Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 5.2. Eigenschaften von Zufallsvariablen

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1 Vorlesugscharts Vorlesug 5. Egeschafte vo Zufallsvarable Reproduktvtät Approxmatoe Zetraler Grezwertsatz Sete vo

2 Chart : Uabhäggket vo Zufallsvarable Zwe Zufallsvarable X ud Y mt hre Realsatoe { x, x,..., x k,... } ud { y, y,..., y l,... } heße uabhägg, we für belebge x ud y glt: P ( X = x Ç Y = y) = P ( X = x) P ( Y = y) Egeschafte uabhägger Zufallsvarable E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) () VAR ( X + Y ) = VAR ( X ) + VAR ( Y ) () ( ) = a E ( X ) ( ) = ( ) E ax VAR ax a VAR X (3) Für Y = a X + b glt : ( ) = ( ) + ( ) = ( ) E Y a E X b VAR Y a VAR X E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) (4) Sete vo

3 Chart : Reproduktvtätsegeschaft vo uabhägge Zufallsvarable ( = Addtosegeschaft ) Bomalvertelug Sd X ud Y bomalvertelte, voeader uabhägge Zufallsgröße mt de Parameter (, p ) bzw. ( k, p ), so st de Summe beder Zufallsgröße X + Y ebefalls bomalvertelt mt de Parameter ( + k, p ). Possovertelug Sd de Zufallsvarable X, X,..., X uabhägg ud possovertelt mt l, l,..., l, da st de Zufallsvarable X = X + X X ebefalls possovertelt mt: l = ål =. ormalvertelug Sd de Zufallsvarable X, X,..., X uabhägg ud ormalvertelt mt m, m,..., m ud s, s,..., s, da st de Zufallsvarable X = X + X X ebefalls ormalvertelt mt ud å = = å m = m s = s Sete 3 vo

4 Chart 3: Bespele zu de Reproduktvtätsegeschafte. Vo eer Staudeart erfrere uter usere Bedguge 5 % Pflaze. De Gärtere A verfügt m Herbst über 0 Staude; de Gärtere B och über 0 Staude. a) We vele Staude werde erwartugsgemäß be der Gärtere A bzw. B erfrere? We groß st de Wahrschelchket, dass be der Gärtere A bzw. B je Staude erfrere? b) Zur bessere Versorgug hrer Kude büdel bede Gärteree hr Agebot. Se betrebe auf dem Markt ee gemesame Verkaufsstad. Im Herbst verfüge se och über 30 Staude. We vele Staude werde jetzt erwartugsgemäß erfrere? We groß st de Wahrschelchket, dass jetzt bzw. 4 Staude erfrere?. Das Gewcht vo Orage se ormalvertelt mt eem Durchschttsgewcht vo 85 g ud eer Stadardabwechug vo 0 g. a) We groß st de Wahrschelchket, dass das Gewcht eer zufällg ausgewählte Orage zwsche 80 g ud 90 g legt? b) -kg-etze ethalte Orage. We groß st de Wahrschelchket, dass eem zufällg ausgewählte etz weger als kg Orage ethalte sd? Sete 4 vo

5 Chart 4: Approxmatoe Approxmato der Bomalvertelug durch de Possovertelug Voraussetzuge: ³ 30 p 0, oder p ³ 0,9 Approxmato der hypergeometrsche Vertelug durch de Bomalvertelug Voraussetzuge: M 0, < < 0,9 < 0,05 Approxmato der hypergeometrsche Vertelug durch de Possovertelug Voraussetzuge: ³ 30 M M 0, oder ³ 0,9 < 0,05 Approxmato der Bomalvertelug durch de ormalvertelug Voraussetzug: ( p) p 9 ( 0,5; ; ) ( 0,5; ; ( ) ) ( ) ( ) P a X b = b + p p p a p p p Sete 5 vo

6 Chart 5: Wahrschelchketsfuktoe der Bomalvertelug ud der Possovertelug Bomalvertelug p=0,, =3 0, , , , , , , , , , , ,50000 Possovertelug λ=3, 0,5000 0, , , ,5000 0, , , , , Sete 6 vo

7 Chart 6: Bespele zu Appoxmatoe. E Kotrolleur überprüft a eem Tag 00 Fahrgäste. De Wahrschelchket, dass e Fahrgast kee gültge Fahrauswes hat, legt erfahrugsgemäß be %. We groß st de Wahrschelchket, dass uter de 00 Fahrgäste geau 3, höchstes 4 bzw. mdestes 6 Schwarzfahrer sd?. Uter usere Wtterugsbeduge erfrere vo eer Staudeart 5 Prozet. Ee Gärtere hat zu Beg des Wters och geau 00 Staude. We groß st de Wahrschelchket, dass bs 4 Staude erfrere? Sete 7 vo

8 Chart 7: Tschebyscheffsche Uglechug X st ee belebge Zufallsvarable, dere Erwartugswert ud Varaz exstere. Da gelte für belebge Zahle a > 0 de Uglechuge ( ( ) ) P x E X ³ a s a ( ( ) ) P x E X < a s a Mt a ergbt sch = c s c > ud a s s = a c ud weter ( ) c ( ³ s ) P x E X c ( ) c ( < s ) P x E X c Sete 8 vo

9 Chart 8: Zetraler Grezwertsatz X, X,..., X se ee Folge uabhägger Zufallsvarable, de deselbe Vertelug mt edlchem Erwartugswert m ud edlcher Varaz s habe. Da st de Zufallsgröße X mt: X = å X = ( m s ) asymptotsch ud de Zufallsvarable X, - vertelt = X å = X mt asymptotsch s m, - vertelt. Be hreched großer Azahl der Zufallsvarable X glt: x m P ( X x) s. Sete 9 vo

10 Chart 9: Aussage des zetrale Grezwertsatzes bezüglch der Bomalvertelug VAR ( X ) p ( p) Approxmatosbedgug: exakte Vertelug = 9 = ( ) X = X mt E X = p å ( ) = ( ) VAR X p p asymptotsche Vertelug = ( ( ) ) lm X = X p; p p å Z X p = ( p) p ( 0;) Sete 0 vo

11 Chart 0: Gegeüberstellug der Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug ud der Dchte fukto der ormalvertelug Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug mt p=0,5 ud =3 Wahrschelchkete 0, , , , , , , , , , , , , , , Realsatoe der Zufallsgröße Wahrschelchkete Dchtefukto der (5,5;,748 ) vertelte Zufallsgröße 0, , , , , , , , , , , , , , , , Realsatoe der Zufallsgröße Sete vo