C. Zinsrechnungen. 1 Systematisierung der Verzinsungsarten. 2 Jährliche Verzinsung. 3 Unterjährige Verzinsung. 4 Stetige Verzinsung

Transkript

1 1 Systematserung der Verznsungsarten 2 Jährlche Verznsung 3 Unterjährge Verznsung 4 Stetge Verznsung 1. Systematserung der Verznsungsarten a Jährlche Verznsung 1 Quartal 1 Jahr Unterjährge Verznsung 1 Jahr b nfache Znsen Znsesznsen d e vorschüssge Znsen Znszahlung nachschüssge Znsen g h 5 Aufgaben zur Znsrechnung Stetge Verznsung... permanent 1 Jahr... c Gespaltene Znsen ombnaton aus e und d f Znszahlung Dr. A. Brnk 1 Dr. A. Brnk nfache Znsen 2.1. Jährlche Verznsung mt enfachen Znsen Ausgangsstuaton: 2.2 Znsesznsen 2.3 Gespaltene Znsberechnung 2.4 xkurs: Wechseldskontkredt Zetraum der Verznsung: Znsvergütung/ -belastung: 1 Jahr am Jahresende (ohne Veränderung der aptalbass, d.h. unverznslches aptalkonto) Dr. A. Brnk 3 Dr. A. Brnk 4

2 2.1. Jährlche Verznsung mt enfachen Znsen 2.1. Jährlche Verznsung mt enfachen Znsen Hausaufgabe: n o (1 + n ) n o (1 + n ) Symbole: 0 (Anfangs-) aptal zu Begnn der aptalanlage Znssatz (-fuß) n ndkaptal Dre der ver Größen müssen bekannt sen. Stellen Se de Formel nach der jewels gesuchten Größe um! Dr. A. Brnk 5 Dr. A. Brnk Jährlche Verznsung mt enfachen Znsen 2. mt Znsesznsen Ausgangsstuaton: aptal von Verznsung zu 6% We hoch st der aptalstock nach 5 Jahren? ( ,06) Zetraum der Verznsung: Znsvergütung/-belastung: Znsen für das t. Jahr: 1 Jahr Jahresende mt rhöhung der aptalbass > Znsesznsen Z t t 1 Dr. A. Brnk 7 Dr. A. Brnk 8

3 2. mt Znsesznsen 2.1. Jährlche Verznsung mt enfachen Znsen Hausaufgabe: n 0 q n n 0 q n Symbole: 0 (Anfangs-) aptal zu Begnn der aptalanlage q 1 + Znssatz (-fuß) n ndkaptal Dre der ver Größen müssen bekannt sen. Stellen Se de Formel nach der jewels gesuchten Größe um! Dr. A. Brnk 9 Dr. A. Brnk mt Znsesznsen aptal von Verznsung zu 6% We hoch st der aptalstock nach 5 Jahren? (1 + 0,06) ,26 Verglech: nfache Znsen und Znsesznsen aptal n 0 (1 + ) 1 Znsesznsen nfache Znsen n o (1 + 1 ) Monate Dr. A. Brnk 11 Dr. A. Brnk 12

4 Verglech: nfache Znsen und Znsesznsen 2.3. Jährlche Verznsung mt gespaltener Znsrechnung aptal Ausgangspunkt: nfache Znsen Znsesznsen Laufzet des aptals endet ncht an enem ganzzahlgen Znsberechnungszetpunkt (z.b. nach 3,5 Jahren) Laufzet [Monate] Dr. A. Brnk 13 Dr. A. Brnk Jährlche Verznsung mt gespaltener Znsrechnung Vorgehenswese: 1. Zunächst ndkaptal für den letzten ganzzahlgen Znsverrechnungszetpunkt bestmmen (mt Znsesznsen) g 0 (1 + ) g mt g letzter ganzzahlger Znszetpunkt Dr. A. Brnk Jährlche Verznsung mt gespaltener Znsrechnung Vorgehenswese: 2. Dann ndkaptal über de Restlaufzet rl bestmmen (mt enfachen Znsen) g + Z g (1 + s ) Symbole: s Antel der Restlaufzet an der Znsperode, mt s rl/zp rl Restlaufzet (z.b. 3 Quartale) zp Znsperode (z.b. 1 Jahr 4 Quartale, be enem Jahreszns ) Dr. A. Brnk 16

5 2.3. Jährlche Verznsung mt gespaltener Znsrechnung graphsche Darstellung: aptal 2.3. Jährlche Verznsung mt gespaltener Znsrechnung aptal von Verznsung zu 10% Laufzet von 3,5 Jahren We hoch st der aptalstock nach 3,5 Jahren? ,5 4 Laufzet [Jahre] g (1 + 0,1) ,00 Z (1/2) 0, , Z , ,55 Dr. A. Brnk 17 Dr. A. Brnk xkurs: Wechseldskontkredt Wechsel unbedngte Zahlungsanwesung des Ausstellers (Gläubgers) an den Bezogenen (Schuldner), ene bestmmte Geldsumme zu zahlen 2.4. xkurs: Wechseldskontkredt Alternatven des Wechselnhabers: 1. Vorlage des Wechsels bem Bezogenen zur Zahlung am Verfalltag 2 Übergabe an enen Drtten zur Beglechung der egenen Schuld 3 sofortge Wetergabe des Wechsels an ene Bank, de den Gegenwert des Wechsels be entsprechender Dskonterung sofort auszahlt Dr. A. Brnk 19 Dr. A. Brnk 20

6 2.4. xkurs: Wechseldskontkredt Problem: Bestmmung des Barwertes des Wechsels 1. kaufmännsche Dskonterung (z.b. Banken) 2. amtlche Dskonterung (fnanzmathematsch korrekt) 0 n s 1 n 0 n ( + s ) n 1 0 ( s ) n 1 + s 2.4. xkurs: Wechseldskontkredt Wechsel n Höhe von Tage vor der Fällgket zur Dskonterung engerecht. Bank verlangt 5% des nomnellen Wechselbetrages als Dskont. We hoch st der Barwert? Dr. A. Brnk 21 Dr. A. Brnk xkurs: Wechseldskontkredt 1. be kaufmännscher Dskonterung durch de Bank , be fnanzmathematsch korrekter Vorgehenswese , ,63 Dr. A. Brnk Relatver, effektver und konformer Znsfuß 3.2 nfache Znsen 3.3 Znsesznsen 3.4 Gespaltene Znsberechnung Dr. A. Brnk 24

7 3.1. Relatver, effektver und konformer Znsfuß Ausgangsstuaton: Zetraum der Verznsung: < 1 Jahr z.b. Halbjahr, Verteljahr, Monat 3.1. Relatver, effektver und konformer Znsfuß Relatver Znsfuß: rel m nom Symbole: rel relatver (Peroden-) Znssatz nom nomneller Jahresznssatz m Anzahl der Znsperoden pro Jahr Dr. A. Brnk 25 Dr. A. Brnk Relatver, effektver und konformer Znsfuß ffektver Znsfuß: eff nom 1 + m 1 Symbol: eff effektver (Jahres-) Znsfuß m 3.1. Relatver, effektver und konformer Znsfuß enjährger redt mt enem Znssatz von 12% (nomnell) und monatlcher Verznsung We hoch st der effektve Znsfuß? eff 0, , ,68% Dr. A. Brnk 27 Dr. A. Brnk 28

8 3.1. Relatver, effektver und konformer Znsfuß onformer Znsfuß: kon m 1 + eff Relatver, effektver und konformer Znsfuß effektver Jahreszns: 12% We hoch st der konforme Znssatz? Symbol: kon konformer Znsfuß kon ,12 1 0, ,949% Dr. A. Brnk 29 Dr. A. Brnk Relatver, effektver und konformer Znsfuß Abgrenzung: 3.2. Unterjährge Verznsung mt enfachen Znsen Ausgangsstuaton: Behandlung der gezahlten Znsen Zetraum der Verznsung nfache Verznsung Znsesznsen Znsen werden zwar mehrmals pro Jahr gutgeschreben, aber ncht der aptalbass Jährlche Verznsung nom eff zugeschlagen Unterjährge Verznsung rel kon (unverznslches aptalkonto). Dr. A. Brnk 31 Dr. A. Brnk 32

9 3.2. Unterjährge Verznsung mt enfachen Znsen 3.2. Unterjährge Verznsung mt enfachen Znsen k, t [( t ) m + k] Z p Symbole: k,t aptal am nde der k-ten Znsperode des t-ten Jahres t Jahresndex k Index der Znsperode m Jahr t p Perodenznssatz ( rel bzw. kon ) Z p Perodenznsen Dr. A. Brnk 33 redt n Höhe von Laufzet von 4,5 Jahren mt nom 5% Quartalswese Verznsung mt enfachen Znsen We hoch st das ndkaptal? Dr. A. Brnk Unterjährge Verznsung mt enfachen Znsen Z p p m nom 0 p 0,05 4 0,0125 [( 5 1) 4 + 2] , % Quartal , Quartal 3. mt Znsesznsen Ausgangsstuaton: Znsen werden mehrmals pro Jahr gutgeschreben und erhöhen de aptalbass. k, t 0 q [( t 1) m+ k ] p Dr. A. Brnk 35 Dr. A. Brnk 36

10 3. mt Znsesznsen redt n Höhe von Laufzet von 4,5 Jahren mt nom 5% Quartalswese Verznsung mt Znsesznsen We hoch st das ndkaptal? Beachte: Banken ermtteln den unterjährgen Znsfuß stets durch Dvson nom m Dr. A. Brnk mt Znsesznsen ( t 1 ) m + k ( 5 1) Znsperoden q p 0, nom 1+ 1,0125 m , , ,77 Dr. A. Brnk Unterjährge Verznsung mt gespaltener Znsberechnung Ausgangsstuaton: Laufzet endet ncht an enem Znsverrechnungszetpunkt z.b. nach 3 Jahren und 2 Monaten (be quartalsweser Znsverrechnung) 3.4. Unterjährge Verznsung mt gespaltener Znsberechnung Vorgehenswese: 1. Znsen zum letzen turnusmäßg vorgesehenen Znsverrechnungszetpunkt bestmmen nach der Methode der unterjährgen Verznsung mt Znsesznsen Dr. A. Brnk 39 Dr. A. Brnk 40

11 3.4. Unterjährge Verznsung mt gespaltener Znsberechnung Vorgehenswese: 2. Znsen für de Restlaufzet ermtteln nach der Methode enfacher unterjährger Verznsung mt rel 3.4. Unterjährge Verznsung mt gespaltener Znsberechnung mt: Z g g g g g ( ) + Z und s m nom sowe s rl z p Dr. A. Brnk 41 Dr. A. Brnk Unterjährge Verznsung mt gespaltener Znsberechnung Symbole: aptal am nde der Laufzet Znssatz der Restlaufzet Z Znsen der Restlaufzet g Index des letzen Znsverrechnungszetpunktes s Antel der Restlaufzet an der Znsperode rl Restlaufzet (z.b. n Monaten) z p Znsperode (z.b. n Monaten) 4. Stetge Verznsung 4.1 Vorgehenswese 4.2 Anwendungsbespele Dr. A. Brnk 43 Dr. A. Brnk 44

12 4. Stetge Verznsung 4.1. Vorgehenswese Ausgangsstuaton: Berechnungsvorschrft für unterjährge Verznsung mt Znsesznsen. n 0 e n 4. Stetge Verznsung 4.1. Vorgehenswese redt n Höhe von Laufzet von 5 Jahren zu 5% Stetge Verznsung We hoch st das ndkaptal? 5 0, e ,25 Dr. A. Brnk 45 Dr. A. Brnk Stetge Verznsung 4.2. Anwendungsbespele Bestmmung des optmalen rsatzzetpunktes von Investtonsobjekten Bestmmung der optmalen Nutzungsdauer von Investtonsobjekten Bestmmung der ostenredukton durch Lerneffekte Demographsche, physkalsche, chemsche und bologsche Fragestellungen Dr. A. Brnk 47