weitee Rdie: 8/ 9 LE lugu, 7 tükis, 8 pik. Die Gfik stimmt mit de des Desctes-Tipels ; ; üeei. Desctes-Tipel ; 7 ; Wählt m / LE fü de äußee Rdius, d ist / 7 LE gü; /7 LE gel ud / LE lu, d ist / LE ot. weitee Rdie: / LE lugu, 7 / LE helllu, 8 /7 7/9 LE pik. Die Gfik stimmt mit de des Desctes-Tipels ; ; 7 üeei. Lösuge gesmt Seite 8 /

84 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Desctes-Tipel 8 ; 9 ; 9 Wählt m / LE fü de äußee Rdius, d ist /8 LE gü; /9 LE lu, gel, d ist / 9 LE ot. weitee Rdie: k /7 LE lugu/helllu, k 7 / / LE pik zu A.: Die Aodug de Keise ist pukt- ud chsesymmetisch gü, gel, lu Löse de Desctes-Gleichug liefet ±, lso,7 ot ud, 7 uße, 7 gü, gel, 8 lu Löse de Desctes-Gleichug liefet ± 8 8, lso,8 helllu. 8 ± 9 ± 8 Hieus egit sich, 889 ot ud, uße. 9 gesucht: zwei Keise, welche die folgede dei Keise eühe gü, lu 8, uße / gü, gel, uße / eeits ekte Keis gel lu 8 k k k Rdius des eu estimmte Keises, 8 helllu, 9 8 pik gü, gel, lu lso,7 ud, ±, 7 9 Lösuge gesmt Seite 8 /

85 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: gesucht: zwei Keise, welche die folgede dei Keise eühe eeits ekte Keis k k k Rdius des eu estimmte Keises gü, lu, uße, lu, gel, uße, gü, gel, uße, gel,,,7 helllu gü, 7,,8 pik lu,,97 lugu zu A.: Aus de Kümmuge de sich eühede Keise k, k ud k egit sich gemäß Fomel.: ± ± 9 ± äußee Keises ud k 8. Hieus egee sich mithilfe vo Fomel. die Kümmuge de echte Keise: eüht die Keise mit de Kümmuge k, k ud k, eüht die Keise mit de Kümmuge k, k ud k usw., lso k - Kümmug des Aus de Kümmuge de sich eühede Keise k 8, k 8 ud k egit sich gemäß Fomel.: 8 8 ± ± ±, lso k - Kümmug des äußee Keises ud k. Hieus egee sich mithilfe vo Fomel. die Kümmuge de echte Keise: 8 8 eüht die Keise mit de Kümmuge k, k ud k, 8 8 eüht die Keise mit de Kümmuge k, k ud k usw. Aus de Kümmuge de sich eühede Keise k, k ud k egit sich gemäß Fomel.: ± 9 ± 9 ± äußee Keises ud k., lso k - Kümmug des Hieus egee sich mithilfe vo Fomel. die Kümmuge de echte Keise: eüht die Keise mit de Kümmuge k, k ud k, eüht die Keise mit de Kümmuge k, k ud k usw. zu A.: I Beispiel ist ud. Fü die Kümmug de eide echte Keise K egit sich: 7, Lösuge gesmt Seite 8 /

86 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: weite: ud sowie Allgemei: 7 ud somit die Folge de Keiskümmuge, 7,,,,,, 9 zu A.7: z. B. Kette,,,, Hie ist / äußee Keis ud ¼ 9 9 ; ; 8 Allgemei: ; zu A.8: Gemäß Fomel. egit sich fü die Kümmug k eies Keises, de die Keise mit de Kümmuge k, k k, k k eüht: k k k k k k k, lso k k k mit, k IN Fü ud k egit sich eispielsweise: k, vgl. A..7. Fü ud k egit sich eispielsweise: k 8, vgl. A..7. zu A.9: Aus de Beziehug k k k k k k k k k egit sich k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ± k k k k k k k, lso Im Beispiel mit k k egee sich die eide Lösuge k zw. k. Im Beispiel mit k gel ud k gü egee sich die eide Lösuge k zw. k 9, d. h., uße dem Keis mit Rdius /9 helllu git es eie weitee Keis mit Rdius. usw. Lösuge gesmt Seite 8 /

87 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. zu A.: c c α β γ α β γ α α β Koeffizietevegleich mit u v egit α ½ u ud hieus v ½ u β β v ½ u zu A.: Summe de este viete Poteze Astz mit eie gztiole Fuktio. Gdes: s c ³ d e f De Telle etimmt m: s ; s ; s 7; s 98; s ; s 979. Wege s folgt umittel: f. Gelöst wede muss lso ei liees Gleichugssystem mit Gleichuge ud Vile c d e 8c d e 7 8 7c 9d e 98 c d e c d e 979 Dieses ht die Lösug Es gilt lso:... ; ; ; ;. ³ Summe de este füfte Poteze Astz mit eie gztiole Fuktio. Gdes: s c d e f g s ; s ; s ; s 7; s ; s ; s. Wege s folgt umittel: g.. Gelöst wede muss lso ei liees Gleichugssystem mit Gleichuge ud Vile c d e f c 8d e f 79 8c 7d 9e f 7 9 c d e f c d e f 777 9c d e f Dieses ht die Lösug Es gilt lso: ; ; ; ; ;..... Lösuge gesmt Seite 87 /

88 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 88 / zu A.: Summe de este Kuikzhle [ ³ c d e ] ³ ³ c d e ³ c d e ³ ³ ³ c d e ³ c c d c d e c d e ³ c c d ud hieus schittweise,, c, d ud e wege s. Summe de este viete Poteze [ c ³ d e f ] c ³ d e f c ³ d e f ³ ³ ³ c ³ d e f ³ c c d c d e c d e f c d e f ³ c c d c d e ud hieus schittweise,, c, d, e ud f wege s. zu A.: d c d c ³ ³ lso c Hieus egee sich d die Gleichuge: ud ud c

89 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 89 / zu A.: [ ] [ ]... ³... ³ ³ ³... ³ ³ ³ ³ ³ ³... [ ]... ³... ³ ³... [ ] ³... ³ ³ ud weite ³ ³... ³ ³ ³... ³... zu A.:. Im este Fll k m die Gleichug wie folgt umfome: ; Dies ist möglich, weil uf de echte Seite de Gleichug ei Podukt steht. Eie solche Umfomug ist ei de Heleitug de Summe de Kuikzhle icht möglich, weil uf de echte Seite de Gleichug zwei Summeteme stehe ud keie eifche Quotieteildug möglich ist.

90 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 9 / zu A.7: zu A.8:... zu A.9: Summe de este Kuikzhle Wege ³ egit sich us de zweite Gleichug: ³... ³ ³ ³, lso ³... ³ ³ ³ Summe de este viete Poteze Wege ³ egit sich us de Gleichug...

91 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: lso... ³ ³ ³... ³ ³ ³ ³... ³ [ 9] [ ³ 9] [ ³ 9 ] zu A.: Summe de este Kuikzhle Wege k k k³ k k egit sich us de log gelegte Telle ³ ³ ³ ³ lso ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ lso ³ ³ ³ ³ ¼ Summe de este viete Poteze Wege k k k k³ k k egit sich us de log gelegte Telle... ³ ³ ³ lso... ³ ³ ³ ³, ³, / ³ /,, / / ³ / lso... Lösuge gesmt Seite 9 /

92 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 9 / zu A.: [ ]... B B B B B B B B B B S woei B, B ½, B /, B ud B /. [ ]... B B B B B B B B B B B B S woei B, B ½, B /, B, B /, B zu A.: Summe de este Qudtzhle Astz: De Gph de gztiole Fuktio. Gdes soll duch die Pukte P, P, P ud P velufe. y y y y L ³ ³ ³ ³ Summe de este Kuikzhle Astz: De Gph de gztiole Fuktio. Gdes soll duch die Pukte P, P, P 9 P ud P velufe. ³ ³ 8 ³ 7 9 ³ 8 9 ³ 9 9 L

93 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Kp. 7 zu A 7.: Aildug ud : Awedug des Stzes vo Pythgos uf ds echtwiklige Teildeieck, desse Hypoteuse die Kthete des goße Deiecks ist ud desse Kthete im goße Deieck Höhe uf de Hypoteuse sowie zugehöige Hypoteuseschitt sid: h p ud h q Aildug ud : D ch dem Kthetestz ds Qudt üe de Kthete flächegleich ist zum Rechteck us zugehöigem Hypoteuseschitt ud Hypoteuse c p ud c q, folgt, dss ds Qudt üe de Höhe jeweils flächegleich ist zu de eide violett gefäte Rest-Rechtecke: h p c p ud h q c q d c p q ist dies ichts dees ls die Aussge des Höhestzes. Aildug : Die Gesmtfläche de eide Kthetequdte lässt sich lso dstelle ls Summe de Fläche de eide Qudte üe de Hypoteuseschitte ud zwei zueide koguete Restechtecke, die flächegleich zum Qudt üe de Höhe sid: p q h Dies lässt sich tülich uch duch lgeische Umfomug heleite: c p q p pq q p h q zu A 7.: Die Pukte ud Seite de zu utesuchede Figu wede wie echts les ezeichet. Die Figu ist festgelegt duch ds echtwiklige Deieck ABC, d. h., duch de echte Wikel ei C ud die Seiteläge ud. Hieus lsse sich eeche: c α t - / ud β 9 α Es gilt: siα ud cosα c c Ds Deieck ABC ht de Flächeihlt A ½ Deieck CGH: Ds Deieck ist koguet zum Deieck ABC. Deieck AID: Vom Deieck sid die Seite ud c gegee sowie de Wikel δ DAI 9 9 α 8 α. Hieus egit sich wege si8 α siα ud c siα de Flächeihlt A ½ c siδ ½ c siα ½ A Deieck BEF: Vom Deieck sid die Seite ud c gegee sowie de Wikel ε FBE 9 9 β 8 β 8 9 α 9 α. Hieus egit sich wege si9 α cosα ud c cosα de Flächeihlt A ½ c siε ½ c cosα ½ A Die Läge de Seite k mithilfe des Kosiusstzes estimmt wede: c c cosδ c c cosα, lso wege cos8 α cosα ud c cosα Die Läge de Seite y k mithilfe des Kosiusstzes estimmt wede: Lösuge gesmt Seite 9 /

94 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: y c c cosε c c cos9 α c c siα, lso y wege cos9 α siα ud c siα Wege z c ud c egit sich: y z c Dies ist geu die Aussge, die i ewiese wude. Gegeüe ädet sich die Beechug de Flächeihlte de Deiecke ABC ud CGH. Fü ds Deieck ABC gilt llgemei: A ½ siγ ½ c siα ½ c siβ Im Deieck CGH gilt fü de Wikel m Pukt C: ϕ GCH 9 9 γ 8 γ. Fü de Flächeihlt egit sich d: A ½ siϕ ½ siγ A Im Deieck AID gilt: A ½ c siδ ½ c siα A Im Deieck BEF gilt: A ½ c siε ½ c cosα A Gegeüe ädet sich i de Beechug vo, y ud z: c c cosδ c c cos8 α c c cosα y c c cosε c c cos8 β c c cosβ z cosϕ cos8 γ cosγ D gilt wege c c cosα, lso c cosα c, ud log c cosβ c, cosγ c: y z c c c c c zu A 7.: Wie i de Lösug vo A 7. usgefüht, gilt fü ds utee gele Deieck: A u ½ siγ ud ds oee gele Deieck mit Wikel ϕ 9 9 γ 8 γ: A o ½ siϕ ½ siγ A u Mit de Bezeichuge vo A 7. gilt weite: c z c cosγ c c Tipp: Betchtet m sttt de güe Qudte jeweils hl so goße gleichscheklig-echtwiklige Deiecke ud sttt de helllue Qudte jeweils ei Vietel dvo, lso eeflls gleichscheklig-echtwiklige Deiecke, d egit sich i de folgede Figu vo Hs Wlse vgl. ot gel Lösuge gesmt Seite 9 /

95 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Die Figue us i A. 7. zw. i A. 7.c k m uf veschiedee Weise egäze, eispielsweise so: Oe wude gezeigt: c z Etspeched gilt i de Figu liks uch: c ud y c Dhe gilt: y c c c Oe wude gezeigt: y z c Hie gilt u u c ud w z ud v c y, lso u v w c c z y, d. h. u v w c z y y z c 7 c Bechte Sie hiezu uch die folgede Dstelluge: zu A 7.: Lösuge gesmt Seite 9 /

96 zu A 7.: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: M zeichet ds kleiee Kthetequdt mit dem Flächeihlt ute liks i ds gößee Kthetequdt mit dem Flächeihlt ei. Die Restfläche mit Flächeihlt wid ufgeteilt i ds helllu gefäte Eckequdt mit Flächeihlt ud die eide zueide koguete Rechtecke mit dem jeweilige Flächeihlt. Duch die utee ote Liie wede Teilfläche getet: ei gü gefätes Tpez de Beite ud de eide zueide pllele Seite mit de Läge ud / ei kleies gü gefätes Deieck mit de Kthete de Läge ud / ei gel gefäte Deieck mit de Kthete ud / ei gel gefätes Tpez mit pllele Seite de Läge ud / ud de Höhe Diese vie gefäte Puzzlestücke sowie ds helllu gefäte Eckequdt wede i ds Hypoteusequdt gelegt. Zum Auslege vewedet wude lso ishe ds kleiee gel gefäte Kthetequdt sowie de echte gü ud helllu gefäte Rechteck-Steife des gößee Kthetequdts. De like Teil des Kthetequdts i de ditte Aildug weiß ud gel gefät wid duch die oee ote Liie i zwei zueide koguete echtwiklige Deiecke zelegt, die ugefät de Rest des Hypoteusequdts usfülle. zu A 7.: Die Flächeihlte de Deiecke eeche sich ch de Fomel A Mit dem. Deieck egit sich och keie Vollkeis, eim 7. ist de Gesmtwikel vo üeschitte. Diese Wikel egee sich fü,,... us de Beziehug t α Fläche Fläche Wikel kumuliet Wikel kumuliet,,,,,77,7, 8,,8,7,,,,7,,89,8,9,9,9,,,8 8, 7,,79,7,87 8, 8, 9,7,8 9, 9, 8,,7,8, 7,8 9,9,8,89,779 7,7,7,, 9,7,8,7, 7,7,87 8,98,9,7,9,,78 7,,,,, 7,,9,,78 8,,7, 78, De Gesmt-Flächeihlt de Pythgos-Spile k fü < 8 k äheugsweise duch die Potezfuktio f mit f,,8 modelliet wede vgl. EXCEL-Bltt mit Bestimmzheitsmß 99,9 %. Lösuge gesmt Seite 9 /

97 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 97 / y,,8 R, zu A 7.7:. Möglichkeit: Betchtet m ds echtwiklige Ausggsdeieck liks mit de Seite,, c, d gilt ch dem Stz des Pythgos c. Bezeichet m die ch echts kleie wedede echtwiklige Deiecke im gleiche Weise, lso mit,, c,,, c usw., d esteht zwische diese Seite de folgede Zusmmehg:. Hiemit folgt d: : :, lso: ud log: c c lso: ; ; ; 8 usw., d. h. usgehed vo Sttwet ehält m die folgede Gliede de Folge duch Multipliktio mit dem kostte Fkto q. Dies egit sich uch duch Ählichkeitsetchtuge. Weite gilt: c c ; c c c c ; c c c c c usw., d. h. usgehed vo Sttwet c ehält m die folgede Gliede de Folge duch Multipliktio mit dem kostte Fkto q. Schließlich gilt uch fü die dee Kthete: ; ; usw., d. h. uch die Seiteläge ilde eie Folge, dee weitee Gliede duch Multipliktio mit dem kostte Fkto q etstehe. Fü die Flächeihlte de Deiecke gilt d:

98 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Lösuge gesmt Seite 98 / [ ] [ ] q q q q q q q q A D Fü die Flächeihlte de ie liegede Qudte gilt: q q q q q q q A Qi Fü die Flächeihlte de uße liegede Qudte gilt: c c q c c q c q c q c q c c c c c c A Q Somit egit sich fü die Gesmtfläche: [ ] [ ] A A A A Qi Q D. Möglichkeit M vewedet de Zusmmehg us A 7.. Hie wude gezeigt, dss je zwei violett gefäte Qudte doppelt so goß sid wie je zwei helllu gefäte Qudte.

99 zu A 7.8: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Die gesmte Figu ist festgelegt duch die Läge de Kthete de Ausggsfigu, lso duch ud : Im este Schitt esteht die Gesmtfigu us dem Hypoteusequdt mit Flächeihlt c, dem echtwiklige Deieck mit Flächeihlt ½ ud de eide Kthetequdte, lso A ½ Im ächste Schitt wede liks ud echts jeweils ei echtwikliges Deieck sowie zwei eue Kthetequdte gefügt, dee Fläche ch dem Stz vo Pythgos jeweils geuso goß sid wie die Hypoteusequdte. Aus de folgede Gfik wid deutlich, dss die vie helllu gefäte Qudte des. Schitts geuso goß sid wie die eide gü gefäte Qudte des. Schitts, die wiedeum zusmme so goß sid wie ds Hypoteusequdts des. Schitts. D lso im. Schitt die Qudte eeits eie Flächeihlt vo he ud mit jedem weitee Schitt eie Fläche vo hizukommt, etägt die Gesmtfläche de Qudte ch Schitte. Lässt m i eiem Pythgosum lle Qudte weg, d etsteht ei Bum us echtwiklige Deiecke. Dei sid die eide Deiecke des. Schitts zusmme geuso goß wie ds Deieck des. Schitts, vgl. die A. echts ud die Ausfühuge im Aschitt 7.7, sodss die Gesmtfläche de Deiecke ch Schitte ½ etägt. Die Gesmtfläche de Figu wächst lso mit üe lle Geze hius we m icht echtet, dss sich die Äste eeits ch weige Schitte üescheide. Lösuge gesmt Seite 99 /

100 Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Fü, lso α, eühe sich Qudte eim. Schitt de Figu. Fü α 9,, lso,8, eühe sich Qudte eim. Schitt de Figu i de Ecke zweie Qudte. Fü kleiee Wikel α git es och keie Üescheiduge eim. Schitt. Fü α 7,7, lso,, eühe sich eim. Schitt zwei Äste; ei gößee Wikel tete Üescheiduge uf. Fü α,8, lso,, eühe sich eim. Schitt zwei Äste; ei gößee Wikel tete Üescheiduge uf. Es git lso och viel zu utesuche! Owohl die Gesmtfläche de Deiecke ud Qudte üe lle Geze hiuswächst, ist die ttsächlich elegte Fläche egezt, vgl. de deutsche Wikipedi-Beitg zu A 7.9: De Flächeihlt eies gleichseitige Deiecks mit Gudseite s eechet sich ch de Fomel A s, de fü ds Deieck gilt A ½ s h ud die Höhe h eechet sich ch dem Stz des Pythgos us de Beziehug h ½ s s, lso h ¾ s. Dies egit sich uch us de folgede llgemeie Betchtug: De Flächeihlt A eies egelmäßige -Ecks eechet sich ls ds -Fche des Flächeihlts de gleichscheklige Deiecke mit Gudseite s ud Schekel, woei gilt vgl. Kp. : h s 8 t, lso 8 s A s h 8 t Fü ist t, lso A. 8 Fü ist t, lso A s s s s s s. s s. Lösuge gesmt Seite /

101 Fü ist Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: t 8 Fü 8 ist t, lso s s, lso A. s s A8 8 s. Fü die Hlkeise gilt: π A ½ ½ s π 8 s. zu A 7.: Bei de Aildug liks hdelt es sich um de Spezilfll eies gleichscheklig-echtwiklige Deiecks, ds vedoppelt wude. Die vie Mödche üe de Seite eies Qudts sid flächegleich zum Qudt. Bei de Aildug echts wid die Vellgemeieug des Stzes vo Pythgos fü zueide ähliche Figue üe de Seite gewdt. Hie hdelt es sich um Mödche üe de Hypoteuse vo gleichscheklig-echtwiklige Deiecke. M k es uch so fomuliee: Die eide gel gefäte Mödche sid jeweils flächegleich zu hle Deieck. Ds gze Deieck ist flächegleich zum gü gefäte Mödche. zu A 7.: Ds egelmäßige Sechseck esteht us sechs gleichseitige Deiecke, dee Seite gleich dem Rdius des Umkeises des egelmäßige Sechsecks sid. Die Hlkeise üe de Seite des Sechsecks ehme eie Fläche vo A A HK π π ei, ds Sechseck eie Fläche vo, zusmme egit ds eie Fläche vo A ges π Suthiet m hievo die Fläche des Keises mit Rdius, d egit sich fü die gü gefäte Mödche: A M π π π π π Ds stimmt üeei mit dem Flächeihlt de gel gefäte Fläche: A π π Lösuge gesmt Seite /

102 zu A 7.: Heiz Klus Stick: Mthemtik ist schö, Spige-Velg, ISBN: Betchtet wid ei gleichscheklig-echtwikliges Deieck. Bei diesem ist die Höhe geuso goß wie die hle Hypoteuse ud folglich sid die helllu gefäte Flächestücke jeweils geuso goß wie die gel gefäte. Im Uteschied zu dem Hippoktes-Mödche sid die Kthete-Hlkeise ch oe geklppt. Die lue Flächestücke gehöe d sowohl zu Fläche des Hypoteuse-Hlkeises ls uch zu de hochgeklppte Kthete-Hlkeise ud köte dhe zuächst eiml weggelsse wede. D e die eide gele Flächestücke zu eide Kthete-Hlkeise gehöe, ucht m Ausgleichsfläche ud ds sid geu die lue Fläche, die j geuso goß sid wie die gele. Somit egit sich: ote Fläche helllue gele güe Fläche Sttt de Hlkeise k m uch hle egelmäßige 8-Ecke etchte, uf die sich die Üeleguge etspeched üetge lsse. Ud d die Azhl de Mödche üe de Kthete de hle gleichscheklig-echtwiklige Deiecke gedzhlig ist, egit sich fü ds zugudeliegede egelmäßige Vieleck, dss die Azhl de Ecke duch teil sei muss. zu A 7.: Aildug liks: Nicht eigezeichet ist die Höhe zu Hypoteuse ud die eide Hlkeise. Fü die Fläche diese eide icht gezeichete Hlkeise gilt: liks: A h helllu violett lso: helllu olivgü gü violett. echts: A h gü olivgü Aildug echts: Die eide oge gefäte Hlkeise üe dem Hypoteuseschitt p ud de ch ute getgee Höhe h sid zusmme geuso goß wie de gel gefäte Hlkeis, lso gel oge. D de gesmte Hlkeis ute de Hypoteuse lso olivgü oge so goß ist wie die eide Hlkeise üe de Kthete gel gü, folgt: gü olivgü. zu A 7.: Die Fläche des helllue Hlkeis üe de Hypoteuse ist geuso goß wie die de eide dukellue Hlkeise üe de Kthete. Diese lue Hlkeise wiedeum sid geuso goß wie die güe ud ote Hlkeise im duch die Höhe uteteilte echtwiklige Deieck, d. h. gü ot helllu, lso helllu gü gel. Scheidet m die güe Hlkeise us dem helllue Hlkeis heus, d ht m ds gel gefäte Schustemesse, lso gel ot. Lösuge gesmt Seite /