sozialwissenschaftliche Statistik Numerische Beschreibung von Einführung in die Verteilungen Katrin Auspurg / Sören Petermann Wintersemester 2014/15

Transkript

1 Eführug de sozalwsseschaftlche Statstk Stzug 3 Numersche Beschrebug vo Verteluge Katr Auspurg / Söre Peterma Wtersemester 04/ Überblck. Lagemaße. Streuugsmaße Schefe ud Wölbug 3. Relatve Kozetratosmaße

2 UvarateDeskrpto: Numersche Beschrebug vo Verteluge Edmesoale Häufgketsverteluge köe durch bestmmte Maßzahle beschrebe werde. Damt wrd de Iformato de Date atürlch verdchtet! De Berechug vo Maßzahle ermöglcht ee quatfzerbare Verglech uterschedlcher Verteluge. Berechet werde: Maße der zetrale Tedez Maße der Streuug Maße der Schefe ud Wölbug Maße der Kozetrato Wchtg: Be der Berechug der Maßzahle st ubedgt das Skaleveau zu berückschtge. Maße der zetrale Tedez: Modalwert oder Modus Der Modus eer Vertelug st dere häufgster Wert. See Berechug st ab der Nomalskala svoll. Möglch st, dass ee Vertelug mehrere Modalwerte aufwest. Falls es mehrere Modalwerte gbt, das Merkmal stetg st ud de Modalwerte ebeeader lege, ka der (arthmetsche) Mttelwert der Modalwerte berechet werde. Isbesodere be stetge Varable st der Modalwert oft formatosarm. Ja (005) S. 3

3 Modalwert D (für Dchtemttel) oder MOD FormelfürchtgrupperteDate: { h ma h bzw.f ma f( )} D k Ekurs: Formel für grupperte Date mt,, k Klasse D u fˆ( ) fˆ( + fˆ( ) fˆ( ) ) fˆ( + ) k o u ( ) u utere Greze der Modalklasse o obere Greze der Modalklasse fˆ( ) Häufgketsdchte der Modalklasse fˆ( ) Häufgketsdchte der Klasse vor der Modalklasse fˆ( ) Häufgketsdchte der Klasse ach der Modalklasse + Ekurs: Bespel für grupperte Date u X < o d h( ) f( ) ~ f ( ) 0 4 F( ) ,0 0, ,4 6 0, ,45 9 0, ,30 3,00 Summe 00,0 Feberechug: D ,

4 Egeschafte des Modus Berechebar ab Nomalskaleveau. Problematsch be b- ud multmodale Verteluge allg. be sehr vele, ählch (dü) besetzte Kategore sb. be stetge Merkmale Qualtätsegeschaft: Der Modus mamert de Summe der Idkatorfuktoe ( meste Treffer ), d.h. I(, MOD ) I(, z) für alle z wobe I (a,b), falls a b, ud I(a,b) 0, falls a b Meda Der Meda ~ gbt deege Ausprägug a, welche de ach Größe geordete Date der Mtte telt. Es sd also mdestes 50% der Date kleer/glech ud mdestes 50% grösser/glech ~. Ee svolle Iterpretato des Medassetzt mdestes Ordalskaleveauvoraus, da zur Bestmmug des Medasde Urlstegemäß der Räge der Beobachtugswerte geordet wrd.

5 Berechug des Medas Be ugeradem (Azahl Fälle) st der Meda ~ glech der mttlere Beobachtug der geordete Urlste ()... (). Für gerades st der Meda das arthmetsche Mttel der bede der Mtte legede Beobachtuge. ~ Es glt: ( + ~ ) ( ( ) + ( + )) für ugerades für gerades Eschräkug: We be geradem ur Ordalskaleveauvorlegt, st de Berechug des arthmetsche Mttels zwsche de der Mtte legede Werte cht zulässg. Der Meda wrd desem Fall als zwsche (/) ud (/+) legedagegebe. Meda be grupperte Date Be ordalskalertedate wrd als Meda ormalerwese de Klasse agegebe, welche de Mtte der geordete Date umfasst (Efallsklasse). Es hadelt sch dabe um deege Klasse, be der de relatve kumulerte Häufgket erstmals mdestes 50% errecht. Ee Klasse ethält somt de Meda, falls glt F < 0,5 < F wobe F - der relatve kumulerte Häufgket bs eschleßlch der Klasse vor Klasse ud F der relatve kumulerte Häufgket bs eschleßlch Klasse etsprcht. Be grupperte, metrsche Date ka der geaue Meda mt Hlfelearer Iterpolato geschätzt werde(sehe ächste Fole).,

6 Ekurs: Iterpolato be metrsche Date H 0,5 F f ~ c + d c + d h wobe c - der utere Greze der Efallsklasse, d c c - der Itervallbrete der Efallsklasse, H - ud F - der absolute ud relatve kumulerte Häufgket uterhalb der Efallsklasse sowe h ud f der absolute ud relatve Häufgket der Efallsklasse etspreche., Be dem Verfahre wrd de Aahme getroffe, dass de Messwerte erhalb der Efallsklasse glechmäßg vertelt sd. Es sollte zudem ur be geüged großer Fallzahl agewedet werde. Ekurs: Iterpolato be metrsche Date (Ja 005: 34)

7 Graphsches Bestmmug des Medasahad der Vertelugsfukto Egeschafte des Medas Svoll ab Ordalskaleveau. Uempfdlch gege Ausreßer. Mdestes 50% der Fälle sd kleer oder glech dem Meda Mdestes 50% der Fälle sd größer oder glech dem Meda Qualtätsegeschaft: klester Gesamtabstad zu alle adere Werte, d.h. MED z für alle z

8 Quatle Ee Verallgemeerug des Kozepts des Medasführt zu de Quatle (auch: Zetle, Perzetle) eer Vertelug: E p-quatl, p [0,], telt de Date zwe Tele, so dass mdestes e Atel pder Date kleer/ glech ud e Atel pgrösser/ glech dem p-quatls-wert p st. Es muss also gelte: ( ) ( ) h X p h X p p ud p, Wobe mt h(.) de Azahl Beobachtugswerte kleer/glech bzw. grösser/glech p symbolsert wrd. De Ermttlug vo p-quatle erfolgt aalog zur Bestmmug des Medas (der Meda etsprcht dem 50%-Quatl). Berechug der Quatle Aus eer geordete Urlste ()... () ka e p-quatl gemäß Fahrmeret al. (00: 6) bestmmt werde als p p ([ p] + ) G [, ] falls p gazzahlg ( p) ( p+ ) falls p cht gazzahlg Dabe st [p] G de zu pächste kleere gaze Zahl.

9 Arthmetsches Mttel Das arthmetsche Mttel st glech der Summe aller Fälle getelt durch de Azahl aller Fälle, d.h. Berechug aus der Häufgketstabelle

10 Berechug aus grupperte Date Berechug aus Schchte

11 Egeschafte des arthmetsche Mttels Svoll für metrsche Date. Empfdlch gege Ausreßer. Schwerpuktegeschafte : ( ) 0 Qualtätsegeschafte: Mmerug der Abstadsquadrate, d.h. ( ) ( z) für alle z Egeschafte des arthmetsche Mttels (Fortsetzug) Trasformatosregel: Das arthmetsche Mttel st äquvaratgegeüber leare Trasformatoeder Date. Werde de Werte zu y a + trasformert, so glt y a + b. Das arthmetsche Mttel setzt mdestes Itervallskaleveau voraus ud ka somt ur be metrsche Date svoll terpretert werde. b Ee Ausahmeblde dchotomevarable, de (0-) kodert sd (Varable mt ur zwe Auspräguge a 0 ud a ). I desem Fall st glech der relatve Häufgket der Kategore, also f ( a ).

12 Ekurs: Geometrsches Mttel Das geometrsche Mttel wrd z. B. da verwedet, we de Merkmalsauspräguge relatve Äderugeausdrücke (Wachstums-oder Zsdate) ud de durchschttlche relatve Äderug ermttelt werde soll. Es setzt Ratoskaleveauvoraus. Zudem müsse de Produkte der Werte S mache. Das geometrsche Mttel wrd berechet, dem de ezele Beobachtugswerte mteader multplzert werde ud aus dem resulterede Produkt de -te Wurzel gezoge wrd: g,... 0 Lageregel für umodale Verteluge symmetrsch: rechtsschef: lksschef: < > Lageparameter aus de ugruppertedate MOD MOD MOD MED MED MED < > Modus: 3.0 Meda:.8 Mttelwert:.73 lksschef

13 Streuugsmaße (Motvato) Maße der zetrale Tedez(Modus, Meda, arthmetsches Mttel) köe bestmmte Uterschede vo Verteluge cht erfasse. Streuugsmaße (Motvato) ASA (004) S. 4

14 Spawete (Rage) De efachste Methode, um Dsperso zu beschrebe, st de Agabe der Spawete (Rage) vom kleste bs zum größte Beobachtugswert, also: R ma m De Spawete ka ur be kardale Date svoll terpretert werde, st relatv formatosarm ud sehr afällg gege Ausreßer. Iterquartlsabstad ud Dezlsabstad Häufg st es besser, als Dspersosmasse astelle der Spawete de Quartlsoder de Dezlsabstadazugebe, da dese bede Masse gege Ausreßer robust sd. Der Iterquartlsabstad st defert als d Q Q Q ud msst de Brete des Itervalls, welchem sch de zetrale 50% der Date befde. Der Dezlsabstad d D D D msst etspreched de Itervallbrete der zetrale 80% der Date.

15 Bo Plot Bo Plots ege sch gut für Gruppevergleche Ja (005) S. 44

16 Mttlere absolute Abwechug Ee Velzahl vo Streuugsmaße verwede als Grudlage de Dffereze der ezele Beobachtugswerte oder de Abwechuge der Beobachtuge vo eem Referezpukt. So gbt etwa das Dspersosmaß AD(Average Devato) de durchschttlche Abwechug der ezele Werte vom arthmetsche Mttel der Vertelug weder. Da sch de Abwechuge über alle zu ull summere, werde zur Berechug vo AD de absolute Dffereze verwedet, also AD bzw. AD k k h a f a aus Häufgketsdate. De mttlere absolute Abwechug lässt sch m Przp auch zu eem belebge adere Referezpukt blde (z. B. zum Meda der Vertelug). Varaz ud Stadardabwechug De wetaus am häufgste verwedete Streuugsmaßzahl st de Varaz s bezehugswese de Stadardabwechug s. Ählch we be der Average Devato werde be Varaz ud Stadardabwechug de Abwechuge der Werte vom Mttelwert gemesse. Es werde her aber cht de Beträge der Dffereze, soder dere Quadrateverwedet. De Varaz der Werte,...,, berechet sch folglch als [( ) + + ( ) ] ( ) s...

17 Varaz ud Stadardabwechug (Fortsetzug) De Stadardabwechug st defert als de Quadratwurzel der Varaz, also s Gemäß dem Verschebugssatzka de Varaz auch alteratv als der Mttelwert der Quadrate vo mus das Quadrat des arthmetsche Mttels berechet werde, also s ( ) s ( ) Stchprobevaraz Vo der emprsche Varaz wrd der Statstk de Stchprobevaraz uterschede, de vor allem der duktve Statstk beötgt wrd (mehr dazu spätere Stzuge). De meste Statstkprogramme bereche stadardmäßg de Stchprobevaraz. De Stchprobevaraz st defert als: s ( )

18 Varazzerlegug Ist de Stchprobe r Schchte utertelt, so glt: s r r s + ( ) Dabest: der Gesamtmttelwert s~ de Varaz erhalb derschcht { } de Azahl der Fälle Schcht,,...,r der Mttelwert erhalb der Schcht De Gesamtstreuug lässt sch also ee Streuug erhalb der Schchte ud ee Streuug zwsche de Schchte zerlege Egeschafte vo Varaz ud Stadardabwechug Zur Berechug ud Iterpretato vo Varaz ud Stadardabwechug sollte metrsches Skaleveau vorlege. De Ehete der Varaz (z.b. US-$ ) uterschede sch vo de Ehete der zu aalyserede Varable (US-$). Be der Stadardabwechug wrd weder auf ( ) de Orgalehete ormert US $ US $. Varaz ud Stadardabwechug sd empfdlch gege Etremwerte der Vertelug (statstsche Ausreßer). Da de Abstäde der ezele Werte vom Mttelwert quadrert werde, gehe größere Abstäde mt höherem Gewcht de Maßzahl e. Trasformatosregel: Be learer Trasformato der Date,,...,, zu y a + b glt sy a s ud sy a s

19 Egeschafte vo Varaz ud Stadardabwechug (Fortsetzug) De Stadardabwechug ka zusamme mt dem arthmetsche Mttel verwedet werde, um Datetervalle der Form ± s, ± s ud ± 3s azugebe. Es wrd damt ausgedrückt, welcher Atel der Date sch schätzugswese dem etsprechede Itervall um de Mttelwert kozetrert. Be ugefähr ormalverteltem Merkmal X (umodal, symmetrsch, durchschttlch gewölbt) glt - ± s umfasst ca. 68% der Date, - ± s umfasst ca.95% der Date ud - ± 3s umfasst ca.99% der Date. De Agabe solcher Itervalle st.d.r. ur be zumdest äherugswese symmetrsch vertelte Häufgketsverteluge svoll. Varatoskoeffzet Der Varatoskoeffzet vst e Maß, das sch eget, um verschedee Streuuge relatv zum ewelge Mttelwert mteader zu vergleche (Varato vo Ekomme verschedee Berufe, Altersvarato Gruppe). Es hadelt sch also um e relatvesstreuugsmaß ud st we folgt defert: s v, > 0.

20 HerfdahlIde Be kategorale Date lässt sch als Maß für de Streuug egetlch ur agebe, ob de Häufgkete über de verschedee Kategore eher glech vertelt sd, oder ob es große Uterschede de Häufgkete gbt. E Maß für dese Art vo Streuug st das Herfdahl-Streuugsmaß HF(vgl. Re 997: 56). Es wrd dabe de Summe der quadrerte relatve Häufgkete der Kategore a,...,a k gebldet ud vo abgezoge, also HF h ( ) Um dem Problem der Abhäggket des mamale Wertes vo HFvo der Azahl Kategore k zu begege, wrd oftmals das ormerte Herfdahl- Streuugsmaß RHF(vgl. Re 997: 57) berechet k k RHF k HF, RHF [ 0,]. k f Schefe De besprochee Streuugsmaße gehe fast alle vo symmetrsche Verteluge aus, d.h. se treffe kee Aussage hschtlch hrer Symmetre. E gebräuchlches ud de meste Statstkprogramme tegrertes Maß, mt dem ma de Schefe eer Vertelug umersch beschrebe ka, st der Mometkoeffzet der Schefe (Skewess). Deser st defert als m 3 γ s mt m 3 Für de Iterpretato voγ γ γ γ 0 >0 <0 3 glt: be symmetrsche Verteluge, ( ) berechtsschefe/lksstele Verteluge (postve Abwechugeüberwege, (egatve Abwechugeüberwege, 3 ( -) belksschefe/rechtsstele Verteluge ( -) 3 3 >0) <0)

21 Wölbug Vertelug mt glecher Streuug köe sch dahgehed uterschede, dass se uterschedlch gewölbt sd, d.h. de Messwerte köe sch be glecher Stadardabwechug mehr m Zetrum ud a de Ede der Vertelug kozetrere, was zu eer der Mtte eher sptze Vertelug führt, oder das das Zetrum ud de Ede sd verglechswese weger besetzt, was ee eher flache Vertelugmplzert. Ählch we be der Schefe lässt sch e efaches, stadardsertes Maß formulere, welches de Grad a Wölbug (Kurtoss) spezfzert. Das γ Wölbugsmaß st defert als m 4 γ s 3 mt m 4 4 ( ) 4 Wölbug (Fortsetzug) Be Normalvertelug st m /s 4 3. Es glt also: γ γ γ 0 >0 <0 4 benormalvertelug be sptze(d.h. stärker gewölbte) Verteluge be flache(d.h. schwächergewölbte) Verteluge

22 Kozetratos- ud Uglechhetsmaße Als ees der efachste Uglechhetsmasse ka das Dezlverhälts (Dezl-Rato) betrachtet werde. Es wrd dabe ormalerwese das Verhälts zwsche dem erste ud eute Dezl eer Vertelug berechet, also D9 D DR Auch de Verhältsse zwsche adere Dezleköe zur Beschrebug der Vertelugsuglechhet verwedet werde (z.b. D /D 5, D 9 /D 5 ). Lorezkurve De bekateste Methode, um Vertelugsuglechhet darzustelle, st de Lorezkurve. Gegebe ee geordete Urlste ()... () wrd für ede Beobachtug der kumulerte Atel a der Summe der Merkmalsträger berechet F ( ) sowe de relatve kumulerte Merkmalssumme ς ( ) ( ) Merkmalssumme bs ud mt ( ) Gesamtmerkmalssumme De Lorezkurve st da defert als der Streckezug durch de Pukte (,0), ( F, ς ),..., (, ς ) (, ) 0 ( ) () F( ) ( )

23 Lorezkurve (Fortsetzug) Es wrd also ee Kurve eem Koordatesystem abgetrage, wobe de Abszsse dem Atel Merkmalsträger ud de Ordate der relatve kumulerte Merkmalssummeetsprcht. Be Glechvertelugder Merkmalssumme auf de Merkmalsträger (edem Merkmalsträger kommt der gleche Atel der Merkmalssumme zu) etsprcht de Lorezkurve der Dagoaledurch de Pukte (0,0) ud (,). Je uglecher de Vertelug (vermehrte Kozetrato der Merkmalssumme auf ee Tel der Merkmalsträger), desto stärker wecht de Lorezkurve ach ute vo der Dagoale ab(bzw. desto größer wrdde Fläche zwsche der Dagoale ud der Lorezkurve). Lorezkurve (Fortsetzug) Ja (005) S. 56

24 G Koeffzet Der G-Koeffzet drückt de Gegebehete, de durch de Lorezkurve dargestellt werde, umersch aus, ud zwar dem de Fläche zwsche der Dagoale ud der Lorezkurve s Verhälts zur Gesamtfläche zwsche der Dagoale ud der Abszsse gesetzt wrd, also G Fläche zwsche Dagoale ud Lorezkurve Fläche zwsche Dagoale ud Abszsse Fläche zwsche Dagoale ud Lorezkurve Je weter de Lorezkurve vo der Dagoale etfert st, desto größer de Vertelugsuglechhetud desto größer der G-Koeffzet. Be Vorlege eer geordete Urlste ()... () ka der G-Koeffzet we folgt berechet werde: ) G ( + G Koeffzet (Fortsetzug) Der Koeffzet legt m Werteberech G m 0 be Nullkozetrato ud G be mamaler Kozetrato. Im erste Fall st de Merkmalsumme ma über alle Merkmalsträger glech vertelt (... ), m zwete kozetrert sch de gesamte Merkmalsumme auf ee ezge Merkmalsträger ( , >0) Da der Mamalwert des G-Koeffzet vo der Fallzahl abhägg st, wrd de folgede Normerug vorgeschlage (ormerter G-Koeffzet): G G mt G G G ma [ 0,]

25 G Koeffzet (Fortsetzug) Ja (005) S. 57 Lteratur Prmärlteratur: Ja, Be (005): Eführug de Statstk. Müche: Oldebourg. Fahrmeer Ludwg, Rta Küstler, Irs Pgeotud Gerhard Tutz(007): Statstk. Der Weg zur Dateaalyse. Berl/Hedelberg: Sprger. Ferer beruhe ege Fole auf: Brüderl, Josef (008): Statstk-Scrpt. Uverstät Mahem.