Teil III: Schließende Statistik

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1 Tel III: Schleßede Statstk Prof. Dr. Barbara Grabowsk Hochschule für Techk ud Wrtschaft des Saarlades C) 04

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3 Eletug - - Eletug Dese Kursehet det der Vermttlug vo Grudketsse auf dem Gebet der sogeate Schleßede Mathematsche Statstk. Mathematsche Statstk ud Wahrschelchketsrechug sd zwe uterschedlche Teldszple der Mathematk, de ohe eader cht dekbar sd ud uter dem Sammelbegrff Stochastk zusammegefasst werde. Aufgabe der Wahrschelchketsrechug st es, Gesetzmäßgkete des Zufalls zu utersuche, bzw. mathematsche Modelle dafür zu lefer. De Wahrschelchketsrechug st zuglech das theoretsche Fudamet der mathematsche Statstk. Dese wrd der Regel de Teldszple Beschrebede Statstk ud Schleßede Statstk utertelt. Währed es der Beschrebede Statstk um Methode der Aufberetug ud Darstellug vo Datemateral geht, stehe m Mttelpukt der Schleßede Statstk Verfahre, mt dere Hlfe vo Beobachtugsdate ees Merkmals a Objekte eer Grudgesamthet, d.h. vo der sogeate Stchprobe, auf de Vertelug der Merkmalswerte der gesamte Grudgesamthet geschlosse wrd. Deser Schluss wrd mt Hlfe vo Methode der Wahrschelchketsrechug durch Irrtums- bzw. Scherhetswahrschelchkete bewertet. De Stochastk hat lägst vele modere wsseschaftlche Teldszple Ezug gehalte, auch de Igeeurwsseschafte sd ohe stochastsche Methode cht mehr dekbar. Stochastsche Methode fde her zum Bespel Awedug - be der Plaug vo Versuche - be der Aalyse vo Zusammehäge zwsche ud mehr Eflussgröße ud Zelgröße - be der Wahl wesetlcher Eflussgröße - be der Modellerug vo Zusammehäge - be der Utersuchug vo Lebesdauer ud Zuverlässgkete vo techsche Systeme - be der statstsche Prozesskotrolle Wr gebe deser Kursehet zuächst ee Eführug de Methode der Schleßede Statstk. Für wetere Methode der Stochastk, u.a. auch der Beschrebede Statstk ud der Wahrschelchketsrechug, verwese wr auf de Skrpte I. ud II. ud de m Lteraturverzechs des Ahags agegebee weterführede Lteratur.

4 - III. Schleßede Statstk Im Kaptel starte wr mt Grudgesetze zur Vertelug vo Summe stochastsch uabhägger Zufallsgröße. Dese blde de Grudlage für de wetere Kaptel. Se werde dabe de grudlegede Bedeutug der Normalvertelug der Statstk kee lere. Kaptel erläutert de Begrffe Stchprobe, Schätzfukto ud Tolerazschätzug, sowe de Egeschafte vo Schätzfuktoe ud Tolerazschätzuge. Daach werde Se m Kaptel 3 mt Puktschätzuge, Toleraz- ud Prüfbereche für de ubekate Erwartugswert eer Zufallsgröße uter der Aahme, dass hre Varaz bekat st, vertraut gemacht ud es werde kokrete Bespel durchgerechet. E wesetlcher Bestadtel deses Kaptels sd Überleguge zur Wahl des Stchprobeumfages, um gute Schätzuge für de Erwartugswert zu erhalte. Um Schätzuge für de Erwartugswert be ubekater Varaz zu erhalte, beötgt ma de Kets weterer Verteluge, de Normalvertelug recht cht mehr aus. Im Kaptel 4 werde Se mt der t- Vertelug vo Studet, der -vertelug ud der F-Vertelug vo Fsher vertraut gemacht. Auf deser Bass werde da Kaptel 5 Puktschätzuge ud Tolerazbereche bzw. Berechsschätzuge für ubekate Wahrschelchkete, ubekate Erwartugswerte ud Varaze hergeletet, sowe Utersuchuge zum otwedge Stchprobeumfag durchgeführt. Kaptel 6 behadelt de Methode der Statstsche Prozesskotrolle SPC), be dee sogeate Kotrollregelkarte, de wederum auf Tolerazbereche beruhe, verwedet werde. Kaptel 7 wdmet sch dem Hypotheseprüfe. Das Grudprzp statstscher Hypothesetests wrd erläutert; es werde Hypothese über ubekate Wahrschelchkete, ubekate Erwartugswerte ud Varaze sowe über Verteluge eer Zufallsgröße ahad vo Beobachtuge deser Zufallsgröße geprüft. Dabe werde weder Utersuchuge zum otwedge Stchprobeumfag durchgeführt. De aschleßede Kaptel beschäftge sch mt Methode der statstsche Aalyse vo Zusammehäge zwsche mehrere Eflussgröße X,,Xk ud eer Zelgröße Y. Dazu gehöre de statstsche Versuchsplaug

5 Eletug DOE), de Varazaalyse ANOVA Regressos- ud Korrelatosaalyse. ud MANOVA) ud de multple I jedem Kaptel werde ee Rehe vo Übugsaufgabe gestellt. Am Ede deses Skrptes fde Se de Lösuge zu ege Übugsaufgabe.

6 - 4 III. Schleßede Statstk Ihaltsverzechs Verteluge vo Summe vo Zufallsgröße 6. Erwartugswert ud Varaz vo Summe ud leare Trasformatoe vo Zufallsgröße Verteluge vo Summe vo Zufallsgröße Der Reproduktossatz für Normalverteluge Der zetrale Grezwertsatz... Stchprobe ud Schätzfuktoe 7. Stchprobe- ud Stchprobefuktoe Schätzfuktoe Puktschätzfuktoe Kosstez ud Erwartugstreue vo Puktschätzfuktoe Berechsschätzuge ud Prüftervalle Toleraz- ud Prüftervalle für de ubekate Erwartugswert =EX eer Zufallsgröße X be bekater Varaz VarX)= 3 3. Fall: X st ormalvertelt, X~N, ), bekat Berechsschätzug für EX be bekater Varaz Berechsschätzuge für EX mt vorgegebeer Geaugket- Stchprobeumfagsbestmmug Prüftervalle für EX= Fall: X st cht ormalvertelt, EX =, VarX)=, bekat De Vertelug vo Stchprobefuktoe 3 4. De - Vertelug De t-vertelug De F-Vertelug Toleraz- ud Prüftervalle für Erwartugswerte ud Varaze38 5. Toleraz- ud Prüftervalle für de Varaz VarX)= eer N, ) vertelte Zufallsgröße X... 38

7 Ihaltsverzechs Toleraz- ud Prüftervall für EX= be ubekater Varaz VarX)= Toleraz- ud Prüftervall für EX= be ubekater Varaz, X~N, ) Stchprobeumfagsbestmmug Toleraz- ud Prüftervalle für =EX be ubekater Varaz ud für = VarX) für cht ormalvertelte Zufallsgröße Kotrollregelkarte 5 6. Hypthese ud Prüftervalle zur Überwachug der laufede Produkto.5 6. SPC-Regelkarte ud Prüfetscheduge Was sd Kotrollregelkarte Auswertug vo Kotrollregelkarte Erstellug der Kotrollregelkarte be ubekatem Erwartugswert ud ubekater Varaz Lteraturverzechs 59 8 Tabelle ud Dagramme 6 A. Tabelle der Stadardormalvertelug...6 A. Zufallszahle zur Glechvertelug...63 A3. Quatle m ) der -Vertelug mt m Frehetsgrade PX < m )) =...64 A Quatle der t-vertelug mt v Frehetsgrade...65 A5. Quatle der F-Vertelug für =0,0 ud = Stchwortverzechs...67

8 - 6 III. Schleßede Statstk Verteluge vo Summe vo Zufallsgröße Häufg beötgt ma be der Modellerug des Zufalls de Vertelug vo Summe oder adere Fuktoe vo stochastsch uabhägge Zufallsgröße. Ageomme, es st bekat, dass das zufällge Gewcht X vo Papertüte eer bestmmte Schwakug uterlegt, geauso we auch der de Papertüte egefüllte Ihalt Y. Möchte ma jetzt de Vertelug des Gesamtgewchtes aalysere, so besteht de mathematsche Aufgabe dar, de Vertelugsfukto vo Z = X + Y, d.h. der Summe zweer stochastsch uabhägger Zufallsgröße zu ermttel. Nach Durcharbete deses Kaptels köe Se Erwartugswert ud Varaz vo Summe stochastsch uabhägger Zufallsgröße bereche, Wahrschelchketsverteluge vo Summe stochastsch uabhägger ormalvertelter Zufallsgröße bestmme ud dazu praktsche Aufgabe löse, de Zetrale Grezwertsatz zur Lösug praktscher Aufgabe awede.. Erwartugswert ud Varaz vo Summe ud leare Trasformatoe vo Zufallsgröße Wr führe zuächst de Begrff der stochastsche Uabhäggket vo Zufallsgröße e. Wr erer us dara, dass Eregsse A ud B stochastsch uabhägg sd, geau da, we glt: P A B) P A) P B). I Aaloge zur Uabhäggket vo Eregsse A ud B defere wr: Stochastsche Uabhäggket vo Zufallsgröße Defto.: Zwe Zufallsgröße X ud Y heße stochastsch uabhägg, falls für alle a,b R glt: P X a) Y b)) P X a) P Y b) Dese Produktformel glt etspreched auch für Zufallsgröße: Zufallsgröße X,,X heße stochastsch uabhägg voeader, falls

9 Vertelug vo Summe vo Zufallsgröße für jede Auswahl {X,.,X k } {X,,X } vo k Zufallsgröße aus dese glt: P X a )... X a )) P X a ) k k j j j k Wr teressere us u für de Egeschafte vo Erwartugswert ud Varaz vo Summe ud leare Trasformatoe vo Zufallsgröße. Wr erer dara, dass Erwartugswert EX ud Varaz VarX) eer stetge Zufallsgröße X mt Vertelugsdchte fx) we folgt defert ware:.) EX xf x) dx ud Var X ) x EX ) f x) dx Für ee dskrete Zufallsgröße X {a,,ak} ud Wahrschelchketsvertelug p=px=a) st etspreched:.) EX a p k ud Var X ) k a EX ) p Wr bemerke, dass wr jedem Fall für de Varaz auch schrebe köe:.3) VarX) = EX-EX) Darüber haus st auch och de sogeate Covaraz zwsche Zufallsgröße vo Iteresse, de we folgt defert st.4) CovX,Y) := EX-EX)Y-EY) ud de Zusammehag zwsche Zufallsgröße X ud Y beschrebt. Offeschtlch st CovX,X)=VarX)) Satz.: Egeschafte vo Erwartugswert ud Varaz) See a,b R. Da glt:. Eb) = b ud Varb) = 0. EaX) = aex ud Var ax ) a Var X ) Egeschafte vo Erwartugswert ud Varaz 3. EX + X X ) = EX + EX EX 4. EaX+b) = aex + b 5. Var X Y ) =VarX)+VarY)+CovX,Y) 6. Var ax b) a Var X )

10 - 8 III. Schleßede Statstk Für stochastsch uabhägge Zufallsgröße glt darüber haus: 7. EXY) = EXEY 8. CovX,Y) = 0 9. VarX+Y)=VarX) + VarY) 0. Var X X... X ) Var X ) Var X )... Var X ). See X ud X zwe stochastsch uabhägge Zufallsgröße mt EX)=5, VarX)= ud EX) = 0, VarX)=4. a) Bereche Se Erwartugswert ud Varaz vo Y=X+3X. b) Se X ~N80, 5 ) de Vertelug des Gewchtes vo Persoe zwsche 0 ud 60 Jahre der BRD. Ageomme wr grefe jetzt 8 Persoe zufällg aus deser Grudgesamthet heraus. Bereche Se das erwartete Gesamtgewcht der 8 Persoe! We groß st de Varaz des Gesamtgewchtes der 8 Persoe? c) Wese Se uter Verwedug der Egeschafte.- 4. des Erwartugswertes ud vo Formel.3) ach, dass glt : VarX+Y)=VarX) + VarY) + CovX,Y)!. Für stochastsch uabhägge Zufallsgröße X ud Y glt: EXY = EXEY. Wese Se ach, dass daraus ud aus de m o.g. Satz geate Egeschafte.-4. des Erwartugswertes folgt: a) CovX+Y) = 0 ud b) VarX+Y)=VarX) + VarY). Verteluge vo Summe vo Zufallsgröße I desem Abschtt geht es um de Bestmmug der Vertelug vo leare Trasformatoe ud vo Summe vo stochastsch uabhägge Zufallsgröße. Mache Verteluge, we z.b. de Posso- ud de Normalvertelug, bestze de sogeate Reproduktosegeschaft. D.h., der Vertelugstyp vo Summe derart vertelter uabhägger Zufallsgröße blebt erhalte, de Parameter der Summe bereche sch gemäß de

11 Vertelug vo Summe vo Zufallsgröße Egeschafte der Erwartugswerte vo Summe vo Zufallsgröße, we se Abschtt. dargestellt wurde..5. Der Reproduktossatz für Normalverteluge Satz.: Reproduktossatz für Normalverteluge) a) Ist X ormalvertelt mt de Parameter EX= ud VarX)=, so st auch jede leare Trasformato Y= ax + b vo X ormalvertelt mt de Parameter EY = a+b ud VarY)= a ). Reproduktossatz für Normalverteluge b) Sd X,...,X stochastsch uabhägge ormalvertelte Zufallsgröße mt de Parameter EX, Var ), =,...,, da st hre Summe X X X ebefalls ormalvertelt mt de Parameter Var X ). EX ud Bemerkug: Dese Reproduktosegeschaft glt cht geerell für alle Verteluge. Zum Bespel st de Summe vo uabhägge expoetalvertelte Zufallsgröße cht mehr expoetalvertelt st. Her erhält ma ee eue theoretsche Vertelug, de sogeate Erlag- Vertelug, auf de wr her aber cht weter egehe wolle, wr verwese auf de weterführede Statstk-Lteratur [Wa], [Lex]. Bespel: Se X das zufällge Gewcht eer erwachsee Perso der BRD ud se X~N80kg, 5kg) ). D.h., ca 68 % aller erwachsee Persoe habe e Gewcht zwsche 75 kg ud 85 kg, fast alle zwsche 65kg ud 95 kg. I eem Fahrstuhl steht de Aufschrft: Maxmale Traglast: 5 Persoe oder 40 kg. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass 5 zufällg etreffede erwachsee Persoe das Gesamtgewcht G vo 40 kg überschrete? Lösug: Offeschtlch st das Gesamtgewcht 5 X G, wobe X ~N80kg, 5kg) )

12 - 0 III. Schleßede Statstk das zufällge Gewcht der.te Perso st. Nach Reproduktossatz, Tel b), st G ormalvertelt, es glt: G X ~ N400kg,5 kg )). Daraus ergbt sch für de gesuchte Wahrschelchket: P G 40) P G 40) F40) ,89 5 0,833 0,867 De Normalvertelugsvertelugsfukto wrd de Stadardormalvertelugsfukto x) trasformert ud dere Werte aus der Tabelle Vgl. Abschtt Tabelle ud Dagramme) abgelese, sehe auch Skrpt II. Wahrschelchketsrechug. ).3 Se das zufällge Gewcht vo Papertüte X ~ N50g,g ) ) ud des zufällge Gewcht der durch ee Masche de Papertüte gefüllte Ihalt ees Pulvers Y ~ N500g,5g) ). a) We groß st de Wahrschelchket dafür, dass das Gewcht der gefüllte Tüte m Toleraz-Berech 550g 6g legt? b) Gebe Se de Berech a, dem das Gewcht fast aller 99,98%) gefüllte Papertüte legt! Bemerkug: Aus Tel a) des Reproduktossatzes folgt folgede wchtge Trasformatos- Regel: Satz.3: Es glt: X~N, ) X EX X ~ N0,). Var X ).5) Dese Regel wrd als Stadardserug ud Zufallsgröße bezechet. X EX VarX ) als stadardserte

13 Vertelug vo Summe vo Zufallsgröße - - Bemerkug: E wchtger Spezalfall st de Summe X = X stochastsch uabhägger detsch ormalvertelter Zufallsgröße X,...,X mt ~ N, ) =,...,. X für.4 See X ~ N, ) detsch ormalvertelte Zufallsgröße. =,, stochastsch uabhägge ud a) Welche Vertelug bestzt da de Summe X b) Welche Vertelug bestzt das arthmetsche Mttel X X deser Zufallsgröße?? c) Welche Vertelug bestzt de Zufallsgröße Y = X )? Lösug zu.4.: Nach Reproduktossatz st de Summe der X weder ormalvertelt. Für Erwartugswert ud Varaz der Summe erhalte wr E X EX ud Var X ) Var X ) Folglch st X ~ N, ) ud daraus folgt wederum ach Tel a) des Reproduktossatzes:.6) X X ~ N, ) D.h., das arthmetsche Mttel eer Stchprobe vo stochastsch uabhägge detsch N, ) vertelte Zufallsgröße st weder ormalvertelt. Je größer, desto geauer trfft X.

14 - III. Schleßede Statstk Abbldug.. Dchtefuktoe der Normalvertelug X ~ N, ) verschedee für.5 Se das zufällge Gewcht X vo Persoe we folgt vertelt: X~N80 kg, 5 kg) ). We groß st de Wahrschelchket dafür, dass das Durchschttsgewcht vo 8 zufällg ausgewählte Persoe der Grudgesamthet 80 kg überschretet?.5. Der zetrale Grezwertsatz Oft ket ma de Vertelug der Summade X eer Summe vo stochastsch uabhägge Zufallsgröße cht ud da gelgt es auch cht, de Vertelug deser Summe exakt auszureche. Aber es lässt sch zege, dass ma se mmer, we hreched groß st durch ee Normalvertelug gut aäher ka. Es glt der Zetrale Grezwertsatz:

15 Vertelug vo Summe vo Zufallsgröße Satz.4: Zetraler Grezwertsatz) See X,...,X stochastsch uabhägge belebg vertelte Zufallsgröße mt de Parameter EX ud Var ), =,...,. Se X X X EX Summe Y= Var X ) X. Da kovergert de Vertelug der stadardserte X ) Stadardormalvertelug N0,). Wr köe also für große de Zufallsgröße Y= stadardormalvertelt betrachte: Y X ) N groß für gege gege ee 0,) X ) als Zetraler Grezwertsatz Aus dem Zetrale Grezwertsatz folgt folgede wchtge Regel: See X,...,X stochastsch uabhägge belebg vertelte Zufallsgröße mt de Parameter EX ud Var ), =,...,. Da st für große de Summe X EX ud Var X ) X : X groß X äherugswese ormalvertelt mt N, ).7) Normalvertelugsregel Ee Faustregel besagt, dass 0 groß geug st. De Näherug hesst, dass für gege uedlch, de Vertelug der Summe gege de Normalvertelug strebt.

16 - 4 III. Schleßede Statstk Dese Regel lefert de Begrüdug dafür, dass so vele Phäomee Körpergewcht, Itellgezquotet, Messfehler usw.) der Praxs ormalvertelt erschee. Se etstehe als Überlagerug sehr veler uabhägg voeader wrkeder stochastscher Eflüsse. E wchtger Spezalfall der Normalvertelugsregel st weder der Fall, dass alle Summade X detsch vertelt sd, also de gleche Erwartugswert EX ud de gleche Varaz Var ), =,..., X bestze. I desem Fall st für X EX X der ud de Varaz Var X ) X N, ud X X N, ) ) ud X ) N0,) Erwartugswert ud es glt:.8).9).0) Ee Awedug deses Spezalfalls besteht der Approxmato der Bomalvertelug durch de Normalvertelug. We wr wsse, st de zufällge Azahl X vo Erfolge be facher Wederholug ees zwepuktvertelte Versuchs mt Erfolgswahrschelchket p bomalvertelt mt de Parameter ud p. Wr köe de.te Versuchswederholug durch de zwepuktvertelte Zufallsgröße charaktersere Da st X X 0 X falls falls mt Msserfo lg Erfo lg p p EX p ud Var X ) p p) ud wr erhalte als Spezalfall der Normalvertelugsregel de folgede auch als Grezwertsatz vo Movre ud Laplace bezechete Satz: Approxmato der Bomalvertelug durch de Normalvertelug Satz.5: vo Movre ud Laplace): Ee mt de Parameter ud p bomalvertelte Zufallsgröße X st für große äherugswese ormalvertelt mt EX = p ud VarX) = p-p), d.h. B,p) Np, p-p) Empfehlug: 0 )

17 Vertelug vo Summe vo Zufallsgröße Bespel: Ee Krakhet A trtt mt der Wahrschelchket vo % der Bevölkerug auf. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass vo 000 Persoe mehr als 5 erkrake? Lösug: De zufällge Azahl der erkrakte Persoe uter 000 st bomalvertelt mt de Parameter =000 ud p=0,0 der zwepuktvertelte Versuch st: st X = Status der Perso mt X = 0gesud), X =krak) mt Wahrschelchket p=0,0). Für de gesuchte Wahrschelchket ergbt sch gemäß de Wahrschelchkete der Bomalvertelug: P X 5) P X 5) 0,0) 0,99) 0 De Berechug deser Summe st mt ege umersche Schwergkete verbude. Aber glücklcherwese köe wr aufgrud des Satzes vo Movre ud Laplace de gesuchte Wahrschelchket gut geug durch ee Normalvertelug mt de Parameter =EX = p = 0000,0=0 ud =VarX)=p-p)=0000,00,99=9,9 approxmere. Es glt äherugswese: 5 0 5) 5) 5) P X P X F,59) 9,9 =-0,944=0,0559. Übugsaufgabe.6 Das Gewcht X vo Papertüte schwake zufällg ormalvertelt mt EX = 00mg, VarX)= 0 mg). I dese Papertüte wrd 00 Schraube mt eem ormalvertelte Ezelgewcht Y~N3mg,0,5mg) ) gefüllt. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass das Gesamtgewcht Tüte + 00 Schraube) der gefüllte Tüte erhalb des Itervalls [300mg, 500mg] legt?.7 E regelmäßger Würfel wrd =600 mal geworfe. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass de Azahl der gewürfelte Sechse zwsche 90 ud 0 legt?.8 De Ausfallwahrschelchket vo Geräte, be dee ee bestmmte Leuchtdode cht mehr fuktoert beträgt 0,8. We groß st de Wahrschelchket dafür, dass vo 40 solche Geräte mt defekter Leuchtdode mehr als 80 ausfalle?

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19 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Stchprobe ud Schätzfuktoe I der schleßede Statstk geht es u.a. darum, vo Beobachtuge eer Zufallsgröße auf dere Vertelug zu schleße oder wegstes ege hrer Parameter gut geug zu bestmme. Dafür beötgt ma sogeate Stchprobefuktoe S X,, X ), de so heße, wel se Fuktoe eer mathematsche Stchprobe X,, X sd. Dese Stchprobefuktoe müsse für de Hochrechug auf de Grudgesamthet geeget se, d.h. bestmmte Güteegeschafte bestze. Für de Utersuchug der Güteegeschafte vo Stchprobefuktoe beötgt ma wederum hre Wahrschelchketsverteluge. I desem Abschtt werde wr de Stchprobe, Stchprobefukto, de Güteegeschafte ud Wahrschelchketsverteluge vo Stchprobefuktoe defere.. Stchprobe- ud Stchprobefuktoe Se X ee Zufallsgröße mt der Vertelugsfukto F. Wr schrebe X ~ F. Glt dese Aussage ur äherugswese, so schrebe wr X F ). Das Zel besteht dar, F oder ee ubekate Parameter der Vertelug, we zum Bespel de Erwartugswert EX oder de Varaz Var X), zu bestmme. Das gescheht mmer auf der Bass vo Beobachtuge vo X. See x,, x Beobachtuge vo X. Jede Beobachtug x köe wr als Realserug eer eue Zufallsgröße X auffasse, de deselbe Vertelug bestzt we X. Wr spreche auch vo detsch vertelte zufällge Beobachtuge. Jede her vorgestellte statstsche Schlusswese beruht auf der Voraussetzug, dass de Beobachtuge uabhägg voeader erhobe werde; das heßt, dass alle X utereader stochastsch uabhägg sd. Defto: See X,, X Zufallsgröße, de uabhägg voeader ud detsch we X vertelt sd ud se für jedes,, x ee Realserug vo X. Da heßt x,, x ) kokrete ud X,, X ) zufällge Stchprobe vo X. heßt Stchprobeumfag. Jede Fukto S X,, X ) eer mathematsche Stchprobe ee wr Stchprobefukto. Stchprobe ud Stchprobefukto

20 - 8 III. Schleßede Statstk. Schätzfuktoe.. Puktschätzfuktoe Puktschätzug Defto: Ee Fukto S, de jeder Stchprobe vom feste Umfag ee Schätzwert für ee Parameter zuordet, heßt Schätzfukto; der Wert deser Fukto heßt Puktschätzug für. Wr schrebe für de Schätzfukto: S X,, X ) ud für de Schätzwert, d.h. de Wert deser Fukto be eer kokrete Belegug x,, x ) der zufällge Stchprobe: S x,, x ). Bemerkug: De Schätzfukto st als Fukto vo zufällge Größe X ebefalls ee Zufallsgröße. Da der Schätzwert vo de kokrete Beobachtuge x,, x abhägt, köe wr h als ee Realserug der Zufallsgröße auffasse. Beobachte wr X ereut mal, d.h. habe wr ee adere kokrete Stchprobe, auf de wr S awede, so erhalte wr der Regel ee adere Schätzwert. Bespel: Das arthmetsche Mttel S X,..., X ) X X = eer zufällge Stchprobe vo X st ee Schätzfukto für de ubekate Erwartugswert EX= vo X. Für =5 ud kokrete Beobachtuge x 3, x 5, x3, x4 3, x5 vo X,..., X 5 erhalte wr de kokrete 5 4 Schätzwert S x,..., x5) x x =,8 für EX. 5 5 Für eue 5 kokrete Beobachtuge x, x 4, x, x, x vo X,..., X 5 erhalte wr de kokrete Schätzwert 5 0 S x,..., x5) x x. 5 5 Für jedes 5-Tupel vo kokrete Beobachtuge x, x, x3, x4, x5 erhalte wr ee adere Schätzwert x für EX gemäß userer Schätzfukto.

21 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Kosstez ud Erwartugstreue vo Puktschätzfuktoe De Güte eer Schätzfukto zur Schätzug vo wrd der mathematsche Statstk durch verschedee Krtere defert, de dese Zufällgket berückschtge. Im allgemee werde zwe Egeschafte gefordert : a) de Schätzfukto soll m Mttel treffe, d.h. es soll gelte: E ). Dese Egeschaft wrd als Erwartugstreue vo bezechet. b) De mttlere quadratsche Abwechug der Schätzfukto vo, d.h. de Varaz Var ), soll möglchst kle se ud mt wachsedem Beobachtugsumfag gege 0 kovergere, d.h. es soll gelte: Erwartugstreue ud Kosstez Var ) E ) 0. Dese Egeschaft bedeutet, dass de Schätzug mt wachsedem Beobachtugsumfag mmer geauer wrd. Dese Egeschaft wrd als Kosstez bezechet. Bespel: See X,, X zufällge Beobachtuge vo X, de uabhägg voeader erhobe wurde; d.h. se Stchprobe vo X. X,, X ee mathematsche Als Schätzfukto für de ubekate Erwartugswert =EX d.h., =) verwedet ma der mathematsche Statstk das arthmetsches Mttel X der Beobachtuge: X X.) Da alle X =,, uabhägg voeader sd, folgt aus de Egeschafte für de Erwartugswert ud de Varaz vo Summe uabhägger Zufallsgröße sehe Abschtt.): arthmetsches Mttel EX E X ) = E X ) = E X) =

22 - 0 III. Schleßede Statstk Var X ) Var X ) Var X ) Var X ) 0 Damt st X ee kosstete Schätzfukto für = EX..3 Berechsschätzuge ud Prüftervalle Offeschtlch sd Puktschätzuge, de etweder cht erwartugstreu oder cht kosstet sd, slos. Aber auch ee Puktschätzug, de de bede Güteegeschafte erfüllt, st erst für geau. We geau st se für edlches, festes? ˆ ˆ st für jedes feste ee Zufallsgröße; hre Vertelug wrd durch ee Dchtefukto beschrebe: Abbldug. Wr sehe, dass für de Puktschätzug be eem festgelegte Stchprobeumfag glt: P ˆ ) 0 Fläche uter der Dchte a deser Stelle st = 0). D.h. de ubekate zu schätzede Parameter geau zu treffe st uwahrschelch, wr treffe h mt eer Stchprobe e geau, wr schätze daebe. Aber de Wahrschelchket dafür, dass wr mt ˆ der Nähe vo lege, st cht glech 0, es st: P ˆ ) 0

23 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße - - I desem Zusammehag gbt es de Begrff der sogeate Berechsschätzfukto - auch als Tolerazbereches oder Tolerazschätzug bezechet - für ee ubekate Parameter. Defto: E Itervall I [ ˆ, ˆ ] P [ ˆ, ˆ ]) mt der Egeschaft Toleraztervall Tolerazschätzug, Berechsschätzug) heßt Tolerazschätzug bzw. Toleraztervall oder Berechsschätzug oder Kofdeztervall) für zur Überdeckugs- bzw. Scherhetswahrschelchket. heßt Irrtumswahrschelchket. heßt Geaugket der Schätzug. ˆ Offebar st P, ) P ) Toleraztervall kostruere, wsse wr, dass ˆ vo mt der Wahrschelchket um höchste abwecht. ˆ ˆ, d.h. we wr e solches De Güte ees Toleraztervalls wrd durch see Brete Geaugket ) ud see Überdeckugswahrschelchket -) charaktersert. Das Zel statstscher Utersuchuge st es, be festem Stchprobeumfag möglchst klee Itervalle hohe Geaugket) mt eer große Überdeckugswahrschelchket zu kostruere. Dabe geht ma der Regel we folgt vor: ma gbt sch ee möglchst klee Wert vor, z. B. 0, 0 oder 0, 05. Aschleßed wrd das kleste berechet, für welches de Überdeckugswahrschelchket errecht wrd. Wähle wr 0, 05 ud bereche das zugehörge, so st de Wahrschelchket dafür, dass der wahre Parameter m Itervall [ ˆ, ˆ ] legt, glech 0, 05 0, 95. Dese Aussage bedeutet folgedes: we wr deses Itervall 00 mal auf der Bass vo 00 Stchprobe vom Umfag bereche, ethalte 95 deser Itervalle de wahre Parameter - ur füf ethalte h cht. Bemerkuge : Mt der Frage der Kostrukto eer gute Berechsschätzug für sd wetere Frage eg verküpft.

24 - III. Schleßede Statstk. Wahl ees geegete Stchprobeumfages De Güte ees Toleraztervalls wrd durch see Brete ud de Scherhet - bestmmt. Dese hägt aber auch vom Stchprobeumfag ab. Ee Verbesserug der Güte der Tolerazschätzug, d.h. ee Verkleerug vo oder ee Erhöhug der Scherhet - ka ma erreche, dem ma erhöht. Dese Zusammehag zwsche, ud - werde wr de folgede Kaptel verdeutlche ud utersuche, we groß der Stchprobeumfag mdestes se muss, um e Tolerazberech für mt vorgegebeer Geaugket ud vorgegebeer Scherhet - zu erhalte.. Prüfe, ob für de ubekate Parameter glt: = o, wobe o ee vorgegebeer Wert st Ist de Aussage = o wahr, so müsste de Schätzug ˆ für mt großer Wahrschelchket der Nähe, d.h. eer klee Umgebug, vo o lege. Das köe wr mt de sogeate Prüftervalle utersuche. Prüftervall Defto: E Itervall I [ 0, 0 ] P ˆ [, ]) 0 0 mt der Egeschaft heßt Prüftervall für zum Prüfe der Hypothese H: = o mt der Überdeckugswahrschelchket bzw. Irrtumswahrschelchket ) ud der Geaugket. Falls der berechete Schätzwert ˆ m Itervall I, ] legt, so [ 0 0 etschede wr us dafür, dass de Aussage = o wahr st, aderfalls etschede wr us dagege. Be deser Etschedugsregel rre wr us mt der Wahrschelchket, dh. wr etschede us mt der Wahrschelchket fälschlcherwese gege de Aussage = o, obwohl se stmmt.

25 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Toleraz- ud Prüftervalle für de ubekate Erwartugswert =EX eer Zufallsgröße X be bekater Varaz VarX)= 3. Fall: X st ormalvertelt, X~N, ), bekat 3.. Berechsschätzug für EX be bekater Varaz Se ee X ~ N, ) vertelte Zufallsgröße mt EX= ud VarX)=. Se bekat. se ubekat ud zu schätze. Dazu mache wr ee Stchprobe X,,X vo uabhägge zufällge Beobachtuge vo X. Wr schätze durch de erwartugstreue Schätzfukto X X. Sd de Beobachtuge uabhägg voeader, so wsse wr aus Kaptel.: EX ud Var X ). D.h., wr treffe m Mttel de gesuchte Wert de Schätzfukto ˆ X st erwartugstreu) ud de Schätzug wrd mt wachsedem mmer geauer de mttlere quadratsche Abwechug E X ) Var X ) kovergert mt mooto falled gege 0). Uter Verwedug des Reproduktossatzes erhalte wr de Vertelug der Schätzfukto X : X X ~ N, ) 3.)

26 - 4 III. Schleßede Statstk D.h., das arthmetsche Mttel eer Stchprobe vo stochastsch uabhägge detsch N, ) vertelte Zufallsgröße st weder ormalvertelt sehe auch Abschtt.) Abbldug 3.. Dchtefuktoe der Normalvertelug vo X ~ N, ) Offeschtlch glt für de ormalvertelte Zufallsgröße X P X ) 0 D.h. de Chace mt der Schätzug X geau zu treffe st glech Null. Aber de Wahrschelchket dafür, dass wr mt X eem klee Berech um, d.h. der Nähe vo lege, st cht glech 0, es st: P X ) 0 für jedes >0 Wr köe jetzt für e vorgegebees = ) so bestmme, dass glt: P X ) Wege der Äquvalez: X X X erhalte wr für deses ) ee Tolerazberech X ) Irrtumswahrschelchket, es glt: für zur

27 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße )) ) )) ) X P X X P. Im folgede Satz wrd bewese, dass gerade glt: ) u 3.) wobe p u das p-quatl der Stadardormalvertelug st. Satz 3.: Se X~N, ) ud X,,X ee mathematsche Stchprobe vo X. Da st das Itervall, u X u X I 3.3) ee Berechsschätzug für =EX mt der Irrtumswahrschelchket. Herbe st p u das p-quatl der Stadardormalvertelug. Bewes: Aus der Normalvertelug ), ~ N X des arthmetsche Mttels folgt: ) ) )) ) ) ) ) )) ) ) u u u u X u P u X u P I P q.e.d Bespel: I eer Autowaschalage soll utersucht werde, we groß de Bearbetugszet bem Wasche ees Autos m Durchschtt durch de

28 - 6 III. Schleßede Statstk Beschäftgte ANTON st. Se X de zufällge Bearbetugszet vo ANTON be eem Auto. Gesucht st da EX =. Es se ageomme, dass de Bearbetugszet X ormalvertelt um mt der Varaz VarX)= = M ) st. a) Gebe Se ee Schätzwert ud e Tolerazberech für de erwartete Bearbetugszet zur Scherhet - = 0,95 a! b) We äder sch de Itervallgreze des Tolerazbereches, we ma de Scherhet auf 0,99 erhöht? Lösug: Zu a) 4 Beobachtuge der Autowaschalage ergabe für de Bearbetugszet durch de Beschäftgte ANTON folgede Werte: Lauf ANTONs Zet x M.) 8,08 8,75 3 7,08 4 8,4 Tabelle 3. Beobachtuge vo Bedezete ud Systemverwelzete Aus de der Tabelle gegebee Beobachtuge erhalte wr als Schätzwert für de mttlere Bearbetugszet durch ANTON ud de erwartete mttlere Kudeverwelzet m System: x =8,08. Wr wolle e Itervall für de erwartete Bearbetugszet EX kostruere, welchem se mt 95% Scherhet legt. Es st also =0,05 vorgegebe. Gemäß 3.) st deses Itervall gegebe durch I x u = 8,08 u0,975 Für u0,975) lese wr aus der Tabelle der Stadardormalvertelug ab: u0,975)=,96 Daraus ergbt sch das gesuchte Toleraztervall zur Irrtumswahrschelchket 0,05. De erwartete Bearbetugszet vo ANTON für das Wasche ees Autos legt mt 95%ger Scherhet m Itervall :

29 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße I 8,08 0,98 [7, ; 9,06] Zu b) Für =0,0 99% ge Scherhet) erhalte wr mt u ) =u0,995)=,576 das Toleraztervall : I 8,08,88 [6,79 ; 9,368] welchem jetzt mt 99 %ger Scherhet legt. Für festes glt: Je größer ma de Scherhetswahrschelchket wählt, desto größer wrd das Quatl u ) ud desto breter wrd folglch das Itervall. Das Zel besteht dar, möglchst klee Itervalle mt möglchst hoher Überdeckugswahrschelchket zu kostruere. Be festem ka ma schmalere Itervalle ur auf Koste der Scherhet erhalte. Be vorgegebeer Scherhet ka de Itervallbrete ur durch ee Erhöhug des Stchprobeumfags verrgert werde. 3.. Berechsschätzuge für EX mt vorgegebeer Geaugket- Stchprobeumfagsbestmmug Wr wsse, dass glt: P [ X, X ]) mt u 3.4) Ageomme, wr gebe us ee Geaugket o vor, de mt deser Scherhetswahrschelchket - mdestes egehalte werde soll. Um zu erreche, dass 3.4) für = 0 glt, müsse wr de Stchprobeumfag so wähle, dass deser de Bedgug u ) 0 3.5) erfüllt. Aus 3.5) folgt damt für de Stchprobeumfagsformel:

30 - 8 III. Schleßede Statstk Bestmmug des otwedge Stchprobeumfages ) u 0 3.6) Wähle wr gemäß 3.6), so erhalte wr P [ X, ]) X 0 0 Bespel. Ageomme, wr wolle de Bedezet vo ANTON der Autowaschalage mt eer Geaugket vo = 0,5 = 0) ud mt eer Scherhet =0,95 schätze. De ver Beobachtuge der Tabelle 3. reche dazu cht aus; her habe wr ur ee Geaugket vo = u,96 0, 98 erhalte. We vele zusätzlche Beobachtuge muss ma mache, um de geforderte Geaugket 0,5 zu erreche? Lösug: Gemäß 3.6) ergbt sch f ür de otwedge Stchprobeumfag: u ),96 ) = 0 0,5 = 5,37 Wr müsse sgesamt = 6 Beobachtuge mache, um de geforderte Bedguge a Geaugket ud Scherhet zu erreche. D.h., es sd - 0= zusätzlche Beobachtuge der Bedezet durchzuführe. 3. Bereche Se de otwedge Azahl zusätzlcher Beobachtuge, um mt 95%ger Scherhet ee Berechsschätzug für de erwartete Bedezet EX mt der Geaugket vo =0, Mute zu erhalte!

31 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Prüftervalle für EX= Wr wolle prüfe, ob glt = EX = o für e vorgegebees o. We = o wäre, würde ach 3.4) gelte: P o [ X, X ]) mt u Wege [ X, X ]) P X P o müsste also m Falle, 0, 0 dass = o st, de Schätzfukto X mt hoher Wahrschelchket -)) m Prüftervall 0, 0 lege. User Prüftervall st also: 0, 0 mt u 3.7) Prüfkrterum für =0 Ud user Etschedugskrterum lautet: X X Der Aussage o 0 0, ka cht wdersproche werde. 3.8) 0, De Aussage st falsch! o 0 De Wahrschelchket, de Aussage für falsch zu erkläre, obwohl se korrekt st, beträgt da. Bespel. ANTON behauptet, dass er m Schtt ur 7 Mute für das Wasche ees Autos beötgt. Wr prüfe das auf der Bass der 4 Tabelle 3. gegebee =4 Beobachtuge vo ANTONs Bedezet mt eer Irrtumswahrschelchket vo =0,05. We de Aussage vo ANTON stmmt, müsste X mt 95%ger Scherhet m Prüftervall: X 0, 0 für 0 = 7 ud u = 0,98 lege. Also st zu prüfe, ob für usere Schätzwert x glt: 6,0 ; 7,98 x.

32 - 30 III. Schleßede Statstk Wr erhalte für usere 4 Beobachtuge de Wert x 8,086,0 ; 7,98 ud lehe damt de Aussage vo ANTON als falsch ab! Allerdgs mt der Irrtumswahrschelchket vo 0,05. D.h., dass deses Verfahre sch be 00 Aweduge 5 m Schtt mal rrt). 3. Fall: X st cht ormalvertelt, EX =, VarX)=, bekat Der Tolerazberech für wrd auf der Bass der Kets der Wahrschelchketsvertelug vo X berechet. Ist X ormalvertelt, so galt de Bezehug X ~ N, ). Sd X ud damt de X,, X vo X cht ormalvertelt, so glt folgt aus dem Zetrale Grezwertsatz sehe Kaptel ), dass X für -> gege ee Normalvertelug kovergert, d.h. dass äherugswese für große glt: 3.9) X N, ) für 0 Damt erhalte wr mt 3.3) ebefalls e Toleraztervall für, welches äherugswese für 0 de Überdeckugswahrschelchket - bestzt. 3.7) ud 3. 8) sd als Prüftervall bzw. Prüfkrterum verwedbar, de für 0 de Irrtumswahrschelchket äherugswese ehalte. De Formel 3.6) für de otwedge Stchprobeumfag zum Ehalte eer vorgegebe Geaugket ud Scherhet blebt ebefalls erhalte, wobe zu beachte st, dass uabhägg davo, welches berechet wurde, falls de Normalvertelug cht vorlegt, der Stchprobeumfag 0 se muss!!! Übugsaufgabe Fallstude

33 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße De Vertelug vo Stchprobefuktoe 4. De - Vertelug Satz4.: See X,, X stochastsch uabhägge stadardormalvertelte Zufallsgröße. Da bestzt de Quadratsumme X ee -Vertelug mt Frehetsgrade. Wr schrebe: X ) ) ~ Abbldug 4. gbt ee Vorstellug über de Gestalt der Dchtefukto der -Vertelug Abhäggket der Frehetsgrade. De -Vertelug hägt vo eem Parameter, dem sogeate Frehetsgrad FG), ab ud wrd mt abgekürzt bezechet. Der FG st ee atürlche Zahl ud bestmmt de FG Form der Dchtefukto. De Dchtefukto st cht symmetrsch. Ist X, so glt EX = FG ud Var X) = FG. FG -Vertelug Abbldug 4. Dchtefukto der - Vertelug mt,4 ud 8 FG Wr beötge m Wetere ledglch de Quatle x der -Vertelug.

34 - 3 III. Schleßede Statstk Quatle Defto: Se X ee stetge Zufallsgröße mt der Dchte fx) ud der Vertelugsfukto F. De Zahl x heßt uteres) -Quatl der Vertelug F, falls glt: x P X x ) F x ) f x) dx Ist de Vertelug vo X symmetrsch we be Normalvertelug), so glt offeschtlch - x = x.. f x) f x) x F x) x x 0 x x x x x Abbldug 4.: Quatle De Quatle der -Vertelug sd der Tabelle A3 m Ahag A zusammegestellt. De Eträge deser Tabelle sd de Werte x ud, so dass glt: P X x ) bzw. P X x ). Bespel: Ist X -vertelt mt 3 Frehetsgrade, so köe wr aus der Tabelle A3 ablese: Der Wert x, für de glt : PX x ) = 0,9, st x = 6,5. Für x = 7,8 erhalte wr P X > x) = 0,05.

35 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Se X FG. Vervollstädge Se folgede Tabelle a de durch gekezechete Stelle! FG x 3 0, , ,9 - Für de Streuug eer Stchprobe glt folgeder wchtger Satz: Satz 4.: See X,, X ee Stchprobe eer N, )-vertelte Zufallsgröße X, d.h. ~ N, ), =,..., see stochastsch uabhägg ud we X ormalvertelt. X Se X S = X Da glt das arthmetsche Mttel ud X X ) de Streuug der Stchprobe X,, X. 4.) S ) ~ Daraus ka ma Tolerazbereche für zur Scherhetswahrschelchket - bereche. 4. a) We groß sd ES ud VarS )? b) Warum st S ee kosstete Schätzfukto für? c) We groß st PS = )? 4. De t-vertelug De t-vertelug st ee Vertelug, de vo eem Parameter, dem Frehetsgrad FG) abhägt; wr schrebe t FG. De Dchte der t-vertelug st symmetrsch um x = 0. Es glt für X t FG : EX = 0 ud VarX) =FG / FG-). t-vertelug

36 - 34 III. Schleßede Statstk Für FG kovergert de t-vertelug gege ee Stadardormalvertelug; de Approxmato X N0,) wrd üblcherwese berets ab FG 30 verwedet. Abbldug 4.3: Dchtefukto der t-vertelug für,5 ud 00 FG De t-vertelug etsteht als Vertelug des Quotete eer Stadardormalvertelte ud der Wurzel aus eer -vertelte Zufallsgröße. Satz 4.3: Se Z~N0,) vertelt ud Y~ vertelt. Da glt Z ~ t Y Ee Awedug der t-vertelug st de folgede: Aus Abschtt wsse wr, dass das arthmetsche Mttel X X eer Stchprobe vo X~ N,) als Schätzfukto für de ubekate Erwartugswert EX= der Zufallsgröße X ee Normalvertelug X ~ N, ) bestzt, woraus folgt, dass de stadardserte Größe X ) Z= ~ N0,) 4.) vertelt st.

37 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße S Aus 4.) wsse wr, dass Y= ) ~ vertelt st. Ersetze wr 4.) durch S so ergbt sch de Größe X ) S Z Y / ) ~ t 4.3) de gemäß Satz 4.3 t-vertelt mt - Frehetsgrade st. Daraus erhalte wr ee Tolerazberech für de Erwartugswert EX= be ubekater Varaz VarX)= vo X Se X t FG. Vervollstädge Se folgede Tabelle : FG x 3 0,05 7, ,9 See X,...,X ee Stchprobe eer ormalvertelte Zufallsgröße X ~ N, ) ud X X de Schätzfukto für de ubekate Erwartugswert EX= der Zufallsgröße X. Zege Se, dass da S S I = X t, X t 4.4) ee Berechsschätzug für zur Irrtumswahrschelchket st, d.h. zege Se, dass glt: PI) = - Herbe st t -p) das p-quatl der t-vertelug mt - Frehetsgrade.

38 - 36 III. Schleßede Statstk 4.3 De F-Vertelug De F-Vertelug st defert als Quotet zweer -vertelter Zufallsgröße. Defto: See X~ ud Y~ zwe -vertelte Zufallsgröße. Da st der Bruch Z=X/Y F-vertelt mt de bede Frehetsgrade ud : X / Z = ~ F, Y / 4.5) De F-Vertelug hägt vo zwe Parameter FG, FG ab, de ebefalls als Frehetsgrade der Vertelug bezechet werde. De F-Vertelug wrd mt F FG, FG bezechet. FG sd atürlche Zahle ud bestmme de Form der Dchtefukto. De Rehefolge der FG-Parameter st für de Gestalt der Dchtefukto sgfkat, d.h., es st: F FG, FGF FG, FG für FGFG. Abbldug 4.4: Dchtefukto der F 0, - Vertelug Ee Awedug der F-Vertelug st de folgede: Aus 4.) wsse wr, dass für de Stchprobestreuug S = eer N, ) vertelte Stchprobe See u ud S S S X,, ) ~ X glt X X ) de Stchprobestreuug eer N, )-vertelte Stchprobe de Stchprobestreuug eer N, )-vertelte Stchprobe.

39 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Da st der Bruch: S S / / ~ F ; 4.6) offeschtlch F-vertelt mt - ud - Frehetsgrade. Daraus ka ma z.b. ee Hypothesetest zum Prüfe der Glechhet der Varaze ud herlete. 4.5 Wese Se de Formel 4.6) ach! Wr beötge m Wetere weder ledglch ur de Quatle der F- Vertelug. Dese sd tabellert. De Eträge dese Tabelle sd de Werte x ud, so dass glt: P X x ) bzw. P X x ). I de Tabelle A5 des Ahags sd de -Quatle F - Vertelug zusammegestellt, de wr m Wetere beötge werde. Für de Quatle x = F m,m) der F-Vertelug ka ma zege, dass glt: F m,m) = / F m,m -) 4.7) Aus Tabelle A5 erhalte wr bespelswese so für das utere,5%-quatl der F-Vertelug mt 3 ud 7 Frehetsgrade de Wert F 3, 70,05) = / F 7, 30,975) = / 4, Se X de zufällge Bedezet userer Auto-Waschalage. Bereche Se de Bedezet x, de ur,5 % aller Fälle uterschrtte wrd, falls glt a) X ~ F 7,3 b) X ~F 3,7 c) X~F 5,

40 - 38 III. Schleßede Statstk 5 Toleraz- ud Prüftervalle für Erwartugswerte ud Varaze 5. Toleraz- ud Prüftervalle für de Varaz VarX)= eer N, ) vertelte Zufallsgröße X Se ee X ~ N, ) vertelte Zufallsgröße mt EX= ud VarX)=. se ubekat ud zu schätze. Dazu mache wr ee Stchprobe X,,X Beobachtuge vo X. vo uabhägge zufällge Wr schätze durch de erwartugstreue Schätzfukto S X X ) mt X X Aus Kaptel 4. Formel 4.) wsse wr, dass de mt dem Faktor multplzerte Zufallsgröße S ee - Vertelug mt - Frehetsgrade bestzt: 5.) ) S ~ Daraus ergbt sch folgeder Zusammehag zwsche der Vertelugsfukto F S ) vo S ud der Vertelugsfukto x F x) eer - Vertelug mt - Frehetsgrade: ) ) ) 5.) F x) P S x) P S x F x S

41 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Satz 5. Se ee X ~ N, ) ud X,,X ee Stchprobe vo uabhägge zufällge Beobachtuge vo X. Se X X S ) mt X X Da glt: ) Das Itervall: ) / ; ) / I P 5.3) st e Prüftervall für zur Scherhet -; d.h. es glt mt Wahrschelchket -: ) / ) / S 5.4) ) Das Itervall ) / ) ; ) / ) T S S I 5.5) st e Toleraztervall für zur Scherhet -; d.h. es glt mt Wahrschelchket -: ) / ) ) / ) S S 5.6) Bemerkug: ) 5.5) bedeutet: Ist de Hypothese H: VarX)= 0 wahr, so muss de Schätzug S mt der Wahrschelchket - m Prüftervall ) / ; ) / 0 0 I P lege.

42 - 40 III. Schleßede Statstk Wr wähle der Regel - sehr hoch z.b.= 0,95 oder 0,99). Ist de Hypothese wahr, so würde ur 00% 5% oder %) aller Fälle S außerhalb des Prüftervalls lege. Legt jetzt ee kokret ermttelte Schätzug s m Prüftervall, so etschede wr us für de Gültgket der Hypothese, legt s außerhalb, so etschede wr us gege de Hypothese. Der Fehler sch gege de Hypothese zu etschede, obwohl se wahr st gerade ur 5 oder vo 00 Fälle rre wr us). ) 5.6) bedeutet: E ubekates legt mt der Wahrschelchket - Im Tolerazberech I T. Wr versuche, de wahre ubekate Wert für durch ee solche Berech zu ermttel, der möglchst kle st ud ee hohe Scherhet - bestzt. Bemerkug: Wege ) S / ) S / ) ud ) S / ) / ) S glt folgede Äquvalez zwsche Toleraztervall 5.6) ud Prüftervall 5.5): 5.7) ) S / ) / ) ) S / ) S / ) bzw. 5.8) IT S I P

43 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Bewes zum Satz 5.: Zu ) Uter Verwedug der Trasformatosformel 5. ) erhalte wr: ) / ) / S P / / ) / ) / ) / ) / F F F F Zu ) Aus der Äquvalez 5. 7) zwsche Toleraz ud Prüftervall folgt da sofort ) / ) S P ) / ) S = ) / S P ) / =-. q.e.d 5. Lete Se aus dem Prüftervall 5.3) bzw. 5.4) für de Varaz VarX)= e Prüftervall für de Stadardabwechug DXX)= her! Übugsaufgabe Fallstude

44 - 4 III. Schleßede Statstk 5. Toleraz- ud Prüftervall für EX= be ubekater Varaz VarX)= 5.. Toleraz- ud Prüftervall für EX= be ubekater Varaz, X~N, ) Ist X~N, ) so glt für das arthmetsche Mttel eer Stchprobe vo X: X ~ N, Zufallsgröße: ). Daraus folgt ach Reproduktossatz für de stadardserte 5.9) X ) ~ N0,) Ist ubekat, so ersetze wr der Formel 5. 9) erwartugstreue Schätzug durch de S X X ) bzw. durch S. ud betrachte astelle vo 5.9) de Größe 5.0) T= X ) S Dese st zwar cht mehr Stadardormalvertelt, aber we folgeder Satz besagt, t-vertelt: Satz 5.: See X,, X stochastsch uabhägge ormalvertelte Zufallsgröße mt EX= ud VarX )=,,,. See X ud S das arthmetsche Mttel ud de Stchprobevaraz der Beobachtuge. Da glt:

45 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße De Größe T = X ) ~ t 5.) S bestzt ee t - Vertelug mt - Frehetsgrade: T ~ t - Als Folgerug aus desem Satz erhält ma sofort : Satz 5.3: ) Das Itervall Uter de Voraussetzuge des Satzes 5. glt: Berechsschätzug für ee ubekate Systemparameter S S I T X t, X t 5.) st e Toleraztervall =Berechsschätzug) für =EX mt der Irrtumswahrschelchket. ) Das Itervall S S I P t, t 5.3) st e Prüftervall zum Prüfe, ob EX= st mt der Irrtumswahrschelchket Herbe st t k p das p-quatl der t-vertelug mt k Frehetsgrade. Bemerkug: Es glt weder de Äquvalez zwsche Prüf-ud Toleraztervall: I X 5.4) T I P

46 - 44 III. Schleßede Statstk Bewes: Es st ) ) )) ) ) ) ) )) ) ) ) T P t F t F t F t S X t P t S X t S P I P I X P qed. Bemerkug: Wr beötge zur Berechug der Prüf- ud Toleraztervalle de Quatle ) t. Dese sd Tabelle A4 des Ahags tabellert. Bespel: Wr betrachte weder user Bespel der Waschalage aus Kaptel 3. 4 Beobachtuge der Autowaschalage ergabe für de Bearbetugszet durch de Beschäftgte ANTON folgede Werte: Lauf ANTONs Zet x M.) 8,08 8,75 3 7,08 4 8,4 Tabelle 5. Beobachtuge vo Bedezete Aus de der Tabelle gegebee Beobachtuge erhalte wr als Schätzwert für de mttlere Bearbetugszet durch ANTON ud de Streuug der Date x =8,08 ud s = = )

47 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Wr wolle e Itervall für de erwartete Bearbetugszet EX vo ANTON kostruere, welchem se mt 95% Scherhet legt. Es st also =0,05 vorgegebe. Für de =4 Smulatosläufe lese wr aus Tabelle A4 das Quatl der t-vertelug mt 3 FG ab: t ) = t 30,975) = 3,8 Daraus folgt für de Geaugket des Toleraztervalls für EX: s = t ) = 3, ) / = De erwartete Bearbetugszet Scherhet m Itervall : EX vo ANTON legt also mt 95%ger = [6.93 ; 9. 3 ] Mute Für =0,0 99% ge Scherhet) erhalte wr mt t ) =t 30,995)=5,84 de Tolerazschätzug : 8,08. = [ 5.97 ; 0.99 ] De Scherhet mt der EX desem Itervall legt st zwar höher, aber dafür st das Itervall breter, d.h. de Agabe über EX ugeauer. Um de Itervallbrete zu verrger, müsse wr weder de Stchprobeumfag erhöhe. Zusammefassug: Berechug des Toleraztervalls I T zur Scherhet für =EX:. Se x,, x ee Stchprobe vom Umfag. Berechug der Schätzuge x = x ud s x x) m Falle I T ud ur vo s m Falle I P.. Ablese des Quatls t ) aus Tabelle A4 3. Berechug des Itervalls s s I x t x t T ), ) oder

48 - 46 III. Schleßede Statstk I P S t S, t 5. Se X de zufällge Bedezet userer Auto-Waschalage. 4 Beobachtuge der Autowaschalage ergabe für de Systemverwelzet Y ees Autos der Alage folgede Werte: Lauf ANTONs Zet x M.) Systemverwelzet y Mute 8,08 3,74 8,75 4,53 3 7,08 3,84 4 8,4 3,98 Tabelle 5. Beobachtuge vo Bedezete ud Systemverwelzete Bereche Se ee Schätzug ud ee Tolerazberech zur Scherhet - = 0,95 für de erwartete Systemverwelzet EY! 5.. Stchprobeumfagsbestmmug De halbe Brete des Prüf-bzw. Toleraztervalls st S 5.5) t Ud wrd als Geaugket der Itervalle bezechet. Für festes glt: Je größer ma de Scherhetswahrschelchket wählt, um so größer wrd das Quatl t ) ud um so breter wrd das Itervall. Das Zel besteht dar, möglchst schmale geaue) Itervalle mt möglchst hoher Überdeckugswahrschelchket zu kostruere.

49 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Be festem ka ma schmalere Itervalle ur auf Koste der Scherhet erhalte. Be vorgegebeer Scherhet ka de Itervallbrete ur durch ee Erhöhug des Stchprobeumfags verrgert werde. Dazu gebe wr us ee Geaugket 0 vor ud bereche so dass glt: t ) s 0 5.6) Nu häge sowohl s als auch das Quatl t ) vo ab, so dass sch dese Uglechug cht efach ach umstelle lässt. I der Praxs st folgedes -stufge Verfahre üblch.. Wr bereche zuächst für ee sogeate Plotstchprobe vom Umfag 0 der Praxs legt 0 zwsche ud 5) ee Afagsschätzug für de Varaz.. Aschleßed wrd der Stchprobeumfag so berechet, dass 5.6) glt. Dabe wrd 5. 6) s durch s 0 ud wege der äherugswese Überestmmug der t-vertelug mt der Stadardormalvertelug) für 30 das Quatl t ) durch das vom Stchprobeumfag uabhägge Quatl u- ) der Stadardormalvertelug ersetzt. Der beötgte Stchprobeumfag st da de kleste atürlche Zahl, de de folgede Bedgug erfüllt: u ) s 0 5.7) 0 Da de Näherug der t-vertelug durch de Normalvertelug ur für 30 gut geug st, müsse wr für de Stchprobeumfag vo vorhere, d.h. uabhägg vo der Lösug, de sch aus 5.7) ergbt forder: Bedgug: ) s 0

50 - 48 III. Schleßede Statstk 3. Ma schätzt ud ereut mt der Gesamtstchprobe vo Beobachtuge ud berechet das Kofdeztervall für gemäß der Formel 5.6). 4. De Brete deses Itervalls sollte ugefähr betrage; st es och zu groß, so wederholt ma de Schrtte ud 3 mt 0:= ud s 0:=s. Bespel: Ageomme, wr wolle de Systemverweldauer der Autowaschalage mt eer Geaugket vo =0, ud mt eer Scherhet =0,95 schätze. De ver Beobachtuge der Tabelle 4 reche dazu cht aus; her habe wr ur ee Geaugket vo =0,56 erhalte. We vele zusätzlche Beobachtuge muss ma mache, um de geforderte Geaugket 0, zu erreche?. Mt de 0=4 Beobachtuge aus der Tabelle 5. erhalte wr s 0=0,354. Wr lese aus der Tabelle A das Quatl u- ) der Stadardormalvertelug für =0,05 ab. Wr erhalte u-0,05) = u0,975) =,96. Für de beötgte Stchprobeumfag ergbt sch damt : u ) s,960,354) = 0, = 47, Wr müsse sgesamt = 48 Beobachtuge mache, um de geforderte Bedguge a Geaugket ud Scherhet zu erreche. D.h., es sd - 0= 45 zusätzlche Beobachtuge der Systemverwelzet durchzuführe. 5. Se X de zufällge Bearbetugszet vo ANTON userer Auto-Waschalage Tabelle 5.. Bereche Se de Stchprobeumfag der ötg st, um de erwartete Bedezet EX vo ANTON mt eer Geaugket vo =0, ud eer Scherhet vo -=0,95 zu schätze. We vele Beobachtuge vo ANTON s Zete sd zusätzlch zu de 4 berets vorhadee otwedg?

51 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Toleraz- ud Prüftervalle für =EX be ubekater Varaz ud für = VarX) für cht ormalvertelte Zufallsgröße De Grudlage der Toleraz- ud Prüftervalle für EX ud VarX) blde de t-vertelug des arthmetsche Mttels ud de - Vertelug der Streuug. Dese Verteluge beruhe wederum auf der Tatsache, dass de Summe ormalvertelter Zufallsgröße weder ormalvertelt sd. Auch we X bzw. de Stchprobe X,, X cht ormalvertelt st, folgt aus dem Zetrale Grezwertsatz sehe Kaptel ), dass für 0 de Summe äherugswese ormalvertelt sd. Wr erhalte folgede Aussage: ) De Vertelug vo Vertelug a ) S ähert sch für eer - ) De Vertelug vo X ) S Vertelug a. ähert sch für eer t -- I der Praxs wr für Bedgug: 0 5.9) de Approxmato ) S ud X ) t S verwedet.

52 - 50 III. Schleßede Statstk Damt blebe uter der Bedgug 5.9) alle de vorge Abschtte berechete Toleraz- ud Prüftervalle für EX = ud VarX)= ud de Formel 5.7) für de Stchprobeumfagsbestmmug gültg. De Irrtumswahrschelchket userer Itervalle wrd äherugswese egehalte.

53 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Kotrollregelkarte 6. Hypthese ud Prüftervalle zur Überwachug der laufede Produkto Häufg muss der laufede Produkto überwacht bzw. überprüft werde, ob vorgegebee Normwerte ud Abwechuge vo der Norm, z.b. Erwartugswert ud Varaz ees zufällge Objektmerkmals, bestmmte Vorgabe erfülle oder davo abweche ud ee Produktosegrff erforderlch mache. D. h. der laufede Produkto wrd regelmäßge Zetabstäde überprüft, ob de Aahme Hypothese) H: EX = 0 oder H: VarX) = oder 0 H: EX = 0 ud VarX) = 0 wahr sd. Z.B. wrd st be der Herstellug vo Drehtele zu prüfe, ob der erwartete Norm-Durchmesser EX = 00 mm = o ud de erlaubte Stadardabwechug SDX) = 0 = 0, mm egehalte wrd oder ob es ee systematsche Abwechug davo der Produkto gbt, de e Egrefe erfordert! We de o.g. Hypothese stmme würde, so müsste de Schätzuge X ud S mt Wahrschelchket - de zugehörge Prüftervalle lege: X be bekatem u / ) 0 0 I P, o ud S ) / ) 0 ; ) / ) 0 I P, 0

54 - 5 III. Schleßede Statstk 6. SPC-Regelkarte ud Prüfetscheduge 6.. Was sd Kotrollregelkarte Das Ermttel vo Schätzuge x ud s ud das regelmäßge Prüfe über ee lägere Zetraum, ob dese Schätzuge de zugehörge Prüfbereche lege, gescheht durch de sogeate Kotroll-bz. Prozessregelkarte der sogeate SPC Statstsche Prozesskotrolle). Kotrollregelkarte ethalte: Kartekopf: allgemee Date zum Prozess,was, we, womt, wer) - Art der Stchprobeetahme: Zet-Itervall ud Umfag der Stchprobeetahme usw.), - Kotrollveratwortlche usw. - Tabelle der Stchprobeergebsse: Ezelwerte jeder Stchprobe, Date zu Lage ud Streuug der Stchprobe für jedes Zettervall Lagespur: Zetabhägge Darstellug der berechete Date zur Lage der Stchprobe Mttelwert, Meda usw.) Streuugsspur: Zetabhägge Darstellug der ausgewertete Date zur Streuug der Stchprobe Streuug, Stadardabwechug, Spawete, usw.)

55 Vertelug vo Fuktoe vo Zufallsgröße Im Laufe der Kotrolle werde des Karte mt de Messdate gefüllt. Bespel: x / s- Kotrollregelkarte: Art: x - Kotrollregelkarte Abschtt: Wckel vo Feder Zel: Überwachug der Ausgagsfestgket der Drähte, Veratwortug: Heer Musterma, Abtelug ERB/3 Messug: x = Werte für Zereßlaste dan, pro Tag, =5

56 - 54 III. Schleßede Statstk 6. Trage Se de Date der der Vorlesug ausgetelte Kotrollregelkarte für 0 = 3 ud 0 = ab! 6.. Auswertug vo Kotrollregelkarte Für das Prüfe mttels Prüftervalle müsse de Greze der Itervalle, de ma auch als Egrffsgreze bezechet, festgelegt werde. E Prozess wrd als beherrscht bezechet, we de Egrffsgreze cht über- bzw. uterschrtte werde ud kee auffällge Muster auftrete. Um Muster besser erkee zu köe, bzw. scho frühzetger erkee zu köe, ob der Prozess aus dem Ruder läuft, werde erhalb der Egrffsgreze wetere Greze, sogeate Wargreze defert. Für das Festlege der Greze gbt es zwe grudsätzlche Vorgeheswese. ) Wr lege de Irrtumswahrschelchket bzw. Scherhetswahrschelchket - fest. Wr bezeche dabe.a. de Greze deser Itervalle für -= 0,9 ud 0,95 als Wargreze ud für -=0,99 als Egrffsgreze. We de Schätzug außerhalb der Egrffsgreze legt obwohl se mt 99%ger Wahrschelchket dar lege müsste), so heßt das, dass de Produkto aus dem Ruder gelaufe st, de Hypothese muss abgeleht werde; de Produkto muss gestoppt ud achjustert werde. Legt de Schätzug erhalb der Wargreze, so st alles OK. Legt se zwsche War- ud Egrffsgreze, so begt de Produkto aus dem Ruder zu laufe ud muss möglchst m laufede Betreb achjustert werde.