Teil XIV. Lösung linearer Gleichungssysteme. Scientific Computing in Computer Science, Technische Universität München

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1 Tel XIV Lösung lnearer Glechungssysteme IN8008, Wntersemester 010/011 89

2 Gauss Algorthmus Zwe Schrtte: Vorwärtselmnaton und Rückwärtssubsttuton Vorwärtselmnaton Erzeugen ener Stufenform Zelen dürfen mt Konstanten multplzert werden Zelen dürfen addert werden werden a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a 11 a 1 a 13 0 ã ã 3 0 ã 3 ã 33 a 11 0 a 1 ã a 13 ã ā 33 x 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 x x 3 = = = b 1 b b 3 b 1 b b 3 b 1 b b 3-1. Zele a1 a Zele a31 a Zele ã3 ã -. Zele ã3 ã IN8008, Wntersemester 010/011 90

3 Rückwärtssubsttuton LGS muss n Stufenform (obere Dreechsmatrx) vorlegen De unterste Glechung hat nur ene Varable Deren Wert kann drekt berechnet werden Zwetunterste Zele hat zwe Varablen, ene davon unbekannt... nte Zele von unten hat n Varablen, ene unbekannt x 3 = b 3 /ā 33 x = b ã 3 x 3 /ã x 1 = b 1 a 1 x a 13 x 3 /a 11 Zele n ener größeren Matrx: n x = (b a j x j )/a j=+1 IN8008, Wntersemester 010/011 91

4 Bespel x 3 = 1/ = 0.5 x 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 x x 3 = = = x = ( )/1 = x 1 = (1 3 ( 0.5) 1 0.5)/ = 1.0 IN8008, Wntersemester 010/011 9

5 Vorwärtselmnaton n python def elmnaton (a, b) n = a. shape [0] for n range (n): for j n range (+1,n): faktor = a[j,]/a[,] b[j] -= b[]* faktor for k n range (,n): a[j,k] -= a[,k]* faktor 1. Schlefe: Über alle Zelen/Dagonalelemente. Schlefe: Über alle Zelen unterhalb des Dagonalelements. Elemente unterhalb des Dagonalelements müssen Null werden 3. Schlefe: Über alle Elemente der Zele aus der. Schlefe Velfaches der Dagonalelementszele zur aktuellen Zele adderen faktor so gewählt, dass Element unterhalb des Dagonalelements zu Null wrd IN8008, Wntersemester 010/011 93

6 Rückwärtssubsttuton n python def substtuton (a, b): n = a. shape [0] x = empty (n) for n range (n -1, -1, -1): zaehler = b[ ] for j n range (+1,n): zaehler -= a[, j] * x[ j] x[ ] = zaehler / a[, ] return x 1. Schlefe: Zelen von unten nach oben durchlaufen. Schlefe: Bekannte Varablen auf de rechte Sete Zum Schluß telen durch den Koeffzenten des aktuellen x-werts Lösungsvektor x zurückgeben IN8008, Wntersemester 010/011 94

7 Lösung des vorgen Bespels >>> from lgs mport * # enthaelt bede funktonen # + numpy - mport >>> a = array ([[,3,1],[4,7,3],[,4,4]], dtype = float ) >>> b = array ([1,,], dtype = float ) >>> elmnaton (a, b); a; b array ([[., 3., 1.], [ 0., 1., 1.], [ 0., 0.,.]]) array ([ 1., 0., 1.]) >>> substtuton (a, b) array ([ 1., -0.5, 0.5]) IN8008, Wntersemester 010/011 95

8 Lösung der Wärmeletungsglechung 1D Stab mt neun Dskretserungspunkten Lnks behezt: T = 0, rechter Rand: T = 0 >>> def getwaermelgs1d (): >>> a = array ([[ -, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], >>> [ 1,-, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],... >>> [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, -]], >>> dtype = float ) >>> b = array ([ -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], >>> dtype = float ) >>> return (a,b) >>> >>> (a, b) = getwaermelgs1d () >>> loese (a,b) array ([0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0., 0.1]) IN8008, Wntersemester 010/011 96

9 Lösung der Wärmeletungsglechung D LGS aus der vorgen Vorlesung Dskretserung des Raums mt 3x3 Punkten Unten behezt: T = 1, restlcher Rand: T = 0 >>> def getwaermelgsd (): >>> a = array ([[ -4, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0], >>> [ 1,-4, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0],... >>> [ 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, -4]], >>> dtype = float ) >>> b = array ([ -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0], >>> dtype = float ) >>> return (a, b) >>> >>> (a, b) = getwaermelgsd () >>> loese (a,b) array ([0.43, 0.53, 0.43, 0.19, 0.5, 0.19, 0.07, 0.10, 0.07]) IN8008, Wntersemester 010/011 97

10 Kosten des Gauss-Algorthmus Vorwärtselmnaton n se de Anzahl an Unbekannten Dre verschachtelte Schlefen Jewels O(n) Schlefendurchläufe Insgesamt Kosten von O(n 3 ) Rückwärtssubsttuton Zwe verschachtelte Schlefen (Je O(n)) Insgesamt Kosten von O(n ) Optmerung Matrx st dünn besetzt, vele der Operatonen unnötg 1D: Matrx trdagonal Bede nneren Schlefen nur über zwe Elemente Gesamtkosten O(n) D: Matrx hat zwe wetere Bänder mt Abstand n Inneren Schlefen über je n Elemente Gesamtkosten O(n n n) = O(n ) IN8008, Wntersemester 010/011 98

11 Iteratve Verfahren Motvaton O(n 3 ) st vel zu teuer. Optmert mmer noch O(n ) (D) bzw. O(n,33 ) (3D) Kosten be 3D-Smulaton: Mehrgtter Jacob Gauss opt. Gauss N Punkte p. Dm. n = N 3 N 5 n,33 = N 7 n 3 = N e5 1e7 1e e6 1e9 5e e8 8e11 e e6 1e10 1e14 1e18 Idee: Schrttwese Verbesserung ener Näherungslösung x x (k+1) = Φ(x (k) ) Be Konvergenz gbt es enen Fxpunkt Φ(x) = x En Schrtt des Verfahrens kostet O(n) Anzahl Schrtte möglchst klen, m Ideallfall O(1) IN8008, Wntersemester 010/011 99

12 Typen von Iteratonsverfahren Relaxatonsverfahren Ausgangspunkt LGS Ax = b Zel: Fehler e (k) = x (k) x mnmeren Fehler st leder ncht messbar, da x unbekannt Resduum r (k) = b Ax (k) = Ae (k) als Rchtung des Fehlers Neues x unter Verwendung des Resduums Z.B. be Jacob: Resduum lokal mmer auf Null setzen Mnmerungsverfahren Ausgang weder LGS Ax = b, A symmetrsch, postv defnt Lösung äquvalent zur Mnmerung von f (x) := 1 x T Ax b T x + c f (x) := 1 AT x + 1 Ax b = Ax b = r(x) Mnmum von f (Nullstelle von f ) st Lösung des LGS Jeder Iteratonsschrtt läuft enen Schrtt (z.b. stelster Absteg) auf das Mnmum zu IN8008, Wntersemester 010/

13 Jacob-Verfahren (aus PDE-Scht) Ist en Relaxatonsverfahren An jedem Punkt wrd wrd de PDE lokal erfüllt Neue Werte T (k+1) aus alten Werte T (k) berechnen 1D Wärmeletung statonär: Zwete Ablegung muß Null sen T +1 T + T 1 = 0 T = 1 (T +1 + T 1 ) T T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) +1 ) x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/

14 Jacob-Verfahren (aus PDE-Scht) Ist en Relaxatonsverfahren An jedem Punkt wrd wrd de PDE lokal erfüllt Neue Werte T (k+1) aus alten Werte T (k) berechnen 1D Wärmeletung statonär: Zwete Ablegung muß Null sen T +1 T + T 1 = 0 T = 1 (T +1 + T 1 ) T T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) +1 ) x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/011 30

15 Jacob-Verfahren (aus PDE-Scht) Ist en Relaxatonsverfahren An jedem Punkt wrd wrd de PDE lokal erfüllt Neue Werte T (k+1) aus alten Werte T (k) berechnen 1D Wärmeletung statonär: Zwete Ablegung muß Null sen T +1 T + T 1 = 0 T = 1 (T +1 + T 1 ) T T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) +1 ) x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/

16 Jacob-Verfahren (aus PDE-Scht) Ist en Relaxatonsverfahren An jedem Punkt wrd wrd de PDE lokal erfüllt Neue Werte T (k+1) aus alten Werte T (k) berechnen 1D Wärmeletung statonär: Zwete Ablegung muß Null sen T +1 T + T 1 = 0 T = 1 (T +1 + T 1 ) T T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) +1 ) x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/

17 Jacob-Verfahren (aus PDE-Scht) Ist en Relaxatonsverfahren An jedem Punkt wrd wrd de PDE lokal erfüllt Neue Werte T (k+1) aus alten Werte T (k) berechnen 1D Wärmeletung statonär: Zwete Ablegung muß Null sen T +1 T + T 1 = 0 T = 1 (T +1 + T 1 ) T T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) 1 ) x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/

18 Jacob-Verfahren (aus LGS-Scht) Matrx A auftelen Umformen A x = (M + N) x = b x = N 1 (b M x) Vorge Glechung als Iteratonsvorschrft x (k+1) = N 1 (b M x (k) ) = N 1 (b (A N) x (k) ) = N 1 (b A x (k) + N x (k) ) = N 1 (b A x (k) ) + x (k) = x (k) + N 1 r (k) N lecht nverterbar: Matrx der Dagonalelemente von A x (k+1) = x (k) 1 (k) ( (1 x 1 x (k) + 1 x (k) +1 )) = 1 (k) (x 1 + x (k) D: x (k+1),j = 1 (k) 4 (x 1,j + x (k) +1,j + x (k),j 1 + x (k),j+1 ) IN8008, Wntersemester 010/ )

19 Jacob-Verfahren ohne Aufstellung der Matrx De Matrx A hat O(n ) Elemente De mesten Elemente snd Null Verschwendung von Specher Entweder Matrx effzenter spechern, oder gar ncht aufstellen. Für jeden neuen x-wert snd nur jewels ver alte (D) nötg Koeffzent st dabe jewels ens De Matrx st also überhaupt ncht nötg. Randbehandlung De Iteratonsvorschrft x (k+1),j =... geht nur für nnere Punkte Am Rand fehlen Nachbarelemente, dafür muss b berückschtgt werden Andere Möglchket: Randpunkte n x aufnehmen und nur alle bshergen x-werte aktualseren Damt zusätzlch zur Matrx A auch noch b unnötg IN8008, Wntersemester 010/

20 Implementerung Maß für den Fehler Perfekt wäre en Fehler (damt auch Resduum) glech Null Dazu st ene sehr hohe Zahl an Iteratonen nötg So hohe Genaugket st mestens ncht erforderlch So lange tereren, bs Resduum unter ener Schranke st. n res = =0 (res ) /n Includes from numpy mport * mport matplotlb. pyplot as plt from math mport sqrt class Waermesmulaton :... IN8008, Wntersemester 010/

21 Implementerung Konstruktor Vorgabe von Gebetsbrete, -höhe und Zellbrete h Vorgabe der Temperatur an den ver Rändern Erstellung enes ntalen Arrays für de Temperatur Null für nnere Zellen, am Rand de gegebenen Werte def nt (self, lengthx, lengthy, h, leftt, \ rghtt, uppert, lowert ): self. zelen = nt ( lengthy /h) self. spalten = nt ( lengthx /h) self.t = zeros (( self. zelen +, self. spalten +)) for n range (1, self. zelen +1): self. T[, 0] = leftt self. T[, self. spalten +1] = rghtt for n range (1, self. spalten +1): self.t[0, ] = lowert self.t[ self. zelen +1, ] = uppert IN8008, Wntersemester 010/

22 Iteratonsschlefe Itereren bs Resduum klener als maxres Ncht drekt auf self.t arbeten, sondern auf ener Kope def jacob ( self, maxres ): res = maxres +1. whle res > maxres : tempt = copy ( self.t) res = 0 for n range (1, self. zelen +1): for j n range (1, self. spalten +1): res += ( tempt [ -1,j] + tempt [+1,j] \ + tempt [,j -1] + tempt [,j +1] \ - 4 * tempt [,j ])** self.t[,j] = 0.5*( tempt [ -1,j] \ + tempt [+1,j] \ + tempt [,j -1] \ + tempt [,j +1]) res = sqrt ( res /( self. zelen * self. spalten )) IN8008, Wntersemester 010/

23 Ergebns plotten def plot ( self ): prnt self. T plt. pcolormesh ( self.t) plt. show () Bespel >>> from waermesm mport * >>> lgs = Waermesmulaton (50., 30., 1., 0.6, 0., 1., 0.) >>> lgs. jacob (0.01) >>> lgs. plot () IN8008, Wntersemester 010/

24 Gauss-Sedel-Verfahren We Jacob, es werden aber alle neuen Werte glech verwendet Jacob 1D: T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) 1 ) Gauss-Sedel 1D: T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k+1) 1 ) Achtung: Gauss-Sedel abhängg von Durchlaufrehenfolge LGS-Scht: N = D A + L A (Dagonale + unteres Dreeck) x (k+1) = x (k) + N 1 r (k) T x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/011 31

25 Gauss-Sedel-Verfahren We Jacob, es werden aber alle neuen Werte glech verwendet Jacob 1D: T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) 1 ) Gauss-Sedel 1D: T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k+1) 1 ) Achtung: Gauss-Sedel abhängg von Durchlaufrehenfolge LGS-Scht: N = D A + L A (Dagonale + unteres Dreeck) x (k+1) = x (k) + N 1 r (k) T x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/

26 Gauss-Sedel-Verfahren We Jacob, es werden aber alle neuen Werte glech verwendet Jacob 1D: T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k) 1 ) Gauss-Sedel 1D: T (k+1) = 1 (k) (T +1 + T (k+1) 1 ) Achtung: Gauss-Sedel abhängg von Durchlaufrehenfolge LGS-Scht: N = D A + L A (Dagonale + unteres Dreeck) x (k+1) = x (k) + N 1 r (k) T x T 0 T 1 T T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 IN8008, Wntersemester 010/

27 Implementerung Gauss-Sedel Untersched zu Jacob: drekt auf self.t arbeten Vortel: schneller und spechereffzenter def gausssedel ( self, maxres ): res = abs ( maxres )+1. whle abs ( res ) > abs ( maxres ): # tempt = copy ( self.t) res = 0 for n range (1, self. zelen +1): for j n range (1, self. spalten +1): res += ( self.t[ -1,j] + self.t[+1,j] \ + self.t[,j -1] + self.t[,j +1] \ - 4 * self.t[,j ])** self.t[,j] = 0.5*( self.t[ -1,j] \ + self.t[+1,j] \ + self.t[,j -1] \ + self.t[,j +1]) res = sqrt ( res /( self. zelen * self. spalten )) IN8008, Wntersemester 010/