FORMELSAMMLUNG NEUE STATISTIK

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1 DESKRIPTIVE STATISTIK Leare Trasformato Ee Trasformato st ee Überführug jedes beobachtete Wertes x v ee eue Wert y v. Trasformatoe lege.d.r. Fuktoe y= g( x) zugrude. Ee Trasformato st lear, we de zugrudelegede Fukto de Form g( x) = a+ bx hat. ( ab, reelle Zahle, b 0). gx ( ) = a+ bx ( ab, reelle Zahle, b 0). Lermodul Grudbegrffe De emprsche Vertelugsfukto Fˆ ( x ) De emprsche Vertelugsfuktosfukto ordet jeder reelle Zahl de relatve Häufgket der Beobachtuge ees Datesatzes zu, de kleer oder glech deser Zahl sd. Lermodul Dateaalyse aus eer Urlste 0, x< x() v Fx ˆ( ) =, x() v x< x( v+ ), v=,,, x x () Fx ˆ( ) = hx ( x ) = hx ( = x ) x x * * x xm m m Fx ˆ( ) = Fx ˆ( ) + h m für klasserte Date

2 DESKRIPTIVE STATISTIK Meda Der emprsche Meda x st e Lagemaß, das de Egeschaft hat, de geordete Datesatz zwe Hälfte aufzutele. x für + x = x + x für + ugerade gerade Lermodul Dateaalyse aus eer Urlste Häufgketsdchte Hstogramm E Hstogramm st ee grafsche Darstellug eer klasserte Häufgketstabelle. Über jeder Klasse x * < X x * wrd de zugehörge Häufgketsdchte ˆf Form ees Kastes abgetrage. De Fläche ees Kastes st glech der relatve Häufgket h Sd de Date klassert, st der Meda glech dem 0.5- x = x Quatl, 0,5 * * hx ( < X x ), fˆ( x ) = =,..., k 0, Lermodul Klasserte Date Relatve Häufgket De relatve Häufgket der Merkmalsausprägug x ees Merkmals X st der Atel deses Wertes a alle m Datesatz aufgetretee Auspräguge x. Lermodul Klasserte Date X ( = x ) hx ( = x ) = * * * * x < X x ( ) ( ) h = hx < X x = für klasserte Date

3 DESKRIPTIVE STATISTIK Quatle Das emprsche p-quatl x p ees Datesatzes vom Umfag st der Wert, für de p Auspräguge kleer oder glech x p ud der Rest größer oder glech x p sd. Sd de x () v de geordete Beobachtugswerte, so st x ( p) das p-quatl; falls p kee gaze Zahl st, wrd zur ächstgrößere gaze Zahl aufgerudet. Quatle aus kasserte Date: * * ( p Fx ˆ( m )) m xp xm hm Klasse für de glt: = + dabe st m de Fˆ( x ) p Fˆ( x ) * * m < m Lermodul Klasserte Date Das arthmetsche Mttel x Das arthmetsche Mttel st derjege Wert, der sch ergbt, we de Summe aller Beobachtuge durch de Azahl der Beobachtuge dvdert wrd. Lermodul Lagemaße x = xν ν = Berechug arthmetsches Mttel aus eer klasserte Häufgketstabelle: x * * ' x + x = Berechug der Klassemtte: ' ' k k = = x = x = xh 3

4 DESKRIPTIVE STATISTIK Das geometrsche Mttel x geo Das geometrsche Mttel st de te Wurzel aus dem Produkt vo Beobachtuge. De Verwedug des geometrsche Mttels st svoll, we der Utersched zwsche de Merkmalswerte durch das Verhälts ud cht durch de Dfferez charaktersert wrd. x geo = x x x = x ν ν = Lermodul Lagemaße De Spawete s M De Spawete st de Dfferez aus dem größte ud dem kleste Wert ees Datesatzes. s = x x = x x M ( ) () max m Lermodul Streuugsmaße Der Quartlsabstad s Q s = x x Q Streuugsmaß für kardalskalerte Merkmale uter Verwedug des utere ud des obere Quartls. s Q gbt a, welche Ausdehug de zetrale 50% der Date habe. Lermodul Streuugsmaße 4

5 DESKRIPTIVE STATISTIK De Mttlere quadratsche Abwechug Lermodul Streuugsmaße = ( ν ) ν = d x x Berechug aus klasserte Häufgketstabelle: k k d = ' ' ( ) ( ) x x = x x h = = De Stadardabwechug De Stadardabwechug st de postve Wurzel aus der Varaz. s = s Lermodul Streuugsmaße De Varaz De emprsche Varaz st e Streuugsmaß, das de Streuug der Date um das arthmetsche Mttel beschrebt. = ( ν ) ν = s x x Lermodul Streuugsmaße Zusammehag zwsche der Varaz Abwechug d s ud der mttlere quadratsche s = d Lermodul Streuugsmaße 5

6 DESKRIPTIVE STATISTIK Das Kozetratosmaß vo G Zur Vsualserug vo Kozetratosphäome lässt sch de Lorezkurve herazehe. We ma de Radpukte (0;0) ud (;) eer Lorezkurve ahad eer Gerade verbdet, st der G-Koeffzet G durch das Zwefache der Fläche zwsche deser Gerade ud der Lorezkurve gegebe. Der Koeffzet G repräsetert e Maß für de Glechmäßgket der Vertelug vo Merkmalswerte auf mehrere Merkmalsträger. q G = p Lermodul Kozetratosmessug Der ormerte G-Koeffzet Der G-Koeffzet G st durch das Zwefache der Fläche gegebe, de zwsche eer Lorezkurve ud de durch de Radpukte (0;0) ud (;) der Lorezkurve deferte Gerade lege. Für de kleste obere Schrake vo G errechet sch be eem ugrupperte Datesatz x,...,x der Wert = /. We ma G durch dvdert, resultert der ormerte G-Koeffzet G* = G/. Desse kleste obere Schrake st. G G* = = G G + G max max = Lermodul Kozetratosmessug De bedgte relatve Häufgket De bedgte relatve Häufgket st der Atel der Beobachtuge, be dee das Merkmal Y de Wert ageomme hat. y ageomme hat uter dee, be dee X de Wert x j X ( = Y, = j) j X ( = Y, = j)/ hj hy ( = j X = ) = = = =. X ( = ) X ( = )/ h Lermodul Kotgeztafel 6

7 DESKRIPTIVE STATISTIK Radvertelug We für zwe Zufallsvarable X ud Y ee gemesame Wahrschelchketsvertelug gegebe st, so heße de Verteluge der ezele Zufallsvarable hre Radverteluge. Be dskrete Zufallsvarable ergebe se sch aus der gemesame Wahrschelchketsfukto PX ( = x, Y = y ) ( =,..., I, j =,..., J) j p = PX ( = x) = PX ( = xy, = y) PX ( = xy, = y ) ( =,..., I) J p = PY ( = y) = PX ( = xy, = y) PX ( = xy, = y) ( j=,..., J) j j j I j Lermodul Kotgeztafel Der Ph-Koeffzet Φ msst de Zusammehag vo X ud Y. Im Fall zweer bärer Merkmale st er m Se eer Korrelato zu terpretere. Da er für adere Tafel auch Werte aehme ka, de überstege, wrd der Regel der ormerte Ph-Koeffzet als Zusammehagsmaß geomme. j j Φ ² =. = 0 j= 0 j Der Ph-Koeffzet für ee x-kotgeztafel: Lermodul Zusammefassug eer x-tafel ( h00 h0 h 0)² ( h0 h0 h )² Φ ² = + + h h h h ( h0 h h 0)² ( h h h )² + h h h h = 0 = 0 j= 0 ( hj h h j)². h h j 7

8 DESKRIPTIVE STATISTIK Ph-Koeffzet für de IxJ Tafel Lermodul Zusammefassug eer x-tafel * Φ = Φ. m{ I -, J - } De Kovaraz De emprsche Kovaraz s XY Merkmale X ud Y. st e Maß für de (leare) Zusammehag zweer sxy = ( xν x)( yν y). ν = Lermodul Streudagramme ud Korrelato Der Ragkorrelatoskoeffzet Der Ragkorrelatoskoeffzet vo Spearma msst de Zusammehag zwsche zwe Merkmale X ud Y, de mdestes ordal skalert sd. Er st der üblche Korrelatoskoeffzet vo Bravas-Pearso, aber berechet für de getret bestmmte Ragwerte ( R ( x ), R( y )) der Beobachtugspaare ( x, y ) ν ν ν ν. Der Ragkorrelatoskoeffzet msst de Stärke des mootoe Zusammehages. Werte be deute auf ee glechgerchtete, Werte be - auf ee etgegegesetzte ud Werte um 0 auf ee fehlede Zusammehag h. r s = ( Rx ( ν) Rx ( ν) )( Ry ( ν) Ry ( ν) ) ν = ( Rx ( ν) Rx ( ν) ) ( Ry ( ν) Ry ( ν) ) ν= ν=. Lermodul Streudagramme ud Korrelato 8

9 DESKRIPTIVE STATISTIK Der Korrelatoskoeffzete Der Korrelatoskoeffzet r XY vo Bravas-Pearso st e Maß für de Stärke sowe de Rchtug ees leare Zusammehags. Dabe st s XY de Kovaraz ud s ud s sd de Stadardabwechug der Beobachtuge. X Y r XY sxy xy x y = = s s X Y ( x )( ) x y y Lermodul Streudagramme ud Korrelato Zetrehe vo Messzahle De Bassperode st oft de erste Perode eer betrachtete Zetrehe. Mt dem Wert x 0 der Bassperode erhalte wr de Zetrehe: Auf dese Wese erhalte wr Messzahle, de de Etwcklug eer wrtschaftlche Größe mt Bezug auf de Bassperode wderspegel. Se werde oft Prozet agegebe. WertderBerchtsperode xt M0,,..., M0, t,... mt M0, t = =. WertderBassperode x 0 Lermodul Idexrechug Umbaserug vo Zetrehe Werde zwe Zetrehe vo Messzahle mt uterschedlche Bassperode verglche, so muss de Etwcklug eer Zetrehe auf de Bassperode der adere Rehe bezoge werde; formal gesproche muss ee Zetrehe umbasert werde. Ist t 0 de ursprüglche Bassperode ud soll t de eue Bassperode se, so blde wr de Quotete M t, / 0 t M t 0, t Lermodul Idexrechug M t, t x M x x = = = M x t, t t xt x t0, t t0 t 0 t t 0. 9

10 DESKRIPTIVE STATISTIK Verkettug vo Zetrehe Lege für deselbe Größe zwe Messzahlerehe vor, de für uterschedlche Zeträume bestmmt wurde, da köe wr dese bede Messzahlerehe verküpfe ud ee lägere Zetrehe daraus blde. Dese Verküpfug wrd als Verkettug bezechet. See M () de Messzahle des erste Tels ud t 0, t ergebe sch de Messzahle Bassperode st: M () t, t de des zwete. Da M ( v) der verkettete Zetrehe, be der t t 0, t 0 de x x x () v () () t t t t t t t t t M M M 0, = 0,, = =. xt x 0 t x t0 Lermodul Idexrechug Der Laspeyres-Idex I wrtschaftlche Zusammehäge ergbt sch häufg de Problemstellug, de durch verschedee Messzahle erfasste zetlche Etwcklug vo Prese, Absatzzahle oder Umsätze durch ee ezge Kegröße zu erfasse. Ee solche kollektve Kegröße für ee Velzahl vo Ezeletwckluge st ee Idexzahl. L = 0, t,0 = I M g Lermodul Idexrechug 0

11 DESKRIPTIVE STATISTIK Der Megedex vo Laspeyres E Megedex drückt de megemäßge Veräderug ees Warekorbes zwsche verschedee Zeträume aus. Lermodul Idexrechug Q g L 0, t,0 qt, p,0 qt, = g = = q,0 p,0 q,0 j j,0 j,0 = q,0 p,0 P pt, q Q, 0, t q p = p q t t,,0 Der Paasche-Idex Der Paasche-Idex st e gewchtetes harmosches Mttel vo Messzffer, be dem de Gewchte aus der Berchtsperode stamme. Lermodul Idexrechug I P = g t, = M 0, t Der Presdex 0, P P t vo Paasche E Presdex drückt de preslche Veräderug ees Warekorbes zwsche verschedee Zeträume aus. P P 0, t p q t, t, = p q,0 t, Lermodul Idexrechug Der Fsher-Idex Das geometrsche Mttel aus Laspeyres- ud Paasche-Idex st der Fsher-Idex. Lermodul Idexrechug I F L P = I I

12 DESKRIPTIVE STATISTIK Der Umsatzdex E Wert- bzw. Umsatzdex drückt de wertmäßge Veräderug ees Warekorbes zwsche verschedee Zeträume aus. U L P 0, t U0, t p q t, t, = = p q,0,0 Lermodul Idexrechug Der Gesamtpresdex ach Laspeyres Lermodul Idexrechug p, q m,0 p, q,0 p, q L = t = t + = m+ t,0 P 0, t = = = p q p q =,0,0 =,0,0 PL L 0, ti () g I + P 0, tii ( ) g II

13 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Glechmöglchketsmodell N =Ω De Ergebsmege Ω der ees Zufallsexpermetes habe möglche Ergebsse. Da wrd m Glechmöglchketsmodell de Wahrschelchket für e Eregs A als Quotet der Azahl A der zum Eregs A gehörge Ergebsse ud der Azahl aller Ergebsse defert: A PA ( ) =. N Ma sprcht her auch vo der Laplacesche Defto der Wahrschelchket. A PA ( ) = N Lermodul Statstsche Wahrschelchket Bedgte Wahrschelchket De bedgte Wahrschelchket P( A B ) gbt a, mt welcher Wahrschelchket das Eregs A etrtt, we vorausgesetzt wrd, dass das Eregs B ebefalls etrtt bzw. egetrete st. PA ( B) P( A B) =. PB ( ) Lermodul Statstsche Wahrschelchket Multplkatossatz Als Multplkatossatz wrd de sch aus der Defto der bedgte Wahrschelchket ergebede Darstellug der Wahrschelchket des Durchschttes A B als Produkt der bedgte Wahrschelchket ud der Wahrschelchket des bedgede Eregsses bezechet. PA ( B) = P( A B) PB ( ). Lermodul Statstsche Wahrschelchket 3

14 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Satz der totale Wahrschelchket Gegebe see k Eregsse A,..., k ud zusamme de Stchproberaum ergebe: A A = Ø für, j =,..., k ; j j A, de sch gegesetg eader ausschleße PB ( ) = PB ( A) + + PB ( A ) = PB ( A) PA ( ) + + P( B A ) PA ( ) k k k k A = = Ω Weterh se e Eregs B gegebe, desse Wahrschelchket größer als ull st, P ( B) > 0. Da lässt sch de Wahrschelchket des Eregsses B als Summe der Wahrschelchkete der Durchschtte B A darstelle. Lermodul Statstsche Wahrschelchket Satz vo Bayes Das Theorem (oder auch Formel) vo Bayes stellt ee Zusammehag zwsche bedgte Wahrschelchkete PA ( B) ud PB ( A ) ud her, wobe A,..., A k ee Zerlegug des Stchproberaumes Ω blde. PB ( A) P ( A) PA ( B) =. P( B A ) P( A ) + + P B A P A dabe wrd PB ( ) > 0 vorausgesetzt. ( ) ( ) k k Lermodul Statstsche Wahrschelchket 4

15 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Uabhäggket vo Eregsse Zwe Eregsse A ud B heße uabhägg, we de Wahrschelchket für de Durchschtt der bede Eregsse glech dem Produkt der Ezelwahrschelchkete st. P( A B) = P( A) PB ( ) Lermodul Statstsche Wahrschelchket Dskrete Radverteluge We für zwe Zufallsvarable X ud Y ee gemesame Wahrschelchketsvertelug gegebe st, so heße de Verteluge der ezele Zufallsvarable hre Radverteluge. Be dskrete Zufallsvarable ergebe sch de bede Wahrschelchketsfuktoe vo X ud Yaus der gemesame Wahrschelchketsfukto. p = PX ( = x) = P( X = x, Y = y ) PX ( = x, Y = y ) ( =,..., I) J p = PY ( = y ) = PX ( = x, Y = y ) j j j PX ( = x, Y = y ) ( j=,..., J) I j Lermodul Statstsche Wahrschelchket Erwartugswert Der Erwartugswert eer Zufallsvarable X st ee Maßzahl für das Nveau der Vertelug eer Zufallsvarable. De theoretsche Varaz st ee Maßzahl für de Streuug der Vertelug eer Zufallsvarable X. Se st de erwartete quadratsche Abwechug der Zufallsvarable vo hrem Erwartugswert. σ = V( X) = I ( µ ) für dskretes = x p X ( - µ ) ( ) für stetges - x f x dx X Lermodul Dskrete Wahrschelchketsverteluge 5

16 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Theoretsche Varaz De theoretsche Varaz st ee Maßzahl für de Streuug der Vertelug eer Zufallsvarable X. Se st de erwartete quadratsche Abwechug der Zufallsvarable vo hrem Erwartugswert. Lermodul Dskrete Wahrschelchketsverteluge σ = V( X) = I ( µ ) für dskretes = x p X ( - µ ) ( ) für stetges - x f x dx X Theoretsche Stadardabwechug De theoretsche Stadardabwechug beschrebt de Streuug der Realsatoe um das arthmetsche Mttel bzw. de Erwartugswert. σ X = σx = V( X) Lermodul Dskrete Wahrschelchketsverteluge Egeschafte vo Erwartugswert ud Varaz Lermodul Dskrete Wahrschelchketsverteluge Ea ( + bx) = a+ be( X) EgX ( ( )) = Va ( + bx) = bv( X) gx ( ) p X dskret gxdx ( ) X stetg V( X) = E( X ) E( X). 6

17 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Stadardserug eer Zufallsvarable De Stadardserug eer Zufallsvarable X st de Trasformato, be der der Erwartugswert subtrahert ud se aschleßed durch de Stadardabwechug dvdert wrd. De Stadardserug ergbt de stadardserte Varable Z, de de Erwartugswert 0 ud de Varaz hat. Z = X σ µ X X EZ ( ) = 0, Var( Z) = Lermodul Dskrete Wahrschelchketsverteluge Tschebychev-Uglechug Für Zufallsvarable X mt Erwartugswert E( X ) = µ ud Varaz V( X) de Tschebychev-Uglechug a, mt welcher Mdestwahrschelchket X ee Wert aus dem k-fache zetrale Schwakugstervall ammt. = σ gbt P( µ kσ X µ + kσ) k Lermodul Dskrete Wahrschelchketsverteluge Kovaraz zweer Zufallsvarable De Kovaraz zweer Zufallsvarable X ud Y erfasst de leare Zusammehag. Lermodul Gemesame Wahrschelchketsverteluge I J ( x µ X)( y j µ Y) pj falls X ud Y dskret = j= CovXY (, ) = ( x µ X)( y µ Y) fxy (, ) dxy d falls X ud Y stetg. Cov( XY, ) = E[( X µ )( Y µ )] X Y 7

18 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Korrelatoskoeffzet zweer Zufallsvarable Der Korrelatoskoeffzet zweer Zufallsvarable X ud Y st ee Maßzahl für de leare Zusammehag. ρ = Cor( XY, ) = XY Cov( XY, ) V( X) VY ( ) Lermodul Gemesame Wahrschelchketsverteluge Bedgte dskrete Wahrschelchketsvertelug De Wahrschelchketsvertelug der dskrete Zufallsvarable Y uter der Voraussetzug, dass e Wert vo X gegebe st, heßt bedgte Wahrschelchketsvertelug. Aalog st de bedgte Wahrschelchketsvertelug vo X be gegebeem { Y = y j } defert. PX ( = x, Y = yj) PY ( = y j X = x) = ( j =,..., J). PX ( = x ) PX ( = x, Y = yj) PX ( = x Y = yj) = ( =,..., I). PY ( = y ) j Lermodul Gemesame Wahrschelchketsverteluge Uabhäggket vo dskrete Zufallsvarable Zwe dskrete Zufallsvarable X ud Y heße uabhägg, we de gemesame Wahrschelchketsfukto glech dem Produkt der ezele Wahrschelchketsverteluge st. PX ( = x, Y = y ) = PX ( = x ) PY ( = y ) ( =,..., I, j =,..., J) j j Lermodul Gemesame Wahrschelchketsverteluge 8

19 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Wahrschelchketsfukto für de hypergeometrsche Vertelug Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle M N M x x f( x) = PX ( = x) = N für max 0, ( N M) x m{ M, }. { } (Asoste st f( x) glech ull.) Maßzahle der hypergeometrsche Vertelug M M M N E( X) =, V( X) =. N N N N Wahrschelchketsfukto der Bomalvertelug Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle x x f ( x) = PX ( = x) = p ( p) ( x 0,,..., ) x = (Asoste st f( x) ull.) Maßzahle der Bomalvertelug E( X) = p, V( X) = p( p). 9

20 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Wahrschelchketsfukto der Posso-Vertelug Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle x λ λ f ( x) = PX ( = x) = e ( x= 0,,...) x! (Asoste st f( x) ull.) Maßzahle der Posso-Vertelug E( X) = λ, V( X) = λ. Reproduktosegeschaft der Posso-Vertelug X PO( λ), Y PO( κ ), X ud Y uabhägg X + Y PO( λ + κ ) Wahrschelchketsfukto der geometrsche Vertelug Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle x f ( x) = PX ( = x) = p( p) ( x = 0,,,...) (Asoste st f( x) ull.) Egeschafte vo Vertelugsfuktoe x < x F( x ) F( x ) F( x) für x, Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle F( x) 0 für x 0 F( x). Vertelugsfukto der geometrsche Vertelug F x p x x+ ( ) = ( ) ( = 0,,,...) Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle 0

21 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Maßzahle der geometrsche Vertelug p p E( X) =, V( X) = p p Wahrschelchketsfukto der egatve Bomalvertelug Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle f (0) = p k x + k f ( x) = ( p) f( x ) ( x =,,...) x Maßzahle der egatve Bomalvertelug Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle ( ) ( ) ( ) k p, ( ) k E X = V X = p p p Theoretsche Quatle x = F ( p) 0< p<. p Lermodul Stetge Vertelugsmodelle Dchtefukto eer stetge Vertelug De Dchtefukto eer stetge Vertelug st dadurch charaktersert, dass das bestmmte Itegral über e Itervall de Wahrschelchket ergbt, mt der ee zugehörge Zufallsvarable ee Wert aus desem Itervall ammt. Lermodul Stetge Vertelugsmodelle b Pa ( < X b) = f() t dt. a

22 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Dchtefukto der stetge Glechvertelug Glechvertelug über dem Itervall [0,]. für 0 x < f ( x) = 0 sost Lermodul Stetge Vertelugsmodelle Vertelugsfukto der stetge Glechvertelug Glechvertelug über dem Itervall [0,]. Lermodul Dskrete Vertelugsmodelle 0 für x < 0 F( x) = x für 0 x< für x Maßzahle der stetge Glechvertelug Glechvertelug über dem Itervall [0,]. Lermodul Stetge Vertelugsmodelle Vertelugsfukto der Expoetalvertelug Lermodul Stetge Vertelugsmodelle E( X) = x dx = V( X) = ( x 0.5) dx = 0 λt e für t 0 Ft () =. 0 für t < 0 Dchtefukto der Expoetalvertelug t ' λe λ für t 0 f () t = F () t =. 0 für t < 0

23 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Maßzahle der Expoetalvertelug ET ( ) = tf () t dt =, VT ( ) = t f() t dt λ = λ λ 0 0 Dchtefukto der Laplace-Vertelug Lermodul Stetge Vertelugsmodelle λ x f ( x) = e λ µ Vertelugsfukto der Pareto-Vertelug Lermodul Stetge Vertelugsmodelle 0 für α Fx ( ) = k - für x x k x> k Maßzahle der Pareto-Vertelug α E( X) = k falls α >, α α V(X)= k falls α >. ( α ) ( α ) 3

24 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Approxmato der Bomalvertelug Für große lasse sch de Bomalwahrschelchkete durch de etsprechede Werte der Dchtefukto der Normalvertelug approxmere. Lermodul Normalvertelug p p e x π p( p) dabe st x x z / ( ) ; z = x p p( p). Dchte der Normalvertelug Lermodul Normalvertelug f ( x) = πσ e ( x µ ) σ Stadardormalvertelug De Stadardormalvertelug st de Normalvertelug mt dem Erwartugswert ull ud der Varaz es, µ = 0 ud σ =. Z N(0,). Lermodul Normalvertelug Grezwertsatz vo de Movre ud Laplace Lermodul Normalvertelug Falls X bomalvertelt st, X~ Bp (, ), so glt be geüged großem : k PX ( k ) o µ o Φ σ 4

25 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Dchtefukto der logarthmsche Normalvertelug Lermodul Normalvertelug 0 für x 0 f ( x) = (l( x) µ )..exp N für x > 0 πσ x σ N N Maßzahle der logarthmsche Normalvertelug Lermodul Normalvertelug σ N EX ( ) = exp µ N +, V( X ) = exp( µ N + σn) exp( σn) Dchte der bvarate Normalvertelug Lermodul Normalvertelug ( ) x µ x µ y µ ( y µ ) fxy (,) =.exp ρ + πσσ ρ ( ρ) σ σ σ σ 5

26 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Zetraler Grezwertsatz Der Zetrale Grezwertsatz besagt m efachste Fall, dass de Vertelug der stadardserte Summe eer Folge vo uabhägge Zufallsvarable X, X,..., X,... mt Erwartugswert µ ud Varaz σ für gege de Stadardormalvertelug N (0,) kovergert, PZ ( z) Φ ( z) für, Praktsch bedeutet des, dass de Vertelug eer Summe vo uabhägge, detsch vertelte Zufallsvarable mt Erwartugswert µ ud Varaz σ für große durch ee Normalvertelug ageähert werde ka. X, X,... se ee Folge vo uabhägge Zufallsvarable mt Erwartugswert µ ud Varaz σ. Da glt: Z = = X σ µ Z N(0,) ( ) Lermodul Normalvertelug Azahl vo Permutatoe ohe Wederholug Ma ka N verschedee Objekte auf N ( N ) = N! verschedee Wese aorde. N! wrd als N-Fakultät bezechet. Spezell wrd 0! = gesetzt. N ( N ) = N! 0! = Lermodul Exkurs Kombatork 6

27 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Azahl vo Permutatoe mt Wederholug Ma ka N Objekte, de Telgruppe,... k zerlegt werde köe ud be N!!!...! k dee alle Elemete jeder Telgruppe cht zu uterschede sd, N!!!...! k verschedee Abfolge aorde, wobe k = N glt. Lermodul Exkurs Kombatork. Kombatosregel Solle k Objekte bestmmter Rehefolge aus Objekte ausgewählt werde, so ergebe sch sgesamt ( k) Aders ausgedrückt gbt es folgede Möglchkete. Lermodul Exkurs Kombatork!/! möglche Varatoe für de k Objekte.!!!! k = k k k! ( k) =! ( k)! 7

28 ERHEBUNGSVERFAHREN Auswahlwahrschelchket der Ezelelemete be der efache Zufallsstchprobe de Auswahlwahrschelchket der Ezelelemete be der efache Zufallsstchprobe st stets N. N ( N ) N N + pelemet ( ) = = N = = N N N Lermodul efache Zufallsstchprobe Azahl möglcher Realseruge vo efache Zufallsstchprobe De Azahl der möglche efache Zufallsstchprobe (ohe Zurücklege) vom Umfag aus eer Populato mt N Elemete st glech: p = N N N! =!( N )! Lermodul efache Zufallsstchprobe Bereche vo Auswahlwahrschelchkete De Berechug der Wahrschelchket p, dass e bestmmtes Elemet eer Grudgesamthet vom Umfag N Tel eer efache Zufallsstchprobe vom Umfag wrd, st für jedes Elemet glech: p = N Lermodul efache Zufallsstchprobe 8

29 ERHEBUNGSVERFAHREN De Schätzformel für de Mttelwert eer Varable der Grudgesamthet be eer geschchtete Stchprobe Lermodul Geschchtete Zufallsstchprobe yˆ = H w h h= H h= y w h h Auswahlwahrschelchket be proportoal geschchtete Stchprobe Lermodul Geschchtete Zufallsstchprobe p Nh = N = N h N Auswahlwahrschelchket be dsproportoal geschchtete Stchprobe Lermodul Geschchtete Zufallsstchprobe p h = N h h Gewchtug be dsproportoal geschchtete Stchprobe Gewcht des Elemets der Schcht h Lermodul Geschchtete Zufallsstchprobe w h Nh = = = h ph h N h 9

30 ERHEBUNGSVERFAHREN Schätzformel für de Mttelwert be dsproportoal geschchtete Stchprobe Lermodul Geschchtete Zufallsstchprobe yˆ = H w h h= H h= y w h h Neyma-Auftelug Tele wr de Grudgesamthet sgesamt H dsjukte Schchte vom Umfag N h e, da ergbt sch für de Schcht h als optmaler Umfag e Stchprobeumfag vo : Lermodul Klumpestchprobe h σ h = N σ H h= h h h N σ h st de Stadardabwechug der Schcht h Auswahlwahrschelchket der Ezelelemete be der Klumpestchprobe Bezechet de Azahl der Klumpe der Stchprobe ud N de Zahl aller der Populato vorkommede Klumpe, da beträgt de Auswahlwahrschelchket für jede Klumpe / N. Da de Auswahlwahrschelchket jedes Elemets erhalb ees Klumpes glech st, st de Auswahlwahrschelchket für e Ezelelemet ( / N ) *, also glech / N. ( / N ) * Lermodul Klumpestchprobe 30

31 ERHEBUNGSVERFAHREN Desgeffekt Der Desgeffekt st defert als das Verhälts des Stadardfehlers (SE) eer Stchprobekegröße ees gegebee Stchprobeplas zum Stadardfehler eer Stchprobekegröße eer efache Zufallsstchprobe. Am Bespel des Mttelwerts lässt sch deft defere als: deft y = SE y SE sample y srs Lermodul Klumpestchprobe Schätzug Desgeffekt Für große Stchprobe lässt sch der Desgeffekt eer Klumpestchprobe für de Schätzug des Mttelwert aäher, wobe M de Azahl der Elemete m Klumpe st. deft y SEy cluster = = [ + ( M ) ρ] SE y srs Lermodul Klumpestchprobe Der Itraklassekorrelatoskoeffzet ρ ρ = Itraklassekorrelatos-koeffzet N= Azahl der Klumpe M= Azahl der Elemete SS W = Summe der Quadrate erhalb der Klumpe ( sum of squares wth ) SS T = Summe aller Quadrate ( sum of squares total ) M = de Azahl der Elemete m Klumpe. ρ = N M N = j= k j ( y y)( y y) j k ( NM )( M ) S M SSW ρ = M SST Lermodul Klumpestchprobe 3

32 SCHÄTZEN Schätzfukto Ee Schätzfukto ˆ θ für ee Parameter θ st ee Stchprobefukto, dere Realsatoe als Näherugswerte (Schätzwerte) für de ubekate Parameterwert θ verwedet werde. θ ˆ = (,..., ) gx X Lermodul Grudlage Erwartugstreue Schätzfukto Ee Schätzfukto ˆ θ heßt erwartugstreu oder uverzerrt (ubased) für de Parameter θ, we se de wahre Parameterwert θ m Mttel trfft. ( θˆ) = ( θˆ(,..., )) = θ für alle θ E E X X Lermodul Wetere Egeschafte vo Puktschätzer Bas Der Bas (Verzerrug) st de systematsche Abwechug, de ee Schätzfukto vom zu schätzede Parameter aufwest. b( θθ ˆ, ) = E( θˆ) θ Lermodul Wetere Egeschafte vo Puktschätzer 3

33 SCHÄTZEN Asymptotsche Erwartugstreue Ee Schätzfukto heßt asymptotsch erwartugstreu oder uverzerrt, we der Bas be gege uedlch strebedem Stchprobeumfag gege Null geht. lm E( θˆ ) = θ für alle θ. Lermodul Wetere Egeschafte vo Puktschätzer Kosstez Ee Schätzfukto θ ˆ heßt kosstet, we der mttlere quadratsche Fehler mt wachsedem Stchprobeumfag gege ull geht (). Alteratve Defto: Ee Schätzfukto θ ˆ heßt kosstet, we se zumdest asymptotsch erwartugstreu st ud de Varaz des Schätzers mt zuehmedem Stchprobeumfag gege Null geht. () lm MQF ( θθ ˆ, ) 0 = () lm E( θˆ) = θ ud lm V( θˆ) = 0 () Lermodul Wetere Egeschafte vo Puktschätzer Mttlerer quadratscher Fehler (MQF) Der mttlere quadratsche Fehler eer Schätzfukto ˆ θ gbt de erwartete quadratsche Abwechug des Schätzers vom wahre Parameterwert a (). Der mttlere quadratsche Fehler ka zerlegt werde de Summe aus der Varaz des Schätzers ud dem quadrerte Bas : () MQF ( θθ ˆ, ) = E ( θˆ θ) (). ( θθ ˆ, ) = ( θθ ˆ, ) + ( θ ˆ ) MQF b Var (). Lermodul Wetere Egeschafte vo Puktschätzer 33

34 SCHÄTZEN Alpha-getrmmtes Mttel Das α -getrmmte Mttel st ee robuste Alteratve zum Mttelwert als Schätzer für µ. De Awedug sollte ur da erfolge, we de X v aus eer Vertelug stamme, de symmetrsch st. Lermodul Robusthet X α r = X ( v, r ) v= r+ wobe r de größte gaze Zahl st, de de Uglechug r α erfüllt. Schätzer für de Parameter Sgma^ der Normalvertelug S st e kossteter Schätzer für de Varaz σ. = ( v ) - v= S X X Lermodul Vorstellug weterer Schätzer Wahrschelchketsdchte der Ch^-Vertelug De stetge Vertelug mt der Wahrschelchketsdchte () heßt χ Vertelug. Γ st de Gamma-Fukto (). Lermodul Vorstellug weterer Schätzer ν / y / y e y 0 ν / fν ( y) = Γ( ν /) 0 y < 0 0 k x Γ ( k) = x e dx () () 34

35 SCHÄTZEN MAD Der MAD (=Meda Absolute Devato) st e robuster Streuugsschätzer. Um ee kosstete Schätzer für de Stadardabwechug σ uter Normalvertelug zu erhalte, muss der MAD mt dem Korrekturfaktor.486 multplzert werde. { } MAD= meda x x, x x,, x x Lermodul Vorstellug weterer Schätzer Relatve Effzez De relatve Effzez η ees erwartugstreue Schätzers θ ˆ m Verglech zu eem adere erwartugstreue Schätzer θ ˆ für deselbe Parameter θ st ˆ ˆ defert als der Quotet der Varaz vo θ ud der Varaz vo θ. ˆ ˆ ˆ V( θ) η = ηθ (, θ) = V( θˆ ) Lermodul Auswahl vo Schätzfuktoe Asymptotsche relatve Effzez De Grezwert der relatve Effzez bezechet ma als de asymptotsche θ ˆ relatve Effzez vo bezüglch θ ˆ. η = lm ηθ ( ˆ, θˆ) Lermodul Auswahl vo Schätzfuktoe 35

36 SCHÄTZEN Wahrschelchketsdchte der Laplace-Vertelug De Laplace-Vertelug st ee stetge Vertelug mt der Wahrschelchketsdchte (). µ st der Erwartugswert ud b e V( X) b Skaleparameter, für de = glt. f( x) x µ = b () e b Lermodul Kofdeztervall für My - Sgma bekat Kofdeztervall E Kofdeztervall für ee Parameter θ st e Paar vo Stchprobefuktoe gu, g o, de de wahre Parameterwert mt eer vorgegebee Mdestwahrschelchket eschleße: De Mdestwahrschelchket ( α) wrd als Kofdezveau bezechet. ( θ ) P g ( X, X,..., X ) g ( X, X,..., X ) α u o Lermodul Kofdeztervall für My - Sgma bekat Schwakugstervall für de Mttelwert Das Itervall () st das zetrale ( α Mttelwert be Normalvertelug. )-Schwakugstervall für de σ µ z, µ + z α / α / () σ Lermodul Kofdeztervall für My - Sgma bekat 36

37 SCHÄTZEN Kofdeztervall für de Parameter µ der Normalvertelug, σ bekat Das Itervall () st das ( α) Kofdeztervall für de Parameter µ der Normalvertelug be bekatem σ. De Brete des Itervalls berechet sch ach (). σ σ () [ µ ˆu, µ ˆo] = X z α /, X + z α/ σ B = µ ˆo µ ˆu = z α / () Lermodul Kofdeztervall für My - Sgma bekat t-vertelug De stetge Vertelug, mt der Wahrschelchketsdchte () heßt Studet- Vertelug oder auch t-vertelug. Γ st de Gamma-Fukto (). Lermodul Kofdeztervall für My - Sgma ubekat ( )/ ( ν + ν + ) t ν () ν πν Γ fν () t = + Γ( ) 0 k x Γ ( k) = x e dx () Kofdeztervall für de Parameter µ der Normalvertelug, σ ubekat Das Itervall () st das ( α) Kofdeztervall für de Parameter µ der Normalvertelug be ubekatem σ. De Brete des Itervalls berechet sch ach (). Wel S ee Zufallsvarable st, st auch de Brete des Kofdeztervalls ee Zufallsvarable mt dem Erwartugswert (3). Lermodul Kofdeztervall für My - Sgma ubekat S S () [ µ ˆu, µ ˆo] = X tν; α /, X + tν; α/ S B = µ ˆo µ ˆu = tν; α / () EB ( ) σ tν; α / (3) 37

38 SCHÄTZEN Kofdeztervallfür Sgma^ be Normalvertelug Das Itervall () st das ( α) Kofdeztervall für de Parameter Normalvertelug. σ der ( ) S ( ) S σu, σ o =, χν; α/ χνα ; / () Lermodul Kofdeztervall für Sgma Kofdeztervall für Sgma be Normalvertelug Das Itervall () st das ( α) Kofdeztervall für de Parameter σ der Normalvertelug. De Brete () des Kofdeztervalls st ee Zufallsvarable. Statt der absolute Brete werde häufg de relatve Brete B/S bzw. de relatve Abstäde der Uter- ud Obergreze vo S agegebe (3). ( ) ( ), o = S, S χν; α/ χνα ; / [ σ σ ] u B = σˆo σˆu = χ να ; / χν; α / S () () Lermodul Kofdeztervall für Sgma σˆ ( ) u = S χν, ; α / σˆ ( ) S o = χνα (3) ; / 38

39 SCHÄTZEN Kofdeztervall für de Atelswert p Das Itervall () st das approxmatve ( α) Kofdeztervall für de Atelswert p. De Brete des Kofdeztervalls ergbt sch aus (). Sd p ud ( p) hreched groß, so wrd statt () gelegetlch de weter verefachte Form (3) verwedet. Lermodul Kofdeztervall für p z α/ pˆ( pˆ) z α/ pˆ + z α / +, 4 o =, z α / + () [ pˆ pˆ ] u z B = ˆp ˆp = o u z / ˆ( ˆ) ˆ α p p z α/ p+ + z α / + 4 z α / + pˆ( pˆ) z α / α / + z + α / 4 ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ p p /, ˆ p p z p z p α + α / () (3) 39

40 SCHÄTZEN Bootstrap-Kofdeztervall für My Bem Bootstrap-Verfahre werde aus der emprsche Vertelugsfukto F ˆ( x ) wederholt Stchprobe mt Zurücklege jewels vom gleche Umfag we de Ausgagsstchprobe gezoge. De Vertelug der aus dese Replkaktosstchprobe ermttelte statstsche Maßzahle det da als Approxmato für de tatsächlche Vertelug der Maßzahl. Sd x Bass ud s Bass Mttelwert ud Stadardabwechug der Bassstchprobe, da st e Bootstrap-Kofdeztervall für µ zum Kofdezveau α gegebe durch ˆ sbass ˆ sbass xbass + tα/, xbass + t α / () (). ˆt α / ud ˆt α / sd de Quatle, de sch aus de Replkatosstchprobe ergebe. Lermodul Bootstrap Kofdeztervalle 40

41 TESTEN Sgfkaztest Lermodul Fehlerwahrschelchkete PH ( ablehe H wahr) α 0 0 P(Fehler. Art) α Fehler.Art ud Fehler.Art Lermodul Fehlerwahrschelchkete Ablehberech Der Ablehberech C st e Tel des Werteberechs der Prüfgröße. Nmmt de Prüfgröße ee Wert aus desem Berech a, so wrd de Nullhypothese abgeleht. Im Se ees Sgfkaztests wrd der Ablehberech daher so gewählt, dass folgede Uglechug erfüllt st: P H ( T C) α. 0 Lermodul Testetscheduge 4

42 Test Hypotheseart Wahrschelchketsvertelug uter H 0 Ablehberech C Verwerfe H 0, we für de Prüfgröße T glt Berechug des krtsche Werts Berechug des p-werts H Test A 0 :" " H :" > " { : > } P ( T > c α ) = α C = t t c α T > c α H 0 P ( T t) = p H 0 Test B H 0 :" " H :" < " { : < } C = t t c α T c α < H0 P ( T < c α ) = α P ( T t) = p H 0 Test C H 0 :" = " H :" " { : < α /} { t: t > c } C= t t c T c α / T > α / < oder c α / P ( T < c ) + P ( T > c ) H = α α/ H α / 0 0 P ( T t ) + P ( T t ) H = p l H 0 0 r De Blder zege bespelhaft ee Wlcoxo-Vertelug mt =m=40. De dukelblaue Fläche stelle α.00% der Gesamtfläche dar. 4

43 TESTEN P-Werte Der p-wert st de Wahrschelchket uter H 0, de beobachtete Prüfgrößewert oder e Rchtug Alteratve extremere Wert zu erhalte. Ee Testetschedug mt Hlfe des p-wertes wrd für alle Testprobleme detsch durchgeführt: Verwrf H 0, falls p< α Behalte H 0, falls p α Lermodul Testetscheduge Wlcoxo-Ragsumme-Test: Aahme ) De Date müsse mdestes ordal skalert se. ) De Stchprobe X ud Y sd voeader uabhägg ud X,, X, Y,, Ym utereader ebefalls. X 3),, X ud Y,, Y m bestze de stetge Vertelugsfuktoe F bzw. G. Lermodul Wlcoxo-Ragsumme-Test 4) X ud Y bestze de gleche Varaz. 43

44 TESTEN Wlcoxo-Ragsumme-Test: Hypothese Testformulerug über de Vertelug Nullhypothese Alteratvhypothese Test A H0 : Gz ( ) = F( z ) H : Gz ( ) = F( z θ), z R, θ > 0 Test B H0 : Gz ( ) = F( z ) H : Gz ( ) = F( z θ), z R, θ > 0 Test C H0 : Gz ( ) = F( z ) H : Gz ( ) = F( z θ), z R, θ > 0 Testformulerug über de Meda Test A Test B Test C Nullhypothese Alteratvhypothese H x y H : x> y 0 : H x y H : x < y 0 : H x = y H : x y 0 : Wlcoxo-Ragsumme-Test: Prüfgröße, Prüfvertelug ) W = RX ( )~ W = N ) für Stchprobe mt oder m > 5: W ( + m + ) / Z = m( + m + )/ H o ~ N appr. (0,). 44

45 TESTEN Wlcoxo-Ragsumme-Test:Mmale ud N maxmale Ragsumme Mmale Ragsumme: W,m Maxmale Ragsumme: W N,max ( + ) = (m+ + ) = Wlcoxo-Ragsumme-Test: Ablehberech Test A ) W w ( m, ) Test B ) Test C ) < ) α W w α ( m, ) > ) W wα /( m, ) W > w α /( m, ) < oder ) Z < Z Z z α > z α > z α / 45

46 TESTEN Wlcoxo-Ragsumme-Test: R-Befehl De Bblothek wcox.r muss gelade se. wl.test(x,y,alteratve= t,a=0.5) Argumete: X,Y alteratve umerscher Datevektor spezfzert de Alteratvhypothese: t ˆ= H :" " g ˆ= H :" > " l ˆ= H :" < " a Sgfkazveau alpha Wlcoxo-Laborlk 46

47 TESTEN Gauß-Test Zwestchprobefall: Aahme ) Grudgesamthet X,, X uabhägg ud detsch ormalvertelt mt X ~ N ( µ X, σ X), =,, ) Grudgesamthet Y Y m uabhägg ud detsch ormalvertelt mt,, j µ Y σ Y Y ~ N(, ), j =,, m 3) De Stchprobe X ud Y sd voeader uabhägg ud X,, X, Y,, Y utereader ebefalls m Lermodul Gauß-Test für de Zwestchprobefall 4) σ X, σ Y bekat Gauß-Test Zwestchprobefall: Hypothese Nullhypothese Alteratvhypothese Test A H 0: µ x µ y δ0 H : µ x µ y < δ0 Test B Test C H 0: µ x µ y δ0 H : µ x µ y > δ0 H 0: µ x µ y = δ0 H : µ x µ y δ0 Gauß-Test Zwestchprobefall: Prüfgröße, Prüfvertelug Z = X Y x σ y σ + m ~ N(0,). H 0 47

48 TESTEN Gauß-Test Zwestchprobefall: R-Befehl De Bblothek gauss.r muss gelade se. gauss.test(x,y,vx=,vy=3,alteratve= t,a=0.5,mu=0) Argumete: X,Y vx,vy alteratve umerscher Datevektor Agabe der etsprechede Varaz spezfzert de Alteratvhypothese: t ˆ= H :" " g ˆ= H :" > " l ˆ= H :" < " a Sgfkazveau alpha mu ee Zahl, de δ 0 (Mttelwertsdfferez) spezfzert Gauß-Laborlk 48

49 TESTEN Gauß-Test Zwestchprobefall: Ablehberech Test A Test B Test C Z < zα = z Z > Z > z α z α / α t-test Zwestchprobefall: Aahme ) Grudgesamthet X,, X uabhägg ud detsch ormalvertelt mt X ~ N ( µ X, σ X), =,, ) Grudgesamthet Y Y m uabhägg ud detsch ormalvertelt mt,, j µ Y σ Y Y ~ N(, ), j =,, m 3) De Stchprobe X ud Y sd voeader uabhägg ud X,, X, Y,, Y utereader ebefalls m Lermodul t-test für de Zwestchprobefall 4) σ X, σ Y ubekat, aber σ X = σy t-test Zwestchprobefall: Hypothese Nullhypothese Alteratvhypothese Test A H 0: µ x µ y δ0 H : µ x µ y < δ0 Test B Test C H 0: µ x µ y δ0 H : µ x µ y > δ0 H 0: µ x µ y = δ0 H : µ x µ y δ0 49

50 TESTEN t-test Zwestchprobefall: Prüfgröße, Prüfvertelug T = X Y δ 0 + S ² m ), m 30: T ~ t + m : T ~ N(0, ) ), m > 30 appr. Gepoolter Varazschätzer (( ) ( ) ) S m S S + m + m + m S m S m = ( X X ) ( Yj Y ) +. = = = X + Y = X + Y + j T < t = t ) t-test Zwestchprobefall: Ablehberech Test A ) + m ; α + m ; α Z < z α Test B ) T > t ) + m ; α Z > z α Test C ) T t α > ) + m ; / Z > z α / 50

51 TESTEN t-test Zwestchprobefall: R-Befehl t.test(x,y,alteratve= t,mu=0,var.equal=false,cof.level=0.95) Argumete: X,Y alteratve umerscher Datevektor spezfzert de Alteratvhypothese: t ˆ= H :" " g ˆ= H :" > " l ˆ= H :" < " mu ee Zahl, de δ 0 (Mttelwertsdfferez) spezfzert var.equal cof.level [TRUE / FALSE] logsche Abfrage, ob de Varaze σ ud X σ Y als glech oder uglech behadelt werde solle. Be TRUE wrd de gepoolte Varaz verwedet, be FALSE wrd der Welch-Test berechet. Kofdezwahrschelchket α t-test-laborlk 5

52 TESTEN Welch-Test: Aahme ) Grudgesamthet X,, X uabhägg ud detsch ormalvertelt mt X ~ N ( µ X, σ X), =,,. ) Grudgesamthet Y Y m uabhägg ud detsch ormalvertelt mt,, j Y Y Y ~ N( µ, σ ), j =,, m. 3) De Stchprobe X ud Y sd voeader uabhägg ud X,, X, Y,, Y utereader ebefalls m Lermodul Welch-Test 4) σ X, σ Y ubekat Welch-Test: Hypothese Nullhypothese Alteratvhypothese Test A H 0: µ x µ y δ0 H : µ x µ y < δ0 Test B Test C H 0: µ x µ y δ0 H : µ x µ y > δ0 H 0: µ x µ y = δ0 H : µ x µ y δ0 5

53 TESTEN Welch-Test: Prüfgröße, Prüfvertelug ) m, 30: T X Y δ0 = SX SY + m appr. ~ H 0 t υ. : T ~ N(0, ) ), m > 30 appr. Welch-Test: Frehetsgrade Frehetsgrade uter H 0 : υ = Sx S Y + m S + m m X SY falls ötg, st υ auf ee gaze Zahl abzurude T < t = t ) Welch-Test: Ablehberech Test A ) υα ; υ; α Z < z α Test B ) T > t ) υ ; α Z > z α Test C ) T t υ α > ) ; / Z > z α / 53

54 TESTEN Welch-Test: R-Befehl t.test(x,y,alteratve= t,mu=0,var.equal=false,cof.level=0.95) Argumete: X,Y alteratve umerscher Datevektor spezfzert de Alteratvhypothese: t ˆ= H :" " g ˆ= H :" > " l ˆ= H :" < " mu ee Zahl, de δ 0 (Mttelwertsdfferez) spezfzert var.equal cof.level [TRUE / FALSE] logsche Abfrage, ob de Varaze σ ud X σ Y als glech oder uglech behadelt werde solle. Be TRUE wrd de gepoolte Varaz verwedet, be FALSE wrd der Welch-Test berechet. Kofdezwahrschelchket α Welch-Laborlk 54

55 TESTEN Gauß-Test Estchprobefall: Aahme Aahme : σ bekat Lermodul Gauß-Test ud T-Test m Estchprobefall Gauß-Test Estchprobefall: Hypothese Nullhypothese Alteratve Test A H 0: µ µ 0 gege H : µ < µ 0 Test B H 0: µ µ 0 gege H : µ > µ 0 Test C H 0: µ = µ 0 gege H : µ µ 0 Gauß-Test Estchprobefall: Prüfgröße Z = ( X µ ) σ / 0 Gauß-Test Estchprobefall: Ablehberech Verwrf H0, falls Z < z = z Test A α α Test B Z > z α Test C Z > z α / t-test Estchprobefall: Aahme Aahme : σ ubekat. Lermodul Gauß-Test ud T-Test m Estchprobefall 55

56 TESTEN t-test Estchprobefall: Hypothese Nullhypothese Alteratve Test A H 0: µ µ 0 gege H : µ < µ 0 Test B H 0: µ µ 0 gege H : µ > µ 0 Test C H 0: µ = µ 0 gege H : µ µ 0 t-test Estchprobefall: Prüfgröße t = ( X µ ) S / 0 t-test Estchprobefall: Ablehberech Verwrf H0, falls Test A t< t ; α Test B t > t ; α Test C t > t ; α / Sgma-Test: Aahme Lermodul Sgma-Test Aahme : µ bekat oder Aahme : µ ubekat. 56

57 TESTEN Sgma-Test: Hypothese Nullhypothese Alteratve Test A Test B Test C 0: 0 gege H σ σ 0: 0 gege H σ σ 0: = 0 gege H σ σ : < 0 H σ σ : > 0 H σ σ : 0 H σ σ Sgma-Test: Prüfgröße X µ χ µ = = σ be bekatem µ χ x = X X ( ) S = = σ σ be ubekatem µ 57

58 TESTEN Sgma-Test: Ablehberech Fall : Testetschedug be µ bekat Test A H0 ablehe, falls Test B H0 ablehe, falls Test C H0 ablehe, falls χ µ χ; α µ ; α µ χ; α/ χ χ χ oder µ ; α /. χ χ Fall : Testetschedug be µ ubekat Test A H0 ablehe, falls Test B H0 ablehe, falls χ x χ ; α x ; α χ χ Test C H0 ablehe, falls χx χ ; α / oder χ x χ ; α / P-Test: Aahme Lermodul p-test Es see X,..., X Beroull-Varable mt, falls Aetrtt X =, =,...,, 0, falls Aetrtt P(X = 0) = -p. P(X = ) = p ud d.h. 58

59 TESTEN P-Test: Hypothese Hypothese Test A H0: p p0 gege H: p < p0 Test B H0: p p0 gege H: p > p0 Test C H0: p = p0 gege H: p p0 P-Test: Prüfgröße T = X = P-Test: Ablehberech Test A H 0 ablehe, falls T k α Test B H 0 ablehe, falls T k α Test C H 0 ablehe, falls T k α / oder T k α / Approxmatver P-Test: Prüfgröße Z = T p p( p) 59

60 TESTEN Approxmatver P-Test: Ablehberech Test A H 0 ablehe, falls Z z α oder Test B H 0 ablehe, falls Z z- α T p + p ( p ) Test C H 0 ablehe, falls Z z α / oder Z z a/ 0 o 0 Vorzechetest: Aahme D = X Y,=,...,, Lermodul Vorzechetests Vorzechetest: Hypothese Hypothese Test A H0 : MD 0 gege H : M D < 0 Test B H0 : MD 0 gege H : M D > 0 Test C H0 : M D = 0 gege H : MD 0 Vorzechetest: Prüfgröße T = B, wobe B = st, falls D > 0 ud B = 0, falls D < 0 st. = Es glt: D = X Y,=,...,, 60

61 TESTEN Vorzechetest: Ablehberech Test A H 0 ablehe, falls T k α Test B H 0 ablehe, falls T k α Test C H 0 ablehe, falls oder T k α / oder T k α / Theoretscher Ph-Koeffzet Kotgez-koeffzet De Auspräguge ( x, y j) der Zufallsvarable X ud Y werde mt der p ; =,..., I, j =,..., J ageomme. Da heßt Wahrschelchket j Φ theor I J ( p ) j pp j = = j= p p j Lermodul Tests Kotgeztafel X ud Y uabhägg: theor Φ = 0. χ Uabhäggketstest: Aahme ) X ud Y sd zwe kategorale, dskrete oder klassfzert stetge Zufallsvarable. ) De Stchprobevarable ( X, Y ), =,, I, j =,, J sd uabhägg. j 6

62 TESTEN χ Uabhäggketstest: Hypothese Nullhypothese Alteratvhypothese H0 : pj = p p j für alle (, j ) H p p p : j j für mdestes e Paar (, j ) χ Uabhäggketstest: Prüfgröße Zwefelder (x) χ χ = ( ) / ( ) skorr = / Mehrfelder (IxJ) χ I J ( ) j j = = j= j, wobe j j = 6

63 TESTEN χ Uabhäggketstest: Prüfvertelug Zwefelder (x) ~ Z approx. χ χ = ( Z st das Quadrat eer stadardserte Normalvertelug) Mehrfelder (IxJ) ~ ( I )( J ) approx. χ χ χ Uabhäggketstest: Testetschedug Zwefelder (x) χ > z α / Mehrfelder (IxJ) > ( I )( J ); α χ χ 63

64 TESTEN Mc-Nemar-Test: Aahme ) Zwe abhägge (verbudee) Stchprobe X ud Y, jewels mt Stchprobeumfag. ) X ud Y sd omalskalerte, dchotome Zufallsvarable, a ordbar ee x-tafel: Y y y X x x Lermodul Tests Kotgeztafel ( + ) 0 3) Mc-Nemar-Test: Hypothese Nullhypothese Alteratvhypothese H p p 0 : = H: p p 64

65 TESTEN Mc-Nemar-Test: Prüfgröße, Prüfvertelug ) ) 0 ( + ) < 30 (mt Stetgketskorrektur) ( ) 30 ( ) + ( ) = ~ ; + H0 χ χ α = ~ ; + H0 χ χ α Mc-Nemar-Test: Ablehberech χ > χ; α McNemar-Test: R-Befehl mcemar.test(x,y=null,correct=true) Argumete: X etweder ee -Tafel Matrxform oder e Datevektor Y correct e Datevektor; wrd gorert, we X ee Matrx st [TRUE / FALSE] logsche Abfrage, ob für de Berechug der Prüfgröße ee Stetgketskorrektur verwedet werde soll 65

66 TESTEN Efaktorelle Varazaalyse: Aahme Lermodul Efaktorelle Varazaalyse ) Normalvertelugsaahme für jede Gruppe, =,, I : Y,, Y ~ N ( µσ, ²) ) Varazhomogetät zwsche de Gruppe, d.h. = =. σ σ I I Efaktorelle Varazaalyse: Modell Effektdarstellug Modell Effektdarstellug Y = µ + α + e j j mt =,, I; j =,, ; e ~ N(0, σ ) uabhägg j ud der Nebebedgug I = α = 0. 66

67 TESTEN Efaktorelle Varazaalyse: Schätzer Globales Mttel Effekte I µ ˆ = yj = y = j= α ˆ = y y, wobe Resdue eˆ = y ( µ ˆ + αˆ ), =,, I. j j y = y = j Efaktorelle Varazaalyse: Hypothese Nullhypothese Alteratvhypothese H0 α α I : = = = 0 H : mdestes zwe α 0 67

68 TESTEN Efaktorelle Varazaalyse: Prüfgröße Verso I ( Y Y) I = j= SQ( A)/( I ) F = I = SQ( E)/( N I) ( Yj Y ) N I = j= mt = + +. N I Verso F = I N I = I = I αˆ ( ) S mt = + +. N I Efaktorelle Varazaalyse: Prüfvertelug Efaktorelle Varazaalyse: Ablehberech F F ~ I, N I H 0 F > F α I, N I;. 68

69 TESTEN Quadratsumme (Sum of Squares) Faktor I I j = j= = ( ) ( ) SS( A) = Y Y = S Fehler I = j= ( ) SS( E) = Y Y Efaktorelle Varazaalyse: Varazaalysetabelle Streuugsursache Frehets -grade Streuug mttlerer quadrat scher Fehler Prüfgröße F Gruppe (Varabltät zwsche de Gruppe) I SQ( A ) SQ( A) I F = SQ( A)/( I ) SQ( E)/( N I) Resdue (Varabltät erhalb der Gruppe) N I SQ( E ) SQ( E) N I 69

70 TESTEN Efaktorelle Varazaalyse: R-Befehl Varazaalytsches Modell modell<-lm(y A) Argumete: Y A umerscher Datevektor Zelgröße Faktorvarable De Faktorvarable muss explzt als Faktorvarable mt dem Befehl as.factor(varable) erstellt werde. ANOVA-Laborlk Zwefaktorelle Varazaalyse: Aahme ) De Zelgröße Y jk st für de ezele Faktorkombatoe ormalvertelt. Lermodul Zwefaktorelle Varazaalyse ) De Zelgröße Y jk bestzt de ezele Faktorkombatoe de gleche Varaz. 70

71 TESTEN Zwefaktorelle Varazaalyse: Modell Effektdarstellug Modell Effektdarstellug Y ( ) e, = µ + α + β + αβ + jk j j jk mt =,, I, j =,, J, k =,, K; e ~ N(0, σ ) uabhägg jk ud de Nebebedguge I = j= J j I ( αβ) = ( ) α = 0, β = 0, αβ j = j= J j = 0 7

72 TESTEN Zwefaktorelle Varazaalyse: Schätzer Globales Mttel Effekte Resdue I J K µ = y = y jk IJK = j= k= Effekt Faktor A: -te Faktorstufe α ˆ = y y, wobe J K y = yjk JK j = k = Effekt Faktor B: j-te Faktorstufe β ˆ j = y j y, wobe I K y j = yjk IK = k = Effekt Faktor A, B:,-te Faktorstufe ( αβ ) j = y j y y j + y y j K = y K k=, wobe jk eˆ ˆ ˆ ˆ jk = y jk µ α β ( αβ ). j j 7

73 TESTEN Zwefaktorelle Varazaalyse: Hypothese Nullhypothese Test A A B H ( αβ ) 0 : = 0 =,, I, j =,, J; j es gbt kee Wechselwrkug zwsche A ud B Alteratvhypothese A B H : für mdestes zwe Paare (, j ) glt: ( αβ ) 0; Vorlege vo Wechselwrkug j Test B Test C A H0 : α = 0 =,, I; es gbt kee Effekt bedgt durch Faktor A B H 0 : β j = 0 j =,, J; es gbt kee Effekt bedgt durch Faktor B A H : für mdestes zwe α glt: α 0; Vorlege vo Haupteffekte bedgt durch Faktor A B H : für mdestes zwe β j glt: β j 0; Vorlege vo Haupteffekte bedgt durch Faktor B 73

74 TESTEN Zwefaktorelle Varazaalyse: Prüfgröße, Prüfvertelug Test A Test B Test C SQ( A B)/( I )( J ) FAB = ~ FI, J, IJ ( K ) H F F SQ( E)/ IJ( K ) SQ( A)/( I ) = SQ( E)/ IJ( K ) A I, IJ( K ) H SQ( B)/( J ) = SQ( E)/ IJ( K ) B J, IJ( K ) H ~ 0 0 F ~ F. 0 Zwefaktorelle Varazaalyse: Gepoolter I J K Varazschätzer SQ( E) S = = Yjk Yj IJ( K ) IJ( K ) = j= k= Zwefaktorelle Varazaalyse: Ablehberech Test A Test B F F A B F, I, J, IJ( K ). > α ( ) A > F α, I, IJ( K ) ( ) ( ). Test C F B > F, J, IJ( K ). α ( ) 74

75 TESTEN Zwefaktorelle Varazaalyse: Quadratsumme (Sum of Squares) Faktor A I I = = SQ( A) = KJ ( Y Y ) = KJ αˆ Faktor B J SQ( B) = KI ( Y Y ) = KI βˆ J j j= j= Wechselwrkug A, B j I J I J j j j = j= = j= ( ) SQ( A B) = K ( Y Y Y + Y ) = K αβ Fehler I J K jk j = j= k= SQ( E) = IJ( K ) ( Y Y ) 75

76 TESTEN Zwefaktorelle Varazaalyse:Varazaalysetabelle Streuugsursache Frehets -grade Streuug mttlerer quadratscher Fehler Faktor A I SQ( A ) SQ( A) I Faktor B J SQ( B ) SQ( B) J Wechselwrkug A x B ( I )( J ) SQ( A B) Prüfgröße F F F A B SQ( A)/( I ) = SQ( E)/ IJ( K ) SQ( B)/( J ) = SQ( E)/ IJ( K ) SQ ( A B) SQ( A B)/( I )( J ) FA B= ( I )( J ) SQ( E)/ IJ( K ) Resdue IJ( K ) SQ( E ) SQ( E) IJ( K ) 76

77 TESTEN Zwefaktorelle Varazaalyse: R-Befehl Varazaalytsches Modell ur mt Haupteffekte A ud B lm(y A+B) Varazaalytsches Modell mt alle Haupt- ud Iteraktoseffekte lm(y A*B) Varazaalytsches Modell mt Haupteffekt A ud Iteraktoseffekt zwsche A ud B lm(y A+A:B) Argumete: Y A,B umerscher Datevektor Zelgröße Faktorvarable De Faktorvarable muss explzt als Faktorvarable mt dem Befehl as.factor(varable) erstellt werde : Betrachtet ur de Iteraktoseffekt * Es werde alle Haupt- ud Iteraktoseffekte der egehede Faktorvarable betrachtet. ANOVA-Laborlk 77

78 REGRESSION Streuugszerlegug der Regresso Sd de Koeffzete â ud ˆb des leare Regressosasatzes yv = a+ b xv + uvmttels der Methode der kleste Quadrate bestmmt, so glt de Zerlegug der Abwechugsquadrate der Y -Werte. Dabe st yˆ = aˆ+ bˆ x. v v ( yv y) = ( yˆv y) + ( yv yˆv) v= v= v= Lermodul De emprsche Regresso Bestmmthetsmaß Das Bestmmthetsmaß R gbt de Atel der durch de Regressosgerade yˆ = aˆ+ bx ˆ erklärte Varaz a der gesamte Varaz der zu erklärede Varable Y a. Lermodul De emprsche Regresso R = ν = ν = ( yˆ y) ( y y). Schätzfuktoe ˆα ud ˆβ De ach der Methode der kleste Quadrate bestmmte Schätzfuktoe ˆα ud ˆβ für de Regressoskoeffzete sd gegebe: ˆ S ( Yv Y )( xv x) XY β = = ud αˆ = Y βˆ x. S ( x x) X v Lermodul Schätze der Koeffzete 78

79 REGRESSION Emprsche Kovaraz De emprsche Kovaraz Merkmale X ud Y. s XY st e Maß für de leare Zusammehag zweer sxy = ( xν x)( yν y) ν = Lermodul Schätze der Koeffzete Erwartugstreue der Schätzfuktoe ˆα ud ˆβ : ( ) E( ˆ ) E αˆ = α ud β = β. Lermodul Schätze der Koeffzete Erwartugstreuer Schätzer der Fehlervaraz σ m leare Regressosmodell ( ˆ) = ˆ v v Y XY Y Y = v U = s r = v= σˆ ( ). Lermodul Schätze der Koeffzete Schätzfuktoe für de Stadardfehler der Koeffzeteschätzer ˆα ud ˆβ m leare Regressosmodell Lermodul Schätze der Koeffzete xv ˆ v αˆ = = ˆ ˆ ˆ = ˆ β ( xv x) ( xv x) v= v= σ σ, σ σ. 79

80 REGRESSION Erwartugswert für de geschätzte Regressosgerade a eer feste Stelle x ( ) EYx ˆ = α + β x. Lermodul Schätze der Koeffzete Varaz für de geschätzte Regressosgerade a eer feste Stelle x Lermodul Schätze der Koeffzete ( ) VYx ( x x) ˆ = + σ. ( xv x) v= Kofdeztervalle für de Regressokoeffzete Das Modell mt ormalvertelte Fehler [ αˆ t σˆ, αˆ+ t σˆ ] ; γ / αˆ ; γ / αˆ [ βˆ t σˆ, βˆ + t σˆ ]. ; γ/ βˆ ; γ / βˆ Kofdeztervalle für de Regressosgerade Das Modell mt ormalvertelte Fehler ( x x) ( ) ˆ Y t σˆ + x ; α / xv x ˆ EY ( x) Y + t σˆ + x ( x x) ( ) ; α / xv x 80

81 REGRESSION Prüfgröße zum Teste der Regressoskoeffzete Das Modell mt ormalvertelte Fehler βˆ β σ ˆβ ˆ 0, αˆ α σ ˆα ˆ 0. Kofdezbad für de Regressosgerade Das Modell mt ormalvertelte Fehler Yˆ x ( x x) ( v ) F σˆ + x x, ; γ ( x x ) ( v ) E ( Yˆ x) Yˆ x + F, ; γ σˆ +. x x Puktprogose De svolle Progose oder Vorhersage ees ezele Wertes der zu erklärede Varable Y a eer Stelle x st der ahad der geschätzte Regressosgerade ermttelte Wert. yˆ = αˆ + βˆ x. x Das Modell mt ormalvertelte Fehler Progosetervall Das Modell mt ormalvertelte Fehler ( x x) ( v ) Yˆ x t ; γ /σˆ + + x x ( x x) ( v ) Y ˆ x Yx+ t ; γ /σˆ + +. x x 8

82 REGRESSION Potez-trasformatoe h x x mt h =...,,.5,, 0.5,0.5,.5,,... Lermodul Beurtelug der Regresso h v v v v v v Y = α + βx + U bzw. Y = α + βl( x ) + U Prüfgröße der Durb-Watso-Tests Der Durb-Watso-Test det zur Überprüfug der Ukorrelerthet der Fehler m leare Regressosmodell. Werte be wese auf Ukorrelerthet h, Werte be 0 auf postve ud Werte be 4 auf egatve Korrelato. Lermodul Beurtelug der Regresso DW = v= ( uˆ uˆ ) v v= uˆ v v Das multple leare Regressosmodell mt p Regressore Lermodul Das multple leare Regressosmodell Y = β + β x + β x + + β x + U ; v =,, v 0 v v p pv v U EU ( ) = 0, VU ( ) = σ v v v U udu sduabhäggfüralle v w. v w uverzerrte Schätzug der Varaz der Fehler Regressosmodell U v m multple leare ( ) σ = y ( ˆ ˆ ˆ ˆ v β0 + β xv + β xv + + βp xpv ) p v=.... Lermodul Das multple leare Regressosmodell 8

83 REGRESSION Prüfgröße zur Überprüfug der ezele Koeffzete m multple leare Regressosmodell H De Prüfgröße für de ezele Koeffzete betreffede Hypothese 0 : β = 0 T = βˆ 0. σˆ βˆ Lermodul Das multple leare Regressosmodell adjustertes Bestmmthetsmaß R Adj Lermodul Beurtelug der multple leare Regresso R ( yv yˆ v) p. ( yv y) v Adj = = v= 83