Varianzfortpflanzung

Transkript

1 5.0 / SES.5 Parameterschätzug Varazortplazug Torste Maer-Gürr Torste Maer-Gürr

2 Dskrete Zuallsvarable Ee dskrete Zuallsvarable mmt edlch vele oder abzählbar uedlch vele Werte a. - Werte: - Wahrschelchket:,,,,,,,, P Dchteukto, Wahrschelchketsdchte, Wahrschelchketsvertelug, probablt dest ucto pd 0 ud bzw. Vertelugsukto F P k k Torste Maer-Gürr

3 Bomalvertelug Wahrschelchket be 60-malge Würel mal ee oder zu Würel Torste Maer-Gürr

4 Torste Maer-Gürr Dchteukto ud Vertelugsukto P Dchteukto, probablt dest ucto pd Vertelugsukto, cummulatve dest ucto cd k k P F

5 Torste Maer-Gürr Erwartugswert ud Varaz

6 Erwartugswert ud Varaz Kokrete Messrehe Theoretscher Wert Mttelwert m Gewchteter Mttelwert m w W mt W w Erwartugswert E{ } Schätzug der Varaz Varaz ˆ m E { } E { } Torste Maer-Gürr

7 Dskrete Zuallsvarable Ee dskrete Zuallsvarable mmt edlch vele oder abzählbar uedlch vele Werte a. - Werte: - Wahrschelchket:,,,,,,,, P kotuerlche Zuallsvarable Idee: Azahl der Eregsse gege uedlch, Wert des ezele Eregsses gege ull. Torste Maer-Gürr

8 Torste Maer-Gürr Bomalvertelug P Dchteukto, probablt dest ucto pd Vertelugsukto, cummulatve dest ucto cd k k P F

9 Torste Maer-Gürr Bomalvertelug P Dchteukto, probablt dest ucto pd Vertelugsukto, cummulatve dest ucto cd k k P F

10 Torste Maer-Gürr Bomalvertelug P Dchteukto, probablt dest ucto pd Vertelugsukto, cummulatve dest ucto cd k k P F

11 Torste Maer-Gürr Bomalvertelug P Dchteukto, probablt dest ucto pd Vertelugsukto, cummulatve dest ucto cd k k P F

12 Bomalvertelug Dchteukto, probablt dest ucto pd Vertelugsukto, cummulatve dest ucto cd P F P k k Wahrschelchket ees Ezeleregsses geht gege ull Vertelugsukto eer stetge Zuallsvarable F P t dt Torste Maer-Gürr

13 Stetge Zuallsvarable Ee stetge Zuallsvarable hat ee cht-egatve tegrerbare Dchteukto mt F t dt df d wobe F P de Vertelugsukto vo st Dchteukto 0 t dt Wahrschelchket P F t dt P a b F b F a t dt P a F a F a t dt 0 a a b a Torste Maer-Gürr

14 Stetge Zuallsvarable Ee stetge Zuallsvarable hat ee cht-egatve tegrerbare Dchteukto mt F t dt df d wobe F P de Vertelugsukto vo st Dchteukto 0 t dt Wahrschelchket P F t dt P a b F b F a t dt P a F a F a t dt 0 a a b a Torste Maer-Gürr Pal

15 Torste Maer-Gürr Erwartugswert dskret Erwartugswert ud Varaz E } { Erwartugswert stetg d E } { Varaz stetg d E } { Varaz dskret } { E Erwartugswertoperator d E } {

16 Torste Maer-Gürr Kotuerlche Verteluge: Normalvertelug

17 Normalvertelug Deto: De Zuallsvarable bezechet ma als ormalvertelt mt de Parameter μ ud σ, abgekürzt geschrebe ~Nμ, σ, we hre Dchte gegebe st durch /,, e ür Vertelugsukto: F e t / dt Erwartugswert: E { } d Varaz: E { } d Torste Maer-Gürr

18 Torste Maer-Gürr Trasormato: - Zetrerug der Vertelug Verschebug etlag der -Achse - Normerug der Vertelug Dvso durch de Stadardabwechug Stadardserte Normalvertelug Dchte der stadardserte Normalvertelug e Vertelugsukto d e F P 0, ~ N Y, ~ N

19 Tabelle Torste Maer-Gürr

20 Torste Maer-Gürr Sgma Regel Trasormato : N N F F P orm orm F F orm orm F F % % P 99.7% 3 3 P 68.3% P Pal

21 Torste Maer-Gürr Mehrdmesoale Zuallsvarable

22 Zwedmesoale Zuallsvertelug Zwedmesoale stetge Zuallsvarable F,, d d Wahrschelchket Vertelugsukto P, Y F, Dchteukto, 0 Pal, d d Torste Maer-Gürr

23 Zwedmesoale Zuallsvertelug Zwedmesoale stetge Zuallsvarable F,, d d Wahrschelchket Vertelugsukto P, Y F, Dchteukto, 0 Pal, d d Torste Maer-Gürr

24 Zwedmesoale Zuallsvertelug Zwedmesoale stetge Zuallsvarable F,, d d Wahrschelchket Vertelugsukto P, Y F, P F,, d d d Pal Radvertelug, d Torste Maer-Gürr

25 Bedgte Wahrschelchket Deto: Als bedgte Wahrschelchket PA B des Eregsses A uter der Bedgug, dass B egetroe st, bezechet ma das Verhälts P A B P Aud B P B P Aud B P A B P B 5 rote, 5 blaue Kugel We groß st de Wahrschelchket, ach eer rote e blaue Kugel ohe zurücklege zu zehe? rote Kugel: blaue Kugel: P A 5 0 P B A P Aud B P A P B A 9,7% 0 9 Torste Maer-Gürr

26 Torste Maer-Gürr Bedgte Wahrschelchket Deto: Als bedgte Wahrschelchket PA B des Eregsses A uter der Bedgug, dass B egetroe st, bezechet ma das Verhälts ud B P B A P B A P ud B P B A P B A P Bedgte Dchte d, mt der Radvertelug,, Sd de Eregsse A ud B voeader uabhägg, glt: ud B P A P B A P Zwe Zuallsvarable sd geau da voeader uabhägg, alls glt,

27 Erwartugswert & Varaz/Kovaraz Tael Torste Maer-Gürr

28 Varazortplazug Tael Torste Maer-Gürr

29 Mehrdmesoale Zuallsvertelug Mehrdmesoale stetge Zuallsvarable F,,, t, t,, t dt dt dt Wahrschelchket Vertelugsukto P,,, F,,, Dchteukto,,, 0 Pal,,, d d d Torste Maer-Gürr

30 Torste Maer-Gürr Zuallsvektor

31 Torste Maer-Gürr Varaz / Kovaraz Zuallsvektor z Erwartugswert z E μ {} Varaz } { } { E E } { } { Y E Y Y E Kovaraz Y E Y E } { } { Varaz-Kovarazmatr } { z z z z z Σ Σ Kovaraz Operator } { } { T E μ μ Σ Mt der Dchte ud 0,, z d,, dddz z

32 Gravt Recover ad Clmate Epermet JPL Torste Maer-Gürr

33 Korrelatoe Torste Maer-Gürr

34 Korrelatoe Torste Maer-Gürr

35 Korrelatoe Varaz-Kovarazmatr Σ{ } Torste Maer-Gürr

36 Torste Maer-Gürr Korrelatoe Varaz-Kovarazmatr } { Σ } { Σ

37 Polares Ahäge Polares Ahäge, Gemesse s 0 m 4 mm t 40 go mgo t s Torste Maer-Gürr

38 Varaz / Kovaraz Leare Trasormato B c Zuallsvektor m Zuallsvektor kostater Vektor m kostate Koezetematr Erwartugswert E{ } E{ B c} BE{ } c Kovarazmatr Σ { } Σ{ B c} BΣ{ } B T Torste Maer-Gürr

39 Kovarazortplazug Kovarazortplazug Σ{ } Σ{ B c} BΣ{ } T B Torste Maer-Gürr

40 Kovarazortplazug Bespel: Derez zweer Streckemessuge s 53cm 4mm s 53cm s s s? 3mm s s 53 cm 53 Σ 4mm 0 3mm 0 s s s s B mt B T 4mm 0 BΣ{ } B 0 3mm Varaz der Derez s 5mm Torste Maer-Gürr

41 Torste Maer-Gürr Be glecher Varaz s Kovarazortplazug Bespel: Mttelwert s s s,,, dag Σ B s mt B } { T s B BΣ s s s s s s s

42 Polares Ahäge Polares Ahäge, Gemesse s 0 m 4 mm t 40 go mgo t s Polares Ahäge s cos t s s t / / mt 00go s 0 m t 40 go 0,004 m 0m go 0m go Σ 0,00go s cos t / 8,090 m s s t / 5,878 m Leare Trasormato? B c Kovarazmatr Σ { } BΣ{ } B T Torste Maer-Gürr

43 Polares Ahäge. Gemesse: s 0 m t 40 go. Kovarazmatr: 0,004 m 0m go 0m go Σ 0,00go 3. Berechet: s cos t / s s t / 4. Jakobmatr B s s t t cos s t / s / st / t / s / cos t / 5. Kovarazmatr Σ { } BΣ{ } B T 0,8090 0,5878 0,093 m/go 0,7 m/go 5. Kovarazmatr Σ 0,8090 } 0,5878,0480 0, ,093 m/go0,004 m 0,7 m/go 0m go 5 5 m m 0, , m m 0m go { 0,00go 0,8090 0,5878 0,093 m/go 0,7 m/go Ergebs 8,090 m 3, mm 5,878 m,4 mm Torste Maer-Gürr

44 Torste Maer-Gürr Drehug des Koordatesstems

45 Polares Ahäge Polares Ahäge, t s Torste Maer-Gürr

46 Drehmatrze Drehmatr cos Q s s cos Iverse Drehug cos s T Q Q Q s cos Allgeme: Orthogoale Matr Rotato mt evtl. Spegelug T Q Q Q T Q I T QQ I Torste Maer-Gürr

47 Polares Ahäge Polares Ahäge, ' t s ' Drehug um Wkel t mt ' Q cos Q s t s t t cos t Kovarazmatr Σ { '} QΣ{ } Q T QAΣ { } A T Q T Torste Maer-Gürr

48 Polares Ahäge Drehug um Wkel t mt ' Q cos Q s t / st / t / cos t / Neberechug cos QA s 0 0 s / t / st / t / cost / cos s t / s / st / t / s / cos t / Kovarazmatr Σ { '} QΣ{ } Q T QAΣ { } A T Q T 0 0 s 0 0 s / 0 0 s / t s 0 0 t s Torste Maer-Gürr

49 Polares Ahäge Polares Ahäge, ' Gemesse s 0 m 4 mm t 40 go mgo t s ' Polares Ahäge s cos t s s t / / mt 00go Kovarazmatr ' s Σ{ } ' 0 s 0 t Durch Drehug des Koordatesstems ka ma ukorrelerte Zuallsvarable erhalte! b r Torste Maer-Gürr

50 Torste Maer-Gürr Fehlerellpse

51 Torste Maer-Gürr Bespel: Strecke zwsche Koordate

52 Torste Maer-Gürr Varazortplazug m Gauß- Marko Modell Tael