Kapitel 4: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik

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1 Kaptel 4: Wahrschenlchetsrechnung und Kombnator 1 4. Wahrschenlchetsrechnung De Wahrschenlchetsrechung stellt Modelle beret zur Beschrebung und Interpretaton solcher zufällger Erschenungen, de statstsche Gesetzmäßgeten zegen. Ene wchtge Trebfeder für de Wahrschenlchetsrechnung war das Glücspel. Zahlreche Mathemater verdenten sch hr Geld als Berater für Glücsspele.

2 4.1. Zufallsexperment und Eregnsse Begrffe: a) Zufallsexperment: En Zufallsexperment muss es folgende Egenschaften aufwesen: Alle möglchen Ergebnsse des Experments snd vorab beannt. Das Ergebns enes enzelnen Experments ann ncht vorhergesagt werden (Zufällget). Das Experment ann unter dentschen Bedngungen belebg oft wederholt werden. b) Ergebnsmenge (Eregnsmenge, Eregnsraum, Menge der Grundergebnsse) De Menge aller möglchen (enfachen) Ergebnsse des Zufallsexperments wrd Ergebnsmenge (Eregnsmenge, Eregnsraum) genannt. Se wrd mt Ω bezechnet. Be jeder Durchführung trtt genau ener der zu Ω gehörenden Ausgänge en Zufallsexperment und Eregnsse c) Eregns En Eregns A st ene Telmenge von der Ergebnsmenge Ω, also A Ω. Wr sagen: Das Eregns A st engetreten, wenn das Ergebns des Zufallsexperments en Element von A st. ω A Ω ω A Ω A st engetreten A st ncht engetreten d) Elementareregns enelementge Telmenge von Ω, ncht weter zerlegbar, besteht nur aus enem enzgen Versuchsergebns. 4

3 4.1. Zufallsexperment und Eregnsse e) Scheres Eregns De Menge Ω stellt das Eregns dar, das n jedem Fall entrtt und wrd das schere Eregns genannt. f) Unmöglches Eregns Trtt ne en, de leere Menge { } bzw. Ω beschrebt das unmöglche Eregns. g) Realserung enes Zufallsexperments/Versuchsausgang: Das Ergebns der tatsächlchen Durchführung enes Zufallsexperments. Beachten Se: Versuchsausgang bzw. Ergebns enes Zufallsexperments st ncht das Gleche we Eregns! Mt jedem Versuchsausgang treten gewsse Eregnsse en und andere ncht Eregnsalgebra Be der Eregnsalgebra werden Eregnsse mtenander vernüpft, um andere Eregnsse zu erhalten. Seen A und B Eregnsse mt A, B Ω. a) Das Eregns A und B entsprcht A B b) Das Eregns A oder B entsprcht A B c) Das Gegeneregns von A, st das Eregns, das entrtt, wenn A ncht entrtt. Es wrd mt Ā = Ω\A bezechnet. d) De Eregnsse A und B heßen unverenbar, wenn A B= { }. e) De Eregnsse A und B heßen verenbar, wenn A B { }. f) De Implaton Eregns A folgt aus Eregns B bedeutet B trtt en A trtt en bzw. B Α. Tpp: Benutzen Se a) c), um Text n Formeln umzuwandeln. 6

4 4.3. Laplace-Experment En Laplace-Experment st en Zufallsexperment mt den folgenden Egenschaften: - Das Zufallsexperment hat nur endlch vele möglche Elementarergebnsse - Jedes deser Elementarergebnsse st glech wahrschenlch Deshalb glt: 1. Be enem Laplace-Experment mt n möglchen Elementareregnssen, bestzt jedes deser Elementareregnsse de Wahrschenlchet 1/n.. De Wahrschenlchet P(A) enes belebgen Eregnsses A Ω berechnet sch als P ( A) = n, wobe de Anzahl der Elementareregnsse n A st, n de Anzahl der Elementareregnsse n Ω st. Alternatve Darstellung: Mt A bzw. Ω bezechnen wr de Anzahl der Elemente von A bzw. Ω P( A) = Anzahl der Anzahl aller für A günstgenfälle = möglchen Fälle A Ω Laplace-Experment Bespele: - Farer Würfel: P({})=1/6 für = 1,,6 - Würfeln mt zwe verschedenen Würfeln: A 1 = Augensumme 4, A = gleche Augenzahl A 1 = 3, A = 6, Ω = 36 P(A 1 ) = 3/36 = 1/1 P(A ) = 6/36 = 1/6 - Münzwurf: P({Kopf}) = P({Zahl}) = 1/ Gegenbespele: Kene Laplace-Expermente snd - Werfen ener Reßzwece mt den Elementareregnssen legt auf der Sptze und legt auf der Kappe - Würfeln mt zwe Würfeln, wobe nur de Augensumme betrachtet wrd: Ω = {,3,4,, 1} aber P({6}) = P({1,5}, {,4}, {3,3}, {4,}, {5,1}) = 5/36 1/11 Um be enem Laplace-Experment de Wahrschenlchet enes Eregnsses rchtg zu berechnen, muss man de Anzahl der möglchen und günstgen Elementareregnsse abzählen das st ene ombnatorsche Fragestellung Kombnator (Lehre des Abzählens). 8

5 4.4. Kombnator ( Kunst des Abzählens ) Grundproblemat: Auswählen ener Telmenge aus ener Grundmenge ( Zehen ) Anordnen der Elemente ener Menge Bezechnungen: n-menge: Menge von n Elementen (alle verscheden) -Stchprobe: Telmenge von Elementen ener Grundmenge geordnet: Rehenfolge st wchtg (Varatonen) ungeordnet: Rehenfolge st unwchtg (Kombnatonen) mt Zurüclegen gezogenes Element wrd vor der nächsten Zehung zurücgelegt ohne Zurüclegen gez. Element wrd ncht zurücgelegt Kombnator ( Kunst des Abzählens ) a) Fundamentales Zählprnzp Produtregel: Aus r Mengen M 1,..., M r mt n 1,, n r Elementen lassen sch N = n 1 n n r verschedene r-tupel (x 1, x,,x r ) blden mt x M oder Hat man ene Folge von Entschedungen zu treffen, be denen es für de. Entschedung n Möglcheten gbt ( = 1,, r), dann st de Gesamtzahl aller möglchen Entschedungs-Folgen gegeben durch N = n 1 n n r Für de ver Grundprobleme der Kombnator glt: b) Geordnete -Stchproben mt Zurüclegen (Varatonen mt Wederholung) Ener n-menge ann man N = n geordnete -Stchproben mt Zurüclegen entnehmen. 10

6 4.4. Kombnator ( Kunst des Abzählens ) c) Geordnete -Stchproben ohne Zurüclegen (Varatonen ohne Wederholung) Ener n-menge ann man ( n) geordnete -Stchproben ohne Zurüclegen entnehmen. Sonderfall für = n: Permutaton Ene n-menge ann auf (n) n = n (n 1) 1 = n! Arten angeordnet werden. Bemerung: Faultät n! = n ( n 1) K ( n + 1) = ( n )! (n! = n-faultät ) n! = 1 3 n (les: n Faultät) und 0! = 1 (Defnton) Berechnung von n! mt Taschenrechner bs 69!. d. R. mndestens möglch für größere n näherungswese mt 1 n lg( n!) lg(π n) + n lg e (Formel von Strlng); lg = Logarthmus zur Bass 10 TR: log-taste Kombnator ( Kunst des Abzählens ) d) Ungeordnete -Stchproben ohne Zurüclegen (Kombnatonen ohne Wederholung) Ener n-menge ann man n n ( n 1) K ( n + 1) n! = = ( n) 1 K ( n )!! ungeordnete -Stchproben ohne Zurüclegen entnehmen. Sprechwese: Bnomaloeffzent: n über n e) Ungeordnete -Stchproben mt Zurüclegen (Kombnatonen mt Wdh.) Ener n-menge ann man n + 1 ( n + 1)! = ( n 1)!! ungeordnete -Stchproben mt Zurüclegen entnehmen. 1

7 4.4. Kombnator ( Kunst des Abzählens ) Überscht: Stchprobenauswahl aus n mt Beachtung der Rehenfolge ohne Beachtung der Rehenfolge mt Zurüclegen n n + 1 mt Mehrfachbesetzung ohne Zurüclegen n! = ( n ) ( n )! n ohne Mehrfachbesetzungen mt unterschedbaren Kugeln ncht unterschedbare Kugeln Vertelen von Kugeln auf n Zellen Kombnator ( Kunst des Abzählens ) Permutatonen Permutaton = Anzahl der möglchen Anordnungen oder Vertauschungen Permutatonen ohne Wederholung: We vele Möglcheten gbt es, n verschedene Objete anzuordnen Schon gesehen: n! (n Faultät) Permutatonen mt Wederholung Von n Objeten gbt es nur verschedene, d.h. von Objet 1 gbt es n 1 (gleche) Exemplare, von Objet n (gleche) Exemplare,, von Objet gbt es n gleche Exemplare. Auf we vele Arten ann man de n = n n Objete anordnen? Anzahl der möglchen Anordnungen: n! n n!! K n 1 Durch de n! Möglcheten der Anordnung n jeder Klasse muss man dvderen.! 14

8 4.5. Egenschaften von Wahrschenlcheten Be zufällgen Eregnssen ann man ene exate Voraussagen treffen. Es stellt sch n der Mathemat jedoch der Wunsch en, zumndest en Maß für de Scherhet (oder Unscherhet) anzugeben, de mt ener Aussage verbunden st. En solches Maß st de Wahrschenlchet. De Wahrschenlchetsrechnung ordnet jedem Eregns enes Zufallsexperments ene Wahrschenlchet für sen Entreten zu. Dem Eregns A zugeschrebene Wahrschenlchet wrd mt P(A) bezechnet. (P von engl. probablty). De Wahrschenlchet für das Entreten enes Eregnsses A st mmer ene reelle Zahl, für de glt. 0 P(A) 1 Zwe Extremfälle ennzechnen Scherhet: - Ist P(A) = 1, so trtt A mt Scherhet en. - Ist P(A) = 0, so trtt A mt Scherhet ncht en. De Werte dazwschen drücen Grade an Scherhet aus. Je größer de Wahrschenlchet P(A), umso eher st anzunehmen, dass das Eregns A entrtt. Was aber bedeutet das genau? We snd de Grade an Scherhet, de durch Wahrschenlcheten ausgedrüct werden, defnert? Egenschaften von Wahrschenlcheten Wahrschenlchet und relatve Häufget Aus Erfahrung: de mesten Zufallsexpermente wesen ene gewsse statstsche Regelmäßget auf, d.h. wederholt man en Zufallsexperment oft, so schenen sch de relatven Häufgeten enes Eregnsses mt zunehmender Versuchsanzahl um enen bestmmten Wert enzupendeln. Z.B. Werfen enes geznten Würfels n Anzahl der Würfe Versuchsrehe 1 Absolute Häufget von " Relatve Häufget von "6" 0, 0,3 0,6 0,48 Versuchsrehe Absolute Häufget von "6" Relatve Häufget von "6" 0,4 0,38 0,31 0,5 Auf lange Scht schent das Würfeln ener 6 mt ener relatven Häufget von ¼ aufzutreten. In der Praxs: Wahrschenlchet enes Eregnsses relatve Häufget deses Eregnsses n ener großen Anzahl von Versuchen (Näherungswert) 16

9 4.5. Egenschaften von Wahrschenlcheten Wahrschenlchet und relatve Häufget Für verschedene Versuchsrehen st de relatve Häufget.d.R. verscheden (s. Bespel). Für sehr große n ergbt sch jedes Mal ungefähr de gleche relatve Häufget. Grenzwert: geht n gegen, so sollte de relatve Häufget enen fxen, nur vom Zufallsexperment und dem betrachteten Eregns A abhänggen Wert annehmen. Desen Wert nennen wr de Wahrschenlchet des Eregnsses. Damt önnen wr ene Defnton der Wahrschenlchet formuleren: De Wahrschenlchet enes Eregnsses st de für ene gegen unendlch strebende Anzahl n von Durchführungen des betreffenden Zufallsexperments vorausgesagte relatve Häufget senes Entretens. f n h = n P( A) für n n Das Maß für de Scherhet, mt dem geznten Würfel ene 6 zu würfeln, önnte man so formuleren (Wahrschenlchet, ene 6 zu würfeln beträgt be dem geznten Würfel ¼): "Unter ener sehr großen Zahl n von Würfel-Versuchen wrd ungefähr n/4 mal de Augenzahl 6 auftreten" Egenschaften von Wahrschenlcheten Rechnen mt Wahrschenlcheten Um mt Wahrschenlcheten rechnen zu önnen, müssen erst en paar grundsätzlche Egenschaften festgelegt werden. Dese Egenschaften wurden 1933 vom russschen Mathemater Andrey Kolmogorov aufgestellt und werden auch als Axome bezechnet. Aus desen Axomen (Punt a) bs c)) önnen de restlchen Egenschaften hergeletet werden. a) De Wahrschenlchet enes Eregnsses A Ω legt mmer zwschen 0 und 1: 0 P(A) 1 b) Das schere Eregns bestzt de Wahrschenlchet 1: P(Ω) = 1 c) Snd de beden Eregnsse A und B unverenbar, so adderen sch de Wahrschenlcheten: P(A B) = P(A) + P(B), wenn A B= { }. 18

10 4.5. Egenschaften von Wahrschenlcheten Rechnen mt Wahrschenlcheten d) Das unmöglche Eregns bestzt de Wahrschenlchet 0: P({ }) = 0 e) De Wahrschenlchet des Gegeneregnsses Ā von A st P(Ā) = 1 P(A) f) Für belebge (also ncht notwendgerwese unverenbare) Eregnsse A und B glt: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (Addtonssatz) g) De Wahrschenlchet st monoton d.h. P(A) P(B), für A B. h) Wahrschenlchet, dass zwe Eregnsse glechzetg entreten berechnet sch als P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B), (Multplatonssatz) dabe st P(B A) de Wahrschenlchet des Eregnsses B unter der Bedngung, dass A engetreten st und P(A B) de Wahrschenlchet des Eregnsses A unter der Bedngung, dass B engetreten st. ) Wenn sch zwe Eregnsse ncht beenflussen, sprcht man von unabhänggen Eregnssen, dann glt P(B A) = P(B) und damt: P(A B) = P(A) P(B) Egenschaften von Wahrschenlcheten Rechnen mt Wahrschenlcheten Wann dürfen Se de Wahrschenlcheten von zwe Eregnssen enfach adderen? multplzeren? Bespel: En zufällg gewählter PC bestze mt Ws-et 0,5 ene Festplatte mt mnd. 80GB, mt Ws-et 0,4 enen Flachbldschrm und mt Ws-et 0,5 bede Egenschaften. P(PC hat mndestens ene der Egenschaften) =? P(PC hat Festplatte mt mnd. 80GB aber enen Flachbldschrm) =? 0

11 4.6. Zufallsvarablen Defntonen und Bespele real (Daten) Mermal Mermalsausprägung relatve Häufget abstrat (Modell) Zufallsvarable Realserung der Zufallsvarablen Wahrschenlchet Defnton: Ene Zufallsvarable st ene Funton auf Ω (Eregnsraum), de jedem Elementareregns ω Ω ene reelle Zahl zuordnet X : Ω R ω a X ( ω) R so dass de Wahrschenlchet angegeben werden ann, mt der ene Ausprägung auftrtt (bzw. so dass P(X t) angegeben werden ann). a) Ene Zufallsvarable heßt dsret, wenn se nur enzelnen Punte (endlch vele oder unendlche vele) auf dem Zahlenstrahl annehmen ann. b) Ene Zufallsvarable heßt stetg, wenn se jeden belebgen Wert n enem Intervall annehmen ann Zufallsvarablen Bespele für Zufallsvarablen: - Augensumme zweer Würfel (dsret) X: Ω R, (,j) +j - Anzahl der Ensen n ener Folge von 0 und 1 (dsret) Ω = Menge der (0,1)-Folgen der Länge n X: Ω R, ω = # Ensen - Anzahl der Würfe ener Münze, bs zum ersten Mal Kopf oben legt (dsret), Ω = {K, ZK, ZZK, ZZZK, } X: Ω R, ω = # Würfe - Anzahl defeter Artel n ener Stchprobe (dsret), - Gewnn be enem Glücsspel (dsret), - Verbrauch ener Öltanfüllung nnerhalb enes Jahres n Prozent (stetg) X: Ω R, ω x [0,1] - Länge (Masse, Volumen, Temperatur etc.) enes Gegenstandes be ener mt zufällgen Enflüssen und Fehlern behafteten Messung (stetg)

12 4.6. Zufallsvarablen 4.6. Dsrete Zufallsvarablen a) Wahrschenlchetsvertelung oder Dchtefunton De Menge aller Ausprägungen X = x mt zugehörgen Wahrschenlcheten P(X = x ) heßt Wahrschenlchetsvertelung oder (dsrete) Dchtefunton Dchte = Lste aller Wahrschenlcheten P(X = x ) - De Wahrschenlcheten p = P(X = x ) heßen auch Gewchte der Vertelung von X. - Darstellung der Gewchte/Wts.vertelung: Stab- oder Säulendagramm b) Vertelungsfunton De Funton heßt Vertelungsfunton von X. [ 0,1], x a F( x) = P( X ) F : R x - De Funton F(t) beschrebt de Wahrschenlchet, dass de Zufallsvarable X lener als der fxe Wert t st. - Darstellung der Vertelungsfunton: (Funtons-)Graph Zufallsvarablen 4.6. Dsrete Zufallsvarablen c) Zusammenhang Wahrschenlchetsvertelung Vertelungsfunton De (umulatve) Vertelungsfunton F(x) = P(X x) wrd durch de Gewchte p endeutg bestmmt: x x : x x Dchte und Vertelungsfunton lassen sch nenander überführen. Es glt: F( x) = P( X p x) = = 1, 0 p 1 ( X = x ) = lm F(x) = 0 für x, lm F(x) = 1 für x +, F(x) st monoton wachsend. De Wahrschenlchetsvertelung st sozusagen de theoretsche Vertelung enes Eregnsses. Wenn man etwa das Zufallsexperment Würfelwurf betrachtet, so bestmmt de Wahrschenlchetsvertelung, mt welchen Wahrschenlcheten de enzelnen Ausprägungen auftreten. P p 4

13 4.6. Zufallsvarablen 4.6. Dsrete Zufallsvarablen Bespel: Augensumme bem Werfen zweer Würfel X((1,1)) = ; X((1,)) = 3; X((,1)) = 3; X((,3)) = 5; X((,)) = 4; Wahrschenlchetsvertelung als Tabelle: P(X=) 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 Wahrschenlchetsvertelung als Säulendagramm: 0,18 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Zufallsvarablen 4.6. Dsrete Zufallsvarablen Bespel: Augensumme bem Werfen zweer Würfel (Forts.) Vertelungsfunton als Tabelle: P(X ) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 1/36 6/36 30/36 33/36 35/36 36/36 Vertelungsfunton als Graph: Treppenfunton 1, 1 0,8 0,6 0,4 0,

14 4.6. Zufallsvarablen 4.6. Dsrete Zufallsvarablen Bespel: Würfeln mt enem Würfel X = Augenzahl enes faren Würfels Wahrschenlchetsvertelung und (umulatve) Vertelungsfunton: P(X = ) P(X ) Bespel: Würfeln mt enem Würfel und ener Münze n enem Becher Augenzahl des Würfels falls Münze = Kopf X = Augenzahldes Würfels falls Münze = Zahl Wahrschenlchetsvertelung und (umulatve) Vertelungsfunton: P(X = ) P(X ) Zufallsvarablen Kennzahlen dsreter Wahrschenlchetsvertelungen a) Erwartungswert Gewchtetes Mttel der möglchen Realsatonen, daher heßen de P(X = x ) auch Gewchte der Vertelung. b) Varanz µ = E σ = Var Taschenrechnerformel: σ c) Standardabwechung σ = ( X ) = x P( X ) = x [ ] = ( x µ ) P( X ) ( X ) = E ( X µ ) = x = x P( X = x ) µ = E[ ( X )] µ σ = Var( X ) 8

15 4.6. Zufallsvarablen Kennzahlen dsreter Wahrschenlchetsvertelungen Bemerungen zu Erwartungswert µ und arthmetsches Mttel : - Im Allgemenen glt:. - Pro Zufallsexperment st µ ene Konstante, während vom Zufall abhängt, nämlch von der jewelgen Messrehe x 1, x, x 3, x n, den Realserungen der Zufallsvarablen X. - Falls n groß st, glt das Gesetz der großen Zahlen, das besagt, dass. x µ x - Der Wert wrd später (sehe Kaptel 5) zur Schätzung von µ benutzt. Bemerungen zu Varanz σ und emprsche Varanz s : - Im Allgemenen glt: σ s. - Pro Zufallsexperment st σ ene Konstante, während s vom Zufall abhängt, nämlch von der jewelgen Messrehe x 1, x, x 3, x n, den Realserungen der Zufallsvarablen X. - Falls n groß st, glt das Gesetz der großen Zahlen, das besagt, dass σ s. - Der Wert s wrd später (sehe Kaptel 5) zur Schätzung von σ benutzt. x x µ x Spezelle dsrete Zufallsvarablen In desem Kaptel werden de folgenden dsreten Vertelungen behandelt - Hypergeometrsche Vertelung - Bnomalvertelung - Posson-Vertelung Zufallsvarablen werden durch hre Vertelung vollständg charatersert. Be dsreten Zufallsvarablen entsprcht de Vertelung der Angabe der Wahrschenlcheten für de Elementareregnsse (Dchte). Statt der Dchte ann man auch de Vertelungsfunton angeben. Dchte und Vertelungsfunton lassen sch nenander überführen. Aus der Vertelung lassen sch de Wahrschenlcheten für alle Eregnsse berechnen. Außerdem lassen sch alle anderen Kennzahlen ableten: - Erwartungswert - Varanz - Standardabwechung 30

16 4.7. Spezelle dsrete Zufallsvarablen Hypergeometrsche Vertelung Gegeben: - Grundgesamthet aus N Elementen, - M Elemente der Grundgesamthet haben ene spezfsche Egenschaft, - entnommen wrd ene Stchprobe (ohne Zurüclegen) vom Umfang n De Zufallsvarable X beschrebe de Anzahl der Elemente mt der spezfschen Egenschaft n der Stchprobe. Dann beträgt de Wahrschenlchet, genau x Elemente mt der spezfschen Egenschaft n der Stchprobe vorzufnden: P ( X = x) = M x N M n x N Man sagt X st hypergeometrsch vertelt mt den Parametern n, N, M und schrebt Achtung: n machen Büchern st de Rehenfolge der Parameter anders. n X ~ H ( n; N; M ) Spezelle dsrete Zufallsvarablen Hypergeometrsche Vertelung Erwartungswert und Varanz für X ~ H ( n; N; M ) : µ = E M N ( X ) = n = n p, M wobe p = = Antel der Objete mt N spezfscher Egenschaft n Grundgesamthet M M N n σ Var( X ) n = = 1 N N N 1 N n = n p q, mt q = 1 p N 1 3

17 4.7. Spezelle dsrete Zufallsvarablen 4.7. Bnomalvertelung Gegeben: - En Zufallsexperment wrd n-mal durchgeführt. - Be jeder der Durchführungen ann en Eregns A mt der Wahrschenlchet P(A) = p auftreten. Das Gegeneregns Ā trtt mt ener Wahrschenlchet von P(Ā) = 1 p auf. De Zufallsvarable X beschrebe de Anzahl der Durchführungen von Zufallsexpermenten, be denen A entrtt. Dann beträgt de Wahrschenlchet, dass das Eregns A genau -mal be den n Durchführungen des Zufallsexpermentes entrtt: P n n ( X = ) = p ( 1 p) = 0,1,..., n Man sagt X st bnomalvertelt mt den Parametern n, p und schrebt X ~ B(n; p) Erwartungswert und Varanz für X ~ B(n; p): µ = E(X) = n p, σ = Var(X) = n p q mt q = 1 - p Spezelle dsrete Zufallsvarablen 4.7. Bnomalvertelung Typsche Anwendungsstuatonen snd: a) n unabhängge Wederholungen enes Zufallsexpermentes (z.b. Aufgabe 75: n-malges Werfen enes Würfels mt X = Anzahl der Ensen) b) n-malges Zehen mt Zurüclegen aus ener endlchen Grundgesamthet (z.b. Aufgabe 70: n-malges Zehen von schwarzen Kugeln mt X = Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln) c) n-malges Zehen ohne Zurüclegen aus ener unendlchen Grundgesamthet (z.b. Aufgabe 7: laufende Produton oder Massenproduton mt X = Anzahl der defeten Tele n der Stchprobe) d) Als Näherung bem n-malgen Zehen ohne Zurüclegen aus ener endlchen aber sehr großen Grundgesamthet be lenem Stchprobenumfang. (z.b. Aufgabe 78: Leferung sehr veler Enheten mt X = Anzahl der fehlerhaften Enheten n Stchprobe vom Umfang 60) Her wrd de Bnomalvertelung also als Näherung der hypergeometrschen Vertelung benutzt. Faustregel: Näherung erlaubt, wenn n der Lteratur!) n N 0,05 (verscheden Faustregeln 34

18 4.7. Spezelle dsrete Zufallsvarablen Possonvertelung (Sméon Dens Posson ) Gegeben: - Betrachtungsenhet we z.b. Länge, Zet oder Fläche - Ene mttlere Anzahl λ (lambda) von Vorommnssen pro Betrachtungsenhet De Zufallsvarable X beschrebt de Anzahl der Vorommnsse pro Betrachtungsenhet. Dann beträgt de Wahrschenlchet, dass genau Vorommnsse pro Betrachtungsenhet auftreten: P λ! λ ( X = ) = e Man sagt X st Possonvertelt mt dem Parameter λ und schrebt X ~ Po(λ) Spezelle dsrete Zufallsvarablen Posson-Vertelung Erwartungswert und Varanz für X ~ Po(λ): µ = E(X) = λ σ = Var(X) = λ Typsche Anwendungsstuatonen snd: a) Beschrebung der Anzahl von Vorommnssen (Unfälle, Fehler, Anrufe, ) pro Betrachtungsenhet (Längen-, Zet-, Flächenenhet, ) (z.b. Aufgabe 83) b) Als Näherung für de Bnomalvertelung. (z.b. Aufgabe 81) Faustregel: Näherung erlaubt, wenn n 30 und p 0,1. (verscheden Faustregeln n der Lteratur!) 36

19 4.8. Egenschaften von Erwartungswert & Varanz a) Lneare Transformaton: Für ene belebge Zufallsvarable X und Konstanten a,b R glt mmer E ( ax + b) = ae( X ) + b ( ax + b) = a Var( X ) Var b) Summe von Zufallsvarablen: Für zwe belebge Zufallsvarablen X und Y glt mmer E ( X + Y ) = E( X ) + E( Y ) Für zwe unabhängge Zufallsvarablen X und Y glt Var ( X + Y ) = Var( X ) + Var( Y ) Zwe dsrete Zufallsvarablen X und Y snd unabhängg, wenn P X = x Y = y = P X = x P Y = y Zwe belebge Zufallsvarablen X und Y snd unabhängg, wenn P X x Y y = P X x P Y y c) Standardserung von Zufallsvarablen: Wenn E(X) = µ und Var(X) = σ, dann st (( ) ( )) ( ) ( ) µ Z = X ene Zufallsvarable mt E( Z) = 0 und Var( Z) = 1. σ (( ) ( )) ( ) ( ) Stetge Zufallsvarablen Das Konzept der dsreten Zufallsgrößen P( X = x ) = p > 0, Σp = 1 (Gewchte) passt n velen Stuatonen ncht: - Zet bs zum Entreten enes Eregnsses (Ausfall enes Geräts, Antwort enes Servers) - Messungen auf ontnuerlcher Sala (Größe, Gewcht, Wderstand, Spannung, ) Bespel: P(Körpertemperatur übermorgen um 7:00 Uhr st 36,45781 C ) =? Es gbt ene Gewchte! Modellvorstellungen mt Wahrschenlcheten oder gar ombnatorschen Berechnungen von Laplace-Wtn. snd her ncht möglch! Neue Vorstellung: De Gewchte werden verschmert, aus den {p } entsteht ene postve Funton f, de Wahrschenlchets-Dchte. 38

20 4.9. Stetge Zufallsvarablen De Wahrschenlchets-Dchte ann man sch vorstellen als dealsertes Hstogramm sehr vele Beobachtungen vele Klassen Stetge Zufallsvarablen Defnton: Ene Zufallsvarable X st ene stetge Zufallsvarable, wenn se jeden belebgen Wert n enem Intervall annehmen ann, das st genau dann der Fall, wenn ene Funton f 0 exstert, mt f heßt Dchtefunton von X und de Vertelungsfunton F(x) = P(X x) st ene stetge Funton. x F ( x) = P( X x) = f ( u) du 40

21 4.9. Stetge Zufallsvarablen Folgerungen: F(x) = P(X x) entsprcht dem Flächennhalt unter dem Graphen von f m Intervall von bs x bzw. der Fläche unter der Dchte lns von x : f ( u) du = 1 P(X=x) = 0 für alle x R P(X x) = P(X < x) und P(X x) = P(X > x) jedes darf für stetge ZV durch < ersetzt werden. F (x) = f(x) x F ( x) = P( X x) = f ( u) du P( a X b) = f ( x) dx = F( b) F( a) P( X b a b) = F( b), F( a X ) = 1 F( a) Ws-eten werden durch Integraton der Wts-Dchte berechnet! Stetge Zufallsvarablen Berechnung von Kennzahlen und Wahrschenlcheten ener dsreten und stetgen Zufallsvarable X m Verglech: Ausdruc Symbol X dsret X stetg Wert der Vertelungsfunton an der Stelle x Wahrschenlchet dafür, dass de Zufallsvarable X enen Wert zw. a und b annmmt F X Erwartungswert = E( X ) Varanz σ = Var( X ) ( x) = P( X x) P ( x X = ) f ( u )du P x ( a X b) ( X = ) b = a P f ( u)du µ x P ( X = x ) f ( u )du u ( x µ ) P( X = x ) = ( u µ ) f ( u) x P( X = x ) µ u f b a du = ( u) du µ 4

22 4.9. Stetge Zufallsvarablen Bespele für stetge Zufallsvarablen a) Glechvertelung Ene Zufallsvarable mt der Dchtefunton f ( x) 1, = b a 0, für heßt glechvertelt auf dem Intervall [a,b]. Schrebwese: X ~ U(a,b) a x b sonst Erwartungswert und Varanz snd n desem Fall gegeben durch a + b ( b a) µ = und σ = Stetge Zufallsvarablen Bespele für stetge Zufallsvarablen b) Exponentalvertelung Ene Zufallsvarable mt der Dchtefunton f ( x) λx λe, für x > 0 = 0, sonst oder mt der Vertelungsfunton F ( x) λx 1 e, für x > 0 = 0, sonst heßt exponentalvertelt mt Parameter λ. Schrebwese: X ~ Exp(λ) Für Erwartungswert und Varanz glt: 1 1 µ = und σ = λ λ 44

23 4.9. Stetge Zufallsvarablen Bespele für stetge Zufallsvarablen c) Normalvertelung Ene Zufallsvarable X heßt normalvertelt mt Erwartungswert µ und Varanz σ, wenn für hre Dchtefunton glt: f ( x) = ( x µ ) 1 σ e πσ Schrebwese: X ~ N(µ,σ ) - Erwartungswert µ und Varanz σ snd gegeben oder werden aus Daten über das arthmetsche Mttel und de emprsche Varanz geschätzt - De zugehörge Wahrschenlchetsvertelung heßt Normalvertelung oder Gauß-Vertelung. - Der Graph der Dchtefunton wrd Gauß sche Glocenurve genannt Stetge Zufallsvarablen Bespele für stetge Zufallsvarablen c) Normalvertelung De Gauß schen Glocenurve bestzt de folgenden Egenschaften: - se st symmetrsch zu x 0 =µ, - de enzge Maxmumsstelle exstert be x 0 =µ, - se bestzt zwe Wendepunte an den Stellen x 1 =µ + σ und x =µ σ, - Flächennhalt unter der Gauß schen Glocenurve st glech 1 (d.h. ene schmale Glocenurve st hoch, ene brete Gloceurve st nedrg). De Vertelungsfunton FX x) = P( X nur numersch berechnet werden. x 1 ( t µ ) 1 σ ( x) e = σ π dt ann Für de Praxs werden deshalb Tabellen für de Standardnormalvertelung N(0,1) verwendet. 46

24 4.9. Stetge Zufallsvarablen Vertelungsfunton Φ (z) der Standard- Normalvertelung N(0; 1) z ,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,510 0,5160 0,5199 0,539 0,579 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,617 0,655 0,693 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,713 0,7157 0,7190 0,74 0,6 0,757 0,791 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,764 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,81 0,838 0,864 0,889 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441 1,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,955 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,958 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,965 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,976 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767,0 0,977 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,981 0,9817,1 0,981 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916,4 0,9918 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,9931 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,995,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,996 0,9963 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981,9 0,9981 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Ablesebespel: Φ ( 0,9) = 0, 81 Werte für negatves z mt der Formel Φ ( z) = 1 Φ( z), z. B. Φ ( 1,55) = 1 0,9394 = 0, Stetge Zufallsvarablen Bespele für stetge Zufallsvarablen d) Standardnormalvertelung Ene Zufallsvarable Z heßt standardnormalvertelt, wenn Z~N(0,1). In desem Fall glt für hre Dchtefunton: f ( z) = e π De Vertelungsfunton lautet: 1 z t 1 Φ ( z) = P( Z z) = e dt z π De Standardnormalvertelung st symmetrsch, d. h. - f(z) = f(-z) und - Φ(-z) = 1 Φ(z) 48

25 4.9. Stetge Zufallsvarablen Bespele für stetge Zufallsvarablen d) Standardnormalvertelung Umrechnung Normalvertelung n Standardnormalvertelung: Ist X~N(µ,σ ). Dann st de Zufallsvarable (Standardserung s. Abschntt 4.8). Z = X µ ~ N σ ( 0,1) Für de Vertelungsfuntonen glt dann: F X x µ σ ( x) = P( X x) = Φ = P( Z z) Anwendung: dese Formel wrd für de Berechnung von Wahrschenlcheten für normalvertelte ZVen benutzt Quantle der Standardnormalvertelung & Zufallsstreubereche Quantle der Standardnormalvertelung Für ene Zufallsvarable Z~N(0;1) heßt de Zahl z p mt P(Z z p ) = Φ(z p ) = p für 0 p 1 das p-quantl der Standardnormalvertelung. Auch de p-quantle der Standardnormalvertelung snd tabellert. 50

26 4.10. Quantle der Standardnormalvertelung & Zufallsstreubereche Quantle der t-vertelung mt m Frehetsgraden und Quantle der Standard-Normalvertelung (NV) q m 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0, ,376 3,078 6,314 1,706 31,81 63, ,89 1,061 1,886,90 4,303 6,965 9,95,38 3 0,978 1,638,353 3,18 4,541 5,841 10,14 4 0,941 1,533,13,776 3,747 4,604 7, ,90 1,476,015,571 3,365 4,03 5, ,906 1,440 1,943,447 3,143 3,707 5,08 7 0,896 1,415 1,895,365,998 3,499 4, ,889 1,397 1,860,306,896 3,355 4, ,883 1,383 1,833,6,81 3,50 4, ,879 1,37 1,81,8,764 3,169 4, ,876 1,363 1,796,01,718 3,106 4,05 1 0,873 1,356 1,78,179,681 3,055 3, ,870 1,350 1,771,160,650 3,01 3, ,868 1,345 1,761,145,64,977 3, ,866 1,341 1,753,131,60,947 3, ,865 1,337 1,746,10,583,91 3, ,863 1,333 1,740,110,567,898 3, ,86 1,330 1,734,101,55,878 3, ,861 1,38 1,79,093,539,861 3, ,860 1,35 1,75,086,58,845 3,55 1 0,859 1,33 1,71,080,518,831 3,57 0,858 1,31 1,717,074,508,819 3, ,858 1,319 1,714,069,500,807 3, ,857 1,318 1,711,064,49,797 3, ,856 1,316 1,708,060,485,787 3, ,856 1,315 1,706,056,479,779 3, ,855 1,314 1,703,05,473,771 3,41 8 0,855 1,313 1,701,048,467,763 3, ,854 1,311 1,699,045,46,756 3, ,854 1,310 1,697,04,457,750 3, ,85 1,306 1,690,030,438,74 3, ,851 1,303 1,684,01,43,704 3, ,850 1,301 1,679,014,41,690 3, ,849 1,99 1,676,009,403,678 3, ,848 1,96 1,671,000,390,660 3,3 70 0,847 1,94 1,667 1,994,381,648 3, ,846 1,9 1,664 1,990,374,639 3, ,846 1,91 1,66 1,987,368,63 3, ,845 1,90 1,660 1,984,364,66 3, ,843 1,86 1,653 1,97,345,601 3, ,84 1,83 1,648 1,965,334,586 3,107 NV 0,84 1,8 1,645 1,960,36,576 3,090 Ablesebespele: ; Werte für mt den Formeln und. Bespele herfür: ; Quantle der Standardnormalvertelung & Zufallsstreubereche Zufallsstreuberech oder Prognosentervall Unter enem Zufallsstreuberech oder enem Prognosentervall ener normalvertelten Zufallsvarable X versteht man en Intervall um den Erwartungswert µ, ndem sch de Ausprägungen von X mt ener Wahrschenlchet p (z. B. p = 90%, 98%, 99%) befnden. De Ausprägungen von X befnden sch außerhalb des Zufallsstreubereches mt ener Wahrschenlchet von α =1-p. Zufallsstreubereche önnen de folgende Form annehmen: a) Zwesetger Zufallsstreuberech für X~N(µ;σ ): [ µ z 1 α σ ; µ + z α σ ] 1 b) Ensetg nach oben beschränter Zufallsstreuberech für X~N(µ;σ ): ( µ + α σ ] ; z 1 c) Ensetg nach unten beschränter Zufallsstreuberech für X~N(µ;σ ): [ z ; ) µ 1 α σ 5

27 4.11. Der Zentrale Grenzwertsatz Summen normalvertelter Zufallsvarablen (ZV) Snd X 1, X, X 3, X n unabhängge (!) und normalvertelte Zufallsvarablen mt Erwartungswerten µ 1, µ, µ 3,, µ n und Standardabwechungen σ 1, σ, σ 3,, σ n, dann glt: X 1 + X +X 3 + +X n ~ N(µ 1 +µ +µ 3 + +µ n ; σ 1 + σ + σ σ n ) Insbesondere heßt das, wenn X 1 und X unabhängg und normalvertelt snd: X 1 + X ~ N(µ 1 + µ ; σ 1 + σ ) X 1 X ~ N(µ 1 µ ; σ 1 + σ ) und wenn µ 1 = µ = µ 3 = = µ n und σ 1 = σ = σ 3 = = σ n X 1 + X +X 3 + +X n ~ N(nµ ; nσ ) (Summe normalvertelter ZV) 1/n (X 1 + X +X 3 + +X n ) ~ N(µ ; σ /n ) (Durchschntt normalvertelter ZV) Der Zentrale Grenzwertsatz Der zentrale Grenzwertsatz Snd X 1, X, X 3, X n (ncht notwendgerwese normalvertelte) Zufallsvarablen, de unabhängge Durchführungen desselben Zufallsexpermentes beschreben, mt Erwartungswerten E(X 1 )= E(X )= =E(X n ) = µ und Varanzen Var(X 1 )=Var(X )= =Var(X n )= σ, dann glt für große n: X 1 + X X n N ( nµ ; nσ ) X 1 + X X n n σ N µ ; n 54

28 4.11. Der Zentrale Grenzwertsatz Bespele des zentralen Grenzwertsatzes a) Näherung der Bnomalvertelung durch de Normalvertelung 0 0,45 0 0,5 0,4 0,35 0, 0,3 0,5 0,15 0, 0,15 0,1 0,1 0,05 0,05 0 0, ,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Der Zentrale Grenzwertsatz Bespele des zentralen Grenzwertsatzes b) Näherung ener Summe von Glechvertelungen durch de Normalvertelung 1, 1, 1 1 0,8 0,6 0,8 0,6 0,4 0,4 0, 0-3 -,6 -, -1,8-1,4-1 -0,6-0, 0, 0,6 1 1,4 1,8,,6 3 3,4 3,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-3 -,6 -, -1,8-1,4-1 -0,6-0, 0, 0,6 1 1,4 1,8,,6 3 3,4 3,8-0, 0,45 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0,1 0, ,6 -, -1,8-1,4-1 -0,6-0, 0, 0,6 1 1,4 1,8,,6 3 3,4 3, ,6 -, -1,8-1,4-1 -0,6-0, 0, 0,6 1 1,4 1,8,,6 3 3,4 3,8 56

29 4.11. Der Zentrale Grenzwertsatz Stetgetsorretur Wrd ene dsrete Zufallsvarable X, de nur ganzzahlge Werte annehmen ann, durch ene Normalvertelung approxmert, sollten Wahrschenlcheten mt den Formeln b µ + 0,5 a µ 0, 5 P( a X b) Φ Φ σ σ P( X b) b µ + 0, 5 Φ σ P( a X ) a µ 0, 5 1 Φ σ berechnet werden. Achtung: Be desen Formeln darf ncht durch < ersetzt werden. De Summanden +0,5 bzw. 0,5 nennt man Stetgetsorretur. Se snd erforderlch, wenn ene dsrete Zufallsvarable X mt ganzzahlgen Werten durch ene stetge Zufallsvarable (Normalvertelung) angenähert wrd Der Zentrale Grenzwertsatz Approxmaton verschedener Vertelungen durch de Normalvertelung Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt, dass a) B(n;p) N(µ;σ ) mt µ = n p und σ = n p q, wobe q = 1 p. Faustregel: Approxmaton st gültg für n p q 9. b) Po(λ) N(µ;σ ) mt µ = λ und σ = λ. Faustregel: Approxmaton st gültg für λ 9. c) H(n;M;N) N(µ;σ ) mt µ = n p und σ = n p q (N n)/(n 1), wobe p = M/N und q = 1 p. Faustregel: Approxmaton st gültg für n/n 0,05 und n p q 9. Mere: Alle Faustregeln bedeuten σ 3. In allen dre Fällen st de Stetgetsorretur zu beachten. 58