Operationsforschung. (Zielfunktion) c a b R i m j n , = 1,2,..., ; = 1,2,...,.

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1 Opertoorchug. Lere Optmerug Problemtellug: Uter eem lere Optmerugoblem verteht m olgede Problem: (Zelukto) = z = c x opt uter olgede Nebebedguge: Dbe d: = x, =, b, =,,..., m x, x,..., x 0, (Nchtegtvtätbedgug) c b R m,,, =,,..., ; =,,...,. oder der Mtrzechrebwee Her d: { = < >= } opt z c x Ax ( ) b, x 0. c : = ( c ), =,,..., x : = ( x ), =,,..., A: = ( ), =,,..., m; =,,..., b : = ( b ), =,,..., m. E lere Optmerugoblem legt der Normlorm vor, we e olgede Getlt ht: { z = c x Ax = b x } mx, 0. Normlorm: E lere Optmerugoblem legt der Normlorm vor, we e olgede Getlt ht: { z = c x Ax = b x } mx, 0. Zuläge Löug, Mege der zuläge Löuge Betrchtet e e lere Optmerugoblem Normlorm. E Pukt x mt x 0, zuläge Löug. De Mege M = { x A x = b, x 0} A x = b heßt

2 heßt de Mege der zuläge Löuge. Zuläge Blöug Ee zuläge Löug x eer lere Optmerugugbe heßt ee zuläge Blöug, we de Vektore der Nebebedguge, de zu de potve Kompoete vo x gehöre, ler ubhägg d. B der zuläge Blöug, Bvrble, Nchtbvrble E Sytem vo m ler ubhägge Vektore der Nebebedguge, d lle Vektore der Nebebedguge ethält, ür de x > 0 t, heßt B der zuläge Blöug. De de Bvektore etechede Kompoete der zuläge Blöug heße Bvrble, de übrge Kompoete Nchtbvrble. Degeererte ud Nchtdegeererte Blöug Se r de Azhl der potve Elemete eer Blöug. I r = m, o heßt de Blöug chtdegeerert. Im Flle r < m heßt de Blöug degeerert. Optmllöug Ee zuläge Löug x * heßt Optmllöug ee lere Optmerugoblem, we Der Smplex- Algorthmu c x* c x, x M. Schrtt: Wähle ee Nchtbvrble, um e zu eer Bvrble zu mche. De Nchtbvrble x r wrd durch olgede (K-)Regel gewählt: zr = m{ z = cb c }, z r < 0. J Dbe t J de Mege der Idze der Nchtbvrble. Sd lle z 0, J, d tellt dee Blöug ee Optmllöug dr. Schrtt : Wähle ee Bvrble, um e zu eer Nchtbvrble zu mche. Se x B de te gewählt: Kompoete vo x B. D wrd p x B ch olgeder Regel p x B x B ε = = m r > 0, =,..., m. r Glt r < 0 ür lle =,,..., m, d t de Zelukto ubechräkt u der Mege der zuläge Löuge.

3 Schrtt 3: D Pvotelemet heßt u. bezechet. De Koezete de lte bleu ee mt De Koezete de eue bleu, bezechet mt, werde olgedermße berechet: p p b =, bp = p bp =, b = b, p p r r bp z = z z, = z. p r r Durch Wederholug der Schrtte 3 wrd ee Optmllöug geude. rportoptmerug Vogelche Apoxmtomethode (VAM)- Der Algorthmu. Bechte ür ede Rehe (Zele ud Splte) de rporttbleu de Derez zwche de bede edrgte rportkote. Sd de mmle Kote cht edeutg, t de Derez glech Null.. Wähle de (bzw. ee) Rehe mt der größte Derez. 3. Belege deer Rehe d Feld mt de edrgte Kote mxml. 4. Reduzere d bleu um de etllee Rehe ud wederhole d Verhre olge b de Gemtkpztät (= Gemtbedr) volltädg vertelt t. Algorthmu der modzerte Dtrbutomethode. Ermttle ee zuläge Blöug.. Bereche gemäß Stz S De Größe u, =,,... m; =,,...,. 3. Ermttle ür de NchtbFelder de Größe c = u + v. 4. Glt c = c c 0,,. o t de Löug optml. Betmme de optmle Zeluktowert. 3

4 5. Glt ( ) c = c c < 0, ür mdete e,, o ermttle c = M( c c ) < 0. lk (, ) Blde ugehed vom Feld ( l, k) ee Zyklu. Kezeche de Ecke de Zyklu beged mt dem Feld ( l, k) mt +, -,,+. 6. Betmme ür de Mu -Felder de mmle rportmege. Addere dee Größe zu de rportmege der Plu -Felder ud ubtrhere e vo dee der Mu -Felder. 7. Gehe zurück zum Schrtt. Bemerkuge: Glt ür de optmle Löug ee klche rportoblem c = c c = 0 ür mdete e Nchtbeld, d ht d Problem mdete ee wetere Optmllöug. Dee erhält m dem m de etechede Vrble zur Bvrble mcht ud ee wetere Schrtt rechet. See x * ud x * de dbe erhltee optmle Blöuge. D tellt x* = α x * + ( α) x *, 0 α, lle Optmllöuge de klche rportoblem dr. It de Azhl der potve Kompoete eer zuläge Blöug kleer l m +, o wrd e cht möglch e, lle u, =,,..., m; v, =,,...,, zu betmme. I deem Flle wrd mdete e geegete leere Feld e Null egetrge ud weter gerechet. E oee rportoblem legt vor, we It m b = = m > b = = o wrd e ktver Verbrucher (d.h. ee zuätzlche Splte) egeührt, wobe de etechede rportkote/me (ll kee wetere Agbe bekt d) glech Null geetzt werde. It m < b = = 4

5 o wrd e ktver Produzet (d.h. ee zuätzlche Splte) egeührt, wobe de etechede rportkote/me (ll kee wetere Agbe bekt d) glech Null geetzt werde. 3. Netzpltechk (CPM/PER) CPM-Algorthmu. Aulte der Aktvtäte Stelle ee belle u mt olgede Iormtoe: - Bezechug der Aktvtäte ud hre Bechrebug - Fetlegug der Vorgäger - Duer der Aktvtäte. Autelle de Netze E gbt zwe möglche Vrte:. Vorggpel-Netzpl (VPN) Her werde de Aktvtäte durch Pele m Netz bgebldet ud de Erege durch Kote b. Vorggkote-Netzpl (VKN) Her werde de Aktvtäte durch Kote m Netz bgebldet ud de logche Koppluge zwche de Aktve Vorgäge durch Pele. 3. Betmmug de krtche Wege Der krtche Weg tellt de kürzete Zet zur Durchührug de Proekte dr. E hdelt ch um de lägte Weg m Netz. Krtche Aktvtäte d Aktvtäte, de u dem krtche Weg lege. Se : der rühetmöglche Zetpukt zum Strt der Aktvtät : der rühetmöglche Zetpukt zur Beedgug der Aktvtät : der pätetzuläge Zetpukt zum Strt der Aktvtät : der pätetzuläge Zetpukt zur Beedgug der Aktvtät t : Duer der Aktvtät. D glt: 0 : = 0 { }, = mx + t, < ; =,,..., ; ( P P ) K 5

6 : = { } = m t, < ; =,,...,0, ( P, P ) K. E Weg t krtch d ud ur d, we lle dru legede Aktvtäte olgeder Bedgug geüge: t = Berechug der Schlupzete (Puerzete) De Schlupzet t de Zetpe zwche rühetmöglchem ud pätetzulägem Etrete ee Erege: De wchtgte Schlupzete d: ) Gemte Schlupzet De gemte Schlupzet t de Zetpe zwche rühetmöglchem ud pätetzulägem Etrete ee Erege: ) Free Schlupzet t = t G De ree Schlupzet gbt de Atel der gemte Schlupzet, we lle Ncholger zu hre rühetmöglche erme bege: 3) Ubhägge Schlupzet t = t F De ubhägge Schlupzet gbt de Atel der ree Schlupzet, der verblebt, we lle Vorläuer zum pätetzuläge erm ede ud lle Ncholger zum rühetmöglche erm bege: 4) Bedgte Schlupzet U t = mx{0, t } De bedgte Schlupzet t der Retbetrg, der verblebt, we vo der gemte Schlupzet, de ree Schlupzet bgezoge wrd: B G F t : = t t = 6

7 PER-Algorthmu. Aulte der Aktvtäte Stelle ee belle u mt olgede Iormtoe: - Bezechug der Aktvtäte ud hre Bechrebug - Fetlegug der Vorgäger - Dre Schätzuge ür de Duer eer Aktvtät ) De optmtche Schätzug E t her de theoretch kürzet möglche Zet zuehme. Se wrd ch ur d ergebe, we ktche überhupt kee Verlutzete utrete. Se wrd ur elte relert. De optmtche Duer ee mt,, =,,...,, bezechet ) ) De Whrchelchte Schätzug E t der Wert, ür dee Relerug de mxmle Whrchelchket ergbt, lo d Dchtemttel der Vertelug. Be der Ermttlug deer Zete rechet m mt eem ormle Ablu de Vorgg. E werde her m üblche Umg Wrtezete cht berückchtgt. De whrchelchte Duer ee mt m,, =,,...,, bezechet. De pemtche Schätzug Be der Ermttlug dee Werte wrd geomme, d ch be der Relerug der Aktvtät ee Häuug vo Schwergkete ergbt. Der ch durch Berückchtgug deer Wdrgkete ergebee Wert oll o groß e, d er kum zu übertree t. De pemtche Werte ee mt b,, =,,...,, bezechet.. Autelle de Netze Sehe CPM-ALGORIHMUS 3. Berechug der Erwrtugwerte t ud der Stdrdbwechugeσ + 4m + b t =,, =,,..., ; ( P, P ) K 6 b σ t =,, =,,..., ; ( P, ) P K 6 4.Betmmug de krtche Wege Se : der rühetmöglche Zetpukt zum Strt der Aktvtät 7 t

8 : der rühetmöglche Zetpukt zur Beedgug der Aktvtät σ : de Vrz der rühetmöglche Strt der Aktvtät σ : de Vrz der rühetmöglche Zet der Beedgug der Aktvtät : der rühetmöglche Strt der Aktvtät : de pätetzuläge Zet der Beedgug der Aktvtät σ : de Vrz der pätetzuläge Strt der Aktvtät σ : de Vrz der pätetzuläge Zet der Beedgug der Aktvtät t : Duer der Aktvtät D glt: 0 : = 0, mx t, = { + }, < ; =,,..., ; ( P P ) K, σ : = 0, 0 σ { σ σ } = mx, ;,,..., ; (, ). + t < = P P K : =, m t, = { }, < ; =,,...0; ( P P ) K. σ : = 0, σ { σ σ } = mx, ;,,...0; (, ). + t < = P P K 5. Berechug gewer Whrchelchkete. 8

9 4. Etchedugtheore (ur Präkrptver) Etelug der Etchedugobleme Bezüglch der Kete über de Zutäde werde olgede Etchedugobleme deert: () Etchedug uter Scherhet De etretede Zutäde d bekt () Etchedug uter Ugewhet Whrchelchkete ür d Autrete der Zutäde d cht bekt. Dher werde e l glech whrchelch geomme. (3) Etchedug uter Rko De Whrchelchkete ür d Autrete der ezele Zutäde d bekt. Regel der Etchedug uter Ugewhet: Wähle de Altertve k, o d olgede Regel glt: Lplce-Regel: Mxm-Regel/Wld: Mmx-Regel: x = mx k x =,,..., m =. = Z = mx Z : = mx m x k =,,..., m mt Mxmx-Regel: w k = m mx w, w : = mx x x., x k = mx mx x. Svge-Neh-Regel: x k = m mx r, mt r = mx x x. 9

10 Pemmu-Optmmu-Regel/Hurwcz: Dbe d: α : Optmmuktor α : Pemmuktor. { α α } x = mx mx x + ( ) m x, k 0 α. Regel der Etchedug uter Rko:. De µ -Regel/Bye. De Beroull -Regel (bzw. d Beroull -Przp) 3. De µ σ -Regel Wähle de Altertve k, o d olgede Regel glt: µ -Regel/Bye: E = mx x p( z ). k = p( z ) : de Whrchelchket ür d Etrete vo z, E k : der Erwrtugwert vo k. De Beroull-Regel: Dbe t ( ) E = mx u x p( z ). k = u ( x ), =,,..., m; =,,..., : de Nutzeukto (bzw. Rko-Nutze-Fukto) vo x. De Nutzeukto gbt de Rkoetellug de Etchedugträger weder: < 0 Rkocheu u ( x) = 0 Rkoeutrl > 0 Rkoreudg 0

11 ( µ σ ) Regel: Her t ( µ, σ ) Φ ee Präerezukto. ( µ σ ) Φ = mx Φ,. k Präerezukto gbt de Rkoetellug de Etchedugträger weder: < 0 Rkocheu Φ = 0 Rkoeutrll σ > 0 Rkoreudg