gelten soll. Welchen k-wert besitzt das Massenträgheitsmoment des Rollkörpers, wenn die Gleitreibungszahl für den gleitenden Körper G

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1 Fachhochschule Hannover vorgezogen Wederholungsklausur WS Fachberech Maschnenbau Zet: 9 mn Fach: Physk SS9 (Prof. Schrewe) Hlfsmttel: Formelsammlung zur Vorlesung. Zwe PKW (Nr. und Nr. ) fahren mt ener Geschwndgket von v 44 kmh m Abstand x 45m hnterenander her. Zum Zetpunkt t muss PKW() plötzlch mt ener Beschleungung von a 6, 4 ms bremsen. Nach ener Reaktonszet von tr, 5 s bremst auch der PKW() so, dass er n x m hnter PKW() zum Stllstand kommt. (Zur Verenfachung betrachten Se bede PKW als Massenpunkte, also als ausdehnungslos.) a. Zechnen Se de x-t-, v-t- und a-t-dagramme für bede PKW, wobe auch der prnzpelle Verlauf der Dagramme vor dem Zetnullpunkt erkennbar sen sollte. b. Welche Bremsverzögerung muss PKW() haben, um we gefordert, n x m hnter PKW() zum Stllstand zu kommen? c. Prüfen Se Ihr unter b. erhaltenes Ergebns, ndem Se für bede PKW den nach dem Zetnullpunkt zurückgelegten Wert bs zum Stllstand berechnen. d. Berechnen Se de Anhaltezeten für bede Fahrzeuge.. Verglechen Se enen rollenden und enen gletenden Körpers glecher Masse, de sch auf ener schefen Ebene mt dem Wnkel 3gegen de Waagerechte hnauf bewegen. Im Referenzpunkt (Nullpunkt: Höhe h ) soll de Schwerpunktchwndgket beder Körper glech sen. De Körper kommen n unterschedlchen Höhen h Rollkörper Gletkörper max und hmax auf der Gletkörper Rollkörper schefen Ebene zum Stllstand, wobe hmax hmax gelten soll. Welchen k-wert bestzt das Massenträghetsmoment des Rollkörpers, wenn de Gletrebungszahl für den gletenden Körper G beträgt. Legt der k-wert n enem physkalsch ver- 4 nünftgen Berech? Verglechen Se mt anderen k-werten. 3. En Dachzegel gletet en genegtes Dach über ene Strecke von s 6 m hnab. Das Dach hat enen Negungswnkel von 3 gegen de Waagerechte. De Gletrebungszahl beträgt G, 4. Der Zegel fällt anschleßend über de Dachkante auf den H 8m tefer gelegenen Boden. In welcher Entfernung von der Hauswand trfft der Dachzegel auf dem Boden auf, wenn der Dachüberstand x,5 m beträgt? Ü 4. En JoJo besteht aus dre homogenen Holzscheben glecher Dcke d cm. De äußeren beden Scheben haben enen Radus von Ra,5cm, de zentrale Schebe bestzt enen Radus von R cm, das Holz hat ene 3 Dchte von, gcm. Um de zentrale Schebe st en Faden der Länge l m gewckelt (Masse vernachlässgbar). a. Berechnen Se das Massenträghetsmoment des JoJo bezüglch der axalen Symmetreachse durch den Massenmttelpunkt. b. Das JoJo wrd losgelassen und der aufgewckelte Faden am äußersten Punkt festgehalten. We lange dauert es, bs der Faden abgewckelt st und das JoJo am tefsten Punkt angelangt st? Verwenden Se zur Verenfachung be allen Aufgaben g = m s -.

2 Lösungen: a. Nach Aufgabenstellung st entschedend, dass der Wert der Ortskoordnate des PKW() bem Stllstand um x m klener st, als der des PKW(). Da PKW() mt x 45m hnter PKW() herfährt, st der Gesamtweg des PKW() um x xx 35m größer als der von PKW(). Des wrd m ersten Dagramm dartellt.

3 b. De Bedngung für de Vermedung ener Kollson lautet: PKW () PKW () x x x (*) Der Gesamtweg für PKW() kann mt Hlfe des v-t-dagramms ermttelt werden. v / m s - v = 44 km h - = 4m s - PKW() PKW() Dreeck: s a = ½ v * t, Rechteck: s v = v * t, t R =,5 s t, t / s x-koordnate für PKW(): x vt vt PKW (),, Der Gesamtweg für PKW() kann mt Hlfe des v-t-dagramms ermttelt werden. v / m s - v = 44 km h - PKW() PKW() Dreeck: s a = ½ v * ( t, -t R ) Rechteck: s v = v * t, t R =,5 s t, t / s x vt, t, t x PKW () x vtrv t tr v t tr x PKW () PKW () x x x PKW () x-koordnate für PKW(): R oder Glechung (*) entsprcht:,, Durch Ensetzen erhält man: PKW () PKW () x vt vt vtrvt tr vt tr xx x x vt, vt, vt R t, tr t, tr x x Setze zur Verenfachung: xx x 35m,,,, Es folgt:

4 und verwende: a und a t, t, tr dann folgt: vt R x a a a a vt R x a a Lösung für a a x vt R a 4 m s a 4 m s 35 m4 ms,5s 6, 4 ms 6 6 a ms ms 8ms 5 7 Der PKW() muss mndestens mt ener Bremsverzögerung von a 8ms verzögern, damt er am gewünschten Punkt zum Stehen kommen kann. c. Prüfung der Ergebnsse: x-koordnate für PKW(): PKW () x vt, vt, wobe glt: t, a Es folgt PKW () x a a a Lösung für PKW() x v 4 m s 5m PKW () a 6,4ms x-koordnate für PKW(): PKW () x vt, t, tr x wobe glt: t, tr a und t, a tr Es folgt: x v vt v x PKW () R a a v x vt x PKW () a R PKW () 4 ms x 4ms,5 s 45m 8ms PKW () Lösung für PKW() x m6m45m 5m Der Wert der x-koordnate für PKW() st also, we gefordert, um x m klener als der für PKW().

5 d. Bremszet für PKW() t v 4 ms 6, 5 s, a 6, 4 ms Bem PKW() st de Anhaltezet glech der Bremszet. Bremszet für PKW() t, tr a Anhaltezet für PKW() 4 ms, R a 8ms t t, 5 s 5 s, 5 s 6, 5 s. Im Referenzpunkt bestzen bede Körper deselbe knetsche Energe der Translaton E kn : Ekn m Für den gletenden Körper st des m Referenzpunkt auch glechzetg sene Gesamtenerge. rot Der rollende Körper bestzt aber zusätzlch noch knetsche Energe der Rotaton E kn : rot Ekn J Man beachte, dass m Referenzpunkt zwar de Translatonsenergen der beden Körper glech sen sollen, ncht aber deren Gesamtenergen. Für de Gesamtenerge des rollenden Körpers m Nullpunkt glt: Rollkörper rot E Ekn Ekn m J De Rollbedngung verknüpft v und durch und für das Massenträghetsmoment r kann de Bezehung J kmr verwendet werden, wobe k der uchte Wert st.. Rollkörper E m kmr r Rollkörper Es folgt: E m k Ekn k () Bem Hnaufrollen auf de schefe Ebene wandelt der Rollköper sene Gesamtenerge n potentelle Energe der Höhe um. Es glt für den Rollkörper: Rollkörper Rollkörper Rollkörper E mghmax Epot Rollkörper Ekn k mghmax Es folgt für de knetsche Energe der Translaton des Rollkörpers: Rollkörper mghmax Ekn () k Für de Gesamtenerge des gletenden Körpers m Nullpunkt glt: Gletkörper E Ekn m (3) Der Gletkörper wandelt jedoch nur enen Tel sener Gesamtenerge n potentelle Energe der Höhe um, wel be der Gletbewegung zusätzlch Rebungsarbet W R aufgebracht werden muss. Es glt für den Gletkörper glt: Glekörper Gletkörper Gletkörper E mghmax WR Epot WR Gletkörper Ensetzen von (3) E mgh W (4) kn max R

6 Nach Aufgabenstellung glt: Gletkörper Rollkörper hmax hmax (5) De Rebungsarbet st: Gletkörper hmax WR G mgcos3 sn 3 (6) Ensetzen von (5) n (6): WR G mgcos3 sn 3 Ensetzen von (5) und (7) n (4) cot 3 h Rollkörper max Rollkörper Rollkörper Ekn mghmax G mg hmax Rollkörper Ekn mghmax G cot 3 (8) Da de knetschen Translatonsenergen des Glet- und des Rollkörpers glech sen sollen, können Formeln () und (8) glechetzt werden: Rollkörper mghmax Rollkörper mghmax G cot 3 k G cot 3 k k G cot 3 Lösung: k,396 cot 3 4 Der uchte k-wert des Rollkörpers st gerngfügg klener als der k-wert ener homogenen Kugel (k =,4) und legt somt n enem physkalsch vernünftgen Werteberech. 3. Mt Hlfe des Energeerhaltungssatzes kann de Geschwndgket des Dachzegels am Dachrand bestmmt werden. Der Dachzegel bestzt m Ausgangspunkt de potentelle Energe: Epot mgh mt h ssn 3m De potentelle Energe wrd n Rebungsarbet W R und knetsche Translatonsenerge umgewandelt. Es glt: Epot mgh m WR Ekn WR mt: W mgcos s Lösung für v : ghg cos s R ms 3m, 4,866 6m 4, 93 ms Der Geschwndgketsvektor verläuft parallel zur Dachnegung, d.h. der Wnkel zur Waagerechten beträgt 3. Der Geschwndgketsvektor kann n ene Horzontalkomponente v x und ene Vertkalkomponente y zerlegt werden. Es glt: x cos 3,78ms y sn,465ms Nach dem Verlassen der Dachfläche bewegt sch der Dachzegel auf ener Wurfparabel. De Vertkalkomponente st ene glechmäßg beschleungte Bewegung mt der Anfangschwndgket v y. Für de Fallstrecke H 8m zwschen Dachkante und Boden glt: G (7)

7 H y tfall gtfall Umformung und quadratsche Ergänzung ergbt: v y y y H tfall tfall g g g g De Fallzet beträgt: t t fall fall y H y v g g g y H y v g g g,465 8,465 tfall s s Lösung für de Fallzet: t fall,,683s tfall,, 4976 s schedet als Lösung aus. Glechzetg bewegt sch der Dachzegel mt v x von der Dachkante n horzontaler Rchtung weg. Für den Abstand des Auftreffpunktes von der Hauswand glt: x x tfall xü x 3,78ms,683m,5m Abstand von der Hauswand: x 4, 48m 4a. Das Massenträghetsmoment des Jojo kann n dre Telmomente zerlegt werden: Zwe gleche Momente für de äußeren Scheben und ens für de nnere Schebe. Da de Scheben homogene Zylnder snd, st der k-wert k. De Masse der Scheben st das Produkt aus Dchte und Volumen der Scheben. J Jaußen Jnnen Jaußen J Vaußen Ra Vaußen R Lösung: J d Ra R,367 kgm b. Das Jojo fällt mt glechmäßger Beschleungung. De Beschleungung a st klener als de Erdbeschleungung g. Zur Berechnung der Beschleungung kann man den Formalsmus des D Alembertschen Prnzps verwenden: F ma M wobe de Gewchtskraft Fg mg und de Kraft FM wrken. Letztere wrd zur Erzeugung enes Drehmoments M benötgt. Unter Berückschtgung der Rchtung der Kraftvektoren R ergbt sch: Fg FM ma () Für de Momente glt: M J Für de Beträge der Momente glt: M J ()

8 Wobe glt: M FM R Da der Faden auf der nneren Rolle aufgewckelt st, glt bem Abrollen des Fadens folgender Zusammenhang zwschen der Beschleungung des Schwerpunktes a und der Wnkelbeschleungung (Rollbedngung): a R (3) Aus den Glechungen (), () und (3) folgt: F M ma F J ma F J a ma g g g R R R J mg R ma De Masse des Jojo beträgt: a Lösung für de Beschleungung: a m V d R R 4,665 kg mg 4,665 kgms 5 J,367 kg m m 4,665 R, m a,54 ms Zet zum Durchfallen ener Strecke von l m. l m t,887 s a,54 ms kg