Schriftliche Prüfung aus Signaltransformationen Teil: Dourdoumas am

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1 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 5 errechte Punkte

2 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Gegeben se folgendes System von Dfferentalglechungen: dx1 x dx x1x u mt den Anfangswerten x (0) 0 1, x (0) 0 und der Engangsgröße ut () () t Herbe st en konstanter Parameter a) Bestmmen Se durch Anwendung der LAPLACE Transformaton de Funktonen X 1( s ) und X ( s ) n Abhänggket des Parameters b) Bestmmen Se mt Hlfe des Grenzwertsatzes der LAPLACE Transformaton den Wert des Parameters so, dass lm x1 ( t) 10 glt Begründen Se, warum n desem Fall der t Grenzwertsatz angewendet werden darf! c) Ermtteln Se de zugehörgen Orgnalfunktonen x ( ) und x ( ) 1 t t Aufgabe : Gegeben se de LAPLACE Transformerte 5s Fs () s 4s 5 Ermtteln Se de zugehörge Orgnalfunkton f () t Aufgabe : Gegeben se das zetdskrete Sgnal x gemäß folgender Abbldung: x Zegen Se dass für de z-transformerte der Folge x zz ( ) X( z) glt z 1

3 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 errechte Punkte

4 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: 1 Gegeben se de Funkton f () t cos t t cos t a) Bestmmen Se n mathematsch nachvollzehbarer Wese de zugehörge LAPLACE- Transformerte Fs () b) De Funkton gt () wrd durch Ableten der Funkton f () t nach der Zet t gebldet: df gt () Bestmmen Se n mathematsch nachvollzehbarer Wese de zugehörge LAPLACE- Transformerte Gs () Aufgabe : Bestmmen Se für de gegebenen Funktonen F () s (mt 1,, ) m Bldberech jewels de Grenzwerte lm f ( t) und lm f ( t) mt 1,, t t0 Geben Se jewels ene mathematsche Begründung an, warum der Endwertsatz angewendet werden darf! 5s s s7 I F1 () s ( s 6s8)( s s) II III s 1 () F s s 7s 4s s7 F () s ( s s)( s5) Aufgabe : Gegeben se de Dfferenzenglechung (rekursve Relaton) x 1 x u 0, 1,, mt x 8 0 und u ( entsprcht herbe dem zetdskreten Enhetsmpuls) Ermtteln Se den Wert x 10 durch Anwendung der z Transformaton

5 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 4 errechte Punkte

6 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Gegeben se ene zetdskrete Funkton f (mt 0,1,, ) und deren z-transformerte F( z ) En verrückter Professor behauptet, dass er de z-transformerte der Funkton z g f ganz enfach anhand Gz ( ) F berechnen kann Bewesen Se, dass der Professor doch ncht so verrückt st und sene Aussage stmmt! Aufgabe : Gegeben se de zetdskrete Funkton mt den konstanten reellen Parametern und T f ) cos T (mt 0,1,, a) Bestmmen Se de z-transformerte F( z ) als Funkton der Parameter und T b) Zegen Se, dass für T de z-transformerte F( z ) folgende Gestalt bestzt: 4 z(z z1) F( z) ( z1)( z 1) c) Bestmmen Se de z-transformerte Gz ( ) der zetdskreten Funkton g cos 4 Herbe se en konstanter reeller Parameter d) Bestmmen Se für 05 Transformaton den Grenzwert lm g mt Hlfe des Grenzwertsatzes der z- Aufgabe : Gegeben se folgendes System von Dfferentalglechungen dx1 x dx x1 u mt den Anfangswerten x 1(0) 0 und x (0) 0 sowe der Engangsgröße ut () () t Mt () t symbolseren wr herbe den Enhetssprung a) Bestmmen Se durch Anwendung der LAPLACE Transformaton de Funktonen X 1( s ) und X ( s ) b) Ermtteln Se de Orgnalfunktonen x 1( t ) und x () t c) Stellen Se de Verläufe x ( ) und x () t graphsch dar 1 t

7 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 5 errechte Punkte

8 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Bestmmen Se mt Hlfe der LAPLACE - Transformaton das Integral gt () HINWEIS: L sn ( t) ss t ( t ) gt (): sn ( ) e d 0 8 ( 16) Aufgabe : Gegeben se folgendes System von Dfferentalglechungen dx1 x u dx x1x u mt den Anfangswerten x (0) 0 und x (0) 0 und der Engangsgrößeu 1 a) Ermtteln Se de LAPLACE Transformerten X () s und X () 1 s n Abhänggket der LAPLACE Transformerten der Engangsgröße U() s b) Bestmmen Se de Engangsgröße ut (), wenn x () 1 t folgende Gestalt bestzt: 1 t x1 () t snt 4 e 6 Aufgabe : Gegeben se de z Transformerte F( z ) der zetdskreten Folge f (mt 0,1,, ): F( z) z z 17z07 a) Berechnen Se mt Hlfe des Grenzwertsatzes der z-transformaton den Grenzwert lm f Geben Se ene mathematsche Begründung an, warum der Grenzwertsatz angewendet werden darf! b) Bestmmen Se de zetdskrete Folge f

9 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 4 errechte Punkte

10 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Gegeben se folgendes System von Dfferentalglechungen: dx1 x dx 6x15x u mt den Anfangswerten x (0) 0, x (0) 0 und der Engangsgröße t 1 ut () e Herbe st en konstanter Parameter a) Bestmmen Se de LAPLACE Transformerten X 1( s ) und X ( s) n Abhänggket des Parameters b) Bestmmen Se mt Hlfe des Grenzwertsatzes der LAPLACE Transformaton den Wert des Parameters so, dass lm x1 ( t) 100 glt Begründen Se, warum n desem Fall der t Grenzwertsatz angewendet werden darf! c) Ermtteln Se de zugehörge Lösung x ( ) t Aufgabe : Gegeben se de z Transformerte ener Folge f ( 0,1,,) F( z) Bestmmen Se n nachvollzehbarer Wese de Folge f z z ( 05)( 1) z Aufgabe : Gegeben se das zetdskrete Sgnal x gemäß folgender Abbldung: x Zegen Se, dass de z-transformerte der Folge x durch ( z 1) X( z) 4 z 1 gegeben wrd

11 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk 1 Schrftlche Prüfung aus Sgnaltransformatonen Tel: Dourdoumas am Name / Vorname(n): Kennzahl / Matrkel-Nummer: 1 errechbare Punkte 4 4 errechte Punkte

12 TU Graz, Insttut für Regelungs- und Automatserungstechnk Aufgabe 1: Gegeben se folgendes System von Dfferentalglechungen: dx1 x1x u dx x1x u mt den Anfangswerten x (0) 1, x (0) 0 1 und der Engangsgröße ut () e t a) Bestmmen Se de LAPLACE Transformerten X 1( s ) und X ( s) b) Bestmmen Se den Grenzwert lm x ( t) Benützen Se dafür den Grenzwertsatz der t LAPLACE Transformaton und begründen Se, warum deser angewendet werden darf! c) Ermtteln Se de zugehörge Lösung x () t 1 Aufgabe : Gegeben se de Funkton f () t sn () t Ermtteln Se auf mathematsch nachvollzehbare Wese de zugehörge LAPLACE-Transformerte Fs () Aufgabe : Gegeben se de Dfferenzenglechung (rekursve Relaton) x 1 075x u 0, 1,, mt dem Anfangswert x0 0 und der Engangsgröße u 05 cos ( entsprcht herbe dem zetdskreten Enhetssprung) a) Zegen Se, dass de z-transformerte U( z ) der Engangsgröße u folgende Gestalt bestzt: z z 05 U( z) z1 z 05 b) Bestmmen Se de z-transformerte X ( z ) der Lösung der Dfferenzenglechung x