Kraft, Masse, Trägheit

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1 Kraft, Masse, Träghet U enen Körper n Bewegung zu setzen, also zu beschleungen, uss an an h zehen. De Ursache der Beschleungung nennt an Kraft. Kraft und Beschleungung snd enander proportonal: F a Wr können lecht feststellen, dass de Größe des zu beschleungenden Körpers (de Träghet) ene Rolle spelt. Dese Egenschaft wrd als Proportonaltätskonstante der obgen Bezehung berückschtgt: F a

2 Galle behauptete, dass sch en Körper t konstanter Geschwndgket weter bewegt, wenn kene Kraft auf hn enwrkt. Newton forulerte daraus n sene Buch Prncpa de Dre Gesetze der Bewegung (Newtonsche Axoe) Das erste Newtonsche Axo lautet: Jeder Körper verharrt so lange Zustand der Ruhe oder der glechförgen geradlngen Bewegung, we kene Kraft auf hn enwrkt. De Tendenz enes Körpers, den Bewegungszustand bezubehalten, nennt an Träghet, das erste Newtonsche Axo nennt an daher auch Träghetsgesetz

3 Das erste Newtonsche Axo glt nur n ene ncht beschleungten Bezugssyste. En solches Systee nennt an Inertalsyste. In ene beschleungten Bezugssyste glt das Träghetsgesetz ncht. En Maß für de Träghet st de Masse. De Enhet der Masse st das Klogra (kg). Dann glt das zwete Newtonsche Axo: De Beschleungung enes Körpers st drekt proportonal zu der auf hn enwrkenden Kraft und ugekehrt proportonal zu sener Masse. De Rchtung der Beschleungung st de Rchtung der auf den Körper wrkenden Kraft F a F a Kraft Masse x Beschleungung F res a

4 De Enhet der Kraft ergbt sch aus den Bassgrößen zu: Newton (N) Klogra (kg) Meter Sekunde kg s N kg s Häufg benutzt wrd auch: klopond (kp) 9,8 Newton (N) Bespele: Bespel : Welche Kraft st erforderlch, u a) en Auto t der Masse 000 kg und b) enen Apfel t der Masse 00 g t ½ g zu beschleungen? De Beschleungung beträgt a g 9,8 s 5 s

5 Wr wenden das zwete Newtonsche Axo an: a) b) F a 000kg N s F a 0,00kg 5 N s Bespel : Welche konstante Kraft st erforderlch, u en Auto t der Masse.500 kg von ener Geschwndgket von 00 k/h nnerhalb von 55 zu Stehen zu brngen? Wr hatten für de Geschwndgket v als Funkton von a und x gefunden v ( x ) o + a x o v Aufgelöst nach a ergbt: a o ( 8 s) v v 0 7, ( x x ) 55 s o

6 De erforderlche Kraft erhält an aus de zweten Newtonschen Axo: F a 500kg ( 7, ), 0 s De Rchtung der Kraft uss der Rchtung der Anfangsgeschwndgket entgegengesetzt gerchtet sen. Des wrd durch das Mnuszechen ausgedrückt. Das drtte Newtonsche Axo: Wenn en Körper auf enen zweten Körper ene Kraft ausübt, übt auch der zwete Körper ene glech große, aber entgegengesetzt gerchtete Kraft auf der ersten Körper aus. acto reacto 4 N

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8 Gravtatonskraft (Gewcht) Körper, de n der Nähe der Erdoberfläche fre fallen, werden alle t derselben Beschleungung g beschleungt. De Kraft, de dese Beschleungung verursacht, wrd Gravtatonskraft genannt. Der Betrag der Gravtatonskraft wrd als hr Gewcht bezechnet. F G Bespel : Ene Frau t der Masse 65 kg fährt t ene Aufzug nach unten. Der Aufzug beschleungt be Verlassen des Stockwerks kurz t 0, g. a) We groß st das Gewcht der Frau, wenn se während deser Beschleungung auf ener Waage steht? b) Was zegt de Waage an, wenn der Aufzug t ener konstanten Geschwndgket von,0 /s nach unten fährt? g De Kraft st auf den Erdttelpunkt hn gerchtet.

9 a) De Kraft, de de Person auf de Waage ausübt, st dentsch t der Kraft F N (Gegenkraft), wr erhalten se aus de zweten Newtonschen Axo (De Rchtung der Beschleungung se de pos. Rchtung): F a > g FN 0, g > De auf de Frau wrkende Gravtatonskraft (Gewcht) beträgt er noch F G g 65kg 9,8 s 640N De Waage zegt jedoch de Kraft von 0,8 g an, d.h. ene Masse von 0,8 5kg b) De Beschleungung st a 0. Nach de zweten Newtonschen Axo st g F 0 und F N g De Waage zegt de rchtge Masse von 65 kg an. N F N g 0,g 0, 8g

10 Bespel : Zwe Ksten snd durch en lechtes (asseloses) Sel tenander verbunden und ruhen auf ene glatten Tsch. De Ksten haben Massen von 0 kg (Kste ) und kg (Kste ). Auf de Kste wrd ene horzontale Kraft von F p 40 N ausgeübt. a) We groß st de Beschleungung jeder Kste und b) we groß st de Zugkraft n de Sel? a) De Kraft F p wrkt auf Kste, dese übt ene Kraft F z auf das Sel aus, das Sel übt ene glech große Kraft auf de Kste aus. Das Sel übt de Kraft F z auf de Kste aus. Wr wenden Fx ax auf de Kste an: F x F p F z a Kste Kste

11 Auf Kste wrkt F z, so dass glt: F x F z a a) Da bede Ksten verbunden snd, haben se de selbe Beschleungung. Sot st a a a und wr erhalten (Addton der beden Glechungen): a F F + F F oder: ( + ) p z z p a ( + ) F p 40,0N,0kg,8 s Das gleche Ergebns erhalten wr für ene enzge Masse t kg.

12 b) Aus der Glechung für Kste ( F z a )ergbt sch für de Zugkraft Sel: ( )(,0kg,8 s ), N F z a 8 Sot st F z we erwartet klener als F p ( 40 N), da F z nur beschleungt.

13 Arbet, Lestung, Energe De an ene Körper durch ene konstante Kraft verrchtete Arbet st defnert als das Produkt aus de Betrag des Weges und der Koponente der Kraft parallel zu Weg: W F s Wr können auch schreben: W θ F s cos

14 De Arbet st das Punkt-Produkt aus Kraft und Weg: A F s Kraft und Weg snd Vektoren, das resulterende Punktprodukt, de Arbet, st folglch en Skalar. De Enhet der Arbet st SI-Syste das Joule (J) ( 0 7 erg) J kg s erg dyn c, wetere Enheten: Wattsekunde J Klopondeter 9,8 J

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16 Ene Kraft kann auf enen Körper ausgeübt werden, ohne dass Arbet verrchtet wrd. Wrd ene Last horzontal t konstanter Geschwndgket bewegt, wrd kene Arbet verrchtet. De ausgeübte Kraft F p dent zur Kopensaton des Gewchtes (Gewchtskraft g). Längs des Weges s wrd kene Kraft ausgeübt. Bespel: An ener Kste verrchtete Arbet Ene Kste t ener Masse 50 kg wrd durch ene konstante Kraft F p 00 N, de n ene Wnkel von 37 Grad wrkt, 40 über enen horzontalen Boden gezogen. Der Boden übt ene Rebungskraft von F R 50 N aus. We groß st de durch jede auf de Kste enwrkende Kraft verrchtete Arbet und de an der Kste verrchtete Gesat- Arbet?

17 Ver Kräfte wrken auf de Kste: De ausgeübte Kraft F p De Rebungskraft F R De Gewchtskraft g De Noralkraft F N De durch de Gravtatonskraft und de Noralkraft verrchtete Arbet st jewels Null, da bede senkrecht zu Weg verlaufen: W W g (cos90 De durch F p verrchtete Arbet st G N F N s (cos ) 0 ) 0 W p Fp s cosθ 00N 40 cos J

18 De durch de Rebungskraft verrchtete Arbet st 0 WR FR s cos80 50N 40 ( ) 000J De an der Kste verrchtete Gesatarbet st de Sue aller durch de enzelnen Kräfte verrchteten Arbet: W WG + WN + Wp + WR J 00J 00J

19 Durch ene ncht konstante Kraft verrchtete Arbet Während enes Prozesses können sch Berag und Rchtung ener Kraft verändern. Aus der Glechung wrd dann für das erste Intervall: De gesate be der Bewegung des Massenpunktes verrchtete Arbet st de Sue über alle Tere: Lassen wr jedes Δs gegen Null gehen, erhalten wr: cosθ s F W cos s F W Δ Δ θ Δ n n s F W W cosθ Δ Δ b a n s ds F s F W cosθ cosθ l 0

20 Das bedeutet, dass de durch ene veränderlche Kraft be der Bewegung enes Körpers zwschen zwe Punkten verrchtete Arbet glech der Fläche unter der Kraft-Weg-Kurve zwschen desen beden Punkten st. Allgeen erhalten wr (Lnenntegral): W b F ds a

21 Bespel: An ener Feder verrchtete Arbet. Dat ene Feder u enen Betrag x aus hrer noralen (ncht gedehnten) Lage gedehnt oder gestaucht werden kann, benötgt an ene Kraft F p, de drekt proportonal zu x st F p x De Proportonaltätskonstante, k, nennt an de Federkonstante: F p k x De Feder selbst übt ene Kraft n entgegengesetzte Rchtung aus (Rückstellkraft): F F k x

22 Wr berechnen de Arbet für de Auslenkung von x a 0 bs x b x. De Kraft F p wrd parallel zur x-achse ausgeübt, so dass F p und ds parallel snd. Wr erhalten: W p ( k x xb x x x x F s) ds F ( s) ds k s ds ks x 0 p 0 p 0 0 a Se zu Dehnen der Feder u 3,0 c ene axale Kraft von 75 N erforderlch, dann erhalten wr für de dafür erforderlche Arbet: Federkonstante k: k F x 75N 0,030 ax 3,5 0 ax N Arbet: W k xax 3 (,5 0 N )( 0,030), J

23 Wr berechnen de Arbet, wenn de Feder u 3,0 c zusaengedrückt wrd. De Kraft st ebenfalls F p kx, allerdngs snd sowohl F p als auch x negatv. De verrchtete Arbet beträgt: W p x x a 0,03 Fp ( s) ds 0 b x 0,03 0 k s ds kx 0, (,5 0 N )( 0,03), J Wr erhalten das gleche Ergebns we be der Dehnung.

24 Unter Lestung verstehen wr: Lestung Arbet Zet P A t P da dt Enheten: Watt (W) Joule / Sekunde (J/s) kp /s ; PS 75 kp / s 736 W 0,736 kw Bespel: En Jogger t ener Masse von 70 kg läuft ene Treppe n 4,0 s hoch. De vertkale Höhe beträgt 4,5. We groß st de Lestungsabgabe n Watt und PS? De Arbet wrd gegen de Gravtaton verrchtet: G F g G W F s g h G Treppe > ( )( )( ) W g htreppe 70kg 9,8 s 4,5 P 770W t t 4,0s Da PS 735,5 W, beträgt de Lestung etwas über PS

25 De Lestung kann auch n der auf enen Körper ausgeübten Kraft und der Geschwndgket des Körpers ausgedrückt werden: dw F dw ds ds P F F v dt dt Aus folgt Heben wr enen Körper auf ene bestte Höhe (oder spannen ene Feder), dann kann der Körper be Loslassen Arbet verrchten. In dese Fall hat der Körper ene Arbetsfähgket, de er sener Lage verdankt. En gehobener Körper st potentell n der Lage, Energe n Arbet uzusetzen (Energe der Lage). Dese For der Energe nennt an Potenzelle Energe

26 Se entsprcht genau der Arbet, de an zu Hochheben des Körpers auf de Höhe h verrchten uss: E pot g h Auch en n Bewegung befndlcher Körper hat de Fähgket, Arbet zu verrchten. De Bewegungsenerge deses Körpers wrd genannt. Knetsche Energe

27 Wr betrachten ene Fahrzeug der Masse, der sch geradlng t der Anfangsgeschwndgket v bewegt. Mt der parallel zu sene Weg ausgeübten konstanten Kraft F beschleungen wr es glechförg auf de Geschwndgket v. De an de Fahrzeug verrchtete Arbet beträgt W F s. Unter Verwendung von F a und v v + as ergbt sch W Fs as v v s s

28 oder W v v v Wr defneren de Größe als knetsche Energe der Translatonsbewegung E kn des Körpers: Ekn v Bespel: En Baseball t ener Masse von 45 g wrd t ener Geschwndgket von v 5 /s geworfen a) We groß st sene knetsche Energe? b) We vel Arbet wurde verrchtet, u dese Geschwndgket aus der Ruhelage zu errechen?

29 a) De knetsche Energe beträgt E kn v 45 ( 0,45kg)( 5 s) J a) Da de knetsche Anfangsenerge Null war, st de verrchtete Arbet glech der knetschen Endenerge: 45 J

30 Bespel: Pendel De potentelle Energe der Kugel st höchsten Ausschlagspunkt E pot gh Bewegt sch das Pendel abwärts, dann erfordert das de Arbet (Beschleungung der Masse ): W v E kn Des st de Bewegungsenerge des beschleungten Pendels. Ergebns: De verlorene potentelle Energe verwandelt sch n knetsche Energe

31 Be Nulldurchgang st E 0, pot E kn ax Vernachlässgen wr äußere Enflüsse, dann verwandelt sch stets de kn. Energe vollkoen n pot. Energe und ugekehrt. In ene solchen Syste (abgeschlossenes Syste) geht also kene Energe verloren und es glt: E pot + Ekn const. Energeerhaltungssatz

32 Schwerpunkt (Massenttelpunkt) Wr betrachten zwe Massenpunkte, von denen der Mttelpunkt (Massenttelpunkt) bestt werden soll: Gesucht st der Ortsvektor X S ( ) des Mttelpunktes. Wr sehen aus der Abbldung: de Abstände von X S zu, verhalten sch ugekehrt zu den Massen: r r r r ( r r ) ( r r ) r r > r r S r

33 > Allgeen: Für de Koponenten ( kart. Koordnatensyste) glt: r r r r + + / ( ) r r r + + r r r + + r r s x X S y Y S z Z

34 Legt an den Koordnatenursprung n den Massenttelpunkt oder Schwerpunkt, dann glt: X 0, Y 0, Z 0 x 0 0 y z 0 Zusaengefasst ergbt sch de Defnton des Schwerpunktes: r 0 Für kontnuerlch vertelte Massen erhalten wr: r d 0

35 Bespel : Dre Personen t etwa glechen Massen stzen auf ene lechten Bananenfloß entlang der x-achse an den Orten x,0, x 5,0 und x 3 6,0. Ertteln Se den Ort des Massenttelpunktes. Wr betrachten de Personen als Massenpunkte (bzw. hren Schwerpunkt). Dann erhalten wr ( + x + x ) x + x + x 3 3 x 3,0 + 5,0 + 6,0,0 X s 4,

36 Bespel : Dre Massenpunkte, jeder t ener Masse von,5 kg, befnden sch an den Eckpunkten enes rechtwnklgen Dreecks, dessen Seten,0 und,5 lang snd. Berechnen Se den Massenttelpunkt (X s, Y s ). Wr legen den Nullpunkt des Koordnatensystes n den Ort der Masse. Dann erhalten wr de Koordnaten: : x y 0, : x,0 und y 0, 3 : x 3,0 und y 3,5.,5kg 0 +,5kg,0 +,5kg,0 X s, 33 3,5kg,5kg 0 +,5kg 0 +,5kg,5 Y s 0, 5 3,5kg

37 Kräftepaar, Drehoent Durch Anhängen enes Gewchtes an ene drehbare Schebe erzeugt an ene Drehkraft bzw. en Drehoent. Das Drehen der Schebe kann verhndert werden durch ene glech große Drehkraft n andere Drehsnn. De Angrffspunkte der Kräfte snd n hrer Wrkungslne verschebbar, ohne dass sch an de Bewegungszustand etwas ändert Aus de Experent entnehen wr: De Drehkraft nt t wachsende Abstand vo Drehpunkt zu.

38 Es se a F M Nach der Verschebung der Kraft F st r der Abstand vo Punkt S zu Angrffspunkt der Kraft. snα a r M > r F a r snα sn( r, F) Des seht aus we der Betrag des Vektorproduktes der Vektoren und F Das Drehoent M st daher vollständg und allgeen beschreben durch: r M r F

39 Der Vektor des Drehoentes zegt stets n de Rchtung, n der sch ene rechtsgängge Schraube bewegt, wenn an se Snne des wrksaen Drehoentes dreht. Wrken ehrere Drehoente auf ene Achse, dann können de Drehoente vektorell zu ene Gesatdrehoent addert werden: M ν M ν Von besonderer Bedeutung st das so genannte Kräftepaar: Man bezechnet en Kräftesyste aus zwe parallelen, glech großen, aber entgegengesetzt gerchteten Kräften, deren Angrffslnen ncht auf derselben Geraden legen, als Kräftepaar.

40 Von auf 0 ausgeübtes Drehoent: da von F auf 0 ausgeübtes Drehoent. Das resulterende Drehoent st glech der Sue aller Enzeldrehoente: Da > F sn F a F r F r M α sn r a α sn F a F r F r M α F a F a M M M + + F F ( ) F l F a a M +

41 > M l F Das Drehoent enes Kräftepaares st glech de Vektorprodukt aus der Kraft und der Dfferenz der Ortsvektoren der Angrffspunkte.

42 Bespel: Zwe dünne, zylnderförge Räder t den Raden R 30 c und R 50 c snd auf ener Achse anenander befestgt, de durch den Mttelpunkt jedes Rades verläuft. Berechnen Se das Gesatdrehoent (resulterendes Drehoent), das auf das Zwe-Räder-Syste wrkt und auf de beden dargestellten Kräfte, de jewels enen Betrag von 50 N haben, zurückzuführen st. F F F F M R F De Kraft bewrkt ene Drehung des Systes gegen den Urzegersnn, ene Drehung Urzegersnn. De Drehrchtung von R se postv. übt das Drehoent aus, da der Hebelar st. F R erzeugt en negatves Drehoent, wrkt aber ncht senkrecht zu so dass wr de senkrechte Koponente benutzen üssen.

43 M R F R F snθ F θ st der Wnkel zwschen und ener radalen Lne von der o Drehachse aus ( θ 60 ). Wr erhalten für das resulterende Drehoent: M R F R F sn 60 o 50N 0,3 50N 0,5 0,866 6, 7N Das Rad bewegt sch Uhrzegersnn

44 F Defnton des Schwerpunktes: Bestung des Schwerpunktes r 0 Annahe: de Massen des starren Körpers verändern sch ncht. > F Auf wrkt de Erdanzehungskraft (Schwerkraft): Für den Schwerpunkt glt also: F r 0 st aber das Drehoent, das de schwere Masse erzeugt t Wrkung auf de Schwerpunktsachse. Wr üssen daher das Produkt schreben:. r F r Für den Schwerpunkt uss also gelten: F r M S, S, 0 F g

45 Der Schwerpunkt st derjenge Punkt, be de de Sue aller von den Massen ( Schwerefeld der Erde) ausgeübten Drehoente Null st Experentelles Auffnden des Schwerpunktes: Man unterstützt den Körper n ene belebgen Punkt (Drehpunkt) > der Körper dreht sch und kot zur Ruhe, wenn de Wrkungslne der angrefenden Kraft durch den Schwerpunkt geht. Der Schwerpunkt st festgelegt durch den Schnttpunkt zweer Wrkungslnen.

46 Mt den o. a. Defntonen können wr ene allgeene Bedngung für das Glechgewcht angeben: M und F 0 0 Der Körper st dann n Ruhe

47 Träghetsoent Analog zu zweten Newtonschen Axo für de Translatonsbewegung ( a F ) können wr für de Drehbewegung schreben: α M wobe α de Wnkelbeschleungung enes roterenden Körpers st und M das auf enen Körper ausgeübte Gesatdrehoent. Wr betrachten enen Massenpunkt t der Masse, der a Ende ener asselosen Schnur auf ener Kresbahn t de Radus R rotert. Auf den Massenpunkt wrke de Kraft F.

48 Das Drehoent, das de Wnkelbeschleungung bewrkt, st M R F Mt de zween Newtonschen Axo für lneare Größen F a, und de Ausdruck für de tangentale Beschleungung des Massenpunktes, R α, erhalten wr: a tan Multplzeren wr bede Seten t R, erhalten wr de drekte Bezehung zwschen der Wnkelbeschleungung und de ausgeübten Drehoent M: De Größe nennt an das Träghetsoent des Massenpunktes R M F a R R α α

49 Wr betrachten nun enen roterenden starren Körper (z.b. en Rad), der sch u ene durch den Schwerpunkt gehende Achse dreht. Für jeden Massenpunkt des Körpers glt: M R α De Sue über alle Massenpunkte ergbt: M ( R ) α Das resulterende Drehoent stellt de Sue aller nneren und aller äußeren Drehoente dar M M nt + M ext Nach de drtten Newtonschen Axo st aber de Sue aller nneren Drehoente glech Null. M stellt also das resulterende äußere Drehoent dar.

50 J R R + R +... nennt an das Träghetsoent des Körpers. Wr können also schreben: M J α Dese Bewegungsglechung für Drehbewegungen, de für de Drehung enes starren Körpers u ene feste Achse glt, st das Analogon zu zweten Newtonschen Axo der Translatonsbewegung. De Glechung glt auch, wenn der Körper ene translatorsche Beschleungung erfährt, solange de Drehachse durch den Massen ttelpunkt ncht hre Rchtung ändert.

51 De knetsche Energe enes translatorsch bewegten starren Körpers st E kn Mv ν da Wr betrachten nun de Rotaton enes starren Körpers u ene Achse: Jedes Masseneleent ν dreht sch t der Geschwndgket v ω r de vo Abstand r des Masseneleents vo Drehpunkt (Drehachse) abhängt: E kn, rot Daraus defneren wr: ν ν vν ν v ω ν ν rν M ν ω const, ganzen Körper J ν ν r ν Träghetsoent

52 E kn, rot E rot J ω Für schreben wr dann: M L Denson von J:, Enhet z.b.: Analoge von translatorscher Bewegung und Drehbewegung: kg Geschwndgket Wnkelgeschwndgket Masse Träghetsoent An de Stelle des Ipulses trtt der Drehpuls: L J ω Für enen Körper t kontnuerlcher Massenvertelung berechnet an das Träghetsoent aus J r d

53 Berechnung von Träghetsoenten Bespel : Zwe Gewchte t den Massen 5,0 kg und 7,0 kg werden 4,0 vonenander entfernt an ener (asselosen) Stange angebracht. We groß st das Träghetsoent des Systes, wenn de Drehachse we n a) oder we n b) angeordnet st? a) Bede Gewchte haben den glechen Abstand von der Drehachse (,0 ). Sot glt: J M R ( 5,0kg)(,0) + (7,0kg)(,0) 0kg + 8kg 48kg

54 b) Nun beträgt der Abstand der 5,0 kg-masse zur Drehachse 0,5 und der der 7,0 kg-masse 4,50. Dann erhalten wr: J M R ( 5,0kg)(0,50) + (7,0kg)(4,5),3kg + 4kg 43kg Wr sehen, dass der n der Nähe der Drehachse befndlche Körper t der Masse von 5,0 kg wenger als % zu Gesatträghetsoent beträgt.

55 Anletung zu Berechnen von Träghetsoenten t kontnuerlcher Massenvertelung: Wr benutzen das Integral J r d. Geoetrschen Ausdruck für das Masseneleent d fnden.. Über de für den Körper geegnete Größe ntegreren. Benutzung der Dchte: statt Masseneleent Volueneleent verwenden. ρ V ρ V d ρ dv > >

56 Bespel : Träghetsoent ener Kugel. Schrtt: Berechnung des polaren Träghetsoentes ener Kresschebe. Radus R, Dcke h, Masse. J? Masseneleent: d Volueneleent dv x Dchte d πr dr h ρ dj d r π h ρ r ρ 3 dr 0 > (Integratonsgrenzen und ): r r R J R πh ρ r R R dr 0 πh ρ r 4 πh ρ 4

57 Masse der Schebe: π R h ρ Träghetsoent der Kresschebe: J S R Schrtt : Berechnung des Träghetsoentes der Kugel: Zerlegung der Kugel n Kresscheben (Radus y) dj d Masseneleent: y d (Kresschebe) πy dx ρ > dj πρ y 4 dx x y R + > y R x

58 > > Masse der Kugel: > Träghetsoent der Kugel: ( ) dx x R dj πρ R dx R ( ) R R dx x R J πρ ( ) + R R dx x x R R 4 4 πρ R R x x R x R πρ R R R πρ R πρ ρ π R M 5 R M J Kugel

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60 Träghetsoent n Bezug auf ene ncht durch den Schwerpunkt gehende Achse (Stenerscher Satz): De Drehachse se n A, der Koordnatenursprung n S. De Achse durch A se parallel zur Achse durch S. Wr betrachten en Masseneleent d. De Träghetsoente u A und S snd: J r A a r d J S s r d ( ) ( a x y a ax x r x ) a + r + ax a s s J A s r d + a d + a x d r s d J a s a d M

61 Da sch der Koordnatenursprung n S befndet, glt: x d 0 (Defnton des Schwerpunktes) Wr erhalten also allgeen für das Träghetsoent n Bezug auf de Achse A den Stenerschen Satz: J A J S + M a a Abstand der Achse durch A zur Achse durch S. M Gesatasse des Körpers

62 Bespel: Bestung des Träghetsoentes enes assven Zylnders t de Radus R o und der Masse M u ene Drehachse, de an sener Mantelfläche und parallel zu sener Syetreachse verläuft. Anwendung des Stenerschen Satzes t J M S R o R o (Träghetsoent des Zylnders u sene Schwerpunktsachse) h J J s + M h MR Das Träghetsoent u dese Achse st dre al größer als u de Schwerpunktsachse. o + MR o 3 M R o

63 Der Satz über senkrechte Achsen Für zwedensonale Körper, d.h. flache Körper t glechäßger Dcke, de Verglech zu den anderen Abessungen vernachlässgt werden kann, glt: De Sue der Träghetsoente enes flachen starren Körpers u zwe belebge senkrechte Drehachsen n der Ebene des Körpers st glech de Träghetsoent u ene Drehachse, de durch hren Schnttpunkt und senkrecht zu der Ebene des Körpers verläuft. J J + z x J y Bewes: Aus J und J x + y folgt der z x Satz über senkrechte Drehachsen ( ) y J y x

64 Bespel: Bestung des Träghetsoentes ener dünnen Münze u ene Drehachse durch hren Mttelpunkt n der Ebene der Münze (z. B. x-achse). Anwendung des Satzes über senkrechte Achsen: Gegeben st J z M R o und de Syetre (Zylnder t sehr klener Dcke) J x J y > J + J J x y x J z J x J z 4 M R o