Vorkurs - WS 2016/17 Torsten Schreiber
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- Guido Fuhrmann
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1 Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 7
2 Wiedeholug Diese Fge sollte Sie ohe Skipt etwote köe: Ws vesteht m ute eiem liee Gleichugssstem? Wie fuktioiet ds Eisetzugsvefhe? Wouf ist eim Gleichsetzugsvefhe zu chte? Wie k m ei LGS mit zwei Gleichuge zeicheisch löse? Wie zeiche Sie eie Gede i ei Kooditesstem? Ws vesteht m ute dem Additiosvefhe? Ws sucht m ei Gleichuge mit Uekte? Ws edeutet die Pivot-Zeile eies LGS?
3 Vokus - WS 6/7 7 Toste Scheie II. Sie die folgede Gleichugsssteme. Wede Sie isgesmt veschiedee Vefhe c d e f 6 7 I. Löse Sie ds folgede liee Gleichugssstem gfisch. 9
4 Eistiet ei eideutig löses LGS estehed us Gleichuge mit m Uekte so k Die Lösugsmege mittels dem Guß-Algoithmus estimmt wede. Ziel des Vefhes ist ei duch elemete Umfomuge ei gestffeltes Gleichugssstem Stufestuktu zu ehlte i de die Lösugsmege eifch estimmt wede k. Methodik Hiechug:. Bestimmug de vollesetzte Pivotzeileu eiml vewed.. Duch elemete Umfomuge de Pivotzeileud Additio uf lle üige m- Zeile muss eie Vile Splte komplett eutlisiet wede.. Es leie demzufolge u och m- Gleichuge mit - Uekte üig mit dee m wiede eim este Schitt egit. Methodik Rückechug :. Sofe ötig wede die fei wähle Vile voelegt.. Beechug de. Uekte i de küzeste Stufe.. Eisetze de. Uekte i die ächst höhee Stufe ud Bestimmug de. Uekte. Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 7
5 Eigeschfte des Guß Algoithmus: Eie Pivotzeileist eie Gleichug die u eimlig eutzt wede df um eie Vile zu elimiiee. Aschließed df sie icht me gefsst wede. Es düfe eizele Gleichuge mit eie Zhl multipliziet wede. Nch dem. Schitt de Hiechug sollte ds etstehede liee Gleichugssstem veeifcht Sotieug zw. Ausklmme wede. Es düfe ohe weitees pllele Zeile miteide vetuscht wede. Beim Tusch vo Splte ist duf zu chte dss die Koodite des Lösugssstems u eie dee Positio stehe duch Mkieug ketlich mche. Ds Guß-Vefhe sollte gewdt wede sofe etwede kei qudtisches Sstem vohde ist ode midestes eie -Stuktu vohde ist. Sid m Ede des Guß-Alogithmusmeh Uekte ls Gleichuge vohde so wede die Diffeez us Uekte-Gleichug ls Pmete voelegt. Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 7
6
7 Vokus - WS 6/7 76 Toste Scheie 8 7 z z z I. Löse Sie ds folgede liee Gleichugssstem mittels Guß. c
8 Löse Sie ds folgede Gleichugssstem i dem Sie isgesmt lle Vefhe wede. 8 6 c 6 Bestimme Sie die Lösug des folgede Gleichugssstems. z z z 6 6 Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 77
9 Als Gudlge fü Gede-ud Eeeeechugim -dimesiole Rum diet de Euklidische Vektoum. RRR R Die Vektoe köe icht u sekecht sode uch i de wgeechte de T sogete tspoiete Fom ; ; z dgestellt wede. Y-Achse j k i p ; ; z X-Achse T i ;; T j ;; k ;; T T Kooditeeiheitsvektoe Z-Achse Betg: Wikel: p z cos i p ;cos j p ;cos k p z Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 78
10 Fü die Vektoechug im Beeich vo Gede Eee ud Köpe ist es wichtig die eide mögliche Ate vo Vektoe zu utescheide. Otsvekto: Stellt die diekte Veidug vom Uspug zu eiem elieige Pukt im Rum d. A Richtugsvekto: Wede zwei elieige Pukte im Rum veude so ehält m de Richtugsvekto de sich stets us AB de Diffeez zwische Edpukt ud Afgspukt eechet. Beispiel: Otsvekto: Richtugsvekto: ; Y-Achse X-Achse Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 79
11 i i i Bei de Multipliktio vo zwei Vektoe utzt m die Methodik des iee Podukts. R R R Es wede demzufolge die eizele Kompoete uteeide multipliziet ud die Egeisse schließed ddiet. Als Egeis ekommt m somit keie Vekto sode eie eelle Zhl. Eigeschfte: icht iä kommuttiv ssozitiv distiutiv positiv defiiet β β β c c c > Beispiel: i i i Vokus - WS 6/7 8 Toste Scheie
12 Eie weitee Möglichkeit zwei Vektoe zu multipliziee ist ds äußee Podukts. Es wid stets digol multipliziet siehe Detemite woei echts heum positiv ud liks heum egtiv geechet wid. R R R Eigeschfte: Biäe Opetio: tikommuttiv ssozitiv distiutiv β β β c c Beispiel: 7 Vokus - WS 6/7 8 Toste Scheie
13 α α cos... cos D es sich ei eiem Vekto um ei -dimesioles Ojekt hdelt k de eeichte Pukt etwede mittels Koodite ode vi Läge ud Wikel dgestellt wede. Läge: Nomiete Vekto: Läge ist Eis Astd : Wikel: Cuch-Schwze Ugleichug Othogolitätskiteium:... D... ccos α 9 cos Vokus - WS 6/7 8 Toste Scheie
14 Beeche Sie sofe möglich -ds iee / äußee im R³ Podukt de folgede Vektoe uteeide sowie dee Summe/ Diffeez ud ilde Sie jeweils de omiete Vekto. 6 6 c 7 d e Bestimme Sie jeweils die fehlede Koodite so dss die jeweilige Vektoe sekecht ufeide stehe ud eeche schließed dee Astäde. X Y Vokus - WS 6/7 8 Toste Scheie
15 Welche eue Begiffe he ich kee gelet? Vokus - WS 6/7 Toste Scheie 8
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SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
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VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG
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Abgabe: (vor 12 Uhr)
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Rdiziere 7 Rdiziere 7. Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergit. x x für 0 9 9 * : Wurzelexpoet, N ud : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer t) Poteziere: Bsis ud Expoet sid gegee,
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
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STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT UND BILDUNGSFORSCHUNG MÜNCHEN Ihlte de Mittelstufe Lösugsfomel fü qudtische Gleichuge c / 4c Poteze m m s s s s s s Logithme logc log logc log log logc c log log Sthlesätze
Die g-adische Bruchdarstellung. 1 Die g-adische Bruchdarstellung
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8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
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Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
multipliziert und der Ausdruck dann in Real- und Imaginärteil aufgespaltet: Zur Berechnung der Phase werden Zähler und Nenner zunächst mit 1 F F
8 requezgg lierer Sstee 9 t t t e e e Jede Differetitio etspricht lso eier Multipliktio it! Setze wir diese ere i die Differetilgleichug 87 ei, so erhlte wir ür de requezgg ergit sich lso 88 Beispiel:
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
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$Id: covete,v 130 2016/05/27 12:19:07 hk Ep $ 3 Kovegeometrie 32 Die platoische Körper User mometaes Ziel ist die Berechug der geometrische Date der platoische Körper Gemäß des i der letzte itzug eschrieee
Funktion: Grundbegriffe A 8_01
Fuktio: Grudegriffe A 8_ Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jede Wert us der Defiitiosege wird geu ei Wert us der Werteege zugeordet. Ist f eie Fuktio ud sid ud y eider zugeordete Werte, d schreit kurz:
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
f mit n h mit 1 lim lim n n
Mthemti MB Übugsbltt ***LÖUNGEN*** Theme: Folge, Reihe, Gezwete, Mootoie Umfg: Hilfsmittel: 8 Aufgbe id eie otwedig Eie Fomelsmmlug ud ei icht pogmmiebe Tscheeche öe be vewedet wede Aufgbe A (Mootoie ud
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
Studienkolleg bei den Universitäten des Freistaates Bayern. Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf den. Mathematiktest
Studiekolleg ei de Uiversitäte des Freisttes Byer Üugsufge zur Vorereitug uf de Mthemtiktest . Polyomdivisio:. Dividiere Sie! ) ( 6 8 ):( ) Lös.: ) ( 9 7 0 8 9):(6 ) Lös.: 7 9 c) ( - ):() Lös.: d) (8 9
Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
Vektorrechnung und Analytische Geometrie : Punkt, Gerade, Ebene, Projektionen und Schnitte
Vektrrechug ud Alytische Gemetrie : ukt, Gerde, Eee, rjektie ud Schitte Siehe : de.wikipedi.rg, drt ises.: http://de.wikipedi.rg/w/idex.php?titlegerdegleichug http://de.wikipedi.rg/wiki/vektrrechug http://de.wikipedi.rg/wiki/alytische_gemetrie
r r a = k b mit k IR \{0} nicht gleichzeitig erfüllbar. 4 Die beiden Vektoren sind nicht kollinear (linear unabhängig) 3
Liee Ahägigeit Wehe Vetoe sse sih duh zwei gegeee Vetoe dstee? Bethtug des Poes i de Tfeeee: Ae! Wie hätte ih eie Vetoe iht wähe düfe: Pe! Aso: Spezif: We eie de Vetoe eie eue Ifotio (Rihtug) eisteuet
(5) Quaternionen. Vorlesung Animation und Simulation S. Müller U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ LANDAU
(5) Quateioe Volesug Aimatio ud Simulatio S. Mülle KOBLENZ LANDAU Fage: De ekostuiete Wikel ist ische ud 8, as ist mit gößee Wikel? Atot: die ekostuiete Nomale eigt i die adee Richtug. also kei Poblem.
Lösen einer Gleichung 3. Grades
Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Forschungsstatistik I
Pschologie Pof. D. G. Meihadt 6. Stock, TB II R. 06-206 (Pesike) R. 06-321 (Meihadt) Spechstude jedezeit ach Veeibaug Foschugsstatistik I D. Malte Pesike pesike@ui-maiz.de http://psmet03.sowi.ui-maiz.de/
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Grundwissen Mathematik Klasse 9
Grudwisse Mthetik Klsse Reelle Zhle: Qudrtwurzel: ist die icht-egtive Lösug der Gleichug:. Merke: heißt Rdikd ud drf icht egtiv sei! Bsp.: 7 6, 7 7 Irrtiole Zhle: Jede Zhl, die sich icht ls Bruch drstelle
Mathematik für Informatiker
Mthemtik fü Ifomtike Pof. D. Beo Fuchssteie Megelehe Aussgelogik Eie Mege ist die Zusmmefssug vo bestimmte Wohluteschiedee Objekte usee Aschuug ode usees Dekes zu eiem gze. Die Objekte heiße Elemete diese
Fit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen
Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die
5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
Gliederung. Geodätische Woche 2009 Karlsruhe. Geodätisches Institut TU Darmstadt. Dipl.-Ing. Verena Willert. 23.September 2009
Geauigkeitsutesuchuge eie Hadkamea Geodätische Woche 2 Kalsuhe Dil.-Ig. Veea Willet Geodätisches Istitut TU Damstadt 2.Setembe 2 Gliedeug Eisatz eie Hadkamea zu Idoo-Positioieug Kalibieug de Kamea Vostellug
Übungsaufgaben BLF. 1. Berechne! d) 0, 2. Löse!
ohe Hilfsmittel. Bereche! ) 0 Üugsufge BLF ) lg 0, 0 c) 0 d) 0, 0 e) f) 00% vo 0, 7. Löse! ) 0, ) lg c) ( ) 0 0. Wie groß ist die Fläche des Kreises? ), cm² ) 5, cm² c) 6,5. Gi Defiitios ud Werteereich!
6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
Münchner Volkshochschule. Themen
Theme Logik ud Megelehre Zhlesysteme ud Arithmetik Gleichuge ud Ugleichuge Li. Gleichugssysteme ud spez. Aweduge Geometrie ud Trigoometrie Vektore i der Ebee ud Puktemege Fuktioe eier Veräderliche Zhlefolge
2.2 Faktorenextraktion
. Fktoeextktio Abbildug: Fktoelytisches Modell Zusmmehg zwische Vible, Mekmlstäge ud gemeisme Fktoe Vible Mekmlstäge gemeisme Fktoe 3 3 m p X, X,, X m : F, F,, F p : Fktolduge Fktowete mifeste (beobchtbe)
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK. by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:...
Wert eines Terms berechnen
gnz kl: Mthemtik 3 - Ds Feienheft mit Efolgsnzeige 3 Wet eines Tems eechnen Teme sind sinnvolle Rechenusdücke, die us Zhlen, Vilen, Rechenzeichen und Klmmen estehen können. Sinnlose Rechenusdücke (z. B.:
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 2
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Alysis II FS 28 Prof. Mfred Eisiedler Lösug 2 Hiweise. Gehe Sie log zum Kochrezept zur Treug der Vrible i liere Differetilgleichuge vor (siehe Abschitt 7.5.3 im Skript). 2. Bemerke
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede