Kapitel 5 Dynamik ausgedehnter, dht starrer Körper

Transkript

1 Kptel 5 Dnmk usgedehnte, dht ste Köpe

2 Volumen, Msse, Dchte des usgedehnten sten Köpes bshe betchtet : Mssenpunkte, ohne Ausdehnung jett betchtet : usgedehnte Köpe, be (noch) ncht defomeb pnpelles Vogehen : Zelegung des Köpes n Volumen-Elemente Summton übe Volumenelemente Volumen : Msse : Dchte : V ΔV M Δm ρ Δm ΔV

3 us : M Δm ΔV N N ΔV ΔV ρ ΔV egbt sch fü nfntesml t klene Volumenelementen : V M lm ΔV 0 N ρ ΔV ( ) dv V dv V Anmekung : Volumen-Elemente können n veschedenen Koodnten-sstemen beechnet weden Ktessche Kood. dv d d d Zlnde-Kood. dv d dϕϕ d Kugel-Kood. dv d snϑ dϑ d ϕ 3

4 Mthemtsche Zwschenbemekung : Volumen-ntegl n ktesschen Kood. c b Volumenelemente snd klene Qude mt dv d d d V dv V V d d d 4

5 Auswetung V des ntegls : d d d Bespel : fü ds Volumen enes Qude egbt sch us dem ntegl : V d d d ( )( ) ( ) b c bechte : Sondefll be de ntegton des Volumens enes Qudes n ktesschen Koodnten : ntegtonsgenen snd konstnt; m Allgemenen hängen de ntegtonsgenen vonennde b,.b. (,) d Msse : M ρ(,, ) d d Be konstnte Dchte : M ρ0 V dv 5

6 Mthemtsche Zwschenbemekung : Volumen-ntegl n Zlnde-Kood. dl d dl dϕ dl 3 d Volumenelemente snd klene Rngsegmente mt dv d dϕ d 6

7 Auswetung des ntegls : V ϕ ϕ d d ϕ d Bespel : fü ds Volumen enes Zlndes egbt sch us dem ntegl : V R π h R d d ϕ d π h π R bechte : Sondefll be de ntegton des Volumens enes Zlndes n Zlnde- Koodnten : ntegtonsgenen snd konstnt; m Allgemenen hängen de ntegtonsgenen t vonennde b h 7

8 Mthemtsche Zwschenbemekung : Volumen-ntegl n Kugel-Kood. ähnlch we bem Zlnde snd de Volumenelemente n Kugelkoodnten Rngsegmente; lledngs st de Rdus des Rngs bhängg von de Höhe bw. dem Wnkel ϑ 8

9 betchte Schntte n de,-ebene (lnks) und de,-ebene (echts) : dl dϕ snϑ dϕ dl 3 dϑ 3 dl d 9

10 Volumenelemente dv d snϑ dϑ dϕ Auswetung des ntegls : V ϕ ϑ d ϑ dϑ sn ϕ ϑ dϕ Bespel : fü ds Volumen ene Kugel egbt sch us dem ntegl : V R π π 3 R 4 d snϑ dϑ dϕ π π R 3 3 bechte : Sondefll be de ntegton des Volumens ene Kugel n Kugel- Koodnten : ntegtonsgenen snd konstnt; m Allgemenen hängen de ntegtonsgenen vonennde b 0

11 Mssenschwepunkt enes usgedehnten Köpes Summton übe lle Mssenelemente : v N Δm N S N N Δm ρ ΔV Δm füft fü nfntesml lkl klene Elemente : S dm M M V V ρ ( ) dv fü konstnte Dchte : ρ 0 S dv M V V V dv

12 Bewegung (Rotton) enes usgedehnten, sten Köpes Allgemene Aussgen : de Bewegung enes sten Köpes lässt sch stets elegen n Tnslton des Schwepunktes und Rotton des Köpes (m Beug uf den Schwepunkt) vollständge Beschebung de Bewegung gefodet Angbe von : Bhnkuve Schwepunkt : { ( t), ( t), ( )} ( t) S S S t ( t) ( t), ( t), ( t) S Vton Kesfequen/Dehchse : { } bechte : Betg und Rchtung des Vektos können veen! 6 Koodnten 6 Fehetsgde de Bewegung des sten Köpes be Feung des Schwepunkts bleben 3 Fehetsgde be usätlche Feung de Dehchse blebt en Fehetsgd (Rottonswnkel)

13 Käfte m sten Köpe betchte Kft, de n enem feen, sten Köpe ngeft F H F S,s Dehmoment : D s F H F F ( ) ( ) H S F S FH,,, S DS O betchte Kft F, de m Volumenelement dv des Köpes ngeft; w elegen de Kft F n en Käftep F,F H soweenekftf H ; de Betäge de Käfte snd glech; de Käfte F H und F H gefen m Schwepunkt n; F und F H wken we de Käfte n ene Blkenwge mt Mttelpunkt m Vkt Vekto S Rtt Rotton; de Kft F H bewkt offenschtlch htlhk kene Rtt Rotton (d m ndeen Ende de gedchten Blkenwge de gleche Kft F n de gleche Rchtung eht), sonden veschebt den Schwepunkt des Köpe Tnslton 3

14 Dehmomente, veuscht duch de Schwekft Dehmoment n dm : D gesmtes Dehmoment : D g dm g D g ρ ( ) dv g V g dm ρ ( ) dm V V dv SP dm F g dm M mt de Defnton S des Schwepunkts : D M g S folgt : 0 V dm d w be de Lgeung m SP u Begnn gewählt htten : S 0 dh d.h. be Lgeung m Schwepunkt heben sch lle Dehmomente uf de Lge des Köpes st stbl 4

15 Täghetsmoment Dnmk de Dehbewegung wd wesentlch bestmmt duch de Vetelung de Msse Köpe mt glechen Gesmt-Mssen, be unteschedlche Msse/Dchte- Vetelung egen unteschedlche Dnmk Defnton des Täghetsmomentes betchte de knetsche Enege enes Mssenelements dm : dm es se : mt : und ud: ẑ v,,, und dem Abstnd u Dehchse :,,,,,, E Δ m [ ( ) ] kn,,, 5

16 d : E,, 0 Δm, Δm, ( ) kn, d.h. de Enege hängt ledglch vom senkechten Abstnd u Dehchse b ntegton übe lle Mssenelemente lefet : E E kn ot, V dm Rottons- Enege äquvlent u knetschen Enege de Tnsltonsbewegung E kn ½mv defneen w (ls Entspechung u Msse m) ds Täghetsmoment : bechte : Täghetmoment wd bestmmt duch de Abstndsvetelung de Mssen um Dehchse dm, V Rtt Rottonsenege : E ot 6

17 Dehmpuls usgedehnte ste Köpe fü enen Mssenpunkt nkt glt : fü enelne Mssenelemente : ode : mt : L Δm L m v L Δ m v L Δm, mt dem senkechten Antel von bgl. de Dehchse gesmte Dehmpuls : L L Δm, V dm L Rtt Rottonsenege : L E ot Täghetsmoment 7

18 Veglech de phsklschen Gößen be Tnslton und Rotton Tnslton Rotton Ot Geschwndgket v d/dt Beschleungung d /dt Msse m mpuls p Kft F Wnkel ϕ Wnkelgeschwndgket dϕ/dt Wnkelbeschleungung d ϕ/dt Täghetsmoment Dehmpuls L Dehmoment D 8

19 kn. Enege : mpuls/dehmpuls : Tnslton p E kn mv m p m v Rotton L E ot L Kft/Dehmoment : F m m & & D L & & ϕ Bewegungsglechung lh & (be de Schwngung) : m D & ϕ Dϕ 9

20 Dehmpuls und Dehmoment be veende Mssenvetelung betchte de Dehbewegung g enes sten Köpes, be dem sch wähend de Dehung de Mssenvetelung ändet (ncht be de Gesmt-Msse; ohne Enfluß äußee Käfte),.B. Eskunstläufe be Pouette, Dehstuhl, Ändeung de Mssenvetelung füht u Ändeung des Täghetsmoments be : Dehmpuls blebt konstnt (d kene äußeen Dehmomente wken) us : L const. folgt,.b. be Vekleneung von Ehöhung de Rottonsgeschwndgket 0

21 Anmekung : Zu Enegebln bem Dehstuhlvesuch Hnteln usgesteckt :, Hnteln ngeogen : <, > vegleche Enegen : E ot, L < E ot, L Fge : Wohe kommt de Enege?! F Abet gegen Zentfuglkft : ( ) W d m ( ) ZF, d

22 mt : ( ) ) ( (glt ekt fü Punktmssen) ( ) ) ( (g f ) ( ) ) ( ) (, d m W d m d m 3 4 d m d m m ( )..., 4 E m ot mt Msse m ewetet : ( ) 0 < E W mt Msse m ewetet : ( ) 0,, < E W ot d.h. be Bewegung von nch > wd Enege benötgt, be de umgekehten Bewegung von nch wd Enege gewonnen

23 De Stene sche St De Stene sche St beschebt de Relton wschen dem Täghetsmoment A beogen uf belebge Achse A und dem Täghetsmoment S beogen uf ene u A pllele Achse S duch den Schwepunkt us Kenntns von S lässt sch mttels des Stene schen Stes A beechnen R dm es glt : A ( ) A V dm dm V S M V V V dm dm SP R us Defnton des Schwepunkts : V dm M S 0 d de Schwepunkt ls Uspung gewählt wude A S A S M Stene sche St 3

24 Rollbewegungen betchte enen ollenden Zlnde uf ene schefen Ebene : Dehmoment : F D & ϕ m & (äquvlent u ) & wksmes Dehmoment duch Schwekft : D M g snα Täghetsmoment t bgl. des Auflgepunktes A (nch Stene schem St) : S M ( ) Bewegungsglechung Rotton : M g snα S M M g snα S M es folgt fü de Tnsltons- bewegung des Schwepunkts : v& & & 4

25 ode (en weng umgescheben) : g snα S M je göße Täghetsmoment, umso klene de Tnsltonsbeschleungung ode : je gösse de Rottonsenege, umso klene de Tnsltonsenege Köpe mt gleche Gesmtmsse, be unteschedlchem Täghetsmoment ollen unteschedlch schnell de schefe Ebene heunte ltentve Heletung : betchte de Enege-Ehltung : E pot Eot Ekn M g ssnα (wenn de Köpe de Stecke s uf de schefen Ebene uückgelegt ht) mt : v kn M v und : E ot E kn je gösse ds Täghetsmoment, umso göße st de Rottonsenege umso klene de vefügbe Tnsltonsenege (d.h. de eechte Endgeschwndgket) 5

26 Rollbewegungen : Ds Mwell sche Rd Dehmoment : D F M g Täghetsmoment fü Dehung um Abollpunkt : S M M R M Beechnung de Tnsltons-Beschleungung us : v v& & & ϕ de Bewegung des Mwell-Rdes stellt ene Schwngung n de Wnkelkoodnte d; Rückstellmoment : D ϕ& & && ϕ D F v 6

27 Enseten n den Ausduck fü de Beschleungung lefet : D M g... g M R M R gα de Fllbeschleungung g wd lso um den Fkto α hebgesett, so dss mn de Beschleungung m Epement gut beobchten knn. betchte Enege-Ehltung : ΔE M g h E ( h) E ( h) pot tns d.h. nch Fllstecke h ht sch de Enege n Tnslton und Rotton ufgetelt ΔE tns ( h) M v M g h R es egbt sch : v v( h) R E ot ( h) M g h R Δ ( h) de gößte Buchtel wd n Rotton umgewndelt ot 7

28 Bewegungsglechung de Rotton betchte Dehmpuls enes Mssenpunkts n enem Sstem von Mssen : L p ( v ), Δm,, Δm & L Δ m v& F Δ, D ( ), t Veglech de beden Glechungen lefet : Summe übe Dehmomente (bw. Mssenpunkte) : D D Δ m, & D & ϕ äquvlent u : F m & & p, & & Δm dm &, D t t ϕ Lösung fü D const. : ( ) 0 äquvlent u lnee, beschleungte Bewegung n t ϕ 8

29 Dehschwngungen um feste Achse Annhme : Rückstellmoment se popotonl u Auslenkung us de Ruhelge D D ϕ vegleche Hook sches Geset de lneen Bewegung : F D Rchtmoment t D Bewegungsglechung : && ϕ D 0 ϕ mt dem Täghetsmoment 0 des Dehtsches 0 && ϕ D 0 ϕ α ϕ Lösung de Schwngungs-Glechung Glh : ( t ) ϕ sn ( α t ) ϕ 0 mt Ampltude ϕ 0 und Egenfequen α 9

30 Schwngungsdue : π D 0 T 0 ππ ν α be beknntem Rückstellmoment D knn us Messung de Schwngungsdue T 0 ds Täghetsmoment 0 beechnet weden; ode : be beknntem Täghetsmoment 0 des leeen Dehtsches knn us Messung von T 0 ds Rückstellmoment D beechnet weden; wd ene unbeknnte Msse uf den Dehtsch gelegt ( gesmtes Täghetsmoment 0 ), knn us Messung von T und uvo bestmmten D ds unbeknnte Täghetsmoment beechnet weden nch : 0 T π D 30

31 Huptchsen fü Täghetsmomente betchte enen Köpe mt Rottonschse duch den Schwepunkt; ds Täghetsmoment hängt von de Rchtung de Dehchse b nte mn m w weden m Folgenden fnden : es gbt ene Achse m (bw. mn )bgl. dee ds Tä Täghetsmoment t mml (bw. mnml) wd; fü ene belebge Achse m,, de senkecht uf m und mn steht, legt ds Täghetmoment wschen m und mn ;deachsen m, mn stehen th senkecht ufennde; f 3

32 Mthemtsche Zwschenbemekung : Wchtge Vektobeehungen (elevnt fü de folgende Dskusson) D A B C A ( B C ) D A, ( B C) Annhme : B und C spnnen ene Ebene (,) )uf ˆ B ( B C ) us : C ˆ ( B C ) B C ( ) ˆ D muss n de (,) )-Ebene legen D λ B λ B C C ( ) ( Rechnung egt : D A B C AC B AB)C 3

33 Allgemenes um Täghetsmoment Betg enes Mssenelements dm um Dehmpuls L : dl dm Umfomung mt de uvo ( v ) dm [ ( ) ] A B C dl [ ] ( ) hegeleteten Vekto-Relton lefet : dm dv [ ] ρ( ) Gesmtdehmpuls : L ( ) dv n usfühlche L ρ ( ) dv ( ) ( ) Schebwese : ρ dus lssen sch de Komponenten L, L, L dekt beechnen 33

34 [ ] ( ) es folgt fü de -Kpt. : L ρ dv ( ) L dv dv ρ ρ ρ dv de Stuktu de Glechung suggeet de Fom : L Veglech de Koeffenten egbt : ( ) ρ dv ρ ρ dv ρ dv entspechende Glechungen egeben sch fü L, L bw.., 34

35 usmmengefsst ehält mn : L L L n Mtfom : bechte : st ene Mt L ~ mt dem Täghetstenso ~ be belebge Dehchse tgen lle Täghetsmomente jk u Dehmpuls be Anmekung: ~ A M B beschebt Tnsfomton von Vekto B duch Mt M n Vekto A 35

36 Mthemtsche Zwschenbemekung : Abbldung mttels enes Tensos (Mt) 0 0 ' speell : ' ' denttät ' ' denttät 0 0 ' b speell : ' b b Steckung b ' ' b ' M M M llgemen : ' ' M M M M M M Dehung & Steckung ' M M M

37 L L L de Beehung egt, dss dr.d.r. L und ncht pllel uennde snd L Fge : wnn legt L pllel u? Lösung :.B. lle Nchtdgonl-Elemente k 0 ( k) und ddgonl-elemente lel Köpe muss offenschtlch Smmete besten dnn glt : L mt dem sklen Wet 37

38 Anmekung um Täghets-Tenso : ~ gbt Zusmmenhng n wschen Dehmpuls L und Wnkelgeschwndgket fü gegebenen Köpe n gegebenen Koodntensstem KS (,,) Dehung des Koodntensstems ändet de Wete m Tenso vgl. : mth. Dstellung ene Mt hängt von Whl de Enhetsvektoen b es gbt en Koodntensstem KS (,, ), n de de Täghets-Tenso dgonl wd : ~ ' ' ' ' ' ' n KS glt dnn : L L L ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 38

39 ene Tnsfomton T, de Enhetsvektoen n KS so nch KS übefüht, dss de Täghets-Tenso dgonl wd, heßt Huptchsentnsfomton KS T KS' T 0 ' ' ' ' ' ' mthemtsche Anlse egbt : de Huptchsen snd Smmete-Achsen des Köpes bgl. de Huptchsen wd de Täghetstenso dgonl jede Komponente L des Dehmpulses n KS st dnn popotonl u Komponente de Wnkelgeschwndgket : L 39

40 Bespel : Smmetechsen (Huptchsen) enes Qudes ' ' ' 40

41 Täghetsellpsod Rottonsenege be belebge Dehung : ( )( ) m v m Δ Δ ( )( ) ( ) AB B A B A B A w nuten de Beehung : ( )( ) ( ) AB B A B A B A w nuten de Beehung : ( ) ( ) ϑ ϑ cos sn B A B A B A mt : ( ) ( ) ϑ ϑ cos sn B A B A AB mt : ( ) [ ] m v m Δ Δ ntegton übe lle Mssenelemente lefet de gesmte Rottonsenege : ( ) [ ] ( ) dm dm dm E ot 4

42 Betäge de enelnen Komponenten usgescheben : ( ) ( ) ( ) dm dm E ot us-mulpleen und soteen de Teme lefet : ( ) ( ) ( ) dm dm dm E ot dm dm dm w dentfeen de Elemente jk des Täghetstensos und scheben : jk g E ot E 4

43 betchte : E ot foml lässt sch de Glechung scheben ls : E ot T ~ ~ ; T ( ) mt :,, Z ; Z.. tgen lle Täghetsmomente t jk u Rtt Rottonsenege be b 43

44 es se ene belebge Dehchse gewählt; de Rchtung de Dehchse st duch Wnkel α,β,γ bgl. de,,-achsen festgelegt Komponenten de Wnkelgeschwndgket ndgket : cosα cos β cosγ γ β α engesett n de Fomel fü de Rottonsenege E ot 44

45 E ot ( ) ( ) cosα cos β ( cosγ ) ( cosα )( cos β ) ( cosα )( cosγ ) ( cos β )( cosγ ) E ot α, β, γ lefet duch Veglech mt : ( ) ds Täghetsmoment bgl. de Achse, n Abhänggket von α,β,γ : ( α, β, γ ) cos α cos β cos γ cosα cos β cosα cosγ cos β cosγ bechte : (α,β,γ) st ene skle Göße 45

46 .B. Spelfälle : π π,,0 π π,0, π π 0,, 3 π π π,, ( ) 3 4 Anmekung : be Auschtung de Dehchse n e -Rchtung st nu elevnt mn legt ds Koodntensstem (KS) günstgewese unächst so, dss de Dehchse mt de Rchtung ene Achse des KS übeenstmmt bechte : be Enwkung von Dehmomenten knn sch Rchtung de Dehchse änden! 46

47 Rchtungen (α,β,γ), unte denen (α,β,γ) Etemwete nnmmt, heßen Hupttäghetschsen de ugehögen Täghetsmomente heßen Hupttäghetsmomente h tt b t f üh h 0 0 ~ HA 0 0 de Hupttäghetschsen h st dgonl : 0 0 w htten beets fühe gesehen : de Täghetstenso n de Bss d.h. es glt fü lle Ncht-Dgonlelemente : 0 engesett n de Fomel fü (α,β,γ) egbt sch : HA ( ) α β, γ cos α cos β cos γ, Tä Täghets- h Ellpsod Täghetsmoment fü Dehung um Achse, de defnet st übe Wnkel (α,β,γ) bgl. Hupttäghetschsen ( (α,β,γ) enthält kene Teme jk (j k) 47

48 de Rottonsenege egbt sch n de Bss de Huptchsen u : E ot ( cos cos cos ) HA α β γ ( ) Beeche konstnte Rottonsenege be Vton de Komponenten,, (bw. de Wnkel α,β,γ) snd defnet duch : E ot const ( ) Täghets. Täghets- Ellpsod des st offenschtlch de Glechung de Obefläche ene Ellpse, n den Vblen ; vgl. n we Dmensonen : R b,, ; g Spelfll : : E ot const ( ). Glechung ene Kugel 48

49 Mthemtsche Zwschenbemekung : Huptchsentnsfomton Bestmmung de Huptchsentnsfomton : T ' ' ' ' ' ' w suchen de Enhetsvektoen n enem Koodntensstem KS, so dss de Täghetsmt (Tenso) n desem Koodntensstem Dgonlfom ht Suche nch Egenweten und Egenvektoen ene Mt Egenwete (Hupttäghetsmomente) egeben sch us de Egenwetglechung : ~ e H H e H ( ~ ~ ) E e 0 H H ~ det E ~ ( ) 0 H 49

50 H det H 0 H Polnom 3. Gdes 3 Lösungen fü H Hupttäghetsmomente,, Anmekung : mest tbenennung de Hupttäghetsmomente ttäht t mt t, b, c De de Egenvektoen (Hupttäghetschsen) egeben sch nch Enseten de de Lösungen fü H n de Egenwetglechung 3 Glechungen fü 3 Vkt Vektokomponentenk t jd jedes Egenvektos ~ eh, eh, ~ eh, b b eh, b ~ e e H, c c H, c 50

51 Benennung de Hupttäghetschsen (,b,c) : Konventon : b c unte Beug uf de Huptchsen wd : ( α β, γ ) cos α cos β cos γ HA, b c Dehmpuls : L L L b b b Lc cc 5

52 fü de Enege egbt sch : E ( ) ot b b c c E ot L Lb L b c Rottonsenege c smmetsche Kesel : b c smmetsche Kesel : b ode b c ode c bechte : jede ottons-smmetsche Köpe st en smmetsche Kesel be : ncht jede smmetsche Kesel muss Rottonssmmete besten (.B. Wüfel st smmetsche Kesel, bestt be kene Rottonssmmete) L L Lb Lc Spelfll : b c E ( ) Sphäsche h Kesel ot 5

53 Bespele : Asmmetsche Kesel Qude mt b > c es glt fü den Qude : < < < b < c uch hm detomgen, ncht-lneen Molekül glt : b c 53

54 Bespele : Smmetsche Kesel Qude mt b > c polte lt Kesel oblte Kesel < b c b < c 54

55 E ot L Lb L c Täghetsellpsod b c () (b) () Täghetsellpsod fü den polten Kesel. Ds Täghetsellpsod st en lng gestecktes Rottonsellpsod, dessen Smmetechse länge st ls sen Duchmesse. (b) Täghetsellpsod fü den oblten Kesel. Ds Täghetsellpsod st en gestuchtes Rottonsellpsod. Anmekung : fü enen sphäschen Kesel st ds Täghetsellpsod ene Kugel, d.h. Täghetsmoment und Rottonsenege snd fü jede Rottons-Rchtung glech 55

56 Bespel : Hntelmodell enes lneen, wetomgen Molekül c b Huptchsen b c sm. Kesel und : << b,c L L b, c E ot, >> Eot, b c, mn bucht vel (themsche) Enege, um Rotton um Achse nuegen Rotton um st be ncht etem hohen Tempetuen engefoen es wd ken Dehmpuls bgl. de Achse ngeegt L 0 E ot ( L L ) b c L Rotton enes wetomgen Moleküls wd dduch h b c und Gesmtdehmpuls L bescheben 56

57 Rotton um fee Achsen bshe betchtet : Rotton um fest fete Dehchse jett : Rotton um ene fee (d.h. ncht m Köpe fete) Achse epementell egt sch, dss Rotton um de Achsen des klensten und gößten Täghetsmoments stbl st, wähend be Rotton um ndee Achsen klenste Stöungen u nstbltäten (d.h. Tokel-Bewegungen, Umkppen de Achse) fühen () (b) (c) Betchte Rotton enes Qudes (sm. Kesel), de n Fden ufgehängt st; () stble Rotton um Achse gößten Täghetsmoments ; (b) nstble Rotton um Achse des mttleen Täghetsmoments b ;(c) Rotton (b) spngt um n seh stble Rotton um Achse mt dem gößten Täghetsmoment 57 c

58 Ene geschlossene Kette hängt n enem Fden und wd u Rotton gebcht. Duch de Zentfuglkft wetet se sch u enem Kes uf, de sch dnn hoontl stellt, wel dduch de Rotton um de Achse des gößten Täghetsmomentes efolgt und dmt de Rottonsenege be vogegebenem Dehmpuls L mnml wd. Auch he fällt de Rottonschse ncht mt de Fdenchtung usmmen. Köpe ht Tenden u Rotton um Achse mt gößtem Täghetsmoment Rottonsenege E ot / wd mnml F ZF klenste Stöungen fühen du, dss de Köpe (.B. duch Zentfuglkäfte) n dese Lge geteben wd F ZF 58

59 Eule sche Glechungen wenn Dehmpuls und Dehchse ncht pllel snd, dnn st de Bewegung des Köpes komplet betchte Bewegung n umfesten Koodntensstem R : D dl dt dt R ds Koodntensstem K, ds duch Huptchsen des Köpes gebldet wd, otet mt gegenübe dem umfesten Sstem R dl dt dl dt ( ) L K R dl dt ( ) D L K 59

60 betchte.b. Komponente D des Dehmoments m Beug uf Huptchsen : D dl d L blc cl dt dt & ( ) ( ) c b ( ) c b b ähnlche Glechungen egeben sch fü D b und D c D & c b ( ) D & ( ) b b D & c c b c b c c b ( ) b c Eule sche Glechungen de Eule schen Glh Glechungen bescheben de Vton de Rtt Rotton (Rchtung und Geschwndgket) ene belebgen Dehbewegung be Wkung enes etenen Dehmoments D (be käftefee Bewegung st D 0); de Beschebung efolgt m Koodntensstem de Huptchsen 60

61 Bespel : Käftefee, sphäsche Kesel mt : D D b D c 0 und : b c b c b ( ) & b c c c b & ( ) c & b ( ) b & c & & c b de Dehchse blebt n Rchtung und Geschwndgket glech (kene etlche Veändeung de,b,c ) bechte : fü enen smmetschen Kesel entstehen 3 gekoppelte Dffeentl- Glechungen fü bc,b,c komplete Vton de Rotton 6

62 Bespel : Wckelstene de Rotton enes belebg ggefomten Köpes knn äußest komplet sen (we uch schon de Kompletät de Eule schen Glechungen egt) b.b. bem keltschen Wckelsten De keltsche Wckelsten besteht us enem ehn bs wng Zentmete lngen, n de Untesete ellpsod gefomten Stück Sten, Hol, Plstk ode ndeem Mtel. Deht mn enen uf de bgeundeten Sete legenden Wckelsten uf ene ebenen Untelge, so egt e je nch Dehchtung en unteschedlches Vehlten: n ene Rchtung deht sch hde Wckelsten stbl, bs e duch Rb Rebung um Stehen kommt. n de ndeen Dehchtung wd de Wckelsten jedoch sch lngsme, wobe e entlng de Längschse u wckeln nfängt. Nchdem de Dehung komplett n ene Wckelschwngung übegegngen t st, fängt de Wckelsten n, entgegengesett sene uspünglchen Dehchtung u oteen. Ekläung des Vehltens (nu qulttv) : De Msse enes Wckelstens st unglech vetelt, ws duch Fomgebung, ode engelssene/ufgesette Gewchte eecht wd. De entstehende Unwucht sogt fü de Wckelbewegung. Wähend jede Schwngung kppt de Wckelsten lecht n Rchtung senes Übegewchts, so dss ene Dehung n sene Vougschtung stttfndet. 6

63 Dnmk des käftefeen, smmetschen Kesels de sm. Kesel west de elevnte Achsen/Rchtungen uf : Rchtung des Dehmpulses L, momentne Dehchse, Fguenchse c k ken äußees äß Dehmoment t(d 0) dl/dt 0 Vkt Vekto L st umfest wenn c de Smmetechse st, dnn st b wenn n Rchtung de Hupt- und Fguen-Achse c legt, glt : L 0 L Lb bb 0 Lc cc cc L cˆ stble Rotton t um umfeste Achse (d Achse c äumlch stbl st) bechte : m llgemenen Fll llst tl ncht htpllel l u (.B. wenn lle 0 und ncht lle,b,c glech snd) 63

64 Enwkung enes Kftstosses : Nutton es se nfngs: L c (, 0, ) L (L, 0, L ) L L Schlg gegen Fguenchse c mt Kftstoß F dt -Achse dl F dt L L F dl L : von Uspung u Schlgstelle d L ˆ L' L dl L ' L d : dl L mt : Kftstoß ändet Rchtung de Fguenchse n -Rchtung be : Kftstoß bewkt Ändeung dl n Rchtung Dehmpuls L legt ncht meh n -Ebene (Fguenchse hngegen schon) Dehmpuls und Fguenchse (bw. Dehchse) snd ncht meh pllel 64

65 Fge : We läuft Bewegung nch dem Schlg wete b? nch dem Schlg: Dehmpuls L ncht meh pllel u bw. c be : Dehmpuls L st wede etlch konstnt (d Ehltungsgöße) L Dehung des Koodntensstems bs Dehmpuls L n -Ebene legt : L c c c L dl Momentufnhme : c ˆ' L 65

66 w betchten jett de Komponenten L c (d.h. L c) und L (d.h. L c) de Dehmpulskomponenten bescheben Komponenten de Rotton : L c ' c ; L ' L c L Dehungen entspechend L c und L müssen so koodnet blufen, dss glt : L c ' L ' L' const. c L 66

67 Vesuche, ds koekte Vehlten von L und L c u eten : betchte Dehung von L c, wähend L ehlten blebe Vekto wäe ncht ehlten betchte Dehung von L, wähend L c ehlten blebe Vekto L wäe ncht ehlten L L c L L L 67

68 Vesuche, ds koekte Vehlten von L und L c u eten : betchte snchone Dehung von L c und L, so dß Vekto L ehlten blebt de Spten des Dehmpuls-Vektos L c (bw. Dehchse c) und des Dehmpuls- Vkt Vektos L h ) L c L c (bw. Dehchse ) bescheben snchon duchlufene Kese, u deen Zentum L egt Dehmpuls-Vekto L blebt ehlten L (momentne) Dehchse und Fguenchse c nuteen um Dehmpuls L L 68

69 (momentne) Dehchse und Fguenchse c nuteen um Dehmpuls L L c L bechte : unmttelb schtb m Epement st nu de Nutton de Fguenchse, ncht de momentnen Dehchse h bechte :delänge desvektos (d.h. de Rottonsgeschwndgket) blebt be de Nutton ehlten Enegeehltung 69

70 Enwkung enes äußeen Dehmoments : Päesson Päesson : Rekton des Kesels uf etenes Dehmoment,.B. Lgeung ußehlb Schwepunkt Dehmoment duch Gewchtskft Pä Päesson : Dehmpuls-Vekto Vkt Ländet Rchtung; Betg L blebt be konstnt W. Pul und N. Boh beobchten enen päedeenden Kesel (be de Eöffnung des nsttuts fü Theoetsche Phsk n Lund, 95) 70

71 w betchten den Fll : : von Uspung um Schwepunkt D L c c F Mg wkt ständg ständge Ändeung des Dehmpulses : dl D 0 dl ; dl F ; dl L Rchtungsändeung von des Dehmpulses L Bewegung von L uf Kes : Päesson S L F dl 7

72 D Mg dϕ D Mg snα dl Ddt, g d L L' dϕ Lsnα dϕ D L& L' d & ϕ L ' mt Päessonsfequen P bechte : P Keselfequen K P dl α S F dϕ L dl dl L sn α D Mg snα P L ' Lsnα Mg K Päessons- Fequen 7

73 Bespel : Päesson de Edchse De Ede ht kene ekte Kugelfom, sonden duch de Abplttung des Edellpsods enen Äqutowulst von km. Dduch bewken de Geetenkäfte von Mond und Sonne en Dehmoment, welches de Edchse ufuchten vesucht und u Päesson de Edchse füht (lunsole Päesson). Fü enen vollen Kegelumluf l benötgt t de Edchse c Jhe (Pltonsches Jh). De Edpäesson (d.h. Vton de Rchtung de Edchse) knn mn.b. n de schenben Wndeung von F-Stenen (.B. Nod- Polsten) beobchten. 73

74 Bespel : Päesson n de Quntenmechnk (Ausblck) Ken Elekton Elekton Atomken bestt Egen-Dehmpuls (Kenspn) Elektonen besten Bhn-Dehmpuls h L und Egen-Dehmpuls (Spn) S * Dehbewegung ggeldene Telchen bewken Stöme mgnetsche Momente * ndeesets eeugen Dehbewegungen (bw. Stöme) uch Mgnetfelde Mgnetfelde und mgnetsche Momente wechselwken mtennde veschedene Dehmpulse wechselwken mtennde Päesson (messb ls Veschebungen/Aufspltungen von Obtl-Enegen bw. Übegängen) 74

75 Bespel : Keseldnmk m Fhd emöglcht.b. Steuen enes Fhds duch Gewchtsvelgeung Schwepunkt Kft F -mg F F D 0 L const. 75

76 F F D F 0 dl 0 Dehmpuls L ändet Rchtung Vedehung des Rdes Kuve 76

77 Bespel : Kdnsche Aufhängung Kesel L Fguenchse des Kesels knn n belebge Rchtung gedeht weden; de Schwepunkt des Kesels befndet mme n de Mtte des Kdn-Rhmens 3D-Aufhängung m Schwepunkt Käftefee Lgeung (egl, welche Oenteung de Fguenchse des Kesels n de Aufhängung ht) 77

78 Bespel : Kesel-Kompss w betchten unächst enen voll kdnsch ufgehängten Kesel, d.h. de Dehchse knn sch n de Dmensonen belebg enstellen; de Kesel befnde sch m Äquto; Blck längs de Dehchse des Kesels n Rchtung uf den Nodpol; d de Kesel kdnsch ufgehängt st, deht sch de Plttfom mt de Ede käftefe Dehmpuls L L L N L N T 0 Std T 3 Std T 6 Std 78

79 w feen jett de Lgeung des Kesels n ene Rchtung/Dmenson, so dss de Vekppung de Keselplttfom um ene Achse Edobefläche ncht meh möglch st Feung ene Dehchse Feung Dehmoment D duch Ebene pllel u Achse de Vekppung Vekppung de Plttfom Ed Edobefläche fläh pllel u L D 0 L L dl D dt L dl D dt dl Päesson von L N D 0 sobld L Edchse A L chtet sch pllel u A us L egt mme nch Noden Kesel-Kompss 79

80 Fühe Kesel-Kompss, elegt Modene Keselkompss (Schntt) De Efnde des Keselkompss H. Anschüt-Kämpfe mt enem unbeknnten Hen bem Segeln 80