Über Tests von Zufallszahlengeneratoren

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1 Poster Über Tests vo Zufallszahlegeeratore Berd Paul Jäger Torste Phlpp Ist. f. Bometre u. Med. Iformatk Erst-Mortz-Ardt-Uverstät Fachhochschule Stralsud, Fachberech Elektrotechk ud Iformatk Walther-Ratheau-Str. 8 Zur Schwedeschaze Grefswald 85 Stralsud bjaeger@bometre.u-grefswald.de torste-phlpp@web.de Paul Eberhard Rudolph Karl-Erst Bebler Forschugssttut für de Bologe ladwrtschaftlcher Nutztere (FBN) Ist. f. Bometre u. Med. Iformatk Erst-Mortz-Ardt-Uverstät Wlhelm-Stahl-Allee Walther-Ratheau-Str Dummerstorf 787 Grefswald pe.rudolph@fb-dummerstorf.de bebler@bometre.u-grefswald.de Zusammefassug Zahlreche statstsche Tests, daruter auch de Famle der Ru-Tests (Abb..-.), wurde ersoe, um de ordugsgemäße Fukto vo Zufallszahlegeeratore zu überprüfe, de (pseudo)glechvertelte Zufallszahle erzeuge. E ezeler Test prüft aber ur bestmmte Kostellatoe ab, etwa de, dass ee Sequez vo Zufallszahle cht zu lage mooto wächst, dass de emprsche Vertelug der Glechvertelug etsprcht oder dass Permutatoe geau so häufg gefude werde we ma erwartet. Deshalb st es heute Stadard, ee gaze Battere vo Tests [] acheader azuwede, um Besoderhete velfältger Hscht zu erkee. Der so geate Ru-Test ach Kuth [] utersucht Läge vo streg mootoe Sequeze erhalb eer Folge vo glechvertelte Zufallszahle aus dem Itervall [0, ). Nachfolged wrd o.b.d.a. ur der Fall streg mooto falleder Sequeze behadelt. De Vertelugsfukto der zufällge Läge L der Sequeze st bekat: P(L = k) = k / (k + )! L ka eersets sämtlche atürlche Zahle k als Werte aehme, aderersets werde de Wahrschelchkete für größer werdede k rasch kle. Es gelte für de Erwartugswert E(L) = e.788 ud für de Varaz V(L) = e - e² Ma wrd folglch kee sehr lage Sequeze beobachte. Der Ru-Test wrd fälschlcherwese berets [] ud auch aderorts auf Zufallszahlegeeratore für glechvertelte gaze Zahle agewadt. Für de Zufallszahlegeerator SAS führt ee solche ukorrekte Bewertug zu eem Negatvurtel. I deser Arbet werde für glechvertelte gaze Zahle de exakte Vertelug der Läge L streg mooto wachseder Sequeze agegebe, eem SAS Makro berechet sowe hre Grezvertelug für ermttelt. Zur Awedug wrd dese asymptotsche Vertelug cht empfohle. Der Zufallszahlegeerator SAS besteht de uter Verwedug der exakte Vertelug vo L durchgeführte Ru-Test ud st somt cht zu beastade. 05

2 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler Schlüsselwörter: Zufallszahlegeerator, Glechvertelug, Ru-Test Eletug: Ru-Tests Der Begrff Ru-Test zur Überprüfug, ob e Zufallszahlegeerator glechvertelte Zufallszahle erzeugt, st der Lteratur cht ehetlch. Es gbt mdestes dre Tests solche Names, de sowohl als exakte Tests als auch der asymptotsche Form besproche werde solle.. Ru-Test ach Kuth Bem Ru-Test ach Kuth [] werde zufällge Läge L streg mootoer Sequeze utersucht. Stop Stop Stop Stop L= L= L= L= Abbldug.: Illustrato zum Ru-Test ach Kuth, Zufallsgröße st de Läge der mootoe Sequeze, de durch ee Stoppzahl getret werde, be der das Mootoeverhalte wechselt De Zufallsgröße L st de Läge der mooto wachsede oder fallede Telsequeze, Rus geat, de durch ee Stoppzahl beedet werde. Be der Stoppzahl wrd das Mootoeverhalte aufeader folgeder Zufallszahle erstmals uterbroche. I der Abbldug ädert sch de Mootoe ach der zwete, sechste, elfte ud. Zufallszahl. Es etstehe de zufällge Läge der Rus vo,,,,.. De Vertelug deser zufällge Läge ka durch kombatorsche Überleguge hergeletet werde. I eem geüged umfagreche Smulatosexpermet wrd de emprsche Vertelug der Läge der Rus bestmmt. E aschleßeder χ²-test prüft, ob de eer Folge vo geererte Zufallszahle beobachtete Azahle a mootoe Sequeze der jewelge Läge mt de erwartete Azahle überestmme. 06

3 . Ru-Test Poster E weterer Ru-Test (m Folgede Ru-Test geat) utersucht vo Sequeze vo Zufallszahle (aufeader folgede Zufallszahle) vorgegebeer Läge de Azahl vo mooto wachsede (oder fallede) Telfolge, Rus geat. Im Utersched zum Ru-Test ach Kuth trete kee Stoppzahle auf. Vorgegebe wrd ee Sequezläge. De Sequez setzt sch hrersets aus Telsequeze zusamme, de streg mooto sd. De folgede Abbldug gbt de Stuato für ee Sequez der Läge = a. Se zerfällt sechs Telsequeze (Rus) mt de Läge,,,, ud. Zufallsgröße st de Azahl a Rus der utersuchte Sequez. Auch her glt, dass kurze Rus häufg vorkomme ud lage Rus gege de Glechvertelug spreche. Ru Ru Ru Ru 5 Ru Ru 6 Abbldug.: Illustrato zum Ru-Test, Zufallsgröße st de Azahl vo Rus ( r = 6) be gegebeer Sequezläge ( = ) Jede Sequez ka ee Permutato der Läge umgewadelt werde, we ma de Zahle durch hre Rag ersetzt. De Sequez Abb.. bespelswese , 0.805, , , 0.60, , , 0.905, , 0.990, 0.959, 0. geht durch dese Trasformato über de Permutato , be der ma de gleche Subsequeze (Rus) gleche Läge we der Ausgagssequez feststelle ka. De Herletug der Vertelugsfukto für de Azahle Nr der Rus be Sequeze der Läge ka über de Azahle der Rus der zugehörge Permutato erfolge. 07

4 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler. Bedgter Ru-Test E bedgter Ru-Test uter Rückgrff auf de Wald-Wolfowtz-Test [6] utersucht Zufallszahlefolge vorgegebeer Läge vo aufeader folgede Zufallszahle aus dem Itervall [0, ). Bezüglch des Mttelwertes zerfällt de Mege vo Zufallszahle zwe Telmege. Es lege davo Zufallszahle oberhalb ud = uterhalb des arthmetsche Mttels. De Wahrschelchket st Null, dass zwe Zufallszahle glech sd oder dass ee der Zufallszahle mt dem Mttelwert zusammefällt. I dese Telmege vom zufällge Umfag ud werde zusammehägede Sequeze, de Rus, ausgezählt. Dese müsse cht otwedgerwese mooto wachsed oder falled se. De Zufallsgröße st de Azahl K der Rus, wobe K als Summe der Azahl der Rus oberhalb des Mttels K ud der Azahl der Rus uterhalb des Mttels K aufgefasst werde ka: K= K+ K. De bedgte Vertelug der Azahl der Rus, uter der Voraussetzug, dass Zufallszahle oberhalb ud = uterhalb des arthmetsche Mttels lege, st zu bestmme. Dese Vertelug wrd zurückgeführt auf de Vertelug der Iteratoszahle, de Wald ud Wolfowtz [6] ausführlch utersucht habe. Dazu st es otwedg, de Folge der Zufallszahle ee Folge der Werte vo 0 ud umzuwadel, wobe ma für Zahle oberhalb des arthmetsche Mttels ee ud für solche uterhalb des arthmetsche Mttels ee 0 schrebt (oder auch umgekehrt). Ee vollstädge ud ausführlche Herletug der Wahrschelchketsvertelug der Iteratoszahle fdet ma be Fsz [7]. Ru Ru Ru Ru 5 Ru 7 Ru Ru 6 Abbldug.: Illustrato zum bedgte Ru-Test ach Wald ud Wolfowtz (Sequezläge =, Azahl Rus k= k+ k = + = 7) Der Ru Test ach KNUTH Deser Ru-Test utersucht de Läge vo streg mootoe Sequeze erhalb eer Folge vo glech vertelte Zufallszahle, de o.b.d.a. aus dem Itervall [0, ) stamme. De Sequeze köe streg mooto wachsed oder auch streg mooto falled se. Zwe gleche aufeader folgede Zufallszahle ka es auf Grud der stetge Vertelug cht gebe. 08

5 Poster Es werde o.b.d.a. ur de streg mooto wachsede Sequeze betrachtet. De Verteluge der Läge der streg mooto fallede ud der streg mooto wachsede Sequeze sd detsch. Ee Sequez der Läge L = l begt mt x a der Stelle ud edet a der Stelle x + l. De darauf folgede Zufallszahl x ++ l st de Stoppzahl. Für dese Zufallszahle gelte de folgede Uglechuge x < x + <... < x+ l > x+ l+. De folgede Sequez begt ach der Stoppzahl. Als möglche Sequezläge komme alle atürlche Zahle Frage. Für de Zufallsgröße L glt: l PL ( = l) = (l + )! De Bewesdee wrd kurz skzzert. Wege x < x + <... < x + l eem Ru st de Folge der Räge der Zufallszahle des Rus < < < l. Wege x+ l > x+ l+ st de Ragzahl der Stoppzahl etweder vor der vo x oder der vo x + l oder. oder der vo x + l ezuorde. Das sd l möglche Aorduge (Permutatoe) vo sgesamt (l +)! Für de Zufallsgröße L gelte weterh E(L) = P( L = ) = = e.7888 ud ( + )! = = ( (e )) V(L) = E(L) P L = = = ( + )! ( ) ( ) e e ² = = Ma erwartet be glechvertelte Zufallszahle ur klee Sequezläge. Werde de Sequezläge zu groß oder trete wesetlch adere relatve Häufgkete auf, als se durch de Vertelugsfukto vorgegebe sd, so wrd de Glechvertelugshypothese abgeleht. Statstscher Test: Durchgeführt wrd e χ²-apassugstest, der be eer große Stchprobe de Häufgkete der Sequezläge mt der erwartete Azahl der Sequezläge ach dere Vertelugsgesetz verglecht. Schwach besetzte Sequezlägekategore werde zusammegefasst. Dazu st de folgede Aussage hlfrech, de mt vollstädger Idukto über lecht bewese werde ka: P( L= ) = =. ( + )! ( + )! = = Daraus lässt sch lecht de für de χ²-apassugstest beötgte Rehe ermttel: P( L= ) = = =. ( + )!!! = = Bespel.: Mt dem SAS-Zufallszahlegeerator UNIFORM wurde = glechvertelte Zufallszahle aus dem Itervall [0, ) erzeugt. De ermttelte Azahl vo Sequeze st 09

6 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler ur och 67 70, wel zum ee de Stoppzahle abgezoge werde, zum adere mehrere Zufallszahle zu eer streg mooto wachsede Telsequez gehöre. De Ergebsse sd der folgede Tabelle zusammegefasst. Be eem Frehetsgrad vo f = 8 wrd der krtsche Wert.067 durch de Prüfgröße χ² =.000 cht errecht. Tabelle.: Beobachtete ud erwartete Häufgkete vo Ru-Läge streg mooto wachseder Sequeze aus eer Folge vo glechvertelter Zufallszahle aus dem Itervall [0; ) Läge L der Sequez P(L = l) Beobachtete Häufgkete B Erwartete Häufgkete E = P(L = l) (B - E )² / E / = / 6 = / = / 0 = / 70 = / 500 = / 00 = / 00 = Summe Wesetlch schwerger st deser Ru-Test für glechvertelte gaze Zahle vo bs k. De Zufallsgröße L wrd we m stetge Fall bestmmt. Ma beachte, dass de Abbruchbedgug berets etrtt, we de folgede Zahl mt der voragehede überestmmt. Im Gegesatz zum obge Ru-Test, be dem de Wahrschelchket Null st, dass zwe aufeader folgede Zufallszahle eer Sequez glech sd, hat deses Eregs be glechvertelte gaze Zahle vo bs k de Wahrschelchket /k. De Zufallsgröße L ka m Gegesatz zum stetge Fall auch ur edlch vele Werte aehme, ud zwar vo bs k. Spätestes ach k + Schrtte muss sch ee der Zufallszahle wederhole. De Herletug der Vertelugsfukto wrd für k = 6 dargestellt. Dem etsprcht als Zufallszahlegeerator der gewöhlche Spelwürfel. Im erste Schrtt werde alle Sequeze der Läge L = agegebe. De Sequez ud de Stoppzahl blde e Paar vo Zufallszahle, sgesamt also 6 = k² Paare. I der Tabelle. sd alle Sequeze der Läge ud hre Stoppzahle agegebe. Da es geau = solcher Sequeze gbt, st de Wahrschelchket P(L6 = ) = Aus Tabelle. st ee Formel für glechvertelte Zufallszahle vo bs abletbar, 0

7 Poster ( + ) P(L = ) = = +, so dass sofort folgt lm P(L = ) = = P(L = ). Tabelle.: Azahlbestmmug streg mooto wachsede Sequeze der Läge mootoe Sequez Stoppzahl Azahl Paare,,,,,, 5,,,, 5 5 6,,,, 5, 6 6 Summe Tabelle.: Azahlbestmmug streg mooto wachsede Sequeze der Läge mootoe Sequez Stoppzahl Azahl Trpel,,,,,,,,,, 5,,,, 5 5, 6,,,, 5, 6 6,,,,,,,, 5,,,, 5 5, 6,,,, 5, 6 6,,,,, 5,,,, 5 5, 6,,,, 5, 6 6, 5,,,, 5 5, 6,,,, 5, 6 6 5, 6,,,, 5, 6 6 Summe 70 De Tabelle. ethält sämtlche streg mooto wachsede Sequeze der Läge mt de möglche Stoppzahle für jede Sequez. Aufgeführt sd 70 Trpel, bestehed aus der Sequez der Läge ud der Stoppzahl. Isgesamt gbt es 6³ möglche Trpel, so dass 70 P(L6 = ) =

8 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler Tabelle.: Bestmmug der Azahl aller streg mooto wachsede Sequeze der Läge mootoe Sequez Stoppzahl Azahl Quadrupel,,,,,,,,,,, 5,,,, 5 5,, 6,,,, 5, 6 6,,,,,,, 5,,,, 5 5,, 6,,,, 5, 6 6,, 5,,,, 5 5,, 6,,,, 5, 6 6, 5, 6,,,, 5, 6 6,,,,,,, 5,,,, 5 5,, 6,,,, 5, 6 6,, 5,,,, 5 5,, 6,,,, 5, 6 6, 5, 6,,,, 5, 6 6,, 5,,,, 5 5,, 6,,,, 5, 6 6, 5, 6,,,, 5, 6 6, 5, 6,,,, 5, 6 6 Summe 05 De Berechug der übrge Wahrschelchkete geht aus de Tabelle. bs.6 hervor. 05 P(L6 = ) = P(L6 = ) = P(L6 = 5) = ud 6 6 P(L6 = 6) =

9 Tabelle.5: Bestmmug der Azahl aller streg mooto wachsede Sequeze der Läge mootoe Stoppzahl Azahl Petupel Sequez,,,,,,,,, 5,,,, 5 5,,, 6,,,, 5, 6 6,,, 5,,,, 5 5,,, 6,,,, 5, 6 6,, 5, 6,,,, 5, 6 6,,, 5,,,, 5 5,,, 6,,,, 5, 6 6,, 5, 6,,,, 5, 6 6,, 5, 6,,,, 5, 6 6,,, 5,,,, 5 5,,, 6,,,, 5, 6 6,, 5, 6,,,, 5, 6 6,, 5, 6,,,, 5, 6 6,, 5, 6,,,, 5, 6 6 Summe 8 Tabelle.6: Bestmmug der Azahl aller streg mooto wachsede Sequeze der Läge 5 Sequez Stoppzahl Azahl 6-Tupel,,,, 5,,,, 5 5,,,, 6,,,, 5, 6 6,,, 5, 6,,,, 5, 6 6,,, 5, 6,,,, 5, 6 6,,, 5, 6,,,, 5, 6 6,,, 5, 6,,,, 5, 6 6 Summe 5 Poster De folgede Tabelle.7 ethält ebe der Zusammefassug der Berechugsschrtte der Wahrschelchketsvertelug für de Läge der streg mootoe Sequeze P( L6 = k) auch de zugehörge Wahrschelchketsvertelug P(L = k) für de stetge Fall. De Dffereze sd och beachtlch. Tabelle.7: Wahrschelchketsvertelug für de Läge k der streg mooto wachsede Sequeze P( L6 = k) ud zugehörge WahrschelchketsvertelugP(L = k) des stetge Falls k P( L6 = k) P(L = k) / 6² = / 6³ =

10 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler 05 / 6 = / 6 5 = / 6 6 = / 6 6 = Summe Mt größer werdedem Vorrat a gaze Zufallszahle (,,..., ) wrd de Wahrschelchketsmasse zum ee auf mmer mehr Portoe aufgetelt. Zum adere wrkt aber e gegeläufger Prozess. Hält ma k fest, so kovergere de Wahrschelchkete P(L = k) der Sequezläge m dskrete Fall gege de Grezwahrschelchkete des stetge Modells k lm P(L = k) = = P(L = k). (k + )! Obe wurde berets gezegt, dass dese Grezwertegeschaft für k = glt: lm P(L = ) = = P(L = ). Der Nachwes, dass dese Grezwertegeschaft auch für alle adere Sequezläge k glt, st schwerg ud wrd her cht erbracht. De Tabelle.8 llustrert de Kovergez vo P(L = k) für =, 5, 0, 0, 50 ud 00 für praktsch relevate streg mootoe Sequezläge vo bs 8, de restlche seltee Läge sd zur Kategore 9+ zusammegefasst worde (vorletzte Spalte). Selbstverstädlch gelte de Grezwertegeschafte cht ur für de Wahrschelchkete P(L = k) gege P(L = k), soder auch für de Erwartugswert (sehe Tab..8) ud de Varaz, ud ( ) lm E L = E(L) = e ( ) lm V L = V(L) = e e. Tabelle.8: Kovergez für wachsedes vo der Spalte P(L = k) P(L = k) gege P(L = k) erhalb k = k = k = k = k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 9+ E( L )

11 Poster Ru-Test I Abschtt. der Eletug wurde berets a eem Bespel ausgeführt, dass ee Sequez ee Permutato der Läge umgewadelt werde ka, we ma de Zahle durch hre Rag ersetzt. De Herletug der Vertelugsfukto für de Azahle Nr der Rus be Sequeze der Läge ka über de Azahle der Rus der zugehörge Permutato erfolge. Dabe ka ma sch N r als Summe der auf- bzw. abstegede Rus vorstelle, Nr = N+ N. Damt st deser Test allerdgs uteressat geworde, wel er ählche Kostellatoe m Output des Zufallszahlegeerators we der Permutatostest abprüft. Trete ämlch de Permutatoe mt de erwartete Häufgkete auf uter der Aahme, dass der Zufallszahlegeerator glechvertelte Zufallszahle lefert, da atürlch auch de durch Trasformatoe daraus erhaltee Azahle vo Rus. De Wahrschelchketsfukto, der Erwartugswert ud de Varaz vo N r wrd Tabelle. für de Sequezläge = exemplarsch vorgeführt. E etsprechedes SAS-Programm berechet Verteluge für cht zu große Sequezläge. (Ma beachte, dass! möglche Permutatoe zu berückschtge sd.). Iteressat st allerdgs, dass Erwartugswert ud Varaz der Zufallsgröße ur vo der Sequezläge abhäge. Es gelte 6 9 E(N r) = ud V( Nr ) =. 90 Da st für große Sequezläge de Prüfgröße 6 9 U= N r / 90 asymptotsch N(0, )-vertelt. Damt hat ma ee praktkable ud schell durchführbare Test des Zufallszahlegeerators für große Sequezläge, be dee e Permutatostest usg wäre. 5

12 j= x j= x j= x j= x j=5 x j=6 x j=7 x j=8 x j=9 x j=0 x j= x j= x j= x j= x j=5 x j=6 x j=7 x j=8 x j=9 x j=0 x j= x j= x j= x j= x B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler Für de Sequezläge k = wrd über de zugehörge! = möglche Permutatoe de Herletug der Wahrschelchkete P(N r = ) gezegt. Tabelle.: Herletug der Vertelug der Azahl der Rus N r be Sequezläge k = Permutato N N N r Permutato N N N r Ma erhält für de Sequezläge k = aus Tabelle. de Wahrschelchkete P(N r = ) = / 0.08, P(N r = ) = / = ud P(N r = ) = 0/ 0.667, damt de Erwartugswert E(N r ) = 7/ ud de Varaz V(N r ) = 5/90 Bedgter Ru-Test Bem bedgte Ru-Test wrd ee Sequez vo Zufallszahle gezoge ud das arthmetsche Mttel m gebldet. Bezüglch des Wertes vo m zerfällt de Sequez zwe Telmege mt de zufällge Umfäge N ud N, de Zufallszahle de oberhalb ud dejege de uterhalb des arthmetsche Mttels m lege. N ud N köe de Werte vo bs - aehme, de es muss mdestes ee Zufallszahl ober-

13 Poster halb ud auch mdestes ee Zufallszahl uterhalb vo m lege (vergleche Abb..). De Verteluge vo N ud N sd detsch be eem Zufallszahlegeerator, der glechvertelte Zufallszahle aus dem Itervall vo 0 bs erzeugt. Davo ka ma sch durch Abb.. überzeuge lasse. Ausführlch fdet ma de Herletug der Formel deses Abschttes Fsz [7] Abbldug.: Emprsche Vertelug vo N (lks) ud vo N (rechts) für Sequezläge = 0 De bedgte Vertelug der Azahl der Rus uter ebe dese Bedguge st k k P( K= k N=,N = ) = für k gerade ud k k + k k P( K= k N=,N = ) = für k ugerade ud der bedgte Erwartugswert ud de bedgte Varaz sd + E( K N=,N = ) = ud ( ) V( K N=,N = ) =. ( ) Für große Sequezläge st 7

14 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler + K Z = ( ) ( ) asymptotsch stadardormalvertelt. Wald ud Wolfowtz [6] habe aber berets 90 bewese, dass de obge bedgte Vertelug für = α ud gege α N, +α ( +α) kovergert. Dese Normalvertelug ka berets für > 0 ud > 0 verwadt werde. Bespel.: Es werde zufällge Sequeze der Läge = 0 betrachtet, (x,x,...,x 0). De Zufallsgröße N ud N köe przpell de Werte vo bs 9 aehme, allerdgs sd extreme Kostellatoe selte. I Tab.. erket ma, dass be 0000 smulerte Sequeze N ud N cht uter falle ud cht über 8 astege. Ege der bedgte Häufgketsfuktoe zege de folgede Abblduge. Abbldug.: Bedgte Vertelug der Azahl a Rus mt = 7, =, E(K N =, N = 7) = 0.55 ud V(K N =, N = 7) = 9.9 8

15 Poster Abbldug.: Bedgte Vertelug der Azahl a Rus mt = 8, =, E(K N =, N = 6) = 0.80 ud V(K N =, N = 7) = 9.5 Tabelle.: Gute Überestmmug be Smulatoe vo bedgte Erwartugswerte E(K N, N ) ud Mttelwerte m k sowe vo bedgte Varaze V(K N, N ) ud emprsche Varaze v k, we der Umfag für de Schätzug groß geug st (Schatterug) m k E(K N =, N = ) v k V(K N =, N = ) Umfag

16 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler De Überestmmug vo exakter bedgter Wahrschelchket P( K= k N=,N = ) ud Vertelug F(k) = P( K k N=, N = ) für = ud = 8 mt der vo Wald ud Wolfowtz gegebee approxmatve Normalvertelug α N, für = α auf der ee Sete ud de smulerte +α ( +α) relatve Häufgkete aderersets gbt Tabelle. a. Tabelle.: Überprüfug der Überestmmug vo exakter bedgter Wahrschelchket P( K= k N=,N = ) für = ud = 8 mt der vo Wald ud Wolfowtz gegebee approxmatve Normalvertelug k p exakt p asymp. Rel. H. F exakt F asymp. F empr

17 Poster Ist darüber haus vom Zufallszahlegeerator bekat, dass er glech vertelte Zufallszahle X aus dem Itervall vo 0 bs lefert, der Erwartugswert mth E(X) = 0.5 st, so ka de ubedgte Wahrschelchketsvertelug P( K= k) für de zufällge Azahl K der Rus agegebe werde. Es sd k k P( K= k) = für gerades k ud k k + k k P( K= k) = für ugerades k sowe + E( K) = ud V( K) = der Erwartugswert ud de Varaz. Für große Sequezläge st de stadardserte Zufallsgröße + K Z = asymptotsch N(0, )-vertelt. Vo Wshart ud Hrschfeld [5] st uter allgemeere Voraussetzuge bewese worde, dass für Iteratoe der Läge, wobe p de Wahrschelchket für de 0 ud q = - p de Wahrschelchket für de, de Vertelug vo K asymptotsch beschrebe wrd durch K pq Z =. pq( pq) Im Spezalfall p = q = ½, be eem Zufallszahlegeerator, der glechvertelte Zufallszahle zwsche 0 ud lefert, geht Z über K K Z = =. ( )

18 B. P. Jäger, T. Phlpp, P. E. Rudolph, K.-E. Bebler Ma erket sofort, dass Z ud Z zwar asymptotsch glech sd, welche Zufallsgröße aber de tatsächlche Verhältsse be kleem besser wderspegelt, blebt uklar. Klarhet ka be kokretem ur e Smulatosexpermet brge. Bespel.: Für = 0 sd 0000 Smulatoe gelaufe ud de relatve Häufgkete für de Ru-Azahle K bestmmt worde. I Abbldug. sd de emprsche Verläufe mt dem Symbol * wedergegebe, de gestrchelte Le gbt de asymptotsche Näherug ach Wshart ud Hrschfeld [5], de durchgezogee Le dejege asymptotsche Näherug weder, de auf dem Erwartugswert ud der Varaz vo K beruht. Ma erket, dass de letztgeate asymptotsche Methode m utersuchte Falle besser a de smulerte Werte passe. Ver t e l ug k Abbldug.: Ru-Azahle K be Sequezläge vo = 0, emprsche Vertelugsfukto ud Vertelugsfuktoe der bede asymptotsche Normalverteluge mt µ = ud σ = / (ach WISHARD ud HIRSCHFELD, gestrchelt), sowe + mt µ = ud σ= ( )/ (ach Normerug, volle Le)

19 Poster Lteratur [] Kuth, D.E. (98): The art of computer programmg, Vol. Semumercal Algorthms,. ed. Addso-Wesley, Readg, Mass. [] Marsagla, George: Dehard Battery of Tests of Radomess, [] SAS Isttute Ic. (00). SAS/STAT 9. User s Gude. Cary, NC: SAS Isttute Ic. [] SAS Isttute Ic. (00): SAS 9. Macro Laguage: Referece. Cary, NC: SAS Isttute Ic. [5] Wshart,J., Hrschfeld, H.D.: A theorem cocerg the dstrbuto of jos betwee le segmets, J. of the Lodo Math. Soc., (96)7 [6] Wald, A., Wolfowtz, J.: O the test whether two samples are from the same populato, A. of Math. Statstcs (90)7 [7] Fsz, M. (97): Wahrschelchketsrechug ud mathematsche Statstk, 7. Aufl., Dt. Verl. d. Wss.