Proseminar Spieltheorie SS 2006 Ausarbeitung zum Vortrag Allgemeine Zwei-Personenspiele am Vortragender: Florian Leiner

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1 Prosemnar Speltheore SS 2006 Ausarbetung zum Vortrag Allgemene Zwe-Personenspele am Vortragender: Floran Lener Der Vortrag basert auf dem entsprechenden Kaptel wo-person general-sum games aus dem Lehrbuch Game heory (Academc Press, 2001) von G. Owen. Enletung: Annüpfend an de vorhergen Vorträge, n denen fast ausschleßlch Nullsummenspele betrachtet wurden, sollen etzt auch allgemene Spele betrachtet werden. In desem Zusammenhang werden etzt nchtooperatve Zwepersonenspele mt allgemener Auszahlung (AZP) vorgestellt. Dabe wrd n desem Vortrag besonders auf de Fragestellungen engegangen, was man unter enem Glechgewcht enes AZP versteht, wann en Perfetes Glechgewcht, streng perfetes Glechgewcht bezehungswese en Unterspelperfetes Glechgewcht vorlegt. Bmatrxspele Um der Realtät Rechnung zu tragen werden von nun an Spele betrachtet, be denen de Auszahlungen der Speler ncht mehr nvers sen müssen. Solche Spele werden durch en Paar m n Matrzen A=(a ) und B = ( b ) oder als m n Matrx (A, B) beschreben, deren Enträge geordnete Paare (a, b ) snd, welche de Auszahlungen von Speler 1 und 2 angeben wenn Speler 1 Stratege und Speler 2 Stratege wählt. Nchtooperatves Spel bedeutet, dass eglche Art hemlcher Absprache, bzw. Setenzahlungen unter den Spelern verboten snd (z.b. durch ene Kartellbehörde). Defnton (Glechgewcht): En Paar ( x, y ) gemschter Strategen für das Bmatrxspel (A, B) st m Glechgewcht, wenn für alle gemschten Strategen x und y glt: und xay x Ay x Ay * t t x Ay * t t We be Nullsummenspelen stellt sch nun de Frage nach der Exstenz solcher Glechgewchte. Dese wrd beantwortet durch den Jedes Bmatrxspel bestzt mndestens enen Glechgewchtspunt. Bewes: Defnere : max { c A y xay,0} d : = max { xb xby,0} und x ' y ' =, x + c = 1 + c, y + d = 1 + d

2 De Abbldung (x, y) = (x, y ) st stetg. Außerdem st lar, dass x und y gemschte Strategen snd. Es wrd etzt gezegt, dass (x, y ) = (x, y) genau dann, wenn (x, y) en Glechgewchtspunt st. st lar: (x, y) Glechgewchtspunt glt A y = e A y xay. Also snd alle c =0. Ebenso de d (x, y ) = (x, y). : Wr führen enen Wderspruchsbewes. Also angenommen (x, y) st en Glechgewchtspunt andere Stratege für I oder II, dass entweder xay > xay oder xay > xay. O. b. d. a. xay > xay. xay st en gewchtetes Mttel von A y so dass A y > xay. Also gbt es auch wengsten en c >0. Und da alle c nchtnegatv snd st auch de Summe c >0. Außerdem st Für deses glt nun xay en gewchtetes Mttel der x ' x = < x 1 c + A y x > 0 so dass A y xay. Und damt x x. Im zweten Fall geht der Bewes analog, dass y y und damt (x, y ) = (x, y) genau dann wenn (x, y) en Glechgewchtspaar st. De Exstenz wengstens enes Glechgewchts folg nun aus dem Fxpuntsatz von Brouwer [Es se S ene ompate und onvexe elmenge des n-dmensonalen Euldschen Raumes und f ene stetge Funton von S n sch. Dann exstert wengstens en x aus S mt f(x)=x], da de Menge alle Strategepaare abgeschlossen, onvex und beschränt st und auch der Übergang (x, y) = (x, y ) stetg st. Der Fxpunt deser Abbldung st somt unser Glechgewchtpaar. Bemerung: - Der Bewes lässt sch auf den Fall von Glechgewchts -n- upel für endlche n-personenspelen verallgemenern - Bewes st nur Exstenzbewes und lefert ene Methode zur Bestmmung von Glechgewchtspaaren Das Auffnden solcher Paare st also mt unserem bshergen Wssen ncht möglch. Es soll her aber nur gesagt sen, dass es schon mehrere Ansätze dafür gbt. Her sollen etzt velmehr noch enge Egenschaften solcher Glechgewchte aufgezählt werden, welche man am besten m Verglech mt den beannten Glechgewchten be Nullsummenspelen verglecht. Ernnerung: In enem Zwe- Personen Nullsummenspel glt seen ( σ1, σ 2) und ( τ1, τ 2) Glechgewchtspaare. Dann glt: ) ( σ1, τ 2) und ( σ 2, τ1) snd auch Glechgewchtspaare π ( σ, σ ) = π ( τ, τ ) = π ( σ, τ ) = π ( σ, τ ) ) zwe Des bedeutet, dass man sch auf de Suche nach optmalen Strategen macht, da ene Stratege x m Glechgewcht mmer optmal st, unabhängg von der Stratege y. Be allgemenen Spelen werden wr sehen, dass dem ncht mehr so st, dass es also Glechgewchtspaare gbt, de ncht de gleche Auszahlung haben und de sogar dazu führen önnen, dass bede Parteen auf enen Gewnn verzchten müssen.

3 Bespel: Der Kampf der Geschlechter st durch folgende Bmatrx gegeben: (4,1) (0,0) (0,0) (1,4) Es önnte ene Stuaton aus dem täglchen Leben sen. En Mann und Frau wollen zusammen weggehen. Er wll ns Fußballstadon, se ns heater. Fußball brngt hm ene Zufredenhet von 4, hr ene von 1. Bem heater st es genau andersherum. Wenn se allene weggehen haben bede ene Zufredenhet von 0. Das Bmatrxspel hat dre Glechgewchtspaare. De renen Strategen x=(1,0) und y=(1,0), x =(0,1) und y =(0,1) sowe de gemschten Strategen x =(4/5,1/5) und y =(1/5,4/5). Be den renen Strategen st es offenschtlch, dass en enzelner Speler sene Stratege allene ändern ann ohne sene Auszahlung zu verschlechtern. De Auszahlungen snd aber unterschedlch (4,1) (1,4) und de Paare (x, y ) und (x, y) snd ncht enmal Glechgewchtspaare. De Stuaton st also ncht endeutg lösbar. Aber selbst wenn es nur en Glechgewchtspaar gbt, muss deses de Speler ncht unbedngt zufreden stellen. Bespel: Das Gefangenen- Dlemma st gegeben durch: (5,5) (0,10) (10, 0) (1,1) Es stellt das Problem zweer Gefangener, de gemensam ene Straftat begangen haben und nun enzeln verhört werden, dar.. Bede haben de Strategen Gestehen oder Schwegen. Je höher de Enträge n der Matrx, desto größer st für denengen Speler de Wahrschenlchet bald entlassen zu werden. Zum Bespel würde (Schwegen, Schwegen) zu dem Ergebns (1,1) führen oder (Schwegen, Gestehen) zu (10,0). Man seht lecht, dass de zwete Zele de erste domnert und genauso, dass auch de zwete Spalte de erste domnert. Daraus folgt, dass (1,1) das enzg Möglche Equlbrum st, obwohl es den für bede Speler günstgeren Punt (5,5) gbt. Perfete Glechgewchtspunte De Idee des perfeten Glechgewcht soll dazu denen Glechgewchte näher zu charaterseren. Um sch desem anzunähern benötgt man zunächst Defnton (gestörtes Spel): Se (A, B) en m n Bmatrxspel. Seen σ und τ streng postve Vetoren der Längen m bzw. n, so dass σ < 1 und τ < 1. Dann st das gestörte Spel ( A, B; σ, τ ) en beschräntes Spel mt den Auszahlungsmatrzen A und B, n dem sch de Speler darauf beschränen müssen gemschte Strategen zu verwenden, dr folgende Egenschaften haben: x σ für alle und y τ für alle

4 Bemerung: Auch n gestörten Spelen ann de Exstenz wengstens enes Glechgewchtspuntes gezegt werden. Lemma: Se (x, y) en Equlbrum des gestörten Spel( A, B; σ, τ ). In Zele gelte Dann folgt x = σ. a y < max a y Das Lemma drüct egentlch nur de edem enschtge Sache aus, dass ene Stratege, de ncht optmal st gegen ene Stratege des Gegners, so selten we möglch gewählt werden soll. Defnton (Perfetes Glechgewcht): Se (A, B) en Bmatrxspel. En Glechgewchtspaar ( x ; y ) aus gemschten Strategen zu (A, B) st en perfetes Glechgewcht falls ) es gbt ene gegen (0; 0) onvergerede Folge von Störvetoren ( σ ; τ ) und ) ene Folge von Glechgewchtspaaren ( x ; y ) der gestörten Spele ( A, B; σ, τ ), de gegen ( x ; y ) onvergert. Bemerung: De Defnton fordert ledglch, dass es ene (ncht alle)folge(n) von Glechgewchtspaaren onvergert. Schon daran seht man das Perfethet ene relatv schwache Bedngung st. Jedes Bmatrxspel bestzt wengsten en perfetes Glechgewcht be perfeten Strategen Bewes: We wssen schon, dass edes gestörte Spel enen Glechgewchtspunt bestzt. Se nun ene Folge von Vetorpaaren ( σ ; τ ) gegeben, de gegen (0; 0) onvergert. Für edes se ( x ; y ) en Glechgewchtspaar n gemschten Strategen für das gestörte Spel ( A, B; σ, τ ). Da de Menge alle gemschten Strategen ompat st muss dese Folge ene onvergerende elfolge mt Grenzwert ( x ; y ) bestzen. Wegen der Stetget muss deses ( x ; y ) auch Glechgewchtspaar des ursprünglchen ungestörten Spel (A, B)sen. Dese st unser gewünschtes Glechgewchtspaar. Bemerung: Der Satz ann auf allgemene n- upel n endlchen n- Personen- Spelen erwetert werden. Bespel: Betrachte das Spel (0;0) (0;0) (0;0) (1;1) Es gbt zwe Glechgewchtspunte n renen Strategen (x=1, y=1 =>(0,0) und x =2, y =2 =>(1,1)). Das erste schent ncht gut zu sen, da de Auszahlung für bede Speler 0 st. Formal ann aber en Speler allene senen Gewnn verbessern, wenn nur er sene Stratege wechselt. Be dem zweten Glechgewcht snd de Egenschaften lar. Und

5 tatsächlch st (1,1) en perfetes Equlbrum und (0,0) ncht. Denn se ( A, B; σ, τ ) en gestörtes Spel be dem S2 II mt Wahrschenlchet τ 2 > 0 wählt, st nach dem vorhergen Lemma lar, dass I für S1 ene optmale Stratege sen ann. Es folgt also, dass x=( σ 1, 1-σ 1 ) und y=( τ 1,1-τ 1 ). Mt der Konvergenz der Störungen gegen (0; 0) folgt de Konvergenz des Equlbrum gegen x=(0,1) und y=(0,1), also gegen de Auszahlung 1 für eden Speler. Was her noch logsch erschet, da (1, 1) für bede Spele optmal st stmmt schon m nächsten Bespel ncht mehr. Bespel: Im Spel (10;10) (0;10) (10;0) (1;1) gelten de glechen Argumente we m vorhergen. Das heßt das perfete Glechgewcht st (1, 1) und ncht de bessere Auszahlung (10; 10). Des legt daran, dass sowohl Zele 1, als auch Spalte 1 domnert snd und letet damt dret zum nächsten Satz über. Se (x; y) en Glechgewchtspaar. Dann glt: (x; y) perfet (x; y) ncht domnert (d.h. weder x noch y st domnert) Ernnerung: Domnerte Stratege: x st von x domnert, wenn x mndestes so gut st we x gegen ede belebge Spalte von A und echt besser n wengstens ener. Genauso für Speler II mt Zelen. Bemerung: - Der Satz st ohne Bewes angegeben. - Der Satz glt ncht für Spele mt 3 oder mehr Spelern. - Der Nutzen des Satzes blebt gerng, da es zwar enfach zu sehen st ob ene rene Stratege domnert st, sch de Sache be gemschten Strategen aber vel schwerge gestaltet. Anstatt sch also mt onvergerenden Folgen von gestörten Glechgewchten zu befassen führt man ene stärere Bedngung en. Defnton (streng perfetes Glechgewcht): En Glechgewchtspaar (x, y) st streng perfet, falls für ede Folge von echt postven Störvetoren ( σ, τ ) de gegen (0, 0) onvergert ene Folge von Glechgewchtspaaren der dazugehörgen Spele ( A, B; σ, τ ) exstert, de gegen (x, y) onvergert. Bemerung: Es st lar, dass edes streng perfete Glechgewcht auch en perfetes Glechgewcht st. Allerdngs st müssen streng perfete Glechgewchte ncht exsteren, we das folgende Bespel zegt. Bespel: (1,1) (1,0) (0,0) ( A, B) = (1,1) (0,0) (1,0)

6 De erste Spalte domnert de anderen beden. Das bedeutet, dass nur de Enträge der ersten Spalte perfete Equlbra sen önnen. Gegen dese snd aber sowohl Zele I als auch Zele II optmal. Wählt nun Speler II m gestörten Spel ene gemschte Stratege y=(1-τ 2 -τ 3, τ 2, τ 3 ), de gegen (1,0,0) onvergert st de Optmaltät ener Stratege von I davon abhängg, ob τ 3 > τ 2 oder umgeehrt. Für τ 3 > τ 2 wrd I de Stratege ( σ 1, 1-σ 1 ) wählen, wenn τ 2 > τ 3 de Stratege (1-σ 2, σ 2 ). Das heßt, dass es sowohl Folgen von Störvetoren gbt, für de de Folge der Glechgewchte gegen A(1,1) onvergert, als auch solche de gegen A(2,1) onvergeren. Damt önnen bede ene streng perfetes Glechgewcht sen. Also bestzt das Spel en streng perfetes Glechgewcht. Nun noch zu enem letzten yp von Glechgewchten, der sch spezell auf Spele n extensver Form bezeht, dem Unterspel- perfeten- Glechgewcht. Bespel: Betrachte das Spel n extensver Form, das mt enem Zug von I n Punt X anfängt, dessen zweten Zug II n Y tätgt und schleßlch von I n Z beendet wrd. De Klenbuchstaben a bs f geben ewels de alternatven Strategen der Speler an. De Auszahlungen stehen an den Endpunten. Begnnen wr von hnten. Falls das Spel den Knoten Z errecht, st es für I lar, dass er e wählt, wel des hm ene Auszahlung von 3 brngt und er andernfalls nur 1 erhält. Da II de Möglcheten alle ennt wrd er n Y c wählen. Für I würde des bedeuten, dass er ene Auszahlung von 2 beommen würde, also wählt er n X a. Wr erhalten also de Strategen x=(a, e) für I und y=(c ) für II. Dese blden en Glechgewchtspaar, wel a offenschtlch ener der Speler sch allene verbessern ann. Betrachtet man nun das Paar (x; y) = ((a, f); (c ) ) so seht man, dass unter der Annahme, dass II de rene Stratege c wählt, de Auszahlung für I mt deser Stratege ncht schlechter st, obwohl e mmer besser wäre als f, falls das Spel nach Z gelangt. Kene schlechtere Auszahlung als m Glechgewcht bedeutet aber, dass auch (x; y) = ((a, f);( c )) en Glechgewcht st. Es entsteht nun de Frage, we man nun dese verschedenen Strategen beurtelen soll und ob es dafür en formales Krterum gbt. Des führt zur Defnton der Unterspel- perfeten Glechgewchte.

7 Defnton (Unterspel- perfetes Glechgewcht): Se Γ en Spel n extensver Form. En Paar (rener) Strategen ( σ, τ ) heßt Unterspelperfetes Glechgewcht, falls de zugehörgen Enschränungen von σ undτ auf en belebges elspel Γ X en Glechgewchtspaar snd (unabhängg vom elnotenpunt X). De Frage, de sch nun sofort stellt, st de nach der Exstenz solcher Equlbra. Jedes endlche Spel mt vollständger Informaton bestzt wengstens en Unterspelperfetes Glechgewcht. Der Bewes deses Satzes folgt sofort aus dem Bewes von heorem I.4.5 m angegebenen Buch, da deser auch unter der zusätzlchen Annahme der Unterspelperfethet gültg st, und ann dort nachgelesen werden. Der folgende Satz st nur der Vollständget halber aufgenommen und wurde m Vortrag ncht besprochen. Jedes endlche Zwepersonen Spel mt perfect recall bestzt wengstens ene Unterspelperfetes Glechgewcht von Verhaltensstrategen. Bemerung: Der Satz dent dazu, de Idee des Unterspel- perfeten Glechgewcht auf Spel mt unvollständger Informaton zu verallgemenern, da de Speler dort auf gemschte Strategen angewesen snd. Zuletzt soll noch der Zusammenhang zwschen perfeten Glechgewchten (für Spele n Normalform) und Unterspel- perfeten Glechgewchten (für Spele n extensver Form) besprochen werden. Dabe stellt sch heraus, dass bede n enerle logschen Zusammenhang stehen. En Unterspel- perfetes Glechgewcht brauch ncht perfet und en perfetes braucht ncht Unterspel- perfet zu sen. En ( m n ) Spel n Normalform lässt sch mmer auch als unzerlegbare Spel n extensver Form darstellen, be dem Speler 1 zunächst unter m Alternatven wählen ann und dann Speler 2 unter n Alternatven wählt. Das edes so gefundene Glechgewcht auch Unterspelperfet st lar. Aber natürlch müssen ncht alle dese Glechgewchte perfet sen. Umgeehrt lässt es sch an enem Bespel zegen. Bespel: (a, c) (a,d) (b, c) (b,d) e f (0,1) (0,1) (1,0) (1,0) (3,1) (2,5) (3,1) (2,5)

8 Das Spel zerfällt an den beden Knoten B und C. Be B sollte Speler I d, be C sollte Speler II f und be A Speler I b wählen. Also st ((b, d), f) das enzge Unterspelperfete Glechgewcht deses Speles. In der Normalform st ((b, d), f) we man zegen ann en perfetes Glechgewcht, aber ebenso das vom Ergebns dentsche Strategepaar ((b, c),f), welches aber ncht Unterspelperfet st. Das Problem st, dass be der Umwandlung n Normalform zu vel Informaton verloren gegangen st.