Mathematik III Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Mathemat III Wahrschelchetsrechug Ihaltsverzechs 0 Vorbemeruge... Zufällge Eregsse ud Wahrschelchete.... Elemetare Wahrschelchetsrechug.... Berechug vo Wahrschelchete durch Kombatorsche Überleguge Spezalserug des Fudametalprzps Schema zur elemetare Kombator Edlche Wahrschelchete Geometrsche Wahrschelchet Bedgte Wahrschelchet, Uabhägge Eregsse Uabhägget vo Eregsse....6 Axomatsche Begrüdug der Wahrschelchetstheore... 6 Zufallsgröße ud dere Vertelug...8. Zufallsgröße, Verteluge Erwartugswert Egeschafte des Erwartugswertes Egeschafte der Streuug Faltug zweer Verteluge Momete eer Zufallsgröße Charaterstsche Futoe Eführug der Kovaraz (Abwechuge) Folge vo Zufallsgröße Tschebyscheffsche Uglechug Gesetze der große Zahle Beroullsches Gesetz der große Zahle:...53

2 0 Vorbemeruge Mtte des 7. Jh. Chevaler de Mèrè, Blase Pascal Spel mt 3 Würfel Augesumme öfter als Augesumme Auffassug, daß Eregsse oder glechwahrschelch sd Überlegug: 6 Möglchete, ee zu würfel aber auch 6 Möglchete für de : Brefwechsel zwsche Pascal ud Fermat: Afag der Wahrschelchetstheore Modere Theore Stochast! Wahrschelchetstheore ud Statst set Afag deses Jahrhuderts: Astreguge zur Formalserug Zufällge Eregsse ud Wahrschelchete. Elemetare Wahrschelchetsrechug Bespel: Müzwurf determstscher Vorgag, Aufgrud uscharfer Afagsbedguge st Ergebs cht exat vorhersagbar. Zwe eader ausschleßede Ergebsse: Kopf oder Zahl. Jedes Ergebs st glechberechtgt " Kopf oder Zahl trete jewels mt Wahrschelchet ½ auf. Fazt: Spezalfall: Expermet, Versuch mt ugewssem Ausgag, zumdest przpell oder gedalch uter gleche Versuchsbedguge belebg oft wederholbar. Beobachtug: Be uabhägger Wederholug derartger Versuche sd Gesetzmäßgete erebar. Alle edlch vele Versuchsausgäge schleße eader aus ud sd glechberechtgt. Versuch wrd auf gut Glüc durchgeführt. Uter dese Voraussetzuge se A e Eregs, das aus verschedee Versuchsausgäge zusammegesetzt se a. Sete

3 Wahrschelchet (vo Laplace) Azahl der für A güstge Fälle P(A) = Azahl aller möglche Fälle Bespel: Müze Spelwürfel - 6 Ausgäge, A = 6, A = gerade Zahl zwe Spelwürfel - 36 Ausgäge, A = gleche Augezahl Praxs: lage Beobachtugsrehe: mehrmalge uabhägge Durchführug e ud desselbe Expermets, Eregs A det. Be Versuche trete (A) - mal das Eregs A e. Da zegt sch, daß de relatve Häufget (A) ( =,, 3,...) für wachsedes stabl st. Se schwat mehr oder weger um ee gewsse Wert, ämlch de Wahrschelchet P(A). " statstscher Wahrschelchetsbegrff, begrüdet Kotat der (och zu etwcelde) Theore mt der Realtät Problem bem Laplace sche Wahrschelchetsbegrff: glechwahrschelche Eregsse fde, mt dere Hlfe das teresserede Eregs zusammegesetzt werde a.. Berechug vo Wahrschelchete durch Kombatorsche Überleguge K Mege A, A,..., A vom Umfag,,..., Elemete Kombato vo Elemete blde (a, a,..., a ) mt a A We vele solcher Kombatoe sd möglch? Fudametalprzp der Kombator: Azahl verschedeer geordeter -Tupel N =... Bespel: We groß st de Wahrschelchet für das Eregs A, bem Spele mt 3 Würfel de maxmale Augezahl zu erreche? A ( =,, 3) glech, sechselemetg! N = 6 3 Möglchete! güstg! P(A) = /6 Sete 3

4 .. Spezalserug des Fudametalprzps geordete Probe mt Wederholug Elemete öe mehrfach berücschtgt werde, Auswahl mt Zurüclege. Ee Mege A mt Elemete, Elemete wähle " Zurücführug auf Fudametalprzp: A = A =... = A = A! N = geordete Probe ohe Wederholug Ee Mege A mt Elemete, Elemete wähle, dabe Zurüclege verbote " Zurücführug auf Fudametalprzp: A = A Elemet a wähle Elemete A = A \ {a } Elemet a wähle - Elemete A = A \ {a, a } Elemet a 3 wähle - Elemete A = A \ {a, a,..., a - } Elemet a wähle - + Elemete! " N = ( - )( - )... ( - + ) = ( - )! Noch spezeller: = setze " Azahl der Permutatoe vo Elemete ohe Wederholug N =! Bespel: Gruppe vo Studete stzt eem Zug mt Wage. Jeder Studet habe see Wage uabhägg ud auf gut Glüc gewählt. Gesucht st de Wahrschelchet, daß alle Studete verschedee Wage stze. Zuächst alle Möglchete: Studete auf Wage auftele, Problem mt Wederholug ud mt Berücschtgug der Rehefolge " sgesamt N = Möglchete, Studete auf de Wage aufzutele. Eregs A: höchstes e Studet pro Wage für A güstge Fälle: Wederholug verbote, Zahl der Kombatoe (mt Berücschtgug der Rehefolge, ohe Wederholug) Sete 4

5 N(A) =! ( )! Möglchete "! ( ) ( )...( ) = + ( )! Jetzt de Berücschtgug der Rehefolge aufgebe. Mege A vom Umfag, -elemetge Telmege {a, a,..., a } blde. Also ohe Rüclege, ohe Wederholug. Gesuchte Azahl: N Wr beomme alle möglche geordete Probe aus A vom Umfag ohe Wederholug ud jede ur emal, dem wr zuächst ee belebge -elemetge Telmege vo A wähle ud da alle hre Permutatoe blde. Nach dem Fudametalprzp ergbt sch: N! =! ( )! Telmege Permutato = Probe (m. R., o. W.) -elemetg! " N = =!( )! Bomaloeffzet Zerlegug der Mege A Telmege B, B,..., B s vom Umfag,,..., bzw. s s = " Permutato mt Wederholug N =!!!... s! Polyomaloeefzet Bespel: Qualtätsotrolle, Los vo 00 Tele, 0 wurde auf gut Glüc gewählt ud otrollert. Falls e Ausschuß, Aahme des Loses. Gesucht st de Wahrschelchet des Eregsses A, daß e Los mt 00 Ausschußtele cht beastadet wrd? Azahl der Möglchete 0 Tele aus 00 zu wähle, Kombatoe ohe Berücschtgug der Rehefolge, ohe Wederholug 00 N = 00! = 0 0! 90! Sete 5

6 Azahl der für das Eregs A güstge Fälle: 90 gute Tele, davo 0 heraus grefe 0 N = 9 90! = 0 0! 80! ! 90! P( A) = =,!! 9 = e Noch offe: Aus Elemete herauszugrefe, mt Wederholug (zurüclege erlaubt), ohe Berücschtgug der Rehefolge. Azahl der möglche Kombatoe + N = Bespel: auftele Auf wevele Wese lasse sch Marstüce auf Persoe A Mege vo Persoe, umerere Problem: ohe Berücschtgug der Rehefolge, mt Wederholug Des gbt Alaß zu alteratve Iterpretatoe vo Kombatoe: Gegebe sd Zelle, auf de Telche aufgetelt werde solle. Telche sd uterschedbar oder cht Problem mt oder ohe Berücschtgug der Rehefolge Mehrfachbelegug eer Zelle möglch oder cht Problem mt oder ohe Wederholug Bespel: Es sd uterschedlche Dge auf N Schubfächer zu vertele. Jede Möglchet der Vertelug se glech wahrschelch. Mt welcher Wahrschelchet gelage be der Vertelug e Schubfach Dge? Jedes Dg läßt sch ees der N Schubfächer lege, N Möglchete e Dg zu vertele. Fudametalprzp " Azahl aller Möglchete be der Vertelug st N Azahl der güstge Fälle: Sete 6

7 " vo Dge auf e Schubfach vertele (ohe Wederholug, ohe Berücschtgug der Rehefolge) Möglchete dafür " de übrge - Dge N - Schubfächer (egal we) vertele (N - ) - " ( N ) P = = N N N.. Schema zur elemetare Kombator Probe vom Umfag ohe Berücschtgug der Rehefolge mt Berücschtgug der Rehefolge ohe Wederholug mt Wederholug + Telche sd cht uterschedbar! ( )! Telche sd uterschedbar ee Mehrfachbelegug mt Mehrfachbelegug Vertelug vo Telche auf Zelle.3 Edlche Wahrschelchete " ächster Schrtt zur Formalserug des Wahrschelchetsbegrffes, durch Idetfzerug zufällger Eregsse mt Mege Zufällger Versuch habe Ausgag ω : Realserug, Stchprobe oder Elemetareregs Elemetareregs: Bespel: alle Elemetareregsse (alle Versuchsausgäge) eer Mege Ω zusammefasse: Raum aller Elemetareregsse. (gewsse) Telmege vo Ω blde da de zufällge Eregsse, Ω ud see Eregsse. Würfelexpermet Ω = {,, 3, 4, 5, 6} Eregs A: gerade Zahl würfel A = {, 4, 6} Ω Sete 7

8 Sete 8

9 Ω das schere Eregs trtt stets e das umöglche Eregs trtt emals e " Das Etrete des Elemetareregsses ω hat alle Eregsse A mt ω A zur Folge. De Eregsse A sd Telmege des Raumes der Elemetareregsse ω A Ω Damt st ee schere Bass für alle ähere Betrachtuge gelegt. Raum der Elemetareregsse etspreched de Regel der Megelehre struturere. Defto: Das Eregs A aus Ω, zehe das Eregs B aus Ω ach sch, A B, falls ω A ω B Stets glt: A, A Ω Defto: Zeht A Ω das Eregs B Ω sowe B das Eregs A ach sch, so heße de Eregsse A ud B glech. A = B A B B A Defto: De Summe (Veregug) A B der Eregsse A, B Ω, trtt geau da e, we wegstes ees der Eregsse A oder B etrtt. ω A B ω A ω B Stets glt: A = A A A B A A = A B A B A Ω = Ω Kommutatvtät: Assozatvtät: A B = B A A (B C) = (A B) C Allgeme: edlche Summe vo Eregsse U A = A A... A = (A ) =,,... Folge vo Eregsse, A Ω. Da bedeutet A das Eregs, das geau da etrfft, we mdestes ees der A etrtt. U = Defto: Das Produt (der Durchschtt) A B der Eregsse A, B Ω trtt geau da e, we sowohl A als auch B etrete. ω A B ω A ω B Sete 9

10 Stets glt: A = A B A A A = A A B B A Ω = A Außerdem glt das Kommutatv- ud das Assozatvgesetz bezüglch. Allgeme: edlches Produt vo Eregsse A Ω I A = A A... A jedes der A trtt e = I A = Defto: Das zu A Ω omplemetäre Eregs A trtt geau da e, we A cht etrtt. Es glt A A=Ω A A=, d.h. A ud A zerlege de Raum der Elemetareregsse Ω= =Ω A B B A Defto: Sd A ud B zufällge Eregsse, so bezeche wr das Eregs das geau da etrtt, we A aber cht B etrtt, mt A \ B. Es glt: A \ B = A B Bemerug: Aufgrud der vo us gewählte Kostruto gelte für Eregsse grudsätzlch de Regel der Megelehre, etwa de Dstrbutvgesetze: A (B C) = (A B) (B C) A (B C) = (A B) (B C) oder de DeMorga sche Regel: A B = A B allgeme A = A I U = = A B= A B allgeme A = A U I = = Sete 0

11 Bespel: 4 Geräte see der folgede Wese geschaltet: 3 4 A bezeche das zufällge Eregs: Das Gerät fällt aus ( =,, 3, 4) Eregs A: Das System fällt aus A= A ( A A3 A4) Eregs B: Das System fällt cht aus B = A ( A A A ) 3 4 Defto: Ee Mege M zufällger Eregsse heßt Eregsalgebra, we glt: E: Ω M E: A M, B M " A B M ( M st -stabl) E3: A M " A M Ethält M uedlch vele Elemete, so habe M überdes de Egeschaft E4 : A M ( =,,...) " U M I desem Fall st M ee σ-algebra. A = Folgeruge: Ee Eregsalgebra bestzt de Egeschafte:. M. A, B M " A B M, A \ B M (M st -stabl) 3. A M ( =,,...) " I A M = Bespel:. Ω gegebe, sowe A Ω ; A Ω ; A ; Eregsalgebra M mt A M ostruere M = {A, A,, Ω}. Kleste Algebra: M = {, Ω} 3. Größte Algebra: M = (Ω) (Potezm. aller Telmeg.) Se Ω = {ω, ω,..., ω N } edlch mt N Elemete. Wevele Elemete ethält da de Potezmege? Mege A Ω ostruere: Megebldugsprzp Sete

12 Also N Telche auf zwe Zelle auftele. " (Ω) ethält N Elemete. ω A oder ω A Bespel: Spel mt zwe Würfel: 6 6 = 36 Elemetareregsse Ω = {(, ), (, ),..., (6, 6)} (Ω) ethält 36 = Elemete (Ω) ethält qualtatv mehr Elemete als Ω. Ω abzählbar Ω = {ω, ω,...} (Ω) überabzählbar I desem Falle lasse sch gerade och Wahrschelchete auf alle Eregsse A (Ω) defere. Be überabzählbare Ω, z.b. Ω = R glt das cht mehr. Borel-Mege Se Ω = R de reelle Achse. Nach dem Eregs {ω : ω = x} (x R) zu frage st oft cht svoll, dagege ach {ω : ω Itervall} sehr. " spezelle Telmege vo Ω betrachte: A = (a, b] ; - < a < b < Blde dese Mege ee Algebra? (a, b] (b, c] = (a, c], U (, + ] = R = Wr müsse Mege hzuehme. Defto: Se Ω = R. Mt L bezeche wr de leste σ-algebra (Exstez geschert), de alle betroffee Itervalle (a, b], - < a < b < ethält. L heßt σ-algebra der Borel-Mege R. Mttels geegeter Paralleleppede (Rechtec, Quader,...) defert ma de σ-algebra L der Borel-Mege m R. Im folgede setze wr u stets voraus, daß der jewels betrachtete Raum der Elemetareregsse Ω durch ee geegete Eregsalgebra struturert se. Nur de Elemete A M wolle wr üftg als Eregsse zulasse. Defto: Es se Ω e Elemetareregsraum versehe mt der Eregsalgebra Sete

13 M. Zwe Eregsse A, B M heße uverebar oder dsjut, falls hr gemesames Etrete umöglch st. A B = De Eregsse A ud B schleße eader aus. Bespel: Würfel Eregs A = ugerade Zahl würfel Eregs B = ee Zahl größer 5 würfel Defto: Ee Mege cht umöglch zufällger Eregsse {A, A,..., A,...}, ( A M ) heßt vollstädges Eregssystem we glt: V: A ( =,,...) paarwese uverebar A A = ( ) V: Vollstädget A A A = Ω Vollstädges Eregssystem zerlegt de Raum Ω. Nächstes Zel st de Weteretwclug des Wahrschelchetsbegrffes. Spezalserug: Raum der Elemetareregsse se höchstes abzählbar: Ω = {ω, ω,..., ω } oder Ω = {ω, ω,...} Eregsalgebra M ethalte alle eputge Eregsse A = {ω } M ( =,,...). {A, A,..., A } bldet also vollstädges Eregssystem. " Für alle A M Wahrschelchet P(A) defere: A! P(A), A M Zuerst Futo P : M! [0, ] auf dem vollstädge Eregssystem defere: A! P(A ) = P({ω }) = p =,,... Dabe muß für de Folge ( p ) =,,... atürlch gelte p > 0 ud p = für =,,... Für e belebges Eregs A M setze wr P(A) :=. p ω A Bespel: Ω = {0,,,...} Mege der atürlche Zahle. Sete 3

14 λ > 0 feste reelle Zahl p λ λ = e! λ λ " p > 0 p = e =! = 0 = 0 Egeschafte der Wahrschelchet P:. 0 P(A), mt P(A) = p. P(Ω) = p = ω Ω ω A 3. P(A) = p = p p = P(A) 4. P( ) = - P(Ω) ω A ω A Ω ω 5. Addtostheorem: A ud B uverebar " P(A B) = P(A) + P(B) 6. Verallgemeerug: A, =,,... höchstes abzählbar vele paarwese uverebare Eregsse A A = ( ;, =,,...) " P U A = P(A ) = = 7. Uverebaret falle lasse: A, B M belebg P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 8. Isotoe der Wahrschelchet: A B " P(A) P(B) Sete 4

15 .4 Geometrsche Wahrschelchet Zufällge Expermete mt überabzählbar vele Ausgäge öe mt elemetare Methode behadelt werde. Bespel: Ee Dame versprcht, zwsche 7.00 ud 8.00 Uhr zu eem Redezvous zu erschee, ähere Agabe macht se cht. Wahrschelchet für das Eregs, daß se zwsche 7.03 ud 7.3 Uhr etrfft st gesucht. Aschauug ud Ituto: Ω 0 m PA ( )= = 60 m 3 Abstrato: Ihalt der Mege A = {t : 7.03 t 7.3} Ihalt der Mege Ω = {t : 7.00 t 8.00} P(A) = Ihalt (A) Ihalt Ω Bespel: Glücsrad mt Zeger; zufällger Versuch: Rad drehe, wo blebt Zeger stehe, jede Zegerstellug glechberechtgt. Ω = {γ : 0 γ π } Eregs A ξ für Eregs A güstge Zegerstelluge detfzere 3 A = { ξ: π ξ π } π Ihalt (A) P(A) = Ihalt ( Ω ) = π = 4 Bespel: Zwe Persoe verebare, sch zwsche ud 3 a eem bestmmte Ort zu treffe. Jeder wartet auf de adere ötgefalls 5 Mute, daach geht er. We groß st de Wahrschelchet für e Treffe? Sete 5

16 y P II Put (x, y) repräsetert Auftszete für bede Persoe I ud II. A Ω = [0,]² A = {(x, y) Ω : x - y ¼} o x P I " y = x + 4 ud y = x 4 P(A) = Ihalt (A) -P(A Ihalt ( Ω ) = ) = 3 4 = 7 6 Allgemees Modell: Versuch lasse sch als zufällges Werfe ees Putes eem beschrätem Grudberech Ω des -dmesoale euldsche Raumes zu terpretere. Dabe gelte: Der geworfee Put a auf jede belebge Put ω Ω falle Ihaltsgleche Telmege vo Ω ( = Eregsse) habe de gleche Wahrschelchet Das schere Eregs etsprcht dem Grudberech Ω Da berechet sch de Wahrschelchet des Eregsses A Ω ach der Formel: P(A) = Ihalt (A) Ihalt ( Ω) Bemeruge: " Wahrschelchet ees Eregsses st also uabhägg vo der spezelle Lage ud Gestalt Ω " De Aaloge zum lasssche Laplace sche Wahrschelchetsbegrff st offeschtlch. " De derartg deferte geometrsche Wahrschelchet hat vel Alaß zu Mßverstädsse ud Ewäde gegebe. Grud: Paradoxo vo Bertrad. Aufgabe: I eem Kres wrd zufällg ee Sehe gezoge. We groß st de Wahrschelchet dafür, daß dere Läge de Sete ees m Kres ebeschrebee glechsetge Dreecs übertrfft? Sete 6

17 . Auffassug: Aus Symmetregrüde o.b.d.a. Rchtug der Sehe festhalte. Da serecht Durchmesser des Kreses betrachte. r s l 3 r M r r Wa glt s > l? Mttelput M der Sehe zwsche r ud 3 r r " P = = r. Auffassug: Sptze des glechsetge Dreecs eem Edput der Sehe, Wel der Sehe mt Tagete. π 3 π 3 π 3 güstger Berech: π π l " π 3 = π 3 3. Auffassug: Mttelput M der Sehe zufällg m Kreser wähle. Außerdem muß Abstad M zu 0 leer als r se. r M 0 P= = Ihalt (Kres mt r ) Ihalt (Kres mt r) r = r π 4 Lösug der Aufgabe offebar vo Lösugsweg abhägg. Auflösug des Paradoxo: Es wurde jewels verschedee Aufgabe formulert. Sete 7

18 . zufällg bedeutet her, de Put M auf gut Glüc auf (0, r) zu wähle. Wel ξ auf gut Glüc (0, π) wähle 3. Put auf gut Glüc der ere Kresfläche wähle " damt gaz verschedee Zufallsmechasme vorausgesetzt " uterschedlche Lösuge 0 r/ r 3r/.5 Bedgte Wahrschelchet, Uabhägge Eregsse Gegebe: Wahrschelchetsraum (Ω, M, P) Modell für (reale) Bedgugsomplex ees zufällge Expermets Eregs B M, P(B) > 0 zusätzlche Hypothese: Das Eregs B trtt e Durch Hzuahme deser Hypothese wrd der Bedgugsomlex geädert. Folglch werde sch.a. auch de Wahrschelchete der Eregsse A M äder. Defto: Uter de obge Voraussetzuge heßt: P( A B) : = P(A B) P(B) de bedgte Wahrschelchet des Eregsses A uter der Bedgug B. Bespel: Maschesystem Rehe I II III p q -(p+q) 0 Wahrschelchet für Ursache ees Ausfalls des Systems be: Masche I: p Masche II: q Masche III: - (p + q) System se ausgefalle, berets vergeblch ach eem Fehler Masche I gesucht. We st de Wahrschelchet dafür, daß da de Ursache Masche II legt? Eregs A: Ursache des Ausfalls legt geau a Masche II Sete 8

19 Eregs B: Ursache des Ausfalls legt cht a Masche II Gesucht: P(A B) Es glt her A B, sowe P(A) = q P(B) = - P(A) = - p ud weter P( A B) P( A) q P(A B) = = = PB ( ) A B PB ( ) p Egeschafte der bedgte Wahrschelchet. 0 P(A B) P( A B). B uverebar " P(A B) = = 0 PB ( ) P(A B) PB ( ) 3. B A " P(A B) = = = P(B) PB ( ) 4. [X] Ω) = P ( A Ω) P( A) = = P( A) P( Ω) 5. De bedgte Wahrschelchet P(A B) a leer, größer oder glech der ubedgte Wahrschelchet P(A) se. Bespel: Spelwürfel B = gerade Augezahl! P(B) = ½ a) A = Augezahl cht größer als 3! P(A) = ½ P(A B) = P(A B) P(B) 6 = = 3 <P(A)= b) A = Augezahl glech, 3 oder 4! P(A) = ½ P(A B) 3 P(A B) = = = > P(A) = P(B) 3 c) A = Augezahl glech oder! P(A) = 3 P(A B) 6 P(A B) = = = = P(A) P(B) 3 Sete 9

20 Hypothese: B, P(B) > 0 festhalte Futo A! P B (A) := P(A B), A M betrachte. Be festem B bestzt P(B) alle Egeschafte eer Wahrschelchet; st also ee eue Wahrschelchet auf M. - ohe Bewes - A, B see Eregsse mt P(A) > 0, P(B) > 0! P(A B) =? Zuwele P(A B) oder P(B A) beat oder lechter zu ermttel. Defto der bedgte Wahrschelchet Multplatossatz: Es see A ud B Eregsse postver Wahrschelchet. Da glt: P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Folgerug: P(A B) P(A) = P(B A) P(B) Bespel: 0 Bauelemete sd eer Kste, 4 davo sd defet. Elemete werde acheader auf gut Glüc etomme. Mt welcher Wahrschelchet sd bede Elemete tat? (Eregs A) A = -tes Elemet tat ( =, ) P(A ) = 6 0, P(A A ) = " P(A) = P(A A ) = P(A ) P(A A ) = = P( A A A ) = P( A A ) P( A A A ) = P( A ) P( A A ) P( A A A ) Verallgemeerug: Es see A, A,..., A zufällge Eregsse mt P( A A... A ) >, da glt: 0 P( A A... A ) = P( A ) P( A A ) P( A A A )... P( A A A... A ) 3 Gegebe: Eregs A, vollstädges Eregssystem {B, B,..., B } B paarwese dsjut U B =Ω, P(B ) > 0 ) Stadput: P(A) gesucht, P(A B ) dagege beat. Formel der totale Wahrschelchet Sete 0

21 B Ω B = A P(A) = P(A B )* P(B ) B 3 Bewes: A= A Ω) = A ( B ) = ( A B ) U U U 3 paarwese uverebar P( A) = P( ( A B )) = P( A B ) = P( A B ) * PB ( ) PB ( ) Bespel: Ru des Spelers Speler mmt a Spelrude tel: Errate des Resultats ees Müzwurfs. Es wrd um ee Mar gespelt. Müze errate - rchtg! + DM - falsch! - DM Afagsaptal: x DM ; x = 0,,... (0 = ee Spelrude möglch) Stratege des Spelers: Solage spele, bs Summe a Mar errecht st (a x) Problem: Mt welcher Wahrschelchet verlert der Speler se Kaptal? P(x) = Wahrschelchet, daß sch der Speler mt Afagsaptal vo x DM ruert. (x = 0,,..., a) Eregs B = Speler gewt der erste Rude x! x + Eregs B = Speler verlert der erste Rude x! x - Eregs A = Der Speler wrd ruert B, B : vollstädges Eregssystem: B PB ( ) = ud PB ( ) = B =Ω ud B B = P(A) cht erebar, aber Bezehug für bedgte Wahrschelchete. PAB ( ) = px ( ) 0 x - x x + q PAB ( ) = px ( + ) " Awede der Formel der totale Wahrschelchet: Sete

22 P( x) = P( A) = P( A B ) P( B ) + P( A B ) P( B ) = px ( + ) px ( ) + Dfferezeglechug Px ( ) = px ( + ) + px ( ) ( ) P(0) =, P(a) = 0 allgemee Lösug der Dfferezeglechug: Esetze de Radbedguge: P(x) = c + c x = P(0) = c 0 = p(a) = c (= 0) + c a! c x Lösug: Px ( ) = (x = 0,,..., a) a = a.5. Uabhägget vo Eregsse A, B see Eregsse mt P(A), P(B) > 0 möglcher Spezalfall: (*) P(A B) = P(A) P( A B) P( A B) PB ( ) 67 4= 84 " PBA ( ) P A B PB ( ) = = = ( ) = PB ( ) PB ( ) PB ( ) P( A) P( A) Damt st P ( A B ) = PB ( ) PA ( B) = PA ( ) PB ( ) falls (*) glt. P( A) Defto: Zufällge Eregsse A ud B heße uabhägg, falls glt: P( A B) = P( A) P( B) Bemerug: Voraussetzuge P(A), P(B) > 0 habe wr verachlässgt. Hat wegstes ees der Eregsse A oder B de Wahrschelchet Null, so sd A ud B uabhägg. Uverebaret vo A ud B: Verglech mt dem Multplatossatz: A, B M, P(A), P(B) > 0 PA ( B) = PAB ( ) PB ( ) = PBA ( ) PA ( ) Ma uterschede de Begrffe uabhägg ud uverebar für Eregsse. A B= P( A B) = 0 Folglch sd zwe uverebare Eregsse A, B postver Wahrschelchet cht uabhägg: Sete

23 3 P( A) 3 P( B) + P( A B) = 0 > 0 > 0 Bespel: Satblatt ee Karte auf gut Glüc zehe Eregs A = Farbe st P Eregs A = Karte st Dame Sd A ud A uabhägg? Formal: P( A ) =, P A 4 ( ) 3 = 8 P( A A) = Es glt: P( A) P( A) = = = P( A A) " Eregsse sd uabhägg P( A A) = = P( A), P( A A) = = P( A) 4 8 Bemerug: Satz: Bewes: Uabhägget vo A ud B drüct aus, daß A ud B wahrschelchetstheoretsch dem Se ee Efluß aufeader habe, daß de Iformato B trtt e - we se überhaupt postve Wahrschelchet hat - chts a der Wahrschelchet vo A ädert. Sd de Eregsse A ud B uabhägg, so sd es auch de Eregsse A ud B, A ud B, we auch A ud B. See A ud B uabhägge Eregsse: P( A B) = P( A) P( B) Es geügt zu zege: Da sd auch A ud B uabhägg. Eregs B dsjut zerlege: B = Ω B = (A A) B = (A B) (A B) ( A B) ( A B) = Addvtät: Sete 3

24 PB ( ) = PA ( B) PA ( B) = PA ( ) PB ( ) PA ( B) PA ( B) = PB ( ) PA ( ) PB ( ) = [ P( A)] P( B) = P( A) P( B). Bespel: zwe verschedee Würfel werfe Eregs A = Würfel zegt ugerade Augezahl B = Würfel zegt ugerade Augezahl C = De Augesumme st ugerade A ud B offebar uabhägg P( A) =, PB ( ) = PA ( B) = = PA ( ) PB ( ) 4 bedgte Wahrschelchete: PCA ( ) =, PCB ( ) = aber auch PC ( ) = " A, C sowe B, C jewels uabhägg aders ausgedrüct: P( A) = P( B) = P( C) = P( A B) = P( A C) = P( B C) = 4 Eregsse A, B,C paarwese uabhägg. Aber: P(C A B) = 0 " C cht uabhägg vo {A, B} es besteht her offebar Abhägget zu drtt " Defto Defto: uabhägg, De zufällge Eregsse A, A,..., A heße vollstädg we für belebge =, 3,..., ud belebge atürlche Zahle,... mt < <... < glt: P( A... A ) = P( A )... P( A ) De zufällge Eregsse eer uedlche Folge A, A,... heße vollstädg abhägg, we für jedes atürlche =, 3,... de Eregsse A,..., A vollstädg sd. Folgerug: Bemeruge: Sd de Eregsse A,..., A vollstädg uabhägg, so sd se es auch paarwese. De Umehrug obger Folgeruge glt cht (sehe Bespel). Aus der Bezehug P( A B C) = P( A) P( B) P( C) mt P(C) > 0 folgt.a. cht P( A B) = P( A) P( B) Sete 4

25 Bespel: Ω= { ω : 0 < ω < } 4 A = { ω: 0< ω < } 8, B = { ω: < ω < }, C = { ω: 3 < ω < } P(D) - Ihalt vo D (Läge) A C 0 B Es glt: P( A) = P( B) = P( C) =, sowe P( A B C) = = P( A) P( B) P( C) 8 3 Aber: P( A B) = = P( A) P( B) 8 8 Des begrüdet de omplzerte Defto der vollstädge Uabhägget. Bayessche Formel: Formel der totale Wahrschelchet: P( A) = P( A B ) P( B ) {B, B,..., B } vollstädges Eregssystem Adere Fragestellug: Eregs postver Wahrschelchete: P(A) > 0 beat: P(B ), P(A B ) ( =,,..., ) gesucht: P(B A) =? Satz: (Bayessche Formel) Uter de obge Voraussetzuge glt: P( A B) P( B) PB ( A) = ( =,,..., ) P( A B ) P( B ) = Bewes: ach Defto der bedgte Wahrschelchet: PB ( A) = PB ( A) PB ( A), P ( A B ) = P( A) PB ( ) PB ( A) PA ( ) = PA ( B) PB ( ) P( A B) P( B) " PB ( A) = ( =,,..., ) P( A) Sete 5

26 Voraussetzuge zur Awedug der Formel der totale Wahrschelchet für P(A) erfüllt. " PB ( A) = P( A B ) P( B ) = P( A B ) P( B ) ( =,,..., ) Sprechwese: P(B ) a pror Wahrschelchete P(B A) a posteror Wahrschelchete Physalsches Aalogo der Bayessche Formel: I Gefäße see Lösuge e ud desselbe Stoffes uterschedlche Kozetratoe ethalte. Das Gesamtvolume der Lösuge se Lter. P(B ) - Volume der Lösuge m -te Gefäß ( =,,..., ) P(B A) = P( A B) P( B) P( A B ) P( B ) =,..., = Atel der Gesamtstoffmege m -te Gefäß..6 Axomatsche Begrüdug der Wahrschelchetstheore Kolmogorov 933 Vorgegebe: Ω - Raum der Elemetareregs M - System vo Telmege vo Ω : σ -Algebra S. Ω M S. A M A M S3. A M ( =,,...) U A M = P reellwertg auf M, P erfüllt de Axome W. P(A) > 0 W. P(Ω ) = W3. A M ( =,,...) paarwese uverebar " P U A = P(A ) = = De Futo P heßt Wahrschelchet oder auch Wahrschelchetsmaß auf M. Das Trppel ( Ω, M, P) heßt Wahrschelchetsraum. Bemerug: De umehr edgültge Fassug des Wahrschelchetsbegrffs verallgemeert usere bsherge Kostrutoe. Vele der m spezelle Fall gezegte Egeschafte sd allgemegültg. Sete 6

27 Egeschafte: (Auswahl). P( ) = 0 Bewes: P(Ω) = P( Ω...) = P(Ω) + P( ) + P( ) +... " P( ) = 0. edlche Addtvtät A, B uverebare Eregsse " P(A B) = P(A) + P(B) Bewes: A = A, A = B, A = ( = 3, 4,...) P(A B) = P UA = P(A = P(A) + P(B) + ) P( ) = P(A) = - P(A), A M Bewes: A M " A M, A A=Ω, A A = = P(Ω) = P(A A) = P(A) + P(A) 4. Mootoe A B P(A) P(B) ; A, B M Bewes: Eregs B dsjut zerlege: B = ( A (B A) A (B A) = P(B) = P(A (B A)) = P(A) + P(B 4 A) 34 P(A) 5. Subaddvtät A, ( =,,...) Folge vo Eregsse aus M P( U A ) P(A ) = = Bewes: 0 Aus (A ) ee Folge paarweser dsjuter Eregsse (B ) ostruere: B = A, B = A \ A, B 3 = A 3 \ (A A ),..., B = A \ (A A... A - ) = A \ U A " UA = A (A \ A ) (A 3 \ (A A ))... = UB = A A A A A3 =0 Weterh glt: B A Mootoe P(B ) P(A ) ( =,,...) Sete 7

28 " P UA = P UB P(B ) P(A ) = 6. Stetget a) sotoe Folge vo Eregsse A A A3... Lmes der Megefolge: U A " P( U A ) = lm P( A ) Bewes: Weder de Gleder der Folge (A ) dsjut mache: B = A, B = A \ B,..., B = A \ U B = A A A 3 Folge (B ) paarwese dsjuter Eregsse, A = U U U = = " P( A ) = P( B ) = P(B ) = lm P(B ) = lm P( B ) = lm P(A ) = U B b) attoe Folge vo Eregsse A A A 3... her glt Lmes A " P( I A ) = lm P(A ) Bewes: durch Übergag zu de omplemetäre Eregsse: A Folge I I U a) A I... mooto wachsee P( A ) = P( A ) = P( A ) = lm P( A ) = lm[ P( A )] = lm P(A ) Zufallsgröße ud dere Vertelug Eführug: Beroull-Schema: ( Ω, M, P) Wahrschelchetsraum zufällges Eregs A, P(A) = p, 0 < p < Expermet wrd -mal uabhägg voeader ausgeführt A trtt e: Erfolg, A - Alteratve Sete 8

29 ( ) Idator A etrtt. bewertet, ob der -te Versuch erfolgrech st, d.h. ob A A ( ) = A trtt e 0 A trtt e " Folge uabhägger vom Zufall abhägger ( ) Größe A ( =,..., ) P(A) P(A) Werteberech: R Vertelug 0 De Größe X zählt de Azahl der Erfolge be Durchführug vo Versuche: X = = ( ) A Welche Werte a X aehme? Mt welche Wahrschelchete? " Vertelug auf {0,,..., } Eregs {X = }: A trtt der Versuchssere -mal ud - -mal cht auf. -Erfolge 3 - (*) Jede orete Folge (*) hat de Wahrschelchet p ( p). Wevele solcher Folge gbt es? * *... * -Erfolge -mal Erfolg auf Plätze vertele Sete 9

30 Kombatorsche Stadardaufgabe: Vertelug vo Telche auf Zelle Telche cht uterschedbar ee Mehrfachbeleguge " verschedee Kombatoe " P{X = } = p ( p) ( = 0,,..., ) Das st de Vertelug der Azahl der Erfolge: Bomalvertelug mt de Parameter ud p " P{X = } = = 0 = 0 p ( p) [p ( p)] = + = Bomscher Satz Versuchssere: Beroull-Schema uabhägge Vertelug e- ud desselbe Versuches Bemerug: ( ) de Größe A ud X häge vom Zufall ab. ω A ( ausführlch: ) () A (ω ) =, X(w) = A (w) 0 ω A = Spätere Defto solcher Größe als Zufallsgröße. Bewertug des Putes etspreched der Bomalvertelug: = p = p 0 p X p p! p * { = } = ( ) (!( )! p ) = = 0 = 0 = = = 0 ( )! p p p ( )! ( ) = p ( )!( )!![ ( + )]! = 0 ( p) ( )! = = + =![( ) p p p ( ) ( ) p ( p) p[ p ( p)] p ]! b. Satz = 0 ( + ) Sete 30

31 " Parameter der Lage der Vertelug aderer Parameter: charatersert de Streuug der Vertelug mttlere quadratsche Abwechug Mttelwert ( X p) =... = p( p) 4 34 Zetrere auf Null Kostruto X: ählche Betr. X ( ) = = : X = A 0 Was passert be wachsedem? Trc: Größe X zetrere ud ormere, d.h. X * = X p p( p). pratsche Bedeutug: Da glt der Grezwertsatz vo de MOIRE-LAPLACE x x * lm Px { X x} = e dx π, x < x R groß, cht Ezelwahrschelchete P{X = }, soder P{a X b} see teressat (a, b R) Pa { X b} = P = P x a p X p b p p( p) p( p) p( p) a p * b p X p( p) p( p) Uegetlches Itegral: π b p p( p) a p p( p) e x dx efacher darstelle Φ:= π x e x, x R Itegral teressert, es glt sogar t e dt = π x e dx π = Sete 3

32 Futo Φ vertafelt oder m Computer b p a p Pa { X b} Φ Φ p( p) p( p) Bespel: Produto vo Glühlämpche Kartos zu je 000 Stüc Erfahrugstatsache: Ausschuß m Mttel 3% " (vage) Erwartug, pro Karto 30 Lämpche defet. Realserbare Frage: Wahrschelchet dafür, daß 0 bs 40 Lämpche defet sd. Modell: X (zufällge) Azahl defeter Lämpche eem auf gut Glüc gewähltem Karto mt 000 Lämpche. X st bomalvertelt mt de Parameter = 000 ud p = 0,03 " Mttel: p = 000 * 0.03 = 30 mttlere quadratsche Abwechug: p q = 000 * 0.03 * ( ) = 9. gesuchte Wahrschelchet: P{0 X 40}= P{ X = } = 003. ( 003. ) = 0 = " zu omplzert " Näherug * * P{ 0 X 40} Φ Φ 000 * * * 0. 03* = 094. Φ Φ = Φ(.85) x Symmetre des Itegrate e Φ Sete 3

33 . Das Itegral Φ bestzt ee Dchte: x x Φ( x) = e dy= l ( x) dx, x R π x l( x) = e π x l( x) l( x) -x x x -x x x " Φ(x) + Φ(-x) = " Φ(x) - Φ(-x) = Φ(x) - (-Φ(x) = Φ(x) - De Futo defert de Vertelug eer (stetge) zufällge Größe Y, de Werte aus gaz R aehme a, es glt: P{Y < x} = Φ(x), x R es glt außerdem: P{a Y < b} = Φ(b) - Φ(a), a < b De Größe Y heßt ormalvertelt, geauer stadard-ormal-vertelt ach N(0, ).. Zufallsgröße, Verteluge vorgegebe: Wahrschelchetsraum (Ω, M, P) Defto: Ee reellwertge Futo X auf Ω ω X(ω) (ω Ω) heßt Zufallsgröße, falls für jede reelle Zahl x glt: {ω Ω : X(ω) < x} M (*) Ω X ω X(ω) R Urbld vo (-, x) Bemeruge: Sete 33

34 . De Regel der σ-algebra folged sd da auch Mege der Gestalt: {ω: x X(ω) x } = {ω : X(ω) < x } \ {ω: X(ω) < x }. De Bedgug (*) geat Meßbaret vo X st techscher Natur; se schert, daß alle Mege {ω: X(ω) < x}, {ω: x X < x },... Eregsse sd, für de folgede Wahrschelchete gebldet werde öe: ω: X(ω) < x}, P{ω: x X < x } 3. üblcherwese schrebt ma urz: {X < x}, {x X < x } ud P{X<x}, P{x X x },... {ω: X(ω) < x}, {ω: x X(ω) < x } P{ω: X(ω) < x} {X < x} P{X < x} P(Γ) (M) Γ X Γ M (M) G (Ω, M, P) [ ) P x (R, L ) Mttels der Abbldug X wrd der σ-algebra L der Borel-Mege vo R das Bldmaß P x vo P defert: P x (G) := P{ω : X(ω) G} Defto: Das Maß P x heßt Vertelug, auch Wahrschelchetsvertelug vo X auf (R, L ). Deses Maß regelt, mt welcher Wahrschelchet de Zufallsgröße X be eer Realserug ee Wert aus eer gegebee Borel-Mege ammt: P x ([x, x )) = P{x X < x } Wr uterschede Spezalfälle: Defto: Bespel: De Zufallsgröße X heßt dsret, we se ur edlch oder abzählbar uedlch vele Werte aehme a. Es glt da: P{X = x} = P{ω : X(ω) = x} (x = x, x,...) 4 34 feste Werte P{X = x } = R x Bomalvertelte Zufallsgröße mt Parameter (, p) mmt ausschleßlch Werte {0,,..., } a. Sete 34

35 Defto: De Zufallsgröße X heßt stetg, we hre Wahrschelchetsvertelug ee Dchte p 0 bestzt, so daß P{x X < x } = x p(x)dx (x < x R) glt. Folgerug: P{ω: X(ω) R} = P{ - < x < } = p(x)dx = x P(x) x x + x x P{X [x, x+ x)} = p(x) x + o( x) Bespel: Bespel: stadardormalvertelte Zufallsgröße X, adere Vertelug ostruere: Zufallsgröße X 0 X Zet des Etretes rgedees Eregsses; (Lebesdauer, Zerfallszet) s 0 t t + s Zet Ageomme {X > t} Frage: {X > t + s}? Zufallsgröße X se gedächtslos, falls P{X > t + s X > t} = P{ X > s} (s, t 0) glt. " " P{x > t + s, X > t} =P(X>s) P{X > t} P{X > t + s} > P(X > s) P{X > t + s} = P{X > t}*p{x > s} P{X > t} Futoaltätsglechug: [Ψ(t + s) = Ψ(t) Ψ(s)] gesucht: beschräte Lösug " P{X > t} = e -λt (t 0) Sete 35

36 Komplemet blde: P{X < t} = -e - t λ,t 0 0, t < 0 Zufallsgröße mt deser Vertelug heßt expotetell vertelt mt dem Parameter λ > 0. - t P{X < } = lm (-e λ ) = t Zufallsgröße X hat ee Dchte: -λt dp{x < t} d[-e ] λ = = λe t, t 0 dt dt λe -λ t, t 0 " p(t) = 0, t < 0 Also: P{X < t} = t ps () ds, t R Se X bomalvertelte Zufallsgröße mt de Parameter ud p: P{X = } = Problem: Asatz: p p) - ( ( = 0,,..., ) p werde le " mttlere Zahl der Erfolge le, läßt ma smulta wachse, da st der Mttelwert trotzdem bedeuted. p = λ; λ > 0 ostat. Was passert für? = ostat: P{X # = } = p p) -! ( = p ( p) = p!( )!! ( ) p ( p ) * 6444 Fatore 74448! ( p ) p p ( )*...*( + ) = = ( )!! λ λ λ + = * *...*! { { { λ e λ lm { P{ X = } =! e λ (Grezwertsatz) Sete 36

37 Wege λ λ! e = st damt ee Wahrschelchetsvertelug auf {0,,,...} erlärt. = 0 Defto: Ee Zufallsgröße X mt P{X = } = λ λ! e (= 0,,...) heßt POISSON-vertelt mt dem Parameter λ > 0. Modell: radoatver Zerfall Radum Rado α - Telche (He-Ker) Im Zettervall der Läge t zerfällt das Radumatom mt Wahrschelchet p(t). Radumabahme Abstad sehr groß, Zerfall ees Kers erfolgt uabhägg vo alle adere. Mttlere Zahl der ausgesadte α - Telche währed t: a(t) = p(t) Expermetelle Erfahruge (Messuge) für t = s ud = 0 (= 9 Rade): a(t) 0 0 " p(t) 0 - (also sehr le) Versuch: Erfolg: Beobachtuge ees deser Atome Zerfall währed s glechzetg laufe also 0 solcher Versuche ab. Voraussetzuge des Beroullschema erfüllt. Zerfallsgröße X(t): Azahl der währed t ausgesadte α-telche. sehr groß, p sehr le " aäherd POISSON-vertelt mt Parameter λ = p. P{X(t) = } = λ! e λ ; (= 0,,...) mt t = s Verallgemeerug des Begrffes der Zufallsgröße: Defto: Bemeruge: Es see x, x,..., x Zufallsgröße auf e- ud demselbe Wahrschelchetsraum (Ω, M, P). Da heßt das -Tupel X = (X, X,..., X ) e Zufallsvetor. zufällge Vetore sd Vetore, dere Kompoete Zufallsgröße sd. Ma a X als (meßbare) Abbldug vo Ω de Raum R auffasse. Sete 37

38 De Vertelug vo X st das Bldmaß P vo P der σ-algebra der Borelmege L vo R. X P (B) = P{ X B} = P{ω : X (ω), X (ω),..., X (ω) B} B L X Bespele für Zufallsvetore: smultae Messug verschedeer Größe be eem Expermet. (p-v-dagramm, Körpergröße ees Mesche, Dmeso ees Werstüces) Defto: E Zufallsvetor X = (X, X,..., X ) heßt dsret, we er höchstes abzählbar vele verschedee Werte X = (X, X,..., X ) R aehme a. Defto: Der Zufallsvetor X heßt stetg, we see Vertelug ee Dchte p(x, x,..., x ) 0 bestzt: P{X B} =... p(x, x,..., x ) dx dx... dx B L B X, X,..., X,... höchstes abzählbar vele Zufallsgröße auf (Ω, M, P) Defto: De Zufallsgröße X, X,..., X,... heße uabhägg, falls für belebge Zahle x x de Eregsse {x X < x } =,,...,,... vollstädg uabhägg sd. Folgeruge:. Be dsrete uabhägge Zufallsgröße X, X,..., X glt für de (gemesame) Vertelug vo X = (X, X,..., X ): P{X = x, X = x,..., X = x } = P{X = x } P{X = x }... P(X = x }, (x, x,..., x ) R.. Be stetge uabhägge Zufallsgröße X, X,..., X mt de Dchte p, p,..., p glt für de (gemesame) Dchte des zufällge Vetors X = (X, X,..., X ): p(x, x,..., x ) = p (x ) p (x )... p (x ) mt (x, x,..., x ) R. Futoe vo Zufallsgröße X se Zufallsgröße auf (Ω, M, P), g st reelle Futo g: R aus R. Uter gaz schwache Voraussetzuge (Meßbaret muß geschert se) st da auch de durch ω g(x(ω)), ω Ω deferte Abbldug ee Zufallsgröße. Aaloges glt für ee Zufallsvetor (X, X,..., X ) ud de Futo h: R R. Y = h(x, X,..., X ) st da Zufallsgröße auf (Ω, M, P). Sete 38

39 Charaterserug vo Zufallsgröße ud Vetore X se Zufallsgröße auf (Ω, M, P) wchtgste Charaterst vo X: Vertelug P X (aber oft uhadlch ) Defto: De durch F X (x) = P{X<x}, x R deferte Futo heßt Vertelugsfuto der Zufallsgröße X. Bemerug: De Vertelugsfuto der Zufallsgröße X charatersert de Vertelug eer Zufallsgröße vollstädg, es glt: Bespel: P{x < X < x } = F X (x ) - F X (x ) Stadard-Normalvertelug N(0, ) F X = Φ (x) = x y y e dy π, x R x Bomalvertelug mt Parameter, p F X (x) = 0, x 0 - p ( p), 0< x 0 <, x> x F X(x) x Egeschafte eer Vertelugsfuto FX. 0 F X (x), x R. F X mooto wachsed x x F(x ) F(x ) 3. F X lssetg stetg lm F (y) = F (x), x R Y X-0 4. lm F (x) = 0, lm F (x) = x - X x X X X Bemerug: Dese Egeschafte sd sogar charatersered, d.h. jede Futo F Sete 39

40 mt dese Egeschafte - 4 st Vertelugsfuto eer gewsse Zufallsgröße X. Vertelugsfuto ethält volle Iformato über de Vertelug, aber omplzert ud schwerg zu bestmme (be Zufallsgröße mt a pror ubeater Vertelug) " Wusch ach Iformatosverdchtug Bespel: (Glechvertelug) De dsrete Zufallsgröße X mt de Werte x, x,..., x heßt glechvertelt, falls glt: P{X = x} = ( =,,..., ) x x x Aalog glt für de Dchte eer stetge Glechvertelug auf dem Itervall [a, b] R: p(x) =, b a a x b 0, sost F X (x) 0 a b Mttelmare für X: X dsret: arthmetsches Mttel = X stetg: Itervallmtte = a + b x = Verallgemeerug für dese Mtteluge für belebge dsrete ud stetge Zufallsgröße X? Sete 40

41 . Erwartugswert Defto: Es se X ee dsrete Zufallsgröße mt de Werte x, =,,... Da heßt de durch EX = xp{x = x} deferte Zahl der Erwartugswert der Zufallsgröße X. Dabe wrd der Edeutget wege de absolute Kovergez obger Rehe vorausgesetzt: xp{x = x} < Defto: Für ee stetge Zufallsgröße X defere wr EX = X p(x)dx als Erwartugswert. Es wrd weder de absolute Kovergez vorausgesetzt: x p(x)dx <. EX = EX = x P{X=x } (dsret) x p(x) dx (stetg) absolut overget Bemeruge: Der Begrff des Erwartugswertes ommt userer aschaulche Vorstellug ees Mttels (Mttelug) sehr ahe. Deutet ma ee dsrete oder stetge Wahrschelchetsvertelug als Massevertelug ees dsret oder stetg vertelte mechasche Systems auf der Achse, so st EX der Schwerput des Systems (m physalsche Se). Es gbt aber auch adere Methode zu Mttel (Meda, Zetralwert) Bespele: λ λ Posso-Vertelug EX = P{X = } = e =! = 0 = = λ ( )! e λ e l λ = λ ( )! = λe λ λ = λ 3 = 0! λ e Parameter der Posso-Vertelug st desem Falle = Erwartugswert derselbe, vortelhaft für statstsche Utersuchuge. = Sete 4

42 partelle Itegr. λx Expotetalvertelug EX = xp(x) dx = xλe dx =... = 0 λ.. Egeschafte des Erwartugswertes. Leartät E(aX + by) = aex + bey. Futo eer Zufallsgröße g(x) X dsret: Eg(X) = g(x ) P{X = x } X stetg: Eg(X) = g(x) { p(x) dx Dchte vo X absolute Kovergez der rechte Sete jewels vorausgesetzt. Der Erwartugswert charatersert de Lage des Zetrums eer Vertelug (Lageparameter); über de Stäre möglcher Abwechuge der Zufallsgröße vom Zetrum gbt er ee Ausuft. " Wusch ach eem Maß für de Streuug Defto: Es se X ee Zufallsgröße mt dem Erwartugswert EX. Da wrd m Falle der Exstez durch D X = E(X - EX) de Streuug (oder Varaz) der Zufallsgröße X defert. Spezell glt: X dsret: D X = (x - EX) P{X=x } X stetg: D X = (x - EX) x x+dx p(x) dx 0 de D X wrd über de Futo g(x) = (X - EX) vo X bestmmt. p(x) Bemerug: Auch de Streuug gestattet ee mechasche Iterpretato. Veraschaulcht ma sch de Vertelug als dsretes oder stetges Massesystem auf der Achse mt dem Schwerput EX, so etsprcht D X dem Träghetsmomet deses Systems bezüglch eer Achse durch de Schwerput. (Exstez jewels vorausgesetzt)... Egeschafte der Streuug. D (ax + b) = a D X Bewes: D (ax + b) = E[(aX + b) - E(aX + b)] = E[a(X - EX) + (b - Eb)] = E[a (X - EX) ] = a D X Sete 4

43 Folgerug: D (-X) = D X X D D X = (Normere, Stadardsere vo X). Aahme: X eputvertelt: P{X = c} = c feste reelle Zahl " X = c fast scher, EX = c De Streuug eer Zufallsgröße X st geau da Null, we X eputvertelt st. 3. D X = EX - (EX) Bewes: D X = E(X - EX) = E[X - X EX + (EX) ] = EX - EX (EX) + (EX) = EX - (EX) Dese Aussage st mt dem Steersche Satz äquvalet: EX = D X + (EX) Träghetsmomet bzgl. d. Träghetsmomet bzgl. d. Abstadsquadrat: Achse durch 0 Achse durch Schwerput Schwerput-Nullput 4. D (X+Y) = D X + D Y + [E (XY) - (EX) (EY)] Bespele:. X st Posso-vertelt mt Parameter λ > 0 EX = g(x) = x Eg(X) = = 0 λ = λ e = ( )! = λ (λ+) λ g(x ) P{X = x } = = λ[ = 0 = 0 P{X = } + P{X = } = = 0 = λ λ! e P{X = }] = λ[ex + ] Steerscher Satz " D X = EX -(EX) = λ(λ+) - λ = λ. X st expotetalvertelt mt Parameter λ > 0 EX = x p(x) dx = x λe -λx dx =... mal partell tegrert... = λ " D X = EX - (EX) = λ - λ = λ 3. Normalvertelug Y se ee stadardormalvertelte Zufallsgröße " EY = 0, D Y = (Streuug) urz: N (0, ) 0 Sete 43

44 X = σy + µ - leare Trasformato vo Y; σ > 0, µ R F X (x) = P{X < x} = P{σY + µ < x} = P{ Y < x µ σ } x µ = F Y ( x µ σ ) = Φ ( x µ σ σ ) = x ( t µ ) l( udu= ) t u σ l( ) σ dt = σ e dt πσ x Defto: Ee Zufallsgröße X mt deser Vertelugsfuto F X heßt ormalvertelt mt de Parameter σ > 0, µ R oder N(µ, σ ) vertelt. Bedeutug der Parameter: EX = E(σY + µ) = σ {EY + µ = µ =σ D X = D (σy + µ) = σ {DY = σ =.3 Faltug zweer Verteluge X, Y see Zufallsgröße auf (Ω, M, P) g: R! R Futo, (Meßbaret se geschert) " eue Zufallsgröße: Z = g(x, Y) Vertelug vo Z? spezell: X, Y see dsjut mt Werte x, y ; (, = 0,,...) P{Z = z} = P{X = x,y = y } z R g(x,y ) = z Summert wrd also über dsjute Idzes, für de g(x, y ) = z. Exstere ee solche Werte x, y, so st de Summe glech Null. Zur Berechug vo P{X = z} muß ma also. a. de gemesame Vertelug vo X ud Y ee. och spezeller: Summe vo X ud Y P{Z = z} = P{X = x,y = y } x+ y= z Übug: X, Y Posso-vertelt " Spezell X, Y mt Werte 0,,,... P{Z = } = P{X = ;Y = } = (X, Y uabhägg) = 0 = P{X = }P{Y = } = 0 Zel: et ma Faltug der Vertelug vo X ud Y!! Übertragug der Methode auf stetge Zufallsgröße X, Y mt der gemesame Dchte f X,Y Sete 44

45 gesucht: Z = X + Y stetg?, Dchte f Z? z R: f Z (z) = P{Z < z} = P{X + Y < z} = f (x,y)dxdy X,Y X+ Y< z y Doppeltegral, Itegratosgebet B = {(x,y): - < x <, - < y < z-x} z y = z - x x + y = z y = z - x x z x x z x = (Itegral terere) = ( f (x,y)dy)dx = (Substtuto m ere Itegral) x = X,Y y= Substtuto: ζ = x + y, y = ζ - x dy = dζ y = -! ζ = - y = z - x! ζ = x + y = x + (z - x) = z z = ( f (x,z x)dz)dx x= X,Y z= Zel: Futo vo z! Itegralrehefolgetausch z = ( fx,y ( x, ζ x) dx)dζ ζ = z x= Dchte für f Z(z) : f Z (ζ) " Dchte für Z = X + Y f Z (z) = f X,Y (x,z x)dy; z R " Damt st Z = X + Y ee stetge Zufallsgröße spezell: Aahme: X ud Y uabhägg Sete 45

46 " f X,Y (x,y) = f X (x) * f Y (y) (x, y R) " f Z (z) = f (x,z x)dx= f (x)*f (z x)dx X,Y X Y Faltugsformel für de Dchte f X ud f Y (be Uabhägget) f Z (z) = f X(x) * f Y(z x)dx ; z R Bemerug: Durch Vertausche der Rolle vo x ud y de obge Überleguge bewest ma de Formel: f Z (z) = f X (z y)*f Y (y)dy ; z R y= wetere Aussage über uabhägge Zufallsgröße X ud Y: EXY = EX EY f, g reelle Futoe, X,Y uabhägg f(x), g(x) uabhägg.3. Momete eer Zufallsgröße X - Zufallsgröße Defto: der Im Falle der Exstez heßt m = EX ( =,,...) das -te Momet Zufallsgröße X. allgeme: µ = E(x - c) ( =,,...) heßt -tes Momet vo X bezüglch c R Momete sd sowohl theoretsch (Mometeproblem) als auch pratsch (Statst) bedeutsam..4 Charaterstsche Futoe Vorbemerug: omplexe Zufallsgröße X, Y (reelle) Zufallsgröße auf dem Wahrschelchetsraum (Ω, M, P) Z = X + Y omplexe Zufallsgröße auf (Ω, M, P) Meßbaret überträgt sch Vertelug vo Z a durch de gemesame Vertelug vo X, Y charatersert werde Erwartugswert vo Z: formal summere EZ = EX + EY Z j = X j + Y j (j =, ) Z, Z uabhägg: (X, Y uabhägg vo X, Y ) Betrag EZ { E Z Amerug: { z = x + y omplexe Zahl reelle Zufallsgröße Darstellug omplexer Zahle (Wdh.) y z Sete 46

47 algebrasche Form: z = x + y x trgoometrsche Form: z = r(cos ζ + s ζ) y r ζ z x Expotetalform: z = r e ζ Defto: Bemerug: Se X ee (reelle) Zufallsgröße auf dem Wahrschelchetsraum (Ω, M, P). Da bezeche wr de Abbldug t! ζ X (t) := E(e tx ), - < t < als charaterstsche Futo der Zufallsgröße X oder der Vertelug vo X. Aufgrud vo e tx = st obger Ausdruc absolut ud glechmäßg t overget. Zu jeder Zufallsgröße X exstert also de charaterstsche Futo ζ X (t). X dsrete Zufallsgröße: tx [g(x) = e ] = 0 ζ(t) = E (e tx tx ) = e *P{X= x }, t R (absolute Kovergez) Bespel: X se zweputvertelt P{X = -} = P{X = } = " ζ(t) = e -t * + et = e t e t + = cos t X stetg: Vertelug vo X bestzt Dchte f X ζ(t) = E( e tx ) = tx e f X (x)dx tx, t R Kovergez: e { f X(x) = f X(x) = = (absolut overget ud glechmäßg t) R Sete 47

48 X stetg: Vertelug vo X besteht aus Dchte f X ϕ(t) = E (e tx ) = g(x) = e tx etx f X (x) dx, t R Kovergez: etx f X (x) dx = f X(x) dx = Bespel: R X auf [0, ] glechmäßg vertelt: 0 x Dchte f X (x) = 0 sost " ϕ(t) = etx f X (x) dx = x= 0 e tx * dx = tx e t x= t e = t x= 0, t Egeschafte charaterstscher Futoe ϕ(0) = E e tx t =0 = E e 0 = e 0 = ϕ(t) = E (e tx ) E tx = E* = ϕ(-t) = ϕ( t ) t R (qualtatve Aussage) (ojugert omplex) [jede charaterstsche Futo erfüllt (otwedgerwese) dese Bedguge; se sd desse cht hreched] leare Trasformato vo X: Zufallsgröße Y =ax + b charaterstsche Futo? ϕ Y (t) = E (e ty ) = E (e t(ax + b) ) = E(e tb e tax ) = e tb E(e tax ) = e tb ϕ X (at), t R Multplatossatz: X, Y see zwe uabhägge Zufallsgröße charaterstsche Futo der Summe Z = X + Y? ϕ Z (t) = E (e tz ) = E (e t(x + Y) ) = E (e tx e ty ) = (uter der Voraussetzug, daß X ud Y uabhägg sd) = E (e tx ) E (e ty ) = ϕ X (t) * ϕ Y (t), t R Satz: De charaterstsche Futo der Summe edlch veler vollstädg uabhägger Zufallsgröße st glech dem Produt der charaterstsche Futoe deser Zufallsgröße. Bespel: X se Posso-vertelt mt Parameter λ > 0 ϕ X (t) = E (e tx ) = = 0 t ( λe )! = 0 e = e e = e e t P{X=} = t t λ λ λ( e ) = 0,t R e t λ! e-λ = e -λ Sete 48

49 Y se Posso-vertelt mt Parameter µ > 0 ud uabhägg vo X. We st Z = X + Y vertelt? ϕ Z (t) = ϕ X (t) ϕ Y(t) = e t t λ ( e ) µ ( ) e e = exp[λ(e t -) + µ(e t -)] = exp [(λ+µ) (e t -)] charaterstsche Futo eer Possovertelug mt Parameter λ + µ Bemerug: Edeutgetssatz: Falls ϕ Z de Vertelug vo Z, edeutg charatersert, so st Z Posso-Vertelt mt dem Parameter λ + µ.. Jede Vertelug st durch hre charaterstsche Futo edeutg bestmmt. Erzeugug der Momete eer Zufallsgröße Bestzt de Zufallsgröße X das Momet -ter Ordug m = EX, so exstert de -te Abletug vo ϕ X ud es glt: m = d ϕ X () t dt = 0 Charaterste m -dmesoale Zufallsvetor (X, Y) auf dem Wahrschelchetsraum (Ω, M, P) [P (X,Y) (B) = P{(X,Y) B} = P{ω: (X(ω), Y(ω) B}, B L ] t Iformatosverdchtug: Erwartugswert, Streuug (Varaz) verallgemeer. Erwartugsvetor: (EX, EY) y (EX, EY) x Varaz verallgemeer: zwe Zufallsgröße X, Y aus D X, D Y aber auch Abhäggete zwsche X ud Y berücschtge. Sete 49

50 .5 Eführug der Kovaraz (Abwechuge) cov (X, Y) = E(X - EX) (Y-EY) " cov (X, Y) = D X Kovarazmatrx: DX cov( XY, ) cov( XY, ) symmetrsch, postv deferte Matrx DY Kovaraz ormere: ζ(x,y) = cov( XY, ) DX DY Aussage: Bespel: Kompoete X ud Y uabhägg " E( X*Y) = (EX) (EY) cov (X,Y) = 0 ζ(x, Y) = 0 D (X + Y) = D X + D Y (Amerug: +[E (XY) - EX EY] = cov (X, Y)) -dmesoale Normalvertelug, agegebe durch de Dchte der Vertelug vo (X, Y): f(x,y) = ( x µ µ µ µ x ) ( x x)( y y) ( y y) exp ζ + πσ σ ζ ζ σ σσ σ x y ( ) x x y y y µ y µ x x cov (X, Y) = ζ σ x σ y, ζ(x, y) = ζ X N(µ x, σ x ), Y N(µ y, σ y ).6 Folge vo Zufallsgröße Marovsche Uglechuge: Es se X ee fast scher cht egatve Zufallsgröße: P{X 0} =, für de der Erwartugswert EX exstert. Da glt für jede Zahl t > 0 de Abürzug: Bewes: P{X t} EX t Sete 50

51 X st dsret: Ezelwahrschelchete P{X = x } ( = 0,,,...) " EX = x P{X = x } = { xp { X= x} + xp { X= x} { xp { X= x} x : < t x : > t x : > t t 0 t P{ X = x} = tp{ X t} Behauptug x : > t t > 0 0 EX t X se fast scher 0 P{X t} EX t X se stetg: Dchte f X (x) > 0 EX = x f X(x) dx = x f X(x) dx = 0 t x f X(x) dx + 0 x f X(x) dx t x f X(x) dx t x= t P{X < 0} = 0 0 f X(x) dx = t P{X t} Behauptug x= t Bemerug: I deser Uglechug wrd vo der Vertelug vo X ledglch der Erwartugswert EX beutzt, daher st de obge Abschätzug oft recht grob. Zu bessere Resultate ommt ma, we ma auch de Summe D X der Zufallsgröße beutze a..6. Tschebyscheffsche Uglechug De Zufallsgröße X bestze Erwartugswert ud Streuug. Da glt für t > 0: P{ X - EX t } DX t Bewes: Uter Awedug der Marovsche Uglechug auf (X - EX), t wrd durch t ersetzt: P{(X - EX) t } E(X EX) t Das Eregs {(X- EX) t } trtt geau da e, we { X - EX t} E(X EX) t Sete 5

52 t dc geezechete Bereche auf der t-achse etspreche geau dem marerte Berech der t -Achse t -t t t Bemeruge: Für t D X wrd de Aussage deser Uglechug trval, de da st DX. t Im Falle t = 3σ = 3 DX (de Dre-Sgma-Greze ) besagt de Tschebyscheffsche Uglechug, daß für jede Zufallsgröße X - also für jede Vertelug - mt Exstere der Streuug glt: EX-3σ EX EX+3σ P{ X - EX < 3σ} = - P{ X - EX 3σ} - DX 9σ (quattatv wchtge Aussage) = - σ = - 9σ 9 = 8 9 Bemerug: We de Wahrschelchet = 8 9 [EX-3σ, EX+3σ]. st, legt X m Itervall.7 Gesetze der große Zahle Beroull-Schema: Sere vo uabhägge Versuche, Zufallsgröße X zählt das Etrete des Eregsses A der Sere. P(A) = p " X bomal vertelt mt de Parameter, p " Ex = p, D X = p ( - p) X : absolute Häufget des Etretes vo A relatve Häufget: h (A):= X Naturbeobachtug: Folge der relatve Häufgete h (A) ( =,,...) st stabl. Erwartugswert ud Streuug der relatve Häufgete: E h (A) = E X = Ex = p = p = P(A) " E h (A) = P(A) ( =,,...) [Erwartugswert d. relatve Häufget vo A st glech der Wahrschelchet vo A] Sete 5

53 " D h (A) = p ( p )! 0 für! (determstsche Kovergez) De Varaz ud damt de Abwechug der relatve Häufget h (A) vo der dem Expermet zugrude legede Wahrschelchet P(A), de wr als objetv gegebe asehe, wrd mmer leer. Mt Hlfe der Tschebyscheffsche Uglechug läßt sch dese Abwechug sogar quattatv erfasse: Für ε > 0 glt: P{ h (A) - P(A) ε} = P{ h (A) - E h (A) ε} Dh A ( ) = p ( p ) ε ε.7. Beroullsches Gesetz der große Zahle: Es se A e eem zufällge Versuch auftretedes Eregs ud h (A) de relatve Häufget des Etretes vo A eer Sere vo uabhägge Wederholuge deses Versuches ( =,,...). Da glt: lm P{ h (A) - P(A) < ε} = Ma sagt: h (A) overgert stochastsch gege de Wahrschelchet P(A). Bemeruge:. Nebe seer umttelbare Bedeutug lehrt deses Gesetz auch, daß jedes Eregs postver Wahrschelchet - we le dese auch se mag - eer geüged lage Versuchssere mt eer belebg ahe a Es gelegee Wahrschelchet mdestes emal vorommt: Gesetz der große Zahle - der Traum jede Spelers.. Allgeme st deses Gesetz e hervorrageder Beleg für de adäquate Beschrebug realer zufällger Phäomee durch de Wahrschelchetstheore. Verallgemeerug: Aussage: glechem X ; =,,... Folge vo Zufallsgröße arthmetsches Mttel der erste Zufallsgröße X : X Y = = X, X,..., X,... Folge uabhägger Zufallsgröße mt Erwartugswert Ex = µ ( =,,...) ud beschräter Streuug D X M. Für ε > 0 glt: (*) lm P{ Y - µ ε} = σ Aussage: X, X,..., X,... paarwese uabhägge detsch vertelte Zufallsgröße, dere Erwartugswert ud Streuug exstere. Auch da glt das Gesetz der große Zahle (*). We wr scho bem Grezwertsatz vo de More-Laplace eelerte, sd auch Aussage über Grezverteluge möglch. Sete 53

54 Es se (X ) ee Folge uabhägger, detsch vertelter Zufallsgröße mt postver Streuug. Da geügt de Folge (X ) dem zetrale Grezwertsatz : EX = µ, D X = σ > 0 ( =,,...) Z = = ( X µ ) X µ = = ( =,,...) σ σ = X µ = P{a < < b} Φ(b) - Φ(a) σ X µ = d.h. de Zufallsgröße Z = σ ( =,,...) sd asymptotsch ormalvertelt, geauer N(0, ) vertelt. Bemerug: Der Zetrale Grezwertsatz mafestert de eorme theoretsche ud pratsche Bedeutug der Normalvertelug. Ergbt sch ee Zufallsgröße aus der Überlagerug eer Velzahl wetgehed uabhägger zufällger Effete, so st se geähert ormalvertelt. Zur Bestmmug der asymptotsche Vertelug st da ur de Kets der Erwartugswerte ud Streuuge erforderlch. Sete 54