STATISTIK II, Prof. Dr. Dr. Helge Toutenburg. WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLICHEN FAKULTÄT der UNIVERSITÄT BASEL. Nach. gelesen von.

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1 INDUKTIVE STATISTIK Nach STATISTIK II, gelese vo Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg a der WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLICHEN FAKULTÄT der UNIVERSITÄT BASEL m Sommersemester zusammegefasst vo Dael Fra ver.., 8-6-

2 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Ihalt Tel I: Kombator... 3 Grudbegrffe ud Verfahre... 3 Permutato... 4 Varato mt Wederholug... 4 Varato ohe Wederholug... 4 Kombato ohe Wederholug... 4 Kombato mt Wederholug... 5 Schlussbemeruge... 5 Tel II: Wahrschelchetstheore... 7 Eführug... 7 Eregsse... 7 Megeterpretato vo Eregsse... 8 Laplace'sche Wahrschelchet ud de Axome vo Kolmogorov... 8 Bedgte Wahrschelchet, Uabhägget ud Uverebaret... Mehrstufge Wahrschelchete... Stochastsche Futoe... Mathematsche Wahrschelchet ud Vertelugsfuto... Stetge ud dsrete Futoe... 3 Erwartugswert ud Varaz... 3 Zwedmesoale Zufallsvarable... 6 Wahrschelchetsverteluge... 6 Dsrete Glechvertelug... 6 Eputvertelug... 7 Zweputvertelug / Null-Es-Vertelug... 7 Bomalvertelug... 7 Normalvertelug... 8 Tel III: Teste vo Hypothese... Prüfverteluge... Schätze vo Parameter... Putschätzug... Kofdeztervall... Schätze eer Bomalwahrschelchet... 3 Parametrsche Tests... 3 Nullhypothese, Fehler. ud. Art... 3 E-Stchprobe-Verfahre... 5 Zwe-Stchprobe-Verfahre... 6 Glechhet zweer Bomalverteluge... 7 Nchtparametrsche Tests... 8 Apassugstest... 8 Homogetätstest... 3 Tel IV: Ursache-Wrugs Bezehuge... 3 Leare Regresso... 3 Verfeldertafel Kotgeztest Odds, Odds Rato, Log-Odds ud Log-Odds Test Mehrfeldertafel, G -Statst... 38

3 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra TEIL I: KOMBINATORIK Grudbegrffe ud Verfahre De Kombator befasst sch mt der Aordug vo Elemete aus eer Grudgesamthet, also eer Mege. Se bldet das Grudgerüst der Wahrschelchetstheore; sbesodere der Laplace'sche Wahrschelchet. De Laplace'sche Wahrschelchet wrd ausgedrüct als güstge pro möglche Ausgäge ees Expermets. Deser Quotet gbt da de Wahrschelchet für ee Erfolg a: P LAPLACE güstge möglche Bespel : I eem Sac befde sch sgesamt 4 Kugel, davo schwarze ud wesse. Wer be emal zehe ee wesse Kugel erwscht, gewt. De Laplace Wahrschelchet für ee Erfolg ergbt sch aus 'güstge' () pro 'möglche' (4), also /4 /. Im Bespel sd sowohl de Azahl der güstge als auch de Azahl der möglche Fälle lecht zu eree. Des st jedoch cht selbstverstädlch, we das achfolgede Bespel zegt: Bespel : Weder werde Kugel gezoge, acheader zwe Kugel pro Spel. Im Sac befde sch eu goldee, slbere ud brozee Kugel. Es gewt, wer zwe goldee Kugel zeht. Im Sac befde sch 8 goldee, 8 slbere ud 8 brozee Kugel. Zuerst zu de güstge Fälle. Da es mehr als zwe goldee Kugel m Beutel hat, a ma auf mehrere Arte gewe. See de goldee Kugel durchummerert vo g.. g 8. Daraus folgt das ombatorsche Problem, aus dese acht Kugel jewels Paare zu blde ( vo 8 Elemete aorde). Möglche Paare wäre etwa: g g, g g 4, g 3 g 8, g 8 g 3. Offeschtlch spelt de Rehefolge, der de goldee Kugel gezoge werde, ee Rolle: g 3 g 8 st glechwertg mt g 8 g 3, da de Gewbedgug ledglch 'zwe goldee Kugel' verlagt. Bevor der Speler de erste Kugel zeht, st de Wahrschelchet, ee goldee zu erwsche glech 8/ We er de goldee Kugel aus dem Spel mmt, bevor er de zwete Zug wagt, so st de Wahrschelchet für ee goldee Kugel m zwete Zug och 7/3.34 ud damt leer als m erste Zug. Legt der Speler de Kugel jedoch vor dem zwete Zug de Beutel zurüc, so blebt de Wahrschelchet auch m zwete Zug 8/ Das Zurüclege hat auch ee Effet auf de Azahl der Gewombatoe, de es omme bem Zurüclege alle Fälle hzu, dee bede Züge de gleche Kugel gezoge wrd: g g, g g Ahad der dargestellte Sachverhalte wrd ee Systematserug der ombatorsche Probleme möglch. Es stelle sch mmer dre Frage: Werde alle Elemete aus der Gesamthet ageordet? Ist de Rehefolge der Aordug wesetlch? 3

4 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Sd Wederholuge gestattet? Permutato Egeschafte: Aus Elemete werde (also alle) ageordet. De Rehefolge st wesetlch. Wederholuge sd cht gestattet. Typsches Problem: We vele möglche Raglste hat e Schachturer mt 8 Mtspeler? Formel: P( )! 3... ( ) ( ) Rechebespel: P ( 8 ) 8! ' 3 Varato mt Wederholug Egeschafte: Aus Elemete werde ageordet ( ). De Rehefolge st wesetlch. Wederholuge sd gestattet. Typsches Problem: We vele Abürzuge lasse sch aus de Buchstabe A, B, C erzeuge? Formel: V (, ) Rechebespel: V ( 3, 6) 6 3 7' 576 Varato ohe Wederholug Egeschafte: Aus Elemete werde ageordet ( < ). De Rehefolge st wesetlch. Wederholuge sd cht gestattet. Typsches Problem: We vele Segerphotos (mt de erste 3 Plätze) gbt es be eem Schachturer mt 8 Persoe? Formel: V ( )!, +! ( ) Rechebespel: V (, 8) ( 8 ) ( ) ( )... ( ) ürze 8! 8! ! 5! Bemerug: De Permutato stellt also ee Spezalfall der Varato ohe Wederholug dar, be dem. Der Neer des obge Bruches wrd damt, ud!. Es blebt ur der Zähler!. Kombato ohe Wederholug Egeschafte: Aus Elemete werde ageordet ( ). De Rehefolge st uwesetlch. Wederholuge sd cht gestattet. 4

5 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra 5 Typsches Problem: We vele Möglchete gbt es be eer Lottere " aus 8"? De Rehefolge st uwesetlch, de gezogee Kugel blebe drausse. Formel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !!!, + C Rechebespel: ( ) ( ) ( ) !6! 8! 8 8, C Bemerug: (sprch " tef ") hesst Bomaloeffzet. De wchtgste Egeschafte des Bomaloeffzete sd: m für m >, der Bomaloeffzet st also symmetrsch. Es folgt:. Kombato mt Wederholug Egeschafte: Aus Elemete werde ageordet ( ). De Rehefolge st uwesetlch. Wederholuge sd gestattet. Typsches Problem: We vele ugeordete Stchprobe vom Umfag 3 mt Zurüclege lasse sch aus eer Mege mt Elemete zehe? Formel: ( ) ( ) ( ) ( ) C , Rechebespel: ( ) , 3 + C Schlussbemeruge Ahad der Systematserug lässt sch u das lecht abgewadelte Bespel löse: Bespel : Weder werde Kugel gezoge, acheader zwe Kugel pro Spel, wobe de Kugel ach jedem Zug zurücgelegt wrd. Im Sac befde sch eu goldee, slbere ud brozee Kugel. De Kugel eer Farbe sd utereader cht uterschedbar. Es gewt, wer zwe goldee Kugel zeht. Im Sac befde sch 8 goldee, 8 slbere ud 8 brozee Kugel. We hoch st de Gewwahrschelchet? Um de Laplace Wahrschelchet zu bestmme, muss zuerst de Azahl der güstge Fälle berechet werde, we weter obe berets agedeutet. Da 'mt Zurüclege' gezoge ürze

6 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra wrd, sd Wederholuge gestattet. Wel de Kugel cht uterschedbar sd, a ma zwar das Paar g g 3 cht vo g 3 g uterschede, jedes Paar trägt allerdgs ee Möglchet zu de güstge Fälle be, de Rehefolge st deshalb wesetlch. Des führt zu eer Varato mt Wederholug. Für de Bestmmug der güstge Fälle werde ledglch de goldee Kugel betrachtet, also st 8. Dabe werde Kugel gezoge. De Formel dazu lautet: 8 64 Werde de gleche Überleguge für de Azahl der möglche Fälle agewedet, so gelagt ma wederum auf ee Varato mt Wederholug, de sg ud gs trage jewels e Elemet zu de möglche Fälle be (aderfalls wäre es ee Varato). Allerdgs bezeht sch das u auf alle Kugel m Beutel, also 4. Das st weterh. De Formel lautet: Für de Laplace'sche Gewwahrschelchet ergbt sch desem Spel also: P L % Deses Problem lässt sch übrges auch auf efacherem Wege löse. De Gewbedgug ' mal Gold' lässt sch aufspalte 'Gold m. Zug' UND 'Gold m. Zug'. De Wahrschelchet für Gold beträgt bede Züge 8/4 /3. Für zwe mal Gold htereader ergbt sch somt ee Wahrschelchet vo /3 /3 /9 (vgl. Tel II, Mehrstufge Wahrschelchete, S. ) Obwohl es desem Bespel cht sehr ausgeprägt st, omme ombatorsche Probleme oft sehr grosse Zahle vor, de durchaus auch das Fassugsvermöge ees ormale Tascherechers zu sprege vermöge. Auch st de Berechug ees Bomaloeffzete uter Umstäde mt grossem Recheaufwad verbude. I so eem Fall sd machmal de Egeschafte der Bomaloeffzete ützlch, sbesodere hre Symmetre. 6

7 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Eführug TEIL II: WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE Eregsse I der Alltagssprache werde Begrffe we 'wahrschelch' oder 'zufällg' aders verwedet als der Stochast (der Lehre vom zufällge Eregs). Isbesodere wrd e Eregs der Alltagssprache als 'zufällg' bezechet, we hm ee gerge Wahrschelchet zugemesse wrd ("Ich habe h re zufällg getroffe"). I der Statst st des cht so. E Eregs hesst zufällg, we es das Ergebs ees Zufallsexpermetes st. E Zufallsexpermet st e Expermet mt ugewssem Ausgag, das hesst, es hat mdestes zwe möglche Ausgäge. E solches Zufallsexpermet mt zwe möglche Ausgäge st zum Bespel 'ee Müze werfe'. De Ausgäge laute da 'Kopf' ud 'Zahl'. E weteres Zufallsexpermet st 'emal mt eem Würfel würfel'. De möglche Ausgäge laute {,, 3, 4, 5, 6}. Als drttes Bespel dee 'mt zwe Würfel glechzetg würfel'. De möglche Ausgäge her laute {(,); (,); (,3) (6,5); (6,6)}. Her wrd auch de Bedeutug der Kombator für de Stochast deutlch. De Kombator gbt ämlch auf efach Art de Azahl der möglche Ausgäge für das drtte Expermet a: C (,6) (Rehefolge uwesetlch, Wederholuge gestattet). Mt zwe Würfel glechzetg würfel st glechbedeuted we mt eem Würfel zwemal htereader zu würfel, wobe es sch be jedem Wurf um ee 'Zehug' aus sechs möglche Ausgäge hadelt. Jeder möglche Ausgag ees Expermets wrd als Elemetareregs (omega) bezechet. Bem Würfel mt eem Würfel wäre e Elemetareregs bespelswese {} oder 3 {3}. Bem Würfel mt zwe Würfel wäre e Elemetareregs bespelswese {,} oder 4 {3,}. Im Gegesatz dazu stehe zusammegesetzte Eregsse. So st das Eregs A {, 4, 6} 'ee gerade Zahl würfel' zusammegesetzt aus de Elemetareregsse {}, {4} ud 3 {6}. Das Elemetareregs st das leste zufällge Eregs. E Eregs A trtt e, we ees seer Elemetareregsse (A) etrtt. De Greze des Zufalls blde das schere Eregs (Omega), das alle Elemetareregsse ees Expermets ethält ud somt mmer etrtt: ('ee Zahl vo bs 6 würfel') {,, 3, 4, 5, 6 } {,, 3, 4, 5, 6}. Das schere Eregs {,,... } ethält alle Elemetareregsse. Am adere Ede der Sala steht das umöglche Eregs Ø. Das umöglche Eregs a e etrete, wel es e Elemetareregs ethält. Das umöglche Eregs Ø { } ethält ee Elemetareregsse. Das umöglche Eregs bldet das Komplemetär- oder Gegeeregs zum schere Eregs. 7

8 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Das Komplemetäreregs E trtt e, we das Eregs E cht etrtt. Megeterpretato vo Eregsse Eregsse, sbesodere auch Elemetareregsse, lasse sch als Elemete oder Telmege eer Mege auffasse, geauer als Elemete des Eregsraums. Der Eregsraum umfasst alle Elemetareregsse, somt also alle möglche Ausgäge ees Expermets. Damt etsprcht der Eregsraum dem schere Eregs. E Eregs A st Tel des Eregsraums (A bldet ee Telmege vo : A Ω ). Auch A st Tel des Eregsraumes. Das Gegeeregs A vo A umfasst alle jee Elemete des Eregsraumes, de cht Tel vo A sd ( A A Ω ) A Eregsraum A Zwe Eregsse A ud B see Tel des Eregsraumes. A ud B hesse dsjut, we se ee gemesame Elemete habe A B ). ( { } Mt Mege a auch gerechet werde. De wchtgste Recheoperatoe sd A B 'A veregt mt B' (machmal auch als A+B geschrebe) ud A B 'A geschtte mt B' (machmal auch als AB geschrebe). A B A B A B A B A B Laplace'sche Wahrschelchet ud de Axome vo Kolmogorov Be der Laplace'sche Wahrschelchet h r/ steht de relatve Häufget m Vordergrud. Das Expermet 'Müze werfe' werde mmer weder durchgeführt. Dabe wrd de relatve Häufget des Eregsses 'Kopf' betrachtet, also der Quotet 'Azahl Kopf durch Azahl Würfe sgesamt'. Nach jedem Wurf wrd de atuelle relatve Häufget Abhägget zur Azahl Würfe abgetrage. Es ergbt sch das ebestehede Bld. De relatve Häufget h strebt mt wachsedem eem bestmmte Wert zu. Dese auffallede Stabltät eget sch, um de Wahrschelchet für das Etrete ees bestmmte Eregsses zu umschrebe. 8

9 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra De Laplace'sche Wahrschelchet st defert als ( A) Azahl güstge Fälle P A L. Ω Azahl möglche Fälle Deser emprsche Asatz zur Wahrschelchetsdefto west allerdgs theoretsche ud logsche Lüce auf. Erst m. Jahrhudert wurde durch Kolmogorov ee formale Grudlage der Wahrschelchetstheore geschaffe, das Axomesystem der Wahrschelchetsrechug. Axom : Jedem zufällge Eregs A ees zufällge Versuchs st ee Wahrschelchet P(A) zugeordet, de Werte zwsche ud aehme a. P(A) Axom : Das schere Eregs hat de Wahrschelchet : P() Axom 3: Sd A ud A dsjute Eregsse, so st ( A A ) P( A ) P( ) P + A Auf de Axome grüdet de gesamte Wahrschelchetsrechug. De wchtgste Folgeruge, de sch dret aus he ablete lasse sd: Folgerug : De Wahrschelchet für das zu A omplemetäre Eregs A st P A P A ( ) ( ) Folgerug : De Wahrschelchet des umöglche Eregsses Ø st glech Null. P(Ø) Folgerug 3: (Addtossatz für belebge Eregsse) De Wahrschelchet, dass vo zwe Eregsse A ud B, de sch cht otwedg gegesetg ausschlesse (cht dsjut sd), mdestes ees Etrtt, st P A B P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) Folgerug 4: (Addtossatz für dsjute Eregsse) Wrd Axom 3 auf dre ud mehr dsjute Eregsse ausgedeht, so folgt daraus P ( A A... A ) P( A ) + P( A ) P( A ) Folgerug 5: We A.. A ee vollstädge Zerlegug des Eregsses B blde, d.h. we A A... A B, so glt P B P A + P A P ( ) ( ) ( ) ( ) Folgerug 6: Ebeso glt, we A... A ee vollstädge Zerlegug des Eregsraumes blde, für de Wahrschelchet ees Eregsses B P ( B) P( B ) 9 A A

10 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Folgerug 7: We das Eregs A Telmege des Eregsses B st, so glt A B P A P B ( ) ( ) Bedgte Wahrschelchet, Uabhägget ud Uverebaret Betrachtet wrd ee Stuato, dass vo zwe Eregsse A ud B z.b. das Eregs A ee Vorformato dahgehed lefert, dass se Etrete de möglche Eregsraum vo B reduzert, d.h. ee Efluss auf de Wahrschelchet vo B hat. Bespel 3: Ee deale Müze wrd 3 mal geworfe. Utersucht werde dre Eregsse: A:. Wurf lefert Zahl B:. Wurf lefert Zahl C: geau mal Zahl htereader Damt sd (K Kopf, Z Zahl): {ZZZ, ZZK, ZKZ, ZKK, KZZ, KZK, KKZ, KKK} A {ZZZ, ZZK, ZKZ, ZKK} P(A).5 B {ZZZ, ZZK, KZZ, KZK} P(B).5 C {ZZK, KZZ} P(C).5 Es se u beat, dass A egetrete st (der erste Wurf lefert Zahl). Des hat ee Efluss auf de Elemetareregsse vo B ud C: A egetrete B {ZZZ, ZZK, KZZ, KZK} B A {ZZZ, ZZK} aber: eu { ZZZ, ZZK, ZKZ, ZKK} P(B A).5 ('Wahrschelchet vo B uter der Bedgug A') P ( ) ( B A).5 P B A.5.5 P(B) P A.5 ( ) A egetrete C {ZZK, KZZ} C A {ZZK} aber: eu { ZZZ, ZZK, ZKZ, ZKK} P(C A).5 P ( ) ( C A).5 P C A.5 P(C) P A.5 ( ) Das Etrete vo A hat also ee Efluss auf de Wahrschelchet vo B oder C. B egetrete A {ZZZ, ZZK, ZKZ, ZKK} eu {ZZZ, ZZK, KZZ, KZK} P(A B).5 P ( ) ( A B).5 P A B. 5 P B.5 ( ) P( A) B egetrete C {ZZK, KZZ} aber: eu {ZZZ, ZZK, KZZ, KZK} P(C B).5 P(C) P( C B) ( C B) P( B) P P( C)

11 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Offeschtlch hat das Etrete vo B ee Efluss auf de Wahrschelchet für C. Noch larer wrd es, we das Gegeeregs zu B betrachtet wrd: 'm zwete Wurf ee Zahl'. Damt wrd ämlch C umöglch. Ma sagt We das Etrete vo B das Etrete vo C verhdert, so sd B ud C uverebar. We das Etrete vo A ee Efluss auf de Wahrschelchet für B hat, so sd A ud B uabhägg. We A ud B uabhägg sd, so glt P ( A B) P( A). Sd A ud B cht uabhägg, so hesst de Wahrschelchet vo B uter der Bedgug, dass A egetrete st, 'bedgte Wahrschelchet' ud berechet sch ach der Formel P ( ) ( B A) P B A. P A Für zwe belebge Eregsse A ud B folgt daraus der Multplatossatz für belebge Eregsse: P( A B) P( B A) P( A) P( A B) P( B) P A B P A P B ( ) ud für uabhägge Eregsse: ( ) ( ) ( ) Mehrstufge Wahrschelchete Oftmals trete stochastsche Probleme als mehrstufg eader gefügte Themeomplexe auf. Solche Probleme lasse sch we se cht zu omplzert sd efach mt sogeate Wahrschelchetsbäume löse. Bespel 4: Mt eem deale Würfel (p /6) wrd dre mal gewürfelt. We gross st de Wahrschelchet, davo zwe 6er zu werfe? Das Problem wrd dre Schrtte aufgegledert. Jeder Schrtt etsprcht eem Wurf. Das Problem wrd ausserdem bär odert: statt de Varate {,, 3, 4, 5, 6} zu zeche, wrd das Problem auf de bede Varate {6, cht 6} reduzert. So blebt der Baum egermasse überschtlch.. Wurf 6er p (/6) e 6er p (5/6). Wurf 6er p (/6) e 6er p (5/6) 6er p (/6) e 6er p (5/6) 3. Wurf 6er p (/6) e 6er p (5/6) e 6er p (5/6) 6er p (/6) 5/6 5/6 5/6 e 6er p (5/6) 6er p (/6) e 6er p (5/6) 6er p (/6) 5/6 5/7 Der Baum lefert ee lare Lösug für das Bespel 4. Jeder Pfad, der de Bedgug 'zwe mal 6er' erfüllt, wrd durchlaufe. Wahrschelchete, de m Baum utereader lege (also auf zwe verschedee Ebee), werde bem Durchlaufe des Baumes multplzert. Wahrschelchete auf glecher Ebee (sbesodere de jewelge Wahrschelchete

12 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra der dre 'Gewpfade') werde addert. Der Baum deser Form, also mt ur zwe Möglchete jedem Kote ud gleche Wahrschelchete auf jeder Ebee, bldet das Grudgerüst der Bomalvertelug. Dese Eschräuge sd allerdgs cht otwedg, um das Przp des Wahrschelchetsbaumes awede zu öe. Auch Probleme mt bedgter Wahrschelchet öe mt desem Verfahre aalysert werde (vgl. Touteburg S. 6). Stochastsche Futoe Mathematsche Wahrschelchet ud Vertelugsfuto Um mt Eregsse reche zu öe, st es zwecmässg, jedem Eregs des Eregsraumes ee reelle Zahl x zuzuorde. Des errecht ma durch de Abbldug ω X ω x. Währed alle möglche (Elemetar-) Eregsse zusamme (Futo) ( ) de Eregsraum ergebe, blde alle Blder x de Zustadraum S. De Varable x wrd als Zufallsvarable bezechet, wel sch de Uscherhet vo auf x überträgt. ω ω erzeugt ee Zufallsvarable. De Abbldug X ( ) x I eem zwete Schrtt wrd wederum jedem x ee reelle Zahl P(x ) zugeordet, de de Wahrschelchet vo x bzw. beschrebt. De Futo x P( x ) wrd durch de Axome vo Kolmogorov umschrebe. De Futo P( ) x hesst Wahrschelchetsfuto. x P(x ) Wahrschelchetsfuto auf. x De Wahrschelchetsfuto st eg mt der Häufgetsvertelug aus der desrptve Statst verüpft, da (gemäss dem Wahrschelchetsasatz ach Laplace) relatve Häufget ud Wahrschelchet verwadt sd. Für stetge Futoe bldet de Wahrschelchetsfuto häufg ee Gloceurve. Dsrete Futoe wese hgege ee treppeförmge De umulerte Wahrschelchet führt auf de Vertelugsfuto. De Vertelugsfuto F(x ) gbt für e belebges x S (ee belebge Ausprägug) de Wahrschelchet für das Etrete vo x x a. Bespel 5: De Graph zegt de Wahrschelchets- ud Vertelugsfuto (rosa resp. blau) für 'Azahl 6er 3 Würfe'. De Wahrschelchetsfuto west e Maxmum be 5 auf. De Wahrschelchet, geau de Würfelsumme 5 zu werfe, beträgt allerdgs verschwded lee.6; de rosa Kurve st gegeüber der blaue Kurve um de Fator gestrect. De blaue Kurve errecht a der Stelle 5 ee Wert vo aäherd.6. Des st de Wahrschelchet, 3 Würfe sgesamt oder oder oder 3 oder 49 oder 5 6er zu werfe.

13 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Amerug: de obge Darstellug st cht gaz orret, wel ee stetge Wahrschelchetsfuto uterstellt wrd, obwohl das Würfelproblem gar ee solche lefert. Ausserdem wurde de Graphe der Darstellug wege salert. Be 3 Würfe st de Abwechug vo eer stetge Futo jedoch ur och sehr gerg. De Vertelugsfuto st defert durch F( x) P( X x) P( < X x). De Vertelugsfuto st schwach mooto wachsed, ud alle Werte vo F(x) lege F x ud F( x). lm zwsche ud. Ausserdem glt ( ) x lm Stetge ud dsrete Futoe Stetge Futoe uterschede sch vo dsrete Wahrschelchetsverteluge dadurch, dass dsrete Futoe edlch vele oder abzählbar uedlch vele Auspräguge für x ethalte (zum Bespel 6er, 6er, 6er...; dese Futo blebt dsret, wel auch be uedlch vele Würfe de Azahl abzählbar blebt). Be stetge Futoe st des cht der Fall. Zwsche ee x ud eem (x + x) gbt es mmer uedlch vele zulässge Werte für x, egal we le x gewählt wrd (Bespel Körpergrösse: zwsche 8cm ud 8cm [x cm] gbt es uedlch vele Schrtte, de alle zulässg sd; es hadelt sch ur um e Messproblem). Im Grude führt e Expermet, das aus eer edlche Azahl vo Versuche besteht, mmer auf ee Treppefuto. Im Bespel 5 hatte de Treppe 3 Stufe. De Wahrschelchet, ee bestmmte Stufe, also geau ee bestmmte Azahl 6er, zu treffe, war scho recht le (.6 für de Erwartugswert). x Für stetge Futoe st P(x). Ab eer gewsse Azahl vo Versuche st es deshalb zulässg, ee dsrete Vertelug ( desem Falle de Bomalvertelug) durch ee stetge Vertelug (mest de Normalvertelug) zu approxmere. De Abletug eer stetge Vertelugsfuto lefert de sogeate Dchtefuto. De Itegralfuto x F ( x) f ( t) dt über de Dchtefuto f(t) lefert a der Stelle x also weder de Wert der umulerte Wahrschelchet P(x < x ) f(x ), de Wert der Vertelugsfuto x. Erwartugswert ud Varaz Erwartugswert ud Varaz blde de bede wchtgste Masszahle oder Parameter eer Zufallsvarable. Der Erwartugswert E(x) st e Lageparameter. Er charatersert de Schwerput eer Vertelug. Ist x dsret vertelt, so glt für de Erwartugswert E( X ) x p( ) Ist x stetg, so glt für de Erwartugswert ( X ) x f ( x) + E. x. 3

14 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Damt etsprcht der Erwartugswert dem arthmetsche Mttel aus der desrptve Statst. Bespel 6: E beobachtetes Eregs lautet: 'mt zwe Würfel werfe ud de Augesumme bestmme'. Deses Eregs wrd m 36 mal beobachtet. De Auspräguge (Elemetareregsse) des Eregsses etspreche der Augesumme: S {; 3; 4;... ; ; ; }. De Vertelug der Resultate etspreche de ute aufgeführte Werte (es trtt jede möglche Ausprägug gerade emal auf). Der Erwartugswert deser dsrete Vertelug berechet sch ahad der obestehede Formel. Der Überschtlchet halber st ee Tabelle egefügt, de das Ergebs jedes Wurfes ethält. Dese Tabelle hesst Urlste. Wurf j Würfel Würfel Summe Wurf j Würfel Würfel Summe Es muss u de absolute Häufget aus der Tabelle herausgelese werde. Dese, dvdert durch de Azahl Auspräguge (m 36), ergbt de Wahrschelchet p. Augesumme x j absolute Häufget Wahrschelchet p

15 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Der Erwartugswert des Eregsses ' mal mt zwe Würfel werfe ud Augesumme beobachte' berechet sch also: E X x p x ( ) j ( j ) De dutve Statst geht u allerdgs ee Schrtt weter. Astatt dass e Expermet ur mal durchgeführt wrd (mt zwe Würfel ur mal 36 mal geworfe wrd), wrd das Expermet aus Bespel 6 zum Bespel 3 mal wederholt (sgesamt wrd u also 3*36 8 mal gewürfelt). Für jede Rude ergbt sch e etwas aderes E(X ). Der Erwartugswert eer Mege vo Erwartugswerte st: E( X ) E( ) µ. Bedgug st, dass alle X..d. sd (de gleche Vertelug aufwese ud uabhägg sd). Graphsch bedeutet des, dass jede Rude ee Kurve vo glecher Form, aber uterschedlcher Lage auf der X-Achse aufwest. De Varaz sagt etwas über de Kozetrato der Vertelug um de Erwartugswert aus. De Varaz st defert als: Var ( X ) E[ X E( X )] σ, also als mttlere quadratsche Abwechug der Varable X vom Erwartugswert E(X). I Formel bedeutet des: Var Var ( X ) ( x E( X )) p + ( X ) ( x E( x) ) f ( x) dx m dsrete Fall. m stetge Fall. De (postve) Wurzel aus der Varaz hesst Stadardabwechug. X Bespel 7: Ahad der Urlste aus Bespel 6 soll u de Varaz der Vertelug mt m36 Würfe berechet werde. x j [x j E(X)] p j abs. Häuf. x j [x j E(X)] p j abs. Häuf Der efachere Berechug wege wurde de zusammegefasste Urlste verwedet. Für de Varaz ergbt sch: Var(X).7 +, , Für ee Mege vo Zufallsvarable berechet sch de Gesamtvaraz aalog zum Mttelwert ach der Formel: 5

16 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Var ( X ) Var( X ) σ E wchtges Istrumet der Statst st de Stadardserug, wel se es ermöglcht, sehr vele Probleme auf de gleche beate Probleme zurüczuführe (Normalvertelug!). Ee Zufallsvarable hesst stadardsert, we glt,. Um ee belebge Vertelug zu stadardsere, wrd de Glechug wobe Y de stadardserte Zufallsvarable darstellt. µ Y X agewedet, σ Zwedmesoale Zufallsvarable Das wchtgste Mass, das de Zusammehag zwsche zwe Zufallsvarable X ud Y beschrebt, hesst Kovaraz. De Kovaraz berechet sch ach: Cov( X, Y ) E( X Y ) E( X ) E( Y ) Spezelle Egeschafte der Kovaraz sd vor allem: Cov (X,Y) Cov (Y,X) De Kovaraz st symmetrsch X ud Y. Cov (X,X) Var (X) We X Y bzw. Y X st. Cov (X,Y) We X ud Y uabhägg sd. De gemesame Varaz zweer Zufallsvarable X ud Y berechet sch ach der Formel: Var X ± Y Var X + Var Y ± Cov X, Y ( ) ( ) ( ) ( ) Für uabhägge X ud Y st de Cov. Damt ergbt sch: Var X ± Y Var X + Var Y ( ) ( ) ( ) De Umehrug letzterer Bezehug (Var[X+Y] Var[X] + Var[Y] X,Y uabhägg) glt jedoch m allgemee cht. De Kovaraz st lageabhägg. Auf Bass der Kovaraz wrd der Korrelatosoeffzet als ormertes Mass für de Abhägget zwsche de Zufallsvarable defert. Der Korrelatosoeffzet st defert durch ( X, Y ) ( X, Y ) ( X ) Var( Y ) Cov ρ. Var Da für uabhägge X, Y de Kovaraz Cov(X, Y) wrd, wrd auch der Korrelatosoeffzet. Besteht hgege ee exate leare Abhägget, d.h. Y ax + b mt a, so st für a > ud für a <. Wahrschelchetsverteluge Dsrete Glechvertelug Ee dsrete Zufallsvarable X mt de Auspräguge x.. x hesst glechvertelt, we für hre Wahrschelchetsfuto glt: 6

17 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra P( x ) für alle.. Für de Erwartugswert glt: E ( X ) + Für de Varaz glt: Var ( X ) ( ) Eputvertelug De Eputvertelug bldet de Greze des Zufalls. Ee Zufallsvarable X hat de Eputvertelug m Put a, we se ur ee Ausprägug a mt P(a) bestzt. I desem Fall st der Erwartugswert E(X) a ud de Varaz Var(X). Zweputvertelug / Null-Es-Vertelug Ee zufällge Varable bestzt de Zweputvertelug, we se ur zwe Werte x ud x mt jewels postver Wahrschelchet aehme a. De Zufallsvarble wrd durch hre bede möglche Werte ud de zugehörge Wahrschelchete beschrebe: P(X x ) p, P(X x ) p Wrd x ud x gewählt, so sprcht ma vo eer Null-Es-Vertelug. P(X ) p, P(X ) p Der Erwartugswert der Null-Es-Vertelug st: E(X) p + ( p) p De Varaz der Null-Es-Vertelug st: Var(X) p ( p) Bomalvertelug Beobachtet ma eem Zufallsexpermet, ob e bestmmtes Eregs A egetrete st oder cht, ud wederholt ma deses Expermet mal uabhägg, so st de Azahl der egetretee Eregsse A bomal vertelt. Der Bomalvertelug legt also ee Zweputvertelug zugrude. De Bomalvertelug a als ee Summe vo detsche, uabhägge Null-Es-Verteluge aufgefasst werde. Typsche Bespele für bomal vertelte Expermete sd: Bespel 8: Azahl gezogee blaue Kugel aus eer Ure mt blaue ud rote Kugel Züge mt Zurüclege. Azahl 'Kopf geworfe' eer zwesetge Müze würfe. Azahl futostüchtge Glühbre eer Stchprobe vo Stüc. De Wahrschelchet für das Etreffe des Eregsses ' mal blau gezoge' berechet sch ach der Formel: P( x ) p ( p) Der Erwatugswert der Bomalvertelug berechet sch: p Ihre Varaz berechet sch: p ( p) 7

18 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Normalvertelug De Normalvertelug st de wchtgste stetge Wahrschelchetsvertelug. De Dchtefuto der Normalvertelug lautet: f ( x) exp σ π ( x µ ) σ De Parameter deser Glechug sd Zufallsgrösse glt: ud. Für de Momete eer ormalvertelte E (X ) µ Var ( X ) σ Sd spezell ud, so hesst X stadardormalvertelt: X ~ N(,). Um ee allgemee Normalvertelug N(, ) ee stadardserte Normalvertelug N(, ) zu überführe, wrd de Stadardserugs-Trasformato agewadt: X ~ N(, ) Z ~N(, ) µ Z X σ We berets beat st de Putwahrschelchet be stetge Verteluge glech. Deshalb teressert de Dchtefuto auch ur egeschrät. Iteressat hgege st de Vertelugsfuto (z). Se gbt de Wahrschelchet ees Bereches a, der vo - bs z recht. Z x Φ ( Z ) exp dx π Deses Itegral lässt sch cht aalytsch löse. Lösuge für Z ( Z 3) der stadardserte Vertelugsfuto sd deshalb tabellert (Touteburg S. 376). Durch de Symmetre der Dchtefuto um de Nullput glt: 8

19 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra ( Z) (Z) Ee Stchprobe vo detsch N(, ) ormalvertelte Zufallsvarable st auch weder ormalvertelt mt de Momete: E ( X ) E( ) µ ud Var( X ) Var( X ) X σ Damt glt da sgesamt für das Stchprobemttel eer ormalvertelte Zufallsvarable: X σ ~ N µ, We obe erwäht, macht de Putwahrschelchet wege dere Stetget be der Normalvertelug ee S. Dafür a de Wahrschelchet ees belebge Berechs [z, z ] lecht über de Vertelugsfuto (z) bestmmt werde. Be der Bomalvertelug st zwar de Bestmmug eer Berechswahrschelchet grudsätzlch cht schwerg, se st jedoch uter Umstäde mt eem erheblche Recheaufwad verbude, wel für jede Klasse erhalb des Berechs de Klassewahrschelchet ausgerechet ud dese da aufaddert werde muss. Um deses Problem zu vermede, bedet ma sch für ausreched grosse, p, ( p) der Normalvertelug als Approxmato der Bomalvertelug. Für de Bomalvertelug lautet de Approxmatosbedgug durch de Normalvertelug: p ( p) > 9 B(, p) N(, ). Der zetrale Grezwertsatz der Wahrschelchetsrechug sagt sogar aus, dass jede Summe vo..d. Zufallsvarable X ormalvertelt st für ee ausreched grosse Mege vo X. 9

20 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra TEIL III: TESTEN VON HYPOTHESEN Prüfverteluge Aus der Normalvertelug lasse sch dre wesetlche Verteluge, de sogeate Prüfverteluge, gewe. Dese Verteluge werde zum Teste vo Hypothese egesetzt. Je ach dem, über welche Parameter ee Hypothese gestellt wrd, ommt ee uterschedlche Prüfvertelug zum Zug. Es sd des m Detal: Hypothese über de Varaz eer Normalvertelug: -Vertelug. de Erwartugswert oder zum Verglech zweer Erwartugswerte: t-vertelug. das Verhälts vo Varaze zweer ormalvertelter Varable: F-Vertelug. De t- ud de -Vertelug häge bede ab vo eem gazzahlge Parameter ab, der sch aus dem Stchprobeumfag bereche lässt ud desse Werte Frehetsgrade geat werde. H o : ( ) χ s σ Getestet wrd, ob de Stchprobe mt der Varaz s aus der ormalvertelte Grudgesamthet. Getestet wrd ahad der -Prüfvertelug. mt Varaz stammt. Es st s ( x x) Dabe st ( ). Legt das der Stchprobe über dem Wert der -Prüfvertelug, so st de Abwechug sgfat. De Hypothese, dass de Stchprobe aus der Grudgesamthet stammt, wrd somt verworfe (cht azeptert). Ist das der Grudgesamthet ubeat, der Erwartugswert hgege scho, so wrd mt dem t-test geprüft, ob ee Stchprobe mt Mttelwert x aus der Grudgesamthet mt beatem Erwartugswert stammt. x µ H : t s Prüfvertelug st her de Studet t-vertelug t mt ( ). Legt der t-wert der Stchprobe über dem Sgfazwert der Prüfvertelug, so wrd de Nullhypothese verworfe. De Fsher F-Vertelug macht ee Aussage über zwe uabhägge Zufallsvarable X ud Y, de bzw. m vertelt sd. Der Quotet F m, χm lefert de Fsher F-Vertelug mt (m, ) Frehetsgrade. Ist X ee -vertelte Zufallsvarable, so st der obge Quotet F, vertelt. De Wurzel aus dem Quotete st da t -vertelt, da de Wurzel aus eer -vertelte Zufallsvarable N(,)-vertelt st. χ m

21 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Ist ee Zufallsvarable W ach F m, -vertelt, so st /W ach F,m -vertelt. Deshalb sd de Tabelle der F m, -Vertelug m allgemee auf de Fall m beschrät. Schätze vo Parameter Putschätzug E wesetlches Charaterstum der statstsche Schlusswese st de Tatsache, dass de aus eer Stchprobe gezogee Schlussfolgeruge m allgemee cht fehlerfre sd. De bsher vorgestellte Verteluge für de Beschrebug vo Zufallsvarable häge vo Parameter ab (Erwartugswert, Varaz, Wahrschelchet p), de ubeat sd, solage cht ee Vollerhebug durchgeführt wrd. Aus eer Stchprobe werde deshalb Masszahle (Stchprobemttel x, Stchprobevaraz s, relatve Häufget /) ermttelt, de als Schätzwerte der Parameter,, p der Grudgesamthet bezechet werde. De Ermttlug der Schätzwerte erfolgt aufgrud eer Schätzfuto. Schätzfuto: f(stchprobe) Parameter De Schätzfuto soll dabe so gewählt werde, dass de gemesame Dchte vo Grudvertelug ud Schätzfuto möglchst gross wrd. Ma sprcht vom Maxmum- Lelhood-Przp. Für de Normalvertelug laute de Maxmum-Lelhood-Schätzer der Parameter: ML( ) x ML( ) s ML(p) ^p / Kofdeztervall Da be de agegebe Schätzverfahre ur e ezger Zahlewert als Schätzgrösse resultert, sprcht ma dabe vo Putschätzuge. Ee Putschätzug hat de Nachtel, dass e Hwes auf de Geauget deser Schätzug gegebe wrd. De Abwechug zwsche Putschätzug ud wahrem Parameter (z.b. x µ ) a erheblch se, sbesodere be leem Stchprobeumfag. Aussage über de Geauget eer Schätzug lefert de Kofdezmethode. Be hr wrd für de ubeate wahre Parameter e Itervall bestmmt, das de wahre Parameter mt eer Wahrschelchet ethält. Bespel 9: Ee Stchprobe wrd aus der Grudgesamthet gezoge, um dere wahre Erwartugswert zu bestmme ( ). De Stchprobe lefert ee ML-Schätzer vo x für de wahre Erwartugswert. Durch de Kofdezmethode wrd e Itervall [97.8;.8] bestmmt. Als Sgfazveau se 5% gewählt worde. Es st eschtg, dass de Stchprobe cht zwged de wahre Wert vo lefert. Soll deser wahre Wert mt Scherhet bestmmt werde, so st ee Vollerhebug otwedg, de aber aus ahelegede Grüde mest cht möglch st.

22 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Das Kofdeztervall besagt, dass mt 95% Wahrschelchet ( ) der wahre Wert des Erwartugswertes der Grudgesamthet ( ) zwsche 97.8 ud,8 legt. De 5%, de zur Scherhet fehle, stamme aus der Uscherhet über de Qualtät der Stchprobe; vellecht wurde ee Stchprobe gezoge, dere arthmetsches Mttel sgfat vom Erwartugswert abwecht. Das wäre da "Pech", mt dem aufgrud seer gerge Wahrschelchet (< 5%) cht gerechet wurde. Um de mathematsche Behadlug des Vertrauestervalls besser verstehe zu öe, wrd das Problem umgeehrt. Bespel : Gesucht st de Wahrschelchet, dass ee N(, )-vertelte Zufallsvarable X ee Stchprobe lefert, dere arthmetsches Mttel zwsche [ ; ] legt. De Stchprobe bestehe desem Fall aus eem ezge Elemet x, wodurch x x. De gesuchte Wahrschelchet etsprcht der blaue Fläche m ebestehede Dagramm eer Normalvertelug. Zur Berechug wrd auf de Tabelle der Vertelugsfuto (z) zurücgegrffe (Touteburg S. 376f). I desem Bespel se (I) de Wahrschelchet des Itervalls [ ; ]. Es st: (I) () ( ) () [ ()] ().843 (I).686 Ee belebge Stchprobe aus X lefert also mt rud 68% Wahrschelchet e Stchprobemttel m Itervall [ ; ]. Das bedeutet aber auch, dass rud 3% aller..d. Stchprobe aus deser Grudgesamthet e Stchprobemttel lefert, das ausserhalb deses Itervalls legt (be eem wahre Erwartugswert!) Be der Berechug des Kofdeztervalls wrd ormalerwese umgeehrt vorgegage: es wrd für ee fxe Wahrschelchet (z.b. 95%) das Itervall bestmmt. Charatersert wrd e solches Itervall durch das Sgfaz- oder Kofdezveau, das der Wahrschelchet etsprcht, mt der ee Stchprobe aus der Grudgesamthet cht erhalb des Itervalls legt (ma sprcht desem Fall vom Fehler. Art). Das Sgfazveau rechet sch Itervallwahrschelchet. Das Kofdeztervall für be beatem berechet sch dret aus der Normalvertelug: P x µ σ z α α I Worte: de Wahrschelchet, dass der Abstad des Stchprobemttels vom wahre Erwartugswert leer st als de halbe Itervallbrete (bem zwesetge Teste) st glech dem Sgfazveau ( 5% 95%). z (/) st der Wert der Stadardserugsfuto X Z der Stadardormalvertelug für de durch ( (/)) festgelegte Wahrschelchet. Damt ergbt sch für das Itervall selbst:

23 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra x z α σ µ x + z α σ Für 5% st z (/).96. Für.5% st z (/).4. Mt leerem wrd somt das Itervall grösser (vgl. Fehler. ud. Art, S. 3f). Be ubeatem wrd das Kofdeztervall für a sch glech berechet, statt der Gesamtvaraz muss u allerdgs de Stchprobevaraz s verwedet werde, was auf de t-vertelug (mt Frehetsgrade) führt. Es ergbt sch: s x tν ( α) µ x + tν ( α) s Schätze eer Bomalwahrschelchet Für de Schätzug der wahre Wahrschelchet p eem Bomalexpermet wrd der ML-Schätzer vo p x/ p^ verwedet. Dabe st x/ de relatve Häufget der Ausprägug (zum Bespel 'Kopf' bem Müzwurf). Ist über de Varaz der Stchprobe chts beat, so a dese aufgrud der Wahrschelchet ud des Stchprobeumfags geschätzt werde. Da de Grudgesamthet de Varaz p ( p) bestzt (wobe p ubeat st), glt für de Varaz der Schätzug vo p^ X/: Dese wrd geschätzt durch: ( p) p Var( p^ ) p^ p^ s p ^ ( ) Be der Varazschätzug hadelt es sch we be der ML-Schätzug für p um ee Putschätzug. Oftmals st ma allerdgs a eem Vertrauestervall für p teressert, um zum Bespel de wahre Wahrschelchet eer ubeate bomsche Vertelug ahad eer Stchprobe zu bestmme. Ma bedet sch dazu der Normalvertelug ud wedet de Approxmatossatz a, dass für p ( p) > 9 de Bomal- durch de Normalvertelug approxmert werde a (vgl. S. 9). I desem Fall ergbt sch für das Vertrauestervall vo p: p^ z α Parametrsche Tests p^ ( p^) p^( p^) p p^+ z Nullhypothese, Fehler. ud. Art Be vele Tests geht es um de Frage: 'Stammt de Stchprobe mt dem Stchprobeparameter (z.b. x, s, x/) aus der Grudgesamthet mt beatem Parameter (,, p)?' Ma sprcht da vo parametrsche Tests. Grudlage ees jede Tests st de Nullhypothese H. Charaterstum der Nullhypothese st, dass se de Glechhet vo Stchprobeparameter ud Gesamthetsparameter uterstellt ( x, s, x/ p). α 3

24 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra A pror glt de Nullhypothese als rchtg. Erst we de Wahrschelchet für de Rchtget der Nullhypothese uter ee bestmmte Wert st (das Sgfazveau), wrd H verworfe. I desem Fall wrd (ach dem Przp des tertum o datur) de Arbetshypothese H azeptert, de das Gegeeregs zu H darstellt (z.b. x/ p). Des st glechbedeuted mt der Aussage: 'De Stchprobe stammt cht aus der Grudgesamthet' oder 'De Aahme über de Parameter der Grudgesamthet st falsch.' Aus dem Sgfazveau ud der Nullhypothese lässt sch aalog zum Kofdeztervall e Berech I bestmme, dem de Nullhypothese azeptert wrd. Bespel : Be der Qualtätsotrolle der Müzere Se geht ma davo aus, dass der mttlere Goldgehalt eer Müze H H H 5% st. Der tatsächlche Goldgehalt se ormalvertelt mt I 5, 5. Ee Stchprobe vo Müze lefert ee mttlere Goldgehalt x 4%. De Nullhypothese lautet H : x. se.5. We gross st de Wahrschelchet, aus eer ormalvertelte Grudgesamthet N(5, 5) ee Stchprobe mt x 4 zu zehe? z x µ, z.6. (z) (.6) (.6).548 >.5. σ De Wahrschelchet, ee Stchprobe mt x 4 zu zehe be eem wahre 5 st grösser als 5%. De Nullhypothese wrd deshalb cht verworfe, de Müze Se schee also tatsächlch ee Goldgehalt vo 5% zu habe. Be der Testetschedug öe zwe Arte vo Fehler begage werde. Etweder wrd H verworfe (de Müze see schlecht), obwohl H rchtg st (das wahre st wrlch 5%), oder H wrd azeptert (de Müze see gut), obwohl H falsch st (das wahre st cht 5%). Fehler. Art: H wrd verworfe, obwohl H rchtg st. De Wahrschelchet, de Fehler. Art zu begehe, etsprcht gerade dem Sgfazveau. Es sprcht systematsch chts dagege, aus eer Grudgesamthet mt wahrem 5 ee Stchprobe mt x zu zehe. De Wahrschelchet für dese Fall st allerdgs so gerg, dass uter dese Bedguge de Aahme, H se trotzdem rchtg, uhaltbar st. Fehler. Art: H wrd azeptert, obwohl H falsch st. H st falsch, das hesst, der wahre Erwartugswert der Grudgesamthet st cht 5. Ma bezechet de Wahrschelchet, de Fehler. Art zu begehe als. Aders als de Sgfaz lässt sch das jedoch cht pauschal agebe. Das st abhägg vom wahre der Grudgesamthet: ( ). Im Grezfall, dem das wahre mt dem erwartete überestmmt ( 5), st. De Güte ees Tests st defert durch see Fähget, de Fehler. Art cht zu mache. Auch de Güte ees Tests st abhägg vom tatsächlche. Es st 4

25 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra g( ) ( ) E dealer Test hat ee Gütefuto der Form ( µ ),we µ µ g. α,we µ µ E-Stchprobe-Verfahre Der efachste Fall ees E-Stchprobe Parametertests für de Mttelwert wurde berets weter obe Bespel vorgeführt (Prüfe des Mttelwerts be beater Varaz). Es soll geprüft werde, ob der ubeate Erwartugswert eer N(, )-vertelte Zufallsvarable X ee bestmmte Wert bestzt. Dabe st zuächst de Varaz beat. Uter dese Bedguge a dret de (Stadard-) Normalvertelug als Prüfvertelug agewedet werde. Ma sprcht vom efache Gauss-Test. H : x µ σ Prüfgrösse: t ~ N(,) Testetschedug: H verwerfe, we t > z -(/) Getestet werde a esetg ud zwesetg. Esetg wrd getestet, we ee Vermutug über de Rchtug der Abwechug des wahre vom geschätzte besteht (z.b. < ), oder ur ee Abwechugsrchtug teressert / relevat st. Ist chts darüber beat, so wrd zwesetg getestet ( ). Wrd esetg getestet, so hat des ee Efluss auf de Nullhypothese. Dese lautet da cht mehr, soder z.b. H :. Es st da de Arbetshypothese, zu dere Guste H abgeleht wrd, H : <. Schwellewerte sd (für 5%) z (/).96 (bem zwesetge Test) ud z (-).645 (bem esetge Test). Sehr oft st das der Grudgesamthet cht beat. I desem Fall utzt ma astelle der Gesamtvaraz de Stchprobevaraz s als Schätzug. Des führt auf de efache Studet t-test. H : Prüfgrösse: t x µ ~ tν s Testetschedug: H verwerfe, we t > t ; ( ) Dabe st stamme x, s ud aus der Stchprobe (Stchprobemttel, Stchprobevaraz, Stchprobeumfag). st der Erwartugswert der Grudgesamthet. Der Studet t-test beatwortet z.b. de Frage 'Stammt de Stchprobe mt ( x, s, ) aus der Grudgesamthet mt Parameter?' bzw. 'Ist de Aahme über de wahre Wert vo der Grudgesamthet rchtg?'. 5

26 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Aufgrud der Prüfvertelug lässt sch e Kofdeztervall bestmme. Für de Studet t- Test st deses: s x ± t α ν x ; H verwerfe Kofdeztervall I desem Fall wrd H verworfe, we Kofdeztervall legt. cht m Zwe-Stchprobe-Verfahre Grudlage deser Tests sd zwe Zufallsvarable X, Y. Dese see (bs auf weteres)..d. ormalvertelt, also uabhägg. Es se X ~ N( x, x) ud Y ~N( y, y). Als erstes soll auf de Glechhet der Mttelwerte x y getestet werde, wobe x y beat st. Des führt auf de sogeate doppelte Gauss-Test. H : x y x y Prüfgrösse: t( x, y) ~ N(,) σ + σ y x x y x y Testetschedug: H verwerfe, we t > z (/) Es sd x, y de Stchprobeumfäge der uabhägge Stchprobe aus X bzw. Y. De Testetschedug erfolgt aalog zum E-Stchprobe-Gauss-Test. Sd de Varaze zweer Verteluge ubeat, aber glech, so führt des auf de doppelte t-test. De gemesame Varaz wrd durch de sogeate gepoolte Stchprobevaraz geschätzt, de bede Stchprobe mt eem Gewcht relatv zu hrer Grösse verwedet. Gemesame Varaz: H : S ( ) s + ( ) + x x y s y t x y, y ~ t + S + Prüfgrösse: ( ) ; x Testetschedug: H verwerfe, we t > t ; ( ) mt + Sd de Varaze vo X ud Y uglech ud ubeat, so gbt es ee exate Lösug, um de Nullhypothese x y zu prüfe. Als Näherug verwedet ma desem Fall de Welch- Test. We obe werde weder zwe uabhägge Zufallsvarable mt E(X) x ud E(Y) y betrachtet. De Aahme der Uabhägget der Varable wrd u aufgegebe, de bede 6

27 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Varable als abhägg ageomme. Dese Abhägget a der Praxs bespelswese dadurch etstehe, dass a eem Objet zwe Mermale glechzetg beobachtet werde oder e Mermal a eem Objet zu verschedee Zetpute beobachtet wrd. Ma sprcht da vo eer gepaarte oder verbudee Stchprobe oder vo eem matched-par Desg. Da bede Zufallsvarable zum selbe Objet gehöre, ergbt das Blde eer Dfferez ee S. Mt D X Y, wobe D D x y. Uter H : x y st de erwartete Dfferez glech Null, es glt E(D) D. Es wrd vorausgesetzt, dass D uter H : x y bzw. H : D ormalvertelt st, d.h. es st D ~N(, D). H : x y D D Prüfgrösse: t ~ tν s Dfferezevaraz: s D D [( D D) ] Testetschedug: H verwerfe, we t > t ; (-) Be desem Test werde de zwe abhägge Varable X ud Y zu eer Varable D zusammegefasst. Damt wrd e Zwe-Stchprobe-Problem durch de Dfferezebldug auf e E-Stchprobe-Problem zurücgeführt. De Dfferezevarable D st we e E- Stchprobe-Problem zu behadel. Da de Varaz der Dfferez ubeat st, wrd de Stchprobevaraz aus D ermttelt (Dfferezevaraz). Es folgt e efacher t-test. Glechhet zweer Bomalverteluge Ereut wrd e Zwe-Stchprobe-Problem betrachtet, desmal weder mt zwe uabhägge Zufallsvarable X ud Y. Dabe st X ~ B(; p ) ud Y ~B(; p )-vertelt. Somt st X X ~ B( ; p ) ud Y Y ~ B( ; p ). Geprüft wrd de Nullhypothese, dass de bede Verteluge de gleche Wahrschelchet p p p zugrude legt. X Y Ählch we bem matched-par Desg wrd dazu de Dfferez D p^ p^ der bede Varable gebldet. Für hreched grosse ud sd Approxmatossatz (vgl. S. 9) ormalvertelt. X Y p ~ N p; p ~ N p; ( p ) ( p ) H : p p^ p^ D p^ p^ ^ X Y ud ach dem Gemesame Wahrschelchet: X + Y p^ + 7

28 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Prüfgrösse: t p^ D ( p^) + ~ N ( ; ) Testetschedug: H verwerfe, we t > z (/). Nchtparametrsche Tests I de bsherge Prüfverfahre gg der Vertelugstyp der Stchprobevarable e, der Typ der Vertelug war also beat. De zu prüfede Hypothese bezoge sch auf Parameter desr Vertelug. De für Parameter beater Verteluge ostruerte Prüfverfahre hesse parametrsche Tests, da de Hypothese Parameterwerte festlege. Möchte ma hgege Lage- oder Streuugsalteratve be stetge Varable prüfe, dere Vertelug cht beat st, so sd de m folgede dargestellte chtparametrsche Tests zu verwede. Apassugstest Ket ma de Vertelugstyp der der Stchprobe zugrude legede Zufallsvarable cht, so a ma mt Hlfe der Apassugstests prüfe, ob dese Varable ee bestmmte Vertelug (z.b. de Normalvertelug) bestzt. Es soll also utersucht werde, we 'gut' sch ee beobachtete Vertelug der hypothetsche Vertelug apasst. Be der Kostruto des Tests st es otwedg, de Vertelug der Testgrösse uter der Nullhypothese zu ee. Daher sd alle Apassugstests so aufgebaut, dass de egetlch teresserede Hypothese als Nullhypothese ud cht we sost üblch als Alteratve formulert wrd. Deshalb a ma mt eem Apassugstest auch e statstscher Nachwes geführt werde, dass e bestmmter Vertelugstyp vorlegt, soder es a ur achgewese werde, dass e bestmmter Vertelugstyp cht vorlegt. Der wohl beateste Apassugstest st der -Apassugstest. De Teststatst wrd so ostruert, dass se de Abwechuge der uter H erwartete vo de tatsächlch beobachtete absolute Häufgete msst. Herbe st jedes Saleveau zulässg. Um jedoch de erwartete Häufgete zu bereche, st es be ordalem oder stetgem Dateveau otwedg, de Stchprobe X Klasse ezutele. Dabe sollte de Klasseetelug cht zu fe gewählt werde, um ee geüged grosse Azahl a Beobachtuge de ezele Klasse zu gewährleste. Im folgede se de hypothetsche Vertelug, auf de getestet wrd, de Normalvertelug: F (x) (, ) H : F(x) (, ) X ~ N( x, s ) 'De ubeate Vertelug X etsprcht der Normalvertelug' Prüfgrösse: Testetschedug: ( N ) N t χ ~ r H verwerfe, we t > --r ; (-) 8

29 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Dabe st de absolute Häufget der Stchprobe der Klasse ud N de absolute Häufget der hypothetsche Vertelug. De Prüfgrösse t st t-vertelt mt --r Frehetsgrade, wobe de Azahl Klasse ud r de Azahl Parameter der Vertelugssypothese st. Bespel : Ee Stchprobe mt ubeater Vertelugsfuto vom Umfag wese de Parameter ( x 5.67; s 337.5) auf. Als hypothetsche Vertelug wrd de Normalvertelug mt de Parameter N( x, s ) ageomme. De Stchprobe wrd Klasse utertelt. De aschlessede Tabelle ethält de absolute Häufget der Klasse aus der Stchprobe [ ], de erwartete absolute Häufget aufgrud der hypothetsche Normalvertelug [ N ], de Dfferez der bede ud de quadrerte ud durch de absolute Häufget der Hypothese dvderte Dfferez der bede: () N N ( N ) N x < x < x < x < x < x < x < x < x < x < Dese Tabelle lefert t De Testetschedug wrd ahad der -Vertelug gefällt. Das Sgfazveau se 5%. Das ( )-Quatl der -Vertelug mt 7 Frehetsgrade st ; ( ) 4. < t. De Nullhypothese, dass de ubeate Vertelug eer Normalvertelug etsprcht, wrd also verworfe. Über de wrlche Vertelug der Stchprobe a allerdgs aufgrud deses Tests ee Aussage gemacht werde. Zur geaue Berechug der Werte sehe auch m Ahag. Der -Apassugstest prüft also, we star zwe Vertelugsfutoe über alles gesehe voeader abweche. Der Kolmogorov-Smrov-Apassugstest demgegeüber sucht de grösste Abstad der bede Vertelugsfutoe (emprsche ud hypothetsche). Der -Apassugstest hat be stetge Varable de Nachtel, dass ee Grupperug der Werte otwedg st. Isbesodere a de Klassebldug auch de Idee des -Apassugstests Teststatst ud damt das Testergebs beeflusse. Deses Problem wrt sch besoders star be lee Stchprobe aus. I dese Fälle st der Kolmogorov-Smrov-Apassugstest dem -Apassugstest vorzuzehe. 9

30 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Homogetätstest Im Gegesatz zu de Apassugstest vergleche de Homogetätstests de Verteluge zweer Zufallsvarable mteader. Der Kolmogorov-Smrov-Homogetätstest (das Zwestchprobe-Pedat zum K-S- Apassugstest) prüft allgemee Hypothese der Art 'De bede Verteluge sd glech'. See X ud Y zwe uabhägge Stchprobe. H : F(t) G(t) X ud Y sd glech vertelt. Prüfgrösse: K max F( t) G( t) t S Testetschedug: H wrd verworfe, we K >,m,(-) (De rtsche Werte für sd tabellert, allerdgs cht m Touteburg.) We zwe Verteluge sch ur bezüglch der Lage uterschede, a der U-Test vo Ma ud Whtey agewedet werde. Der U-Test vo Ma ud Whtey st e Ragtest. Er st das chtparametrsche Gegestüc zum t-test ud wrd agewedet, we de Voraussetzuge für de t-test fehle oder begrüdete Zwefel bestehe. H : P(x > y ).5 De Lage der Verteluge st glech. Prüfgrösse: Z U ( + + ) ~ N (,) Testetschedug: H wrd verworfe, we z > z -(/). Zur Berechug vo U sehe Touteburg S. 75. Der Vorzeche-Test lefert e Testverfahre für Lagealteratve m matched-par Desg, also be zwe verbudee Stchprobe. Voraussetzug st mdestes e ordales Saleveau bede Stchprobe. H : P(X < Y) P(Y < X) De Lage der Verteluguge st bede Stchprobe glech. Prüfgrösse: mt D t D falls X < Y sost Uter H st t bomalvertelt mt de Parameter p.5 ud. Testetschedug: H wrd verworfe, we t < b, -(/) 3

31 Statst II: Idutve Statst Uverstät Basel, Sommer Prof. Dr. Dr. Helge Touteburg Dael Fra Wobe b ; (/) das ( [/])-Quatl eer Bomalvertelug mt de Parameter B(, p.5) bldet. Für st t approxmatv N(/, /4)-vertelt. I desem Fall wrd H abgeleht, falls glt: z t > z α Als letztes chtparametrsches Verfahre se och de Ragorrelato ach Spearma erwäht. H : r S Es besteht ee Korrelato. Prüfgrösse (für 3): r mt r S z S 6 ( rx ; ry ; ) ( ) Testetschedug: H verwerfe, we z > z -(/) Es bedeute: r x; Rag der Stchprobe X r y; Rag der Stchprobe Y Stchprobeumfag. z st N(,) ormalvertelt. De Ablehug der Nullhypothese zegt ledglch, dass ee Korrelato zwsche X ud Y besteht, dese also cht uabhägg sd. Der Test macht weder ee Aussage über de Stäre der Korrelato och über hre Rchtug. 3