Reihen (Fortsetzung)

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1 Rehen Fortsetzung) Ene notwendge Bedngung für de Konvergenz ener Rehe a st, dass de Gleder a n ene Nullfolge blden,.e., lm n a n. Dese Bedngung st aber ncht hnrechend; de Folge a n ) muss für n auch schnell genug gegen Null konvergeren. Als Bespel betrachten wr de harmonsche Rehe, Dese Rehe dvergert. Betrachte de Partalsummen. ) s + ) s s > + 4 }{{} >/4/ s 3 s ) ) > }{{} s 4 s ) + 4 >4/8/ und allgemen s k ) ) k ) k ) ) > + 4 6, }{{} >8/6/ ) 6 > k k 4) + k Es glt allgemen, dass mt k. 5) s ) 3) konvergert für s > und dvergert für s, vgl. de entsprechenden Ergebnsse bezüglch der Konvergenz von x s dx. Man kann das ene aus dem anderen Ergebns herleten. Se fx) ene nchtnegatve monoton fallende Funkton. Dann macht man sch anhand ener Graphk und des bestmmten Integrals als Flächennhalt,

2 Taylorrehen: Funkton fx) bestze Abletungen jeder Ordnung. fx) f ) a) x a) + R n+ x). 8)! Unter bestmmten Voraussetzungen glt lm n R n+ x) und wr haben de Taylorrehe von fx) m Punkt a, Bespele: alle mt a ) fx) f ) a) x a). 9)!. De Exponentalrehe: Es st für alle x R e x x exp{x}! + x + x! + x3 3! +, ) also z.b. e! ) 6 Als wchtger Grenzwert folgt aus ), dass de Exponentalfunkton für x schneller wächst als jede Potenz von x, d.h. für jede natürlche Zahl n st lm x Das folgt aus ), denn für x > st e x. ) xn e x > xn+ n + )! 3) sehe Anhang) lecht klar, dass Für jedes n st also f) f) + n+ fx)dx f + ). 6) n+ fx)dx f). 7) De Rehe a mt den Gledern a f) konvergert also unter den obgen Annahmen für f) allgemen genau dann, wenn das Integral fx)dx konvergert. Im Bespel st fx) /x s.

3 Tabelle : Exponentalfunkton n + n n n)! und somt e x x n > x n + )! x. 4). Logarthmusrehe: Für x, ] st ln + x) ) x x x + x3 3 x ) Bespelswese st ln ) ) 4 Aus 5) folgt log + x) x für x nahe be Null, sehe de Dskusson der Glechungen 56) und 57) und Tabelle. 3. De Bnomalrehe: Dese verallgemenert den Bnomallehrsatz + x) n Es st für jedes α R und x, ) + x) α ) α x + αx + ) n x, n N. 7) ) α x + ) α x 3 +, 8) 3 3

4 mt ) α ) α αα ) α + ), N, 9)!. ) Z.B. erhält man für α weder de geometrsche Rehe, ) x x) x) ) ) ) ) ) x! ) )! ) x! 3) x, < x <. 4) Ferner st z.b. x) ) x ) 3) ) x)! 5) + )x, < x <, 6) und allgemen wegen ) n n) n ) n + )! n + )n + ) n + )n ) )! n + ) x) n Bespel : Für < x < st n + 7) 8) 9) ) x, < x <. 3) + x + x) / +.5x.5x +.65x x 4 + 3) 4

5 Fnanzmathematk Buch Kaptel ) Betrachte Kaptal K), das mt der nomnalen jährlchen Znsrate r verznst wrd z.b. Znssatz 9%, r p.9). De tatsächlche Znsperode kann aber von enem Jahr verscheden sen, wenn etwa der Zns halb oder verteljährlch gutgeschreben wrd. De Znsperode st de Zet, de zwschen zwe Znszahlungen vergeht. Be n Znsperoden pro Jahr wrd das Kaptal am Ende jeder Perode mt r/n verznst. r/n perodsche Rate Znssatz pro Perode. Z.B. jährlche Rate r, n 4 Peroden verteljährlche Znszahlung). Nach enem Jahr bzw. t Jahren st das Kaptal angewachsen auf K) und allgemen mt n Peroden K) + r ) 4 K) bzw. K4) + r 4t K), 3) 4 4) + r ) n K) bzw. Kt) + r nt K). 33) n n) De effektve jährlche Znsrate R st de jährlche enperodge Znsrate, de zum selben Endkaptal führt we de nomnale jährlche Rate mt n Peroden. R ergbt sch aus + r ) n + R R + r n. 34) n n) Stetge Verznsung Be gegebener nomnaler Znsrate r wächst der effektve Zns mt der Zahl der Znsperoden n, da de Folge a n + r n) n 35) streng monoton wachsend st we wr für r berets gesehen haben). Um das zu sehen, betrachten wr für r > de Funkton fx) + r x) x, x >. 36) Das Ergebns glt auch für negatve Znsraten; allerdngs muss der Defntonsberech der Funkton dann zusätzlch und n Abhänggket von r) engeschränkt werden, d.h. x > max{, r}. 5

6 Glt f x) > für alle x >, dann wächst auch de Folge a n n 35) streng monoton. Da der Logarthmus ene streng monotone Transformton st, genügt es zu zegen, dass gx) : ln fx) streng monoton wächst, g x) ln + r ) x [ gx) log + r ) x ] x log + r ). 37) x x + x + r/x r x ln + r ) x r/x + r/x. 38) Um zu zegen, dass 38) für alle x m Werteberech postv st, betrachten wr de Funkton φu) ln + u) + u, u [, ). 39) + u Wegen g x) φr/x) folgt aus φu) > für alle u > auch de Postvtät von g x) für alle x >. Es st φ) ln und φ wächst streng monoton auf [, ], denn φ u) + u > für u >. 4) + u) Das Wachstum der Folge 35) st aber beschränkt, und es st lm a n lm + r ) n e r n n n [ lm + r nt n n) lm n + r n) n ] t e rt. Be stetger Verznsung mt konstanter nomnaler Wachstumsrate Znsrate) r wächst das Kaptal nach t Jahren auf an. st Kt) e rt K) 4) Das Ergebns 4) kann man auch we folgt erhalten. Be enperodger Verznsung Be zweperodger Verznsung st Kt + ) Kt) Kt) r. 4) K t + ) Kt) Kt) r K ) t + Kt) /)Kt) r, 43) 6

7 und allgemen be / t Peroden und konstanter Wachstumsrate Znsrate) r K t + t) Kt) tkt) r. 44) Der Ausdruck auf der lnken Sete von 44) st de mttlere Wachstumsrate m Zetntervall [t, t + t]. Be stetgem Wachstum t n 44)) mt konstanter Wachstumsrate r hat man de Glechung De Größe K t + t) Kt) lm t tkt) Kt) lm K t + t) Kt) t t K t) Kt) dkt) Kt) dt K t) Kt) r. 45) st de momentane Wachstumsrate der Funkton Kt). Glechung 45) kann durch Integraton beder Seten nach t gelöst werden. Wegen K t) d ln Kt) Kt) dt dt d ln Kt) dt ln Kt) + C K t) Kt) st 46) rdt rt + C. 47) Fasst man de beden Konstanten C und C n 47) zusammen, so ergbt sch also ln Kt) rt + C, 48) und somt Kt) Ae rt, 49) wobe A e C ene Konstante st, deren Wert mt Hlfe der Anfangswertbedngung ermttelt werden kann. Ist nämlch der Anfangsbestand K) bekannt, so ergbt sch aus 49) mt t K) Ae r A, 5) und somt st de Lösung von 45) mt der entsprechenden Anfangswertbedngung gegeben durch Kt) K)e rt. 5) 7

8 Be stetger Verznsung st der Zusammenhang zwschen effektver Rate R und nomnaler Rate r durch R e r, r ln + R) 5) gegeben. Für klene r st der Untersched zwschen r und R aber moderat, da R e r r! ) + r + r + r3 3! + 53) r + r + r3 3! + 54) r 55) für klene r, bzw. r ln+r) R für klene R vgl. Tabelle ). Deser Zusammenhang wrd oft n der folgenden Wese verwendet: Se Kt) der Pres enes Wertpapers. Dann st de Wachstumsrate oder Rendte) zwschen den Zetpunkten t und t gegeben durch R Kt) Kt ) Kt ) Kt) Kt), oder + R Kt ) Kt ), 56) also ln + R) ln{kt)/kt )} ln Kt) ln Kt ). Für klene R st also de prozentuale Veränderung des Preses de Wachstumsrate oder Rendte) ungefähr glech der Dfferenz der logarthmerten Werte, d.h. Kt) Kt ) Kt ) R ln Kt) ln Kt ). 57) De Approxmaton st typscherwese zemlch gut z.b. für täglche oder wöchentlche Akten und Wechselkursrendten, da dese selten größer/klener als z.b. ±% snd. Tabelle : r und R e r r R r R

9 Barwerte Annahme: Wr können zur Znsrate r Geld lehen oder verlehen. We können wr En und Auszahlungen zu verschedenen Zetpunkten mtenander verglechen, z.b. was st der heutge Wert ener Enzahlung von Euro n fünf Jahren? Antwort: Betrachtung von Barwerten. Wr snd ndfferent zwschen ener Enzahlung von Euro n fünf Jahren und ener Enzahlung von +r) 5 Denn +r) 5 Euro heute. Euro, de wr heute erhalten, können wr durch Sparen zum Znssatz r n Euro n fünf Jahren umtauschen. Ebenso können wr dese +r) 5 + r) 3 +r) 5 +r) Euro n dre Jahren umtauschen. Euro z.b. n Erhalten wr hngegen Euro n fünf Jahren, so können wr heute enen Kredt n Höhe von +r) 5 Euro aufnehmen, den wr n fünf Jahren mt der Enzahlung tlgen können. Ebenso können wr n dre Jahren enen Kredt n Höhe von +r) aufnehmen, den wr dann zwe Jahre später mt den Euro exakt tlgen können. Wr können also mt ener Enzahlung von +r) 5 Euro heute und ener Enzahlung von Euro n 5 Jahren jewels exakt dasselbe Ausgabenmuster erzeugen. Solange wr also zum Znssatz r belebg lehen und verlehen können das st natürlch ene n velen Fällen sehr restrktve Annahme), st der Barwert oder Gegenwartswert) das enzg relevante Krterum zum Verglech verschedener Zahlungsströme. Der Gegenwartswert Barwert) ener Zahlung K n t Peroden mt Dskonterungsrate r st PV Present Value) be jährlcher Verznsung, und be stetger Verznsung. PV K + r) t 58) PV Ke rt 59) Bespel: 3 Zum Zetpunkt t wrd en Nutzwald gepflanzt. Wann sollte der Baumbestand gefällt und das Holz verkauft werden? Nehmen wr an, durch Wachstum stege 3 Vgl. Chang, Fundamental Methods of Mathematcal Economcs, Kaptel. 9

10 der Wert des Holzes gemäß der Funkton V t), d.h. V t) st der Verkaufswert des Holzes zum Zetpunkt t. Der Barwert als Funkton des Abholzungszetpunktes t st dann De Bedngung erster Ordnung st PVt) V t)e rt. 6) PV t) V t)e rt re rt V t) V t) V t) r. 6) Dese Bedngung hat ene enleuchtende ökonomsche Interpretaton: Wr lassen den Wald so lange wachsen, we sen Wert schneller wächst als das Geld, das wr nach dem Verkauf des Holzes zur Bank tragen und dort zum Znssatz r anlegen. De Bedngung zweter Ordnung st PV t) e rt [V t) rv t)] r e rt [V t) rv t)] 6) e rt [V t) rv t) + r V t)] 63) { PV t) V t)/v t)r e rt V t) V t) V t) V t) + V } t) 64) V t) { e rt V t) V } t) 65) V t) e rt V t) V t)v t) V t) 66) V t) PVt) d ) V t) <. 67) dt V t) 65) zegt, dass de Bedngung zweter Ordnung z.b. dann scher erfüllt st, wenn V t) konkav st, wenn also de Zuwächse pro Zetenhet abnehmen V t) ). De Bedngung st aber schwächer als de Bedngung für Konkavtät; so recht es nach 67) aus, dass de Wachstumsrate des Wertfunkton V t) ene negatve Abletung hat. Se z.b. V t) e t PVt) e t { } e rt exp t rt. 68) Dann st V t) exp{ t} und t V t) t 3/ e t + ) t e t 69) e t ) t t, 7) 4t

11 also st de Funkton konkav für t und konvex für t. De Wachstumsrate V t)/v t) der Wertfunkton V t) st aber wegen V t)/v t) t streng monoton fallend, und daher st 67) erfüllt. Im Bespel erhalten wr für den optmalen Abholzungszetpunkt t t ). 7) r Plausblerwese wrd t klener, wenn r wächst, also sch das Geld auf der Bank besser verznst. Barwert enes Zahlungsstroms: Enzahlung a nach enem Jahr Enzahlung a nach zwe Jahren. Enzahlung a n nach n Jahren Der Barwert deses Zahlungsstroms st PV a + r + a + r) + + a n + r) a n + r). 7) Ene Annutät st ene Folge von glechen Zahlungen, de über enen gewssen Zetraum zu festen Zetpunkten fällg snd, d.h. a a a n : a. Der Barwert ener solchen Annutät mt konstanter Znsrate r st also mt der geometrschen Summenformel x + x + x + + x n xn+ 73) x durch PV a r a + r a + r) a + r [ +r +r + r ) n ) n ] n ) 74) + r 75) 76) a[ + r)n ] r + r) n. 77)

12 Der zukünftge Wert der Annutät am Ende der Perode n st demgegenüber n F a + r) n + a + r) n + + a a + r) 78) + r)n a + r) a r)n r Für den Fall ener ewgen Rente ergbt sch PV a + r) lm n + r) n PV. 79) [ ) n ] a + r) lm a a n r + r r. 8) Wenn de Auszahlungen mt ener konstanten Rate g wachsen, also a + g) a, so st, wenn g < r, PV a + r) a + r) + g + r a + g) + r) 8) ) a + r) +g +r a r g. 8) Bespel: Tlgung enes Kredts Kredtaufnahme K zu Begnn der Perode zum jährlch zu entrchtenden Zns r; Rückzahlung a am Ende jeder Perode. Dann st de Restschuld am Ende jeder Perode t durch S t + r)s t a, t, mt S K gegeben. 83) 83) st ene rekursv defnerte Folge mt S K als Anfangswert. Ene solche Glechung nennt man Dfferenzenglechung. Man kann dese Glechung durch rekursve Anwendung

13 von 83) we folgt lösen: wobe S + r)s a + r)k a 84) S + r)s a + r) K + r)a a 85) S 3 + r)s a + r) 3 K + r) a + r)a a 86). 87) t S t + r) t K a + r) 88) + r) t + r)t K a + r) 89) + r) t K + a r [ + r)t ] 9) + r) t K a ) + a 9) [ r r + r) t K a ] + r) t 9) r + r) [ t + r) t K a )] + r) t [K PV r + r) t t a)], 93) PV t a) a r ) + r) t t a + r) 94) der Barwert der bs zum Ende der Perode t gelesteten Rückzahlungen st. Wenn de Schuld am Ende der Perode n getlgt sen soll, so muss gelten, d.h. + r) n K a ) + a r r 95) a rk + r)n + r) n. 96) 3

14 Mt 9) und 96) st dann de Restschuld am Ende von Perode t [ S t + r) t K a ] + r) t r + r) [ t ] + r) t + r)n + r) t + r) n + r) [ t ] [ + r) + r) t n ] + r) t + r) n [ + r) t ] K [ + r) n ] + r) t 97) 98) 99) K[ + r)n + r) t ]. ) + r) n De Znszahlung am Ende der Perode t st und der Tlgungsantel st Z t rs t rk[ + r)n + r) t ], ) + r) n T t a rs t ) rk { + r) n [ + r) n + r) t ]} + r) n 3) rk + r)t + r) n. 4) Bespel: Euro sollen n 3 Jahren zurückgezahlt werden. r. % Znsen). Es ergeben sch de Werte n Tabelle 3. Tabelle 3: Tlgung enes Kredts Jahr t Zahlung a Znsen Z t Tlgung T t Restschuld S t Stetger Enkommensstrom Funkton ft) repräsentere den Enkommensstrom we folgt: Untertele de Zetachse von bs T n glechlange Telntervalle [t, t ] der Länge t. Es st dann t t. 4

15 Am Ende enes solchen Telntervalls erhalten wr de Zahlung ft )t t ) ft ) t. Der Barwert be nomnaler jährlcher Znsrate r und / t Znsperoden pro Jahr) st dann PV T/ t ft )t t ) ) + r / t t / t) T/ t T/ t T/ t ft ) t ) 5) + r / t ft ) t ) + r t 6) / t / t ft ) t [ ) ] / t t. 7) + r / t Mt t st und sehe Anhang) lm + r ) / t lm + r n e t / t n n) r, 8) T/ t lm t ft ) t ) ] / t t [ + r / t T ft)e rt dt. 9) Das m Zetraum bs T nsgesamt erhaltene Enkommen st F T ) T ft)dt, also st ft) F t) de momentane Änderungsrate des nsgesamt erhaltenen Enkommens zum Zetpunkt t. Bespel: a) Wächst das gezahlte Enkommen lnear,.e., ft) a, a ene Konstante, so dass F t) t adt at, so st der Barwert T ae rt dt a T b) Be unendlchem Zethorzont, r e rt a r e rt ) a r e rt e rt. ) ae rt a dt lm ) e rt a T r r. ) 5

16 c) Wenn, n Analoge zu 8), de Auszahlungen stetg mt konstanter Wachstumsrate g wachsen, so st nach 5) ft) f)e gt, und somt T ft)e rt dt f) und be unendlchem Zethorzont, für r > g, T e r g)t dt ) f)e r g)t T r g 3) f) ) e r g)t, 4) r g ft)e rt f) dt lm ) e r g)t f) T r g r g. 5) Anhang Wederholung Integral als Flächennhalt): Wr können de Fläche unter dem Graphen ener Funkton auf dem Intervall [a, b] approxmeren, ndem wr das Intervall n n Telntervalle zerlegen, de defnert snd durch de Telungspunkte a x < x < < x n < x n b. Mt belebgen Stellen ξ [x, x ],,..., n, st dann de Summe der Flächennhalte der Rechtecke fξ )x x ) fξ ) x ene Approxmaton des Flächennhalts, sehe Abbldung, wo ξ x gewählt wurde, also jewels der Endpunkt des entsprechenden Intervalls. Das heßt, de Approxmaton st S n fξ )x x ) fξ ) x. 6) De Güte der Approxmaton hängt offenbar von der Fenhet der Zerlegung ab. Erhöhen wr de Zahl der Telntervalle n, so wrd de Approxmaton besser, we Abbldung llustrert. Es glt nun unter bestmmten Annahmen über de Funkton f, dass mt n, wenn glechzetg de Länge aller Telntervalle gegen Null konvergert d.h. max { x } ), lm S n lm n n fξ ) x : 6 b a fx)dx F b) F a), 7)

17 wobe F ene Stammfunkton von f st. Betrachten wr als Bespel das Integral von fx) x über das Intervall [a, b], I b a xdx, 8) d.h. fx) x. Untertelen wr [a, b] n n glechlange Intervalle, so st x a + b a n, x x x b a n. 9) Wr wählen ferner für ξ den Endpunkt x,,..., n. Dann wrd 6) zu S n fξ ) x a + b a ) b a n n ) b a) ab a) + n ) ab a) + b a) nn + ) n ab a) + b a) da n n nn + )/ sehe Vorkurs). Also st b b a) I fx)dx lm S n lm ab a) + a n n ) b a) n + ab a) + lm n n }{{} ab a + b ab + a n + n, ) ) n + n 3) 4) 5) b a 6) F b) F a), 7) wobe de Stammfunkton F x) x / + C für ene belebge Konstante C. De Unabhänggket des Grenzwertes von der Wahl der Stützstellen ξ [x, x ] lässt sch ebenfalls anhand des Bespels llustreren. Wählen wr z.b. de untere statt de obere Intervallgrenze x statt x ), so st S n fx ) x a + b a ) b a ) n n ab a) + b a) nn ) n n b a) ab a) + ab a) + b a) n b a, und also erhält man denselben Wert für jede Wahl der Stützstellen.) 7 n

18 4.5 4 fx )*x x ) fx )*x x ), usw x_a x_ x_ x_3 x_4 x_5 x_6 x_7b Abbldung : Ene Zerlegung von [a, b], n x_a x_ x_ x_3 x_4 x_5 x_6 x_7 x_8 x_9 x_ x_ x_ x_3x_4b Abbldung : Ene fenere Zerlegung von [a, b], n 4. 8