5. Elektrische Netzwerke

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1 Grundlagen der Elektrotechnk GET 2 5. Elektrsche Netzwerke [Buch GET 2: Seten -7] Topologsche Grundbegrffe Krchhoffsche Regeln Netzwerkglechungen Rehen- und Parallelschaltungen von Netzwerkelementen Spannungsteler-, Stromteler-, und Brückenschaltungen Stern-Dreeck-Umwandlung Reale Spannungs- und Stromquellen Rehen- und Parallelschaltungen von realen Quellen Lestungsanpassung Topologsche Grundbegrffe I Elektrsche Netzwerkelemente () Schaltsymbol und Zugrff: Klemme u Klemme (3) Elektrsche Netzwerke: Der Zugrff auf das Netzwerkelement erfolgt von aussen über de Klemmen. Elektrsche Netzwerkelemente werden über de Klemmen zu elektrschen Netzwerken zusammengeschaltet. Entsprechend der Netzwerkelemente gbt es aktve und passve Netzwerke. (2) Netzwerkelemente: (A) Passve Netzwerkelemente: Der Wderstand Der Kondensator De Spule Der Transformator (B) Aktve Netzwerkelemente: De Spannungsquelle De Stromquelle De gesteuerte Spannungsquelle De gesteuerte Stromquelle

2 Topologsche Grundbegrffe II Elektrsche Netzwerke Zugrff auf elektrsche Netzwerke: Das Klemmenpaar defnert zwe Pole. Durch de Klemme gegebene Querschnttsfläche defnert das (Enfalls-) Tor für de elektromagnetsche Welle. Zwepol bzw. Verpol Entor bzw. Zwetor Es glt das Verbraucherbezugspfelsystem. Topologsche Grundbegrffe III Betrachtungen am Bespelnetzwerk () Zwege und Knoten: R 4 R R 5 K 0 Brückenschaltung Z 3 Verknüfung der Netzwerkelemente gescheht an den Klemmen. Dese Verknüpfungsstellen hessen Knoten (K) des elektrschen Netzwerks. Verbndung enes Knotens mt enem anderen Knoten (durch Netzwerkelemente) wrd als Zweg (Z) bezechnet. Es gld das Verbraucherpfelsystem, d.h.: Urgrösse und Bezugspfele der Quelle(n) snd vorgegeben. u und snd entgegengesetzt gerchtet. Restlche Bezugspfele n den «Verbrauchern» haben wllkürlche Rchtung, enzg dass de Strom- und Spannungspfele m enzelnen Verbraucher jewels de gleche Rchtung aufwesen müssen. 2

3 Topologsche Grundbegrffe IV Betrachtungen am Bespelnetzwerk (2) Gerchteter Graph (Dgraph) des elektrschen Netzwerks: -2- K 4 Z 4 Z 3 Topologsche Struktur des Netzwerks wrd durch den gerchteten Graphen (Dgraph) symbolsch wedergegeben. K Z Z 5 Z 2 K 3 De Knoten K werden belebg durchnummerert. De Zwege Z enthalten de Rchtung des Beszugspfels des elektrschen Stromes. Zwege auch belebg durchnummerert. Z 0 Dgraph (mt k 4 Knoten und z 6 Zwegen) Der Dgraph st en zusammenhängendes Geblde aus Zwegen und Knoten. Von jedem Knoten zum anderen Knoten gbt es mndestens ene gerchtete Verbndung (de Zwege und Knoten des Graphen enthält). Topologsche Grundbegrffe V Betrachtungen am Bespelnetzwerk (3) De Maschen des Dgraphen: K 4 K 4 K 4-3- En geschlossener Weg, d.h. ene n sch geschlossene Folge von Zwegen und Knoten nnerhalb des Dgraphen enes Netzwerks, n der jeder Knoten mt zwe benachbarten Zwegen verbunden st, wrd als Masche M bezechnet. Z 4 Z 3 Z 5 K M M 2 Z Z 2 K 3 K Z 4 Z 3 M 4 Z 0 K 4 Z4 K 3 Den Maschen M wrd en Umlaufsnn zugeordnet (Bezugspfel der Masche). K K 3 Z Z 2 K K Z 3 5 Z 2 Fünf möglche Maschen des Dgraphen. M 3 Z 0 M 5 Z 0 3

4 Topologsche Grundbegrffe VI Betrachtungen am Bespelnetzwerk (3) De Maschen des Dgraphen: K 4 K 4 K 4-4- M {Z, Z 4, Z 5 } M 2 {Z 2, Z 5, Z 3 } M 3 {Z, Z 2, Z 0 } M 4 {Z 0, Z 3, Z 4 } M 5 {Z 0, Z 4, Z 5, Z 2 } () Rehenfolge {M, M 2 }: neu: Z 2, Z 3 (2) Rehenfolge {M, M 2, M 3 }: neu: Z 0 Anzahl Zwege z M der Masche entsprcht der Knotenanzahl k M. z M k M Z 4 Z 3 Z 5 K M M 2 Z Z 2 K K 3 Z Z 2 M 3 Z 0 K 3 K K Z 4 Z 3 K 3 M 4 Z 0 K 4 Z4 K Z 3 5 Z 2 M 5 Z 0 Topologsche Grundbegrffe VII Betrachtungen am Bespelnetzwerk (3) De Maschen des Dgraphen: -5- Bespel: {M, M 2, M 3 }: ln. unabh. {M, M 2, M 3, M 4 }: ln. abh. Ene Anzahl von Maschen wrd als lnear unabhängg bezechnet, wenn es ene Rehenfolge der Maschen so gbt, dass jede Masche mndestens enen Zweg enthält, der n der vorhergehenden Masche ncht enthalten st. Bespel: {M 2, M 3, M 4 }: vollständg (sehe Auch Fole 7) Ene (Rehen-) Folge von Maschen wrd als vollständg bezechnet, wenn jede Masche genau enen Zweg enthält, der n der vorhergehenden Maschen ncht enthalten st. Bespel: k 4, z 6 m dre ln. unabh. Maschen En Dgraph mt k Knoten und z Zwegen enthält genau m lnear unabhängge Maschen, de en vollständges System m z k + blden. 4

5 Topologsche Grundbegrffe VIII Betrachtungen am Bespelnetzwerk (4) Der Baum: -6- En zusammenhängender Telgraph des Dgraphen, der alle dessen Knoten enthält, jedoch kene Maschen wrd als Baum bezechnet. Aus deser «Konstruktonsregel» ergbt sch, dass jeder Baum enen Knoten mehr hat, als de Anzahl z B sener Zwege. k z B + z B k Bespel: k 4 z B 3 Jeder Baum hat jewels dre Zwege. Topologsche Grundbegrffe IX Betrachtungen am Bespelnetzwerk (5) Bestmmung ener vollständgen Folge lnear unabhängger Maschen: -7- Wrd vom Baum mt z B Zwegen ausgegangen, werden m Dgraphen dadurch Maschen gewonnen, ndem man neue Verbndungszwege m Baum enführt. Dese Maschen snd lnear unabhängg, da aus jedem neuen Verbndungszweg neue Maschen m Dgraphen entstehen. De Folgen deser Maschen snd vollständg, wel genau ene neue Masche pro enem engeführtem Verbndungszweg entsteht. Dadurch wrd de Anzahl z V der Verbndungszwege glech der Anzahl m der lnear unabhänggen Maschen. z V m 2 M 2 M 3 M M 3 M 2 M 2 5

6 Topologsche Grundbegrffe X Betrachtungen am Bespelnetzwerk (6) Zusammenfassung: Zum Baum: z V m # Zwegverbndungen 3 z B k # Baumzwege M 3 M z z B + z V # Zwege m Dgraphen 2 M 2 Zum Dgraphen: z k + m m z k + Durch de Wahl enes Baumes nnerhalb des Dgraphen wrd endeutg ene vollständge Folge von m lnear unabhänggen Maschen m z k + festgelegt. De Krchhoffsche Knotenregel I Stromblanz am Netzwerk-Knoten () Anordnung: K 3 2 Ladungen snd mt Masse verknüpft und können deshalb ncht erzeugt oder vernchtet werden (Masse- bzw. Ladungserhaltung als andere Form der Energeerhaltung). Im statonären Fall kann der Knoten kene Ladung spechern. Was zuflesst muss abflessen. Stromstärken werden postv gezählt, wenn hre Bezugspfelrchtungen auf den Knoten zuwesen und snd negatv, wenn se davon wegwesen (geht auch umgekehrt!) n Knoten μ (KCL) Krchhoff current law Krchhoffsche Knotenregel: De Summe aller elektrschen Stromstärken, de n enen Knoten des elektrschen Netzwerkes flessen, st n jedem Zetpunkt glech Null. 6

7 De Krchhoffsche Knotenregel II Knotenglechungen () Anwendung der Knotenregel: -20- K 4 Knotenregel für de Knoten K bs K 4 : K R 4 R R 5 3 K 3 ( K ): ( ): ( K 3 ): ( K 4 ): (Spaltenwese) Addton der Ströme bzw. der Glechungen ergbt Null. Addton von dre Glechungen ergbt jewels de (u.u. negatve) verte Glechung. De Krchhoffsche Knotenregel III Knotenglechungen (2) Erkenntnsse aus den Knotenglechungen: -2- K K 4 R 4 R R 5 3 K 3 Zur letzten Aussage (Fole 20): De verte Glechung enthält demnach kene neuen Informatonen zu den Stromstärken. De 4 Glechungen des Glechungssystems snd lnear abhängg. In enem Netzwerk mt k Knoten snd nur k Knotenglechungen lnear unabhängg. Des, wel bs zur k -ten Knotenglechung jewels mndesten en neuer Zwegstrom hnzukommt. 0 In enem Netzwerk mt k Knoten müssen nur k Knotenglechungen berechnet werden. De k-te Knotenglechung st zwangsläufg erfüllt. 7

8 De Krchhoffsche Maschenregel I Betrachtungen zur Umlaufspannung () Grundgesetz der elektrostatschen Felder: Gegeben se ene belebge Masche M m Dgraphen enes elektrschen Netzwerks. Auch für desen geschlossenen Umlauf muss gelten (ken veränderlches Magnetfeld): Eds M Grundgesetz der elektrostatschen Felder (cf. Fole -82) M 2 Wll hessen: Umlaufspannung In desem Snn kann das Umlaufntegral als Summe über ene zusammenhängende, «geschlossene» Folge von Knotenpotenzaldfferenzen ( + ) nterpretert werden: ( 2 4 )+ ( 4 )+ ( 3 )+ 3 2 ( ) De Krchhoffsche Maschenregel II Betrachtungen zur Umlaufspannung (2) Betrachtungen am elektrschen Netzwerk: K 4 R K R 5 0 a) R3 2 3 Spulen? K 3 Zwegspannungen: Passver Zweg: b) R u u z u Aktver Zweg: 0 u z u Glt nur für Netzwerke mt Quellen, Wderständen und Kondensatoren. Das Umlaufntegal besteht demnach aus Lnenntegralen über de entsprechenden Zwege der Masche. Das Lnenntegral längs enes Zweges ergbt de Zwegspannung u z. Wrd das Netzwerk ncht von enem veränderlchen Magnetfeld (???) durchsetzt, dann glt: u z Masche μ 8

9 De Krchhoffsche Maschenregel III Betrachtungen zur Umlaufspannung (3) Netzwerke mt Spulen: K u L 0 u 5 K 4 R 3 R u 2 u 3 K 3 L 4 R u K R 5 2 a) b) L m u L u 4 K K 4 Bezugspfele von u L und L haben den glechen Rchtungssnn u u 5 u z Masche μ 5 Das Umlaufntegral berüchschtgt nur Spannungen an Wderständen und Kondensatoren Ed s u nd d dt C C n Rchtung von 4. Vom Standpunkt des Verbraucherpfelsystems ( nduktve Spannung) Eds + u L C u L + d dt De Krchhoffsche Maschenregel IV Betrachtungen zur Umlaufspannung (4) Netzwerk, welches selbst von enem magnetschen Fluss durchsetzt wrd: Gemäss Fole -26 glt dann für de Umlaufspannung: u C R 3 u C n m M u nd K 3 K K 3 4 u u 3 0 C 2 u z Masche M u 2 De vorhn gemachten Überlegungen zum Verbraucherpfelsystem und zur nduktven Spannung gelten auch n desem Fall. Maschenumlaufsnn wrd m Rechtsschraubensnn zum Flächennormalenvektor (der durch de Masche aufgespannten Fläche) angesetzt. De Zwegspannungen snd m Maschenumlaufsnn zu summeren: u C +u 2 + u 3 + u + d m dt u L De Masche selbst kann her als ene «vertelte Spule» (mt ener Wndung) aufgefasst werden. 9

10 De Krchhoffsche Maschenregel V Formulerung der Maschenregel () Zusammenfassung der bshergen Erkenntnsse: De Bezehungen, und snd «Reproduktonen» ener enzgen Gesetzmässgket, nämlch der Maschenregel Krchhoffsche Maschenregel: De Summe aller Zwegspannungen u z (,2,,n) n ener Masche enes elektrschen Netzwerks, de n belebgem Umlaufsnn durchlaufen wrd, st n jedem Zetpunkt glech Null. n u z Masche μ (KVL) Krchhoff voltage law De Krchhoffsche Maschenregel VI Maschenglechungen () Anwendung der Maschenregel: -27- u 4 u 3 R 4 5 R 3 4 u 5 2 M R R 5 R2 u u 2 M 2 3 Maschenregel für de Maschen M bs M 4 : ( M ): + u + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 0 ( M 2 ): + u u 2 u 3 u 4 u 5 ( M 3 ): u +u 2 + u 3 u 4 + u 5 ( M 4 ): + u 2 + u 3 u 4 + u 5 M 4 0 M 3 (Spaltenwese) Addton der Spannungen bzw. der Glechungen ergbt Null. Addton von dre Glechungen ergbt jewels de (u.u. negatve) verte Glechung. 0

11 De Krchhoffsche Maschenregel VII Maschenglechungen (2) Erkenntnsse aus den Maschenglechungen: -28- u 4 u 3 R 4 5 R 3 4 u 5 2 M R R 5 R2 u u 2 M 2 3 Zur letzten Aussage (Fole 27): De verte Glechung enthält demnach kene neuen Informatonen zu den Spannungen. De 4 Glechungen des Glechungssystems snd lnear abhängg. Lnear unabhängge Glechungen ergeben sch durch de Menge lnear unabhängger Maschen (Begründung: Folen 7, 8). M 4 0 M 3 In enem Netzwerk mt z Zwegen und k Knoten müssen de Maschenglechungen für nur m z k + lnear unabhängge Maschen berechnet werden. De Maschenglechungen für de anderen Maschen snd zwangsläufg erfüllt. De Netzwerkglechungen I De vollständge Beschrebung des Netzwerks () Netzwerkbespel: (c) Für de Zwegelemente: -29- K 4 (a) Elektrsche Stromstärken: K 5 4 u 4 R 5 u 3 2 R 4 R 3 u 5 u u 2 3 K 3 ( K ): ( ): ( K 3 ): , 2,, 5 u R (b) Elektrsche Spannungen: (m Glechungen) ( M ): + u + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 0 ( M 2 ): + u u 2 u 3 u 4 u 5 ( M 3 ): u +u 2 + u 3 u 4 + u 5

12 De Netzwerkglechungen II De vollständge Beschrebung des Netzwerks () Fazt: -30- K 5 4 u 4 R 5 u 3 2 K 4 R 4 R 3 u 5 u u 2 3 K 3 De angegebene, vollständge Beschrebung des elektrschen Netzwerks enthält Glechungen für Unbekannte. De Unbekannten snd her u und mt, 2,, 5 und 0. Im Prnzp st das Problem, d.h. de Bestmmung der Strom- und Spannungsgrössen damt gelöst. 0 Aber: Ene drekte Lösung der angegebenen Glechungssysteme st unnötg aufwändg. Bessere Lösungstrategen vermttelt herzu de Netzwerkanalyse. Enfache elektrsche Netzwerke I De Rehenschaltung von Netzwerkelementen () Betrachtung der Stromstärken (m Wderstandsnetzwerk): M K K De Stromstärken n den n Rehe geschalteten Netzwerkelementen snd glech gross. Rehenschaltung (Sereschaltung) u u 2 u 2 Ohne Enschränkung der Allgemenhet werden de Netzwerkelemente als Wderstände angenommen. Für den Zusammenhang zwschen Zweg- Ströme und Zwegspannungen glt demnach das Ohmsche Gesetz. Das Netzwerk hat dre entartete Knoten (Knoten ohne Stromverzwegung). Anwendung der Krchhoffschen Knotenregel: ( K ): ( ): 2 2 ( ): 2 2 K

13 Enfache elektrsche Netzwerke II De Rehenschaltung von Netzwerkelementen (2) Zu den Spannungen m Wderstandsnetzwerk: -32- M K K u u 2 De an ener Rehenschaltung von n Netzwerkelementen anlegende Gesamtspannung u st glech der Summe der enzelnen Telspannungen an den Netzwerkelementen. u Anwendung der Krchhofschen Maschenregel: ( M): + u + u 2 Daraus folgt: u + u 2 De von aussen durch de Urspannungsquelle angelegte Gesamtspannung st glech der Summe der Telspannungen an den beden Wderständen. Für ene Rehenschaltung von n Netzwerkelementen n glt demnach: u u Enfache elektrsche Netzwerke III De Rehenschaltung von Netzwerkelementen (3) Äquvalenter Gesamtwderstand der Rehenschaltung: -33- K K Der Strom, welcher aus Knoten K n de Rehenschaltung und aus Knoten K 3 zurück n de Quelle flesst hat de Stromstärke. De Spannung zwschen den Knoten K und st K 3 gerade de Gesamtspannung u. 2 u R u En äquvalenter Wderstand R (Ersatzwderstand), der be der selben Gesamtspannung u ene Stromstärke von aufwest berechnet sch demnach gemäss: u 2 R u u + u 2 u + u 2 K 3 K 3 u + u

14 Enfache elektrsche Netzwerke IV De Rehenschaltung von Netzwerkelementen (3) Äquvalenter Gesamtwderstand der Rehenschaltung: -34- K u 2 u 2 R K u n n Rehe geschaltete elektrsche Wderstände können bezüglch hrer äusseren Klemmen durch enen äquvalenten Gesamtwderstand R ersetzt werden (hesst demnach auch: Ersatzwderstand). Der äquvalente Gesamtwderstand st glech der Summe der n n Rehe geschalteten Enzelwderstände. Der Gesamtwderstand st grösser als der grösste Telwderstand. K 3 K 3 R n R äquvalenter Gesamtwderstand der Rehenschaltung (Ersatzwderstand) Enfache elektrsche Netzwerke V De Rehenschaltung von Netzwerkelementen (4) Spannungstelerschaltung: -35- K K Durch de n Rehe geschalteten Wderstände und wrd de Gesamtspannung u n Telspannungen u und u 2 aufgetelt. u 2 u 2 R u u u 2 2 u u R R + R K 3 K 3 u 2 u 2 R R + 4

15 Enfache elektrsche Netzwerke VI De Parallelschaltung von Netzwerkelementen () Betrachtung der Stromstärken (m Wderstandsnetzwerk): -36- K M 2 2 Anwendung der Krchhoffschen Knotenregel: u 2 M G u G 2 ( K ): Der Gesamtstrom wrd n de Telströme und 2 aufgetelt. Letwerte: G R Der durch de Parallelschaltung von n Netzwerkelementen flessende Strom st glech der Summe der n Stromstärken der durch de Netzwerkelemente flessenden Telströme. Enfache elektrsche Netzwerke VII De Parallelschaltung von Netzwerkelementen (2) Zu den Spannungen m Wderstandsnetzwerk: -37- K M 2 2 Anwendung der Krchhoffschen Maschenregel: u 2 M G u G 2 ( ): u u 2 u M ( M 2 ): u u 2 u 2 Alle Wderstände/Letwerte legen an der glechen Spannung. In ener Parallelschaltung von n Netzwerkelementen snd de an den enzelnen Netzwerkelementen anlegenden elektrschen Spannungen glech gross. u u u 2 u n 5

16 Enfache elektrsche Netzwerke VIII De Parallelschaltung von Netzwerkelementen (3) Äquvalenter Gesamtletwert/Gesamtwderstand der Parallelschaltung: M G K u M 2 2 u 2 G 2 Der äquvalente Gesamtletwert G ermttelt sch durch de Forderung, dass durch hn be der Spannung u der Gesamtstrom flessen soll. G u + 2 u u + 2 u G +G 2 G n G äquvalenter Gesamtletwert der Parallelschaltung Enfache elektrsche Netzwerke IX De Parallelschaltung von Netzwerkelementen (3) Äquvalenter Gesamtletwert/Gesamtwderstand der Parallelschaltung: Der äquvalente elektrsche Gesamtletwert G von n parallel geschalteten elektrschen Letwerten st glech der Summe der parallel geschalteten Enzelletwerte K M 2 2 Der äquvalente Gesamtwderstand R der Parallelschaltung von n Wderständen berechnet sch demnach gemäss: u 2 M G u G 2 Merke: Der Gesamtwderstand R st klener als der klenste Telwderstand. n G G n R R n R R äquvalenter Gesamtwderstand der Parallelschaltung (Ersatzwderstand) 6

17 Enfache elektrsche Netzwerke X De Parallelschaltung von Netzwerkelementen (4) Stromtelerschaltung: -40- K M 2 2 Durch de parallel geschalteten Letstände G und G 2 wrd de Gesamtstromstärke n Telstromstärken und 2 aufgetelt. u 2 M G u G 2 2 G u G 2 u 2 G u G 2 u G G 2 G u Gu G u Gu G G +G 2 2 G 2 u 2 Gu G 2 u Gu G 2 G +G 2 G Enfache elektrsche Netzwerke XI De Spannungstelerschaltung () Der unbelastete Spannungsteler: -4- Wderstände und snd enstellbar. u Abhänggket der Klemmenspannung u von bzw.. u 2 u u + 2 Fälle: st enstellbar, st konstant: Abhänggket der Klemmenspannung 2 Fälle: st enstellbar, st konstant: Abhänggket der Klemmenspannung 7

18 Enfache elektrsche Netzwerke XII De Spannungstelerschaltung (2) Der unbelastete Spannungsteler Varaton von : st enstellbar: Abhänggket der Klemmenspannung u u 2 u u + R Enfache elektrsche Netzwerke XIII De Spannungstelerschaltung (3) Der unbelastete Spannungsteler Varaton von : st enstellbar: Abhänggket der Klemmenspannung u ( ) + u u 2 u 8

19 Enfache elektrsche Netzwerke XIV De Potentometerschaltung (4) Der unbelastete Spannungsteler glechzetge Varaton von und : -44- Glechzetge und «gegenläufge» Varaton der Wderstände und. Summe der Wderstände und blebt konstant. lneare Abhänggket! u + R 2 Rconst. Enfache elektrsche Netzwerke XV De belastete Spannungstelerschaltung () Analyse des belasteten Spannungstelers: -45- Reale Spannungsteler werden an enem Verbraucher R 3 betreben. Der belastete Spannungsteler west demnach kene lneare Abhänggket der Klemmenspannung u mehr auf! Krchhoffsche Regeln: m z k [ R 3 ] 3 ( + ) 3 + R 3 3 ( K ): 2 3 ( M ): 2 ( ): 2 R 3 3 M 2 9

20 Enfache elektrsche Netzwerke XVI De belastete Spannungstelerschaltung () Analyse des belasteten Spannungstelers: Stromstärke 3 : 3 + R 3 + R 3 Klemmenspannung u : u u 3 R 3 3 u R 3 + R 3 + R 3 R 3 : bewrkt Nchtlneartät m Verhalten von u als Funkton von. u + R + R 2 R 3 Rconst. Enfache elektrsche Netzwerke XVII De belastete Spannungstelerschaltung (2) Lastabhänggket der Klemmenspannung: Nchtlneartät «spürbar» ab R 3 < + u xr; u u + + R 3 x + x ( x)r x + ( x) R R 3 ( ) R R

21 Enfache elektrsche Netzwerke XVIII De Brückenschaltung () Analyse der Brückenschaltung: -48- K K 4 u 4 u R 4 u 5 R 3 M R 5 M K 3 (a) Knotenglechungen: ( ): K ( ): ( K 4 ): u 0 M 3 u 2 (b) m unabhängge Maschenglechungen: ( M ): u + u 2 + u 3 u 4 u 5 0 ( M 2 ): + u + u 2 + u 3 u 4 + u 5 ( M 3 ): + +u u 2 + u 3 u 4 + u 5 m z k (c) Zwegrelatonen: u R Enfache elektrsche Netzwerke XIX De Brückenschaltung (2) Das Glechungssystem: (): (): (): (): 4 R 4 4 R 5 5 (): R R 5 5 (): z.b. Kramersche Regel Glechungssystem für de 6 unbekannten Stromstärken 0,, 5. De Urspannung st gegeben. Gesucht st de Stromstärke 5. (3) De Abglechbedngung: 5 R 3 R ( R 3 + R 4 ) + R 3 R 4 ( ) + + R 3 R 4 + R 5 R 3 + R 4 unabhängg von! R 4 R 3 2

22 Enfache elektrsche Netzwerke XX De Brückenschaltung (3) Wheatstonesche Messbrücke: Abglechbedngung, so dass der Querstrom 5 : x R R R 2 geechter Normal- Wderstand. x x R ( )R R x R n Wderstandsbestmmung für R x : R x R 3 R ( )R R n ohne Kenntns von R! R x ( ) R n De Stern-Dreeck Umwandlung I Wderstands-Sternschaltung und Dreeckschaltung () Enführende Betrachtungen: Schaltungen mt grosser Bedeutung n der Elektrotechnk. Problemstellung: We müssen de Netzwerkelemente gewählt werden, damt sch de Schaltungen von den Klemmen her besehen (nach aussen) dentsch verhalten? 22

23 De Stern-Dreeck Umwandlung II Umrechnungen (2) Glechsetzen der engesehenen äquvalenten Wderstände: Klemmen -2: Klemmen 2-3: Klemmen 3-: ( ) R R 3 ( ) 0 + R 30 R R R 3 ( ) R R R 3 Ausdrücke snd durch zyklsches Vertauschen der Wderstände nenander überführbar. Dre Glechungen für de entsprechenden dre Wderstände. De Stern-Dreeck Umwandlung III Umrechnungen (3) Dreeck Stern : (4) Stern Dreeck : R 30 2 R R R 3 R R R R R 30 0 R 3 R R Auch her snd Ausdrücke durch zyklsches Vertauschen der Wderstände nenander überführbar. De Stern-Dreeck-Umwandlung wrd n der Netzwerkanalyse velfach verwendet um Netzwerkprobleme zu verenfachen. 23

24 De reale Spannungsquelle I Ersatzschaltbld z.b. ener Energeversorgungsstrecke () Aufglederung: Kraftwerk mt Generator und Freletungen, de zur Fabrk, zu den Haushalten führen. Sgnalquelle mt Übermttlungskabel und Empfänger Ideale Quelle (Urspannungsquelle) Wderstandsbehafteter Draht De Last (de Senke) kann ne drekt an de Klemmen - angeschlossen werden De reale Spannungsquelle II Ersatzschaltbld z.b. ener Energeversorgungsstrecke (2) Ersatzspannungsquelle (reale Spannungsquelle): Bezüglch der Klemmen 2-2 steht dem Verbraucher kene deale Spannungsquelle (Urspannungsquelle) mehr zur Verfügung. Bezüglch der Klemmen 2-2 wrd ene Urspannungsquelle mt vorgeschaltetem Innenwderstand «engesehen». Mt Abschlusswderstand R a : u : Stromstärke Spannungsabfall u : Klemmenspannung u: u + R a u R a + R a R a + R a u Spannungsabfall

25 De reale Spannungsquelle III Belastung der Quelle mt enem Abschlusswderstand () Stromstärke und Klemmenspannung aus der Scht des Verbrauchers: u + u De Maxmalstromstärke be R a hesst Kurzschlussstromstärke. k De maxmale Spannung be R a hesst Leerlaufspannung. u De reale Spannungsquelle IV Belastung der Quelle mt enem Abschlusswderstand (2) Das u--dagramm (oft auch: De Strom-Spannungskennlne): De Belastungskennlne: Arbetspunkt u R a aber (Fole 55) u 25

26 De reale Spannungsquelle V Das Verhalten der realen Spannungsquelle () De endeutge Charakterserung der realen Spannungsquelle: -58- We aus der (lnearen) u-- Kennlne hervorgeht, genügen für de endeutge Bestmmung der realen Quelle de beden spezfschen Arbetspunkte (a) «Leerlauf» und (b) «Kurzschluss». u k Messvorschrft für de Bestmmung realer Spannungsquellen. De reale Spannungsquelle VI Das Verhalten der realen Spannungsquelle (2) Messvorschrft zur endeutgen Bestmmung von realen Spannungsquellen: -59- De «Blackbox» reale Spannungsquelle st durch de Messung von u und k endeutg bestmmbar. Bestmmung der Leerlaufspannung Bestmmung des Kurzschlusstromes u : k : Parameter der realen Spannungsquelle u k 26

27 De reale Spannungsquelle VII Das Verhalten der realen Spannungsquelle (3) Abschlessende Betrachtungen: (A) Alternatve Bestmmung des Innenwderstandes: Schlesse de Urspannungsquelle kurz, d.h. ersetze de Urspannungsquelle durch en Stück deal letenden Draht. Der dabe engesehene Wderstand entsprcht dann gerade dem Innenwderstand. u R a (B) Klener Innenwderstand: ( << R a ) De reale Spannungsquelle verhält sch zunehmend we ene (deale) Urspannungsquelle. 0 (C) Grosser Innenwderstand: ( >> R a ) De reale Spannungsquelle verhält sch zunehmend we ene (deale) Urstromquelle. De reale Stromquelle I Ersatzschaltbld z.b. ener Sgnalübertragungsstrecke () Aufglederung: De Stromstärke q stellt her enen Querstrom dar, welcher von der verblebenden Letfähgket m solerenden Delektrkum (mt r ) herrührt. Unerwünschte Stromabzwegung Ideale Quelle (Urstromquelle) Koaxalletung mt letfähgem Delektrkum De Last (de Senke) kann ne drekt an de Klemmen - angeschlossen werden 27

28 De reale Stromquelle II Ersatzschaltbld z.b. ener Sgnalübertragungsstrecke (2) Ersatzsstromquelle (reale Stromquelle): u G +G a 0 G a G +G a 0 G a u G G +G a 0 G u De reale Stromquelle III Belastung der Quelle mt enem Abschlussletwert () Stromstärke und Klemmenspannung aus der Scht des Verbrauchers: Für de «Stromabzwegung» kann nun ene Ersatzschaltung gefunden werden: der Querletwert der Stromquelle, bzw. deren Innenletwert De maxmale Spannung be G a st de Leerlaufspannung. u 0 G Maxmalstromstärke be G a st de Kurzschlussstrom. k 0 28

29 De reale Stromquelle IV Belastung der Quelle mt enem Abschlussletwert () Belastungskennlne der realen Stromquelle: flesst durch Last k u 0 G u Ga u 0 flesst durch Innenletwert De reale Stromquelle V Das Verhalten der realen Stromquelle () De endeutge Charakterserung der realen Stromquelle: -65- De «Blackbox» reale Stromquelle st durch de Messung von u und k endeutg bestmmbar. Bestmmung der Leerlaufspannung Bestmmung des Kurzschlusstromes Parameter der realen Stromquelle: 0 k u : 0 G k : 0 G k u 29

30 De reale Stromquelle VI Das Verhalten der realen Stromquelle (2) Abschlessende Betrachtungen: (A) Alternatve Bestmmung des Innenletwertes: Nehme de Urstromquelle heraus, d.h. ersetze de Urstromquelle durch enen Leerlauf. Der dabe engesehene Letwert entsprcht dann gerade dem Innenletwert G. G 0 u 0 G a (B) Klener Innenletwert: (G << G a ) De reale Stromquelle verhält sch zunehmend we ene Konstantstromquelle, bzw. we ene Urstromquelle. u u 0 G (C) Grosser Innenletwert: (G >> G a ) De reale Stromquelle verhält sch zunehmend we ene Konstantspannungsquelle, bzw. we ene Urspannungsquelle. De reale Spannungs-/Stromquelle (Klemmen-)Äquvalenz der beden Quellentopologen Reale Spannungsquelle: Reale Stromquelle: u k u 0 G k 0 (, ) 0 0 ( 0,G ) G G G 30

31 Verschaltung elektrscher Quellen I Rehen- und Parallelschaltungen dealer Quellen -68- Urspannungsquellen mt unglechen Urspannungen dürfen ncht parallel, sondern nur n Rehe geschaltet werden. n Urstromquellen mt unglechen Urstromstärken dürfen ncht n Rehe, sondern nur parallel geschaltet werden. 0 n 0 Verschaltung elektrscher Quellen II Verschaltung von gemschten dealen Quellen Rehen- und Parallelschaltung ener Urspannungs- und ener Urstromquelle: -69- Überlegung: Welche Grösse der Urquelle st jewels starr und welche st varabel? Dese Rehenschaltung verhält sch we ene Urstromquelle mt k 0 Be Belastung glt 0 : u R 0 Dese Parallelschaltung verhält sch we ene Urspannungsquelle mt u Be Belastung glt u : G 0 3

32 Verschaltung elektrscher Quellen III Rehenschaltung von realen Spannungsquellen Klemmenäquvalenz der beden Schaltungen: Orgnalquellen: u +2 Ersatzquelle: u k k Klemmenäquvalenz bezüglch -': Klemmenäquvalenz: Leerlaufspannungen und Kurzschlussströme müssen überenstmmen n engesehener Innenwderstand (cf. Fole 60) n Verschaltung elektrscher Quellen IV Parallelschaltung von realen Stromquellen Klemmenäquvalenz der beden Schaltungen: G G 2 G G Orgnalquellen: Ersatzquelle: Klemmenäquvalenz bezüglch -': u G +G 2 u 0 G G G +G 2 engesehener Innenletwert (cf. Fole 66) k k 0 n 0 0 G G n 32

33 Verschaltung elektrscher Quellen V Parallelschaltung von realen Spannungsquellen Umwandlung n ene reale Spannungsquelle n dre Schrtten: Umwandlung n dre reale Stromquellen Zusammenfassen der Stromquellen. Umwandlung n ene äquvalente Spannungsquelle. Verschaltung elektrscher Quellen VI Parallelschaltung von realen Spannungsquellen Umwandlung n ene reale Spannungsquelle n dre Schrtten: -73- Umwandlung der dre realen Spannungsquellen n dre reale Stromquellen: (sehe herzu Fole 67) 0 G Umwandlung der realen Stromquelle n ene reale Spannungsquelle: (sehe herzu Fole 67) Zusammenfassen der dre parallel geschalteten reale Stromquellen: (sehe herzu Fole 7) G G 3 u G 3 u 0 3 G 3 33

34 Verschaltung elektrscher Quellen VII Rehenschaltung von realen Stromquellen Umwandlung n ene reale Stromquelle n dre Schrtten: Umwandlung der realen Spannungs- Quelle n ene äquvalente Stromquelle Umwandlung der zwe realen Stromquellen n zwe reale Spannungsquellen. Zusammenfassen der zwe realen Spannungsquellen zu ener realen Spannungsquelle. Verschaltung elektrscher Quellen VIII Rehenschaltung von realen Stromquellen Umwandlung n ene reale Stromquelle n dre Schrtten: Umwandlung der zwe realen Stromquellen n zwe reale Spannungsquellen. 0 3 G G Zusammenfassen der zwe realen Spannungsquellen zu ener realen Spannungsquelle G 3 G Umwandlung der realen Spannungs- Quelle n ene äquvalente Stromquelle G 3 G G 3 G 34

35 Verschaltung elektrscher Quellen IX «Auflösung» enes Knotens Verscheben der Urspannungsquelle: u V Merke: De grössen 0 und 02 snd verscheden! Legt ene Urspannungsquelle drekt zwschen zwe Knoten, so kann en Knoten m Snne von (b) oder (c) aufgelöst werden. Verschaltung elektrscher Quellen X «Auflösung» enes Zweges Verscheben der Urstromquelle: A Merke: De grössen und 2 snd verscheden! Legt ene Urstromquelle drekt n enem Zweg (zwschen zwe Knoten), so kann der Zweg m Snne von (b) oder (c) aufgelöst werden. 35

36 Lestungsanpassung I Reale Spannungsquelle an enem Lastwderstand () Expermentalanordnung mt varablem Lastwderstand: -78- Wrd en Lastwderstand angeschlossen, so flesst en Strom, welcher an Innenwderstand de Lestung p n Wärme umwandelt. R a 0 u 0: es wrd kene Lestung p a n der Last umgesetzt, dafür auschlesslch m Innenwderstand. p a u 2 R a u2 R a > 0 p u 2 u 2 > 0 R a 0: es wrd kene Lestung p a n der Last umgesetzt. Da de Verlustlestung postv defnt st, exstert für en bestmmtes endlches R a ene Maxmum der n der Last umgesetzten Verlustlestung p a. Lestungsanpassung II Reale Spannungsquelle an enem Lastwderstand (2) In Wärme umgesetzte Lestungen als Funkton des Lastwderstandes: Standpunkt der Verbrauchers: Be gegebenem konstanten st der Lastwderstand R a gesucht, welcher de n der Last umgesetzte Lestung maxmert. (A) Strom, Spannung und Lestung: u R a + R a p a u R a + R a (B) Extremum der Verlustlestung: dp a ( + R a ) 2 2R a ( + R a ) u dr a ( + R a ) 4 0 ( + R a ) 2 2R a + R a 2 R a 2 R a ( ) 2 + R a 2! 0 ( ) 2 R a

37 Lestungsanpassung III Reale Spannungsquelle an enem Lastwderstand (2) In Wärme umgesetzte Lestungen als Funkton des Lastwderstandes: (D) Verfügbare Lestung: p 0 : u (A) Lestungsanpassung: R a (B) Maxmale Verlustlestung an R a : Anpassungsbedngung -80- R a p max a u 2 0 u 2 0 4R a 4 (C) Maxmale Verlustlestung an : p u Des st auch de Maxmallestung, de von der Quelle überhaupt abgegeben werden kann. Lestungsanpassung IV Reale Spannungsquelle an enem Lastwderstand (3) Zu den Quellenlestungen: -8- Zur Anpassungsbedngung: verfügbare Lestung R Nur be Lestungsanpassung p kann der realen Quelle de a a ( + R a ) u 2 R 0 a u 2 0 4R maxmale Lestung, d.h. de verfügbare Lestung entzogen werden. Der gleche Letungsantel R p 2 R a u 2 0 wrd dabe am Innenwderstand n Wärme umgesetzt. ( ) + R a 4 De Urspannungsquelle unter der Anpassbedngung: p u + R a 2 2 R a 2 Be Lestungsanpassung lefert de Urspannungsquelle de doppelte verfügbare Lestung, d.h. enmal de verfügbare Lestung an de Last und enmal an den Innenwderstand. 37

38 Lestungsanpassung V Reale Spannungsquelle an enem Lastwderstand (4) Der Wrkungsgrad: Anpassung: (Nachrchtentragung) -82-,0 0,5 Kompromss: (Energeübertragung) R a 3.75 p a.75 p 0 Lestungsanpassung Lestungsanpassung.5 p a p u Anpassungsbedngung R a + R a R a Lestungsanpassung VI Reale Spannungsquelle an enem Lastwderstand (5) Aus der Scht des Energeerzeugers: Der Energeerzeuger hat Zugrff auf den Innenwderstand. Umformen der Lestungsausdrücke und des Wrkungsgrades m Hnblck auf / R a. De n der Last umgesetzte Lestung wrd maxmal für (absolutes Maxmum)

39 Lestungsanpassung VII Lestungsanpassung mt dealem Transformator () Strom- und Spannungsverhältnsse: R e u w u 2 w 2 w w 2 2 w w 2 u 2 w 2 w 2 R a R e n 2 Engangswderstand u a R a u 2 a 2 R a u a a -84- (A) Übersetzungsverhältns n: u w : n u 2 w 2 w 2 : 2 w n 2 2 Lestungsanpassung VIII Lestungsanpassung mt dealem Transformator (2) Verlustlose Lestungsanpassung: -85- Dadurch lassen sch belebge Lastwderstände R a auf den Wert R e transformeren. In desem Snne lässt sch auch ene belebge Last R a auf den Wert transformeren, bzw. anpassen. R e n 2 R a : n R a verlustlose Anpassung p a 2 a R a u a a u 2 2 u ( n n) u n 2 2 R a 2 R e n 2 2 R a p e 39