Formelsammlung. Statistik II

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1 Forelalug Statt II Ihalt Lteratur... 3 Vertelugtet χ²-aaugtet (Tet auf Vorlege eer bette Vertelug Kologorov-Srov-Tet Kologorov-Srov-oogetättet für zwe Verteluge... 5 Mttelwertvergleche für ee bzw. zwe Stchrobe Efache leare Regreo Schätzug der Regreoaraeter Varazzerlegug Globaler Tet auf Adäquathet ee leare Modell Kofdeztervalle Tet der Paraeter auf ee vorgegebee Referezwert b Leartättet ach Fher be Mehrfacheug Verglech zweer Regreogerade... 4 Multle leare Regreo Schätzug der Regreoaraeter Varazzerlegug Globaltet auf Modelladäquathet Kofdeztervalle für de Regreoaraeter Tet der Paraeter auf ee vorgegebee Referezwert b Efatorelle Varazaale Zerlegug der efatorelle Varazaale Globaler Mttelwertverglech Tet auf Varazhoogetät: Levee-Tet Pot oc Tet Boferro-Korretur Boferro-ol-Korretur Pot oc Tet ach Tue Blocvarazaale Mehrfatorelle Varazaale... Tabelle : Quatle der Kologorov-Vertelug ( KS-Tet... 4 Tabelle : Quatle der Kologorov-Vertelug t Lllefor-Korretur... 5 Tabelle 3: Quatle für Kologorov- oogetättet... 6 Tabelle 4: Quatle der tadarderte Varatobrete... 6 Tabelle 5: Quatle der t-vertelug... 7 Tabelle 6: Quatle der χ - Vertelug... 8 Tabelle 7: 95%-Quatle der F-Vertelug... 9 De Forelalug darf ur zu Lehrzwece a der EA Jea verwedet werde. Für Fehler überehe ch ee aftug, wee btte a Julae.Schuetze@fh-jea.de Vero Seteber 4

2 Lteratur Rudolf, M. u.a. lger, R-D u.a. Bärlocher, F. Köhler, W. u.a. Bortz, J., Leert Tchl, W. Stor, R. Botatt, Eführug für Bowechaftler Pearo-Studu 8 Eführug de edzche Statt, Srger, 7 Botatt, Thee 999 Botatt Srger, (3. Auflage Kurzgefate Statt für de lche Forchug Srger, 998 Botatt, Srger, Wahrchelchetrechug, Matheatche Statt, Fachbuchverlag, 995 Vertelugtet. χ²-aaugtet (Tet auf Vorlege eer bette Vertelug Drete Verteluge (,..., beobachtete Stchrobe, Stchrobeufag * * (,..., verchedee Werte der Stchrobe t de beobachtete äufgete O,..., O,..., : Wahrchelchete, t dee uter der Tetvertelug de Werte * * * (,..., ageoe werde, = P( X = E,..., E : erwartete äufgete uter der Tetvertelug, E = ud Ablehberech we be tetge Verteluge,.u. Stetge Verteluge (,..., beobachtete Stchrobe, Stchrobeufag der überdecte Berech wrd djute Klae egetelt, Fautregel Klaeazahl: O,..., O : beobachtete Klaehäufgete,..., : Klaewahrchelchete uter der Tetvertelug, = P( X K E,..., E : erwartete äufgete uter der Tetvertelug, E = Ncht ezfzerte Vertelugaraeter werde au der Stchrobe gechätzt. : Azahl gechätzter Vertelugaraeter, z.b. be NV = FG = : Azahl der Frehetgrade Nullhothee: Ablehberech Tetvertelug legt vor ( O E = E t O : beobachtete äufgete ud E : erwartete äufgete uter Tetvertelug T, α >χ (α: Ro Fautregel: Vo de erwartete äufgete E ollte aal 5% leer al 5 e ud ee leer al, ot Klae zuaelege! 3 4

3 . Kologorov-Srov-Tet Aaugtet a ee belebge tetge Vertelug t beate Paraeter (,..., beobachtete Stchrobe, Stchrobeufag ˆ Azahl Stchrobewerte F( = F( = P( X Vertelugfuto der Tetvertelug d = Fˆ( F( bzw. d = Fˆ( F( ' '' Nullhothee: E legt de zu tetede Vertelug vor ' '' a( d, d Ablehberech T > λ, α λ: Quatl der Kologorov-Srov-Vertelug (. Tabelle Kologorov-Srov-Tet auf Noralvertelug t Korretur ach Lllefor Be Tet auf Noralvertelug öe de Paraeter μ, σ au der Stchrobe gechätzt werde. Für de Ablehberech verwedet a dee Fall de ach Lllefor orrgerte Quatle (.Tabelle..3 Kologorov-Srov-oogetättet für zwe Verteluge Tet, ob zwe Stchrobe der gleche Vertelug ettae Der KS-Tet t de U-Tet überlege be cht forgleche Verteluge. Vorauetzuge uabhägge Stchrobe t Geatege vo Auräguge, =,, + ee Überchedug der bede erche Vertelugfutoe A de Stelle der Werte beder Stchrobe wrd für jede Stchrobe earat de erche Vertelugfuto F ˆ ( bzw. Fˆ ( berechet. Nullhothee: De Stchrobe ettae der gleche Grudgeathet a ( Fˆ ˆ ( F( Ablehberech T > D,, α D α : Quatle für augewählte Stchrobeufäge, (. Tabelle 3,, Mttelwertvergleche für ee bzw. zwe Stchrobe Vorauetzug Bezechuge Stchrobeufäge: Mttelwertchätzuge: Stchrobe au oralvertelte Grudgeathete oder großer Stchrobeufag ( > 3,, X = X, Y = Y = = ( X X = ( + ( g = + = Varazchätzuge:, = ( Y Y, Quatle: Etchrobetet = z q Quatl der Ordug q der Stadardoralvertelug t, q Quatl der Ordug q der t-vertelug t Frehetgrade ( gazzahlg Welch-Tet: t f, q Quatl der Ordug q der t-vertelug t f Frehetgrade, wobe ( / + / f = (abrude! ( / /( + ( / /( ( Verglech μ t Referezwert μ ; σ beat (Gauß-Tet Nullhothe e Alteratvhothe e Ablehrteru : μ : μ : μ : μ < μ : μ : μ X μ σ / ~ N(, T > z α / T z < α T > z α ( Verglech μ t Referezwert μ, σ ubeat (T-Tet Nullhothe e Alteratvhothe e Ablehrteru : μ : μ μ X μ T T > t =, α / / : μ : μ < μ T < t, α : μ : μ > μ ~ t T > t, α 5 6

4 Zwetchrobetet (3 Verglech μ D = μ μ t ; σd ubeat; X, Y verbude, D = X Y Nullhothe e Alteratvhothe e Ablehrteru : μ D = : μ D d T > t, α / : μ D : μ D < D T < t, α : μ D : μ D > ~ t T > t, α t d =, d arthetche Mttel,, D erche Stadardabwechug der Werte der d (4 Verglech μ t μ ; σ, σ ubeat, aber glech; X, Y cht verbude (doelter T-Tet Nullhothe Alteratvhothe Ablehrteru e e : μ = μ : μ μ X Y T > t +, α / g + : μ μ : μ < μ T < t +, α : μ μ : μ > μ ~ T > t +, α ~ t + (5 Verglech μ t μ ; σ, σ ubeat, verchede; X, Y cht verbude (Welch-Tet Nullhothe e Alteratvhothe e Ablehrteru : μ = μ : μ μ T > t f, α / ( X Y / + : μ μ : μ < μ T < t f, α : μ μ : μ > μ t (atotch T t ~ f > f, α Tet auf gleche Varaze Verglech σ t σ (Vortet be cht verbudee Stchrobe Nullhothee Alteratvhothee Ablehberech T > F,, α / oder : σ = σ : σ σ / T < F α : σ σ : σ < σ : σ σ : σ > σ 7 ~ F,,, / T < F α,, T > F α,, 3 Efache leare Regreo Stchrobe t Werteaare (,,,(,, : Stchrobeufag Modellglechug: = b + b +ε ; ε ~ N(, σ, uabhägg Otaltätrteru Bezechuge SSX = ( = SSY = ( = = SXY = ( ( Erche Varaz vo X Erche Varaz vo Y (, = ( ( + = = Qb b b b = = ( = = = = ( = = = ( SSX = ( = = = ( = = = ( ( = = ( ( = ( ( = = SSY Erche Kovaraz vo X ud Y SXY Erche Korrelato vo X ud Y 3. Schätzug der Regreoaraeter Ateg r = = Abolutgled bˆ ˆ = b ( ( Gechätzte Regreofuto ŷ= bˆ ˆ + b Redue e = ˆ ˆ = b = = = r SXX ( = 8 SXY

5 Fehlervaraz ( MSE = ˆ = e = ( SSY b SXY = ( r ˆ = De Fehlervaraz wrd auch al Retvaraz MSE (Mea Square Error bezechet, ŝ = MSE al Rettreuug, gechätzt au de Redue. 3. Varazzerlegug Erlärte Varato ˆ SSY Retvarato SSE - Geatvarato SSY - Quadratue Frehetgrade t de Quadratue SSYˆ = ( ˆ = SSY SSE = ( r 9 ttlere Quadratue ˆ ˆ SSY MSY = SSE MSE = = ˆ = = ( ( = SSE = e = ( = SSY ( r = ( ( r SSY = = Addtoegechaft (bezoge auf Quadratue! SSY = SSYˆ + SSE Betthetaß (Atel erlärter Varato SSYˆ ( r B= = = r SSY ( 3.3 Globaler Tet auf Adäquathet ee leare Modell Nullhothee: leare Modell t ugeeget MSYˆ F = MSE Ablehberech F > F,, α (Ro α MSYˆ F = MSE Be Ablehug t e leare Modell ugeeget zur Bechrebug der Date. 3.4 Kofdeztervalle Ateg Abolutgled t b ˆ ± ˆb t, α / b ˆ ± ˆb t, α / b = = + ( ( ˆ ˆ ˆ ˆb = ˆ = ˆ ( ( Kofdeztervalle für de Regreofuto Erwartugwert vo Y a der Stelle b ˆ + b ˆ ± ˆ t α, / Y a der Stelle (Progoetervall b ˆ + b ˆ ± ˆv t, α / geate Regreofuto b ˆ + b ˆ ± ˆ F,, α t de Quatle der t- bzw. der F-Vertelug ud de lfgröße ( ( ˆ = ˆ + ˆ ˆ ( v = + + ˆ = e ( = 3.5 Tet der Paraeter auf ee vorgegebee Referezwert b Abolutgled bo Nullhothee Alteratve Ablehberech : b = b : b b bˆ b T > t, / α : b b : b > b ˆb T > t, α : b b : b < b T < t, α Ateg b Nullhothee Alteratve Ablehberech : b = b : b b bˆ b T > t, / α : b b : b > b ˆb T > t, α : b b : b < b T < t, α ˆ, ˆ we be Berechug der Kofdeztervalle b b

6 3.6 Leartättet ach Fher be Mehrfacheug Vorauetzug: Metelle geat, davo dete q > t Mehrfacheuge Aordug der Meuge o, da a de erte q Stelle,..., q de Mehrfacheuge tehe, a de gegebeefall übrge Stelle,..., q+ de Efacheuge : Azahl Mehrfacheuge,, = für q+ Geatzahl geeeer -Werte: Mehrfacheuge = = Efacheuge q q + q q + q q Ufag q q + = = Mttelw = = = q q = q = Varaz = q ( q = ( q q = q = Schätzug der Regreoaraeter ud der Retvaraz SSE au alle Werte Wetere Zerlegug der Retvaraz SSE = SSM + SSI SSY = SSYˆ + SSE = SSYˆ + SSM + SSI t SSM : Quadratue der Abwechuge de Mttelwerte vo ˆ, q q q ( ( = = = ( ˆ = SSI = = SSM = = SSE SSI q SSI MSI = SSM MSM = Nullhothee Zuaehag t lear MSM ~ F, MSI Ablehberech be Ro α T > F,, α 3.7 Verglech zweer Regreogerade Stchrobe au zwe uabhägge Grudgeathete ( ( ( ( ( ( ( ( (,,...,(, ud (,,...,(, t ( ( ( ( ( =, ( ( = ( ( ( ( ( =, ( ( = Schätzug der Paraeter der Regreofutoe ( ˆ( ˆ( ( ( ( ( ( ˆ = b + b ud ˆ ˆ ˆ = b + b t de Retvaraze ( ( ( ( ˆ = ( ( ( ( ˆ ud ( ˆ = ( ˆ Tet der Glechhet der Regreofutoe ufat de Tet der bede ( ( ( ( Nullhothee: b = b ud b = b Er erfolgt 3 Schrtte. Schrtt: Vortet über Glechhet der Streuuge. Tet der Atege 3. Tet der Abolutgleder wobe jeder folgede Schrtt ee Nchtablehug der vorherge vorauetzt. Schrtt: Vortet über Glechhet der Streuuge Nullhothee Ablehberech be Ro α. Schrtt: Tet der Atege Nullhothee Ablehberech be Ro α ( ( ( σ = ( σ ( ˆ ( ˆ ( ( ~ F,, /, T < F α oder T > F α b = b ( ( ˆ * T > t + α bˆ bˆ ( (,, / + ( ( ( ( ( ( 4, / ~ t + 4

7 3. Schrtt: Tet der Abolutgleder ( ( Nullhothee b = b * ( ˆ ( Ablehberech be Ro α t ˆ = T > t + α bˆ bˆ ( ( ( ( ( ( + ( ( ( ( 4, / ( ( ˆ + ( ( ˆ + 4 ( ( * ~ t + 4 = ( ( = = SX Y = ( SX Y = ( ( = ( Gechätzte Regreoaraeter ˆ SSX SX Y SX X SX Y b = SSXSSX ( SXX bˆ SSX SX Y SX X SX Y = SSXSSX ( SXX b ˆ = b ˆ b ˆ = = 4 Multle leare Regreo Modellglechug: = b + b b +ε t ε ~ N(, σ, uabhägg Otaltätrteru: ( = ( ( = = Qb b b b Durch Nulletze der artelle Abletuge ach,,..., Gaußche Noraleglechugte. De Löuge dee leare Glechugte d de Schätzuge für de Paraeter b, b,..., b b b b erhält a da Sezalfall: uabhägge Varable (aalog be ehr al Varable 4. Schätzug der Regreoaraeter = b + b + b = b + b + b = b + b + b Bezechuge = ( = ( = = ( = ( = = ( ( = ( = SSX SSX SX X Gechätzte Regreofuto ŷ = bˆ + b ˆ + bˆ Redue e ˆ = Fehlervaraz (Rettreuug ˆ = ˆ ˆ 3 e = 3 SSY b SXY b SX Y = Betthetaß ( ˆ ( 3 ˆ B = = ( ( 4. Varazzerlegug Erlärte Varaz ( ˆ SSY Retvaraz SSE - 3 Geatvaraz SSY - t de Quadratue ˆ SSY = ( ˆ = SSY SSE = Quadratue Frehetgrade ttlere Quadratue ˆ ˆ SSY MSY = SSE MSE = 3 MSYˆ F = MSE 3 4

8 SSE = ˆ ˆ ( ˆ = SSY bsxy bsx Y = SSY = ( = ( = Dabe glt MSE = ˆ (Fehlervaraz, Varaz der Redue 4.3 Globaltet auf Modelladäquathet Nullhothee leare Modell t X, X ugeeget MSYˆ F = MSE Ablehberech be Ro α F > F, 3, α 4.4 Kofdeztervalle für de Regreoaraeter b ˆ ± ˆb t 3, α / b ˆ ± ˆb t 3, α / t de Stadardabwechuge der Schätzfutoe SSX ˆb = ˆ SSX SSX ( SX X ˆ = ˆ SSX b SSXSSX ( SXX 4.5 Tet der Paraeter auf ee vorgegebee Referezwert b Nullhothee Alteratve Ablehberech : b = b : b b ˆ T > t 3, α / b b : b b : b > b T > t 3, α ˆb : b b : b< b T < t 3, α : b b : b b = : b b ˆ T > t 3, α / b b : b > b T > t 3, α ˆb : : b < b T < t 3, α b b 5 Efatorelle Varazaale Metrche Zelgröße wrd Utergrue geee: Mewerte 5 Gruede/Stufede, be Grue Wederholde, be Meuge Grue = geat N = Mewerte Vorauetzuge Mewerte ro Utergrue d oralvertelt t hoogee Varaze Modell Y j = Geatttel μ + Grueeffet α j + Veruchfehler εj Paraeterchätzuge Geatttelwert Geatvaraz Mttelwert Grue Varaz Grue μ= ˆ = = N = ( N = = = = N = =, = = ( = Grueeffete α ˆ =, Quadratue für Zerlegug der Geatvarato geat zwche Fatortufe erhalb Fatortufe ( ( = = ( ( ˆ = = = = ( = = = SSY = = N SSA = = = α SSE = = Addtoegechaft SSY = SSA + SSE Frehetgrad: Azahl der de Sue egehede Werte u Azahl der darau gechätzte Paraeter Mttlere Quadratue: Quotet au Quadratue ud Frehetgrad 5. Zerlegug der efatorelle Varazaale Quadratue Frehetgrade 6 ttlere Quadratue

9 Fator A SSA - SSA MSA = (zwche Stufe Ret SSE N SSE (erhalb Stufe MSE = N Geat SSY N - 5. Globaler Mttelwertverglech MSA F = MSE 5.4. Boferro-Korretur Boferro-Korretur bedeutet, da jeder vo Paarvergleche t Ro α/ zu reche t, wobe de Azahl der Paarvergleche bezechet. ( Grue: = Paarvergleche t o orrgerte α=α ' / Verglech der Grue, j ach T-Tet t Boferro-Korretur Vorauetzuge Noralvertelug alle Utergrue gleche Varaze alle Utergrue Nullhothee α =... =α (gleche Stufeeffete MSA ~ F, N MSE Ablehberech be Ro α T > F, N, α Be Ablehug der Nullhothee gbt e dete zwe Grue, dere Erwartugwerte ud (dat Effete gfat verchede d. 5.3 Tet auf Varazhoogetät: Levee-Tet Vorauetzug für de globale Mttelwertverglech t de Glechhet der Varaze alle Utergrue. Nullhothee σ =... =σ Dee Nullhothee wrd gerüft, de a für de eue Dateatz d =,, ee efatorelle Varazaale rechet. Wrd de globale Nullhothee cht abgeleht, geht a vo hoogee Varaze de Utergrue au. Deer Tet zur Prüfug der Varazhoogetät a.a. auch verwedet werde, we de Grudgeathete cht oralvertelt d. 5.4 Pot oc Tet Paarvergleche der Mttelwerte ach gfate Globaltet uter Ehaltug de veruchbezogee Ro α 7 Nullhothee α =α j j j MSE + Ablehberech zu Ro α T > t α FG, ( / / t MSE al Rettreuug, FG etrechede Frehetgrade vo MSE au der Tabelle der Varazzerlegug 5.4. Boferro-ol-Korretur De Paarvergleche werde chrttwee t folgede Re gerechet α α =, l l l + Für jede der Grueaare berechet a de j j. MSE + j Dee werde abteged geordet: Folge T T... T. Ma verglecht T t de Schwellwert zu Ro α. It deer Verglech gfat, verglecht a T t de Schwellwert zu α uw. ud zwar olage, b e Verglech ertalg cht ehr gfat t. Da d auch alle wetere Gruettel etreched der übrge cht gfat. De Boferro- ud Boferro-ol-Korretur d oervatv, e werde gegebeefall betehede Uterchede cht gefude Pot oc Tet ach Tue Vorauetzug: globale Nullhothee der Varazaale wurde abgeleht 8 j

10 E wrd weder gerüft, zwche welche Grue gfate Uterchede vorlege uter Ehaltug de veruchbezogee Ro α. Nullhothee μ = μ ~ MSE / / + / Ablehberech be Ro α T > q, N, α, N dabe t q,n- da Quatl der Vertelug der tudeterte Varatobrete (ehe Tab. 4 äquvalete Ablehrteru t Grezdffereze allgeeer Fall balacerter Fall t Grueufag MSE MSE > q, N, α + > q, N, α 5.5 Blocvarazaale U ee öglche drete Störfator (Cofouder ee Eflu zu elere, wrd er al zuätzlcher Blocfator berücchtgt. Mewerte j t Mewederholug auf Mewederholde, be Meuge Grue j Blocde, j b be b Blöce/Stufe vo B Gruede/Stufede, be Grue de Fator A Da Deg heßt balacert, we jede der Utergrue de gleche Azahl vo Mewederholuge ethält: =, geat N = b Mewerte Modell Y = Bawert μ+ Behadlugeffet α + Bloceffet β + Veruchfehler E j j j Veruchfehler der efache Varazaale Sezalfall ohe Mewederholug je ee Meug jeder Kobato vo Blocfator B ud Stufefator A, da reduzert ch da Modell zu Y = Bawert μ+ Behadlugeffet α + Bloceffet β + Veruchfehler E j j j j Blocde, j be Stufe Gruede/Stufede, be Grue geat N = Mewerte Vorauetzuge Mewerte ro Utergrue d oralvertelt t hoogee Varaze q Paraeterchätzuge Geatttelwert μ= ˆ = j =. N = j= = Geatvaraz = ( j N = j= Mttelwert Stufe. = j, vo Fator A Mttelwert Stufe j vo Blocfator B Behadlugeffet A auf Stufe Bloceffet B auf Stufe j Vorheragewert j. j = =, j = α ˆ =,. β ˆ =, j j j. ˆ = μ ˆ +α ˆ +β ˆ j j Veruchfehler e ˆ ( ˆ ˆ ˆ j = j j = j μ + α +β j Quadratue Behadlugeffet Bloceffet Veruchfehler Total E glt SSY = SSA + SSB + SSE Frehetgrad: j j= = = = j... j... j= = j= j= ( ˆ j j j j= = j= = ( j.. ( j= = α SSA = ( = ( = ˆ β SSB = ( = ( = ˆ SSE = e = SSY = = Azahl der de Sue egehede Werte u Azahl der darau gechätzte Paraeter Mttlere Quadratue: Quotet au Quadratue ud Frehetgrad Varazzerlegug j Quelle SS FG MS 9

11 A SSA - MSA MSA/MSE B SSB - Ret SSE ( -( - MSE Total SSY - Nullhothee α =α =... =α Ablehberech T > F,( (, α Ro α Be gfate Globaltet a ttel Tue-Tet ach gfate Grueuterchede geucht werde, aalog zur efatorelle ANOVA. 6 Mehrfatorelle Varazaale De Utergrue werde durch de Stufe vo ehr al ee Fator erzeugt. I volltädge fatorelle Deg lege de Fatortufe gereuzt vor, o da jede der Stufe ee Fator jeder der Stufe ee adere Fator alle öglche Utergrue erzeugt. Da Deg heßt balacert, we jede der Utergrue de gleche Azahl vo Mewederholuge ethält. Sezalfall Zwefatorelle Varazaale t de Fatore A t a Stufe, B t b Stufe, balacerter Fall (gleche Azahl > vo Meuge ro Utergrue : Mewederholde,, : Stufede vo A, a, : Stufede vo B, b Modell Y = μ +α +β + ( αβ +ε μ: Globaler Erwartugwert α Effet vo A auf Stufe β Effet vo <b auf Stufe ( αβ Wechelwrug der Stufeobato vo ud Vorauetzuge Mewerte ro Utergrue d oralvertelt t hoogee Varaze Paraeterchätzuge Geatttelwert a b a b μ= ˆ... = =. a b = = j= a b = j= Geatvaraz = ( Mttelwert Stufe vo Fator A Mttelwert Stufe vo Blocfator B Zellttel -Stufe A, -Stufe B Behadlugeffet A auf Stufe Bloceffet B auf Stufe Wechelwrug -Stufe A, -Stufe B Vorheragewert Veruchfehler Quadratue Fator A Fator B Wechelwrug Veruchfehler Total N = = b.. = b = = a.. = a = =. = = α ˆ =, a..... β ˆ =, b..... ( αβ ˆ ˆ. ( ˆ = μ + α + β = ˆ ˆ ˆ ˆ ( = μ +α +β j + αβ e ˆ ( ˆ ˆ ˆ = = μ+ α +β + ( αβ a b a b a ( = α = = = = = = = a b a b b (..... β β = = = = = = = a b a b ( = ( α = = = = = a b a b ( ˆ = = = = = = a b (... ( = = = SSA = = b α SSB = = = a SSW = + β SSE = = e SSY = = ab E glt SSY = SSA + SSB + SSW + SSE Frehetgrad: Azahl der de Sue egehede Werte u Azahl der darau gechätzte Paraeter

12 Mttlere Quadratue: Quotet au Quadratue ud Frehetgrad Tabelle der Varazzerlegug Quelle SS FG MS A SSA a - MSA MSA/MSE B SSB b - MSB MSB/MSE WW SSW (a-(b- MSW MSW/MSE Ret SSE ab( - MSE Total SSY ab - Tet auf Wechelwrug u zuert erfolge Nullhothee (αβ = für alle Kobatoe Ablehberech MSW/MSE > F(a- (b-,a b (-,-α Fall de WW cht gfat d, öe de Effete getetet werde Nullhothee α =α =... =α a Ablehberech MSA/MSE > F(a-,a b (-, -α Nullhothee β = β =... =β b Ablehberech MSB/MSE > F (b-,a b (-, -α Be gfate Globaltet a ttel Tue-Tet ach gfate Grueuterchede geucht werde, aalog zur efatorelle ANOVA. Alteratv t folgede Grezdffereze, de überchrtte werde üe: MSE A-Stufe > qa, ab (, α b MSE B-Stufe > qb, ab (, α a MSE Zelle > qabab, (, α Tabelle : Quatle der Kologorov-Vertelug ( KS-Tet \ - α Näherug für große

13 Tabelle : Quatle der Kologorov-Vertelug t Lllefor-Korretur für Aaug a NV t gechätzte Paraeter ( KS-Tet \ - α Näherug für > Tabelle 3: Quatle für Kologorov- oogetättet α=.95 \ Tabelle 4: Quatle der tadarderte Varatobrete Schwellwerte für Tue-Tet, α =.5 \

14 Tabelle 5: Quatle der t-vertelug t, q t, : Azahl Frehetgrade, q: Quatlordug, f ( d = q q,9,95,975,99,995,999,9995 3,8 6,3,7 3,8 63,66 38,3 636,6,89,9 4,3 6,96 9,9,33 3,6 3,64,35 3,8 4,54 5,84,,9 4,53,3,78 3,75 4,6 7,7 8,6 5,48,,57 3,36 4,3 5,89 6,87 6,44,94,45 3,4 3,7 5, 5,96 7,4,89,36 3, 3,5 4,79 5,4 8,4,86,3,9 3,36 4,5 5,4 9,38,83,6,8 3,5 4,3 4,78,37,8,3,76 3,7 4,4 4,59,36,8,,7 3, 4, 4,44,36,78,8,68 3,5 3,93 4,3 3,35,77,6,65 3, 3,85 4, 4,35,76,4,6,98 3,79 4,4 5,34,75,3,6,95 3,73 4,7 6,34,75,,58,9 3,69 4, 7,33,74,,57,9 3,65 3,97 8,33,73,,55,88 3,6 3,9 9,33,73,9,54,86 3,58 3,88,33,7,9,53,85 3,55 3,85,3,7,8,5,83 3,53 3,8,3,7,7,5,8 3,5 3,79 3,3,7,7,5,8 3,48 3,77 4,3,7,6,49,8 3,47 3,75 5,3,7,6,49,79 3,45 3,73 6,3,7,6,48,78 3,43 3,7 7,3,7,5,47,77 3,4 3,69 8,3,7,5,47,76 3,4 3,67 9,3,7,5,46,76 3,4 3,66 3,3,7,4,46,75 3,39 3,65 Tabelle 6: Quatle der χ - Vertelug = Azahl der Frehetgrade, q = Ordug de Quatl q,5,,5,5,,9,95,975,99,995,,,,,,7 3,84 5, 6,63 7,88,,,5,, 4,6 5,99 7,38 9,,6 3,7,,,35,58 6,5 7,8 9,35,34,84 4,,3,48,7,6 7,78 9,49,4 3,8 4,86 5,4,55,83,5,6 9,4,7,83 5,9 6,75 6,68,87,4,64,,64,59 4,45 6,8 8,55 7,99,4,69,7,83, 4,7 6, 8,48,8 8,34,65,8,73 3,49 3,36 5,5 7,53,9,95 9,73,9,7 3,33 4,7 4,68 6,9 9,,67 3,59,6,56 3,5 3,94 4,87 5,99 8,3,48 3, 5,9,6 3,5 3,8 4,57 5,58 7,8 9,68,9 4,7 6,76 3,7 3,57 4,4 5,3 6,3 8,55,3 3,34 6, 8,3 3 3,57 4, 5, 5,89 7,4 9,8,36 4,74 7,69 9,8 4 4,7 4,66 5,63 6,57 7,79,6 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,6 5,3 6,6 7,6 8,55,3 5, 7,49 3,58 3,8 6 5,4 5,8 6,9 7,96 9,3 3,54 6,3 8,85 3, 34,7 7 5,7 6,4 7,56 8,67,9 4,77 7,59 3,9 33,4 35,7 8 6,6 7, 8,3 9,39,86 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,84 7,63 8,9,,65 7, 3,4 3,85 36,9 38,58 7,43 8,6 9,59,85,44 8,4 3,4 34,7 37,57 4, 8,3 8,9,8,59 3,4 9,6 3,67 35,48 38,93 4,4 8,64 9,54,98,34 4,4 3,8 33,9 36,78 4,9 4,8 3 9,6,,69 3,9 4,85 3, 35,7 38,8 4,64 44,8 4 9,89,86,4 3,85 5,66 33, 36,4 39,36 4,98 45,56 5,5,5 3, 4,6 6,47 34,38 37,65 4,65 44,3 46,93 6,6, 3,84 5,38 7,9 35,56 38,89 4,9 45,64 48,9 7,8,88 4,57 6,5 8, 36,74 4, 43,9 46,96 49,64 8,46 3,56 5,3 6,93 8,94 37,9 4,34 44,46 48,8 5,99 9 3, 4,6 6,5 7,7 9,77 39,9 4,56 45,7 49,59 5,34 3 3,79 4,95 6,79 8,49,6 4,6 43,77 46,98 5,89 53,67 4,7,6 4,43 6,5 9,5 5,8 55,76 59,34 63,69 66,77 5 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 63,7 67,5 7,4 76,5 79, ,53 37,48 4,48 43,9 46,46 74,4 79,8 83,3 88,38 9, ,8 45,44 48,76 5,74 55,33 85,53 9,53 95,,43 4, 8 5,7 53,54 57,5 6,39 64,8 96,58,88 6,63,33 6,3 9 59, 6,75 65,65 69,3 73,9 7,57 3,5 8,4 4, 8,3 67,33 7,6 74, 77,93 8,36 8,5 4,34 9,56 35,8 4,7 4,3,68,,4,7 3,3 3,55 6,3,67,,39,66 3,3 3,46,9,66,98,36,6 3,6 3,37 7 8

15 Tabelle 7: 95%-Quatle der F-Vertelug ,4 99,5 5,7 4,5 3, 33,9 36,7 38,8 4,5 4,8 4, ,5 9, 9,6 9,5 9,3 9,33 9,35 9,37 9,38 9,4 9,4 3,3 9,55 9,8 9, 9, 8,94 8,89 8,85 8 8,8 8,79 8,76 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,9 6,4 6, 5,96 5,94 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,5 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,7 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4, 4,6 4,3 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,6 8 5,3 4,46 4,7 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,35 3,3 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 3, 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 3,,98,94 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95,9,85,8 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85,8,75,7 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,3,9,83,77,7,67,63 4 4,6 3,74 3,34 3,,96,85,76,7,65,6,57 5 4,54 3,68 3,9 3,6,9,79,7,64,59,54,5 6 4,49 3,63 3,4 3,,85,74,66,59,54,49,46 7 4,45 3,59 3,,96,8,7,6,55,49,45,4 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4,37 9 4,38 3,5 3,3,9,74,63,54,48,4,38,34 4,35 3,49 3,,87,7,6,5,45,39,35,3 4,3 3,47 3,7,84,68,57,49,4,37,3,8 4,3 3,44 3,5,8,66,55,46,4,34,3,6 3 4,8 3,4 3,3,8,64,53,44,37,3,7,4 4 4,6 3,4 3,,78,6,5,4,36,3,5, 5 4,4 3,39,99,76,6,49,4,34,8,4, 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7,,8 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5,,7 8 4, 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9,5 9 4,8 3,33,93,7,55,43,35,8,,8,4 3 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6,3 4 4,8 3,3,84,6,45,34,5,8,,8,4 5 4,3 3,8,79,56,4,9,,3,7,3, ,97 3,,73,49,34,,3,6,,96,9 3,94 3,9,7,46,3,9,,3,97,93,89 3,89 3,4,65,4,6,4,6,98,93,88,84 3 3,87 3,3,63,4,4,3,4,97,9,86,8 4 3,86 3,,63,39,4,,3,96,9,85,8 5 3,86 3,,6,39,3,,3,96,9,85,8 3,85 3,,6,38,,,,95,89,84,8 F ; ; α = F ; ; α ,9 45,36 46,46 48, 5, 5,77 5,6 53,4 54,6 54,9 9,4 9,4 9,43 9,45 9,46 9,48 9,48 9,49 9,49 9,49 8,74 8,7 8,69 8,66 8,6 8,58 8,56 8,55 8,53 8,53 3 5,9 5,87 5,84 5,8 5,75 5,7 5,68 5,66 5,64 5,63 4 4,68 4,64 4,6 4,56 4,5 4,44 4,4 4,4 4,37 4,37 4, 3,96 3,9 3,87 3,8 3,75 3,73 3,7 3,68 3,67 6 3,57 3,53 3,49 3,44 3,38 3,3 3,9 3,7 3,4 3,3 7 3,8 3,4 3, 3,5 3,8 3,,99,97,94,93 8 3,7 3,3,99,94,86,8,77,76,7,7 9,9,86,83,77,7,64,6,59,55,54,79,74,7,65,57,5,47,46,4,4,69,64,6,54,47,4,37,35,3,3,6,55,5,46,38,3,8,6,, 3,53,48,44,39,3,4,,9,4,4 4,48,4,38,33,5,8,4,,8,7 5,4,37,33,8,9,,9,7,, 6,38,33,9,3,5,8,4,,97,97 7,34,9,5,9,,4,,98,93,9 8,3,6,,6,7,,96,94,89,88 9,8,,8,,4,97,93,9,86,85,5,,6,,,94,9,88,83,8,3,7,3,7,98,9,87,85,8,79,,5,,5,96,88,84,8,77,76 3,8,3,9,3,94,86,8,8,75,74 4,6,,7,,9,84,8,78,73,7 5,5,9,5,99,9,8,78,76,7,7 6,3,8,4,97,88,8,76,74,69,68 7,,6,,96,87,79,75,73,67,66 8,,5,,94,85,77,73,7,65,65 9,9,4,99,93,84,76,7,7,64,63 3,,95,9,84,74,66,6,59,53,5 4,95,89,85,78,69,6,55,5,46,45 5,88,83,78,7,6,5,47,44,36,35 75,85,79,75,68,57,48,4,39,3,3,8,74,69,6,5,4,35,3,,,78,7,68,6,5,39,33,3,9,7 3,78,7,67,6,49,38,3,8,7,5 4,77,7,66,59,48,38,3,8,6,4 5,76,7,65,58,47,36,3,6,3, 9 3

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