Intervallschätzung. Bibliografie:
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- Ernst Kolbe
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1 Itervallschätzug Kofdeztervall der Varaz Kofdeztervalle vo Atelswerte Kofdeztervall für de Dfferez zweer Atele Bestmmug des tchrobeumfags Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III Bblografe: rof. Dr. Kück Uverstät Rostock tatstk, Vorlesugsskrt Bleymüller / Gehlert / Gülcher Verlag Vahle tatstk für Wrtschaftswsseschaftler MM*tat. Ee teraktve Eführug de Welt der tatstk C ool WIO-Fakultät \\zeus\statstk\mmstat\start Dr. Rolad Jeske Ole tatstk htt:// htt:// Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III
2 De Varaz bzw. tadardabwechug zur Kezechug der Dfferezerug der Merkmalswerte - Besel Besel: ur Charakterserug der Ekommesstuato der Haushalte Rostock wrd ma sch zwar vordergrüdg für das mttlere Ekomme teressere der Auswes eer treuugskezffer charaktersert jedoch sozale Dfferezeruge. Es st daher erforderlch, aufgrud eer tchrobeerhebug ee chätzug für de Varaz bzw. für de tadardabwechug der Ekomme auszuwese, um Aussage über deses gesellschaftlch sesble roblem sozaler Dfferezeruge mache zu köe. Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 3 Vertelug der chätzer für de Mttelwert ud de Varaz eer Normalvertelug ee µe( ud Var ( de ubekate arameter eer Normalvertelug eer Grudgesamthet. e (,,.... ee ufallsstchrobe vom Umfag aus deser Grudgesamthet. De beste chätzer (erwartugstreu ud kosstet für de arameter µ ud sd: tchrobemttelwert µˆ ˆ ( bzw. Modfzerte tchrobevaraz Für efache ufallsstchrobe bzw. /N < 0,05 gelte: ~ N(µ, Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk µ ~ N(0, ud chätzug III 4 ~
3 3 Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 5 Vertelug der tchrobevaraz µ² ( µ² ( µ ( µ² ( µ² ( µ ( µ µ( ( µ² ( µ ( µ ( µ ( µ² ( (µ µ(µ ( µ² [( µ µ ( ( ( ( µ µ ( µ ( µ ( ( ~ Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 6 Kofdeztervall für de Varaz eer ormalvertelte Grudgesamthet ~ W[ W[ W[ W[ ( W[ ( ( W[ ( ( [
4 Kofdeztervall für de tadardabwechug eer ormalvertelte GG ( ( W[ ( ( W[ ( ( [ Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 7 De Motagedauer vo Geräte ees Tys eer Großsererodukto Besel: De Motagedauer vo Geräte ees Tys eer Großsererodukto wrd statstsch mttels tchrobe überwacht. e ka für de Gesamtrodukto (äherugswese als ormalvertelt vorausgesetzt werde. De Berechuge aus 6 zufällg gezogee tchrobemessuge leferte ee mttlere Motagedauer vo 05 m ud ee tadardabwechug vo 0 m. u bestmme st ee 95%ge Itervallschätzug für de Varaz ud de tadardabwechug der Motagedauer der chchtrodukto. Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 8 4
5 De Varaz der Motagedauer vo Geräte ees Tys - Itervallschätzug : Motagedauer vo Geräte ees Tys der Großsererodukto Mute arameter Mttelwert tadardabwechug Varaz ( ( W[ ( Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk ( ,488 6,6 I der GG µ (ubekat (ubekat ² (ubekat I der 05 m s0 m s²400 m² 6,6 8,8 0,05 0, ,6 0,975 0, ,95 6 7,488 Tabelle 5 Formelsammlug chätzug III 9 Itervallschätzug der treuug für de Motagedauer vo Geräte -Iterretato ( ( ( ( 8,8 958,6 4,77 30,95 Iterretato: Da das Kofdezveau 0,95 ahe be Es gewählt wurde, vertraut ma darauf, de Itervalle [8,8 958,6 ud [4,77 30,95 erhalte zu habe, so dass se de Varaz ² bzw. de tadardabwechug überdecke. Ob desem Fall dese Aahme rchtg oder falsch st, ka cht gesagt werde. Bekat st jedoch der mttlere rozetuale Fehleratel mt 5 %, der sch be wederholter Beobachtug vo tchrobe des Umfags 6 ergbt. Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 0 5
6 Atel der GG, Beroullvertelug Der Atel vo Elemete eer GG, de ee bestmmte Egeschaft aufwese, wrd mt bezechet ud etsrcht der Wahrschelchket dafür, dass e zufällg ausgewähltes Elemet der GG dese Egeschaft bestzt. De Atelswerte werde für dchotome Merkmale (Bärmerkmale ausgewese. W(f ( 0 W(0 f (0- Erwartugswert: E( f( 0 f(0 Varaz: Var( ( Ee solche ufallsvarable wrd durch de Wahrschelchketsfukto f( W( (- - für 0 ud charaktersert. Ee solche Vertelug wrd Beroull-Vertelug geat. Var( E( ² E( ² [E(² [² f( 0² f(0 ² ² ( Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III Mamum-Lkelhood-chätzer des arameters eer Beroull-Vertelug ( e ee Beroull-Vertelug mt dem ubekate arameter (Atelswert. e (,,... ee ufallsstchrobe vom Umfag. Der ML-chätzer für st: ˆ ll( l l ( l(,, K, f( ( L( L( L( ud ll( habe e Mamum a der gleche telle. ( [ l ( l( 0 dll( d Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk ( dll( d ˆ ˆ ˆ ( chätzug III 0 6
7 7 Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 3 ( d dll(l 0 ( ˆ ˆ d dll(l ˆ (tchrobeatel ˆ ˆ 0 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ( ˆ ( ˆ 0 ( ˆ ˆ ( ( d ll( d 0 ( ˆ ( ˆ d ll( d ˆ < 0 Mamum-Lkelhood-chätzer des arameters eer Beroull-Vertelug ( Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 4 Vertelug des chätzers des arameters eer Beroull-Vertelug (große (, N( ˆ E( E( E( ( ( ( Var Var( Var( e ee Beroull -Vertelug mt dem ubekate arameter (Atel. e (,,... ee ufallsstchrobe vom Umfag. Der ML-chätzer für st der tchrobeatel. Für große tchrobeumfäge (- 9 geügt der tchrobeatel asymtotsch eer Normalvertelug mt dem Erwartugswert ud der Varaz (-/. Faustregel: (- 9
8 f Y Vertelug des chätzers des arameters eer Beroull-Vertelug (klee e ee Beroull (dchotome Vertelug mt dem ubekate arameter (Atel. e (,,... ee ufallsstchrobe vom Umfag. Für klee tchrobeumfäge (- < 9 glt: Y ˆ (k W(Y k k 0 E(Y ~ B Var(Y ( Wahrschelchketsfukto eer Bomal-Vertelug mt de arameter ud k ( k für k 0,,,..., für alle adere k ˆ Ee Bomal-Vertelug mt de arameter ud ka als umme vo uabhägge Beroull- Verteluge agesehe werde. 0 Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 5 Kostrukto ees Kofdeztervalls für de Atel für große tchrobe, (- 9 Faustregel: (- 9 ( ˆ ~ N(( ( ~ N(0, ( W( ubekat W( bem ehe mt ( urücklege ( ( W( ( ˆ ( ( W( bem ehe ohe urücklege ( ( W( ( N W( ˆ N Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 6 8
9 Atel der Famle mt eem kw eem Vorort - Itervallschätzug Besel: I eem Vorort mt 0000 Famle soll der Atel der Famle mt mehr als eem kw geschätzt werde. I eer tchrobe vom Umfag 00 Famle möge sch 30 Famle mt mehr als eem kw befde. Gehe wr vo eem 95%ge gfkazveau aus. 30 ˆ 0,30 00 Da her /N0,0 < 0,05 sehr kle st, glt: ( 0,3 0,7 0, ˆ 0,00 0, Faustregel: (-00*0,3*0,7 9 0,05 0,975 Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk,96 Tab. Formelsammlug ( ˆ ˆ (0,3,96 0,046 0,3,96 0,046 (0,3 0,0903 0,3 0,0903 (0,097 0,3903 chätzug III 7 Kofdeztervall für de Atel für klee tchrobeumfäge, (- < 9 De Itervallschätzug ees ubekate Atelswertes mt klee tchrobe st äußerst roblematsch, wel der ubekate arameter de dazu geutzte Verteluge auftaucht. Normalerwese werde folgede Verteluge als votgröße egesetzt: Bomalvertelug bem ehe mt urücklege Hyergeometrsche Vertelug bem ehe ohe urücklege Fshervertelug F v, v De allgemee Formel für de Greze ees Kofdeztervalls [K u K o zum Kofdezveau - für de Atel werde folgedermaße defert: K u F ( F, (, ( K o ( F (, Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 8 9
10 Kofdeztervalle für de Atel -usammefassug- arameter Kofdeztervall tadardfehler ( ohe urücklege ( mt urücklege Azuwedede Vertelug klee große ˆ ˆ ( ˆ ˆ ( ( ( N N * [K u K o Faustregel: (- < 9 Normalvertelug Faustregel: (- 9 K u F ( F, ( * Für /N < 0,05 ka der Korrekturfaktor für ee edlche Gesamthet verachlässgt werde. Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk, ( K o ( F (, N N chätzug III 9 Vertelug der Dfferez zweer tchrobeatele ee ud zwe beroullvertelte ufallsgröße mt de arameter bzw. zwe Grudgesamthete. ee (,,..., ud (,,..., zwe uabhägg voeader gezogee tchrobe. De Dfferez - wrd mt der Dfferez der tchrobeatele - geschätzt. Be große tchrobe gelte folgede Bezehuge: ˆ ( ~ N(, ud Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk ( ( Normalvertelug, Faustregel: ~ N( (- 9 (- 9 E( E( E( ud ( ( Var( Var( Var( ˆ ( ~ N(, chätzug III 0 0
11 Kofdeztervall für de Dfferez zweer Atelswerte be große tchrobe ee ud zwe beroullvertelte ufallsgröße mt de arameter bzw. zwe Grudgesamthete. ee (,,..., ud (,,..., zwe uabhägg voeader gezogee tchrobe. Be große tchrobe, (- 9 ud (- 9, lässt sch für de Dfferez - folgedes Kofdeztervall herlete: ( ( ~ N( ( ( ( ( ~ N(0, ( - ˆ D ( ˆ - - Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk D ˆ D ( ( chätzug III Dfferez der Atelswerte be Umfrageergebsse - Itervallschätzug Besel: u eer wchtge kommualoltsche Frage werde 00 Ewoher der Altstadt (Grue ud 500 Bewoher der Neubaugebete (Grue befragt. I Grue beträgt der Atel der ustmmede 60 % ud der. Grue 48 %. Das chätztervall zum Kofdezveau 0,99 für de Dfferez der Atelswerte der bede Grudgesamthete lautet: W[( - ˆ D ( ˆ D 0,99 ˆ - ( ( - 0,60 0,40 0,48 0, D 0,04 0,995 0,0,58 [(0,6 0,48 -,58 0,04 (0,6 0,48,58 0,04 [0, 0,063 0, 0,063 Tab. Formelsammlug [0,037 0,63 Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III
12 usammefassug - chätzug Be eer uktschätzug erhält ma für de ubekate arameter q eer Vertelug ee chätzwert. Be jeder kokret ausgewählte tchrobe erhält ma ee etsrechede chätzwert des arameters. elbst we de chätzfukto (chätzer gute" Egeschafte (erwartugstreu, effzet, kosstet aufwest, st sehr uwahrschelch, dass der chätzwert mt dem wahre Wert des arameters der Grudgesamthet überestmmt. Um dese Uzuläglchket abzuschwäche ud de Geaugket des chätzverfahres ezubezehe, geht ma mest zu eer Itervallschätzug über. Mt eer Itervallschätzug wrd der arameter derart geschätzt, dass e Itervall etsteht ud de Wahrschelchket dafür agegebe werde ka, dass der wahre arameterwert der Grudgesamthet desem Itervall legt. Dese Aussage erfolgt uter dem Vorbehalt eer Irrtumswahrschelchket auf eem Kofdezveau -. Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 3 Bestmmug des tchrobeumfags Bsher stellte sch de Aufgabe, aus eer tchrobe vom gegebee Umfag be gegebeem cherhetsgrad - e Kofdeztervall für ee arameter q (z. B. µ oder zu bestmme. Für de Mttelwert µ eer Normalvertelug mt bekater Varaz ² galt: [ µ e [( ( Aus deser Relato lässt sch der usammehag zwsche: absolutem chätzfehler e (Geaugket cherhetsgrad - tadardabwechug ud tchrobeumfag be eer chätzug erkläre. e werde für de Bestmmug vo geutzt. Häufg stellt sch der ras de Aufgabe, de otwedge tchrobeumfag so zu bestmme, dass ee vorgegebee Geaugket ud ee vorgegebee cherhet be der arameterschätzug zu gewährleste sd. Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 4
13 Notwedger tchrobeumfag be der chätzug des Mttelwertes µ (Fall Bedguge: Normalvertelug des Merkmals der Grudgesamthet oder >30 Bekate Varaz bzw. tadardabwechug des Merkmals der GG Uabhäggket der tchrobezufallsvarable bzw. ehe mt urücklege oder /N<0,05. e e Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk Vorgegebe: -: cherhetsgrad der chätzug e: Geaugket der chätzug (chätzfehler : tadardabwechug des Merkmals der GG Gesucht: tchrobeumfag chätzug III 5 Notwedger tchrobeumfag be der chätzug des Mttelwertes µ (Fall Bedguge: Normalvertelug des Merkmals der Grudgesamthet oder große Bekate Varaz bzw. tadardabwechug des Merkmals der GG ehe ohe urücklege ud /N<0,05. e N N N (N Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk Vorgegebe: - : cherhetsgrad der chätzug e: Geaugket der chätzug (chätzfehler : tadardabwechug des Merkmals der GG N: Umfag der Grudgesamt Gesucht: tchrobeumfag chätzug III 6 3
14 Bestmmug des tchrobeumfags für de chätzug des Mttelwertes µ - Besel Das Durchschttsgewcht vo.000 Koservedose st mt eem cherhetsgrad vo 0,99 ud be eem absolute Fehler vo mamal g zu schätze. Aus voragegagee tude ka ageomme werde, dass das Gewcht der Dose ormalvertelt st mt eer Varaz vo 36 g². We groß soll der tchrobeumfag se, um dese Bedguge zu erfülle? Gegebe: N 000-0,99 e 36 Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk N (N ²( ,995 0, ,58² ,58² 47960,8 4, ,6 chätzug III 7 robleme be der Bestmmug des tchrobeumfags be ubekater Varaz We de Varaz ² der Grudgesamthet ubekat st, ka de Formel für de otwedge tchrobeumfag cht egesetzt werde: e [ s t s t Aus dem Kofdeztervall für de Mttelwert eer Normalvertelug be ubekater Varaz folgt für e ud : e [( s t ( s t s t ( s ² t roblematsch dabe st, dass sowohl de t -Vertelug als auch de tchrobevaraz selbst vom zu bestmmede tchrobeumfag abhäge. Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 8 4
15 Bestmmug des otwedge tchrobeumfags be ubekater Varaz Be ubekater Varaz ka folgedes teratves Verfahre egesetzt werde:. Es wrd ee klee tchrobe (lotstchrobe mt dem Umfag (m3, 4 oder 5 gezoge.. Aus deser lotstchrobe wrd s² ud t berechet ud daraus der etsrechede tchrobeumfag bestmmt. s m m ( s ² t m 3. Ma zeht ee tchrobe vom Ufag -m, um zusamme ee mt dem Umfag zu blde. Mt deser berechet ma de chätzfehler e. Ist e kleer oder glech e, da recht deser tchrobeumfag. Glt dese Relato cht, da utzt ma de vorhadee tchrobe als lotstchrobe ud wederholt de Algorthmus ab chrtt. e s t Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 9 Bestmmug des tchrobeumfags be der chätzug ees Atelswertes oll e Atelswert mt vorgegebeer Geaugket ud vorgegebeem Kofdezveau bestmmt werde, so geht ma folgedermaße vor. Uter der Aahme ees große tchrobeumfags ka de Normalvertelug egesetzt werde. e e Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk ( ( N N e [( ( ( ( N bem ehe mt urücklege (N ( chätzug III 30 bem ehe ohe urücklege roblematsch st es her, dass bede Bestmmugsglechuge der ubekate Atel auftaucht. Ma ka desem Fall we be ubekater Varaz vorgehe. Ma fägt aber mt eer größere lotstchrobe (m>30 a. 5
16 Obere chrake für de tchrobeumfag be der chätzug ees Atelswertes ( d( d Bem ehe mt urücklege ud große tchrobe ( ( 0 Dese Formel als Fukto vo errecht hr Mamum a der telle /. d ²( ( d ² < 0 bem ehe ohe urücklege ( N Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk (N ( Dese Formel als Fukto vo errecht auch hr Mamum a der telle /. chätzug III 3 Bestmmug des tchrobeumfag für de chätzug des Atelswertes - Besel E Markeartkelhersteller wll de Bekathetsgrad sees rodukts der Budesreublk bestmme. Der absolute chätzfehler soll % ud der cherhetsgrad 0,95 betrage. We groß st der otwedge tchrobeumfag zu wähle? Gegebe: N: sehr groß - 0,95 e 0,0 Ma ka /N<0,05 uterstelle (ehe mt urücklege 0,5 Obere chrake: 0,5,96² 40 0,0² We aus eer frühere Utersuchug (lotstchrobe mt eem Bekathetsgrad vo 0,4 gerechet werde ka, da glt: m ( m Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk 0,4 0,58,96² 340 0,0² chätzug III 3 6
17 Vele Dak ud Frohe Wehachte!!! Dr. Rcabal Delgado/rof. Kück Lehrstuhl tatstk chätzug III 33 7
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
Intervallschätzungen geben unter Berücksichtigung des Verteilungstyps von X einen Bereich an, der den Parameter mit vorgegebener Sicherheit enthält.
Parameterschätzuge Fachhochschule Jea Uversty of Appled Sceces Jea Oft st der Vertelugstyp eer Zufallsgröße X bekat, ur de Parameter sd ubekat. Da erfolgt hre Schätzug aus eer Stchprobe. Ma uterschedet
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
( ) ( ) ( ) ( ) è ø. P A Wahrscheinlichkeitsmaß. lim n. Dr. Christian Schwarz 4. KOMBINATORIK Permutationen
BBA Projektsemar Thess Dr. Chrsta Schwarz Formelsammlug Aalytsche Statstk 4. KOMBINATORIK 4.. Permutatoe Azahl der Permutatoe vo N Elemete ohe Wederholug: Multomalkoeffzet: N! = N N- N -... 3 N! N! N!...
Stichprobenmodell der linearen Einfachregression
Stchproemodell der leare Efachregresso Stchproemodell der leare Efachregresso Vertelug der Stchproekoeffzete Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III lografe: Prof. Dr. Kück verstät
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Spezielle diskrete Verteilungen
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Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
Statistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 5.2. Eigenschaften von Zufallsvariablen
Vorlesugscharts Vorlesug 5. Egeschafte vo Zufallsvarable Reproduktvtät Approxmatoe Zetraler Grezwertsatz Sete vo Chart : Uabhäggket vo Zufallsvarable Zwe Zufallsvarable X ud Y mt hre Realsatoe { x, x,...,
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
Intervallschätzung II 2
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annehmen, so heißt die Funktion, die jedem atomaren Ereignis { x i } mit i { 1; 2; ;
Wahrschelchet Ee Futo X : Ω R, de edem Ergebs ees zufällge Vorgages ee reelle Zahl zuordet, heßt Zufallsgröße (oder auch Zufallsvarable Ee Zufallsgröße X heßt edlch, we X ur edlch vele Werte x aehme a
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Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
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Dr. Reate Prust: Eführug quattatve Forschugsmethode Bvarate Maße: Przp "Proportoal Reducto of Error" (PRE) E 1 - E Fehler be Regel 1 - Fehler be Regel = E 1 Fehler be Regel 1 Regel 1: Vorhersageregel ur
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
Teil III: Schließende Statistik
Tel III: Schleßede Statstk Prof. Dr. Barbara Grabowsk Hochschule für Techk ud Wrtschaft des Saarlades C) 4 Eletug - - Eletug Dese Kursehet det der Vermttlug vo Grudketsse auf dem Gebet der sogeate Schleßede
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
1 Mathe Formeln Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
1 Mathe Formel Statstk ud Wahrschelchketsrechug Jör Horstma, 6.10.003. Alle Agabe ohe Gewähr. http://www.ba-stuttgart.de/ w017/ 1.1 Grudlage Ezelklasse [a ; b [ Klassewete Klassemtte Mttelwert b a = w
Statistische Tests für unbekannte Parameter. Statistische Tests für unbekannte Parameter. Statistische Tests für unbekannte Parameter
Kofeztervall Itervall, as e ubekate Parameter er Vertelug mt vorgegebeer Scherhet übereckt ('Geaugketsaussage' bzw. Zuverlässgket er Puktschätzug ees Parameters) Statstscher Test Ja-Ne-Etscheug arüber,
Verteilungen und Schätzungen
Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Korrelations- und Regressionsanalyse
Kaptel VI Korrelatos- ud Regressosaalse B 6 (Gegestad der Korrelatos- ud Regressosaalse) Währed de Korrelatosaalse de Estez, de Stärke ud de Rchtug des Zusammehags zwsche zwe oder mehrere statstsche Varable
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
Formelsammlung für die Lehrveranstaltung Statistik
Formelsammlug Statst Formelsammlug für de Lehrverastaltug Statst ugelasse für de Klausure ur Statst de Studegäge der Techsche Betrebswrtschaft Verso vom 5..9 Korreturhwese a: Rose@FH-Muester.de Formelsammlug
8. Stichproben 8.1 Grundgesamtheit und Stichprobe
8. Stchprobe 8. Grudgesamthet ud Stchprobe I der duktve Statstk (beurtelede Statstk) gehe wr vo Stchprobedate aus. Spezell stamme de Date aus Zufallsstchprobe. De Stchprobeergebsse solle auf de Grudgesamthet
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
Deskriptive Statistik behaftet.
De Statstk beschäftgt sch mt Masseerscheuge, be dee de dahterstehede Ezeleregsse mest zufällg sd. Statstk beutzt de Methode der Wahrschelchketsrechug. Fudametalregel: Statstsche Aussage bezehe sch e auf
Formelsammlung. Unter diesen Annahmen kann der Korrelationskoeffizient nach folgenden Schritten getestet werden:
Formelammlug. Korrelatoaalye Korrelatooeffzet (Brava-Pearo) ( )( y y) y y r, r + ( ) ( y y) y y Stattcher et Soll tattch getetet werde, ob e learer Zuammehag zwche de Varable ud y für de Grudgeamthet beteht,
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
Methoden der computergestützten Produktion und Logistik
Methode der comutergestützte Produkto ud Logstk 9. Bedesysteme ud Warteschlage Prof. Dr.-Ig. habl. Wlhelm Dagelmaer Modul W 336 SS 06 Bedesysteme ud Warteschlage Besel: Fahrradfabrk Presse Puffer Lackerere
die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).
Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
Statistik. (Inferenzstatistik)
Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)
1. Zufallsbewegung und Binomialverteilung. Statistische Betrachtungsweise bezieht sich stets auf ein Ensemble.
. Zfallsbewegg d Boalvertelg Statstsche Betrachtgswese bezeht sch stets af e Eseble. Eseble: Gesathet eer sehr große Zahl N detscher Systee. Wahrschelchket für das Etrete ees Eregsses A: Brchtel der Systee,
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen
Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert
Deskriptive Statistik
Elemet Deskrptve Statstk KAD 0.09. Grudgesamthet (Populato): Gesamthet der Idvdue (Elemete), dere Egeschafte be der Stude utersucht werde solle. De gesamte Mege der teresserede Date. N = uedlch Stchprobe:
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
wahlberechtigte Personen der BRD zur Bundestagswahl zugelassene Parteien (SPD, CDU, Grüne, FDP)
Zu Aufgabe 1) Sd folgede Merkmale dskret oder stetg? a) De durch ee wahlberechtgte Perso der BRD gewählte Parte be der Budestagswahl. b) Kraftstoffverbrauch ees Persoekraftwages auf 100 km. c) Zahl der
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
Statistische Kennzahlen für die Streuung
Statstsche Kezahle für de Streuug Ordale Date,..., W X,,..., WX {(j) j,..., J} () < () < < (J) {(),...,(J)} (3) () 3 () Geordete Lste k X (k) () () 3 () Smpso s D ud H() sd awedbar, allerdgs wrd Iformato
Klausur SS 2005 Version 1
BEMERKUG: für de Rchtgket der Lösuge wrd atürlch kee Garate überomme!! Klausur SS 005 Verso Aufgabe : e Gamma-Quat hat kee Ladug > el. Felder übe kee Kräfte aus > kee Kräfte, kee Äderug der Bewegug (ewto)
Einführung in die Stochastik 3. Übungsblatt
Eführug de Stochastk 3. Übugsblatt Fachberech Mathematk SS 0 M. Kohler 06.05.0 A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 9 (4 Pukte) Der Mkrozesus st ee statstsche Erhebug. Herbe werde ach bestmmte
(0) = 0 mit Mittelwert μi
Semarvortrag vo Xaotog Guo am 26. Ma 29 5. Da dvduelle Romodell 5. Eletug Geamtchadeumme (olletve Romodell) - N : de Azahl Ezelchde,ZV N S = X - X : de Schadehhe,ZV X t detch vertelt - N, X, X,... tochatch
Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
Multiple Regression (1) - Einführung I -
Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF
Alteratve Darstellug des -Stchprobetests für Atele DCF CF Total 111 11 3 Respose 43 6 69 Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Respose No Respose Total absolut DCF 43 68 111 CF 6 86 11 69 154 3 Be Gültgket
Fehlerrechnung im Praktikum
Fehlerrechug m Pratum Pratum Phsalsche Cheme (A. Dael Boese) I chts zegt sch der Magel a mathematscher Bldug mehr, als eer überbertrebe geaue Rechug. Carl Fredrch Gauß, 777-855 Themegebete Utertelug vo
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ).
- rudlage der Elektrotechk - 60 22..04 4 Der komplzertere elektrsche lechstromkres 4. Kombato vo Verbraucher 4.. Sere- oder eheschaltug vo Wderstäde We ma mehrere Verbraucher ehe schaltet, so werde alle
Varianzanalyse. Varianzanalyse. Varianzanalyse. Varianzanalyse
Varazaalse Zel Überrüfug der Glechhet der Erwartugswerte ees metrsche Mermals zwsche dre oder mehr Utergrue (be Normalvertelug), somt Verallgemeerug des T-Tests, der ur Erwartugswerte zwsche zwe Grue verglecht
Stochastische Bildmodelle und deren Anwendung
Abtelug Stochastk --Uverstät Ulm Ulm Semar: Bayessche Asätze der der Bldaalyse Stochastsche Bldmodelle ud dere Awedug Sad Bakadr 22.Ma 2006 Sad Bakadr - Uverstät Ulm - Ihalt Eletug Bespele vo Bldmodelle
Regressionsrechnung und Korrelationsrechnung
Regressosrechug ud Korrelatosrechug Beschrebede Statstk Modul : Probleme be der Abhäggketsaalyse Problem : Es gbt mest cht ur ee Eflussfaktor (Probleme sd selte mookausal ) A Ursache() Wrkug B C - efache
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54
Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme
Formelsammlung Statistik
Gesudhets- ud Toursmusmaagemet Formelsammlug Statstk Dpl. Mathematker (FH) Rolad Geger Rosestr. 23 7263 Achtal cs.geger@t-ole.de www.cs-geger.de Grudlage Bezechuge x h N H Ω ezele Messergebsse eer Stchprobe
( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
Pro. Dr. Fredel Bolle LS ür Volkswrtschatslehre sb. Wrtschatstheore (Mkroökoome) Vorlesug Mathematk - WS 008/009 4. Deretalrechug reeller Fuktoe IR IR (Karma, S. 00 06, dort glech ür IR IR m ) 4. Partelle
Textil & Design Formelsammlung Statistik
Textl & Desg Formelsammlug Statstk Dpl. Mathematker (FH) Rolad Geger Rosestr. 23 7263 Achtal cs.geger@t-ole.de www.cs-geger.de Grudlage Bezechuge x h N H Ω ezele Messergebsse eer Stchprobe absolute Häufgket
Beispiel zur Regression
Bespel zur Regresso Bespel Lestug kw ud Kraftstoff-Verbrauch l pro 00 km vo sebe verschedee VW-Golf Bezmotore [] kw l/00km 55 6,4 74 7,6 77 6,8 85 7,9 0 9,3 50 0,8 [] Quelle: http://www.vw-ole.de/golf/dex_.htm
DOOH Audience Measurement 2015
DOOH Audece Measuremet 2015 Berechug Kezahle GfK Swtzerlad Hergswl, 2. März 2016 1 Modul A Stadort-Stchrobe (vor Ort) Werbeträger- ud Werbemttel-Kotakt-Chace Stellschraube Modul B Reräsetatve Bevölkerugsstude
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
Schiefe-, Wölbungs- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe-, Wölbugs- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse
Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse
rger Gabler PLU Zusatzformatoe zu Mede vo rger Gabler Thomas Cleff Desrtve tatst ud Eloratve Dateaalse Ee comutergestützte Eführug mt Ecel, P ud TATA 05 3., überarbetete ud erweterte Auflage rger Gabler
v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr
5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) =
AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion
AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff
Modell zur Berechnung des Massenstromes der Abgasrückführung
odell zur Berechug des assestroes der asrückführug Be odere otore besteht aufgrud der Forderug ach er gergere NO-Essoe de Notwedgket as als Iertgaskopoete de Brerau zurückzuführe, u de Verbreugsteperatur
Die Methode des 2.Moments
De Methode des 2.Momets Chrstoph Schmdt July 13, 2004 1 Eletug De Varaz eer Zufallsvarable st hre mttlere quadratsche Abwechug vo hrem Erwartugswert. V ar[x] = E[(X EX) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Der Term E[X
Klausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
Teil III: Schließende Statistik
Tel III: Schleßede Statstk Prof. Dr. Barbara Grabowsk Hochschule für Techk ud Wrtschaft des Saarlades C) 04 Eletug - - Eletug Dese Kursehet det der Vermttlug vo Grudketsse auf dem Gebet der sogeate Schleßede
STATISTIK III INDUKTIVE STATISTIK
STATISTIK III INDUKTIVE STATISTIK vo Alex Keel 6. Auflage 004 Verlag Wlhelm Surbr Wttebach/St. Galle Vorlesug a der Uverstät St. Galle - Hochschule für Wrtschafts-, Rechts- ud Sozalwsseschafte (HSG) Alle
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
Allgemeine Prinzipien
Allgemee Przpe Es estere sebe Grudehete der Physk; alle adere physkalsche Größe ka ma darauf zurückführe. Dese Grudehete sd: Läge [m] Masse [kg] Zet [s] Elektrsche Stromstärke [A] Temperatur [K], Stoffmege