Beispiele. Überblick

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1 Warum Statst? Bespele Statst ursprüglch: Erhebug vo Date (Status Zustad Bespele Aufahme der Wasserstäde des Nl: Progose vo Dürre, Hochwasser Volszähluge, Erfasse vo Ertemege, Steuer bs zu heutgem statstsches Jahrbuch Bezechug: Desrptve (beschrebede Statst Dateerfassug, Aufberetug, Verdchtug, grafsche Darstellug Statst weteretwcelt: Methode zur Etschedugsfdug be Uscherhet uvollstädge Iformato oder cht otrollerbare (zufällge Bedguge erforder Reche mt Rse Bezechug: Idutve (schleßede Statst Verallgemeer vo Stchprobeergebsse be alulerbarem Rso bzw. Scherhet WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. Tech Be der Messug eer bestmmte Größe öe cht alle Eflüsse ostat gehalte werde. Jede Messug führt u. U. zu eem adere Ergebs. Aus de verschedee Messergebsse schätzt ma de ubeate Größe. We gut bzw. geau st dese Schätzug? We oft sollte ma messe? Bologe/Medz Es soll utersucht werde, ob de Horhautdce de Augeedruc beeflusst. Das st aus Koste- ud Zetgrüde ur a Stchprobe möglch. We scher sd de Schlussfolgeruge aus de Messwerte der Stchprobe für de Gesamtpopulato? Quelle zufällger Eflüsse Tech: Messfehler Bologe/Medz: Messfehler ud bologsche Varabltät der Probade/Patete WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. Warum Bostatst? Überblc How to read a paper Verstehe vo Fachlteratur, sbesodere zu expermetelle, lsche bzw. epdemologsche Stude Egee emprsche Utersuchuge Pratumsarbete Bachelor-, Masterarbete Lerzele Verstäds grudlegeder statstscher Schlusswese Iterpretato der Ergebsse statstscher Verfahre Fähget zur Auswahl geegeter statstscher Verfahre Churchll Traue eer Statst, de Du cht selbst gefälscht hast. Kompetezzel Traue eer Statst, de Du cht verstade hast. Beschrebede Statst Wahrschelchetsrechug Modell Schätzug Schleßede Statst mt Rsoberechug Stchprobe Grudgesamthet Relatve Häufget Wahrschelchet Durchschtt... Erwartugswert... WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 3 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 4

2 Vorlesugsglederug Glederug Tel A A Beschrebede Statst Häufgetsverteluge, Hstogramme, Boxplots, Statstsche Maßzahle, Zusammehagsmaße, Regressosmodelle B Wahrschelchetsrechug Wahrschelchete, Uabhägget, Wahrschelchetsverteluge C Schleßede Statst Schätzuge, Kofdeztervalle, Parametertests Parameterfree Testverfahre Lteratur: Soal,R, Rohlf, F. Bometry, W.H.Freema ad Compay, 03 Tmschl, W. Agewadte Statst für Bologe ud Medzer, Sprger 03 Gaus, W., Muche, R. Medzsche Statst, Schattauer 04 Hlgers, R.-D. u.a. Eführug de medzsche Statst, Sprger 007 Hedderch, L., Sachs. L. Agewadte Statst, Sprger 0 Rudolf, M. u.a. Bostatst, Pearso Studum 008 Oestrech, M. u.a. Kee Pa vor Statst, Veweg+Teuber, 00 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 5 A Beschrebede Statst Zel Zusammefassede, überschtlche Darstellug beobachteter/gemesseer Date Tabelle, Verdchtug durch Kegröße bzw. Grafe. Grudbegrffe der beschrebede Statst. Edmesoale Mermale Häufgetsverteluge be dsrete Mermale Hstogramm, emprsche Vertelugsfuto, Boxplot be metrsche Date Statstsche Maßzahle 3. Mehrdmesoale Mermale Zwedmesoale Häufgetstabelle Zusammehagsmaße be omale Mermale Zusammehagsmaße be ordale ud metrsche Mermale Leare Regresso Wetere Regressosmodelle WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 6 Grudbegrffe Be Date zur statstsche Auswertug uterschedet ma zwsche Seudärstatst, we ma auf berets vorlegede Erhebuge zurücgreft (z.b. aus Pateteate Prmärstatst, we de Date eges erhobe werde Grudbegrffe Mermal / statstsche Varable Zelgröße der Erhebug / Messug Möglche Auspräguge Werteberech der statstsche Varable. Grudgesamthet Zelpopulato, alle Elemete, de przpell gemesse, befragt, beobachtet werde öe (vo egetlchem Iteresse für de Utersuchug sd Stchprobe Elemete der Grudgesamthet, de zufällg für de Dateerhebug ausgewählt wurde (um daraus Schlüsse auf de Zelpopulato zu zehe Erhebugsehet / Mermalsträger jedes de Stchprobe gelagte Elemet, für das Date erhobe werde Der Iformatosgehalt der Mermale hägt vo der Sala ab, auf der de Auspräguge gemesse bzw. beobachtet wurde. Ma uterschedet grob zwsche folgede Saleveaus qualtatv (ategoral Saleveau quattatv (metrsch omal ordal dsret stetg WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 7 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 8

3 Saleveau der Varable Saleveau der Varable Frage: Welche Schoolade aufe Se? Ο Rtter Sport Ο Mla Ο Sarott Ο sostge De Atwortmöglchete stelle Kategore dar, de ur der Relato glech oder verschede stehe öe. Be Auswertug mt dem Computer werde se.a. Zahle odert, trotzdem a cht svoll mt he gerechet werde. Kee Durchschtte blde, ur Häufgetsauszähluge!!! Solche Varable habe omales (ategorales Nveau Frage: We sehr möge Se Schoolade?. Gar cht. Weger 3. Neutral 4. Etwas 5. Sehr ger De Atwortmöglchete,...,5 sd geordete Kategore. Se öe de Relatoe > oder < oder stehe. Allerdgs öe de Abstäde zwsche de Auspräguge subjetv verschede empfude werde. Solche Varable habe ordales Nveau. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 9 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 0 Saleveau der Varable Saleveau vo Varable Frage: We vel Geld gebe Se pro Woche für Schoolade aus?, De Atwort stellt ee (echte Zahl auf eer atürlche Sala dar. Ma a cht ur vergleche, soder auch svoll Summe, Durchschtte bzw. adere Maßzahle bereche. Solche Varable habe metrsches (quattatves Nveau, her dsret, da Geld gezählt wrd. Ee dsrete Sala legt vor, we de Atwort durch Zähle etsteht. Stetge Mermale öe (theoretsch alle Werte ees Itervalls aehme. Weterh a ma be metrsche Sale zwsche Itervall- ud Verhältssale uterschede, wobe ur de Verhältssale ee absolute Nullput bestze. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. Saleveaus bestmme de Auswahl passeder statstscher Verfahre. Statstsoftware (z.b. SPSS uterschedet zwsche omale, ordale ud metrsche Date. Der Iformatosgehalt mmt deser Rehefolge zu. Nomalsala Date drüce qualtatve Egeschaft aus (Kategore ee Ordug (ur glech oder verschede Spezalfall: Dchotome Sala, we ur Kategore möglch sd (z.b. Geschlecht Ordalsala Date öe Ragfolge geordet werde, aber Uterschede zwsche de Auspräguge sd ur qualtatv, cht geau quatfzerbar Metrsche Sala Date sd Messwerte auf dsreter oder otuerlcher atürlcher Sala Dsret: Zähldate; Kotuerlch: Messdate Dfferez zwsche Auspräguge charatersert quattatve Utersched WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr..

4 Edmesoale dsrete Mermale Edmesoale dsrete Mermale Dateverdchtug be dsrete Mermale X wrd - mal gemesse/beobachtet, Stchprobe x,... x, Stchprobeumfag be möglche Auspräguge,... x sd maxmal der beobachtete x Werte verschede Absolute Häufget h( x, Azahl des Auftretes vo uter de Werte der Stchprobe x Relatve Häufget f ( x, h( x f ( x, Egeschafte 0 h( x, h( x 0 f( x, f( x Be ordale Mermale defert ma absolute ud relatve Summehäufgete * * * * H( x h( x, F( x f( x x : x x : x WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 3 Bespel Klausurote vo 0 Studete (ordal:,,, 3, 3, 3,, 4,, 4, 3, 3,, 3, 5, 4, 5, 4, 3,.3 Grafsche Darstellug z.b. durch Baledagramme absolute Häufgete ud prozetuale Summehäufgete absolute Häufge t Note Baledagramm der absolute Häufgete 4 Prozet WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr Note Baledagramm der prozetuale Summehäufgete Edmesoale stetge Mermale Edmesoale stetge Mermale Dateverdchtug be stetge Mermale Stetges Mermal X wrd -mal gemesse, Stchprobe dabe sd.a. alle auftretede Werte verschede. x,... x Etelug des Itervalls zwsche der leste ud der größte Messug glechbrete, dsjute Klasse K, Klasseazahl zwsche 4 ud 0, (Faustregel.a. Obergreze jewels zur Klasse gehörg Absolute Klassehäufget hk (, hk ( Azahlderx,... x K Relatve Häufget f ( K, hk ( f ( K, Egeschafte der Klassehäufgete hk ( Absolute Summehäufget H(x, Relatve Summehäufget F( x durch suzessves Aufsummere der Häufgete über alle Klasse ls vo bs eschleßlch x H( x h( K, F( x f( K alle Kl. ls bs eschl. x f( K De grafsche Darstellug der Klassehäufgete als Bale über de Itervalle der Klasse et ma Hstogramm. alle Kl. ls bs eschl. x WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 5 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 6

5 Edmesoale stetge Mermale Bespel: Stchprobe mt 0 Werte ees stetge Mermals 6, 65, 8, 86, 90, 90, 90, 90, 03, 05, 0, 0, 0, 6, 6, 7, 6, 6, 35, 35 Klasseetelug des überdecte Bereches vo ca. 60 bs ca Klasse Klassegreze (60, 80] (80, 00] (00, 0] (0, 40] abs. H. rel. H rel. Summeh , Hstogramm 0,3 0,4 0, Edmesoale stetge Mermale Iformato aus Hstogramme Hstogramme lasse ee erste Beurtelug der Art der Vertelug zu, sbesodere Hblc auf Symmetre, Schefe bzw. Vorlege extremer Werte. Aus de relatve Klassehäufgete erhält ma durch schrttweses Aufsummere de Atel der Werte ls jeder Klassegreze, de relatve Summehäufgete, z.b. st Atel der Werte, de 00 sd, glech 0.4,0 Summehäufgete rechtsstel (lsschef ohe Ausreßer lsstel (rechtsschef mt extreme Werte aäherd symmetrsch ohe Ausreßer WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 7 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 8 Edmesoale stetge Mermale Emprsche Vertelugsfuto F(x Für jedes x wrd der Atel der Stchprobewerte am Stchprobeumfag bestmmt, de x sd. Dabe st x ee belebge reelle Zahl (cht otwedg ee Klassegreze! F(x etsprcht eer Summehäufgetsfuto ohe vorherge Klasseetelug Emprsche Vertelugsfuto.4 Azahl der Stchprobewerte x F( x Fällt x mt eer Klassegreze zusamme, st der Wert der emprsche Vertelugsfuto glech dem der Summehäufget. Egeschafte der emprsche Vertelugsfuto F(x st mooto wachsed 0 F(x F(x st ee Treppefuto mt Sprugstelle de Stchprobewerte De Höhe des Sprugs x st glech der relatve Häufget vo x. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 9 Edmesoale stetge Mermale Bespel: Stchprobe mt 0 Werte ees stetge Mermals 6, 65, 8, 86, 90, 90, 90, 90, 03, 05, 0, 0, 0, 6, 6, 7, 6, 6, 35, 35 x F(x x < x < 65 / x < 8 / x < 86 3/ x < 90 4/ x < 03 8/ x < 05 9/ x < 0 0/ x < 6 3/ x < 7 5/ x < 6 6/ x < 35 8/00.95 x 35 Azahl der Stchprobewerte x F( x Emprsche Vertelugsfuto Über Itervalle mt vele Stchprobewerte schelles Wachse vo F(x WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 0

6 Edmesoale stetge Mermale Edmesoale stetge Mermale De emprsche Vertelugsfuto wrd durch de Summehäufgetsfuto geähert, mt gergerer Klassebrete ud zuehmeder Klasseazahl wrd de Näherug besser. Summehäufgetsfuto Emprsche Vertelugsfuto Wetere Awedug vo Vertelugsfutoe: Überlebesurve Bespel Dauer bs zum Rücfall (Ederegs be Raucheretwöhugsprogramm t ( Moate: 3, 6, 6, 9, 0,, 6, 8, 8, 0 Emprsche Vertelugsfuto Atel vo Eregsse bs zur Zet t Überlebesfuto Atel Überlebeder zur Zet t Emprsche Vertelugsfutoe ege sch zum Verglech vo Verteluge utereader sowe für Tests auf Vorlege bestmmter Vertelugstype (Kolmogorov-Smrov-Tests. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. Edmesoale stetge Mermale Emprsche Quatle Schätzug der medae Überlebeszet Zetput, zu dem de Hälfte der Probade och raucherabstet st Medae Überlebeszet grafsch: Zetput, zu der de emprsche Vertelugsfuto glech 50% st Aus Date: Zetput, de 50% der Werte uterschrete 3, 6, 6, 9, 0,, 6, 8, 8, 0 Jeder Wert zwsche 0 ud erfüllt dese Egeschaft, z.b. t Probleme etstehe be zeserte Date, z.b. we Probade vorzetg aus der Stude ausstege oder zu Studeede och e Eregs hatte Spezelles Verfahre: Überlebeszetaalyse, z.b. Kapla-Meer-Schätzug WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 3 Problem Uterhalb welcher Greze auf der Messsala legt e bestmmter Atel α der (aufsteged geordete Stchprobewerte, 0 < α <? heßt emprsches α - Quatl. Spezelle Quatle sd de Quartle α0.5 : Meda x x u α0.5 : Uteres Quartl x 0.5 u0.5 α0.75 : Oberes Quartl x u % der Stchprobewerte legt uterhalb 5% der Stchprobewerte legt uterhalb 75% der Stchprobewerte lege uterhalb Zur Berechug muss ma de Stchprobe zuächst orde: x ( x ( Be ugeradem st der Meda geau der mttlere Wert deser geordete Rehe. Ist gerade, stehe Werte der Mtte, der Meda st hr Mttelwert. Aalog verfährt ma be der Berechug der Quartle. Ist der Stchprobeumfag durch 4 telbar, legt das utere Quartl der Mtte zwsche dem Wert der geordete Rehe a Posto /4 ud /4 +. Für belebge Stchprobeumfag braucht ma ee Formel zur Berechug der Quartle bzw. glech ee Formel für Quatle belebger Ordug α. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 4

7 Emprsche Quatle Emprsche Quatle Allgemee Berechug vo Quatle für belebges α, 0 <α < : Be Stchprobeumfag etsprcht jeder Messwert eem Atel /, Werte etspreche dem Atel /. Auf desem Raster legt α.a. cht exat. Daher verwedet ma ee passede Näherugsformel. Bass st de aufsteged geordete Stchprobe x m x( x(... x( xmax Emprsches α Quatl für 0 <α< st de Zahl x(, falls < α <, d.h. [ α ] + x α ( x( + x( +, falls α gazzahlg Iterpretato Das α Quatl telt de Berech, de de Stchprobe überdect, so zwe Tele, dass etwa α 00% der Messwerte uterhalb ud etwa (- α 00% oberhalb lege. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 5.5 Bespel Größe vo 0 Neugeboree: 5, 50, 5, 49, 49, 5, 50, 57, 48, 5 aufsteged geordet: 48, 49, 49, 50, 50, 5, 5, 5, 5, 57 Wege 0 etsprcht jeder gemessee Wert dem Atel /0 bzw. 0%. Meda: Mtte zwsche 5. ud 6. Wert x 0.5 ( / 50.5 Uteres Quartl: α 0.5, somt α.5 cht gazzahlg: 3 x 0.5 x(3 49 Oberes Quartl: α 0.75, somt α 7.5 cht gazzahlg: 8 x 0.75 x(8 5 0%-Quatl: α 0., somt α gazzahlg: x 0.0 ( x( + x( / 48.5 Es sd geau 0% der Werte 48.5 ud geau 90% der Werte Quartlsabstad: Dfferez zwsche oberem ud uterem Quartl.. Im Bespel: WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 6 Boxplots Ausreßerdeteto x 0.5 x 0.5 x Ausreßerverdächtge Werte : Werte außerhalb des Normalberechs u x 0.5 x 0.5 x 0.75 o m max Uteres Quartl Meda Oberes Quartl De Box ethält (etwa de mttlere 50% der Werte der Stchprobe. Boxbrete Quartlsabstad d Ausreßerverdächtge Werte werde gesodert gezechet (her Messwert 57. De Bale ezeche m ud max der Werte, de cht ausreßerverdächtg sd. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 7 Normalberech Normalberech [u, o] u uteres Quartl.5 Quartlsabstad o oberes Quartl +.5 Quartlsabstad Im Bespel: Quartlsabstad, folglch Normalberech (49.5, (46, 54 Ausreßerverdächtg st somt her der Wert 57 Normalberech wrd m Boxplot cht egezechet!!! De Bale m Boxplot sd Maxmum ud Mmum erhalb des Normalberechs. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 8

8 Emprsche Quartle Statstsche Maßzahle Awedug Der Meda als Lageparameter schätzt de Zetralwert (Mttelwert, Der Quartlsabstad st e Streuugsmaß, der de Brete des Berechs msst, dem de mttlere 50% der Stchprobewerte lege. Dese Kegröße sd robust gegeüber Ausreßer. Daher werde se be ausreßerbehaftete Stchprobe bzw. schefe Verteluge gegeüber Durchschtt ud Stadardabwechug bevorzugt. Veräderter Datesatz Größe vo 0 Neugeboree: 5, 50, 5, 49, 49, 5, 50, 53, 48, x 0.5 x 0.5 x Uteres Quartl x , Meda x , Oberes Quartl x Boxbrete Normalberech (46, 54, sd uverädert. Es legt e ausreßerverdächtger Wert vor, de Bale zege u m ud max aller Messwerte a. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 9 Mttelwertsmaße Arthmetsches Mttel x x * Streuugsmaße Emprsche Varaz s ( x x x x Stadardabwechug s + s Varatosoeffzet s v x Stadardfehler s x s Meda ~ x ~ x ~ 0, 5 Quartlsabstad d ~ ~ 0.5 x0.75 x0. 5 * * * mt absol. Häufgete x x h ( x s ( x x h ( x * * ( x hx ( x WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr Statstsche Maßzahle Zulässge Kegröße Abhägget vom Saleveau Saleveau Lagemaße Streuugsmaße omal Modalwert ee ordal (Modalwert, Meda Quartlsabstad metrsch (Meda, Durchschtt (Quartlsabstad Stadardabwechug Varatosoeffzet Durchschtt ud Stadardabwechug sd de geegete Kegröße be ormalvertelte Date. Se sd auch awedbar be metrsche, symmetrsche Verteluge. Lege Extremwerte/Ausreßer vor oder st de Vertelug usymmetrsch, sd Meda ud Quartlsabstad de geegete Kegröße. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr. 3

9 Mehrdmesoale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Mehrdmesoale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Dsrete Mermale Kotgeztabelle Radverteluge, bedgte Verteluge Zusammehagsmaße: Ch-Quadrat-Maß, Kotgezoeffzete Stetge Mermale Streudagramm (Scatterplot Zusammehagsmaße: Pearso-Korrelato, Spearma-Korrelato Leare Regresso: Parameterschätzug, Apassugsgüte Werde am gleche Objet mehrere Mermale gemesse, teressert ma sch mest dafür, ob es zwsche he ee Abhägget bzw. ee Zusammehag gbt. Bespel 00 zufällg ausgewählte Passate wurde zum Tempolmt der Iestadt befragt. Es ware 70 gege Tempolmt, 30 dafür. Uter de Geger ware 5 Fraue, uter de Befürworter 0. Bespel Be eer Verehrsotrolle wurde be straffällger Höhe der Geschwdgetsüberschretug ( ab 0 m/h auch das Alter des Fahrers protoollert. Alter Überschretug Bespel ethält omale Mermale, Bespel metrsche Mermale. Für de Utersuchug der Abhägget muss ma das passede Verfahre etspreched dem Saleveau wähle. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zwe dsrete Mermale X, Y werde am gleche Objet gemesse, X mt p verschedee möglche Auspräguge, Y mt q Auspräguge. De Azahl der Objete mt der Kombato ( x, y se Kotgeztabelle Y y y... y q X x q x q x p p p pq Bespel (Fortsetzug Vo 00 zufällg ausgewählte Passate sd 70 gege Tempolmt der Iestadt, 30 dafür. Uter de Geger sd 5 Fraue, uter de Befürworter 0. X: Meug zu Tempolmt, Auspräguge: für, gege Y: Geschlecht, Auspräguge: weblch, mälch Kotgeztabelle X Y weblch mälch gege für WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 3 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 4

10 Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Emprsche Radverteluge De Radsumme etspreche de edmesoale Verteluge. Aus de Zelesumme erhält ma de Vertelug vo X. Emprsche Radverteluge De Radsumme etspreche de edmesoale Verteluge. Aus de Spaltesumme erhält ma de Vertelug vo Y. Y y y... yq Radvertelug vo X X (Zelesumme x q. x q q. x p p p pq q p. p Y y y... yq Radvertelug vo X X (Zelesumme x q. x q q. x p p p pq q p. p Radvertelug vo Y (Spaltesumme p. p p. q q. p q WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 5 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 6 Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Emprsche Radverteluge Vertelug vo X Absolute Häufgete Relatve Häufgete Vertelug vo Y Absolute Häufgete Relatve Häufgete h( x. q f ( x h( x / h( y. p f ( y h( y / X Y weblch mälch gege für Radvertelug vo X: 70% gege, 30% für Tempolmt Radvertelug vo Y: 45% weblch, 55% mälch WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 7 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 8

11 Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Aus de edmesoale Verteluge a ma ee Rücschlüsse über ee Zusammehag zwsche de Mermale zehe. Zusammehäge utersucht ma durch Verglech der ezele Spalte/Zele, se ethalte de bedgte Häufgete ach Kategore des adere Mermals (uter der Bedgug der etsprechede Ausprägug m Spalte-/Zeleopf. Bedgte relatve Häufgete vo X uter Bedgug f ( X x / Y y /. berechet aus Spalte Y y, ormert mt Spaltesumme Y y hy ( y. Bedgte relatve Häufgete vo Y uter Bedgug f ( Y y / X x /. X x berechet aus Spalte, ormert mt Spaltesumme X x h( X x. X gege für Y weblch mälch Bedgte Verteluge vo X uter webl.: gege f ( X x/ Y y. 45 für f ( X x / Y y 45 uter mäl.: gege für. 45 ( / f X x Y y f X x Y y. 55 ( / WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 9 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 0 Abhägget omaler Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße Uversty of Appled Sceces Jea Für ee Zusammehag zwsche de Mermale sprcht, dass sch de bedgte Verteluge vo der Radvertelug uterschede. Ist der Atel der Befürworter uter de Fraue dagege so hoch we uter de Mäer, hat das Geschlecht ee Efluss auf de Meug. m.. m Gleche Atele alle Spalte fde sch da auch auf dem Rad weder..... De Mermale X, Y sd emprsch uabhägg, falls für alle, glt.. Verglech der beobachtete Besetzug mt der be Uabhägget erwartete Beobachtete Besetzug X gege für Y weblch mälch Besetzug be Uabhägget X Y weblch mälch gege für ˆ z.b ˆ Damt Verhälts 70:30 I jeder Spalte WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr

12 Zusammehagsmaße be omale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße be omale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Aus de Dffereze zwsche der beobachtete Zellebesetzug ud der be Uabhägget erwartete Zellebesetzug.. ˆ erhält ma e Maß für de Stäre des Zusammehags. Dabe quadrert ma de Abwechuge, damt sch postve ud egatve Dffereze cht ompesere, ud ormert mt de erwartete Häufgete. Ch-Quadrat-Maß ( ˆ p q χ ˆ Beobachtete Besetzug X gege für Y weblch mälch Besetzug be Uabhägget X Y weblch mälch gege für ˆ ( ˆ p q χ ˆ (5 3.5 ( (0 3.5 (0 6.5 χ WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 3 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 4 Zusammehagsmaße be omale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße be omale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Da de Größe des Ch-Quadrat-Maßes auch vo der Dmeso der Tabelle ud dem Stchprobeumfag abhägt, gbt es daraus abgeletete Maße, de dese Eflüsse durch Normerug herausreche. Bespel (Fortsetzug Ch-Quadrat-Maß χ 8.9 Zusammehagsmaße für dsrete Mermale p q ( ˆ Ch-Quadrat-Maß χ ˆ χ Kotgezoeffzet C χ + d Korrgerter Kotgezoeffzet Corr C d mt d m(p,q, p Zeleazahl, q Spalteazahl der Kotgeztabelle Kotgezoeffzet Normerug mt Stchprobeumfag Korrgerter Kotgezoeffzet Normerug etspreched der Tabelledmeso mt p (Zeleazahl, q (Spalteazahl, d m(p,q m(, χ 8.9 C 0.74 χ d C orr C d WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 5 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 6

13 Zusammehagsmaße be omale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Iterpretato Be Uabhägget der Mermale sd de beobachtetet Zellhäufgete glech de be Uabhägget zu erwartede Häufgete, es glt ˆ, damt sd alle Maße Null. Je stärer de Abhägget st, desto größer st de Abwechug vo Null. Bespel (Fortsetzug Alter Überschretug Streudagramm (Scatterplot Das Ch-Quadratmaß st ach obe cht beschrät, de abgeletete Maße sd auf Werte leer als ormert. Da de abgeletete Maße de Stchprobeumfag bzw. de Tabelledmeso herausreche, erlaube se de Verglech vo Abhäggete zwsche Tabelle mt verschedee Stchprobeumfäge bzw. verschede vele Auspräguge. y 6,5 x 34,67 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 7 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 8 Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Für ee leare Zusammehag der Mermale würde spreche, dass alle Pute m erste ud drtte bzw. zwete ud verte Quadrate lege, wobe ma de Quadrate ach Lage der Mttelwerte der bede Mermale utertelt. Stegede Tedez: x < x, y < y oder x > x, y > y, somt ( x x( y y > 0 Fallede Tedez: x < x, y > y oder x < x, y > y, somt ( x x( y > y < 0 Sd de Pute über alle Quadrate vertelt, legt ee leare Tedez vor. Produte ( x x( y y blde Kerstüc für Zusammehagsmaß Kovaraz Cov( x, y ( x x( y y Korrelatosoeffzet ach Pearso Σ( X X( Y Y r Σ ( X X Σ ( Y Y y 4. Quadr. 3. Quadr.. Quadr.. Quadr. x Äquvalete Darstelluge der Pearso-Korrelato Cov( X, Y r Var X VarY Σ( X X( Y Y Σ ( X X Σ ( Y Y ΣXY XY ( ΣX X ( ΣY Y ΣX Y ΣX ΣY ( ΣX ( ΣX ( ΣY ( ΣY Egeschafte Hat de Putwole ee stegede Tedez, st r > 0. Be eer fallede Tedez st r < 0. Bassformel für Umrechug X X ( X X ( X X X + X X X X + X X X X + X X X ( X X ( Y Y X Y XY WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 9 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 0

14 Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Iterpretato der Pearso-Korrelato Der Korrelatosoeffzet vo Pearso msst, we eg der leare Zusammehag zwsche X ud Y st. Es glt stets: r Klassfzerug r < r < r < r schwache Korrelato mttlere Korrelato stare Korrelato perfete Korrelato, d.h. alle Pute lege auf eer Gerade Be r lege alle Messwertpaare auf eer stegede Gerade. Be r - lege alle Messwertpaare auf eer fallede Gerade. Be r 0 st ee leare Tedez erebar. Bespel 6 (Fortsetzug Bsp. Berechug des Pearsosche Korrelatosoeffzete X Y X Y XY XY X Y r ( X ( X ( Y ( Y ( ( d.h. schwache Korrelato WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Be ordale Mermale oder ardale Mermale mt Ausreßer rechet ma astelle der Werte mt hre Platzummer. R( x Platzummer vo x be aufsteged geordete Werte vo X R( y Platzummer vo y be aufsteged geordete Werte vo Y Mehrfach auftretede Werte erhalte de gleche mttlere Rag (Bduge. Korrelatosoeffzet ach Spearma Σ( R( x R( R( y R ΣR( x R( y R rs Σ( R( x R Σ( R( y R ( ΣR( x R ( ΣR( y R Lege ee Bduge vor, verefacht sch de Berechug zu 6 d rs mt d ( ( R x R y ( + R Der Korrelatosoeffzet ach Spearma msst ee mootoe Zusammehag, Be r s folge alle Messwertpaare eer mooto stegede Tedez. Be r s - folge alle Messwertpaare eer mooto fallede Tedez. Be r s 0 st ee mootoe Tedez erebar. Zusammehagsmaße für ardale Mermale Korrelatosoeffzet ach Spearma Bespel 7 (Fortsetzug Bsp. Uversty of Appled Sceces Jea x y R x ( WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 3 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 4

15 Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße für ardale Mermale Uversty of Appled Sceces Jea Korrelatosoeffzet ach Spearma Korrelatosoeffzet ach Spearma x y ( x R R ( y Der Wert trtt be y vermal auf, auf de Plätze, 3, 4, 5. Astelle deser Platzzahle beommt jeder der 4 Werte de Durchschttsrag 3.5, Durchschttsrag daach wrd mt Platz 6 weter ummerert.. x y ( x R R ( y ( + 3 ( + 3, Σ R( x Σ R( y 78, R 6.5, Σ Σ Σ ( R( x 650, ( R( y 645, R( x R( y 567 ΣR( x R( y R r 0.47 s ( ΣR( x R ( ΣR( y R ( ( WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 5 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 6 Zusammehagsmaße Uversty of Appled Sceces Jea Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Zusammehagsmaße Abhägget vom Saleveau Nomale Mermale Kotgezoeffzet C χ χ + Σ( R( x R( R( y R Ordale Mermale Spearma-Korrelato rs Σ R( x R Σ ( R( y R Metrsche Mermale Pearso-Korrelato Σ( X X( Y Y r Σ ( X X Σ ( Y Y Be Mermale mt uterschedlchem Saleveau a ma uter Iformatosverlust de Koeffzete des edrgere Nveaus ehme. I spezelle Aweduge gbt es wetere Koeffzete, vgl. z.b. Hedderch, Sachs, Statstsche Verfahre Be hoher Pearso-Korrelato stehe de metrsche Mermale X, Y egem leare Zusammehag, der durch ee Geradeglechug modellert werde a. Asatz: y a0 + ax De Parameter a0, a deser Regressosfuto bestmmt ma ach dem Optmaltätsrterum (Methode der leste Quadrate MKQ x ( y ( a a x + 0 m. ( Resdue y a0 + ax sd de vertale Abwechuge der Messpute vo der Gerade De Quadratsumme der Resdue wrd m Optmaltätsrterum mmert. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 7 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 8

16 Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Bestmmug der Parameter der Regressosfuto aus Optmaltätsrterum ( f( a, a y ( a + a x m 0 0 Ma berechet de partelle Abletuge vo f ach de Parameter ud setzt se glech Null. Daraus etstehe ach Umformug der Summe de Normaleglechuge y a + a x x y a x a x Als Lösug deses leare Glechugssystems a 0 ud a erhält ma de Bespel 8 x 4 5 y 3. Regressosfuto y x Parameterschätzuge des leare Modells ( x y x y a a y a x ( 0 x x y a0 + ax WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 9 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 30 Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Regressosfuto y x De so berechete Regressosfuto passt ach dem verwedete Krterum optmal zu de Pute. Beurtelug der Apassugsgüte der Regressosfuto Resdue: vertale Abwechuge der Pute vo der Regressosgerade Aus he defert sch de Restvarato. Resdue y a + a x ( 0 Da das Krterum de Quadratsumme der Abwechug der Pute zur Gerade mmert, et ma das Verfahre MKQ-Regresso (Methode der leste Quadrate. Restvarato ( ( SSR y a + a x 0 ( ( SSR y a0 + ax WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 3 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 3

17 Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Als erlärte Varato SSE bezechet ma de Varato der Werte auf der Regressosfuto a a de Stelle x um de Mttelwert y 0 + ax SSE y a + a x ( ( 0 Gesamzvarato Erlärte Varato Restvarato ( SSE ( y ( a + 0 ax SSR ( y ( a0 + ax SSY y y Erlärte Varato y.75 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 33 Es glt de Zerlegug: SSY SSE + SSR Nach Dvso durch SSY SSE SSR SSY SSY Bestmmthetsmaß: SSE SSR R SSY SSY Das Bestmmthetsmaß st der Atel der erlärte Varato a der Gesamtvarato. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 34 Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Bestmmthetsmaß der leare Regresso ( Y ( a0 + ax erlärte Varato R ( Y Y Gesamtvarato Iterpretato Be perfeter Apassug legt ee Restvarato vor, da st de erlärte Varato glech der Gesamtvarato, das Bestmmthetsmaß st glech. Wese de Pute ee leare Tedez auf, st de erlärte Varato glech Null damt st auch das Bestmmthetsmaß st glech Null. Im Allgemee st see Größe glech dem Atel a Varato der y-werte, der durch de Regresso erlärt wrd. Zusammehag zum Pearsosche Korrelatosoeffzete r Es glt: r R.4 Bespel 9 (Fortsetzug Bsp. X Y X Y XY x ( x ( xy x y a a0 y a x ( Regressosft.: Y 0.087x Bestmmthetsmaß R r R Regressosfuto erlärt ur 3.5 % der Varato vo y. WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 35 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 36

18 Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea De Güte der Apassug der leare Regresso st star davo abhägg, ob Ausreßer m Datesatz vorhade sd. Regressosft. Y 0.087x Bestmmthetsmaß Elmato ees Ausreßers bewrt folgede Äderug der Regressosfuto ud der Güte der Apassug ach Regressosft. Y 0.97x Bestmmthetsmaß WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 37 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 38 Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Leare Regresso Uversty of Appled Sceces Jea Elmato ees wetere Ausreßers bewrt folgede Äderug der Regressosfuto ud der Güte der Apassug ach Regressosft. Y 0.375x +.77 De urtsche Elmato vo 'Ausreßer' täuscht strege Zusammehäge vor, de oft ur Wuschvorstellug se öe! Besserer Weg: mehr Date erhebe! Bestmmthetsmaß 0.83 Regressosft. Y 0.087x Bestmmthetsmaß Regressosft. Y 0.97x Bestmmthetsmaß Regressosft. Y 0.375x +.77 Bestmmthetsmaß 0.83 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 39 WS 06/7 Prof. Dr. J. Schütze Desr 40