Stichprobenmodell der linearen Einfachregression

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1 Stchproemodell der leare Efachregresso Stchproemodell der leare Efachregresso Vertelug der Stchproekoeffzete Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III lografe: Prof. Dr. Kück verstät Rostock Statstk, Vorlesugsskrpt. Aschtt 8.4. ud 8.4. lemüller / Gehlert / Gülcher Verlag Vahle 4 Statstk für Wrtschaftswsseschaftler Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III

2 Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 3 Leare Efachregresso -eschreedes Modell- Grudgesamthet (,,..., e eer per Aahme fest umrssee Gesamthet teressert ur de eschreug des Zusammehages zwsche de Merkmale X ud Y für dese deferte Gesamthet. KQ - Regressoskoeffzete Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 4 Leare Efachregresso -Stchproemodell- Zufallsstchproe (,,..., Grudgesamthet,..., < e eer als Stchproe gewoee Telgesamthet teressert e der tersuchug ees leare efache Zusammehages, o deser geerell, d. h. auch der üergeordete Grudgesamthet, estert. De Regressoskoeffzete ud sd feste Parameter der Grudgesamthet. Se lasse sch mt Hlfe vo Stchproe schätze. Statstsche Tests der Parameterwerte sd auch durchzuführe.

3 Zufällger Charakter des Merkmals Y em Stchproemodell Grudgesamthet,..., Zufallsstchproe (,,..., < ehme wr a, dass zwsche de Merkmale X ud Y der Grudgesamthet e perfekter learer Zusammehag esteht. De varate Vertelug (X, Y wrd a estmmte feste Stelle (,,..., p des Merkmals X eoachtet, d. h. X wäre desem Zusammehag kee Zufallsvarale. Dekar st, dass eer Stchproezehug zwsche dem eoachtete Wert ud dem theoretsche Wert a der Stelle ee estmmte zufällge Awechug u auftrtt. De Werte u ud damt de Werte köe als Realsatoe der Zufallsvarale (Störvarale zw. Y (zu erklärede Varale agesehe werde. De Vertelug der Zufallsvarale Y hägt e vo der Vertelug der Störvarale a. Ma schret: Y { sstemats Kompoete che zufällge Kompoete Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 5 eschreedes Modell Leare Efachregresso Grudgesamthet (Gesamthet (,,..., Stchproemodell Grudgesamthet,..., Zufallsstchproe (,,..., < Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 6 3

4 espel: Leare Efachregresso - eschreedes Modell- Pres [Euro] Grudgesamthet (5 Fahrzeuge (Lestug, Pres ,3 53,3 r Lestug [PS] -53,3 + 6,3 r,839 SQR SQT ( ²,839 ( ² 3 4 eoachtet Lear Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 7 Grudgesamthet (Alle Fahrzeuge Pres [Euro] Zufallsstchproe 5 Fahrzeuge eoachtet Lear 3 4 Y + + Lestug [PS] ' E( Y / + espel: Leare Efachregresso - Stchproemodell- ' -53,3 + 6,3 53,3 6,3 ρ r,839 Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 8 4

5 espel: Leare Efachregresso - eschreedes ud Stchproemodell- eschreedes Modell Pres [Euro] + Grudgesamthet (5 Fahrzeuge (Lestug, Pres eoachtet Lear -53,3+ 6,3 r,839 Lestug [PS] Stchproemodell Grudgesamthet (Alle Fahrzeuge Y + + ' E( Y / +?Schätzug der Parameter? Zufallsstchproe 5 Fahrzeuge ρ r 53,3,839 6,3 Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 9 Aahme des efache leare Stchproemodells Y + + Stchproemodell Aahme : E( E ( Y + Für alle Aahme : Var ( σ Für alle Glechhet der Varaze, Homoskedastztät Aahme 3: Cov(, Für alle ud alle mt De Störvarale solle ukorrelert zw. uahägg vo eader se Aahme 4: ~ (, σ Für alle De Störvarale solle ormalvertelt se. Aahme 5: Cov( X, Für alle De Varale X ud de Störvarale solle ukorrelert se. Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 5

6 Auswrkug der Aahme Y + + Stchproemodell Aahme : E( ' E( Y / + Für alle Ihaltlch edeutet dese Voraussetzug, dass das mttlere veau der Varale Y e eem fest vorgegeee Wert der Varale X ur durch de Regressosfukto ud de dar ethaltee erklärede Varale X estmmt st. De adere Eflüsse auf de Varale Y, de der zufällge Störvarale ethalte sd, werde e der Mttelug ausgeschaltet. Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III Auswrkug der Aahme Y + + Stchproemodell Aahme : Var ( σ Für alle Dese Egeschaft der Störvarale wrd als Homoskedastztät ezechet. Se uterstellt, dass de aufgrud des zufällge Charakters der Störvarale (och ethaltee Verursachugsfaktore vo eoachtugsoekt zu eoachtugsoekt glecher Wese wrke. Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 6

7 Auswrkug der Aahme 3 Y + + Stchproemodell Aahme 3: Cov(, Für alle ud alle mt De Störvarale ud auf verschedeem veau der Varale X solle cht mteader korrelert se. Se solle m wahrschelchketstheoretsche Se voeader uahägg se. f ( u, u f ( u f ( u Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 3 Auswrkug der Aahme 4 Y + + Stchproemodell Aahme 4: ~ (, σ Y ~ ( +, σ Für alle De Störvarale solle ormalvertelt se. Dese Voraussetzug uterstellt, dass de Störvarale kee wesetlche Eflussfaktore auf de Varale Y ethält, soder ee Velzahl vo uedeutede, cht korrelerte Zufallseflüsse. Dese Aahme edeutet aufgrud des ezehugsgefüges zwsche de Varale glechzetg, dass de Zufallsvarale Y,..., Y ormalvertelt sd. Solche Vertelugsaahme werde für Itervallschätzuge ud Tests eötgt. Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 4 7

8 Auswrkug der Aahme 5 Y + + Stchproemodell Aahme 5: Cov( X, Für alle De erklärede Varale X soll cht mt der Störvarale korrelert se. I deser Voraussetzug kommt auch zum Ausdruck, dass de Varale X de Varale Y erklärt, aer cht umgekehrt. Es wrd also ee esetge Ahäggket der Varale Y vo der Varale X vorausgesetzt. Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 5 Veraschaulchug des Aahmekomplees Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 6 8

9 9 Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 7 KQ-Schätzuge der Regressoskoeffzete für ee kokrete Stchproe Zufallsstchproe (,,..., Grudgesamthet,..., < Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 8 KQ-Schätzuge der Regressoskoeffzete für ee. kokrete Stchproe Zufallsstchproe (,,..., Grudgesamthet,..., <

10 KQ-Schätzer der Regressoskoeffzete als Stchproefuktoe Grudgesamthet,..., Zufallsstchproe (,,..., < Y Y Y Y De Schätzer ud der wahre Regressoskoeffzete köe als Stchproefuktoe (Zufallsvarale etrachtet werde. De Schätzuge ud für ede kokrete ausgewählte Stchproe sd Realsatoe deser Zufallsvarale. Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 9 Aufgaestellug e der Stchproeregresso Grudgesamthet,..., Zufallsstchproe (,,..., < Y sstematsche Kompoete { zufällge Kompoete Vertelug vo Regressos- ud Korrelatoskoeffzete, Vertrauesgreze vo Regressos- ud Korrelatoskoeffzete Vertrauesgreze der Regresswerte, Vertrauesgreze eer ezele eoachtug für das Merkmal Y, Statstsche Prüfug vo Korrelatoskoeffzete Statstsche Prüfug des estmmthetsmaßes Statstsche Prüfug vo Regressosparameter Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III

11 Egeschafte der Stchproekoeffzete e learer Efachregresso Y + + KQ - Regressoskoeffzete Grudgesamthet,..., Zufallsstchproe (,,..., < Y Y Y Y. Erwartugstreu: E( / E( Für,. Effzet: E * ( E( Für edes adere * 3. Kosstet:.. Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk lm [ E( ] Asmptotsch uverzerrt lm Var( lm E( Asmptotsch effzet Regresso III Vertelug der Stchproekoeffzete e ekate Varaze e Erfüllug der Aahme üer de Störvarale sd de Schätzer der Regressoskoeffzete des Stchproemodells als Stchproefuktoe ormalvertelt mt dem Erwartugswert ud der Varaz σ². Sd de Varaze σ² ekat, da gelte: KQ - Regressoskoeffzete ~ (, σ Z ~ (, σ Für, Aahme ~ (, σ,5,4,3 f (z E( Var Cov(, ( σ,, z Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III

12 Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehrstuhl Statstk Regresso III 3 Vertelug der Stchproekoeffzete e uekate Varaze e Erfüllug der Aahme üer de Störvarale ud uekate Varaze σ² der Schätzer der Regressoskoeffzete des Stchproemodells gelte: (, ~ σ ( Var σ ( E, ( Cov, ( ~ σ Für, Aahme t (- ~ s t ² ( E s s σ E s s ² ( σ E e s ² ( mt KQ - Regressoskoeffzete

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