Formale Sprachen, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 1 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder

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1 Prof Dr J Giesl Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 1 M Brokshmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleihen Tutorium ereitet werden Die Lösungen der Husufgen müssen is Mi, im Tutorium gegeen werden Alterntiv ist es is 17 Uhr möglih, diese in den Ksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etge) Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Üungsgruppe sind uf jedes Bltt der Age zu shreien Heften zw tkern Sie die Blätter! Die Tutorufgen werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsm esprohen und ereitet Tutorufge 1 (Erzeugendensysteme / Monoide): Beweisen Sie:(L(() ), ) ist ein Monoid Hierei ezeihnet die Aneinnderkettung von Wörtern Hinweis: In dieser Vorlesung ezeihnetndie ntürlihen Zhlen inklusive der0 Die Aneinnderkettung ist ssozitiv Somit leit noh zu zeigen, dssl(() ) geshlossen unter ist und ds neutrle Element enthält Seienm,n N,u=() n L(() ) undv =() m L(() ) Dnn gilt u v=() n+m L(() ) D uhε=() 0 L(() ), ist(l(() ), ) ein Monoid Husufge 2 (Erzeugendensysteme / Monoide): (2 + 4 = 6 Punkte) ) Beweisen Sie:(L(() ), ) ist isomorph zu(n,+) ) Ht ds Monoid(N\{0}, ) ein endlihes Erzeugendensystem? Wir nennen ein ErzeugendensystemE für ein MonoidM miniml, flls keine ehte Teilmenge vone ein Erzeugendensystem fürm ist Geen Sie ein minimles Erzeugendensystem von(n\{0}, ) n Ist Ihr Erzeugendensystem frei? Begründen Sie ihre Antworten! ) Zu zeigen: Es git einen ijektiven Homomorphismus von(l(() ), ) nh(n,+) Seih :L(() ) Nmith(() n ) =n, dnn isthein Homomorphismus, denn:h(() n () m ) = h(() n+m )=n+m=h(() n )+h(() m ) Die Funktionh ist ijektiv, d für jedesn Ngilth(() n )=n und somit die Umkehrfunktionh 1 :N L(() ) mith 1 (n)=() n definiert ist ) Nein Jedes Erzeugendensystem muss mindestens lle Primzhlen enthlten und knn dher niht endlih sein 1

2 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 1 Die Menge der Primzhlen ildet ein minimles Erzeugendensystem, d jede Zhl ls Multipliktion ihrer Primfktoren drgestellt werden knn Dies ist llerdings kein freies Erzeugendensystem, d die Multipliktion kommuttiv ist So lässt sih6ls2 3, er uh ls3 2 drstellen Tutorufge 3 (Homomorphismen / Isomorphismen): SeiΣein elieiges, endlihes Alphet Beweisen oder widerlegen Sie die Existenz folgender Homomorphismen: ) Ein Isomorphismus von(r,+) nh(z,+) ) Ein Isomorphismus von(z,+) nh(z,+), der niht die Identität ist ) DRüerzählr unendlih ist undznur zählr unendlih ist, knn es keine ijektive Aildung und dmit uh keinen Isomorphismus zwishen den eiden geen ) Seih(x) = x Die Funktionhist offensihtlih eine Bijektion und es gilth(+) = (+) = ( ) +( ) = h() + h() Somit ist h ein Isomorphismus Husufge 4 (Homomorphismen / Isomorphismen): ( = 5 Punkte) SeiΣein elieiges, endlihes Alphet Beweisen oder widerlegen Sie die Existenz folgender Homomorphismen: ) Ein Homomorphismus von(n,+) nh({1}, ) ) Ein Homomorphismus von(σ, ) nh(n,+) ) Ein Isomorphismus von({1}, ) nh(n,+) d) Ein injektiver Homomorphismus von(n,+) nh(n, ) ) Seih:x 1, so isthein Homomorphismus, dh(+)=1=1 1=h() h() 2

3 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 1 ) Seih:x x, so isthein Homomorphismus, dh( )= = + =h()+h() Hierei ezeihnet w die Länge des Wortesw Alterntiv: Betrhteh :x 0, lso die Funktion, die jedes Element vonσ uf ds neutrle Element des Monoids(N,+) ildet Offensihtlih gilt hier die Homomorphieedingung:h ( )=0=0+0= h ()+h () Es knn lso durhus untershiedlihe Homomorphismen zwishen zwei Monoiden geen ) Es knn keinen Isomorphismus von{1} nhngeen, d {1} =1< N d) Seih:x 2 x Dnn isthein Homomorphismus, dennh(+)=2 + =2 2 =h() h() für lle, N Weiterhin isth:n N streng monoton steigend und somit injektiv Tutorufge 5 (Reguläre Ausdrüke): Sei Σ ={0, 1,, 9, } ein Alphet, mit dem gnze Zhlen eshrieen werden können ) Geen Sie für die folgende Sprhe üer diesem Alphet einen regulären Ausdruk n Gnze Zhlen eginnen mit höhstens einem, dh die Menge der gnzen Zhlen ist{0,1, 1,2, 2,} Hinweis: Außer 0 eginnt keine gnze Zhl mit der Ziffer 0 L 1 ={w w ist eine positive gnze Zhl}, dhl 1 ={1,2,3,} ) Wir shränken uns nun uf ds AlphetΣ =Σ\{ }={0,1,,9} ein Geen Sie für die folgende Sprhe einen regulären Ausdruk n, der genu die Wörter üer dem AlphetΣ eshreit, die niht in dieser Sprhe liegen Ahten Sie druf, dssσ \L uh Wörter wie000 enthlten knn, die keine gnzen Zhlen sind L 2 ={w w ist eine gerde ntürlihe Zhl}, dhl 2 ={0,2,4,6,} ) r 1 =(1+2++9)(0+1++9) ) r 2 =ε+0(σ ) + +r1 ( ) Wie ülih stehtσ in diesem regulären Ausdruk für die Disjunktion der einzelnen Symole in der Menge, in diesem Flle lso Außerdem istr + eine Akürzung fürrr Der reguläre Ausdruk dekt drei vershiedene Fälle : ε lässt ds leere Wort zu, ds keine gnze Zhl (und dmit uh insesondere niht gerde) ist 0(Σ ) + erlut ll die Wörter, die keine gnze Zhl sind, weil sie mit einer 0 eginnen und niht die 0 sind r1 ( ) erlut ll die Wörter, die mit einer gnzen Zhl eginnen und deren letzte Ziffer ungerde ist Hier git es eine Üershneidung mit dem vorherigen Fll, dennr 1 erlut uh ds Wort0 Den Ausdrukr 1 können wir wiederverwenden, weil er ds niht mehr etrhtete Symol niht einhltet 3

4 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 1 Husufge 6 (Reguläre Ausdrüke): (2 + 4 = 6 Punkte) SeienΣ,Σ die Alphete us Tutorufge 5 ) Geen Sie für die folgenden Sprhen üer dem AlphetΣwie in Tutorufge 5) je einen regulären Ausdruk n L 3 ={w w ist eine niht-positive gnze Zhl}, dhl 3 ={0, 1, 2, 3,} L 4 ={w w ist eine durh 5 teilre gnze Zhl}, dhl 4 ={0,5, 5,10, 10,} Hinweis: Für zwei gnze Zhlenx,y Zgilt, dssx durhy teilr ist genu dnn, wenn es einz Z git, so dssx=y z ) Geen Sie für die folgenden Sprhen wie in Tutorufge 5) jeweils einen regulären Ausdruk n, der genu die Wörter üer dem AlphetΣ eshreit, die niht in dieser Sprhe liegen L 5 ={w w enthält die Ziffer 7}, dhl 5 ={7,17,27,,70,} L 6 ={w w enthält die Ziffer 7 genu einml}, dhl 6 ={7,17,27,,70,,76,78,79,} ) r 3 =0+ r 1 r 4 = (ε+ )r 1 (0+5) ) Wir definierenσ 7 :=Σ \{7} Dnn istr 5 =(Σ 7 ) r 6 =r 5 +(Σ ) 7(Σ ) 7(Σ ) Hier werden wieder zwei Fälle untershieden: r 5 erlut ll die Wörter, die die Ziffer7niht einhlten (Σ ) 7(Σ ) 7(Σ ) erlut die Wörter, die die Ziffer 7 mindestens zwei ml enthlten Husufge 7 (Reguläre Ausdrüke): (4 Punkte) SeiΣ={A,,Z,0,,9, _,} ein Alphet Wir definieren die folgenden regulären Ausdrüke r:=(a+b++z) s:=(0+1++9) Dmit eshreit der Ausdrukrs lso lle Wörter, die us genu einem Buhsten und elieig vielen druf folgenden Ziffern estehen Wir wollen nun Wörter der folgenden Form etrhten: _HAT_17_P UNKT E _HAS_4711_P OINT S _BEKAM_1314_P OINT S 4

5 Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 1 Dies sind lso die Wörter, in denen uf eine (6-stellige) Mtrikelnummer ein Ver und dnn eine Punktzhl folgt, die elieige viele Stellen hen knn Am Ende dieser Wörter steht immer PUNKTE oder POINTS Alle diese Teile sind jeweils durh ein _ getrennt Als Punktzhl lssen wir gnze Zhlen wie in Tutorufge 5 zu, erluen zusätzlih er uh, dss uf eine gnze Zhl ein und dnn elieig viele, er mindestens eine Ziffer ls Nhkommstellen folgen Ds heißt, dss wir05 und000 niht ls Punktzhl zulssen Wir wollen der Einfhheit hler die verwendeten Veren niht näher spezifizieren und wollen dher jede (nihtleere) Buhstenfolge ls Ver ehndeln Geen Sie nun einen regulären Ausdruk n, der die Sprhe dieser Wörter eshreit Wir definieren die folgenden regulären Ausdrüke: r Mtrikelnummer :=s 6 r Ver :=r + r Zhl :=(0+( )s )(ε+s + ) Hier eshreits n den regulären Ausdrukss }{{} n-ml Diese können wir nun zum Ausdrukr Mtrikelnummer _r Ver _r Zhl _(PUNKTE+POINTS) zusmmensetzen Tutorufge 8 (Reguläre Ausdrüke): Gegeen sei folgender Grph: A D C B SeiLdie Sprhe der Pfde gerde Länge, die vonanhaführen Es gilt lso eispielsweiseacbda L, ABDABDA L erabda/ L Geen Sie einen regulären Ausdruk n, der diese Sprhe eshreit Wir erkennen, dss Pfde vonanhaimmer us den TeilpfdenABDA undacbda zusmmengesetzt sind Ersterer ht ungerde Länge, dher muss immer eine gerde Anzhl solher Stüke in einem Pfd gerder Länge enthlten sein Wir erhlten den folgenden regulären Ausdruk: r=a((bda(cbda) BDA)+(CBDA) ) 5

6 Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brokshmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleihen Tutorium ereitet werden Die Lösungen der Husufgen müssen is Mi, im Tutorium gegeen werden Alterntiv ist es is 17 Uhr möglih, diese in den Ksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etge) Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Üungsgruppe sind uf jedes Bltt der Age zu shreien Heften zw tkern Sie die Blätter! Die Tutorufgen werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsm esprohen und ereitet Tutorufge 1 (Ashlusseigenshften): SeiΣ:={,} ein Alphet SeiL:={ n 2n n 0} eine Sprhe üerσ Hierei ezeihnet n ds Wort }{{} Es existiert kein DFA, derlkzeptiert Zeigen Sie, dss dnn uh kein DFA existiert, der die folgenden n-ml Sprhen üerσkzeptiert )L 1 ={w w= n m fürm,n 0 undm 2n} Σ Σ )L 2 ={ n n m n n m 0} ) Es giltl=σ \L 1 D kein DFA existiert, derlkzeptiert, folgt us der Ageshlossenheit unter Komplement von Sprhen, die von einem DFA kzeptiert werden können, dssl 1 niht von einem DFA kzeptiert werden knn ) Es giltl=l 2 L mitl ={ m n m,n 0} Der folgende DFA kzeptiertl, q 0 q 1 q 2 D kein DFA existiert, der L kzeptiert, folgt us der Ageshlossenheit unter Shnitt von Sprhen, die von einem DFA kzeptiert werden können, dssl 2 niht von einem DFA kzeptiert werden knn 1

7 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Husufge 2 (Ashlusseigenshften): (4 Punkte) SeiΣds Alphet us der vorherigen Aufge SeiL 3 :={ n n n 0} eine Sprhe üerσ Es existiert kein DFA, derl 3 kzeptiert Zeigen Sie, dss dnn uh kein DFA existiert, der die SprheL 4 :={ m n m,n 0,m n} üerσkzeptiert Hinweis: Benutzen Sie die Ashlusseigenshften für Sprhen, die von einem DFA kzeptiert werden können Es giltl 3 =(Σ \L 4 ) L D es einen DFA git, derl kzeptiert, es er keinen DFA git, derl 3 kzeptiert, knn ufgrund der Ageshlossenheit unter Shnitt und Komplement von Sprhen, die von einem DFA kzeptiert werden können, die SprheL 4 niht von einem DFA kzeptiert werden Tutorufge 3 (DFAs us regulären Ausdrüken): SeiΣein Alphet Konstruieren Sie einen Automten, der genu die SprheL( ( ) ) erkennt Zwei Lösungen, woei die rehte miniml ist q 1 q 2 q 3 q 1 q 2 Tutorufge 4 (DFAs us Wörtern): SeiΣ:={,,z} ein Alphet Wir führen ls verkürzende Shreiweise ein, dss Knten in einem Automten mit Mengen (zb Σ\{}) eshriftet werden können und meinen dmit, dss die eshriftete Knte einem Üergng entspriht, der für lle Symole us der Menge erlut ist Betrhten Sie dzu ds folgende Beispiel: Σ\{} Σ q 1 q 2 In diesem Automten ist lso ein Üergng von Zustndq 1 zu Zustndq 2 nur mit dem Symolmöglih Alle weiteren Buhsten führen von Zustndq 1 wieder zu sih selst zurük Der Automt erkennt lso die Sprhe Σ Σ 2

8 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Konstruieren Sie nun einen Automten, der die Wörter erkennt, die mindestens einml ds Wort hen enthlten, lso die SprheΣ henσ Σ\{} q 1 q 2 q 3 q h 4 q e 5 q n 6 q 7 Σ\{} Σ\{,} Σ\{,h} Σ\{,e} Σ\{,n} Σ Husufge 5 (DFAs us Wörtern): (3 Punkte) SeiΣein Alphet Konstruieren Sie einen Automten, der die Wörter erkennt, die mindestens einml ds Wort essen enthlten, lso die SprheΣ essenσ Hinweis: Um die Drstellung des Automten zu vereinfhen, nutzen Sie m esten die verkürzende Shreiweise, die in Tutorufge 4 eingeführt wurde Σ\{e} e Σ e s q e 1 q s 2 q s 3 q e 4 q n 5 q 6 Σ\{e,s} e Σ\{e,s} Σ\{e} Σ\{e,n,s} 3

9 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Tutorufge 6 (L k ij -Algorithmus): Bestimmen Sie mit Hilfe desl k ij-algorithmus einen regulären Ausdruk, der die Sprhe erkennt, die der folgende endlihe Automt kzeptiert q 2, q 1 q 3, D es nur einen Endzustndq 3 git, reiht es,l 3 1,2 zu estimmen L 3 1,2 =L2 1,2 +L2 1,3 (L2 3,3 ) L 2 3,2 = L 2 1,2 =L1 1,2 +L1 1,2 (L1 2,2 ) L 1 2,2 = L 1 1,2 =L0 1,2 +L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 1,2 = L 0 1,1 =ε =+εε = L 1 2,2 =L0 2,2 +L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 2,2 =ε++l0 2,1 = =(ε++)+( )(ε) ()=ε++ =()+()(ε++) (ε++)=(ε++) L 2 1,3 =L1 1,3 +L1 1,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 1,3 =L0 1,3 +L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 1,3 = =+εε = L 1 2,3 =L0 2,3 +L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 2,3 = L0 2,1 = = =+(ε++) = L 2 3,3 =L1 3,3 +L1 3,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 3,3 =L0 3,3 +L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 3,3 =ε++l0 3,1 = =ε++ L 1 3,2 =L0 3,2 +L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 3,2 = L0 3,1 = = =(ε++)+ (ε++) =ε++ L 2 3,2 =L1 3,2 +L1 3,2 (L1 2,2 ) L 1 2,2 = + (ε++) (ε++)= 4

10 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 =(ε++) +(ε++) =(+) Husufge 7 (L k ij -Algorithmus): (4 Punkte) Bestimmen Sie mit Hilfe desl k ij-algorithmus einen regulären Ausdruk, der die Sprhe erkennt, die der folgende endlihe Automt kzeptiert q 1 q 2 q 3, D es nur einen Endzustndq 3 git, reiht esl 3 1,3 zu estimmen L 3 1,3 =L2 1,3 +L2 1,3 (L2 3,3 ) L 2 3,3 = L 2 1,3 =L1 1,3 +L1 1,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 1,3 =L0 1,3 +L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 1,3 = L 0 1,1 =ε+ = +(ε+)(ε+) = L 1 1,2 =L0 1,2 +L0 1,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 1,2 = =+(ε+)(ε+) = L 1 2,2 =L0 2,2 +L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 2,2 =ε L 0 2,1 = =ε+(ε+) =ε+ + L 1 2,3 =L0 2,3 +L0 2,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 2,3 = =+(ε+) = = + (ε+ + ) = (ε+ + ) L 2 3,3 =L1 3,3 +L1 3,2 (L1 2,2 ) L 1 2,3 = L 1 3,3 =L0 3,3 +L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,3 = L 0 3,3 =ε++ L 0 3,1 = =(ε++)+ (ε+) =ε++ L 1 3,2 =L0 3,2 +L0 3,1 (L0 1,1 ) L 0 1,2 = L 0 3,2 = = + (ε+) = 5

11 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 =(ε++)+( )(ε+(ε+) ) =ε++ =( (ε+ + ) )+( (ε+ + ) )(ε++) (ε++)= (ε+ + ) Σ =(+) (+) Tutorufge 8 (Produktutomt): ) In der Vorlesung wurde der ProduktutomtM M verwendet, um genu die Wörter zu kzeptieren, die sowohl vonm ls uh vonm kzeptiert werden Wie knn mn die Konstruktion des Produktutomten so modifizieren, dss stttdessen die Vereinigung der eiden SprhenL(M) undl(m ) kzeptiert wird? ) Verwenden Sie die Konstruktion us der vorherigen Teilufge, um zu zeigen, dss jedes Wort usσ mit Σ={,} von einem der folgenden Automten kzeptiert wird q 0 q 1 q 2 q 3 ) Nh wie vor verwendet mn ds krtesishe Produkt der Zustndsmengen eider Ausgngsutomten ls neue Zustndsmenge und enutzt die gleihe Kntenreltion wie eim herkömmlihen Produktutomten Als Endzustände definiert mn llerdings niht nur solhe Zustände, die Pren entsprehen, ei denen eide Ausgngsutomten einen Endzustnd hen, sondern uh solhe, ei denen nur einer der eiden Ausgngsutomten einen Endzustnd ht ) Der modifizierte Produktutomt q 0,q 2 q 1,q 3 kzeptiert offensihtlih jedes Wort usσ, d er nur Endzustände esitzt Husufge 9 (Produktutomt): Gegeen seien zwei endlihe Automten (3+1 Punkte) 6

12 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 q 1 q 2 q 4 q 5 q 3 ) Konstruieren Sie den Produktutomten der eiden Automten ) Beweisen Sie, dss es kein Wort der Sprhe{,} git, ds von eiden Automten kzeptiert wird ) q 2,q 5 q 2,q 4 q 1,q 4 q 1,q 5 q 3,q 4 ) Flls es kein Wort git, ds von eiden Automten erknnt wird, ht ihr Produkt keinen erreihren Endzustnd Dies ist hier der Fll Alterntive Im ersten Automt sind lle eingehenden Knten des Endzustndes mit eshriftet und im zweiten Automt mit Dher knn es kein Wort geen, ds von eiden Automten erknnt wird Husufge 10 (Verifiktion mit Model Cheking): (2+4+1 Punkte) SeiΣ={,} ein Alphet Wir wollen nun ein Verifiktions-Prolem etrhten und ein Verfhren entwikeln, ds utomtish und in endliher Zeit üerprüft, o jedes Wort, ds ein DFA (die Implementierung ) kzeptiert, uh in einer ls Sprhe gegeenen SpezifiktionLliegt 7

13 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Sei nunldie Sprhe ller Wörter, die mit einer gerden Anzhl vons enden, dhl:= {w() n w (Σ {ε}),n>0} Als zu üerprüfende Implementierung etrhten wir den AutomtenM: q 0 q 1 q 2 ) Konstruieren Sie einen AutomtenM, der genu die SprheLkzeptiert ) Geen Sie ein Verfhren n, mit dem utomtish für zwei elieige, gegeene DFAsM undm entshieden werden knn, o jedes vonm kzeptierte Wort uh vonm kzeptiert wird Es soll lso ein Algorithmus entwikelt werden, der für eine Einge von zwei AutomtenM,M genu dnntrue usgit, fllsl(m) L(M ) gilt und sonstflse usgit Verwenden Sie (elieigen) Pseudo-Code, um ds Verfhren zu eshreien Hinweis: Zur Lösung der Aufge hilft es, sih klr zu mhen, dssl(m) L(M ) genu dnn gilt, wenn w L(M) w L(M ) für llew Σ gilt Dnh sollen Sie die us der Vorlesung eknnten Verfhren nwenden, mit denen utomtish der Shnitt und ds Komplement von durh DFAs kzeptierten Sprhen ermittelt werden knn Benutzen Sie uh ds Verfhren zum Leerheitstest us Aufge 9, mit dem Sie üerprüfen können, o die von einem DFA erknnte Sprhe leer ist ) Führen Sie ds Verfhren exemplrish durh und geen Sie ein Wortw mitw L(M),w L n ) Der AutomtM : q 3 q 4 q 5 ) Es gelten die folgenden Äquivlenzen, wenn wir mitm undm die Komplementärutomten vonm zw M ezeihnen: L(M) L(M ) w L(M) w L(M ) w L(M) w L(M ) w L(M) w L(M ) w (L(M) L(M )) w (L(M) L(M )) w L(M M ) w Σ w Σ w Σ w Σ w Σ w Σ 8

14 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 Wir können lsol(m) L(M ) üerprüfen, indem wir üerprüfen, o die vom AutomtenM M erknnte Sprhe leer ist Dies ist genu dnn der Fll, wenn es keinen erreihren Endzustnd git Dmit ergit sih der folgende Pseudoode: lngsuset(m, M ): CM = Complement(M ) PM = ProdutDFA(M, CM ) return PMhsNoRehleFinlStte() ) Zuerst müssen wir den KomplementärutomtenM konstruieren: q 3 q 4 q 5 Nun können wir den ProduktutomtenM M konstruieren: q 0,q 3 q 1,q 4 q 2,q 5 q 2,q 4 Es gilt zb L(M M ) Es gilt offensihtlihw L undw L(M) 9

15 Pr r s r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r s t s s tt trö r s s s r t r s t r r t t r ös r s üss s t r r t r t st s s r ö s st r s 3 r r str t tr r r t r s r r Ü s r s s tt r 3 s r t 3 t r ätt r t r r t r s s r r t t t r t s s Σ t r r s t dup:σ Σ tr t st ört r r t s 3 s rt t r s t dup r t r rs s M t t s t r r s ä t t M st M 2 str r r r dup(l(m)):={dup(w) w L(M)} r t s ssl(m 2 )=dup(l(m)) t ös dup():= dup(w ):=dup(w) Σ,w Σ st r r s t s rs r s t t 3 tr s 3 st 3 s t3 s ss s r rs rü r s t 3 s r t r r s t r t t t üss ür s stä 2 t 3 rs tt r s t t s r t t r 3 r3 st ü r s r 3 st rr t r M=(Q,Σ,δ,q 0,F) r rm 2 :=(Q 2,Σ,δ 2,q 0,F) tq 2 :={e} ( q Q ({q Σ} {q})) r r ssq Q t ts r s r r stä Q rr r st e r s r r3 st t3t r r q q Q δ 2 (q,)= δ( q,) q= q Q 2, q Q e s st

16 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r üss L(M 2 )=dup(l(m)) 3 r s s r ss ˆδ(q,w)=q ˆδ 2 (q,dup(w))=q ür q Q s t stä Q 2 \Q r t ü r rt ä w 3 t s stw= s tˆδ(q,)=q ˆδ 2 (q,dup())=ˆδ 2 (q,)=q t ss r tt tr t rw =w ür Σ s t3 r s ss ss ürw r ts t M st t s q tˆδ(q,w )=q q tˆδ(q,w )= q s ss δ( q,)=q t s r t s 2 t s t s ürw ˆδ 2 (q,dup(w ))= q t str t t r δ 2 ( q,)= q δ 2 ( q,)=q t t ss ˆδ(q,w)= ˆδ(q,w )=q ˆδ 2 (q,dup(w))=ˆδ 2 (q,dup(w ))=ˆδ 2 (q,dup(w ) )=q tw L(M) ˆδ(q 0,w)=f F ( ) st s äq t 3 ˆδ 2 (q 0,dup(w))=f F dup(w) L(M 2 ) t st ss s s t s s P t Σ t r t rev:σ Σ tr t ört r r t s 3 s rt r s t rev r t r rs s M t t s t r r s ä t t M st M rev str r r r rev(l(m)):={rev(w) w L(M)} r t s ssl(m rev )=rev(l(m)) t s s s ss ü r s 3 s r st s Ü r s t ˆδ s t t M r st s Ü r s t ˆδ rev s t t M rev r 3 r r s t ü r ä r tr t t ört r ös rev():= rev(w ):= rev(w) Σ,w Σ st r t t t 3 r s M rev r s t q q 3 r s M r s t q q r t rt3 st M r st M rev s t rt3 stä M rev r t 3 stä M3 ss r s t t rt3 st üss ü r r t t rt3 st r r r s t t 3 stä M r r M=(Q,Σ,δ,q 0,F) t st q s q s Q stm rev :=(Q {q s },Σ,δ rev,q s,{q 0 }) stδ rev t rt {q Q q=δ(q,)} q q s δ rev (q,)= F q=q s = q=q s

17 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r üss s ss L(M rev )=rev(l(m)) t r 3 ür r ss ˆδ(q,w)=q q ˆδ rev (q,rev(w)) ür q,q Q ür stä ÿ r ü rt t rt3 st q s r t ü r rt ä w t s st ä s w= tˆδ(q,)=q ˆδ rev (q,)={q} t ss ss s t3 r ür w = w Σ r s ss ss ür w t ˆδ(q,w)=q tˆδ(q,w )= q δ( q,)=q str t δ rev t q δ rev (q,) s r r t s 2 t s t ÿ r ˆδ(q,w )= q q ˆδ rev ( q,rev(w )) s t q δ rev (q,) t t r t q ˆδ rev (q, rev(w ))=ˆδ rev (q,rev(w ))=ˆδ rev (q,rev(w)) ˆδ(q,w)=q t tw L(M) ˆδ(q 0,w)=f F q 0 ˆδ rev (f,rev(w)) str t δ rev (q s,)= Huelle(q s )=F t s q 0 ˆδ rev (q s,rev(w)) t trev(w) L(M rev ) w L(M) t r P t 3 str t Σ:={,,,z} t r 3 t rt ört r st s s rt innig t t s r Σ innigσ rst s t t 3 r t3 r r ür3 r s t r 3 t Ü s tt ü rt r r s r s t t 2 3 s r t Σ Σ q i 1 q n 2 q n 3 q i g 4 q 5 q 6 P t 3 t t ür s 3 r t r s r 3 t rt r r s ür t rr r stä ss ös r s t str t s P t 3 t t Σ\{g,i,n} F {q 1 } {q 1 } {q 1,q 2 } {q 1 } {q 1 } {q 1,q 2 } {q 1 } {q 1,q 2 } {q 1,q 3 } {q 1 } {q 1,q 3 } {q 1 } {q 1,q 2 } {q 1,q 4 } {q 1 } {q 1,q 4 } {q 1 } {q 1,q 2,q 5 } {q 1 } {q 1 } {q 1,q 2,q 5 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2 } {q 1,q 3 } {q 1 } {q 1,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2,q 6 } {q 1,q 3,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 3,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2,q 6 } {q 1,q 4,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 4,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2,q 5,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2,q 5,q 6 } {q 1,q 6 } {q 1,q 2,q 6 } {q 1,q 3,q 6 } {q 1,q 6 }

18 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü Σ\{i} {q 1 } Σ\{i} Σ\{g,i,n} {q 1,q 4 } i {q 1,q 2,q 5 } Σ\{i,n} i i n n g Σ\{i} n {q 1,q 2 } {q 1,q 3 } {q 1,q 6 } i Σ\{i,n} i i i Σ\{i,n} Σ\{i,n} {q 1,q 2,q 6 } i {q 1,q 2,q 5,q 6 } Σ\{i} i n n i n {q 1,q 3,q 6 } {q 1,q 4,q 6 } Σ\{i,n} s P t 3 str t P t Σ:={,,} t tr t

19 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü, q 2 q 4 q 1 q 3 P t 3 t t ür s 3 r t r s r 3 t rt r r s ür t rr r stä ss ös r s t str t s P t 3 t t F {q 1 } {q 2,q 3 } {q 1 } {q 2,q 3 } {q 4 } {q 4 } {q 4 } {q 1,q 4 } {q 4 } {q 1,q 4 } {q 1,q 2,q 3,q 4 } {q 1,q 4 } {q 1,q 2,q 3,q 4 } {q 1,q 2,q 3,q 4 } {q 1,q 4 } {q 4 }, {q 1 } {q 2,q 3 } {q 4 },, {q 1,q 4 } {q 1,q 2,q 3,q 4 } t r t s r ü r tσ={,,}

20 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü, q 2 q 4, q 1 q 3 s r r t s 3 r t s s s r ört r r ä t s ü t S r t r t s t s r r s s r r s ü rt 3 ös t r t S {q 1 } {q 2,q 4 } {q 1,q 4 } {q 2,q 4 } {q 1,q 4 } {q 1,q 2 } ü s t r t S {q 1 } {q 3,q 4 } {q 2,q 4 } {q 1,q 4 } {q 1,q 2 } {q 2,q 4 } ü tr s t P t s r ü r tσ={,,}

21 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü, q 2 q 4 q 1 q 3, s r r t s 3 r t s s s r ört r r ä t s ü t S r t r t s t s r r s s r r s ü rt 3 ös t r t S {q 1 } {q 1 } {q 2,q 3 } {q 4 } {q 4 } {q 1,q 4 } {q 1,q 4 } {q 2,q 3,q 4 } {q 4 } ü tr t r t S {q 1 } {q 2,q 3 } {q 4 } {q 4 } {q 1,q 4 } {q 1 } {q 2,q 3 } ü s

22 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü t r s str t r3 t r s str t t r s t 3 r är s r (+) ös q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 q 9 q 10 q 11 q 12 s s str t P t r3 t r s str t t r s t 3 r är s r ( )+ (( ) ) ös q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 q 9 q 10 q 12 q 13 q 14 q 15 q 16 q 17 q 18 q 19 q 20 q 21 q 11 t r s str t α r r är r s r r r s r s str t ür α r s t ürα + r st t α + :=α α rt r st s r s r ÿ s Pr r t3 st s r s str t r t ürα + 3 ö r t r s str t s ss ür s r α + r t t t str rt r r t t ürα s rt r s t r ürα + r3 t t t r r s t s r t t r r s str t ür α r3 t r r tst t t s t r 3 st r 3 st s t s t r t rt3 st s t t ös

23 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü α q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 s s str t P t α r r är r s r r r s s r r t ört r s 3 rü t s r är s rü α α α α + α α α t t r stä st s r t r ss t s str t ür s α3 α :=+α+α α ts r r t r r r är s rü r t r s str t s ss ür s r α r t t t str rt r r t t ürα s rt r s t r ürα r3 t t t 1 s stä r t t r r s str t ür α α r3 t r r tst t t s t r 3 st r 3 st s t s t r t rt3 st s t t s s 3 st r r st s r s t ÿ r r s t rt3 st r st r s t ös α α q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 t r t t r Σ:={,,,d} t s 3 s s r s t r s r r t q 0 q 1

24 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü q 1 q 0 q 3 q 2 q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 3 d q 0 q 5 q 2 q 4

25 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü q 2 q 4 q 0 q 1 q 6 q 7 q 3 q 5 ös Σ:={,,,d} t s 3 s s r s t q 0 q 1 q 1 q 0 q 3 q 2 q 0 q 1 q 2, q 3,

26 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü q 1 q 3 q 0, q 5 d q 2 q 4, q 2 q 4 q 0 q 1, q 6 q 7 q 3, q 5, s t t r P t Σ:={,,,d} t s 3 s s r s t r s r r t

27 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü q 1 q 0 q 3 q 2 q 4 q 0 q 1 q 2 q 3 ös q 1 q 0 q 2 q 4 q 3 q 0 q 1 q 2 q 3

28 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü t r s ss s t r L={ n n n 0} ü r tσ={,} st t r är t3 s ss s t r är r r 3 3 ss r s t r är s s ür ür t3 ss r r r r t r är s L 1 ={ m n m,n 0,m+n>0,m n} Σ Σ L 2 ={ m n m,n 0,m n} Σ Σ L 3 ={ n n n 0} ös L=Σ \L 1 L 1 =L 2 L=h(L 3 ) th()= h()= t h st r s s s t h(ww )= h(w)h(w ) r t sths r s r s s

29 Pr r s r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r s t s s tt trö r s s s r t r s t r r t t r ös r s üss s t r r t r t st s s r ö s st r s 3 r r str t tr r r t r s r r Ü s r s s tt r 3 s r t 3 t r ätt r t r r t r s s r r t t t r r s s tr t sm M q 0 q 1 M q 0 q 1 q 3 M q 2 t s r s s M M rü r t rt t s r s s M M rü r t rt ös r st q 0 t 3 t stä q 0 q 2 t r s q 1 t 3 t q 1 q 3 t r t3t r s st s öt rst ür r s s 3 r ü ä r r tt ür r s s öt ür t rt rr t q 0 st q 2 rt ä r q 0 s rq 0 rr t s r ä t s s stä q 1 q 3 q 1 t h th(q 0 )=h(q 2 )=q 0 h(q 1 )=h(q 3 )=q 1 st s r r s s

30 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü s r s s P t Σ t s ss M=(Q,Σ,δ,q 0,F),M =(Q,Σ,δ,q 0,F ) 3 s s h:q Q r s s M M tl(m)=l(m ) s 3 ä st ss ür w Σ t h(ˆδ(q 0,w))=ˆδ (h(q 0 ),w) r r3 t ü r ä s rt sw 3 sm M ü r tσ={,} s t r ü L(M)=L(M ) s 1 st rt r s sh M M s 1 st rt r s sh M M M M s 1 stä ös h r s s st t h(q) F q F h(q 0 )=q 0 h(δ(q,))=δ (h(q),) r 3 3 ä st ss( )h(ˆδ(q 0,w))=ˆδ (h(q 0 ),w) r t ü r w t s stw= h(ˆδ(q 0,))=h(q 0 ) (2) =q 0 =ˆδ (q 0,)(2) =ˆδ (h(q 0 ),) s t s 2 t s r ss( ) ürw Σ t t ss r tt st w=w t Σ s th(ˆδ(q 0,w))=h(ˆδ(q 0,w ))=h(δ(ˆδ(q 0,w ),)) (3) = δ (h(ˆδ(q 0,w )),) IH =δ (ˆδ (h(q 0 ),w ),)=ˆδ (h(q 0 ),w )=ˆδ (h(q 0 ),w) t t L(M)=L(M ) w Σ :w L(M) w L(M ) w Σ :ˆδ(q 0,w) F ˆδ (q 0,w) F (2) w Σ :ˆδ(q 0,w) F ˆδ (h(q 0 ),w) F ( ) w Σ :ˆδ(q 0,w) F h(ˆδ(q 0,w)) F w Σ :ˆδ(q 0,w) F h(ˆδ(q 0,w)) F t (1)

31 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü, q 2 q 1,, q, 0 q 1, q 0, q 3 q 3 s 3 t r r L = {w {,} w 2} r st q 1 ässt s t 3 t q 1 q 2 ä r q 3 t 3 t q 2 q 3 t r rst r s st öt q 0 s t st q 1 rr t ä r t st q 2 rr t q 0 s rr t r s t rt st q 1 t3t r s st öt q 0 s t st q 2 rr t ä r t st q 3 rr t q 0 s rr t r s t rt st q 3 q 2 t r 2 r t st ür r L i ü r t Σ i r q 3 ss Σ / Li ür r L i ür s st rl i r t ür r r ür P r [w] Li [w ] Li tr s rtu s sswu L i w u L i t Σ 1 :={,} L 1 :={w Σ 1 w t ä t r} Σ 2 :={0,1} r ü r ts t weight:{0,1} N 0 rs r är3 r t weight():= 0 weight(w ):=weight(w)+ {0,1},w {0,1} L 2 :={w Σ 2 k N 0:weight(w)=2 k } Σ 3 :={0,1} L 3 :={w Σ 3 n N 0:w=1 n 01 n } ös r r r s [w] st tt[w] Li ür w Σ i r L i st t 1t t st t Σ / L1 ={[],[],[]}

32 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü,, [] [] [] q 3 ss ts r s r ört r 3 1 t t Σ / L2 ={{w {0,1} weight(w)=k} k N 0 } [w] [w ] Σ / L2 r s t3 m=weight(w) m =weight(w ) r ss t3 ss r ssm m s rä r t r r r m<m s r rt s w w rr t r r tr s rtu s ssw u L 2 w u L 2 t tr t r 3 rst 3 3 ä m = 0 m 2 k 1 ür k N 0 t üru = 1 ss w 1 L 2 w [w] w 1 L 2 w [w ] m=0 m =2 k 1 ür k N 0 t üru =11 ss w 11 L 2 w [w] w 11 L 2 w [w ] r tr t r ä 1 m<m l= log 2 (m) l = log 2 (m ) st tür t2 l 1 m<2 l 2 l 1 m <2 l sm<m t r s s r l l tδ=2 l m 3 δ =2 l m s r r s r 3 3 s m 3 m r ä st röÿ r r t 32 l 3 2 l δ δ stu=1 δ tr s rt weight( w u)=m+δ=2 l weight( w u)= m +δ 2 l ür w [w], w [w ] st ÿ r l l t ss r ssm +δ <2 l +1 t t st w u L 2 w u L 2 δ=δ t r tl<l stu=1 δ+2l tr s rt weight( w u)=m+δ+2 l = 2 l +2 l =2 l+1 weight( w u)=m +δ+2 l =2 l +2 l <2 l +1 t C n 3:={1 n } C3 k :={1 n 01 n k n N 0 } Σ / L3 = {C3,C i 3 i } {{1n 01 k k>n} {w0w 0w w,w,w Σ } i N 0 r ts r t C3 n ört r r tsn 1 s r C k 3 s ört r k1 r t3t q 3 ss ört r t Pr 1 s rt s r r s [w],[w ] 3 q 3 ss t[w] [w ] w=c t 3 ür t N 0 tu=01 t tw u L r tw u L stw r r 1 t t t t st s r ür r ä t ä tw u r s 0 r t r r w=c t 3 ür t N 0 tu=1 t tw u=1 n 01 n t 1 t =1 n 01 n L stw r r 1 t t ä tw u st r t r r stw r r 1 l 01 k tt t =l k st w u s t L stw s r ü t Pr 1 t r w u L s r t s r t ssweight r s s ({0,1}, ) (N 0,+) st

33 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü s 2 r t P t st ür r L i ü r t Σ i r q 3 ss Σ / Li ür r L i ür s st rl i r t ür r r ür P r [w] Li [w ] Li tr s rtu s sswu L i w u L i t Σ 4 :={,} L 4 :={w Σ 4 w t ä t r} Σ 5 :={0,1,,9} L 5 :={w Σ 5 w r t r 3 3 }={0,3,6,9,12,} s 3 3 r t r s r t t s r s3 3 3 z r t r st rs q r st tt ss ü r rü q r t r st s r st st z r t r Σ 6 :={0,1} r r r dup:σ Σ s t r Ü s tt dup():= dup(w ):=dup(w) Σ,w Σ L 6 :={w Σ 6 w {1} :w=w 0 dup(w )} ös Σ / L4 ={[],[],[],[],[]} [] [] [] [], [] Σ / L5 ={[],[0],[00],[1],[2],[3]}

34 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü Σ 0,3,6,9 [00] [1] Σ [0] 1,4,7 2,5,8 1,4,7 0 [] 2,5,8 [2] 0,3,6,92,5,8 1,4,7 3,6,9 2,5,8 1,4,7 [3] 0,3,6,9 r ö t r t r s ürl 6 L 6 ={w {1,0} n N 0 :w=1 n 01 2n } t ö r 3 r t r q 3 ss C n 6:={1 n } C6 k :={1 n 01 2n k n N 0 } Σ / L6 = {C6,C i 6 i } {{1n 01 k k>2n} {w0w 0w w,w,w Σ } i N 0 r ts r t C6 n ört r r tsn 1 s r C k 6 s ört r k1 r t3t q 3 ss ört r t Pr 1 s rt s r r s [w],[w ] 3 q 3 ss t[w] [w ] w=c t 6 ür t N 0 tu=01 2t tw u L 6 r tw u L 6 stw r r 1 t t t t st s r ür r ä t ä tw u r s 0 r t r r w=c t 6 ür t N 0 tu=1 t tw u=1 n 01 2n t 1 t =1 n 01 2n L 6 stw r r 1 t t ä tw u st r t r r stw r r 1 l 01 k tt t =2l k st w u s t L 6 stw s r ü t Pr 1 t r w u L 6

35 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü t r r 1 s M=(Q,Σ,δ,q 0,F) Q r st s r 1 L(M) ös s r t ts r ss 3 M ü rσ={} q 0 r M tl(m)=l(m ) q 0 q 1 s röÿ s ät3 ür t t P t M=(Q,Σ,δ,q 0,F) t Q =16 stä t tm =(Q,Σ,δ,q 0,F ) 1 st r r r t Q =76543 L(M)=L(M ) st rü r t rt ös r P t 3 str t ürm r3 t M tl(m)=l(m ) str t r3 t 1 st r stä sq s t r 1 2 Q = P(Q) =2 16 =65536 stä M L(M )=L(M)=L(M ) t r M r stä s M t M r ürl(m) s t r r L r t t r t r L 3 ört ru,v {,} ür u L v u v t r t tu v ˆδ(q 0,u)=ˆδ(q 0,v) ss r [u] [v] [u] L [v] L r r är s rü q 1 q 0 q 3, q 2

36 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü ös r ä u= v= s r t r t s [w] ={w ˆδ(q 0,w )=ˆδ(q 0,w)} s t s t[] =(+)() [] =(+)() q 3 ss L s r ört r r ä 1 3ü r r L t t rs r ö s t[] L =(+) =[] L s tät P t s ss r st r r3 t3 2 r q 1 q 0 q 2 ös r t t stä s t3t r r 3 r r t r ö st s q 3 ss s t3 r tr t q 3 ss r r r ss L rst [] ={w {,} ˆδ(q 0,w)=q 0 } [] ={w {,} ˆδ(q 0,w)=q 1 } [] ={w {,} ˆδ(q 0,w)=q 2 } s t 3 3 ss s ss t r r 3ü L s ür r ür s 3 ss t s 3ü L t rs ür[] [] L r/ L ür[] [] / L r L ür[] [] / L r L t t r t t r r L r t st s stä

37 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü t r 2 r q 3 ss [] L L= ss r t rt3 st 2 r 3 L 3 st st q 0 / F ös s r str t s 2 r t ss[] L r t rt3 st s t t st s t s t ss [] L t t st t[] L L= t/ L r t t ür rr t st st r t rt3 st r s 3 st s s s ät3 L P t L r är r ür s r st[] L L= t s rt s s r q 3 ss st r r L t t t r t[] L =[] L st[] L L t s ört r s r q 3 ss s r r L t t r ss s rr t rü r t rt s rs 2 r ür L s t ö 3 str r L= [] L L= [] L L L ös s s t t [] L s [] L q 3 ss [w] L r s s r räs t tw t t st t[] L L t L rst ss st s s r s[] L L= t ss r t rt3 st s 2 r 3 st st s [] L = [] L =[] L t ss s ür [] L st s t rt3 st ss s r r t s s r 2 r [] L s st s s ss ört r,,,,, s r q 3 ss s t r r L t t s 3 t ss st s r s [] L t st[] L s t r s r 3 t ss t ss r tt ss s st

38 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r [] L =[] L L= [] L L t t[] L [] L 2 r 1 st rt s st 3 [] L r r st ür[] L =[] L st s r st ür [] L ss 3 st s [] L L t [] L [] L s r str rt t t s ss[] L =[] L t ss s

39 Pr r s r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r s t s s tt trö r s s s r t r s t r r t t r ö ös 3 s tt r Präs 3ü t r t st s s r ö s st r s 3 r r str t tr r r t r s r r Ü s r s s tt r 3 s r t 3 t r ätt r t r r t r s s r r t t t r 3 P r r ü s r tt s s 3 Ü ss2st ür Präs 3ü r t r st tt t r r r s r r s r t s s r r s 3 r r ös s r t s tst t t q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 ös (3,5) (2,6) (3,5) rst r tt r r r t 0 P r stä {p,q} ts r ür p F q F t r r P r {p,q} stä r t s r ts r ü r rü r s δ(p, ) δ(q, ) r ts t rs r s st s r ü r i s st r r r r ür s P r{δ(p,),δ(q,)} ss{p,q} t rs r s {δ(p, ), δ(q, )} t rs r s

40 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü P r{q 1,q 2 } δ(q 1,)=q 4 δ(q 2,)=q 3 {q 2,q 3 } t rs r ü 1 {q 1,q 2 } P r{q 1,q 4 } δ(q 1,)=q 4 δ(q 4,)=q 4 {q 4,q 4 } t t rs r δ(q 1,)=q 2 δ(q 4,)=q 2 {q 2,q 2 } t t rs r P r{q 2,q 4 } δ(q 2,)=q 3 δ(q 4,)=q 4 {q 3,q 4 } t rs r ü 3 {q 2,q 4 } P r{q 3,q 5 } δ(q 3,)=q 1 δ(q 5,)=q 4 {q 1,q 4 } t t rs r ü (3,5) {q 1,q 4 } δ(q 3,)=q 6 δ(q 5,)=q 2 {q 2,q 6 } t t rs r ü (3,5) {q 2,q 6 } P r{q 1,q 6 } δ(q 1,)=q 4 δ(q 6,)=q 5 {q 1,q 5 } t rs r ü 5 {q 1,q 6 } P r{q 2,q 6 } δ(q 2,)=q 3 δ(q 6,)=q 5 {q 3,q 5 } t t rs r ü (2,6) {q 3,q 5 } δ(q 2,)=q 2 δ(q 6,)=q 3 {q 2,q 3 } t rs r ü 6 {q 2,q 6 } r s {q 3,q 5 } ü rt s 6 P r{q 4,q 6 } δ(q 4,)=q 4 δ(q 6,)=q 5 {q 4,q 5 } t rs r ü 7 {q 4,q 6 } s s t ö r s s ÿ ss r stä q 1 q 4 rs 3 r ö s r t s r t t q 1 q 2 q 3 q 5 q 6 s r P t r s r r s r t s s r r s 3 r r ös s r t s tst t t

41 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü, q 2 q 3 q 1 q 4 q 5 q 6 ös (1,4) (1,4) (1,5) 9 7 (1,5),(2,5),(1,6) 0 (4,5) 9 10 rst r tt r r r t 0 P r stä {p,q} ts r ür p F q F t r r P r {p,q} stä r t s r ts r ü r rü r s δ(p, ) δ(q, ) r ts t rs r s st s r ü r i s st r r r r ür s P r{δ(p,),δ(q,)} ss{p,q} t rs r s {δ(p, ), δ(q, )} t rs r s P r{q 1,q 2 } δ(q 1,)=q 2 δ(q 2,)=q 2 {q 2,q 2 } t t rs r δ(q 1,)=q 4 δ(q 2,)=q 3 {q 3,q 4 } t rs r ü 1 {q 1,q 2 } P r{q 1,q 4 } δ(q 1,)=q 2 δ(q 4,)=q 4 {q 2,q 4 } t t rs r ü (1,4) {q 2,q 4 } δ(q 1,)=q 4 δ(q 4,)=q 5 {q 4,q 5 } t t rs r ü (1,4) {q 4,q 5 } P r{q 2,q 4 } δ(q 2,)=q 2 δ(q 4,)=q 4 {q 2,q 4 } t t rs r δ(q 2,)=q 3 δ(q 4,)=q 5 {q 3,q 5 } t rs r ü 3 {q 2,q 4 } r s {q 1,q 4 } ü rt s 3 P r{q 1,q 5 } δ(q 1,)=q 2 δ(q 5,)=q 6 {q 2,q 6 } t t rs r ü (1,5) {q 2,q 6 } δ(q 1,)=q 4 δ(q 5,)=q 5 {q 4,q 5 } t t rs r ü (1,5) {q 4,q 5 } P r{q 2,q 5 } δ(q 2,)=q 2 δ(q 5,)=q 6 {q 2,q 6 } t t rs r ü (2,5) {q 2,q 6 }

42 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü δ(q 2,)=q 3 δ(q 5,)=q 5 {q 3,q 5 } t rs r ü 5 {q 2,q 5 } P r{q 4,q 5 } δ(q 4,)=q 4 δ(q 5,)=q 6 {q 4,q 6 } t t rs r ü (4,5) {q 4,q 6 } δ(q 4,)=q 5 δ(q 5,)=q 5 {q 5,q 5 } t t rs r P r{q 1,q 6 } δ(q 1,)=q 2 δ(q 6,)=q 6 {q 2,q 6 } t t rs r ü (1,6) {q 2,q 6 } δ(q 1,)=q 4 δ(q 6,)=q 3 {q 4,q 3 } t rs r ü 7 {q 1,q 6 } P r{q 2,q 6 } δ(q 2,)=q 2 δ(q 6,)=q 6 {q 2,q 6 } t t rs r δ(q 2,)=q 3 δ(q 6,)=q 3 {q 3,q 3 } t t rs r P r{q 4,q 6 } δ(q 4,)=q 4 δ(q 6,)=q 6 {q 4,q 6 } t t rs r δ(q 4,)=q 5 δ(q 6,)=q 3 {q 3,q 5 } t rs r ü 9 {q 4,q 6 } r s {q 4,q 5 } ü rt s 9 r s {q 1,q 4 } {q 1,q 5 } ü rt s 9 r P r{q 5,q 6 } δ(q 5,)=q 6 δ(q 6,)=q 6 {q 6,q 6 } t t rs r δ(q 5,)=q 5 δ(q 6,)=q 3 {q 3,q 5 } t rs r ü 10 {q 5,q 6 } s s t ö r s s ÿ ss r stä q 2 q 6 rs 3 r ö s r t s r t t, q 2,q 6 q 3 q 1 q 4 q 5 t r r är s r r är s r stä s r tt s t r tr t r r är s rü rs t3 r tt r s t r t t 3 ss s r är s r

43 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü q 1 q 2 q 3 q 4 ös rst r tt r r st q 3 t r t q 1 q 2 + q 4 r s t r t t r r st q 4 t r t q +( + ) 1 q 2 (+ ) äÿt s s r s s (+( + ))((+ ) ) s r är s r P t r är s r stä s r tt s t r tr t r r är s rü rs t3 r tt r s t r t t 3 ss s r är s r

44 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü q 1 q 2 q 3 q 4 ös rst r tt t r r st q 2 q 1 + q 3 q 4 + t r q 3 r t s r t t + + q 1 q 4 + r r s t r s r st + ( + +(+) + ) t r P s t s P s ss r t r är s L 1 :={0 k 1 2k k N 0 } ü r t{0,1} L 2 :={ k2 k N 0 } ü r t{}

45 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r r r t weight:{0,1} N 0 s t r Ü s tt weight():= 0 weight(w ):=weight(w)+ {0,1},w {0,1} L 3 :={w {0,1} k N 0 :weight(w)=2 k } ü r t{0,1} L 4 :={w {0,1} w t ä t } ü r t{0,1} ös ös s s t r s ss r L j r är st ss s P ä n N >0 s ss s ür s rtw L j t w n r w=xyz t s ss xy n y xy i z L j ür i N 0 t r ür s r i ö s ssxy i z L j t ss ssl j r är st s s r ä s rtw =0 n 1 2n L 1 P ss s s r xyz w s ssxy i z L 1 ür i N 0 xy n t ss t s l N 0 tl n s ss y=0 l st s ss xy 0 z = xz = 0 n l 1 2n L 1 t ry t ss stl>0 r 0 n l 1 2n L 1 s st rs r 3 r r ö s ÿ ssl 1 t r är st r ä s rtw= n2 L 2 P ss s s r xyz w s ssxy i z L 2 ür i N 0 y= l ür l N 0 t1 l n s ss xy 2 z= n2 +l L 2 t ry t ss stl>0 rn 2 +l>n 2 ÿ r tl n xy n s n 2 +l<n 2 +2n+1=(n+1) 2 t txy 2 z L 2 s rs r 3 r st r ö r s ÿ ssl 2 t r är st r ä s rtw=1 2n L 3 P ss s s r xyz w s ssxy i z L 3 ür i N 0 y=1 l ür l N 0 t1 l n s ss xy 2 z=1 2n +l L 3 t ry t ss stl>0 r2 n +l>2 n ÿ r ss xy n t n>0 t 3 rt s2 n +l 2 n +n<2 n+1 r st xy 2 z r t 3 t txy 2 z L 3 s st rs r 3 r r ö s ÿ ssl 3 t r är st r ä s rtw =0 n 1 n L 4 P ss s s r xyz w s ssxy i z L 4 ür i N 0 y=0 l ür l N 0 t1 l n s ss xy 0 z=0 n l 1 n L 4 t ry t ss stl>0 rn l<n s s s r n l n t txy 0 z L 4 s st rs r 3 r r ö s ÿ ssl 4 t r är st s P P t s t s P s ss r t r är s L 5 :={ k m k+m k,m N 0 } ü r t{,,}

46 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü L 6 :={1 k 01 k k N 0 } ü r t{0,1} L 7 :={ p p Pr 3 } ü r t{} r r r t rev:σ Σ s s Ü s tt rev():= rev(w ):= rev(w) Σ,w Σ L 8 :={w rev(w) w {0,1} } ü r t{0,1} ös ös s s t r s ss r L j r är st ss s P ä n N >0 s ss ür s rtw L j t w n r w=xyz t s ss xy n y xy i z L j ür i N 0 t r ür s r i ö s ssxy i z L j t ss ssl j r är st s s r ä s rtw= n n 2n L 5 P ss s s r xyz w s ssxy i z L 5 ür i N 0 xy n t ss t s l N tl n s ss y= l st s ss xy 0 z =xz = n l n 2n L 5 t ry t ss stl>0 r n l n 2n L 5 s st rs r 3 r r ö s ÿ ssl 5 t r är st r ä s rtw =1 n 01 n L 6 P ss s s r xyz w s ssxy i z L 6 ür i N 0 y=1 l ür l N 0 t1 l n s ss xy 0 z=1 n l 01 n L 6 t ry t ss stl>0 r1 n l 01 n L 6 s st rs r 3 r r ö s ÿ ssl 6 t r är st r ä s rtw = p L 7 ür Pr 3 p>n P ss s s r xyz w s ssxy i z L 7 ür i N 0 y= l ür l N 0 t1 l n s ss xy p+1 z= x +l (p+1)+ z = x +l+ z +l p L 7 t ry t ss stl>0 ÿ r t str t r r w ssp= x +l+ z s stxy p+1 z= (l+1) p L 7 s st rs r 3 r r ö s ÿ ssl 7 t r är st r ä s rtw=0 n 1 2n 0 n L 8 P ss s s r xyz w s ssxy i z L 8 ür i N 0 y=0 l ür l N 0 t1 l n s ss xy 0 z=0 n l 1 2n 0 n L 8 t ry t ss stl>0 rn l<n s s s r n l n t txy 0 z L 8 s st rs r 3 r r ö s ÿ ssl 8 t r är st

47 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü t r ts s r r Σ={,,} t tr t sm 1 M 2 q0 1 q1 1 q5 1 q6 1 q 1 2 q 1 4 q 1 7 q0 2 q1 2 q 1 3 q 2 2 M 1 M 2 ts t r r s r st t r r r 3 r L(M 1 ) L(M 2 ) s s2 tr s r 3 3 t t r t r 3 r A B st rt s A B=(A B)\(A B) stä t t s r r s ts s r r t r r r s r st t 3 t s r r r är r r s 3 3 rt r r är s rü s s r s L 1,L 2,L 3 ts t L 1 L 2 =L 3 t s r r ts t s Pr r s2 tr s r 3 r är r r ös M 1 t 3 st r s s t q 1 2 q4 1 q5 1 q6 1 q 1 3 q 1 7 ä r rst t t rt3 st s rr r st st r 3 t s 3 st rr r r stl(m 1 ) M 2 t st r s s t q 2 1

48 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü s st t rt3 st s rr r r s st 3 st rr r r stl(m 2 ) t s t L 1 L 2 =L 3 (L 1 L 2 )\(L 1 L 2 )=L 3 (L 1 L 2 ) (Σ \(L 1 L 2 ))=L 3 sl 1 rl 2 r r är s r s 3 3 rt s r s r r s str t ü r ü rt s ÿ r 3 t t s s r s M 1 M 2 tl 1 =L(M 1 ) L 2 =L(M 2 ) r str r M tl(m )=L 1 L 2 r Ü r r stä r s t sm 1 M 2 ü r s st s s t rt3 st r t r s t t rt3 stä M 1 M 2 rr t ü r ü r r tt s t t P t 3 str t t t M 1 M 2 M sm 1 M 2 M r str r Pr t t t M r t t M 1 M 2 r r L 1 L 2 r t M 1 M 2 s s stm s r str r tär t t M C M r r Σ \(L 1 L 2 ) r t M C st s ÿ r Pr t t t M r sm M C r r (L 1 L 2 ) (Σ \(L 1 L 2 )) r t t r s Pr r s2 tr s r 3 r är r r s q 3 r r 3 rt ö s ÿ s ts r r r s r r s t3 L(M)=L 3 3 ts s ts s r r P t Σ={,,} t tr t t t M 1,M 2,M 3 M 1 M 2 M 3 st q1 2 q 2 2 q 3 0 q 3 3,, q 1 0 q 1 1 q 2 0 q 2 3 q4 2 q5 2, q1 3, q2 3,,,,,, q 3 4 q 1 2 M 1 M 2 M 3 ts t r r s r st t r r 3 r ös s q 3 r s r r r L(M 1 ) L(M 2 ) L(M 3 ) s r r s r t 3 q 3 5

49 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü s str t t t P t 3 str t r s r s t r t t ös r 3 rst P t 3 str t M 1 r t t t M 1 {q0} 1 {q0,q 1 1} 1 {q0,q 1 2} 1 r M 1 rt M 1,, q0 1 q1 1 r r M 2 r t M 2,, q0 2 q1 2 t r r r s t sm 3 r t M 3 q 3 0 q 3 3,,,,,,,, q1 3 q2 3,, q4 3,,,,,,, q 3 5,

50 r 2st t t Pr 3 ss st r ös Ü r P t 3 str t r t r M 3 {q 3 0} {q1,q 3 2,q 3 4,q 3 5} 3 {q2,q 3 4,q 3 5} 3 {q3,q 3 4} 3,,, {q 3 4,q 3 5} {q 3 4}, r M 3 ü rt 3 M 3, q0 3 q1 3, ÿ ü r rü r s s r r ssl(m 1 )=L(M 2 ) L(M 3 )

51 Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 6 M Brokshmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleihen Tutorium ereitet werden Die Lösungen der Husufgen müssen is Mi, im Tutorium gegeen werden Alterntiv ist es is 17 Uhr möglih, diese in den Ksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etge) Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Üungsgruppe sind uf jedes Bltt der Age zu shreien Heften zw tkern Sie die Blätter! D m Mi, der Studieninformtionstg stttfindet, fllen die Tutorien n diesem Tg us Die Tutorufgen werden in der kommenden Glolüung m vorgerehnet Die Einsiht in die Präsenzüungs-Ergenisse wird m zwishen 8:00 und 10:00 in (Ahornstrße 55, Rum 5056) stttfinden Studenten mit einer Mtrikelnummer kleiner ls werden geeten, zwishen 8:00 und 9:00 zu kommen, lle nderen zwishen 9:00 und 10:00 Die Rükge der korrigierten Präsenzüungen erfolgt in der Einsiht und in den Tutorien m Nh der Rükge sind keine Eingen zur Korrektur möglih! Husufge 1 (Eindeutigkeit): ( = 5 Punkte) SeiG=(N,T,P,S) eine Grmmtik mitn={s,a,b},t={,} undp wie folgt: S AB SAB A A B B ) Geen Sie die vong erzeugte SprheL(G) n (ohne Beweis) ) Beweisen Sie, dssg niht eindeutig ist ) Geen Sie eine eindeutige kontextfreie GrmmtikG n mitl(g )=L(G) (ohne Beweis) ) Die vong erzeugte Sprhe istl(g)=l((+) ) ) Bereits ds Wortlässt sih mit vershiedenen Aleitungsäumen erzeugen: S S S A B A B A B 1

52 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 6 Dmit ist ewiesen, dssg niht eindeutig ist ) Wir definiereng :=({S},T,P,S) mitp wie folgt: S S S Husufge 2 (Grmmtiken und reguläre Sprhen): ( = 8 Punkte) SeiG=(N,T,P,S) eine Grmmtik Wenn für G gilt, dss (A α) P:(A N) (α {} T T N) dnn nennt mng linkslinere Grmmtik In einer solhen Grmmtik sind lso lle Produktionen so gestltet, dss sie entweder ein Nonterminlsymol löshen, es in ein Terminlsymol oder in ein Terminlsymol und ein weiteres Nonterminlsymol umwndeln ) Betrhten Sie die linkslinere GrmmtikG:=(N,T,P,S) mitn:={s,a,b},t :={,} undp wie folgt: S A B A A B B A Geen Sie Aleitungsäume für die Wortew 1 = undw 2 = n ) Nehmen Sie n, dssg=(n,t,p,s) eine elieige linkslinere Grmmtik ist Zur Vereinfhung fordern wir zusätzlih, dssp keine Regeln der FormA enthält, sondern lle Regeln die FormA εoder A C für elieigea,c N, T hen 1 Definieren Sie nun einen NFAM G, für denl(m G )=L(G) gilt Sie ruhen diese Gleihheit niht zu eweisen Hinweis: Sie sollten ls Zustände fürm G die NonterminlsymoleN wählen ) SeiM=(Q,Σ,δ,q 0,F) einnfa Geen Sie eine linkslinere GrmmtikG M n, so dssl(g M )=L(M) Sie ruhen diese Gleihheit niht zu eweisen ) Die Aleitungsäume können wie folgt drgestellt werden: 1 Dies ist keine wesentlihe Einshränkung, denn mit Hilfe eines zusätzlihen NonterminlsymolsE mit der ProduktionE können Regeln der FormA ina E umgewndelt werden Dmit knn die sele Sprhe wie mit Hilfe der ursprünglihen Grmmtik erknnt werden 2

53 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 6 S B B S A B A A A ) Wir definierenm G :=(N,T,δ,S,F) mit δ(a,)={c (A C) P} A,C N, T undf={a (A ) P} ) Wir definiereng M :=(Q,Σ,P,q 0 ) mit P:= {q q q,q Q, Σ,q δ(q,)} {q q F} Tutorufge 3 (Kontextfreie Grmmtiken): Die Dyk-Sprhe ist die Sprhe ller korrekt geklmmerten Ausdrüke ZB sind (), (()()) und ()(()) korrekt geklmmerte Ausdrüke, während )( und (() keine korrekt geklmmerten Ausdrüke sind Zur Vereinfhung der Lesrkeit folgender Definitionen verwenden wir die Zeihenundnstelle von ( und ) Forml ist die Dyk-Sprhe üer dem AlphetΣ={,} dnn folgendermßen definiert: D={w Σ (w)= (w) u,v Σ :u v=w (u) (u)}, woei die Funktionen und die Anzhl der vorkommenden Zeihenzwin einem Wort zählen Forml: :Σ N 0 mit ()=0, (w )= (w)+1 und (w )= (w) Die Funktion ist nlog definiert Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik n, die D erzeugt (Sie ruhen niht zu eweisen, dss diese Grmmtik D erzeugt) Wie in der Vorlesung geen wir nur die Produktionen n Ds Strtsymol ists S SS S S S 3

54 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 6 Alterntive S SS S Husufge 4 (Kontextfreie Grmmtiken): ( = 7 Punkte) Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welhe die folgenden Sprhen erzeugt (Sie ruhen niht zu eweisen, dss Ihre Grmmtiken die geforderten Sprhen erzeugen) ){ n n n 0} ){ n n>0} ){w {,,} (w)= (w)} Wie in der Vorlesung geen wir nur die Produktionen n Ds Strtsymol ist jeweilss ) S S S ) S B B B B Alterntiv ls linkslinere Grmmtik: S A A B B B B ) S SSS S SSS S S S 4

55 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 6 Alterntive Lösung mit zusätzlihem NonterminlC: S SCC S SCC S CSC S CSC S CCS S CCS S C C C C Husufge 5 (Induktion): Betrhten Sie folgende kontextfreie Grmmtik G =(N, T, P, S) mit N ={S}, T ={, } und P ={ } und die SprheL={() n n 0} Beweisen Sie, dssl(g)=l gilt S S, S (6 Punkte) Hinweis: Zeigen Sie die InklusionenL(G) LundL L(G) seprt Verwenden Sie für die erste Inklusion eine Induktion üer die Aleitungslänge der von G erzeugten Wörter und für die zweite Inklusion eine Induktion üer die Anzhl von Teilworten inw L Wir eweisen zunähstl(g) L Seiw L(G) Wir zeigenw L per Induktion üer die Aleitungslänge von G Im Induktionsnfng ist die Aleitungslänge 1 und wir hens G w Ds einzige Terminlwort, ds in einem Shritt vons erzeugt werden knn, ist L Als Induktionshypothese setzen wir vorus, dss die Aussge für lle Aleitungslängenm <m gilt Im Induktionsshritt gilt nuns m G w mitm>1 Dm>1gilt, knn der erste Aleitungsshritt niht die Produktion S verwendet hen, d dnh kein Nonterminl mehr in der resultierenden Stzform enthlten und die Aleitung eendet wäre Also lutet der erste AleitungsshrittS G S und wir hens m 1 G w D ein Aleitungsshritt einer kontextfreien Grmmtik keine Terminle entfernen knn, gilt ußerdemw=w und S m 1 G w Aus der Induktionshypothese folgt nun, dssw L gilt Dmit gilt dnn er uhw =w L Nun eweisen wirl L(G) Seiw=() n L für einn N 0 Wir zeigenw L(G) per Induktion üern Im Induktionsnfng istn=0 und wir henw= Es gilts G und dmit L(G) Als Induktionshypothese nehmen wir n, dss die Aussge für llen <n gilt Im Induktionsshritt ist nunw =() n =() n 1 Es gilts G S Aus der Induktionshypothese folgt ußerdem, dss() n 1 L(G), dhs G ()n 1 Zusmmen folgt drus, dsss G S G ()n 1 = w und dmitw L(G) 5

56 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 6 Aus L(G) L und L L(G) folgt shließlih L(G) = L 6

57 Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 7 M Brokshmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleihen Tutorium ereitet werden Die Lösungen der Husufgen müssen is Mi, im Tutorium gegeen werden Alterntiv ist es is 17 Uhr möglih, diese in den Ksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etge) Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Üungsgruppe sind uf jedes Bltt der Age zu shreien Heften zw tkern Sie die Blätter! Die Tutorufgen werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsm esprohen und ereitet Tutorufge 1 (Diepre -Opertion): SeiG=(N,T,P,S) eine CFG mitn={s,c},t={,,} undp wie folgt S S C C S Konstruieren Sie NFAs, welhe für die folgenden SprhenL i jeweils die Sprhepre G (L i) kzeptieren Geen Sie ußerdem n, ol i L(G)= gilt )L 1 ={} )L 2 ={} )L 3 =L(() ) S S S S ) q,c 0 q 1 q 2 q 3 D dieser AutomtS niht kzeptiert, giltl 1 L(G)= S S S S S C q,c 0 q,c 1 q 2 q 3 q 4 S S ) S D dieser AutomtS kzeptiert, giltl 2 L(G) 1

58 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 7 S q 2 S,C,C q 0 q 1 S q 3 S ) S D dieser AutomtS kzeptiert, giltl 3 L(G) Husufge 2 (Diepre -Opertion): SeiG =(N,T,P,S) eine CFG mitn ={S},T={,,} undp wie folgt ( = 7 Punkte) S SS SS Konstruieren Sie NFAs, welhe für die folgenden SprhenL i jeweils die Sprhepre G (L i) kzeptieren Geen Sie ußerdem n, ol i L(G )= gilt )L 4 ={} )L 5 ={} )L 6 =L(() ) ) q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 D dieser AutomtS niht kzeptiert, giltl 4 L(G)= 2

59 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 7 S q 0 q 1 q 2 S q 3 S S q 4 q 5 S ) q 11 q 10 q 9 S q 8 q 7 q 6 D dieser AutomtS kzeptiert, giltl 5 L(G) S q 0 q 1 q 2 q 5 q 3 S ) q 4 D dieser AutomtS kzeptiert, giltl 6 L(G) Tutorufge 3 (Äquivlenz kontextfreier Sprhen): SeiG 1 :=(N 1,T,P 1,S 1 ) die linkslinere Grmmtik us Husufge 2 uf Üungsltt 6 mitn 1 :={S 1,A,B}, T:={,} undp 1 wie folgt: S 1 A B A A B B A 3

60 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 7 Betrhten Sie nun uh die linkslinere GrmmtikG 2 :=(N 2,T,P 2,S 2 ) mitn 2 :={S 2,X,Y,Z} undp 2 wie folgt: Beweisen oder widerlegen SieL(G 1 )=L(G 2 ) S 2 X Y X Z Y Y Z Z Z Nh der Konstruktion us Aufge 2 uf Üungsltt 6 können wir fürg 1 den entsprehenden AutomtenM 1 konstruieren: S A B Wir können die gleihe Konstruktion fürg 2 durhführen und erhltenm 2 Hier istm 2 links drgestellt, rehts stehtm 2, eine determinisierte Vrinte vonm 2: S X S X, E Y Z Y Z Wir minimieren nun den AutomtenM 2 mit Hilfe des shnellen Mrkierungslgorithmus: X 0 Y 1 0 Z 0 0 S X Y Wir sehen, dssy unds mit Hilfe des Symolsuntershieden werden können, wohingegenz undx niht untersheidr sind Der minimle Automt M 2 zum 2 ist lso: 4

61 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 7 S X,Z E Y, Offensihtlih gilt nunl(g 1 )=L(M 1 )=L( M 2 )=L(M 2 )=L(M 2)=L(G 2 ) Husufge 4 (Universlität kontextfreier Sprhen): (4 Punkte) SeiG die folgende Grmmtik IstL(G) universell? Begründen Sie ihre Antwort S A C A SB B B SB S C C DD D C CC Die Grmmtik ist universell Es lssen sih folgende Worte leiten: S S A SB B S S A SB S S A B S S A B SB S Somit läßt sih jedes elieige Wort us{,} leiten Tutorufge 5 (Produktivität von Nihtterminlen): SeiG:=(N,{,,},P,S) eine kontextfreie Grmmtik mitn:={s,a,b,c} undp wie folgt: S S S C SS C C 5

62 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 7 Ermitteln sie die Menge{A N es git keinw T mita w} der unproduktiven Nihtterminlsymole mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Verfhrens Geen Sie ls Zwishenergenisse die Automten n, die ei der Berehnung vonpre durh Sättigungsshritte entstehen Geen Sie ußerdem eine GrmmtikG n, in der die unproduktiven Nihtterminle entfernt wurden Nh Vorlesung reiht es,n pre (T ) zu estimmen Im Folgenden ist links ein NFA drgestellt, dert erkennt, die weiteren Automten werden durh Sättigungsshritte erzeugt:,,,,,s Der rehts stehende Automt erkennt die Sprhepre (T )={,,,S} Dmit sind die produktiven Nihtterminlsymole{,,, S} {S, C} ={S} Die uf produktive Nihtterminle eingeshränkte Grmmtik ist G :=({S},{,,},P,S) mitp wie folgt: S S S SS Husufge 6 (Nullierrkeit von Nihtterminlen): (3 Punkte) SeiG:=(N,{,,},P,S) eine kontextfreie Grmmtik mitn:={s,a,b,c} undp wie folgt: S A B A A B AA C B A B BB C C CC Ermitteln sie die Menge{A N A } der nullierren Nihtterminlsymole mit Hilfe des in der Vorlesung vorgestellten Verfhrens Geen Sie ls Zwishenergenisse die Automten n, die ei der Berehnung vonpre durh Sättigungsshritte entstehen Nh Vorlesung reiht es,n pre ({}) zu estimmen Im Folgenden ist links ein NFA drgestellt, der{} erkennt, die weiteren Automten werden durh Sättigungsshritte erzeugt: C C,A C,A,S C,A,S,B 6