Mathematikaufgabe 100

Transkript

1 Home Startsete Impressum Kontakt Gästebuch Aufgabe: Sechs Flugzeuge mt unterschedlchen Geschwndgketen und Abständen flegen n ener Warteschlefe m Kres. Lösen Se de Aufgabenstellung, daß alle Flugzeuge mt glecher Geschwndgket und n glechen Abständen zuenander m Kres flegen sollen, durch en neuronales Netzwerk. Lösung: De Anordnung unserer Flugzeuge m ten Zetnterall se bespelswese de n Abb. angegebene. Ohne Beschränkung der Allgemenhet se r R e, wobe R der Kresradus st. 6 x y r 3 r r r r 5 4 () r 6 x () b b b b b b () Abbldung. Sechs Flugzeuge n ener kresförmgen Warteschlefe zum Zetpunkt De Wnkel für,,, 6 (n) (n) b durch folge Bezehung erknüpft: R ( ) b n. n snd mt den Bogenlängen ( Aufgrund der Anfangsbedngungen st 7) (). Sollen de Flugzeuge hre Abstände zuenander bebehalten, müßten se mt stets glechbleber Geschwndgket ( t n) flegen, wobe t en für alle Flugzeuge geltes Zetnterall st, n dem de jewelgen Bögen mt den entsprechen Geschwndgketen durchflogen werden müssen. Dann wäre de mttlere Geschwndgket gegeben durch n 6t R. 3 t Da de Flugzeuge aber n der Regel entweder mt ener zu großen oder zu gerngen Geschwndgket n de Warteschlefe enflegen, kann es zu gefährlchen Annäherungen kommen. Um Copyrght 7, Manfred Hebl. Alle Rechte orbehalten. Sete

2 dese unterschedlchen Abstände auszuglechen, müssen de Geschwndgketen folglch systematsch an de mttlere Geschwndgket herangeführt werden und de Abstände auf enen mttleren Abstand b t gebracht werden. Dazu snd zwe Bedngungen zu erfüllen. Der Abstand zum Vordermann muß glech dem Abstand zum Hntermann werden, und für de Dfferenzgeschwndgket glt das gleche. Für de Abstände bedeutet das, daß gelten muß: b ( n ). Wenn für das nächste Meßnterall stets der Geschwndgketsmttelwert ( n ) zweer aufenanderfolger Flugzeuge erwet wrd, nähern sch auch de Abstände der Flugzeuge unterenander dem mttleren Abstand zwschen zwe Flugzeugen an, d.h. wegen t R ( n) t R ergbt sch der zur Geschwndgket analoge Ausdruck ( n). Das dazu äqualente Netzwerk st n Abb. dargestellt. () () ( n ) Abbldung. Neuronales Netzwerk zur Regelung on 6 Geschwndgketen n ener Warteschlefe De Ausgangsneuronen sollen nun drekt n de Geschwndgketsregelung der jewelgen Flugzeuge engrefen und hre Werte rekurs tereren. De Geschwndgketsberechnung oblegt dabe der zentralen Flugerkehrskontrollstelle, welche n Abständen de GPS-Postonen und Fluggeschwndgketen aller Telnehmer erhält und umgekehrt de rekursen Werte an de Engangsneuronen der enzelnen Flugzeuge zurückgbt. De Methode hat den Vortel, daß ncht jedes telnehme Flugzeug mt enem egenen Flugregler ausgestattet werden muß, sondern Copyrght 7, Manfred Hebl. Alle Rechte orbehalten. Sete

3 de Informatonen für de Engangsneuronen on zentraler Stelle aus kommen. Man seht also, daß de Regelwerte ( n) sch mmer wenger ändern, je mehr sch de Geschwndgketen aller Nachbarn unterenander angeglchen haben. Das setzt ene enwandfre funktonere Kommunkaton oraus. Insgesamt haben wr jewels 6 En- und Ausgangsneuronen, 64 erschedene Btmuster und 36 neuronale Verbndungen. () () ( n ) Abbldung 3. Neuronales Netzwerk zur Regelung on 6 Abständen n ener Warteschlefe Das rekurse neuronale Netzwerk können wr entweder n Matrxdarstellung angeben: () / / / / / / / / / / / / (), wobe de Gewchte berets festgelegt snd, oder wr beschreben es als selbstorgansere Karte der Form () / / / / / / / / / / / / (). Copyrght 7, Manfred Hebl. Alle Rechte orbehalten. Sete 3

4 Dabe st / W / / / / / / / / / / / unsere Gewchtsmatrx. De on null erschedenen Gewchte n desem neuronalen Netz snd besonders enfach und haben alle den Wert,5. Zum Abschluß geben wr noch de Softwarelösung für deses Netzwerk an. Wr konnten somt zegen, daß en enfaches Mttelungserfahren zu ener Selbstorgansaton fähg st. Unwllkürlch machen de Ploten genau das gleche, se halten de Abstände per Augenmaß, um ncht zu kollderen. Wenn wr es allerdngs mt autonomen oder unbemannten Flugzeugen zu tun haben, st en entsprecher Algorthmus, der de Organsaton stellertret übernmmt, unerzchtbar. Copyrght 7, Manfred Hebl. Alle Rechte orbehalten. Sete 4

5 Anhang % Kresstaffelung clear all % Kresradus n m R = 3; % Anfangswnkel ph(n,) zwschen zwe aufenanderfolgen Flugzeugen ph(,) = 65; ph(,) = 59; ph(3,) = 6; ph(4,) = 56; ph(5,) = 63; ph(6,) = 57; umfang = ph(,) + ph(,) + ph(3,) + ph(4,) + ph(5,) + ph(6,); % Umrechnung ns Bogenmaß for n=:6 x(n,) = ph(n,)/8*p; kresumfang = x(,) + x(,) + x(3,) + x(4,) + x(5,) + x(6,); % Bogenabstand zwschen zwe Flugzeugen n m for n=:6 b(n,) = R*x(n,); bogenumfang = b(,) + b(,) + b(3,) + b(4,) + b(5,) + b(6,); % Anfangsgeschwndgketen der Flugzeuge n m/s (,) = b(6,)/6; (,) = b(5,)/6; (3,) = b(4,)/6; (4,) = b(3,)/6; (5,) = b(,)/6; (6,) = b(,)/6; (7,) = (,); _m = ((,) + (,) + (3,) + (4,) + (5,) + (6,))/6 m = 6; for =:6 (7,) = (,); for n=:6 (n,+) = ((n,) + (n+,))/; b(n,+) = (n,+)*6; x(n,+) = b(n,+)/r; ph(n,+) = x(n,+)/p*8; = 7; dsp(' = ') dsp() Copyrght 7, Manfred Hebl. Alle Rechte orbehalten. Sete 5

6 ph_ = ph(,); = (,); b = b(,); x = x(,); q = (ph_-6)^; q = (-_m)^; dsp(' ph_ x b6 ') A = [ph_, x, b/, ]; dsp(a) ph_ = ph(,); = (,); b = b(,); x = x(,); q = (ph_-6)^; q = (-_m)^; dsp(' ph_ x b ') A = [ph_, x, b/, ]; dsp(a) ph_3 = ph(3,); 3 = (3,); b3 = b(3,); x3 = x(3,); q3 = (ph_3-6)^; q3 = (3-_m)^; dsp(' ph_3 x3 b3 3') A3 = [ph_3, x3, b3/, 3]; dsp(a3) ph_4 = ph(4,); 4 = (4,); b4 = b(4,); x4 = x(4,); q4 = (ph_4-6)^; q4 = (4-_m)^; dsp(' ph_4 x4 b34 4') A4 = [ph_4, x4, b4/, 4]; dsp(a4) ph_5 = ph(5,); 5 = (5,); b5 = b(5,); x5 = x(5,); q5 = (ph_5-6)^; q5 = (5-_m)^; dsp(' ph_5 x5 b45 5') A5 = [ph_5, x5, b5/, 5]; dsp(a5) ph_6 = ph(6,); 6 = (6,); b6 = b(6,); x6 = x(6,); Copyrght 7, Manfred Hebl. Alle Rechte orbehalten. Sete 6

7 q6 = (ph_6-6)^; q6 = (6-_m)^; dsp(' ph_6 x6 b56 6') A6 = [ph_6, x5, b6/, 6]; dsp(a6) q = q + q + q3 + q4 + q5 + q6; rms_ph = sqrt((q + q + q3 + q4 + q5 + q6)/6) q = q + q + q3 + q4 + q5 + q6; rms_ = sqrt(q/6) >> kresstaffelung _m = = 6 ph_ x b ph_ x b ph_3 x3 b ph_4 x4 b ph_5 x5 b ph_6 x6 b rms_ph =.76e-4 rms_ =. Copyrght 7, Manfred Hebl. Alle Rechte orbehalten. Sete 7