Visualisierung der Volatilität bei der Interpolation von Zeitreihen: Excel-Makro Saffint

Transkript

1 Vsualserung der Volatltät be der Interpolaton von Zetrehen: Excel-Makro Saffnt Norman Fckel Fredrch-Alexander-Unverstät Erlangen-Nürnberg Wrtschafts- und Sozalwssenschaftlche Fakultät Lehrstuhl für Statstk und emprsche Wrtschaftsforschung Lange Gasse 20 D Nürnberg Abstract Häufg werden n grafschen Darstellungen Werte ener Zetrehe lnear nterpolert, um enen groben Endruck hres Verlaufs zu geben. Das Ergebns st en Streckenzug, n dem enzelne Geradenstücke anenandergehängt snd, wobe de Ausgangsdaten des Streckenzugs de Knckpunkte blden. Allerdngs wrd durch ene solche lneare Interpolaton der vsuelle Endruck ener Zetrehe mt großer Volatltät, we etwa enes Börsenkurses, nur sehr unzurechend wedergegeben, da auch zwschen den verfügbaren Kurswerten starke Schwankungen vorlegen. Es wäre daher en Verfahren wünschenswert, das statt Geradenstücken Kurvenabschntte verwendet, de rauh wrken. Dabe sollte der Grad der Rauhet parametrserbar sen, so daß sowohl der Endruck ener sehr starken Volatltät als auch ener schwachen erzeugbar st. In desem Betrag wrd dafür Barnsleys selbstaffne (oder fraktale ) Interpolaton vorgeschlagen, de Ergebns enes Iteratonsprozesses st: Gestartet wrd mt dem Streckenzug der lnearen Interpolaton. Be enem Iteratonsschrtt wrd dann jeder Kurvenabschntt durch en affn gestauchtes Bld der gesamten Kurve des vorgen Schrtts ersetzt. De Iteraton brcht ab, wenn sch n der Auflösung des Bldschrms nchts mehr ändert. Der Grad der vertkalen Stauchung st dabe n Grenzen fre wählbar und lefert den gewünschten Volatltätsparameter. Ist deser m Extremfall glech null, so wrd der Strekkenzug vertkal exakt auf en Geradenstück gestaucht, womt de selbstaffne Interpolaton mt der lnearen Interpolaton überenstmmt. Größere Werte des Parameters lefern ene rauh wrkende Interpolaton und vsualseren damt enen bestmmten Grad von Volatltät. Für de praktsche Durchführung der selbstaffnen Interpolaton exstert en Algorthmus, der sch n wengen Zelen n BASIC als Excel-Makro programmeren leß und der de drekte Berechnung enzelner Interpolatonswerte erlaubt. 1

2 Inhalt 1. Enletung Beschrebung des Iteratonsprozesses Mathematk der selbstaffnen Funktonen En teratver Interpolatonsalgorthmus En rekursver Interpolatonsalgorthmus Volatltätsmessung Schlußbemerkung Lteratur Anhang A: Beschrebung des Excel-Makros Saffnt Anhang B: BASIC-Quellcode des Excel-Makros Saffnt Inhalt der Begletdskette DEMO.XLS SAFFINT.TXT Excel 5.0-Arbetsmappe mt dem Bespel aus Anhang A BASIC-Quellcode des Excel-Makros Saffnt aus Anhang B 2

3 1. Enletung Manche Zetrehen, etwa vele Aktenkurse, wesen enen rauhen Graphen auf, d. h. de Kurven wrken gezackt. Deser Endruck blebt auch bestehen, wenn man enen kürzeren Zetraum betrachtet. In der Praxs kennt man häufg nur wenge, wet ausenanderlegende Werte der Zetrehe. Deshalb stellt sch be der grafschen Darstellung das Problem, aus en paar wengen Stützwerten Zwschenwerte so zu nterpoleren, daß de Interpolatonsfunkton m geegneten Snne rauh oder eben volatl ausseht. Sowohl mt lnearen Interpolatonsverfahren als auch mt Splnenterpolatonen kann man dese Aufgabe ncht lösen, da se nur wetgehend glatte Verläufe lefern, de für sehr kurze Zeträume sogar lnear oder annähernd lnear snd. Der vsuelle Endruck der Volatltät geht m wesentlchen verloren, de rekonstruerte Zetrehe seht ganz anders als de ursprünglche Rehe aus. Insbesondere läßt sch ene zusätzlch vorhandene Informaton über de vermutete Volatltät gar ncht grafsch darstellen. In enem stochastschen Modell würde her das Hnzufügen ener rauhen Komponente Abhlfe schaffen, de etwa aus enem weßen Rauschen bestehen kann. Dazu müßte zu der glatten Interpolatonsfunkton an jeder Stelle der Zetachse ene zentrerte, normalvertelte Zufallsvarable addert werden. Ene Volatltätsnformaton leße sch dann durch geegnete Wahl der Varanz berückschtgen. Für praktsche Zwecke haben solche stochastschen Vorgehenswesen jedoch enge Nachtele: Zum enen hängt de Qualtät der Darstellung vom verwendeten Zufallszahlengenerator ab, wobe verschedene Startwerte des Zufallszahlengenerators jewels andere Rekonstruktonen lefern. Zum anderen st das durch den Zufallszahlengenerator festgelegte Konstruktonsschema an der Grafk kaum nachzuvollzehen. En alternatves, ren determnstsches Vorgehen besteht darn, de geraden Verbndungsstücke ener lnearen Interpolaton durch rauhe Kurvenabschntte zu ersetzen. De Struktur der Rauhet wrd dabe aus den gegebenen Interpolatonsdaten n enem Iteratonsprozeß erzeugt. 3

4 2. Beschrebung des Iteratonsprozesses Ausgegangen wrd von der Größe nach angeordneten Stützstellen t 0 < t 1 <...< t n, belebgen Interpolatonswerten x 0, x 1,..., x n und enem Parameter α, welcher den Grad der Volatltät anzegt. Der Iteratonsprozeß startet mt dem Streckenzug der lnearen Interpolaton s, der an jeder Stützstelle t de Bedngung s( t ) = x erfüllt und auf allen Telntervallen [ t 1, t] lnear st. Im ersten Iteratonsschrtt wrd ene Funkton f 1 auf dem Intervall [ t 0, t n ] dadurch gebldet, daß jeder Abschntt des Streckenzug s durch en passend horzontal und mt dem Faktor α vertkal gestauchtes Abbld von s ersetzt wrd. Des läßt sch n der Form f1( t) = α sbt ( + c) + dt + e für t t < 1 t (1) schreben. Dabe snd b und c so gewählt, daß b t + 1 c = t 0 und bt + c = t n glt. De Abbldung t = bt + c streckt also das Telntervall [ t 1, t] auf das Bassntervall [ t 0, t n ]. De Werte der Hlfsgrößen d und e ergeben sch für jeden Index endeutg daraus, daß auch de Funkton f 1 de gegebenen Werte nterpoleren soll: f 1 ( t ) = x. Man erhält nämlch für jedes Paar d, e gerade de zwe Bestmmungsglechungen x 1 = α x0 + dt 1 + e und x = α xn + dt + e. 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 0,0 0,0 0,5 1,0 0,0 0,0 0,5 1,0 Abb. 1: En Bespel für de ersten Iteratonsschrtte be enem Volatltätsparameter 0,5 Nun kann ene Folge von Funktonen f 2, f 3, f 4,... rekursv defnert werden durch das Glechungssystem f k ( t) = α f ( k bt + c ) 1 + dt + e für t t t 1. 4

5 De Funkton wrd also abschnttswese für alle Telntervalle [ t0, t1 ], [ t, t ] 1 2,..., [ tn 1, tn] und damt auf dem ganzen Bassntervall [ t 0, t n ] endeutg defnert. Dabe gewährlestet de obge Festlegung der Hlfsgrößen gerade, daß auch an den Berührungspunkten zweer aufenanderfolgender Telntervalle de jewelgen Bedngungen wderspruchsfre snd. In Abb. 1 snd als Bespel für Stützstellen t 0 = 0 ; t 1 = 0, 3 ; t 2 = 0, 6 ; t 3 = 1 und Interpolatonswerte x 0 = 0,2 ; x 1 = 0, 6 ; x 2 = 0, 3 ; x 3 = 0, 7 be enem Vertkalfaktor α =0, 5 de Folgengleder f = 0 s, f und f dargestellt. 1 2 Vorausgesetzt der Vertkalfaktor st betragsmäßg klener als Ens, d. h. α<1, so ändert sch nach engen Iteratonsschrtten de Interpolatonsfunkton ncht mehr wahrnehmbar. Man erhält also en stables Endergebns. Ist der Vertkalfaktor dagegen m Absolutbetrag glech oder sogar größer als Ens, dann werden außerhalb der Interpolatonsstellen enge Werte mmer größer, der Iteratonsprozeß führt also zu kener brauchbaren Grenzfunkton. Außerdem st de Volatltät, also der Grad der Rauhet, um so größer, je näher der Volatltätsparamter α an 1 bzw. -1 legt. Ist er null, so wrd durch den Iteratonsprozeß der ursprünglche Streckenzug der lnearen Interpolaton mmer nur weder n sch selbst überführt, es ändert sch also nchts. Für de Daten aus dem Bespel von Abb. 1 snd de Interpolatonsfunktonen für Parameterwerte von α = 0,2; 0,5 und 0,8 n Abb. 2 zu sehen. Dabe wurden, um de Stabltät des Prozesses zu errechen, jewels zehn Iteratonsschrtte durchgeführt. 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 0,0 0,0 0,5 1,0 0,0 0,0 0,5 1,0 Abb. 2: Bespele des Iteratonsergebnsses für verschedene Werte des Volatltätsparameters 5

6 Obge Beschrebung des Iteratonsprozesses läßt sch zwar drekt als Computerprogramm mplementeren, doch st des zemlch umständlch, da n jedem Iteratonsschrtt de gesamte Funkton als Streckenzug m Hauptspecher zu halten st. Besonders unvortelhaft st des, wenn gezelt en Wert der Interpolatonsfunkton bestmmt werden soll, da dazu zunächst de Berechnung für den gesamten Defntonsberech erforderlch st, aus dem dann erst der gesuchte Wert abgegrffen werden kann. De Grundlage für effzentere und enfacher zu programmerende Algorthmen wrd durch ene mathematsche Analyse der Egenschaften des Iteratonsergebnsses geschaffen, den sogenannten selbstaffnen Funktonen. 3. Mathematk der selbstaffnen Funktonen Wenn sch der Iteratonsprozeß stablsert hat, also f () t f 1 () t glt, so heßt das nach der rekursven Festlegung der Folgengleder gerade, daß sch für hnrechend große Indzes k de Näherung f k ( t) α f ( bt + c ) + dt + e k machen läßt. Dese Funktonalglechung besagt, daß sch der Verlauf von f k auf jedem Telntervall [ t 1, t] von dem auf dem Bassntervall [ t 0, t n ] nur durch ene lneare Komponente unterschedet. Oder anders gesagt: De Funkton geht durch ene affne Transformaton n sch selbst über. Des se her der Anlaß, Funktonen, für de solch ene Egenschaft exakt glt, besonders zu benennen: Defnton: Se n IN und t 0, t 1,..., t n IR mt t 0 < t 1 <...< t n, sowe α IR. Für jedes = 1,..., n seen b und c so gewählt, daß b t + 1 c = t 0 und bt + c = t n gelten. Dann heßt ene Funkton f: [t 0, t n ] IR selbstaffn mt Stützstellen t 0, t 1,..., t n und Vertkalfaktor α, wenn auf jedem Telntervall [ t 1, t] de Abbldung t = f() t α f( bt + c ) (2) lnear st. Das heßt, falls es Zahlen d und e gbt mt f() t α f( bt + c ) = d t + e für t t t k k 1. Offenschtlch snd nsbesondere alle lnearen Funktonen selbstaffn, da n der Zuordnung (2) rechts ene Verkettung lnearer Abbldungen steht, de ja stets weder ene lneare Abbldung lefert. Außerdem st jede Summe und jedes skalare Velfache selbstaffner Funktonen zu festen Stützstellen und enem festen Vertkalfaktor we- 6

7 der selbstaffn. De selbstaffnen Funktonen blden also enen Vektorraum, was hre funktonalanalytsche Betrachtung verenfacht (vgl. Fckel 1988). Ene selbstaffne Funkton st nach hrer Defnton de Lösung enes Funktonalglechungssystems, für das Barnsley (1986) enen Exstenz- und Endeutgketssatz gefunden hat: Satz 1: Seen t 0 < t 1 <...< t n reelle Zahlen, seen weter x 0, x 1,..., x n IR und α<1. Dann exstert genau ene beschränkte Funkton f: [t 0, t n ] IR mt 1. f st selbstaffn mt Stützstellen t 0, t 1,..., t n und Vertkalfaktor α, 2. f(t ) = x für = 0,..., n. Zusätzlch st dese Funkton f stetg. Bewesskzze: Der Bewes st ene drekte Anwendung des Fxpunktsatzes von Banach (vgl. auch Hutchnson 1981: 730 f.). Als zugrundelegender Funktonenraum wrd dazu de Menge aller beschränkten Funktonen auf dem Intervall [ t 0, t n ] gewählt. Darauf st en Operator T defnert, der ene Funkton g deses Raumes weder n ene beschränkte Funkton Tg abbldet. De Zuordungsvorschrft g = Tg des Operators besteht dabe gerade aus der abschnttswesen Defnton Tg( t) = α gbt ( + c) + dt+ e für t t t 1. De Parameter b, c, d und e snd herbe we be Glechung (1) gewählt. Da α<1, st der Operator T bezüglch der Supremumsmetrk ene kontraherende Abbldung, weshalb nach Banachs Satz der Operator genau enen Fxpunkt f bestzt. Aus der Egenschaft Tf = f folgt nun unmttelbar de erste Bedngung des Satzes, und aus der spezellen Wahl der Parameter d und e kann sene zwete Bedngung abgeletet werden. Da mt g auch stets Tg stetg st, läßt sch der Operator auf den Raum aller stetgen Funktonen enschränken, weshalb de Fxpunktfunkton f automatsch stetg st. Q. e. d. Aus dem Bewes folgt nsbesondere, daß der Iteratonsprozeß aus Abschntt 2 bezüglch der Supremumsmetrk, also glechmäßg, gegen de selbstaffne Grenzfunkton konvergert. De Konvergenzgeschwndgket ergbt sch dabe aus der Abschätzung mt ener Konstanten C. max fk ( t) f( t) Cα k für k = 1,2, 3,... t 7

8 Satz 1 zegt auch, daß ene selbstaffne Funkton allene durch de zugehörge Funktonalglechung endeutg bestmmt wrd, und es daher gar ncht nötg st, de Iteraton mt dem Streckenzug der lnearen Interpolaton zu begnnen. Jede beschränkte Startfunkton führt zum selben Ergebns, wobe sch bem Konvergenzverhalten nur de Konstante C ändert. Des ermöglcht de Entwcklung sehr unterschedlcher Interpolatonsalgorthmen, de ganz anders als der ursprünglche Iteratonsprozeß arbeten können. 4. En teratver Interpolatonsalgorthmus Se für ene bestmmte Stelle t der Interpolatonswert f ( t) zu berechnen. Dafür st es zunächst nötg, de Poston der Stelle m Bassntervall [ t 0, t n ] bezüglch den Ausgangsstellen t 0, t 1,..., t n zu bestmmen. Für den ersten Iteratonsschrtt genügt es zu wssen, n welchem Telntervall [ t 1, t] se legt. Se der zugehörge Index mt 1 bezechnet. Im zweten Iteratonsschrtt benötgt man de Poston von t n [ t, t ] bezüglch den transformerten Stellen ( t c )/ b, ( t c )/ b,..., ( t c 1 )/ b 1. Se n der Index des zugehörgen Tel-Telntervalls dann mt 2 benannt. Deses Vorgehen läßt sch wederholen, bs alle nötgen Indzes 1, 2,..., k gefunden snd. Da de Telntervalle für hnrechend vele Iteratonschrtte k belebg kurz werden, konvergert also de rechte (und auch de lnke) Telntervallgrenze gegen de Stelle t. Bezechnet man de Intervallgrenzentransformaton mt L ( s ) = ( s c )/ b, so glt also mt wählbarer Genaugket t L ( L (... L ( t ))). 1 2 k n De Indzes 1, 2,..., k snd so de Adresse von t bezüglch der Stützstellen t 1,..., t n. De Idee der Adressen st ene Verallgemenerung der Dezmalbruchentwcklung ener reellen Zahl: Für de spezellen Stützstellen t = /10 mt = 0, 1,..., 10 entsprcht de Folge der Indzes gerade den Zffern hnter dem Komma von t m Intervall [ 0; 1 ]. Bespelswese erhält man für t = 0,583 de Indzes 1 = 5, 2 = 8 und 3 = 3. Ist nun de Folge der Indzes berets bestmmt, so kann man den gesuchten Funktonswert als wederholte Hnterenanderausführung von Hlfsabbldungen unmttelbar angeben. De Indexwerte steuern dabe de Auswahl der jewels anzuwendenden Varante: f ( t) W ( W (... W ( t, x ))). 1 2 k n n 2 De Hlfsfunktonen W, de Paare reeller Zahlen auf Paare abblden, snd dazu durch W (, s y ) = ( s c b, y d s c α + e b ) +

9 festgelegt (de tefgestellte 2 bezechnet de zwete Komponente des resulterenden Paares). Des folgt wegen der Stetgket selbstaffner Interpolatonsfunktonen aus folgendem Lemma, welches mttels Indukton drekt herletbar st: Lemma: Se f:[ t0, tn ] IR ene selbstaffne Interpolatonsfunkton mt Stützstellen t 0 < t 1 <...< t n und Vertkalfaktor α<1. Für x = f( t) seen de Parameter b, c, d, e und damt de Hlfsabbldungen W we oben defnert. Dann lefert jede Folge von Indzes 1, 2,..., k durch ( t, x ) = W ( W (... W ( t, x ))) 1 2 k n n stets enen Punkt auf dem Graphen von f, d. h. der Interpolatonswert an der Stelle t st x = f ( t). Ene möglche Implementerung könnte also aus zwe Schrtten bestehen: Im ersten Schrtt wrd de Adresse der Interpolatonsstellen mttels ener Intervallschachtelung bestmmt und n enem Vektor ( 1, 2,..., k ) abgespechert. Anschleßend steuert der Vektor de Berechnung des Interpolatonswertes. De verwendete Programmersprache muß dazu nur de Verwaltung von Vektoren unterstützen, ncht jedoch rekursve Funktonsaufrufe. 5. En rekursver Interpolatonsalgorthmus Der her vorgestellte Algorthmus erfordert ene Programmersprache, de rekursve Funktonsaufrufe unterstützt, we etwa PASCAL, C oder neuere Dalekte von BASIC. Denn dann kann de selbstaffne Funktonalglechung drekt verwendet werden. Des läßt sch nämlch mt folgender rekursv defnerten Hlfsfunkton f rec (, t k) bewerkstellgen: f rec (, t k) = rec α f ( bt + c, k 1) + dt + e falls k > 0 xn falls k = 0, wobe der Index so gewählt wrd, daß t t 1 t glt. In Abb. 3 st de Funktonsdefnton konkret als Struktogramm dargestellt. Der Parameter k gbt dabe de Anzahl der noch durchzuführenden Rekursonsschrtte an. Ist er null, so st der Funktonswert unabhängg vom Argument t stets de Konstante x n. Daß se auch tatsächlch selbstaffn nterpolert, zegt folgender Satz 2: Se f:[ t0, tn ] IR de selbstaffne Interpolatonsfunkton zu den Stützstellen t 0 < t 1 <...< t n und Werten x = f( t) be enem Vertkalfaktor α<1. Se damt de rekursve Hlfsfunkton f rec we oben defnert. Dann konvergeren mt wachsender Re- 9

10 kursonstefe de Hlfsfunktonswerte gegen de Interpolatonswerte, d. h. es glt für t 0 t t n stets rec f ( t) = lm f ( t, k). k Bewes: Mt dem Operator T aus dem Bewes von Satz 1 läßt sch de Defnton der rekursven Hlfsfunkton enfach als Anwendung deses Operators auf de Hlfsfunkton mt ener um Ens verrngerten Rekursonstefe schreben. Denn es glt, wenn man f rec ( k t ) = f rec rec (, t k) setzt, de Glechhet Tf k 1 = f rec k. Wählt man dann für k = 0 de konstante Startfunkton f rec 0 ( t) = x n, so st f rec k k = T f rec 0. Da T wegen α<1 kontraherend st, konvergert de Funktonenfolge f rec 1, f rec 2, f rec 3,... glechmäßg gegen de Interpolatonsfunkton f. Daraus folgt de behauptete punktwese Konvergenz. Q. e. d. := 1 Solange t < t := + 1 Ja s := b t + c k > 0 Nen f rec (, t k) := α f rec (, s k 1 ) + d t + e f rec (, t k) := x n Abb. 3: Struktogramm des rekursven Prozedurtels Be der Programmerung deses Algorthmus st es, um ene hohe Effzenz zu erzelen, snnvoll, de Berechnung der Parameter b, c, d, e ganz zu Begnn enmal durchzuführen und anschleßend de Hlfsfunkton auf alle gewünschten Interpolatonsstellen n enem Durchgang anzuwenden. De über de Schnttstelle des Programmersystems beretgestellte Prozedur hat dann folgende Parameter (vgl. Anhang A): 1. de Interpolatonsstellen als enen Vektor ( t 0, t 1,..., t n ) reeller Zahlen, 2. de Interpolatonswerte als enen Vektor ( x 0, x 1,..., x n ) reeller Zahlen, 3. de zu nterpolerenden Stellen als enen Vektor ( s 1, s 2,..., s m ) reeller Zahlen (für m = 1 st nur en Funktonswert gewünscht), 10

11 4. der Vertkalfaktor als reelle Zahl α, 5. de Rekursonstefe als ganze Zahl k. Von der Prozedur werden dann de nterpolerten Werte ( y 1, y 2,..., y m ) berechnet, we n Abb. 4 als Struktogramm dargestellt st. Für := 1 bs n b := t t t t n 0 1, c := t b t n d := x x x x 1 α( n 0), e := x α x dt t t Für j := 1 bs m y j := f rec ( sj, k) 1 n Abb. 4: Struktogramm der Rahmenprozedur Abb. 5 zegt en Anwendungsbespel für de selbstaffne Interpolaton. Lnks st der tagesgenaue Kurs der Bayerakte m Zetraum vom bs zum dargestellt. Rechts snd aus den Informatonen über de Kurswerte am , , , , , , und (mt den Randtagen also n + 1 = 10 Stützstellen) und enem Volatltätsparameter von α =0, 3 de tagesgenauen fehlenden Werte nterpolert. Der Volatltätsparameter wurde dabe durch Ausproberen manuell so gewählt, daß de ursprünglche Volatltät möglchst gut rekonstruert wrd. Falls be der Anwendung kene numersche Volatltätsnformaton vorlegt, so kann als Standardwert α =0, 5 verwendet werden. Es geht ja her darum, den vsuellen Endruck zu optmeren. Grundsätzlch st allerdngs enschränkend zu bemerken: Wrd de Approxmatonsgüte durch en formales Maß, we etwa de Fehlerquadratsumme beurtelt, so betet de selbstaffne Interpolaton wohl kenen Vortel. Dann dürfte sogar ene lneare Interpolaton mndestens glech gute Ergebnsse lefern. Alle Grafken n desem Aufsatz wurden mt Vsual-BASIC für Mcrosoft Excel der Verson 5 erstellt. Das zugehörge Excel-Makro Saffnt st n Anhang A beschreben und sen Quellcode n Anhang B aufgelstet. 11

12 450 DM 450 DM 350 DM 350 DM 250 DM 250 DM 150 DM DM Abb. 5: Tagesgenauer Aktenkurs der Bayer AG (lnks) und sene selbstaffne Interpolaton mt Volatltätsparameter 0,3 (rechts) 6. Volatltätsmessung En Vertkalfaktor α kann als Volatltätsparameter nach dem vsuellen Endruck manuell gefunden werden. Sen konkret gewählter Zahlenwert st dabe allerdngs von den Interpolatonsdaten abhängg und daher ncht ohne weteres auf ähnlche Probleme, we etwa ener anderen Wahl der Stützstellen, übertragbar. Möchte man des jedoch errechen, so muß der Volatltätsparameter geegnet standardsert werden. Von verschedenen möglchen Meßkonzepten für de Volatltät ener Zetrehe wrd her der Höldersche Exponent verwendet. Er beschrebt n gewsser Wese, we stark de Zetrehe von enem glatten m mathematschen Snne dfferenzerbaren Verlauf abwecht. Der Höldersche Exponent ener Funkton g st das Supremum aller postven Zahlen δ 1, für de der Dfferenzenquotent gs () gt () s t δ dem Betrag nach für alle s, t beschränkt blebt. Es glt dann stets de Abschätzung gs () gt () Ds t mt ener Konstanten D. Man beachte, daß jede dfferenzerbare Funkton auf hrem Defntonsntervall [ t 0, t n ] enen Hölderschen Exponenten von δ =1 hat. Der Exponent läßt sch auf verschedene Arten schätzen, unter der Annahme enes Gaußschen Prozesses bespelswese durch das Abzählen von Nveau-Überquerungen (vgl. Feuerverger u. a. 1994). δ 12

13 Für ene selbstaffne Interpolatonsfunkton kann der Höldersche Exponent drekt angegeben werden: Setzt man b = max b und glt α>1 / b, so beträgt er δ = log( 1 α ), (3) log b sofern ncht alle Interpolatonspunkte auf ener Geraden legen. In allen anderen Fällen st der Exponent glech 1 (vgl. Bedford 1989, Fckel 1988). Für betragsmäßg klene Volatltätsparameter α<<1 / b st de Interpolatonsfunkton also glatt. Je größer über dese Schranke hnaus der Parameter wrd, desto gernger st dann der Höldersche Exponent. Ist also für ene Zetrehe der Höldersche Exponent δ als Volatltätsmaß dentfzert, so kann de Wahl des Vertkalfaktors α automatsert werden: Man muß nur Glechung (3) nach dem Vertkalfaktor auflösen und erhält dann als Wahlmöglchket α = ± e δ log b. (4) Wurde für ene Zetrehe we m Bespel von Abb. 5 der Vertkalfaktor durch Proberen vsuell bestmmt, sollen jedoch andere Stützstellen verwendet werden, so kann man we folgt verfahren: Zunächst wrd zu den alten Stützstellen mt Glechung (3) der Höldersche Exponent berechnet (her glt b = 89,7 und damt δ = 0,27), dann wrd für de neuen Stützstellen der Vertkalfaktor gemäß Formel (4) festgelegt. Be desem Vorgehen st der Höldersche Exponent nur ene Hlfsgröße, er dent her nur mttelbar als konkretes Volatltätsmaß. Weterführend wäre es dazu nteressant, mttels Versuchspersonen n Befragungen emprsch zu überprüfen, welche formalen Maße besonders hoch mt ener vsuell empfundenen Volatltät korreleren. 7. Schlußbemerkung De Vsualserung der Volatltät be der Interpolaton ermöglcht zu veranschaulchen, we ene Zetrehe ausgesehen haben dürfte, wenn m zetlchen Verlauf Beobachtungen kontnuerlch gemacht worden wären. (Chatterjee/Ylmaz 1992: 135, übers. N.F.). Dazu hat de Anwendung der selbstaffnen Interpolaton be Verwendung des her dargestellten Algorthmus folgende Vortele: Der Grad der Volatltät kann entweder manuell durch Ausproberen oder durch en formales Volatltätsmaß festgelegt werden. Dabe wrd der Graph determnstsch konstruert, d. h. en Zufallszahlengenerator wrd ncht benötgt. So st de grafsche Darstellung unabhängg von der Hardwarekonfguraton, da nur enge Parameter und kene Pxels zu spechern snd. Zudem st das Konstruktonsschema anschaulch an der Grafk als selbstaffne Struktur nachvollzehbar und es 13

14 hängt nur von den vorgegebenen Interpolatonspunkten und dem vorgegebenen Volatltätsgrad ab. Offen st allerdngs noch de Frage, welche Bezehung zu ARCH- und GARCH- Ansätzen oder ähnlchen Modellerungen der Volatltät besteht (vgl. Lütkepohl 1996). Abschleßend se nochmals bemerkt, daß de selbstaffne Interpolaton wenger en Hlfsmttel st, um bestmmte fehlende Ausprägungen ener Zetrehe zu schätzen. De Gesamthet aller nterpolerten Werte vsualsert jedoch auf anschaulche Art ene vorhandene Volatltätsnformaton. Damt läßt sch bem Betrachten ener so rekonstruerten Kurve m Untersched zur lnearen Interpolaton wahrnehmen, we volatl hr tatsächlcher Verlauf gewesen sen könnte. An deser Stelle möchte ch mch be den Professoren Gerd Hansen und Jürgen Wolters bedanken, de mr de Möglchket gegeben haben, obge Ideen auf dem Workshop für Angewandte Ökonometre n Berln zu dskuteren. Außerdem danke ch Gunnar Bönte, der mr de Daten für Abb. 5 beretgestellt hat, und Prof. Segfred Maaß für wertvolle Hnwese. Lteratur Barnsley, Mchael F. "Fractal functons and nterpolaton". Constructve Approxmaton 2 (1986): Barnsley, Mchael F. Fraktale: Theore und Praxs der Determnstschen Geometre. Hedelberg: Spektrum, Bedford, Tm. "Hölder exponents and box dmenson for self-affne fractal functons". Constructve Approxmaton 5 (1989): Chatterjee, Sangt, u. Mustafa R. Ylmaz. "Use of estmated fractal dmenson n model dentfcaton for tme seres". Journal of Statstcal Computaton and Smulaton 41 (1992): Feuerverger, Andrey, Peter Hall u. Andrew T. A. Wood. "Estmaton of fractal ndex and fractal dmenson of a Gaussan process by countng the number of level crossngs". Journal of Tme Seres Analyss 15 (1994): Fckel, Norman. Selbstaffne Interpolaton. Dplomarbet. Erlangen: Unverstät Erlangen-Nürnberg, Hutchnson, John E. "Fractals and self smlarty". Indana Unversty Mathematcs Journal 30.5 (1981): Lütkepohl, Helmut. Statstsche Modellerung von Volatltäten. Dskussonspaper zur Quantfkaton und Smulaton ökonomscher Prozesse 70/1996. Berln: Humboldt- Unverstät,

15 Anhang A: Beschrebung des Excel-Makros Saffnt Nachfolgend st das Excel-Makro Saffnt als benutzerdefnerte Tabellenfunkton für Mcrosoft Excel 5.0 m Stle der zugehörgen Hlfefunkton beschreben. SAFFINT Lefert Werte, de sch durch ene selbstaffne Interpolaton ergeben. Dese Funkton nterpolert de n den Vektoren Y_Werte und X_Werte übergebenen Werte und gbt als Ergebns de y-werte, de zu den n Neue_x_Werte angegebenen x-werten gehören, zurück. Syntax SAFFINT(Y_Werte; X_Werte; Neue_x_Werte; Vertkalfaktor; Rekursonstefe) Y_Werte snd de y-werte, de Se zur Interpolaton vorgeben. Der Berech Y_Werte darf nur aus ener Spalte bestehen. De maxmale Zelenanzahl beträgt 20. X_Werte snd de x-werte, de Se zur Interpolaton vorgeben. Der Berech X_Werte darf nur aus ener Spalte bestehen und muß ebenso vele Zelen we Y_Werte bestzen. Neue_x_Werte snd de neuen x-werte, für welche de Funkton SAFFINT de zugehörgen y-werte lefern soll. Der Berech Neue_x_Werte darf nur aus ener Spalte bestehen und kann 1 bs Zelen bestzen. Vertkalfaktor st der Streckungsfaktor, mt dem de Interpolatonsdaten vertkal gestaucht werden. Der Vertkalfaktor muß en Wert zwschen -1,0 und 1,0 sen (vom Betrag echt klener als 1,0). Ist Vertkalfaktor ncht angegeben, so wrd mt dem Wert 0,5 gerechnet. Statt enem enzgen Wert kann Vertkalfaktor auch en Vektor (Berech mt ener Spalte) sen, der genau en Element wenger als der Vektor X_Werte bzw. Y_Werte enthält. Be enem Vertkalfaktor glech 0,0 berechnet SAFFINT ene lneare Interpolaton. Rekursonstefe st de Anzahl der Rekursonsschrtte, de be der Berechnung ausgeführt werden. Wrd de selbstaffne Interpolaton grafsch dargestellt, so muß de Rekursonstefe desto größer sen, je höher de Auflösung des Dagramms st. Ist Rekursonstefe ncht angegeben, so wrd der Wert 5 verwendet. Hnwes Formeln, de als Ergebns ene Matrx lefern, müssen als Matrxformel engegeben werden. Des trfft be SAFFINT zu, falls der Berech Neue_x_Werte mehr als ene Zele umfaßt. Bespel Angenommen, für ene grafsche Präsentaton soll der Aktenkurs des letzten Halbjahres enes Unternehmens dargestellt werden. Zur Verfügung stehen aber als y-werte nur de Kurswerte an den Monatsanfängen, de m Berech B1:B7 abgelegt snd. Der Berech C1:C182 enthält de Datumszahlen vom 1. Januar bs zum 30. Jun: 15

16 A B C D DM DM DM DM DM DM DM Wrd de folgende Anwesung als enspaltge Matrx n den Berech D1:D182 engegeben, lefert se de selbstaffne Interpolaton des Aktenkurses für das erste Halbjahr 1996 mt Vertkalfaktor 0,4: SAFFINT(B1:B7;A1:A7;C1:C182;0,4) ergbt {304,0; 294,2;...; 276,7} Markeren Se nun den Berech C1:D182 und starten Se den Dagramm-Assstenten, so können Se de erzeugte Zetrehe grafsch darstellen: 330,0 320,0 310,0 300,0 290,0 280,0 270,0 260,0 250,0 240, Verwandte Funktonen (n Excel 5.0) TREND VARIATION Berechnet ene Regressonsgerade nach der Methode der klensten Quadrate. Ist mt TREND verglechbar, paßt den jewelgen Daten aber ene Exponentalkurve an. 16

17 Anhang B: BASIC-Quellcode des Excel-Makros Saffnt Der nachfolgende Quellcode st n Abschntt 5 mttels Struktogrammen dokumentert. ' Selbstaffne Interpolaton Opton Explzt ' Vorenstellungen Konst vor_vertkalfaktor = 0,5 Konst vor_rekursonstefe = 5 Konst NMAX = 20 Konst MMAX = 1000 ' Obergrenze für n ' Obergrenze für m ' Zu berechnende Hlfsgrößen Dm n Als Ganz ' Anzahl der Stützstellen ' (um Ens verrngert) Dm m Als Ganz ' Anzahl der neuen x-werte ' (um Ens verrngert) Dm x(nmax) Als Doppelt ' Stützstellen Dm y(nmax) Als Doppelt ' Werte Dm alpha(nmax) Als Doppelt ' Vertkalfaktor(en) Dm b(nmax) Als Doppelt Dm c(nmax) Als Doppelt Dm d(nmax) Als Doppelt Dm e(nmax) Als Doppelt ' *** Subprozedur zum Berechnen der Hlfsgrößen *** Prvat Sub Berhlf() Dm Als Ganz ' Schlefenndex Dm dx Als Doppelt Dm dy Als Doppelt dx = x(n) - x(0) dy = y(n) - y(0) Für = 1 Bs n b() = dx / (x() - x( - 1)) c() = x(n) - b() * x() d() = (y() - y( - 1) - alpha() * dy) _ / (x() - x( - 1)) e() = y() - alpha() * y(n) - d() * x() Nächste Ende Sub 17

18 ' *** rekursve Hlfsfunkton *** Prvat Funkton SaffRekursv(x_ Als Doppelt; _ r Als Ganz) Als Doppelt Dm Als Ganz Dm x_nv Als Doppelt Wenn x_ > x(n) Dann = n Sonst = 1 Solange x() < x_ = + 1 EndeSolange Ende Wenn Wenn r > 0 Dann x_nv = b() * x_ + c() SaffRekursv = alpha() * SaffRekursv(x_nv; r - 1) _ + d() * x_ + e() Sonst SaffRekursv = y(0) Ende Wenn Ende Funkton ' *** Rahmenprozedur *** Funkton SaffInt(Y_Werte Als Varant; _ X_Werte Als Varant; _ Neue_x_Werte Als Varant; _ Optonal Vertkalfaktor Als Varant; _ Optonal Rekursonstefe Als Varant) Als Varant Dm Als Ganz Dm j Als Ganz Dm Neue_y_Werte(MMAX; 0) Als Doppelt Dm r Als Ganz Dm Anzahl_Alphas Als Ganz n = Anwendung.Anzahl(Y_Werte) - 1 m = Anwendung.Anzahl(Neue_x_Werte) - 1 Wenn IstFehlend(Vertkalfaktor) Dann Anzahl_Alphas = 1 alpha(1) = vor_vertkalfaktor SonstWenn IstZahl(Vertkalfaktor) Dann Anzahl_Alphas = 1 alpha(1) = Vertkalfaktor Sonst Anzahl_Alphas = n alpha(1) = Vertkalfaktor(1) Ende Wenn 18

19 Wenn IstFehlend(Rekursonstefe) Dann r = vor_rekursonstefe Sonst r = Rekursonstefe Ende Wenn x(0) = X_Werte(1) y(0) = Y_Werte(1) Für = 1 Bs n x() = X_Werte( + 1) y() = Y_Werte( + 1) Wenn Anzahl_Alphas = 1 Dann alpha() = alpha(1) Sonst alpha() = Vertkalfaktor() Ende Wenn Nächste Rufe Berhlf Für j = 0 Bs m Neue_y_Werte(j; 0) = _ SaffRekursv(Neue_x_Werte(j + 1); r) Nächste j SaffInt = Neue_y_Werte Ende Funkton 19