Tests/Regression/ANOVA. Lösungen Blatt Test auf den unbekannten Erwartungswert bei unbekannter Streuung:

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1 Löuge latt 7. Tet auf de ubekate Erwartugwert be ubekater Streuug: () H 0 : µ 0, 5 H : µ < 0, 5 (lketger Tet) X µ () Tetfukto: Ψ (t-vertelt mt (-)99 G) 0,497 0,5 Realerug: ψ 00 5, 57 0,0075 (3) krtcher erech: W { ψ ψ t t,345} : 99; ;0. 99 (4) Etchedug: ψ 5,57, d.h. de Nullhypothee wrd abgeleht.. Tet auf de ubekate Streuug: α 0, 05 () H 0 : σ, 7 H : σ <, 7 (lketger Tet) () Tetfukto: Ψ (Ch-Quadrat-vertelt mt (-)00 G) σ 00,37 Realerug: ψ 77, 47,7 (3) krtcher erech: W { ψ : ψ χ 77,99} 00;0.05 (4) Etchedug: ψ 77,47, d.h. de Nullhypothee wrd abgeleht. 3. Tet auf Erwartugwert be ubekater Streuug: α 0, 05 () Hypothee: H 0 : µ 0, H : µ 0, (zweetg) X 0 µ () Tetgröße: Ψ N (t-vertelt mt 5 rehetgrade) 0, 0, Realerug: ψ 3, 0,5 (3) krtcher erech: W { ψ ψ > t,3} : 5;0, 975 (4) Etchedug: ψ 3, ö H 0 mu abgeleht werde. 4. Tet auf Erwartugwert be bekater Streuug: α 0, 0 () Hypothee: H 0 : µ H : µ (zweetg) X µ () Tetgröße: Ψ 0 N (tadardormalvertelt) σ 0 Realerug: ψ 0, 08 3 W ψ ψ > z,57 : 0, 995 (3) krtcher erech: { } (4) Etchedug: ψ,08 5. Tet auf ubekate Streuug: α 0, 0 () Hypothee: H 0 : σ, 44 H : σ >, 44 (rechtetg)

2 S () Tetgröße: Ψ ( N ) (c -vertelt mt 4 rehetgrade) σ 0,5 Realerug: ψ 4 37, 5,44 (3) krtcher erech: W { ψ : ψ > χ 43} 4;0,99 (4) Etchedug: ψ 37,5. c -paugtet: α 0, 0 Schätzug der ubekate Parameter der ageommee Normalvertelug Klae Kl.-mtte x~ Kl.-häuf. H H ~ x x µ Φ : σ ~ x x H ( ~ x x) ( ) 48,5 5 4,5 -,55 3,55 49,5 544,5 -,55, , ,5-0,55 0, , ,5 0,45 5, ,5 3 8,5,45 7,335 53, ,5,45 4,075 S ,75 Erwartugwert: 505 x H ~ x 5, Streuug: ( ~ 44,75 x x) H, Stadardabwechug:,4, 09 () Hypothee: H 0 : 5,05 0 ( x µ x x) Φ Φ σ,09 () Tetfukto: ( H Np ) Ψ mt x x x x p Φ Φ Np Klae Kl.-mtte x~ ( x ud x + ) Kl.-häuf. H p N H p N p ( H Np ) 48,5 5 0,0449 4,49 0,5 0, ,5 0,478 4,78-3,78 0, ,5 35 0,909 9,09 5,9, ,5 9 0, ,04 -,04 0, ,5 3 0,, -3, 0,53 53,5 7 0,0534 5,34, 0,50 S ,4309 Realerug: ψ 3, 4309 (3) krtcher erech: W { ψ : ψ > χ χ,35} ( ) ;0,99 3;0,99 (4) Etchedug: ψ 3,4309, d.h. H 0 ka cht abgeleht werde. Np

3 7. Tet auf Erwartugwert be ubekater Streuug: α 0, 05 () Hypothee: H 0 : µ 4, 5 (a) H : µ 4, 5 (zweetg) (b) H : µ < 4, 5 (lketg) (c) H : µ > 4, 5 (rechtetg) X µ 0 () Tetgröße: Ψ N (t-vertelt mt 4 rehetgrade) 5,5 4,5 Realerug: ψ 5, 94,7 (3) krtcher erech: (a) W { ψ : ψ > t4;0, 975,0} (b) W { ψ : ψ < t4;0, 05,7} (c) W { ψ ψ > t,7} : 4;0, 95 (4) Etchedug: (a) ψ,94 ö H 0 mu abgeleht werde. (b) ψ,94 (c) ψ,94 ö H 0 mu abgeleht werde. 8. Tet auf Erwartugwert be ubekater Streuug: α 0, 05 () Hypothee: H 0 : µ 5 H : µ 5 (zweetg) X µ 0 () Tetgröße: Ψ N (t-vertelt mt 5rehetgrade),5 5 Realerug: ψ 0 3, 3,434 (3) krtcher erech: W { ψ ψ > t,} : 9;0, 975 (4) Etchedug: ψ 3,3 W ö H 0 mu abgeleht werde, d.h. e Lererfolg t augewee der Rattegruppe. 9. Tet auf ubekate Streuug: α 0, 05 () Hypothee: H 0 : σ, 5 H : σ, 5 (zweetg) S () Tetgröße: Ψ ( N ) (c -vertelt mt 9 rehetgrade) σ 0,05 Realerug: ψ 9 7, 40,5 (3) krtcher erech: W { ψ : ψ < χ,7 ψ > χ 9,0} 9;0,05 9;0,975 (4) Etchedug: ψ 7,40 0. c -paugtet für ee Glechvertelug: α 0, 05 () Hypothee: H 0 : ( x) 0, 0 t x 0 ( H () Tetfukto: Ψ Realerug: 0 ψ Np ) Np ( 00 0,) H 00 0, (c -vertelt mt 9 rehetgrade) 498 4,9 0 (3) krtcher erech: W { ψ : ψ > χ,9} 9;0,95

4 (4) Etchedug: ψ 4,9, d.h. H 0 mu abgeleht werde..(a) doppelter t-tet: () H 0 : µ µ H : µ µ ( α 0, 05 ) ( + ) µ µ () Tetgröße: Ψ + + t t-vertelt mt ( ) Realerug: ψ ( ) rehetgrade ,4 04, 4, ,8 38,3,747,44 84,33 (3) krtcher erech: W ψ : ψ > t t,07 + ; 3;0, 975 α wobe t t3;0,975, 07 + ; α (Tabelle!) da Quatl der t-vertelug t. (4) uwertug: ψ,44, d.h. de Nullhypothee H 0 wrd abgeleht (de Dügerorte ud habe alo ee uterchedlche Wrkug). (b) -Tet: () H 0 : () Tetgröße: σ σ H : σ σ ( α 0, 0 ) Ψ t -vertelt mt ( ; ) rehetgrade 39,4 Realerug: ψ, 08 37,8 (3) krtcher erech: W ψ : ψ < 0,330 >,4 9;4;0,05 ; ; ; ; 9;4;0, 95 α ψ α wobe 9;4;0,05 0, 330 ; ; α ud 9;4;0,95, 4 ; ; α de Quatle der -Vertelug (Tabelle!) d. (4) uwertug: ψ,08, d.h. de Nullhypothee H 0 wrd cht abgeleht (de Streuuge der Dügerorte ud köe alo al glech ageomme werde)..(a) doppelter t-tet: () H 0 : µ µ H : µ µ ( α 0, 05 ) ( + ) µ µ () Tetgröße: Ψ + + Realerug: t t-vertelt mt ( + ) 9 3 ( ) ψ rehetgrade ,97,9, 8 3,90 + 4,57 (3) krtcher erech: W ψ : ψ > t t,09 + ; 0;0, 975 α wobe t t0;0,975, 09 + ; α (Tabelle!) da Quatl der t-vertelug t. (4) uwertug: ψ,, d.h. de Nullhypothee H 0 wrd abgeleht (de utterorte für ud für habe alo ee uterchedlche Wrkug).

5 (b) -Tet: () H 0 : σ H : σ σ σ ( α 0, 05 ) () Tetgröße: Ψ t -vertelt mt ( ; ) rehetgrade 3,90 Realerug: ψ 0, ,57 (3) krtcher erech: W ψ : ψ < 0,4 > 3,5 8;;0,05 ; ; ; ; 8;;0, 975 α ψ α wobe 8;;0,05 0, 4 ; ; α ud 8;;0,975 3, 5 ; ; α de Quatle der -Vertelug (Tabelle!) d. (4) uwertug: ψ 0,8534, d.h. de Nullhypothee H 0 wrd cht abgeleht (de Streuuge der utterorte ud köe alo al glech ageomme werde). 3. Ch-Quadrat-Uabhäggkettet: E NE Summe G NG Summe Nullhypothee: G ud E d uabhägg. ( ) 000 Realerug der Tetfukto: χ ber W ψ : ψ > χ ; α χ ;0, 95 3,84 krtcher erech: { } 8,3 Wege χ ber 8, 3 > 3,84 ka de Nullhypothee der Uabhäggket vo G ud E abgeleht werde. 4. Ch-Quadrat-Uabhäggkettet: R NR Summe T NT Summe Nullhypothee: T ud R d uabhägg. ( ) 50 Realerug der Tetfukto: χ ber W ψ : ψ > χ ; α χ ;0, 99,3 krtcher erech: { } 8,3 Wege χ ber 8, 3 >,3 ka de Nullhypothee der Uabhäggket vo R ud T abgeleht werde. 5./. Löuge ehe MS-Excel-Mappe zur Sere 5 auf