Wahrscheinlichkeitsrechnung. Modell. Schätzung

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1 Beschrebede Statst Schleßede Statst Wahrschelchetsrechug Modell Schätzug Stchprobe Relatve Häufget Durchschtt mt Rsoberechug Grudgesamthet Wahrschelchet Erwartugswert Lteratur Bechelt, F. Stochast für Igeeure, Teuber () Beucher, O Wahrschelchetsrechug ud Statst mt MATLAB, Sprger (7) Chrstoph/Hacel Starthlfe Stochast,Veweg+Teuber-Verlag Kühlmeer, M Statstsche Auswertugsmethode für Igeeure, Sprger () Maas, C. Stochast für Dummes, Wle-VCH, 3 Sachs/Hedderch Agewadte Statst (mt R), 3. Auflage, Sprger (9) Ross, S.M.; Statst für Igeeure ud Naturwsseschaftler, Spetrum Aad. Verlag (6) Storm, R. Wahrschelchetsrechug, Mathematsche Statst, Statstsche Qualtätsotrolle Fachbuchverlag Lepzg Köl (995) Fahrmer, L. u.a. Statst, 4. Auflage, Sprger (3) Das Materal darf ur zu Lehrzwece a der FH Jea verwedet werde. Für Drucfehler überehme ch ee Haftug, Hwese auf Fehler btte a Julae.Schuetze@fh-jea.de. Stochast für ET Ma, Verso Ma 4

2 Ihalt A Beschrebede Statst Grudbegrffe Edmesoale Mermale... 3 Häufgetsverteluge... 3 Statstsche Maßzahle Mehrdmesoale Mermale... 4 Dsrete Mermale: Kotgeztabelle... 5 Zusammehagsmaße für omale Mermale... 5 Zusammehagsmaß für metrsche Mermale... 6 Leare Regresso... 6 Parameterschätzug be ege chtleare Regressosfutoe... 7 B Wahrschelchetsrechug Grudbegrffe... 7 Reche mt Wahrschelchete... 8 Reche mt bedgte Wahrschelchete Zufallsgröße ud hre Vertelug... 9 Rechegesetze für Erwartugswert ud Varaz... 9 Ege spezelle dsrete Verteluge... 9 Stetge Zufallsgröße... Auswahl stetger Verteluge... Wetere Egeschafte der Normalvertelug N(µ, σ )... Wchtge Verteluge der schleßede Statst Grezwertsätze... 3 C Schleßede Statst Parameterschätzuge ud Kofdeztervalle... 4 Methode zur Parameterschätzug... 4 Kofdeztervalle für de Parameter der Normalvertelug... 4 Kofdeztervalle für Parameter p der Bomalvertelug Statstsche Tests für ubeate Parameter... 6 Tests für Mttelwerte ormalvertelter Zufallsgröße... 6 Tests für Varaz ormalvertelter Zufallsgröße... 7 Tests für Parameter p der Bomalvertelug (ubeate Wahrschelchet) Parameterfree Tests... 9 χ ²-Uabhäggetstest... 9 χ ²-Apassugstest... 9 Ahag... Tabelle : Quatle t m, q der t-vertelug... Tabelle : Quatle der χ - Vertelug... Tabelle 3a:.95 - Quatle der F-Vertelug... 3 Tabelle 3b: Quatle der F-Vertelug... 5 Tabelle 4: Gamma-Futo... 7 Tabelle 5: Vertelugsfuto der Stadard-Normalvertelug Φ ( ) P( X )... 8

3 A Beschrebede Statst. Grudbegrffe Grudgesamthet alle Elemete, de przpell gemesse bzw. beobachtet werde öte Stchprobe alle Elemete, de zufällg zur Messug/Beobachtug ausgewählt wurde Mermal Zel der Utersuchug Ausprägug Werte des Mermals, de gemesse bzw. beobachtet werde Saleveaus Nomalsala Ordalsala Metrsche Sala qualtatv, ee Ordug, ur Bezechuge Ragfolge zwsche Auspräguge, aber ee svolle Abstäde quattatv, durch Auszähle (dsret) oder Messe (.a. stetg). Edmesoale Mermale Häufgetsverteluge Stchprobe (,,..., ) mt Beobachtuge des Mermals X, heßt Stchprobeumfag Dsretes Mermal X (omal oder ordal) mt edlch vele Auspräguge De verschedee Auspräguge see,..., absolute Häufget vo relatve Häufget vo h f h( ) Azahl des Auftretes vo (,,..., ) h f ( ) ( ), Stetges Mermal X (möglche Auspräguge sd alle Werte ees Itervalls) Etelug des Werteberechs Klasse K glecher Brete,, absolute Klassehäufget vo K h h( K ) Azahl der Elemete vo (,,..., ) K h( K ) relatve Klassehäufget vo K f f ( K ), Egeschafte h f Be ordale ud metrsche Mermale a ee Summehäufgetsfuto berechet werde. absolute Summehäufget H( ) h( K j ), j: K j ls vo relatve Summehäufget F( ) f ( K j ) j: K Emprsche Vertelugsfuto (für stetge Mermale) Azahl der Stchprobewerte F( ) Statstsche Maßzahle ( ) j ls vo ( ),..., aufsteged geordete Stchprobe vom Umfag, d.h. m ()... ( ) ma Summe der absolute/relatve Häufgete über alle Klasse ls vo bs eschleßlch ~ α ( ( ) + ( +) ) / α gaz ( ) < α < emprsches α -Quatl, < α < 3

4 Das α-quatl telt de Berech zwsche lestem ud größtem Stchprobewert so, dass ls davo etwa α %, rechts davo (-α) % der Stchprobewerte lege. Spezelle Quatle uteres Quartl.5, Meda.5, oberes Quartl.75 Quartlsabstad: d.75.5 Abstad zwsche oberem ud uterem Quartl Boplot Grafsche Darstellug der Vertelug eer Stchprobe, basered auf de Quartle Fde vo ausreßerverdächtge Werte ahad des Normalberechs Normalberech: [.5.5 d, d ] Achtug: Normalberech wrd m Boplot cht egezechet! Werte außerhalb des Normalberechs werde separat dargestellt (ausreßerverdächtge Etremwerte). Boplot be Stchprobe mt etreme Werte * etreme Werte m bs ma m Normalberech * etreme Werte m Boplot be Stchprobe ohe etreme Werte ma 5% 5% 5% der Werte Alle Werte lege m Normalberech. Lagemaße Arthmetsches Mttel mt absolute. Häufgete Streuugsmaße Emprsche Varaz s ( ) ( * * * * h ( ) s ( ) h( ) Stadardabwechug s + s Varatosoeffzet s v (be postve Werte) Stadardfehler s s Meda ~ ~ ~, 5 Quartlsabstad d.5 ~ ~ De aus de Stchprobewerte berechete Kegröße et ma auch emprsche Kegröße, um se vo de etsprechede Lage- ud Streuugsmaße der Grudgesamthet zu uterschede.. 4 4

5 3. Mehrdmesoale Mermale Dsrete Mermale: Kotgeztabelle Zwe omale oder ordale Mermale X ud Y werde am gleche Objet gemesse, X mt p möglche Auspräguge,...,p; Y mt q möglche Auspräguge,...,q Dmeso der Kotgeztabelle: p Zele, q Spalte Zellehalt der -te Zele ud -te Spalte: Azahl beobachteter Kombatoe (, ) Stchprobeumfag st glech der Azahl aller beobachtete Kombatoe/Messwertpaare Y Y... q Radvertelug vo X X (Zelesumme) q q q p p p pq Radvertelug vo Y (Spaltesumme) p. p p. q q. q. p. p q p q. emprsche Radverteluge absolute Häufgete relatve Häufgete vo X (Zelesumme):. h() f() h()/ vo Y (Spaltesumme):. h() f() h()/ Bedgte Häufgete vo X uter der Bedgug Y f(x /Y ) /.,,...,p Spalte vo Y, ormert mt Spaltesumme h() etsprcht Eschräug der Tabelle auf Y vo Y uter der Bedgug X f(y /X ) /.,,...,q Zele vo X, ormert mt Zelesumme h() etsprcht Eschräug der Tabelle auf X Emprsche Uabhägget der Mermale X,Y legt vor, falls glt (.. )/ für alle, Zusammehagsmaße für omale Mermale beobachtete Zellhäufgete:.. be Uabhägget erwartete Zellhäufgete ˆ Ch-Quadrat-Maß χ q ( p ˆ ˆ ) Kotgezoeffzet Korrgerter Kotgezoeffzet C χ χ + d C orr C, wobe d m( p, q) glt d 5

6 Zusammehagsmaß für metrsche Mermale Pearsoscher Korrelatosoeffzet (emprscher) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( X ( X) ) Y ( Y) X X Y Y XY X Y XY XY r X X Y Y X X Y Y ( ) ( )( ) Für r ± besteht e perfeter learer Zusammehag zwsche X ud Y. Zusammehagsmaß für ordale Mermale oder metrsche mt Ausreßer R ( ) : Platzummer vo be aufsteged geordete Werte vo X R ( ) : Platzummer vo be aufsteged geordete Werte vo Y trete dabe Werte mehrfach auf, erhalte se alle de gleche mttlere Rag (Ragbduge) Ragorrelatosoeffzet vo Spearma ( R( ) R)( R( ) R) ( R( ) R( ) R mt r s ( R( ) R) ( R( ) R) ( R( ) R )( R( ) R ) 6 d Falls ee Ragbduge vorlege, glt rs, d ( ) ( ) R R ( ) Für r ± besteht e mootoer Zusammehag zwsche X ud Y. s Leare Regresso + R für Beschrebug des leare Zusammehags ardaler Mermale X, Y mt hoher Korrelato Asatz: a + a Optmaltätsrterum st ach der Methode der leste Quadrate (MKQ) ( ( a + a )) a + a Resdue ( ) m, sd de vertale Abstäde der Messpute vo der Gerade Normaleglechuge zur Bestmmug der Parameter a, a (summert wrd stets vo bs ) a + a a + a Parameterschätzug a ( ) ( ) a ( a ) a Zerlegug der Varato der um : Restvarato SSE ( ( a a )) Bestmmthetsmaß der leare Regresso R ( a X + a Y ) ( Y Y ) ( ) ( ( a a)) (( a a) ), erlärte Varato SSR (( a + a ) ) Das Bestmmthetsmaß st der Atel a Varaz der -Werte, der durch de Regresso erlärt wrd. Be perfeter Apassug st das Bestmmthetsmaß glech. 6

7 Zusammehag zum Pearsosche Korrelatosoeffzete r Es glt r R Schätzgröße für Streuug der Resdue (root mea square error) RMSE ( ( a + a)) p, p st de Azahl der geschätzte Regressosoeffzete Parameterschätzug be ege chtleare Regressosfutoe Quadratsche Regresso Y a + a X + a X Y XY X Y a a X a X a X a X 3 a X a X a X a X 3 4 De Parameter erhält ma als Lösug deses Normaleglechugssstems. Potezasatz Y a X b (log X ) logy log X log X logy loga (log X ) ( log X ) log X logy log X logy b (log X ) ( log X ) Epoeteasatz Y X a b (aalog für c ae mt b c e ) X logy X X logy log a X ( X ) 7 X logy X logy logb X ( X ) Logstscher Asatz Y, muss beat se (Sättgugsgreze) a+ bx + e X l X X l Y Y a X ( X ) X l Y Y b X l X ( X ) B Wahrschelchetsrechug 4. Grudbegrffe Zufallsepermet uter gleche Bedguge belebg oft wederholbares Epermet mt ugewssem Ausgag, wobe de Mege der möglche Versuchsausgäge beat st Elemetareregs elemetarer Versuchsausgag: ω, Elemetareregsse schleße sch gegesetg aus 7

8 Ergebsmege Mege aller Elemetareregsse: Ω Zufällges Eregs Telmege der Ergebsmege, Mege vo Elemetareregsse Das Eregs Ω st das schere Eregs, das stets etrtt. Eregs A trtt e, we der beobachtete Versuchsausgag ω Ω e Elemet vo A st. De leere Mege beschrebt das umöglche Eregs, das e etrtt. Komplemetäreregs A Ω \ A trtt geau da e, we A cht etrtt. Zwe Eregsse A, B heße uverebar oder dsjut, we se ee gemesame Elemetareregsse bestze, A B Eregs A zeht Eregs B ach sch, we A B glt. Eregs A B (Veregug) trtt e, we mdestes es der Eregsse A, B etrtt (A B). Eregs A B (Durchschtt) trtt e, we bede Eregsse A, B etrete (A B). Reche mt Wahrschelchete Scheres Eregs Ω P ( Ω) Umöglches Eregs Ø P ( ) Mootoe A B PA ( ) PB ( ) Addtossatz allgeme Spezalfall: dsjute Eregsse P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P ( A B) P( A) + P( B), falls A B Spezalfall: Ω dsret P( A) P(ω) Komplemetäres Eregs P( A) P( A) Dfferez PA ( \ B) PA ( ) PA ( B) Laplacesche Wahrschelchet: Ω edlch, Azahl der Elemetareregsse vo A PA ( ) Elemetareregsse glechwahrschelch. Azahl der Elemetareregsse vo Ω ω A Bedgte Wahrschelchet vo A uter der Bedgug B, P(B) > PA ( B) PA ( / B) falls P(B)> PB ( ) Stochastsche Uabhägget der Eregsse A, B PA ( B) PA ( ) PB ( ) 8

9 Reche mt bedgte Wahrschelchete Multplatossatz Spezalfall: uabhägge Eregsse Satz der totale Wahrschelchet Ω B B... B, B paarwese dsjut Baessche Formel Ω B B... B,B paarwese dsjut PA ( B) PA ( / B) PB ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ), falls AB, uabhägg PA ( ) PA ( / B) PB ( ) PA ( / B) PB ( ) PA ( / B) PB ( ) PB ( / A) PA ( ) PA ( / B) PB ( ) 5. Zufallsgröße ud hre Vertelug Zufallsgröße: Als Ergebs ees Zufallsepermets ω Ω wrd ee (reelle) Größe X ( ω ) betrachtet. Dsrete Zufallsgröße Werteberech {,...,,...}, edlch oder abzählbar uedlch Vertelug p P X ), p (Wahrschelchetsfuto) ( Wahrschelchete PX ( A) PX ( ) A Erwartugswert EX P( X ) Varaz Stadardabwechug VarX ( EX ) P( X ) P( X ) ( EX ) EX ( EX ) s + VarX (Streuug) Uabhägget: Zwe dsrete Zufallsgröße X ud Y mt Werte,,... bzw.,,... sd uabhägg, falls PX (, Y ) PX ( ) PY ( ) für belebge j ud glt. j j Rechegesetze für Erwartugswert ud Varaz Erwartugswert Varaz a, b ostat E a a Var a X Zufallsgröße E ( ax ) a E X Var ( ax ) a Var X E ( ax + b) a E X + b Var ( ax + b) a Var X X, Y Zufallsgröße E ( X + Y) E X + EY Var ( X + Y) Var X + VarY + Cov(X,Y) X, Y uabhägg E ( X Y) E X EY Var ( X + Y) Var X + VarY Ege spezelle dsrete Verteluge Modelle Glechvertelug Gl() Jedes Elemet aus der Mege {,..., }.hat de gleche Chace, ausgewählt zu werde. De Zufallsgröße X st glech, we de Wahl auf fällt, X {,..., } (z.b. Würfel mt eem regelmäßge Würfel). 9

10 Bomalvertelug B(, p) E Eregs mt ostater Wahrschelchet p wrd uabhägge Versuche beobachtet. De Zufallsgröße X zählt, we oft das Eregs dabe etrtt, X. Hpergeometrsche Vertelug Hp(N, M, ) Ee Ure ethält N Kugel, davo see M weß, N-M schwarz. De Zufallsgröße X zählt, we vele weße Kugel eer Stchprobe vo gezogee ethalte sd, we das Zehe ohe Zurüclege ud ohe Berücschtgug der Rehefolge erfolgt. m, M, N M, N Es glt ( ) Possovertelug Pos(λ) Betrachtet werde seltee Eregsse eem Kotuum (Zetraum, Strece, Fläche, ) De Zufallsgröße X zählt, we oft das Eregs etrtt, we ma vo eer mttlere Azahl vo λ Eregsse erhalb des Kotuums ausgehe a, X,,,... Geometrsche Vertelug Geo(p) X st de Wartezet auf de erste Erfolg be uabhägge Versuche mt ostater Erfolgswahrschelchet p > für e bestmmtes Eregs. De Zufallsgröße X st de Nummer des Versuchs, be dem erstmalg das Eregs beobachtet wrd, X,,,... Vertelug Parameter Ezelwahrschelchete p P(X ) Erwartugswert Varaz Glech-,..., /,,, + vertelug Bomal- p, p p( p) p ( p ),,..., vertelug Hpergeom. NM,, M N M N M /,,..., Vertelug N M, N M N N N N N Posso- λ λ λ e,,,,... vertelug! Geometrsche Vertelug p ( p) p,,,... p p p Näherugsformel Näherug der hpergeometrsche durch de Bomalvertelug Faustregel:.5 N oder ach Sachs: <. N, M <. N, N > 6 M N M lm p N N ( p) mt p Näherug der Bomalvertelug durch de Possovertelug Faustregel: >, p <.5 λ λ lm p ( p) e mt λ p! λ p M N

11 Stetge Zufallsgröße Werteberech: alle Werte ees Itervalls der reelle Achse Vertelugsfuto F ( ) PX ( ) Itervallwahrschelchet Pa ( < X< b) Pa ( X b) Fb ( ) Fa ( ) P ( < X < b) F( b) P( a < X < ) F( a) + Dchte f ( ), f ( ) d Erwartugswert EX Varaz VarX ( EX ) f ( ) d f ( ) d ( EX ) Stadardabwechug (Streuug) Quatl der Ordug α, < α< EX ( EX ) s + VarX u α mt P X < u ) α, u ( a Zusammehag vo Dchte ud Vertelugsfuto Uabhägget stetger Zufallsgröße F( ) f () t dt P( X ) f( ) F'( ) α F ( α), falls X, Y sd uabhägg, falls für alle reelle Zahle, glt PX ( Y, ) PX ( ) PY ( ) Auswahl stetger Verteluge Modelle Glechvertelug auf dem Itervall [ b] F estert a,, Gl[a, b] Zufallsgröße X legt mt jewels glecher Wahrschelchet alle glechlage Teltervalle des Itervalls [a, b] Epoetalvertelug Ep(λ) Lebesdauervertelug mt Nchtalterugsegeschaft, Vertelug vo Wartezete /λ st das mttlere Alter bzw. de mttlere Wartezet Normalvertelug N(µ, σ ) Vertelug zufällger Messfehler Vertelug des Mttelwertes vo vele uabhägge detsch vertelte Zufallsgröße ( > 3) µ st der Erwartugswert, σ st de Stadardabwechug Webullvertelug We(T, b) Lebesdauervertelug mt Alterugsegeschaft Parameter T > : charaterstsche Lebesdauer, Zet, der 63.% aller Objete ausgefalle sd b > : Ausfallstelhet, der Pras mest.5 < b < 5 Erlagvertelug Erl(λ, ) Vertelug der Summe vo uabhägge epoetalvertelte Zufallsgröße Ep(λ)

12 Vertelug Glechvertelug Epoetalvertelug Normal Vertelug Webullvertelug Erlagvertelug Para- Dchte f() meter a, b b a a b sost λ λ λe > µ, σ ( µ ) e πσ σ T, b b b e T T λ, ( λ) λ e ( )! b T λ, Vertelugsfuto F() a a a < b b a > b λ e > Φ ( ) f () t dt b T e, e λ ( λ)! Erwartugswert a b Varaz + ( ) λ λ µ σ T Γ + b λ b a T Γ + b T Γ + b λ Dabe steht Γ() für de Gamma-Futo, de ee Fortsetzug vo! auf de reelle Zahle mt Ausahme der egatve gaze Zahle ud Null darstellt. Es glt Γ ( ) ( )! für, somt Γ (), Γ (), Γ (3), Γ (/) π, Γ ( 3/ ) π /, Γ (5/) 3 π /4, Γ( α ) ( α ) Γ( α ) wetere Werte der Gamma-Futo s. Ahag Wetere Egeschafte der Normalvertelug N(µ, σ ) Ee Zufallsgröße X N ( µ, σ ) Trasformato vo X N ( µ, σ ) ( ) Γ + π heßt stadardormalvertelt, we µ, σ glt. X µ stadardormalvertelte Zufallsgröße Z ~ N (,) : Z σ De Vertelugsfuto der stadardserte Normalvertelug st tabellert für (s. Ahag). Für < st Φ ( ) Φ( ) Itervallwahrschelchete b µ a µ P ( a < X < b) Φ Φ σ σ a µ P( a < X ) Φ σ b µ P ( X < b) Φ σ -σ-regel für ormalvertelte Zufallsgröße X N ( µ, σ ) für,, 3 P( µ σ < X < µ + σ ).686 P( µ σ < X < µ + σ ).9544 P( µ 3σ < X < µ + 3σ ).9973 : P ( X µ < σ) Φ( ),

13 Addtossatz für uabhägge ormalvertelte Zufallsgröße See X,...X X ~ N µ, σ uabhägg, detsch vertelt ach N ( µ, σ ) X X σ N µ, Wchtge Verteluge der schleßede Statst X N µ σ ~ (, ),, da glt für de Mttelwert χ²-vertelug ( FG) T-Vertelug ( FG) F-Vertelug (, m FG) χ Z Z mt Z ~ N(, ), uabhägg T Z / χ / mt Z ~N(, ), χ ~ χ², uabhägg vo Z Fm, ( χ/ ) /( χ m/ m) mt χ, χ ~ χ², uabhägg m De Quatle deser Verteluge lege Tabelle vor, s. Ahag.. 6. Grezwertsätze Zetraler Grezwertsatz Se X, X,... ee Folge uabhägger, detsch vertelter Zufallsgröße, X µ X µ Da ähert sch de Vertelug vo Z für σ / σ der Stadardormalvertelug. (Faustregel: > 3) EX µ, VarX σ Grezwertsatz vo Movre-Laplace Se X~B(,p), da ähert sch de Vertelug vo Z X p für p( p) der Stadardormalvertelug. Da st (mt Stetgetsorretur) p +.5 p.5 P ( X ) Φ Φ, pq pq 9 (Faustregel: p( p) p. 5 auch p > 5 ) Schwaches Gesetz der große Zahle X ee Folge uabhägger, detsch vertelter Zufallsgröße mt EX Se ( ),,... da glt für alle ε > N lmn P X µ ε N µ, VarX σ, 3

14 C Schleßede Statst 7. Parameterschätzuge ud Kofdeztervalle Methode zur Parameterschätzug Stchprobe Vertelug Relatve Häufget f ) Wahrschelchet P X ) ( ( Mttelwert ( f ) Erwartugswert EX P( X ) emprsche Varaz s ( ) f( ) Varaz VarX ( EX ) P( X ) empr. Stadardabw. s + s Stadardabwechug σ + VarX De Kezahle der Stchprobe a ma für ee Schätzug der Parameter der Vertelug verwede. Mometemethode -tes Momet eer Zufallsgröße X: M EX (... m + + ) -tes emprsches Momet (aus Stchprobe): Schätzuge für de Parameter eer Vertelug ach der Mometemethode gewt ma durch Glechsetze vo M m für. Mamum-Lelhood-Methode Ma bestmmt ahad der gemesame Dchte f(,..., θ ) a der Stelle der Stchprobewerte (,... ) de Vertelugsparameter θ so, dass dort e Mamum vorlegt, dem ma de partelle Abletug der Dchte ach dem Parameter θ glech Null setzt (aalog für Parametervetor θ ). Modell für schleßede Statst zur Berechug vo Verteluge vo Schätzuge Korete Stchprobe,..., (Messrehe) Mathematsche Stchprobe X,..., X (uabhägge, detsch vertelte Zufallsgröße, Modell) De orete Stchprobe etsteht durch Beobachtug der mathematsche Stchprobe, d.h. als uabhägge Realseruge der Zufallsgröße X. Oft a ma aus der Vertelug vo X de Vertelug geegeter Schätzfutoe ablete, σ z.b.glt be NV für de Vertelug vo f( X,..., X) X : X X ~ N µ, Damt a ma ee Berech ostruere, der de ubeate (geschätzte) Parameter mt vorgegebeer Scherhet α überdect, de ma Kofdeztervall zur Scherhet - α et. Kofdeztervalle für de Parameter der Normalvertelug Bezechuge Stchprobeumfag α Irrtumswahrschelchet α Kofdezveau, Scherhet z α, ( z α / ) Quatl der Stadardormalvertelug der Ordug α, ( α /) t, α, ( t, α / ) Quatl der t-vertelug mt Frehetsgrade der Ordug α, ( α /) χ, α, ( χ, α / ) Quatl der χ -Vertelug mt Frehetsgrade der Ordug α, ( α /) 4

15 KI für Erwartugswert µ be beater Stadardabwechug σ zum Kofdezveau α Zwesetges KI Esetges obe offees KI Esetges ute offees KI σ σ σ σ z α /, + z α / z α,, + z α KI für Erwartugswert µ be ubeater Stadardabwechug σ zum Kofdezveau α Zwesetges KI Esetges obe offees KI Esetges ute offees KI s s s s t, α /, + t, α / t, α,, + t, α Notwedger Stchprobeumfag für mamale Läge L des Itervalls für µ (σ beat) z α / L σ KI für Varaz σ², Kofdezveau α KI für Stadardabwechug σ, Kofdezveau α s, s χ, α / χ, α / s, s χ, α / χ, α / De gleche Vorschrfte führe zu asmptotsche Kofdeztervalle, we ee Normalvertelug vorlegt, aber der Stchprobeumfag größer als 3 st. Kofdeztervalle für Parameter p der Bomalvertelug Bezechuge Stchprobeumfag, α Kofdezveau, Scherhet c z α / Quatl der Stadardormalvertelug der Ordug α / Azahl des Auftretes des Eregsses der Stchprobe (absolute Erfolgshäufget) p ˆ relatve Erfolgshäufget, Schätzug für p Asmptotsche Kofdeztervalle für p 5, 5 p( p) > 9 c c c c c c p ˆ pˆ( pˆ), pˆ + pˆ( pˆ ) + c c + 4 4, + c + c Eates Kofdeztervall für p ( + ) F, + ( + ) F + ( + ) F g, g, α/ f, f, α/ g, g, α/ F: Quatl der F-Vertelug der Ordug α / mt etsprechede Frehetsgrade: f ( + ), f, g ( + ), g ( ) Notwedger Stchprobeumfag für ma. Läge ε des asmptotsche Kofdeztervalls ohe Iformato über Größeordug vo p c 4 ε we Größeordug pˆ beat c pˆ( pˆ ) ε 5

16 Asmptotsches Kofdeztervall für Parameter λ der Possovertelug X + z z X + z, X + z + z X + z 4 4 / / / / / / Asmptotsches Kofdeztervall für Parameter λ der Epoetalvertelug χ, α / χ, α /, X X 8. Statstsche Tests für ubeate Parameter Tests für Mttelwerte ormalvertelter Zufallsgröße Bezechuge Stchprobeumfäge:,, Mttelwertschätzuge: X X Y Varazschätzuge: s ( X X), s ( Y Y), gepoolt: s Quatle: z q m q Estchprobetest Y Quatl der Ordug q der Stadardormalvertelug g ( ) s + ( t, Quatl der Ordug q der t-vertelug mt m Frehetsgrade (m gazzahlg) Verglech µ mt Referezwert µ ; σ beat (Gauß-Test) Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehrterum H : µ µ H : µ µ X µ T > z α / T H : µ µ H : µ < µ σ / T < z α H ~ N(, ) : µ µ H : µ > µ T > z α Verglech µ mt Referezwert µ, σ ubeat (T-Test) Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehrterum H : µ µ H : µ µ X µ T T > t, α / H s / : µ µ H : µ < µ T < t, α H H : µ µ H : µ > µ ~ t T > t, α Zwestchprobetests Verglech µ D µ µ mt ; σd ubeat; X, Y verbude, D X Y Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehrterum H : µ D H : µ D d T > t T, α / H s : µ D H : µ D < D T < t, α H H : µ D H : µ D > ~ t T > t, α mt d, d arthmetsches Mttel,, s emprsche Stadardabwechug der Werte der D d. 6 + ) s

17 Verglech µ mt µ ; σ, σ ubeat, aber glech; X, Y cht verbude (doppelter T-Test) Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehrterum H : µ µ H : µ µ X Y T > t + T, α / H sg + : µ µ H : µ < µ T < t +, α H : µ µ ~ H ~ t + H : µ > µ > t +, α Verglech µ mt µ ; σ, σ ubeat, verschede; X, Y cht verbude (Welch-Test) Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehrterum H : µ µ H : µ µ s s T > t f, α / T ( X Y ) / + H : µ µ H : µ < µ T < t f, α H : µ µ H : µ > µ ~ t f (asmptotsch) T > t f, α t f, q Quatl der Ordug q der t-vertelug mt f Frehetsgrade, wobe ( s / + s / ) f (abrude!) FG für Welch-Test ( s / ) /( ) + ( s / ) /( ) Tests für Varaz ormalvertelter Zufallsgröße T Estchprobetest Verglech σ mt σ (Referezwert) Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehberech H : σ σ H : σ σ T ( ) s / σ T χ, α / oder H H : σ σ H : σ < σ T χ, α H : σ ~ χ σ H : σ > σ as T χ, α T χ, α / Zwestchprobetest Verglech σ mt σ Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehberech H : σ σ H : σ σ T F,, / oder T,, / T s / s α H : σ σ H : σ < σ T F H,, α H : σ σ ~ F H : σ > σ, T F,, α F α Bezechet ma de Stchprobe mt der größere Varaz als erste Stchprobe, verefacht sch der zwesetge Ablehberech zu T F,, α /. Tests für Parameter p der Bomalvertelug (ubeate Wahrschelchet) Bezechuge falls A egetrete Stchprobe X,..., X mt X sost P( X ) P(A) p, ubeate Wahrschelchet : Azahl der Ese der Stchprobe (absolute Häufget des Etretes vo A be Versuche p ˆ relatve Häufget vo A (Schätzug für p) 7

18 Estchprobetests Verglech p mt p (Referezwert), asmptotscher Bomaltest, (Faustregel: p( p) > 9 ) Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehberech H : p p H : p p T > z α / H : p p H : p < p T ( p) / p( p) T < z α H : p p ~ N(, ) (asmptotsch) H : p > p T > z α Eater Bomaltest (we Faustregel: p( p) > 9 cht erfüllt) Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehberech H : p p H : p p u H H : p p H : p < p ~ B(, p) ' u H : p p H : p > p ' o oder o mt de Schrae des Ablehberechs aus de Wahrschelchete. der Bomalvertelug P ( ) p( p) Ablehberech be zwesetgem Test :,..., /,..., / :,..., / P,..., α / P{ } <α ud P{ + } α sowe P{ } <α ud { } u u Ablehberech be esetgem Test H : p p ':,..., ' P,..., ' + α P{ } <α ud { } u u Ablehberech be esetgem Test H : p p ': ',..., P ',..., α P{ } <α ud { } o o Zwestchprobetests Ncht verbudee Stchprobe (asmptotscher Test) o u u Bezechuge A wrd beobachtet zwe uabhägge Grudgesamthete G ud G G: Stchprobeumfag, : Azahl der Ese, p ˆ / Schätzug für P(A) p G G: Stchprobeumfag, : Azahl der Ese, p ˆ / Schätzug für P(A) p G + pˆ Schätzug für P(A) be Glechhet der Atele + Nullhpothese Alteratvhpothese Testgröße Ablehberech H : p p H : p p pˆ ˆ p T T > z α / H (/ + / ) pˆ( pˆ) : p p H : p < p T < z α H : p p ~ N(, ) asmptotsch H : p > p T > z α Verbudee Stchprobe (McNemar-Test) Bezechuge: a, b, c, d sd absolute Häufgete Utersuchug Utersuchug A egetrete A cht egetrete A egetrete A b A cht egetrete C d 8 o o o

19 Nullhpothese: glech Testgröße: Ablehberech : Wahrschelchet des Wechsels des Etretes vo A st bede Rchtuge ( b c) T b+ c T > χ, α / Der Test st asmptotsch, als Faustregel für gute Näherug glt b + c 3. ( b c ) Ist 3> b+ c, rechet ma mt der modfzerte Testgröße T. b + c Be b + c < oder erwartete Zellhäufgete für de Zelle b, c leer als 5 rechet ma ee Bomaltest mt N b + c, b, p ½. Esetge Tests rechet ma mt der Testgröße T ( b c)/ b+ c, de uter H asmptotsch N(,) st. 9. Parameterfree Tests χ ²-Uabhäggetstest Bezechuge X, Y Zufallsgröße mt dsrete Wertebereche,..., p bzw.,..., q Stchprobe mt Messwertpaare (, j ) j : Azahl des Auftretes der Kombato (, j ) der Stchprobe q p q p.. j. j,. j j,.. j, ˆ j j j Nullhpothese: X, Y uabhägg Testgröße p q ( j ˆ j ) T j ˆ j Rso α Ablehberech T χ > ( p ) ( q ), α Der χ ²-Test a auch für stetge Zufallsgröße durchgeführt werde, we vorher ee Klasseetelug erfolgte. De Werte j sd da de Klassehäufgete. Alteratv bevorzugt ma be stetge Zufallsgröße de Korrelatosoeffzete zur Beschrebug ees leare bzw. mootoe Zusammehags. Achtug Da de Testgröße ur äherugswese χ ²-vertelt st, sollte ee der erwartete Häufgete ˆ j leer als 5 se (sost beachbarte Klasse zusammelege). χ ²-Apassugstest Getestet wrd, ob ee vorlegede Stchprobe eer Grudgesamthet mt bestmmter Vertelug (z.b. NV) etstammt. Testdee: Verglech der absolute Häufgete bestmmter Eregsse mt de uter der Testvertelug erwartete Häufgete deser Eregsse Be dsreter Testvertelug sd dese Eregsse de Elemete des Werteberechs der Vertelug, evetuell werde dabe beachbarte zu Klasse zusammegefasst. 9

20 Be stetger Testvertelug erfolgt Klasseetelug (aalog Hstogramm, aber mt offee Radlasse) : Stchprobeumfag, K,..., K Klasseetelug, : Azahl der Klasse O : absolute Klassehäufget der -te Klasse K E : etspreched der Testvertelug zu erwartede Klassehäufget, E PK ( ) dabe werde de p ubeate Parameter der Vertelug aus der Stchprobe geschätzt (be NV p ) Nullhpothese: Testgröße: Rso Ablehberech Testvertelug legt vor ( O E) T, uter E α >χ T p, α H T χ : ~ p Achtug Im Utersched zu adere Tests st ma her.a. cht a eer Ablehug der Nullhpothese teressert! Da ma de dafür zustädge β -Fehler cht et, hat ma das Vorlege der Testvertelug cht mt statstscher Scherhet achgewese. Ma a be Nchtablehug der Nullhpothese davo ausgehe, dass de Stchprobewerte cht gege das Vorlege der Testvertelug spreche.

21 Ahag Tabelle : Quatle t m, q der t-vertelug m: Azahl Frehetsgrade, q: Quatlordug, t m, q f t, m ( ) d q q m,9,95,975,99,995,999,9995 3,8 6,3,7 3,8 63,66 38,3 636,6,89,9 4,3 6,96 9,9,33 3,6 3,64,35 3,8 4,54 5,84,,9 4,53,3,78 3,75 4,6 7,7 8,6 5,48,,57 3,36 4,3 5,89 6,87 6,44,94,45 3,4 3,7 5, 5,96 7,4,89,36 3, 3,5 4,79 5,4 8,4,86,3,9 3,36 4,5 5,4 9,38,83,6,8 3,5 4,3 4,78,37,8,3,76 3,7 4,4 4,59,36,8,,7 3, 4, 4,44,36,78,8,68 3,5 3,93 4,3 3,35,77,6,65 3, 3,85 4, 4,35,76,4,6,98 3,79 4,4 5,34,75,3,6,95 3,73 4,7 6,34,75,,58,9 3,69 4, 7,33,74,,57,9 3,65 3,97 8,33,73,,55,88 3,6 3,9 9,33,73,9,54,86 3,58 3,88,33,7,9,53,85 3,55 3,85,3,7,8,5,83 3,53 3,8,3,7,7,5,8 3,5 3,79 3,3,7,7,5,8 3,48 3,77 4,3,7,6,49,8 3,47 3,75 5,3,7,6,49,79 3,45 3,73 6,3,7,6,48,78 3,43 3,7 7,3,7,5,47,77 3,4 3,69 8,3,7,5,47,76 3,4 3,67 9,3,7,5,46,76 3,4 3,66 3,3,7,4,46,75 3,39 3,65 4,3,68,,4,7 3,3 3,55 6,3,67,,39,66 3,3 3,46,9,66,98,36,6 3,6 3,37 Näherug für große m: t m, q zq (Quatl der Normalvertelug N(,))

22 Tabelle : Quatle der χ - Vertelug Für große Werte vo m glt: χ m ; q m + uq 9m 9m Näherugsformel vo Wlso ud Hlfert m Azahl der Frehetsgrade, q Ordug des Quatls q m,5,,5,5,,9,95,975,99,995,,,,,,7 3,84 5, 6,63 7,88,,,5,, 4,6 5,99 7,38 9,,6 3,7,,,35,58 6,5 7,8 9,35,34,84 4,,3,48,7,6 7,78 9,49,4 3,8 4,86 5,4,55,83,5,6 9,4,7,83 5,9 6,75 6,68,87,4,64,,64,59 4,45 6,8 8,55 7,99,4,69,7,83, 4,7 6, 8,48,8 8,34,65,8,73 3,49 3,36 5,5 7,53,9,95 9,73,9,7 3,33 4,7 4,68 6,9 9,,67 3,59,6,56 3,5 3,94 4,87 5,99 8,3,48 3, 5,9,6 3,5 3,8 4,57 5,58 7,8 9,68,9 4,7 6,76 3,7 3,57 4,4 5,3 6,3 8,55,3 3,34 6, 8,3 3 3,57 4, 5, 5,89 7,4 9,8,36 4,74 7,69 9,8 4 4,7 4,66 5,63 6,57 7,79,6 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,6 5,3 6,6 7,6 8,55,3 5, 7,49 3,58 3,8 6 5,4 5,8 6,9 7,96 9,3 3,54 6,3 8,85 3, 34,7 7 5,7 6,4 7,56 8,67,9 4,77 7,59 3,9 33,4 35,7 8 6,6 7, 8,3 9,39,86 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,84 7,63 8,9,,65 7, 3,4 3,85 36,9 38,58 7,43 8,6 9,59,85,44 8,4 3,4 34,7 37,57 4, 8,3 8,9,8,59 3,4 9,6 3,67 35,48 38,93 4,4 8,64 9,54,98,34 4,4 3,8 33,9 36,78 4,9 4,8 3 9,6,,69 3,9 4,85 3, 35,7 38,8 4,64 44,8 4 9,89,86,4 3,85 5,66 33, 36,4 39,36 4,98 45,56 5,5,5 3, 4,6 6,47 34,38 37,65 4,65 44,3 46,93 6,6, 3,84 5,38 7,9 35,56 38,89 4,9 45,64 48,9 7,8,88 4,57 6,5 8, 36,74 4, 43,9 46,96 49,64 8,46 3,56 5,3 6,93 8,94 37,9 4,34 44,46 48,8 5,99 9 3, 4,6 6,5 7,7 9,77 39,9 4,56 45,7 49,59 5,34 3 3,79 4,95 6,79 8,49,6 4,6 43,77 46,98 5,89 53,67 4,7,6 4,43 6,5 9,5 5,8 55,76 59,34 63,69 66,77 5 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 63,7 67,5 7,4 76,5 79, ,53 37,48 4,48 43,9 46,46 74,4 79,8 83,3 88,38 9, ,8 45,44 48,76 5,74 55,33 85,53 9,53 95,,43 4, 8 5,7 53,54 57,5 6,39 64,8 96,58,88 6,63,33 6,3 9 59, 6,75 65,65 69,3 73,9 7,57 3,5 8,4 4, 8,3 67,33 7,6 74, 77,93 8,36 8,5 4,34 9,56 35,8 4,7 3

23 Tabelle 3a:.95 - Quatle der F-Vertelug P ( F 95 ).95 F m, m,. m m ,45 99,5 5,7 4,58 3,6 33,99 36,77 38,88 4,54 4,88 4,98 8,5 9, 9,6 9,5 9,3 9,33 9,35 9,37 9,38 9,4 9,4 3,3 9,55 9,8 9, 9, 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 8,76 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,9 6,4 6, 5,96 5,94 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,5 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,7 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4, 4,6 4,3 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,6 8 5,3 4,46 4,7 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,35 3,3 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 3, 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 3,,98,94 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95,9,85,8 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85,8,75,7 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,3,9,83,77,7,67,63 4 4,6 3,74 3,34 3,,96,85,76,7,65,6,57 5 4,54 3,68 3,9 3,6,9,79,7,64,59,54,5 6 4,49 3,63 3,4 3,,85,74,66,59,54,49,46 7 4,45 3,59 3,,96,8,7,6,55,49,45,4 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4,37 9 4,38 3,5 3,3,9,74,63,54,48,4,38,34 4,35 3,49 3,,87,7,6,5,45,39,35,3 4,3 3,47 3,7,84,68,57,49,4,37,3,8 4,3 3,44 3,5,8,66,55,46,4,34,3,6 3 4,8 3,4 3,3,8,64,53,44,37,3,7,4 4 4,6 3,4 3,,78,6,5,4,36,3,5, 5 4,4 3,39,99,76,6,49,4,34,8,4, 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7,,8 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5,,7 8 4, 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9,5 9 4,8 3,33,93,7,55,43,35,8,,8,4 3 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6,3 4 4,8 3,3,84,6,45,34,5,8,,8,4 5 4,3 3,8,79,56,4,9,,3,7,3, ,97 3,,73,49,34,,3,6,,96,9 3,94 3,9,7,46,3,9,,3,97,93,89 3,89 3,4,65,4,6,4,6,98,93,88,84 3 3,87 3,3,63,4,4,3,4,97,9,86,8 4 3,86 3,,63,39,4,,3,96,9,85,8 5 3,86 3,,6,39,3,,3,96,9,85,8 3,85 3,,6,38,,,,95,89,84,8 3

24 F m ; m ; α F m ; m ; α m m 43,9 45,36 46,46 48, 5, 5,77 5,6 53,4 54,6 54,9 9,4 9,4 9,43 9,45 9,46 9,48 9,48 9,49 9,49 9,49 8,74 8,7 8,69 8,66 8,6 8,58 8,56 8,55 8,53 8,53 3 5,9 5,87 5,84 5,8 5,75 5,7 5,68 5,66 5,64 5,63 4 4,68 4,64 4,6 4,56 4,5 4,44 4,4 4,4 4,37 4,37 4, 3,96 3,9 3,87 3,8 3,75 3,73 3,7 3,68 3,67 6 3,57 3,53 3,49 3,44 3,38 3,3 3,9 3,7 3,4 3,3 7 3,8 3,4 3, 3,5 3,8 3,,99,97,94,93 8 3,7 3,3,99,94,86,8,77,76,7,7 9,9,86,83,77,7,64,6,59,55,54,79,74,7,65,57,5,47,46,4,4,69,64,6,54,47,4,37,35,3,3,6,55,5,46,38,3,8,6,, 3,53,48,44,39,3,4,,9,4,4 4,48,4,38,33,5,8,4,,8,7 5,4,37,33,8,9,,9,7,, 6,38,33,9,3,5,8,4,,97,97 7,34,9,5,9,,4,,98,93,9 8,3,6,,6,7,,96,94,89,88 9,8,,8,,4,97,93,9,86,85,5,,6,,,94,9,88,83,8,3,7,3,7,98,9,87,85,8,79,,5,,5,96,88,84,8,77,76 3,8,3,9,3,94,86,8,8,75,74 4,6,,7,,9,84,8,78,73,7 5,5,9,5,99,9,8,78,76,7,7 6,3,8,4,97,88,8,76,74,69,68 7,,6,,96,87,79,75,73,67,66 8,,5,,94,85,77,73,7,65,65 9,9,4,99,93,84,76,7,7,64,63 3,,95,9,84,74,66,6,59,53,5 4,95,89,85,78,69,6,55,5,46,45 5,88,83,78,7,6,5,47,44,36,35 75,85,79,75,68,57,48,4,39,3,3,8,74,69,6,5,4,35,3,,,78,7,68,6,5,39,33,3,9,7 3,78,7,67,6,49,38,3,8,7,5 4,77,7,66,59,48,38,3,8,6,4 5,76,7,65,58,47,36,3,6,3, 4

25 Tabelle 3b: Quatle der F-Vertelug PF ( F m, m,.975).975 m m 647,79 799,5 864,6 899,58 9,85 937, 948, 956,66 963,8 968,63 973,3 38,5 39, 39,7 39,5 39,3 39,33 39,36 39,37 39,39 39,4 39,4 3 7,44 6,4 5,44 5, 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 4,4 4,37 4,,65 9,98 9,6 9,36 9, 9,7 8,98 8,9 8,84 8,79 5, 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 6,6 6,57 6 8,8 7,6 6,6 6,3 5,99 5,8 5,7 5,6 5,5 5,46 5,4 7 8,7 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,9 4,8 4,76 4,7 8 7,57 6,6 5,4 5,5 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 4,3 4,4 9 7, 5,7 5,8 4,7 4,48 4,3 4, 4, 4,3 3,96 3,9 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,7 3,95 3,85 3,78 3,7 3,66 6,7 5,6 4,63 4,8 4,4 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,47 6,55 5, 4,47 4, 3,89 3,73 3,6 3,5 3,44 3,37 3,3 3 6,4 4,97 4,35 4, 3,77 3,6 3,48 3,39 3,3 3,5 3, 4 6,3 4,86 4,4 3,89 3,66 3,5 3,38 3,9 3, 3,5 3,9 5 6, 4,77 4,5 3,8 3,58 3,4 3,9 3, 3, 3,6 3, 6 6, 4,69 4,8 3,73 3,5 3,34 3, 3, 3,5,99,93 7 6,4 4,6 4, 3,66 3,44 3,8 3,6 3,6,98,9,87 8 5,98 4,56 3,95 3,6 3,38 3, 3, 3,,93,87,8 9 5,9 4,5 3,9 3,56 3,33 3,7 3,5,96,88,8,76 5,87 4,46 3,86 3,5 3,9 3,3 3,,9,84,77,7 5,83 4,4 3,8 3,48 3,5 3,9,97,87,8,73,68 5,79 4,38 3,78 3,44 3, 3,5,93,84,76,7,65 3 5,75 4,35 3,75 3,4 3,8 3,,9,8,73,67,6 4 5,7 4,3 3,7 3,38 3,5,99,87,78,7,64,59 5 5,69 4,9 3,69 3,35 3,3,97,85,75,68,6,56 6 5,66 4,7 3,67 3,33 3,,94,8,73,65,59,54 7 5,63 4,4 3,65 3,3 3,8,9,8,7,63,57,5 8 5,6 4, 3,63 3,9 3,6,9,78,69,6,55,49 9 5,59 4, 3,6 3,7 3,4,88,76,67,59,53,48 3 5,57 4,8 3,59 3,5 3,3,87,75,65,57,5,46 4 5,4 4,5 3,46 3,3,9,74,6,53,45,39,33 5 5,34 3,97 3,39 3,5,83,67,55,46,38,3,6 75 5,3 3,88 3,3,96,74,58,46,37,9,,7 5,8 3,83 3,5,9,7,54,4,3,4,8, 5, 3,76 3,8,85,63,47,35,6,8,,6 3 5,7 3,73 3,6,83,6,45,33,3,6,9,4 4 5,6 3,7 3,5,8,6,44,3,,5,8,3 5 5,5 3,7 3,4,8,59,43,3,,4,7, 5,4 3,7 3,3,8,58,4,3,,3,6, 5

26 F m ; m ; α F m ; m ; α m m 976,7 98,53 986,9 993,,4 8,,49 3,8 7,4 7,75 39,4 39,43 39,44 39,45 39,46 39,48 39,48 39,49 39,5 39,5 4,34 4,8 4,3 4,7 4,8 4, 3,97 3,96 3,9 3,9 3 8,75 8,68 8,63 8,56 8,46 8,38 8,34 8,3 8,7 8,6 4 6,5 6,46 6,4 6,33 6,3 6,4 6, 6,8 6,3 6, 5,37 5,3 5,4 5,7 5,7 4,98 4,94 4,9 4,86 4,86 6 4,67 4,6 4,54 4,47 4,36 4,8 4,3 4, 4,6 4,5 7 4, 4,3 4,8 4, 3,89 3,8 3,76 3,74 3,68 3,68 8 3,87 3,8 3,74 3,67 3,56 3,47 3,43 3,4 3,35 3,34 9 3,6 3,55 3,5 3,4 3,3 3, 3,8 3,5 3,9 3,9 3,43 3,36 3,3 3,3 3, 3,3,98,96,9,89 3,8 3, 3,5 3,7,96,87,8,8,74,73 3,5 3,8 3,3,95,84,74,7,67,6,6 3 3,5,98,9,84,73,64,59,56,5,5 4,96,89,84,76,64,55,5,47,4,4 5,89,8,76,68,57,47,4,4,33,3 6,8,75,7,6,5,4,35,33,6,6 7,77,7,64,56,44,35,3,7,, 8,7,65,59,5,39,3,4,,5,4 9,68,6,55,46,35,5,,7,,9,64,56,5,4,3,,6,3,6,5,6,53,47,39,7,7,,9,,,57,5,44,36,4,4,8,6,99,98 3,54,47,4,33,,,5,,95,94 4,5,44,38,3,8,8,,,9,9 5,49,4,36,8,6,5,,97,9,89 6,47,39,34,5,3,3,97,94,87,86 7,45,37,3,3,,,95,9,85,84 8,43,36,3,,9,99,93,9,83,8 9,4,34,8,,7,97,9,88,8,8 3,9,,5,7,94,83,77,74,66,65 4,,4,8,99,87,75,69,66,57,56 5,,5,99,9,76,65,58,54,44,43 75,8,,94,85,7,59,5,48,38,36,,93,87,78,64,5,44,39,7,5,99,9,85,75,6,48,4,36,3, 3,98,9,84,74,6,47,39,35,,8 4,97,89,83,74,6,46,38,34,9,7 5,96,88,8,7,58,45,36,3,6,3 6

27 Tabelle 4: Gamma-Futo,,,3,4,5,6,7,7,8,9,,,994,989,984,978,974,969,964,96,956,,95,947,944,94,936,933,93,97,94,9,,98,96,93,9,99,96,94,93,9,899,3,898,896,895,893,89,89,89,889,889,888,4,887,887,886,886,886,886,886,886,886,886,5,886,887,887,888,888,889,89,89,89,89,6,894,895,896,897,899,9,9,93,95,97,7,99,9,93,95,97,99,9,94,96,99,8,93,934,937,94,943,946,949,95,955,958,9,96,965,969,97,976,98,984,988,99,996 Erweterug für > : Γ ( ) ( ) Γ( ) < < π Γ( ) Γ ( ) s π Spezelle Futoswerte Γ ( ) ( )!,,,3,... Γ ( ) π Γ ( ) Γ( ) Γ ( + ), > π Γ (3 ) Γ( ) Γ ( + ) Γ ( + ), > π 3 3 Gaußsche Multplatosformel ( )/ / Γ ( ) ( π) Γ( ) Γ ( + )... Γ ( + ), >,,,3,... 7

28 Φ ( ) P( X Tabelle 5: Vertelugsfuto der Stadard-Normalvertelug ) Hwese Für < st Φ ( ) Φ( ) zu verwede Für > 3, 9 st be der vorgegebee Geauget Φ( ) zu setze,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,5,54,58,5,56,599,539,579,539,5359,,5398,5438,5478,557,5557,5596,5636,5675,574,5753,,5793,583,587,59,5948,5987,66,664,63,64,3,679,67,655,693,633,6368,646,6443,648,657,4,6554,659,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,695,695,6985,79,754,788,73,757,79,74,6,757,79,734,7357,7389,74,7454,7486,757,7549,7,758,76,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,788,79,7939,7967,7995,83,85,878,86,833,9,859,886,8,838,864,889,835,834,8365,8389,,843,8438,846,8485,858,853,8554,8577,8599,86,,8643,8665,8686,878,879,8749,877,879,88,883,,8849,8869,8888,897,895,8944,896,898,8997,95,3,93,949,966,98,999,95,93,947,96,977,4,99,97,9,936,95,965,979,99,936,939,5,933,9345,9357,937,938,9394,946,948,949,944,6,945,9463,9474,9484,9495,955,955,955,9535,9545,7,9554,9564,9573,958,959,9599,968,966,965,9633,8,964,9649,9656,9664,967,9678,9686,9693,9699,976,9,973,979,976,973,9738,9744,975,9756,976,9767,,977,9778,9783,9788,9793,9798,983,988,98,987,,98,986,983,9834,9838,984,9846,985,9854,9857,,986,9864,9868,987,9875,9878,988,9884,9887,989,3,9893,9896,9898,99,994,996,999,99,993,996,4,998,99,99,995,997,999,993,993,9934,9936,5,9938,994,994,9943,9945,9946,9948,9949,995,995,6,9953,9955,9956,9957,9959,996,996,996,9963,9964,7,9965,9966,9967,9968,9969,997,997,997,9973,9974,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,998,998,9,998,998,998,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,999,999 3, 3, 3, 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9,9987,999,9993,9995,9997,9998,9998,9999,9999,9999 8