GRUNDLAGEN DER ELEKTROTECHNIK

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1 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Conf. dr. ng. Eml CAZAC Departamentul de Electrotehncă Facultatea de Ingnere Electrcă nverstatea Poltehnca Bucureşt GNDLAGEN DE ELEKTOTECHNIK NOTE DE CS PENT ZL STDENŢILO FACLTĂŢII DE INGINEIE ÎN LIMBI STĂINE FILS, FILIEA GEMANĂ, ANL I/SEMESTL I 0

2 Conf. dr. ng. Eml CAZAC ELEKTOTECHNIK DE GIEICHSTOMKEISE A. ELEMENTE DES STOMKEISES. Beschrebung der Stromkreselemente nter Stromkresen für Glechstrom versteht man Stromkrese, n denen de Stromstärken und Spannungen zetlch unveränderlche Werte haben. Für gewöhnlch werden dese Größen mt großen Buchstaben I, usw. bezechnet. De Tele enes Stromkreses werden Elemente des Stromkreses gennant. So zum Bespel hat en enfacher Stromkres für Glechstrom, bestehend aus ener Spannungsuelle mt der EMS und dem nneren Wderstand und enem Wderstand (Abb..), zwe Elemente: de Spannungsuelle und den Wderstand. Stromkreselemente mt zwe Klemmen (Endklemmen) werden Zwepole genannt. Aktve und passve Stromkreselemente. En Stromkreselement für Glechstrom wrd passv genannt, wenn es kene Energe n den Stromkres enspesen kann, unabhängg von dem chtungssnn des Stromes, der durch deses Element fleßt (für gewöhnlch nmmt en solches Element elektrsche Energe auf). En Wderstand st en passves Stromkreselement. En Stromkreselement wrd aktv genannt, wenn es n gewssen Betrebsbedn-gungen ene Energe elektrscher Natur lefern kann (n anderen Betrebsbedngungen kann en solches Element eventuell auch elektrsche Energe aufnehmen). De Stromuellen snd aktve Stromkreselemente.

3 Conf. dr. ng. Eml CAZAC En Stromkres, der nur aus passven Elementen besteht, wrd passver Stromkres genannt. En Stromkres der außer passven Elementen auch wengstens en aktves Element bestzt, wrd aktver Stromkres genannt. Abb.. Abb.. Abb.. En Zwepol wrd vollständg durch de Bezehung zwschen der Klemmenspannung und der Stromstärke I m Element beschreben. De graphsche Darstellung deser Bezehung n enem I Achsenkreuz wrd Strom-Spannungs-Kennlne des Stromkreselements genannt. Stromkreselemente werden als lnear bezechnet, wenn hre Strom-Spannungs-Kennlne ene Gerade st, de durch den rsprung des Achsenkreuzes führt (Abb..). Nchtlneare Stromkreselemente wesen ene kurvenförmge Strom-Spannungs- Kennlne auf. (Abb..).

4 Conf. dr. ng. Eml CAZAC De reellen Stromkreselemente snd für gewöhnlch nchtlnear. Vele von hnen können jedoch für genügend große Bereche von Stromstärke und Spannung als lnear angesehen werden. De verenfachte Theore der Glechstromkrese bezeht sch auf Stromkrese, de aus dealen Elementen bestehen: dealer Wderstand und deale Stromuelle. De Nützlchket der dealen Stromkreselemente besteht darn, dass se ene enfache Formulerung der Stromkrestheore erlauben. Das Verhalten von jedwedem reellen Element kann durch ene glechwertge Schaltung, bestehend aus dealen Elementen, beschreben (modellert) werden. Deswegen wollen wr anschleßend de ntersuchung der Glechstromkrese mt dem Studum von zwe dealen Stromkreselementen begnnen.. Der deale Wderstand Der deale Wderstand st en passver und lnearer Zwepol, dessen Klemmenspannung mt der Stromstärke, unabhängg von deren Wert, proportonal st. Der Proportonaltätsfaktor st der Wderstand, bzw. der Letwert G. De Strom-Spannungs-Kennlne hat demnach de Glechung: I, für jedwedes I oder I G, für jedwedes. Das zechnersche Symbol des dealen Wderstands sowe sene Strom-Spannungs-Kennlne snd n Abbldung.4 wedergegeben. 4

5 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Abb..4 Der deale Wderstand st en passves Element: de Lestung P I I G st mmer postv, da se effektv von den Klemmen aufgenommen wrd. Der deale Wderstand arbetet nur als Verbraucher elektrscher Energe.. Der deale Spannungsgenerator Der deale Spannungsgenerator st en aktver Zwepol, dessen Klemmens-Spannung von dem durch de Stromuelle fleßenden Strom unabhängg st. De I Kennlne ener dealen Spannungsuelle wrd durch de Bezehung: für jedwelches I ausgedrückt. Das zechnersche Symbol und de I Kennlne snd n Abbldung.5, a und b dargestellt. Je nach dem angeführten chtungssnn arbetet de Spannungsuelle als Generator, wenn der Strom, der durch se fleßt, enen postven Snn hat und als Verbraucher, wenn der Strom enen negatven Snn n bezug zur EMS hat. De Lestung an den Klemmen 5

6 Conf. dr. ng. Eml CAZAC des Spannungsgenerators Pb I I st m ersten Fall postv (Generator) und m zweten Fall negatv (Verbraucher). De n enem Zetntervall (t, t + t) durch de Klemmen ausgetauschte elektrsche Energe st Δ W P b Δ t. De elektrsche Energe st postv ( W > 0), wenn se von der Spannungsuelle effektv abgegeben und negatv, wenn se von deser effektv aufgenommen wrd. Der durch den Spannungsgenerator fleßende Strom I hängt von der Art der Stromkreselemente ab, de an hre Klemmen angeschlossen snd. Abb..5 B. DIE KICHHOFFSCHEN SÄTZE. Erster Krchhoffscher Satz Man nehme enen Verzwegungspunkt (Knotenpunkt) des Stromes n enem Stromkres an (Abb..6). I, I und I snd de Ströme, de durch de sch m Knotenpunkt verzwegenden Leter fleßen. Für ene 6

7 Conf. dr. ng. Eml CAZAC geschlossene Fläche, de den Knoten umhüllt, kann man entsprechend dem Gesetz der Erhaltung der Ladung: I I + I - I und Δ 0 schreben Abb..6 (De elektrsche Ladung, de sch auf der Oberfläche der von Glechstrom durchflossenen Leter befndet, st n der Zet unveränderlch). Durch Ensetzen von I I Δ -, erhält man Δt + I - I 0 (.) Dese Bezehung stellt den ersten Krchhoffschen Satz für den angenommenen Knotenpunkt dar. Durch Verallgemenern kann er folgendermaßen ausgesprochen werden: De algebrasche Summe der sch n enem Knotenpunkt treffenden Glechströme st glech Null: N b K ± I K 0 (.) Beachte. Gemäß der Verenbarung, de be der Beschrebung des Gesetzes der Erhaltung der Ladung angenommen wurde, werden de 7

8 Conf. dr. ng. Eml CAZAC vom Knotenpunkt wegführenden Ströme als postv und jene zum Knotenpunkt fleßenden als negatv betrachtet.. Zweter Krchhoffscher Satz Man nehme ene Aufenanderfolge (Kette) von Zwegen aus enem Glechstromkres an, de zusammen en geschlossenes Geblde, genannt Masche, darstellen (Abb..8). Abb..8 Wenn man annmmt, dass de Bezugssnne der Ströme n den Zwegen (Abb..8) mt den Bezugssnnen der EMS überenstmmen und de Klemmenspannungen der Zwege de Bezugssnne aus der Abbldung.8 haben, kann man schreben: I I 4 I I 4 (.) Nun schrebt man de Verbndungsbezehungen zwschen den Klemmenspannungen der Zwege und den Potentalen der Klemmen: nter Zweg versteht man jeden belebgen Abschntt enes unverzwegten Stromkreses, der sch zwschen zwe Knotenpunkten befndet. 8

9 Conf. dr. ng. Eml CAZAC 4 V A D - V B VC - VB VC - VD V - V A *( ) (.4) Wenn man de zwete Glechung mt (-) multplzert und jede Sete zusammenzählt, erhält man: (.5) Wenn man ebenso mt dem Glechungssystem (.) verfährt und das Ergebns ans Glechung (.5) n Betracht zeht, erhält man de Bezehung: I I + I + 4 I 4 In deser Art wurden zwe verschedene Formulerungen für den zweten Krchhoffschen Satz erzelt (de nur für dejengen Stromkrese glechwertg snd, de ausschleßlch aus lnearen Stromkreselementen bestehen). Somt haben wr für den zweten Krchhoffsehen Satz folgende Wortlaute: - De algebrasche Summe der Klemmenspannungen der Zwege, de ene Masche blden, st glech Null. N K ± 0 K (.6) - De algebrasche Summe der EMS der Stromuellen aus den Zwegen ener Masche st der algebraschen Summe der Spannungsabfälle n den Wderständen der Zwege glech: N N ± ± K K K K I K (.7) De Summen werden algebrasch berechnet, wel be der Annahme enes wllkürlchen mlaufsnns n der Masche, dejengen Klemmenspannungen, deren Bezugssnn dem mlaufsnn entgegengesetzt st, en negatves Vorzechen haben. Deselbe egel zur 9

10 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Bestmmung der Vorzechen wrd auch für de EMS und de Spannungsabfälle n den Zwegwderständen angewendet. C. NTESCHNG DE ZWEIPOLSTOMKEISE MIT HILFE DE KICHHOFFSCHEN SÄTZE. egeln für de Zuordnung der Bezugssnne des Stromes und der Klemmenspannung ntersuchen wr den Stromkres aus Abbldung.: en dealer Spannungsgenerator spest enen lnearen Wderstand. Da de Klemmenspannung des Spannungsgenerators glech der Klemmenspannung des Wderstands st ( bzw. I), kann der durch den Stromkres fleßende Strom berechnet werden: I De von dem Spannungsgenerator entwckelte Lestung : P g I wrd an den Wderstand abgegeben, wo sch de Energe durch den Joule schen Effekt n Wärme umwandelt. Folglch st: P I I P g Im Verhältns zu den Klemmen A und B haben der Strom, der durch de Klemmen fleßt und de Klemmenspannung verscheden zugeordnete chtungssnne, je nachdem, ob wr uns auf de lnke Sete bezehen, wo de Energeuelle legt, oder auf de rechte Sete, wo sch der Energeverbraucher befndet. Für enen Zwepolstromkres (Zwepol) sagt man, dass de chtungssnne der Spannung und des Stroms nach der für de 0

11 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Generatoren verwendeten egel zugeordnet werden, wenn hre chtungssnne denen für den Spannungsgenerator entsprechen der als Generator arbetet (Abb..). De Bezugssnne der Spannung und des Stroms werden nach der für de Verbraucher verwendeten egel zugeordnet, wenn hre chtungssnne jenen, de für enen Wderstand benutzt wurden, entsprechen (Abb..4). Beachte! De Anführung der Zuordnungsregel der Bezugssnne für Spannung und Strom an den Klemmen enes Zwepols st verpflchtend. De Zahlenwerte deser Größen, de postv oder negatv sen können, haben nur dann ene snnvolle Bedeutung, wenn de obgen egeln engehalten werden.. Schaltung von Wderständen Der Ersatzwderstand enes lnearen, passven Zwepols st glech dem Verhältns zwschen der Klemmenspannung und dem durch de Klemmen fleßenden Strom (Abb..5).

12 Conf. dr. ng. Eml CAZAC De echenbezehung st : e I ntersuchen wr nun auf deser Grundlage de ehen- und Parallelschaltung von Wderständen. a. ehenschaltung Für den Anfang nehmen wr zwe Wderstände n ehenschaltung an (Abb..6). Da +, worn I, I, sowe e I erhält man: woraus, nach Telung durch I 0: e I I+ I e + (.8) Da aber oder e, und erhält man: G G G e + G G G e G G G e G + G (.9) (.0) Wenn de Elemente dentsch snd, erhält man: und e G G e. b. Parallelschaltung

13 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Wenn de beden Wderstände parallel geschaltet snd, dann wrd der Ersatzwderstand so bestmmt, ndem de Bedngung gestellt wrd, dass für degleche Klemmenspannung der Strom, der n beden Fällen durch de Klemmen fleßt, dergleche sen soll (Abb..7). Der durch den Ersatzwderstand fleßende Strom st I und entsprechend dem ersten Krchhoff schen Satz, kann geschreben werden: worn I und I. I I + I Durch Ensetzen und Telen durch 0 erhält man: oder n ener anderen Form: + e e + (.) (.) Natürlch erhält man auch: G G + G (.) e Wenn de Elemente dentsch snd, erhält man: G G und e e. c. Verallgemenerung der echenbezehungen für Ersatzwderstände

14 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Wenn man auch weterhn we oben verfährt, können de echenbezehungen für den Fall festgelegt werden, wenn ene Anzahl von n verschedenen Wderständen n ehen oder parallel geschaltet werden. So zum Bespel ergbt der zwete Krchhoff sche Satz für ene ehenschaltung von mehreren Wderständen (Abb..8): n, worn I und I ( k,,, n). e k k Durch Ensetzen und Telen durch I erhält man de Bezehung: + + +, e de noch we folgt geschreben werden kann: oder e n k k k n Wenn de Wderstände dentsch snd, folgt: G e G k n (.4) G e n und Ge. n Wenn deselben Wderstände parallel geschaltet werden, ergbt der erste Krchhoff sche Satz: I I+ I + + In, worn I und Ik ( k,,, n). e k 4

15 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Durch Ensetzen der Ströme und Telen durch de Spannung erhält man: + + +, e Dese Glechung kann auch folgendermaßen geschreben werden: oder n e k G e k n G k Wenn de Wderstände dentsch snd, folgt: k n Ge (.5) ng und e. n. Spannungs- und Stromteler a. Spannungsteler nter Spannungsteler versteht man ene ehenschaltung von zwe Wderständen mt dem Zweck, ene klenere Spannung als de ursprünglche Klemmenspannung zu erzelen (Abb..). 5

16 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Der durch den Spannungsteler fleßende Strom st: I + und de uns nteresserende Spannung, sagen wr, st dann: bezehungswese: I + + das heßt en Bruchtel der Klemmenspannung. (.6) b. Stromteler nter Stromteler versteht man ene Parallelschaltung von zwe Wderständen, de n enen Zweg enes Stromkreses engebaut wrd, mt dem Zweck, n enem der Elemente enen kleneren Strom als den Hauptstrom I zu erzelen (Abb..4). 6

17 Conf. dr. ng. Eml CAZAC De beden parallel geschalteten Elemente haben enen Ersatzwderstand e und demnach st de gemensame + Klemmenspannung: snd: I e De Ströme, de durch jedes Element des Stromtelers fleßen, I I ; I I e + und (.7) I I ; I I e + 4. eeller Spannungsgenerator Als reeller Spannungsgenerator wrd en Generator mt nnerem Wderstand bezechnet. We wr schon gesehen haben, kennzechnet sch en solcher Generator, der n belastetem Zustand arbetet, durch de Glechung: e I oder mt den für Glechstrom angenommenen Bezechnungen: AB g I (.8) wobe g nnerer Wderstand des Spannungsgenerators genannt wrd. Der zwete Krchhoff sche Satz erlaubt uns ene Ersatzschaltung aufzustellen, de nur aus dealen Elementen besteht und obger Glechung entsprcht (Abb..7). Man bemerkt, dass zum ntersched von dem dealen Spannungsgenerator, be dem ncht von I abhängt, m Falle des reellen Spannungsgenerators de Klemmenspannung fällt, wenn der Strom anstegt. 7

18 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Im Leerlaufbetreb (I 0): Im Kurzschlussbetreb ( 0): I I I KS De Strom-Spannungs-Kennlne st ene Gerade (Abb..7) eeller Stromgenerator oder Wenn man de Glechung (.8) durch I IKS I IKS + I I + I telt, erhält man: Der erste Krchhoff sche Satz erlaubt es uns ene Ersatzschaltung aufzustellen (Abb..8), n der das deale Element, das den Strom I KS lefert, dealer Stromgenerator genannt wrd. Für enen dealen Stromgenerator st und I I für jedes (Abb..9). Für gewöhnlch wrd I KS auch noch als I I KS bezechnet. KS De Parallelschaltung von enem dealen Stromgenerator mt dem nneren Wderstand des Generators wrd reeller Stromgenerator genannt. De Strom-Spannungs-Kennlne ener reellen Stromuelle st n Abbldung.0 dargestellt. Man bemerkt, dass bem Anwachsen der 8

19 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Spannung, de von dem Stromgenerator geleferte Stromstärke bs zum Wert I 0 fällt, wenn 0 I KS. 6. Zusammenschaltung dealer Generatoren a. Zusammenschaltung von Spannungsgeneratoren Zwe deale und n ehe verbundene Spannungsgeneratoren n Addtonsschaltung (Abb.., a) haben ene Ersatzuelle mt EMS: + e Wenn de Generatoren so we n Abbldung., b n ener Dfferentalschaltung legen, so beträgt de EMS des Ersatzgenerators:. e Folglch hat der Ersatzgenerator von mehreren n ehe geschalteten dealen Spannungsgeneratoren ene EMS, de der algebraschen Summe der Enzeluellen glech st: e n ± k k (.9) Beachte! Zwe deale Spannungsgeneratoren können nur dann parallel geschaltet werden, wenn hre elektromotorschen Spannungen glech snd ( ). De EMS des Ersatzgenerators st dann e. b. Zusammenschaltung von Stromuellen Zwe deale Stromuellen, de parallel geschaltet snd, haben ene Ersatzuelle mt der Stromstärke I I + I, wenn se n ener Addtonsschaltung legen (Abb.., a). e 9

20 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Wenn de Stromuellen durch ene Dfferentalschaltung verbunden werden (Abb.., b), beträgt der Strom der Ersatzuelle I I I. e Folglch haben mehrere parallelgeschaltete deale Stromgeneratoren ene Ersatzstromuelle, deren Stromstärke glech der algebraschen Summe der Stromstärken der Enzeluellen st: I e n ± I k k (.0) Beachte! Zwe deale Stromgeneratoren können nur dann n ehe geschaltet werden, wenn se gleche Stromstärken haben ( I I I ). De Stromstärke der Ersatzuelle st n desem Fall I e I. 7. Zusammenschaltung reeller Stromuellen a. Parallelschaltung von Spannungsgeneratoren Es se der Stromkres aus Abbldung.4, für den de Elemente e und e ener Ersatzstromuelle gesucht werden. De Bestmmung der Elemente wrd auf ene enfache Art durchgeführt und zwar, ndem de Spannungsgeneratoren n Stromgeneratoren umgewandelt werden (Abb..5). 0

21 Conf. dr. ng. Eml CAZAC De beden dealen Stromgeneratoren mt den Stromstärken G und G können durch enen enzgen Stromgenerator mt Stromstärke G+ G I ersetzt werden. e Der Innenwderstand des Stromgenerators (bezehungswese hr Letwert) folgt aus der Parallelschaltung der beden Wderstände, und zwar: oder e + G G + G e (.) Jetzt kehren wr zum Spannungsgenerator zurück, dessen Innenwderstand und Ersatz-EMS: + I G + G I G e G+ G + e e e (.) Schlußfolgerung. De EMS der Ersatz Stromuelle st en gewogenes (ponderertes) Mttel zwschen den EMS der Enzeluellen, das von den Größen der nneren Letwerte abhängt. Der Innenwderstand der Ersatzuelle wrd so berechnet, als ob de Wderstände der Enzeluellen parallelgeschaltet wären. b. ehenschaltung von Spannungsgeneratoren Zwe n ehe geschaltete Spannungsgeneratoren können durch ene Ersatzstromuelle mt e und e (Abb..7) ersetzt werden, wenn man de Bedngung stellt, dass für degleche Klemmenspannung derselbe Strom de Klemmen durchfleßen soll. So können folgende Bezehungen geschreben werden: und + ( + ) e e I

22 Conf. dr. ng. Eml CAZAC woraus durch Verglech der entsprechenden Gleder folgende Glechungen erhalten werden: und + e + e Für n Stromuellen können de Schaltglechungen folgendermaßen geschreben werden: n (.) ± und e k k e n ± k Wenn de n Stromuellen dentsch snd, erhält man: e k n (.4) und e n c. Parallelschaltung von Stromgeneratoren De Ersatzschaltung von n parallelgeschalteten reellen Stromgeneratoren besteht aus n dealen Stromgeneratoren und n Wderständen, de parallelgeschaltet snd. Für de Elemente der Ersatzstromuellen folgt dann soglech: und k und I e G e n ± I n k k ± G k (.5) (.6) Für n dentsche Stromgeneratoren werden de Glechungen zu: I e ni

23 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Ge ng D. NTESCHNG DE STOMKEISE MIT HILFE DE KICHHOFFSCHEN SÄTZE. Anwendungsmöglchketen der Krchhoff schen Sätze. Der Streckenkomplex enes Stromkreses De Spannungen an den Zwegklemmen enes Stromkreses, sowe de durch de Zwege fleßenden Ströme befolgen de Krchhoff schen Sätze. Der erste Krchhoff sche Satz bezeht sch auf de Zwegströme m Knotenpunkt enes Netzes (Knotenpunktsatz). Der zwete Satz bezeht sch auf de Klemmenspannungen an den Zwegen, de ene Masche blden (Maschensatz). Verfolgen wr nun de Anwendungsart der Krchhoff schen Sätze be der ntersuchung der Stromkrese für Glechstrom. a. Anwendung des ersten Krchhoff schen Satzes (Knotenpunktsatz) We wr wssen, besagt der erste Krchhoff sche Satz, dass de algebrasche Summe der Stromstärken aus den Zwegen, de sch n enem Knotenpunkt treffen, glech Null st. k B ± I 0 worn mt B de Menge der Indzes der Zwege bezechnet wurde, de sch m Knoten (b) treffen. Beachte. Für de Überprüfung des ersten Krchhoff schen Satzes st es ncht nötg, de Stromkrese mt allen Enzelheten darzustellen. Es genügt, wenn nur de Knoten und Zwege der Stromkrese mt dem k

24 Conf. dr. ng. Eml CAZAC postven Bezugssnn der Zwegströme aufgezechnet werden (Abb..40). Ene Darstellung deser Art heßt Streckenkomplex. m enen Stromkres lösen zu können, muss de Anzahl der unabhänggen Glechungen bekannt sen, de man durch Anwendung des ersten Krchhoffschen Satzes erhält. m dese Anzahl zu bestmmen, werden zwe enfache Stromkrese untersucht, deren Streckenkomplex weter unten vorgeführt wrd. Es kann glech festgestellt werden, dass man für den Stromkres mt zwe Knoten aus Abbldung.4, n beden Knoten deselbe Glechung: I I + I 0 bezehungswese I+ I I 0 schreben kann. Für den Stromkres mt dre Knoten aus Abbldung.44 können folgende Glechungen geschreben werden : ( a) I I + I 0 ; ( b) I4 + I5 I I 0 ; ( ) I I I 0 c. 4 5 Von den dre Glechungen snd nur zwe unabhängg (zum Bespel erhält man de drtte Glechung, wenn man de beden ersten mt (-) multplzert und nachher zusammenzählt). Heraus folgt durch Verallgemenern : für enen Stromkres mt N Knoten erhält man durch Anwendung des ersten Krchhoff schen Satzes N - l unabhängge Glechungen. Folglch: k B ( ) ± I 0 b,,, N. k b. Anwendung des zweten Krchhoff sehen Satzes Wr ernnern uns nun an de erste Form des Wortlauts: de algebrasche Summe der Klemmenspannungen an den Zwegen ener Masche st glech Null. Folglch schreben wr : k P ± 0, k Auch als Graph enes Stromkreses bekannt. 4

25 Conf. dr. ng. Eml CAZAC worn P de Menge der Indzes der Zwege darstellt, de de Masche blden (p). In deser Summe st das Vorzechen plus, wenn der Bezugssnn der Spannung mt dem mlaufsnn n der Masche überenstmmt. Im gegentelgen Fall st das Vorzechen der Spannung mnus. De Anzahl der unabhänggen Spannung glechungen für de Maschen st glech der Anzahl der unabhänggen Maschen. Ene Masche wrd dann gegenüber anderen Maschen als unabhängg bezechnet, wenn se ncht aus den Zwegen deser Maschen gebldet werden kann. So zum Bespel snd de n Abbldung.48 dar gestellten Maschen, de aus den Zwegen,, 6; 6, 4 und, 4, 5 gebldet werden, unabhängge Maschen, da jede von desen wengstens enen Zweg bestzt, der ncht aus ener anderen Masche stammt. De aus den Zwegen,, 5 gebldete Masche st jedoch den anderen dre Maschen gegenüber ncht mehr unabhängg, da se aus je enem Zweg, der desen Maschen gehört, gebldet wrd. Wenn L de Gesamtzahl der Zwege enes Netzes und N de Gesamtzahl der Knoten n desem Netz darstellt, so st nach dem Eüler schen Satz de Anzahl der unabhänggen Maschen : o L N + Im Falle des Netzes aus Abbldung.47 (L 6, N 4): o So we ene belebge Masche aus mehreren unabhänggen Maschen hervorgeht, so kann de Glechung für dese unabhängge Masche durch de algebrasche Summe der Glechungen für de unabhänggen Maschen bestmmt werden. Dese Egenschaft soll nun für den Stromkres aus Abbldung.48 mt L 6, N 4, o geprüft werden. Für de unabhänggen Maschen können folgende Glechungen geschreben werden: + 6 0, für Masche ; 5

26 Conf. dr. ng. Eml CAZAC 4 6 0, für Masche ; , für Masche. Für andere Maschen, zum Bespel für Masche 4, erhält man: Dese.letzte Glechung erhält man durch Zusammenzählen der Glechungen, und. Durch Anwendung des zweten Krchhoffschen Satzes für en Netz mt L Zwegen und N Knoten erhält man folglch en Glechungssystem mt o L N + unabhänggen Spannungsglechungen : m p ( ) ± 0 p,,, o. Anwendung des zweten Krchhoff schen m 6 Satzes nach dem zweten Wortlaut. Des öfteren bestehen Stromkrese für Glechstrom nur aus Wderständen und Spannungsgeneratoren. Nach dem Ersetzen der reellen Stromkreselemente durch deale Elemente kann en belebger Zweg m enes derartgen Stromkreses höchstens aus enem n ehe geschalteten dealen Wderstand und enem dealen Spannungsgenerator bestehen. In desem Fall kann der zwete Krchhoffsche Satz unter folgender Form angewendet werden: de algebrasche Summe der EMS aus den Zwegen ener Netzmasche st der algebraschen Summe der Spannungsabfälle n den Wderständen der Maschenzwege glech. So können wr schreben : m p ( ) ± ± I p,,, o. m m m m p Be der Anwendung des zweten Krehhoffschen Satzes unter deser Form wrd de Netzmasche zwemal durchlaufen : enmal für de EMS und das zwete Mal für de Spannungsabfälle. Beachte! Das Vorzechen ener EMS st plus, wenn hr chtungssnn mt dem gewählten mlaufsnn n der Masche

27 Conf. dr. ng. Eml CAZAC überenstmmt (m gegentelgen Fall st das Vorzechen mnus). Das Vorzechen enes Spannungsabfalls mi m st plus, wenn der chtungssnn des Stromes, der durch den Wderstand fleßt, mt dem mlaufsnn n der Masche überenstmmt (m gegentelgen Fall st das Vorzechen mnus).. Lösung der Stromkrese mt Hlfe der Krchhoffschen Sätze De Bestmmung der Zahlenwerte von Stromstärken und Spannungen n enem Stromkres für Glechstrom umfasst dre Etappen und zwar: Bestmmung des Glechungssystems des Stromkreses: Lösung des Glechungssystems; Überprüfung der Lösung. Für de Bestmmung des Glechungssystems können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden, wenn man das n Paragraph D.l Gelernte zusammenfasst: für enen Stromkres für Glechstrom mt L Zwegen und N Knoten können geschreben werden: N - Glechungen zwschen den L Zwegströmen; ` L - N + Glechungen zwschen den L Spannungen an den Knotenpunkten. So erhält man folgendes Glechungssystem: m A m P ( ) ± I 0 a,,, ( N ) ; m ( ) ± 0 p,,, L N +. m das aus L Glechungen mt ener doppelten Anzahl von L nbekannten besteht, und zwar: m (,,, ) I m L Zwegströme; 7

28 Conf. dr. ng. Eml CAZAC m (,,, ) m L Spannungen zwschen den Knotenpunkten das Glechungssystem muss zusätzlch noch L Glechungen erhalten, damt man es lösen kann. Wenn der Stromkres lnear st, können dem System noch L lneare Glechungen mt Bezehungen zwschen den Größen I m und begefügt werden. So snd zum Bespel de Verbndungsglechungen für enen Stromkres, der nur aus Wderständen und Spannungsuellen besteht, folgende: ( ) + I m,,, L, m m m m de für alle L Zwege geschreben werden. Dese Glechungen schleßen auch de Sonderfälle en, für de en Zweg nur aus enem Wderstand (wobe m 0 angenommen wrd), oder nur aus ener Spannungsuelle (wobe m 0 st) besteht. Für enen derartgen Stromkres erhält man durch Anwendung der Krchhoffschen Sätze das System: k A m P ( ) ± I 0 a,,, ( N ) ; k ( ) ± ± I p,,, L N +. m m m m P das aus L Glechungen mt ebensovelen nbekannten besteht, und zwar den Strömen I, I,..., I L, de durch de L Zwege fleßen. Wenn der Stromkres auch Stromgeneratoren bestzt, dann bestmmt jeder Stromgenerator den entsprechenden Zwegstrom, das heßt, dass de Anzahl der unbekannten Ströme um enen klener st, daneben jedoch noch ene nbekannte auftrtt, und zwar de an den Stromgenerator angeklemmte Spannung ; verklenert sch de Anzahl der Maschen, für de der zwete Krchhoff sche Satz als Sonderfall geschreben werden kann. Für de übrggeblebenen Maschen kann jedoch der zwete Krchhoff sche Satz n sener allgemenen Form angewendet werden. Folglch erhält man auch n desem Fall en Glechungssystem von L Glechungen mt L m 8

29 Conf. dr. ng. Eml CAZAC nbekannten. Dese alle snd Klemmenspannungen der Stromgeneratoren und bzw. Ströme, de durch dejengen Zwege fleßen, de kene Stromgeneratoren enthalten. Verfolgen wr nun de Berechnungsetappen be zwe Stromkresen für Glechstrom. Oft kann de Lösung enes Stromkreses fur Glechstrom verenfacht werden, wenn de n ehe oder parallel geschalteten Elemente durch Ersatzelemente vertauscht werden. Als Bespel wrd folgende Aufgabe gebracht.. Methoden und Lehrsätze zum Lösen von lnearen Glechstromkresen a. Überlagerungssatz Gegeben se der Stromkres aus Abbldung.58, a. Der durch den Stromkres fleßende Strom st: I + Man bemerkt, dass I als Summe von zwe Gledern berechnet wrd, I und I, de aus den Stromkresen von den Abbldungen.58, b und c berechnet werden können, worn jede der beden dealen Stromuellen, und sch der ehe nach allen m Stromkres befnden. Dese Berechnungsmethode kann für jeden lnearen Stromkres benutzt werden, für den folgender Überlagerungssatz gültg st: der elektrsche Strom durch jeden Zweg st der algebraschen Summe der elektrschen Ströme glech, de n jenem Zweg von jeder Stromuelle erzeugt werden, wenn sch dese allen m Stromkres befnden würde. ) Für den Fall enes Stromkreses, der auch reelle Spannungsgeneratoren (oder Stromgeneratoren) enthält, müssen dese 9

30 Conf. dr. ng. Eml CAZAC durch ene ehenschaltung von dealen Spannungsgeneratoren mt Wderständen (oder ene Parallelschaltung von dealen Stromgeneratoren mt Wderständen) ersetzt werden. So bleben de Innenwderstände m Stromkres, wenn de Stromuelle, d.h. hre EMS, aus dem Stromkres entfernt wrd. b. Methode der Maschenströme (der zyklschen Ströme) Gegeben se der Stromkres ans Abbldung.6, a. Durch Anwendung Krchhoff schen Sätze erhält man das Glechungssystem: I+ I I 8I+ I 6 4I + I 0 Das System wrd mt Hlfe der Substtutonsmethode gelöst. Durch Elmneren von I erhält man das System: 8I+ ( I+ I) 6 4I + ( I+ I) 0 das auch folgendermaßen geschreben werden kann: 0I+ I 6 I+ 6I 0 Aus der zweten Glechung folgt: 0 6I I 0 I, und durch Ensetzen n de erste Glechung erhält man: 84 0( 0 I) + I 6 ; I A. 8 Nach weteren Berechnungen erhält man für de beden anderen Ströme: I A ; I 4 A. De Verrngerung der Anzahl der Glechungen, de durch de Substtutonsmethode erzelt wurde, kann auch drekt durch de Wahl ener neuen nbekannten erhalten werden, so dass der erste 0

31 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Krchhoff sche Satz automatsch engehalten wrd. De neuen nbekannten snd fktve Ströme, de auch Maschenströme oder zyklsche Ströme genannt werden, wobe jeder deser Ströme alle Zwege ener unabhänggen Masche durchfleßt. Nehmen wr an, dass durch de beden Maschen des Stromkreses aus Abbldung.6 de Maschenströme I ' und I ' fleßen, mt den n der Abbldung angegebenen chtungssnnen. De wrklchen Ströme, de durch de Zwege des Stromkreses fleßen, können n Funkton von desen fktven Strömen ausgedrückt werden. Somt st I I, ' ' I I und I I + I, da de beden Maschenströme m ' ' selben Snn durch den drtten Zweg fleßen. Durch Anwendung des zweten Krchhoff schen Satzes für de zwe Maschen erhält man: oder ' ' ' 8I+ ( I+ I) 6 ' ' ' 4I + ( I+ I) 0 ' ' 0I + I 6 ' ' I + 6I 0 Deses System st dentsch mt dem weter oben erhaltenen, das durch Anwendung der Krchhoff schen Sätze und durch Substtuton des Stromes I erzelt wurde. Das letzte System lässt aber ene verschedenartge Interpretaton zu. So kann man bemerken, dass de Glechungen der Maschenströme folgende Form annehmen: I + I I I ' ' ' ' ' ' + wobe und Egenwderstände der Maschen genannt werden, der gemensame Wderstand der Maschen und EMS der Maschen snd. ' und ' de Der Egenwderstand ener Masche st glech der Summe der Zwegwderstände der Masche und st mmer postv. Der gemensame

32 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Wderstand der beden Maschen st der Wderstand des gemensamen Zweges deser Maschen, wenn deser Zweg m selben Snn von den Strömen der beden Maschen durchflossen wrd. Der Wderstand st dem Wderstand des gemensamen Zweges mt umgekehrten Vorzechen glech, wenn de Ströme desen n entgegengesetztem Snn durchfleßen. De EMS der Masche st der algebraschen Summe aller EMS aus der Masche glech und wrd genauso we für den Sonderfall des zweten Krchhoff schen Satzes berechnet. De Lösung des Systems der Maschenglechungen st: I A ; I A ' ' und kann durch Aufstellung der Streckenkomplexe mt Spannungs- und Stromenzechnung überprüft werden (Abb..64). Aufgabe. Gegeben se de Brückenschaltung aus Abbldung.65 mt den auf dem Schema angegebenen Zahlenwerten. Bestmme de Ströme mt Hlfe des Maschenstromverfahrens. Der Stromkres hat L 6, N 4 und folglch: o L - N + unabhängge Maschen. ' I, ' I und ' I seen de entsprechenden Maschenströme mt den n der Abbldung angegebenen chtungssnnen. De allgemenen Glechungen für de dre Maschen snd: I + I + I I I I I + I + I ' ' ' ' ' ' ' ' + + ' ' ' ' wobe, den oben angeführten egeln entsprechend: + + 0; 4; ; 4; ; 6; ; 0; 80 V. ' ' '

33 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Anmerkung. 4< 0, wel der Zweg 4 von den Strömen I ' und I ' n entgegengesetztem Snn durchflossen wrd. Durch Ensetzen erhält man: Heraus folgt: 0I + 4I 4I 0 ' ' ' 4I + I + 6I 0 ' ' ' 4I + 6I + I 80 ' ' ' I 0 A I ; I 5 A ' ' ' De Stromstärken der Zwegströme folgen aus der Überlagerung der Maschenströme, de de Zwege durchfleßen: I I A ' 0 I I I A ' ' I I A ' 0 I I I A ' ' I I I A ' ' I I A ' 5 De Streckenkomplexe deser Ströme und der Maschenströme snd n Abbldung.66, a dargestellt. Man bemerkt, dass de Lösung derselben Aufgabe mt Hlfe der Krchhoffs chen Sätze zu enem Gle chungssystem von sechs Glechungen mt sechs nbekannten geführt hätte. c. Methode der Knotenpotentale Es soll der Stromkres aus Abbldung.67 gelöst werden, wobe de nbekannte das Potental des Knotenpunktes (a) st, m Verhältns zum Potental des Knotens (b), das als Null angenommen wrd. De Klemmenspannungen der dre Wderstände und de se durchfleßenden Ströme können n Funkton von desem Potental

34 Conf. dr. ng. Eml CAZAC ausgedrückt werden, so we es n den Strom- und Spannungsstreckenkomplexen aus Abbldung.68, a und b verfolgt werden kann. Es kann festgestellt werden, dass der zwete Krchhoff sche Satz automatsch erfüllt st. Nun muss nur noch der erste Krchhoff sche Satz erfüllt werden, also: Durch Ordnen erhält man: V V V V +. Mt den angegebenen Zahlenwerten erhält man: woraus folgt: V V. Wenn man den Knoten mt dem Index bezechnet, kann de erhaltene Glechung folgende Form annehmen: G I KS Wenn der Stromkres dre Knotenpunkte gehabt hätte und wenn man de Potentale der Knoten und mt V und V bezechnet hätte, während V 0 gewesen wäre, dann hätte man n ähnlcher Wese en Glechungssystem mt zwe Glechungen aufstellen können: G G + G + G I I KS KS De Letwerte G und G werden Egenletwerte der Knotenpunkte genannt. So we weter oben angeführt, wrd der Egenletwert enes Knotens als Summe der Letwerte aller n desem Knoten 4

35 Conf. dr. ng. Eml CAZAC zusammenführenden Zwege berechnet und hat stets enen postven Wert. Der Letwert G G st der gemensame Letwert zwschen Knoten und Knoten und wrd als Summe der Letwerte der Zwege berechnet, de de Knoten und drekt verbnden (mt umgekehrten Vorzechen). De Ströme I KS und I KS werden Kurzschlußströme genannt. En Kurzschlußstrom wrd aus der algebraschen Summe der Ströme berechnet, de von den Stromuellen, de n den m Enotenpunkt zusammentreffenden Zwegen legen, gegen den Knoten gelefert würden, wobe de Klemmen der Zwege kurzgeschlossen wären. d. mwandlungsmethoden Enen Stromkres umwandeln heßt, hn n enen Ersatzstromkres umändern. So kann zum Bespel ene Kette von Wderständen n ehenschaltung durch enen enzgen Wderstand ersetzt werden, dessen Wert aus der Summe der Wderstände berechnet wrd; en reeller Spannungsgenerator kann n enen reellen Stromgenerator verwandelt werden usw. De mwandlungsmethoden werden n der Elektrotechnk verwendet, um de Stromkrese zu verenfachen und deren Berechnung zu erlechtern. mrechnung: Dreeck-Stern- und Stern-Dreeck-Schaltung. Der Stromkres aus Abbldung.7, a wrd Sternschaltung und derjenge aus Abbldung.7, b Dreeckschaltung genannt. Ihre Elemente snd,, (Stern) und,, (Dreeck). En Dreeck n enen Stern umwandeln heßt, de Elemente,, ener Sternschaltung zu fnden, de unter belebgen Bedngungen ene Dreeckschaltung ersetzen kann (de also mt enem Dreeck äuvalent st). Folglch snd,, gegeben, während,, verlangt werden. Da de beden Schaltungen unter jeder 5

36 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Bedngung äuvalent sen müssen, kann auch der Fall angenommen werden, für den nur en Klemmenpaar gespest wrd, zum Bespel de Klemmen () und (), während de Klemme () leer steht (Abb..7). In desem Fall müssen de beden Ersatzwderstände glech sen: ( + ) In ähnlcher Wese erhält man für Spesung der Klemmen (), () und (), (): ( + ) ( + ) Durch Zusammenzählen der dre Glechungen erhält man: Wenn man von deser letzten Glechung je ene der obgen Glechung abzeht, erhält man: (.7) Für den Sonderfall glecher Zwegwderstände folgt Δ Δ m enen Stern n en Dreeck umzuwandeln, spest man der ehe nach de beden Stromkrese we n Abbldung.7, zum Bespel durch de Klemmen () und (), wobe de Klemmen () und () 6

37 Conf. dr. ng. Eml CAZAC kurzgeschlossen werden. Es werden de Ersatzletwerte, de glech sen müssen, berechnet. So erhält man nachenander: G G G G( G + G) + G G + G + G G( G+ G) + G G + G + G G( G+ G) + G G + G + G Durch lösen deses Systems we m vorhergen Fall, erhält man: G GG G + G + G G GG G + G + G (.8) G GG G + G + G Für den Sonderfall von glechen Letwerten n der Sternschaltung; G G G G folgt: woraus G G G G Δ, genau we weter oben erhalten wurde. Δ mwandlung von Stromkresen n Ersatzschaltungen Der Ersatz-Spannungsgenerator. Helmholtz-Thevenn scher Satz. Es se ene Stromuelle mt der EMS und dem Innenwderstand enspest., de n enen Verbraucher mt Wderstand Nach dem Ohm schen Gesetz st de Stromstärke: 7

38 Conf. dr. ng. Eml CAZAC I + Wr stellen uns nun folgende Frage: welche Versuche (Messungen) müssen gemacht werden, um de Stromstärke durch jeden gegebenen Verbraucher berechnen zu können, wenn de Parameter der Stromuelle unbekannt snd? Wenn der Verbraucher abgeschaltet st (Stromuelle n Leerlauf: ), erhält man I 0, während AB0 de Leerlaufspannung an den Klemmen der Stromuelle darstellt. Wenn de Klemmen der Stromuelle kurzgeschlossen snd ( 0), st AB 0 und der Kurzschlußstrom beträgt: Heraus folgt: Somt erhält man: I IKS AB0 I AB0 KS I + I AB0 AB0 KS Es genügt also, de Leerlaufspannung AB0 und den Kurzschlußstrom zu messen. Man bemerkt, dass den Innenwderstand der Stromuelle darstellt, de en passves Element geworden st, das heßt, den Wderstand der durch Annullerung der EMS erhalten wurde (es blebt nur der Innenwderstand übrg). Deser Wderstand wrd mt AB0 bezechnet. So erhält man: I + AB0 AB0 Dese Bezehung stellt den Helmholtz-Thevenn schen Satz dar und wrd n folgendem Snn verallgemenert: wenn an zwe Klemmen A, 8

39 Conf. dr. ng. Eml CAZAC B enes aktven Stromkreses en Verbraucher geschaltet wrd, dann wrd de Stromstärke aus Zweg AB mt folgender Bezehung berechnet: I AB + AB0 AB0 (.9) wobe AB0 de Spannung darstellt, de an den Klemmen A und B auftrtt, wenn der Wderstand aus dem Stromkres ausgeschaltet wrd (Leerlaufbetreb), und AB0 den Wderstand des n den passven Zustand überführten Stromkreses (m Verhältns zu den Klemmen A und B) darstellt, das heßt, den Wderstand des Stromkreses (ohne den Zweg AB), wenn de EMS der Stromuellen annullert wrd und nur deren Innenwderstände bestehen bleben. Der Helmholtz-Thevenn sche Satz führt zum Ersatzschaltbld aus Abbldung.74, c, n welchem AB0 und AB0. Deses aktve Ersatzschaltbld wrd Ersatz-Spannungsgenerator des Stromkreses m Verhältns zu den Klemmen A und B genannt. Man kann demnach folgenden Lehrsatz des Ersatz- Spannmgsgenerators enes aktven Stromkreses aussagen : m Verhältns zu zwe Klemmen A und B kann jeder aktve Stromkres für Glechstrom n enen Ersatz-Spannungsgenerator umgewandelt werden, dessen EMS 0 und dessen Innenwderstand 0 st. AB AB Ersatz-Stromgenerator; Norton scher Satz. Durch mwandlung des Ersatz-Spannungsgenerators n enen Ersatz- Stromgenerator (Abb..75) erhält man den Ersatz- Stromgenerator des Stromkreses gegenüber den Klemmen A und B. Es kann demnach auch folgender Lehrsatz des Ersatz- Stromgenerators enes aktven Stromkreses ausgesprochen werden: m Verhältns zu zwe Klemmen A und B kann jeder aktve Stromkres für Glechstrom n enen Ersatz-Stromgenerator 9

40 Conf. dr. ng. Eml CAZAC AB0 umgewandelt werden mt I IKS AB und dem Ersatzletwert G AB0. AB0 AB0 Aufgabe. Der Ersatz-Spannungsgenerator enes Stromkreses für Glechstrom hat 0 00 V und 0 0 Ω. Bestmme den Ersatz- Stromgenerator. AB AB0 I A GAB0 S AB0 0 AB0 0 AB 00 0 ; 0.. Man nehme an, dass der Ersatz-Stromgenerator enes Stromkreses enen Verbraucher mt Letwert G enspest. Es soll de Spannung AB an den Verbraucherklemmen bestmmt werden. AB IAB IAB. G Mt Hlfe der Stromtelerregel erhält man: G I I I + + G AB0 AB KS AB KS AB AB0 GAB0 Durch Ensetzen n den Ausdruck der Spannung erhält man: AB I G+ G KS AB AB0. (.0) Dese Glechung drückt den Norton schen Satz mathematsch aus, der folgendermaßen ausgesprochen werden kann : de Klemmen-Spannung enes passven Zweges mt Letwert G, der zwschen de Klemmen A und B enes Stromkreses für Glechstrom engeschaltet wrd, st glech dem Verhältns zwschen der Stromstärke, de sch bem Kurzschleßen der Klemmen enstellt, und der Summe von Zwegletwert G und Letwert G AB0 des gegenüber den Klemmen A und B n den passven Zustand überführten Stromkreses. e. Lehrsatz des Lestungsumsatzes n Glechstromkresen 40

41 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Lestungsumsatz mt maxmaler Verbraueherlestung. Es wrd en reeller Spannungsgenerator mt EMS und Innenwderstand angenommen, der n enen Verbraucher mt Wderstand enspest (Abb..78). Vorausgesetzt, dass de Stromuelle gegeben st, wrd de Frage gestellt: n welcher Stuaton st de vom Verbraucher aufgenommene Lestung maxmal? m auf dese Frage zu antworten, wrd de vom Verbraucher aufgenommene Lestung n Betracht gezogen: Nach dem Ohm schen Gesetz st: P I I + so dass de Lestung folgendermaßen ausgedrückt werden kann: Da de EMS P ( + ) + gegeben st, wrd de Lestung dann enen Maxmalwert errechen, wenn der Nenner Mnmalwert annmmt. m desen Mnmalwert zu fnden, kann bemerkt werden, dass das Produkt der Gleder konstant st, und zwar: Aus der Mathematk st bekannt, dass von allen Zahlenpaaren, deren Produkt konstant st, deren Summe enen Mnmalwert errecht, 4

42 Conf. dr. ng. Eml CAZAC wenn de beden Zahlen glech snd (z.b. x 6 x 8 4 x < + 8 < + 6). Da nun das Produkt der beden engeklammerten Gleder des Nenners konstant st, folgt, dass hre Summe enen Mnmalwert errecht, wenn de beden Gleder glech snd: In desem Fall st de Maxmallestung: P max 4 (.) In deser Art gelangen wr zu folgendem Wortlaut des Lehrsatzes der maxmalen Lestungsübertragung : en Generator Überträgt dann enem Verbraucher ene maxmale Lestung, wenn der Wderstand 4 des Verbrauchers dem Innenwderstand des Generators glech st. De Lestung kann als Funkton von dar gestellt wer den, wenn man bemerkt, dass: für 0, P 0 ; für, P P ; max für, P 0. En Verbraucher, der de Bedngung der maxmalen Lestungsübertragung erfüllt, wrd als der Stromuelle angepasst bezechnet. De Anpassung der Verbraucher wrd nur n der Sgnaltechnk benützt (ado- und Fernsehtechnk u.a.) Wenn der Wrkungsgrad der Energeübertragung als : PΔt P η P Δt P 4

43 Conf. dr. ng. Eml CAZAC defnert wrd, wobe entwckelte Lestung darstellt, erhält man: P I de gesamte, von der Stromuelle + ( + ) η + + Man bemerkt, dass der Wrkungsgrad um so größer st, je klener gegenüber st ( ). Für P Pmax, erhält man: P η %. Pmax Deses Ergebns st selbstverständlch, wel dann, wenn der Wderstand des Verbrauchers dem Innenwderstand der Stromuelle glech st, dese von glechem Strom durchflossen werden und deselben Lestungen dssperen. Somt wrd de Hälfte der von der Stromuelle entwckelten Lestung von der Stromuelle selbst, de andere Hälfte vom Verbraucher aufgenommen. Im elektrschen Energewesen (Kraftwerke, Kraftnetze usw.) st der Wrkungsgrad von 50% gänzlch unbefredgend, so dass n desem Fall de Verbraucher ncht den Stromuellen angepasst werden. 4

44 Conf. dr. ng. Eml CAZAC f. Lehrsatz der Erhaltung der Lestung Gegeben se en Spannungsgenerator mt EMS und Innenwderstand der n enen Verbraucher mt Wderstand enspest. Nach dem Ohm schen Gesetz kann man schreben: I + I Nach Multplzeren mt I erhält man: oder wobe I I + I., P P + P P de von dem Generator entwckelte Lestung, P de m Innenwderstand der Stromuelle dssperte Lestung und P de vom Verbraucher aufgenommene Lestung darstellen. Nun wrd auch das Bespel aus Abbldung.77 n Betracht gezogen, für das man nach Anwendung des zweten Krchhoff schen Satzes erhält: oder, nach Multplzeren mt I: bezehungswese I + I I I I + I P P P P. + + Man bemerkt, dass m ersten Fall de vom Generator entwckelte Lestung n senem Innenwderstand und m Verbraucher dsspert wrd. Im zweten Fall deckt de vom ersten Generator entwckelte Lestung de n den Wderständen dssperte Lestung sowe de vom zweten Generator aufgenommene Lestung. 44

45 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Dese Bezehungen werden Erhaltungsglechungen der Lestungen oder Lestungsblanzglechungen genannt. Se können für enen Stromkres mt L aktven Zwegen verallgemenert werden: L L ± KIK ± KIK K K und stellen den mathematschen Ausdruck des Lehrsatzes der Erhaltung der Lestungen dar, der folgendermaßen ausgesprochen werden kann: de algebrasche Summe der von den Spannungsgeneratoren entwckelten Lestungen st der Summe der n den Wderständen des Stromkreses dssperten Lestungen glech. Anmerkung. De Lestung ener Stromuelle hat das Vorzechen (+), wrd also effektv abgegeben, wenn de Stromstärke und de EMS postv snd und denselben chtungssnn haben ; de Lestung ener Stromuelle hat das Vorzechen (-), wenn se effektv auf genommen wrd, wenn de Stromstärke und de EMS postv snd und entgegengesetzten Snn haben; de n den Wderständen dssperten Lestungen (enschleßlch n den Innenwderständen der Stromuellen) snd mmer postv. Für gewöhnlch wrd für de Überprüfung der Lösung enes Stromkreses de Lestungsblanzglechung aufgestellt. Wenn dese Blanzglechung ncht stmmt, st de Lösung scher ncht rchtg. mlauf- und Knotenanalyse unter Benutzung enes vollständges Baumes Lösungsansatz: Das Maschenstrom- und das Knotenspannungsverfahren nach Kap. 4. und Kap 4. haben zum Zel, de rchtge Anzahl der benötgten Glechungen bestmmen und de Auswahl der vonenander unabhänggen Glechungen zur Netzwerkanalyse vornehmen zu können. Bede Vorgehenswesen werden auch be der Analyse unter Benutzung enes vollstän-dgen Baumes zugrunde gelegt, wobe sch her allerdngs de erforderlchen Arbetsschrtte wetergehend schematseren lassen. 45

46 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Begrffsdefntonen: Abstrahert man de Zechnung des Netzes zu enem Streckennetz ( Graph ; vergleche auch Kap. 4.) und verbndet de Knoten durch ene ncht unterbrochene Lne (m Streckennetz nach Bld dck engezechnet), nennet man desen Lnenkomplex enen Baum. Deser Lnenzug, der aber kenen geschlossenen mlauf blden darf, heßt vollständger Baum, wenn alle Knoten erfasst snd Bld 4.8. Netzwerk und zugehörges Streckennetz mt enem Bespel für enen engetragenen vollständgen Baum De dcken Lnen bezechnet man als Baumzwege, de dünnen Lnen als Verbn-dungszwege. Seht man z.b. de Ströme n den Verbndungszwegen als unabhängge Größen an, snd de Ströme n den Baumzwegen de abhänggen Ströme. Man hat sch somt ene grafsche Methode geschaffen, abhängge und unabhängge Größen schnell und zwefelsfre defnere zu können. Bld 4.8. zwegt enge wetere Möglchketen zur Wahl des vollständgen Baumes: Lösungsstrategen zur Berechnung der unabhänggen Ströme aus den Maschen-Glechungen ezept Maschenstromanalyse unter Benutzung enes vollständgen Baumes (zweckmäßg, wenn Baum so gelegt werden kann, dass möglchst weng Verbndungszwegen ( Zahl der Glechungen) entstehen) 46

47 Conf. dr. ng. Eml CAZAC. Alle Knoten des Netzes verbnden, aber ohne enen geschlossenen mlauf zu blden. Dabe vollständgen Baum so wählen, dass gesuchte Ströme n Verbndungszwegen (unabhängge Ströme) fleßen. Spannungsuellen und vorgegebene En-Strömungen glechfalls n Verbndungs-Zwege legen. Beachte. Für Maschenumläufe soll nur en Verbndungszweg zu durchlaufen sen. Bespel: Gesucht: I 4 5 nabhängge Ströme: I, I, I 6. Zweckmäßge Nummererung der Zwege: Begnne mt der Nummererung be den Verbndungszwegen ( gesuchte Ströme) und lasse de Baumzwege folgen, wenn kene andere Nummererung vorgegeben st.. Lege Zählrchtung n allen Zwegen (wllkürlch) fest mlaufrchtg für de unabhänggen Maschen. 4. Für de unabhänggen Größen snd nach Kap. 4. de Krchhoffschen Glechungen aufzustellen. Da her de Berechnung mt den unabhänggen Strömen erfolgen soll, hat man de Maschenglechungen und n jedem Zweg des Ohmsche Gesetz zu benutzen. Das Ergebns st ene Wderstandsmatrx, deren Elemente sofort unter Benutzung enes Koeffzentenschemas angegeben werden können. ( ) ( I ) ( ) 47

48 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Dazu führt man für jeden Verbndungs-Zweg entsprechend der Zählrchtung des unabhänggen Stromes enen Spannungs-mlauf durch und Stellt das Koeffzenten-Schema nach folgenden egeln auf: 5. In der lnken Spalte des Schemas snd de Maschenumläufe angegeben, dann folgen n der Kopfzele de spaltenwese Bezechnungen der unabhänggen Ströme von lnks nach rechts entsprechend der ehenfolge der Maschenumläufe n der lnken Spalte. Getrennt davon wrd n der rechten Spalte de rechte Sete des Glechungssystems aufgeführt (vgl. dazu auch Kap. 4., Lösung Aufgabe 4..4 usw.). Ströme I I I rechte Sete Masche I Masche II Masche III 6. De Elemente der Wderstandsmatrx snd n den noch freen, lnken Tel des Schemas nach folgenden egeln enzutragen: - In den Hauptdagonalen steht de Summe aller Wderstände des zugehörgen Spannungsumlaufs. - De Übrgen Elemente werden durch de Wderstände gebldet, de den verschedenen mläufen gemensam snd; z.b. n Masche I, Spalte st m mlauf I und III 4 gemensam enthalten. Für den mlauf II und III st 5 gemensames Element, usw. Dese Wderstände erhalten en postves Vorzechen, wenn n dem gemensamen Zweg bede mläufe de gleche Orenterung haben und en negatves Vorzechen, wenn n dem gemensamen Zweg de mläufe verschedenen orentert snd. Snd kene gemensamen Elemente bem mlauf vorhanden, st 0 enzusetzen. So enthält das Schema z.b. n Masche I, Spalte ene 0, denn de mläufe I und II bestzen ken gemensames Element. Das Koeffzentenschema st symmetrsch zur Hauptdagonalen, da be der her gewählten Anordnung de Verkopplung der mläufe für Masche mt Strom j dentsch st mt der Verkopplung der Masche j mt dem Strom (, j,,n). 48

49 Conf. dr. ng. Eml CAZAC I I I Ströme I I I rechte Sete Masche I Masche II Masche III De rechte Sete des Glechungssystems ergbt sch nach folgender egel: Auf der rechten Sete stehen alle n dem betreffenden Maschenumlauf enthaltenen Generatorspannungen, und zwar - mt postvem Vorzechen, wenn mlaufs- und Spannungsrchtung entgegen-gesetzt snd, - mt negatvem Vorzechen, be glecher Orenterung. 8. De nbekannten Ströme I, I und I snd dann mt den Hlfsmtteln der Mathematk für de Lösung von Glechungssystemen zu bestmmen (Lösung des Glechungssystems z.b. nach den egeln der Matrzenrechnung, unter Benutzung von Taschenrechner-Programmen usw.; s. auch Anhang: Mathematsche Ergänzungen). 6 49

50 Conf. dr. ng. Eml CAZAC Lösungsstrategen zur Berechnung der unabhänggen Spannungen aus den Knotenglechungen ezept Knotenspannungsanalyse unter Benutzung enes vollständgen Baumes: (zweckmäßg, wenn alle Knoten durch möglchst weng Baumzwege (Zahl der Baumzwege Zahl der Glechungen) enes sternförmgen Baumes verbunden werden können). Wähle Baum so, dass von enem Bezugsknoten aus alle anderen Knoten sternförmg verbunden snd. Falls nur ene Spannung bzw. der zugehörge Strom m Netzwerk gesucht st, st der Bezugknoten n enen Knoten deses Baumzweges zu legen. Sollte kene drekte Verbndung vom Bezugsknoten zu enem anderen Knoten bestehen, füge ene Verbndung hnzu und ordne hr den Letwert G 0 zu. Beachte: Stromuellen sollten vorzugswese n Verbndungszwegen legen.. Lege Zählpfelrchtung der unabhänggen Spannungen (Baumzwege) n chtung auf Bezugsknoten fest (In der Skzze: Bezugs-Knoten A). De Zählpfelorenterung n Zwegen mt Stromuellen sollte der Quellenstromrchtung entsprechen, wenn ncht ene andere chtung durch Orenterung der Baum-Zwege (unabhängge Spannungen, auf Bezugsknoten gerchtet!) Bespel: Netzwerk B A 4 D I C Zugehörges Streckennetz: B A D C ( G ) ( ) ( I ) I0 50

51 Conf. dr. ng. Eml CAZAC vorgegeben st.. Falls Spannungsuellen vorhanden, forme se n entsprechende Stromuellen um. 4. Für de Berechnung der unabhänggen Spannungen müssen nach Kap. 4. de Knotenglechungen und n jedem Zweg das Ohmsche Gesetz ausgewertet werden. Somt snd für alle Knoten außer dem Bezugsknoten de Knotenglechungen aufzustellen. 5. In der lnken Spalte des Koeffzentenschemas lstet man zweckmäßgerwese de Knoten auf und zwar entsprechend der ehenfolge der unabhänggen Spannungen, de zwschen dem jewelg betrachteten Knoten und dem Bezugsknoten legen. In der Kopfzele folgen dann spaltenwese de unabhänggen Spannungen an den Baumzwegen entsprechend der ehenfolge der Knoten. Getrennt davon steht n der rechten Spalte de rechte Sete des Glechungssystems. Spannungen 4 5 rechte Sete (): Knoten B (): Knoten D (): Knoten C 6. In den freen, lnken Tel des Schemas snd de Elemente der Letwertmatrx we folgt enzutragen: - In den Hauptdagonalen steht de Summe aller Letwerte der Zwege, de von dem betrachteten Knoten ausgehen. 5