ue biostatistik: korrelation und regression 1/7 h. lettner / physik

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1 ue botattk: korrelato ud regreo /7 h. letter / phk Korrelato ud Regreo Uterucht ma zwe oder mehrere Zufallvarable, da ka ma u. U. fettelle, daß zwche de Zufallvarable e Zuammehag beteht. Z.B. köte ma erwarte, daß de durchchttlche Schuhgröße ud de Größe vo Peroe zuammehäge, d.h. ma ka vo eer groß gewachee Pero auch aehme, daß de Schuhgröße etpreched groß e wrd. Ee geaue Ket dee Zuammehage t atürlch ehr vortelhaft, wel e getattet au der Ket eer Varable de adere vorherzuage. Der Zuammehag zwche Varable ka atürlch auch egatv e, z.b. de Zuahme der ee Varable geht eher mt eer Abahme der zwete Varable. Natürlch köe de Varable auch völlg zuammehaglo e; So wrd ma z.b. zwche der Populatodchte vo Störche ud der Geburtrate wahrchelch kee urächlche Zuammehag fde, d.h. aber cht, daß hohe Populatodchte mt hoher Storchedchte zufällg kozdere köe. Zuächt emal e Bepel zur Verachaulchug: Tab..: Zuammehag zwche Alkoholkoum vo Peroe über 4 Jahre ud Toderate Bp. au M45 Probablt ad Stattc, Ope Uvert Lad Alkoholkoum [Lter/Jahr.Pero] Toderate pro. durch Zrrhoe ud Alkoholmu Frakrech 4,7 46, Itale 5, 3,6 Wet-Deutchlad,3 3,7 Autrale,9 7, Belge,8,3 USA 9,9 4, Kaada 8,3 7,4 Eglad ud Wale 7, 3, Schwede 6,6 7, Japa 5,8,6 Nederlad 5,7 3,7 Irlad 5,6 3,4 Norwege 4, 4,3 Flad 3,9 3,6 Irael 3, 5,4 Toderate/ Alkoholkoum [Lter/Pero.Jahr] Au deer Dartellug t erchtlch, daß hoher Alkoholkoum mt erhöhter Sterblchketrate ud edrger Alkoholkoum mt gerger Sterblchketrate aozert t. Näherugwee chet der Zuammehag lear zu e. Nu t e quattatve Maß zu fde, we tark der Zuammehag zwche de bede Varable t. Sd,,,,...,,,...,, paarwee Beobachtuge, da wrd durch Subtrakto de Mttelwerte vom jewelge Meßwert de Lage m - Dagramm o verchobe, daß der Nullpukt etwa m Zetrum legt Abhäggket vo der vorlegede Vertelug, ud, mt de Mttelwerte,

2 ue botattk: korrelato ud regreo /7 h. letter / phk Skaleuabhäggket wrd weter errecht durch Dvo der Dfferez durch de Stadardabwechug. De Stadardabwechug der - ud - Werte t defert durch: ud Somt erhalte wr e Paar tadarderter vgl. Normalvertelug! Beobachtuge u,v, mt: u, v v u, Wertepaare Stadarderte, Werte. Stadardvarable u,v Au dem Streudagramm der tadarderte ud Werte t erchtlch, daß be potver Korrelato de mete Werte m. ud m 3. Quadrate zu lege komme. Au der Größe u v geht weter hervor, daß de Pukte m. ud 3. Quadrate zur Produktumme de mete Beträge lefer, m Verglech zu de Beträge de. ud 4. Quadrate. De Produkte der u v de. ud 3. Quadrate d potv, de de. ud 4. Quadrate d egatv, daher wrd auch de Geamtumme potv e. Der umgekehrte Fall trtt auf, we de Augagdate cht potv korrelert d, d.h. we ee Zuahme der -Werte mt eer Abahme der -Werte eher geht. De betmmede Größe für ee potve oder egatve Zuammehag t daher:, wel de Neer ud, ur kalerede Efluß habe. Kovaraz: I Alehug a de Defto der Varaz wrd daher der Audruck al Kovaraz bezechet. 3

3 ue botattk: korrelato ud regreo 3/7 h. letter / phk Korrelato: Uter Verwedug der tadarderte Werte wrd der Audruck für r, de Korrelatokoeffzete der Stchprobe: bzw r r u v oder r 4 E ka gezegt werde, daß: - r. Für potve Korrelato t r, für egatve Korrelato t - r. Je äher r be oder legt, deto beer t de Korrelato. Für ee Gerade t r oder r -, je achdem ob de Gerade potve oder egatve Stegug hat. Leare Regreo We t u durch de Datepukte ee Gerade zu lege, de am bete paßt? Um ee Gerade der Form zu fde, beötge wr de Mamum Lkelhood Schätzer MLS für ud, d.h. wr müe Werte für de Parameter ud fde, o daß de Summe der Abwechugquadrate f e Mmum wrd. Dee Przp heßt Methode der klete Fehlerquadrate. De MLS ud Bezechug: Alpha Dach ud Beta Dach köe durch Löug der Abletug vo R ach ud gefude werde: R m dr dr, d d 5 6 D.h. ud erfülle de Glechuge: 7 8 Daher t: ud 9

4 ue botattk: korrelato ud regreo 4/7 h. letter / phk Verwede wr u de Defto de Mttelwerte, da köe wr bereche. Durch Multplkato vo 9 mt, ka dee Glechug umgechrebe werde: Durch Subtrakto der Glechug vo Glechug wrd â elmert ud ma erhält: Nu t au der Berechug der Stadardabwechug bekat, daß:, daher t der MLS für defert durch: ud ach Glechug 7 t da Überprüfug de Modell Da leare Modell ermöglcht ee Rehe vo Fehlterpretatoe, de ee Überprüfug der Aahme erforder. Ob de Stegug vo eer vorgegebee Stegug abwecht, ka mt a ANOVA oder b mttel t-tet überprüft werde. a Überprüfug mt ANOVA I der ute tehede Abbldug d de Abwechuge der ezele Datepukte vo der leare Regreole f ud de Abwechuge der Datepukte vom Mttelwert f dargetellt. De Geamtvaraz ergbt ch au de Abwechuge der Meßpukte vom Mttelwert, de au der Regreo reulterede Varaz ergbt ch au de Abwechuge vom Fuktowert der leare Regreo. It de Regreo gut, d.h. de Gerade legt ahe de Datepukte, da t dee Varaz kle, m Etremfall wrd e Null. Da Modell für de leare Zuammehag t: Retfehler, bzw dem ageführte Bepel:

5 ue botattk: korrelato ud regreo 5/7 h. letter / phk Toderate Toderate ohe Alkoholkoum *Alkoholkoum Retfehler. De Regreoglechug lautet: 5,996,978. Der Durchchtt der Toderate beträgt, Toderate/..Jahr ,996,978 r,88 Toderate/..Jahr Alkoholkoum [Lter/Pero.Jahr] Alkoholkoum [Lter/Pero.Jahr] Abwechug der Meßwerte vo der leare Regreo f lk, ud Abwechug der Meßwerte vom Mttelwert recht. Kofdeztervalle: chwarz trch-puktert; Predcto Itervalle: blau trchlert Zur Überprüfug de leare Modell d de Geamtvaraz ud de Fehlervaraz Retfehler, da t der Atel der Varaz, der der leare Bezehug zwche ud zuzuorde t, zu betmme. De Fehlervaraz beträgt deem Bepel Fall 6,. Lad X: Alkoholkoum [Lter/Jahr.Pero] Y: Toderate pro. durch Zrrhoe ud Alkoholmu -f -f Frakrech 4,7 46, 3,4,5 Itale 5, 3,6 -,47, Wet-Deutchlad,3 3,7 5,37 8,8 Autrale,9 7, -8,56 73,33 Belge,8,3-3,7 9, USA 9,9 4,,6,38 Kaada 8,3 7,4-3, 9,3 Eglad ud Wale 7, 3, -5,5 7,5 Schwede 6,6 7,,4, Japa 5,8,6 5, 6,5 Nederlad 5,7 3,7 -,58,49 Irlad 5,6 3,4 -,68,8 Norwege 4, 4,3,99 3,95 Flad 3,9 3,6,88 3,54 Irael 3, 5,4 5,6 7,7 Σ 6,8

6 ue botattk: korrelato ud regreo 6/7 h. letter / phk Jetzt köe wr ee Varazaale durchführe, dem wr ee Zerlegug der Varaze vorehme. Varatoquelle d her de leare Regreo ud der Retfehler, der au der Abwechug vo der Regreogerade reultert. Bede Varatoe zuamme ergebe de totale Varato. De Summe der Abwechugquadrate läßt ch demach folgedermaße zerlege: tot lreg Retfehler tot lreg...quadratumme f f FG...Frehetgrad MQ...Mttlere Quadratumme, /FG Varatoquelle FG MQ F P Leare Regreo * für l.reg 68, 68, 96,6 <. Retfehler 3-6, 7,4 Total 4-96,3 36, * Der Frehetgrad t her de Azahl der free Parameter. E gbt free Parameter: ud Der p-wert für F,3 t etrem kle; darau köe wr chleße, daß de Veräderuge vo X ud Y gfkat mteader verküpft d. De Stegugkotate t daher verchede vo. Überprüfug mttel t-tet Mt deem Tet ka überprüft werde, ob de Stegug vo eer vorgegebee Stegug abwecht. t MQ MQ Retfehler 7,4 Summe der quadrerte Abwechuge vo X : I deem Fall t 49,5 Für de Überprüfug, ob überhaupt ee Stegug bzw. Korrelato vorhade t, d.h. für erhalte wr: t,978/ 7,4/49,5 9,83. Für e, ud ee Frehetgrad vo - 3 legt der krtche Wert be 3, ud damt wet uter der Prüfgröße vo 9,83. De Hpothee H : wrd daher verworfe. Kofdeztervalle Kofdeztervalle köe durch Umforme der Glechug für de t-wert agegebe werde: ± t ν,. MQ

7 ue botattk: korrelato ud regreo 7/7 h. letter / phk Da Kofdeztervall de Werte f wrd we folgt berechet: KI f f ± tν, MQ. Mt zuehmeder Etferug vo wächt der Audruck der Wurzel durch de Zuahme der Dfferez. Da Kofdeztervall wrd daher zwagläufg größer, je weter etfert de Datepukte vo d. Dee Aufwetug t atürlch voll, wel für de Radbereche, dee kee oder ur mehr wege Meßwerte mehr vorhade d, zuverläge Iformatoe fehle. Au der Verbdug der Kofdezteralle für alle ettehe de Kofdezle oder der Kofdezberech, erhalb dee -% aller Beobachtugwerte zu erwarte d. Mthlfe de Kofdeztervalle ka auch überprüft werde, ob der Acheabchtt gfkat vo Null verchede t. Legt außerhalb dee Itervall, da ka ageomme werde, daß cht Null t.