Tutoraufgabe 1 (Induktionsbeweis): Lösung:

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1 Prof Dr J Gesl M Brokshmdt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hwese: De Husufge solle Gruppe vo je 2 Studerede us dem glehe Tutorum eretet werde De Lösuge der Husufge müsse s M, m Tutorum gegee werde Altertv st es s 17 Uhr möglh, dese de Kste m Flur des LuFG I2 ezuwerfe (Ahorstr 55, E1, 2 Etge) Nme ud Mtrkelummer der Studerede sowe de Nummer der Üugsgruppe sd uf jedes Bltt der Age zu shree Hefte zw tker Se de Blätter! De Tutorufge werde de jewelge Tutore gemesm esprohe ud eretet Tutorufge 1 (Iduktosewes): Se Σ e Alphet Wr wolle de Verdoppelugsfukto dup : Σ Σ etrhte, de lle Buhste Wörter verdoppelt, lso zb ds Wort uf ud 123 uf ldet Deere se de Fukto dup forml uf duktve (rekursve) Wese ) Se M e DFA We k m u utomtsh (dh mt eem llgemee Verfhre, ds uhägg vom Automte M st) ee DFA M 2 kostruere, der de Sprhe dup(l(m)) := {dup(w) w L(M)} erket? ) Bewese Se, dss L(M 2 ) = dup(l(m)) glt dup() := dup(w := dup(w) Σ, w Σ ) De Idee st her, jede Trsto des Ursprugsutomte ufzutree ud ee Zwshezustd ezusetze, so dss ds Zehe der ursprüglhe Trsto zwe ml gelese wrd Dmt der resulterede Automt e DFA let, müsse für dese eue Zustäde lle Symole, mt dee de zershttee Trsto ht eshrftet wr, zu eem Fehlerzustd führe, vo dem us e weder e Edzustd erreht werde k Se M = (Q, Σ, δ,, F ) D deere wr M 2 := (Q 2, Σ, δ 2,, F ) mt Q 2 := {e} ( q Q ({q Σ} {q})), woe wr obda verlge, dss q Q glt (etsprehedes k m durh e Umeee der Zustäde Q errehe) Her st e der gesprohee eue Fehlerzustd Zuletzt deere wr q δ 2 (q, = δ( q, e q Q q = q Q 2, q Q sost 1

2 ) Wr müsse u L(M 2 ) = dup(l(m)) zege Wr ewese des, dem wr de Aussge ( ) ˆδ(q, w) = q ˆδ 2 (q, dup(w)) = q für lle q Q (lso ht de eue Zustäde Q 2 \ Q) per Idukto üer de Wortläge w zege Zum Iduktosfg st w = ud es glt ˆδ(q, ) = q ud ˆδ 2 (q, dup()) = ˆδ 2 (q, ) = q Im Iduktosshrtt etrhte wr w = w für e Σ ud setze vorus, dss de Aussge für w erets glt D M e DFA st, gt es geu e q mt ˆδ(q, w = q ud e q mt ˆδ(q, w ) = q, so dss δ( q, = q glt Nh user Iduktoshypothese glt des für w geu d, we uh ˆδ 2 (q, dup(w )) = q glt Nh Kostrukto glt er uh δ 2 ( q, = q ud δ 2 ( q, = q Dmt glt d uh de Aussge ˆδ(q, w) = ˆδ(q, w = q ˆδ 2 (q, dup(w)) = ˆδ 2 (q, dup(w ) = ˆδ 2 (q, dup(w ) = q Nu glt w L(M) ˆδ(, w) = f F ud h ( ) st des äquvlet zu ˆδ 2 (, dup(w)) = f F dup(w) L(M 2 ) Dmt st de Aussge ewese Husufge 2 (Iduktosewes): ( = 8 Pukte) Se Σ e Alphet Wr wolle de Spegelfukto rev : Σ Σ etrhte, de Wörter uf hr Spegelld ldet, lso zb ds Wort uf ud 123 uf 321 Deere se de Fukto rev forml uf duktve (rekursve) Wese ) Se M e DFA We k m u utomtsh (dh mt eem llgemee Verfhre, ds uhägg vom Automte M st) ee -NFA M rev kostruere, der de Sprhe rev(l(m)) := {rev(w) w L(M)} erket? ) Bewese Se, dss L(M rev ) = rev(l(m)) glt Hwes: Bewese se ee llgemee Aussge üer de Zusmmehg zwshe der Zustds-Üerggsfukto ˆδ des Automte M ud der Zustds-Üerggsfukto ˆδ rev des Automte M rev Verwede Se dzu we der Vorlesug ee Idukto üer de Läge der etrhtete Wörter rev() := rev(w := rev(w) Σ, w Σ ) De Idee st her, de Kte m Automte umzudrehe, lso M rev ee -Trsto vo q h q zu erlue, we es M ee -Trsto vo q h q g Der Strtzustd M wrd d zum ezge Edzustd vo M rev Als Strtzustäde M rev wolle wr egetlh de Edzustäde vo M zulsse D er uh -NFAs ee edeutge Strtzustd he müsse, führe wr ee eue, edeutge Strtzustd e, der per -Trsto mt de Edzustäde vo M verude wrd Se M = (Q, Σ, δ,, F ) Mt eem eue Zustd q s (dh q s Q) st M rev := (Q {q s }, Σ, δ rev, q s, { }) De st δ rev we folgt deert: {q Q q = δ(q, } q q s δ rev (q, = F q = q s = q = q s 2

3 ) Wr müsse u ewese, dss L(M rev ) = rev(l(m)) glt Wr zege dfür de llgemeere Aussge ˆδ(q, w) = q q ˆδ rev (q, rev(w)) für lle q, q Q (dh für lle Zustäde uÿer dem eu egeführte Strtzustd q s ) per Idukto üer de Wortläge w Im Iduktosfg st de Läge 0, lso w = D glt ˆδ(q, ) = q ud ˆδ rev (q, ) = {q} Im Iduktosshluss setze wr für w = w, Σ vorus, dss de Aussge für w glt Se u ˆδ(q, w) = q mt ˆδ(q, w ) = q ud δ( q, = q Nh Kostrukto vo δ rev glt d uh q δ rev (q, Nh userer Iduktoshypothese glt uÿerdem ˆδ(q, w ) = q q ˆδ rev ( q, rev(w )) Zusmme mt q δ rev (q, folgt dmt drekt uh q ˆδ rev (q, rev(w )) = ˆδ rev (q, rev(w ) = ˆδ rev (q, rev(w)) ˆδ(q, w) = q Dmt glt w L(M) ˆδ(, w) = f F ˆδ rev (f, rev(w)) D h Kostrukto δ rev (q s, ) = Huelle(q s ) = F, glt des geu d we ˆδ rev (q s, rev(w)) ud dmt glt rev(w) L(M rev ) w L(M) Tutorufge 3 (Potezmegekostrukto): Se Σ := {,, z} e Alphet Der folgede NFA kzeptert lle Wörter, de mdestes eml ds Wort g ethlte, lso de Sprhe Σ gσ Um de Drstellug des Automte zu verefhe, utze wr de verkürzede Shrewese, de Tutorufge 4 uf dem zwete Üugsltt egeführt wurde, ud erlue es, Trstoe mt Mege vo Symole zu eshrfte Σ Σ q 1 q 2 q 3 q g 4 q 5 q 6 Gee Se de Potezutomte für dese NFA, um ee DFA zu erhlte, der desele Sprhe kzeptert We der Vorlesug dürfe Se ht errehre Zustäde weglsse Folgede Telle vershulht de Kostrukto des Potezutomte g Σ \ {g,, } F? { } { } {, } { } { } {, } { } {, } {, } { } {, } { } {, } {, } { } {, } { } {,, q 5 } { } { } {,, q 5 } {, q 6 } {, } {, } { } {, q 6 } {, q 6 } {,, q 6 } {, q 6 } {, q 6 } {,, q 6 } {, q 6 } {,, q 6 } {,, q 6 } {, q 6 } {,, q 6 } {, q 6 } {,, q 6 } {,, q 6 } {, q 6 } {,, q 6 } {, q 6 } {,, q 5, q 6 } {, q 6 } {, q 6 } {,, q 5, q 6 } {, q 6 } {,, q 6 } {,, q 6 } {, q 6 } 3

4 Σ \ {} { } Σ \ {} Σ \ {g,, } {, } {,, q 5 } Σ \ {, } g Σ \ {} {, } {, } {, q 6 } Σ \ {, } Σ \ {, } Σ \ {, } {,, q 6 } {,, q 5, q 6 } Σ \ {} {,, q 6 } {,, q 6 } Σ \ {, } Husufge 4 (Potezmegekostrukto): (3 Pukte) Se Σ := {, } e Alphet Betrhte Se de folgede NFA 4

5 Gee Se de Potezutomte für dese NFA, um ee DFA zu erhlte, der desele Sprhe kzeptert We der Vorlesug dürfe Se ht errehre Zustäde weglsse Folgede Telle vershulht de Kostrukto des Potezutomte F? { } {, } { } {, } { } { } { } {, } { } {, } {,,, } {, } {,,, } {,,, } {, } { }, { } {, } { }, {, } {,,, } Tutorufge 5 (Smulto): Gegee se folgeder NFA üer dem Alphet Σ = {, } 5

6 Gee Se, we sh der Algorthmus zur Smulto deses NFAs e Ege der folgede Wörter verhält Es geügt de, de Mege S h jeder Iterto des Smultosverfhres us der Vorlesug ud de Rükgewert zugee ) ) Iterto S 0 { } 1 {, } 2 {, } 3 {, } 4 {, } 5 {, } Rükge: flse Iterto S 0 { } 1 {, } 2 {, } 3 {, } 4 {, } 5 {, } Rükge: true Husufge 6 (Smulto): (1 + 1 = 2 Pukte) Gegee se folgeder NFA üer dem Alphet Σ = {, } 6

7 , Gee Se, we sh der Algorthmus zur Smulto deses NFAs e Ege der folgede Wörter verhält Es geügt de, de Mege S h jeder Iterto des Smultosverfhres us der Vorlesug ud de Rükgewert zugee ) ) Iterto S 0 { } 1 { } 2 {, } 3 { } 4 { } 5 {, } 6 {, } 7 {,, } 8 { } Rükge: true Iterto S 0 { } 1 {, } 2 { } 3 { } 4 {, } 5 { } 6 {, } Rükge: flse 7

8 Tutorufge 7 (Thompso-Kostrukto): Erzeuge Se mt der Thompso-Kostrukto ee NFA (mt -Trstoe) zum reguläre Ausdruk (+) q 5 q 6 q 7 q 8 q 9 0 q 11 2 Husufge 8 (Thompso-Kostrukto): (3 Pukte) Erzeuge Se mt der Thompso-Kostrukto ee NFA (mt -Trstoe) zum reguläre Ausdruk ( ) + (( ) ) q 5 q 6 q 7 q 8 q Tutorufge 9 (Thompso-Kostrukto): Se α e eleger regulärer Ausdruk I der Vorlesug wurde de Thompso-Kostrukto für α, llerdgs ht für α + vorgestellt D α + := α α deert wurde, st ds llerdgs ke groÿes Prolem Trotzdem st es mhml hlfreh, de Thompso-Kostrukto uh drekt für α + wede zu köe Erweter Se de Thompso-Kostrukto so, dss für jede Ausdruk α + drekt e Automt kostruert wrd, der uf dem Automte für α sert Here sollte der für α + erzeugte Automt weger Trstoe he ls der Automt, der vo der Thompso-Kostrukto für α erzeugt wrd Der etstehede Automt sollte ur ee Edzustd he, der Edzustd sollte kee usgehede Kte ud der Strtzustd sollte kee egehede Kte he 8

9 α q 5 q 6 Husufge 10 (Thompso-Kostrukto): (3 Pukte) Se α e eleger regulärer Ausdruk Um Wederholuge der vo desem Ausdruk erkte Wörter uszudrüke, gt es de reguläre Ausdrüke (α 0-ml), α (α 1-ml), α + (α m 1-ml) ud α (α eleg oft) Uter Umstäde st es er uh teresst, e egees Kostrukt für de 0-mlge s 2-mlge Awedug vo α zu he Se α := + α + α α ee etsprehede Erweterug der reguläre Ausdrüke Erweter Se de Thompso-Kostrukto so, dss für jede Ausdruk α drekt e Automt kostruert wrd, der uf dem Automte für α sert Here sollte der für α erzeugte Automt mxml so vele Zustäde he we der Automt, der vo der Thompso-Kostrukto für α α erzeugt wrd Der etstehede Automt sollte ur ee Edzustd he, der Edzustd sollte kee usgehede Kte ud der Strtzustd sollte kee egehede Kte he Hwes: Bs uf de Edzustd drf jeder Zustd eleg vele usgehede Trstoe he Auÿerdem drf s uf de Strtzustd jeder Zustd eleg vele egehede Trstoe he α α q 5 q 6 Tutorufge 11 (-Kte etfere): Se Σ := {,, d} e Alphet Gee se zu de folgede -NFAs jewels ee NFA ohe -Trstoe, der desele Sprhe erket 9

10 ) ) d) d q 5 e) 10

11 q 0 q 6 q 7 q 5 Se Σ := {,, d} e Alphet Gee se zu de folgede -NFAs jewels ee NFA ohe -Trstoe : ) ) q 0 q, 1, 11

12 d) q 5 d e) q 6 q 7 q 5 Husufge 12 (-Kte etfere): (2 + 2 = 4 Pukte) Se Σ := {,, d} e Alphet Gee se zu de folgede -NFAs jewels ee NFA ohe -Trstoe, der desele Sprhe erket 12

13 ) ) 13

14 Tutorufge 13 (Ashlussegeshfte): De Sprhe L = { 0} üer dem Alphet Σ = {} st ht regulär Beutze Se de Ashlussegeshfte regulärer Sprhe, um zu zege, dss folgede Sprhe eeflls ht regulär sd Hwes: Se dürfe für jede Telufge eutze, dss de Sprhe vorherger Telufge ht regulär sd L 1 = { m m, 0, m + > 0, m } Σ Σ ) L 2 = { m m, 0, m } Σ Σ ) L 3 = { 0} L = Σ \ L 1 ) L 1 = L 2 ) L = h(l 3 ) mt h( = ud h() = De Fukto h st e Homomorphsmus, d oeshtlh h(ww ) = h(w)h(w ) I der Tt st h sogr e Isomorphsmus 14