Approximationsalgorithmen. Facility Location K-Median. Cheng, Wei 12. Juli

Transkript

1 Approxmatonsalgorthmen aclty Locaton K-Medan heng We 12. Jul

2 aclty Locaton

3 Defnton Gegeben: möglche Standorte = { 1 2 m } Städte = { 1 2 n } Eröffnungskosten f für Verbndungskosten c zwschen und Dreecksunglechung

4 Defnton Gesucht: Eröffne Telmenge unkton : I I von Standorten verbnde ede Stadt mt offenem Standort. Gesamtkosten mnmeren Eröffnungskosten der Standorte Verbndungskosten zwschen Stadt und Standort

5 Prmales/ Duales LP y f x c y x x y x Mnmere: Nebenbedenungen: f c 0 0 Maxmere: Prmal: Dual: Nebenbedenungen:

6 Verwandte Arbeten Hochbaum [1982] O(log n) Shmoys Tardos and Aardal [1998] 316 Jan and Vazran [2001] 3 Mahdan Ye and Zhang [2004] 152 Guha and Khuller [1998] untere Schranke 1463

7 Prmal-Dual baserter Algorthmus Phase 1 Öffnen mehrere Standorte und verbnden alle Städte mt Standorten. (Ene Stadt kann mt mehr enem Standort verbnden.) Phase 2 Schleßen unnötge Standorte und verbnden alle Städte mt nur enem Standort.

8 Algorthmus (Phase 1) Am Anfang Zet 0 Alle Stadte snd unverbunden Alle Varablen = 0

9 Algorthmus (Phase 1) Erhöhe der unverbundenen Städte um 1 Wenn c von Kante st Kante () bezahlt. => Duale Varable wrd erhöht laut c. bezahlt Eröffnungskosten f für Kanten ( ) mt heßen besonders. Wenn f st Standort bezahlt. Standort st temporär geöffnet. 0

10 Algorthmus (Phase 1) Stadt mt bezahlter Kante zu eröffnetem Standort st verbunden. Standort st Verbndungszeuge deser Städte. verbundener Städte werden ncht mehr erhöht. Sobald unverbundene Stadt bezahlte Kante zu eröffnetem Standort hat: Stadt ebenfalls verbunden. Standort st Verbndungszeuge von. Achtung: Her st 0 und Kante ( ) unbesonders.

11 Algorthmus (Phase 1) Phase 1 endet wenn alle Städte verbunden. Ene Stadt zu mehreren Standorten verbunden. Zu vele Standorte geöffnet.

12 Prmal-Dual baserter Algorthmus Phase 1 Öffnen mehrere Standorte und verbnden alle Städte mt Standorten. (Ene Stadt kann mt mehr enem Standort verbnden.) Phase 2 Schleßen unnötge Standorte und verbnden alle Städte mt nur enem Standort.

13 Algorthmus (Phase 2) temporär geöffnete Standorte durch besondere Kanten nduzerter Telgraph H von nduzerter Graph n t T 2 T 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( T w u T w v T v u T v u T v u t 2 T

14 Algorthmus (Phase 2) Wähle I als Maxmal Independent Set n H Maxmum Independent Set (NP-schwer) Maxmal Independent Set: enfacher Greedy-Algorthmus Alle Standorte n I werden geöffnet.

15 Algorthmus (Phase 2) = { 0} für ede Stadt I ndependent set => höchstens en Standort n geöffnet. all 1: En Standort st geöffnet. und Stadt st drekt verbunden. ( ) all 2: Alle Standorte n t snd ungeöffnet.

16 Algorthmus (Phase 2) all 2: Alle Standorte n snd ungeöffnet. Betrachte bezahlte Kante (') ' 0 st Verbndungszeuge von all 2.1: I ' Stadt st drekt verbunden. Achtung: Bs etzt st de Lösung Optmal. all 2.2: eröffneter Nachbar von n Graph H. ( ) I ' ( ) ' und Stadt st ndrekt verbunden.

17 Algorthmus (Phase 2) (I ) st Lösung. x 1 ( ) y 1 I

18 Analyse Defnton: ndrekt verbunden f e 0 drekt verbunden f e c f e für ( )

19 Analyse Lemma 1: : ( ) f f olgerung 2: f f I Lemma 3: ür ene ndrekt verbunden Stadt : c 3 e ( )

20 Analyse ' Verbndungszeuge von Stadt verbndet ndrekt zu => ( ') H ( ') und ( ' ' ) snd bede besondere Kanten.

21 Analyse Satz 4: Bewes: (Lemma 3) => e c 3 e x c 3 I f f y f x c 3 3

22 Zusammenfassung Implementerung mt Prorty Queue Jede Kante wrd max. 2-mal betrachtet. bezahlt verbunden Der Algorthmus berechnet n O(m log m) Zet ene 3-Approxmaton für aclty Locaton.

23 K-Medan

24 Defnton Gegeben: Eröffnungskosten f = 0 für max. K Standorte eröffnen Gesucht: Gesamtkosten mnmeren

25 Prmales/ Duales LP c x Mnmeren: Nebenbedenungen: Maxmeren: Prmal: Dual: Nebenbedenungen: y x k y x y x zk z z c

26 Verwandte Arbeten Bartal [1998] O(log n log log n) harkar [1999] 6+2/3 Jan and Vazran [2001] 6 Arya [2002] 3+2/p Laufzet O(n^p)

27 Grunddee z: Eröffnungskosten enes Standorts Suchen geegnetes z benutzen anschleßend Algorthmus für aclty Locaton. Wr suchen y k

28 Grunddee z = 0 => alle Standorte werden geöffnet. z sehr groß => nur en Standort wrd geöffnet. z 0 nc max nde z mt bnärer Suche.

29 Grunddee z 1 und z 2 z z2 cmn /(12n nden entsprcht k 1 <k und k 2 >k (x s y s s ) y k 1 (x l y l l ) y k c (xy) = a (x s y s ) + b (x l y l ) k = a k 1 + b k 2 a = (k 2 -k)/(k 2 -k 1 ) b = (k-k 1 )/(k 2 -k 1 ) )

30 Lemma 5 De Kosten von (xy) snd höchstens (3+1/n c ) mal so groß we de ener optmalen (ncht notwendg ganzzahlgen) Lösung des K-Medan Problems. Bewesskzze: k z n x c c 1 1 3

31 Randomsertes Runden

32 Randomsertes Runden Mt Wahrschenlchket a werden alle Standorte n A geöffnet. Mt b = 1-a alle Standorte n B. Außerdem k-k 1 Standorte n B-B werden zufällg geöffnet. I st Menge der geöffneten Standorte I = k.

33 Randomsertes Runden Defnere : I : für Stadt 1 A 2 B all 1: 2 B' => verbnde zu vorhandenem Standort all 2: 2 B B' 3 B' st nächster Standort von 1 Verbnde zu 1 oder 2 oder cost 3 () = ac + bc 1 2

34 Randomsertes Runden Lemma 6: erwartete Kosten von Stadt E [ c ) ( ] (1 max( a b))cost( ) E[c ] = cost()= ac + bc 2 all 1: () 1 all 2: 2 geöffnet : wahrschenlchket b ncht geöffnet und geöffnet : (1-b)a = a bede ncht öffnet: (1-b)(1-a) = ab E 2 [ c( ) ] bc a c abc 2 1 3

35 Approxmaton E c x k (1 max( a b)) c x a 11/ n c ( k und ) 1 k 1 k2 nc b 11/ k ( k1 1 und k2 k 1 ) ( 1 max( a b)) 2 1/ n c Approxmatonsgarante st ( 2 1/ n c )(31/ n ) c 6

36 Laufzet Bnäre Suche n 2 0 nc bs z z c /(12n ) max 1 2 mn c O(log( c max / c mn ) log n) Proben Gesamtlaufzet O( mlog m(log( cmax / cmn ) log n))

37 Zusammenfassung Der Algorthmus berechnet n O(m log m) Zet ene 3-Approxmaton für aclty Locaton. Unser Algorthmus berechnet n O( m logm(log( cmax / cmn) logn)) Zet ene 6-Approxmaton für K-Medan.

38 Velen Dank!